数学试题文

数学试题文 Prepared on 24 November 2020数 学 试 题（文科1）一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的).1． 设全集为 R ，A =}01|{<xx ，则=A C R ( )．A ．}01|{>x xB .｛x | x ＞0｝C .｛x | x 0≥｝D . }01|{≥xx2． 2)1(i i -⋅等于( )．3． 设(,)P x y 是图中的四边形内的点或四边形边界上的点，则z x y =+2的最大值是( )． 4． 抛物线)0(42<=a ax y 的焦点坐标是( )．5． 若函数22)(23--+=x x x x f 的一个正数零点附近的函数值用二分法计算，其参考数据如下：那么方程02223=--+x x x 的一个近似根（精确到）为( )．6． 已知m 、n 是两条不同直线，α、β是两个不同平面，有下列4个命题：① 若α⊂n n m ,//，则m ∥α； ② 若αα⊄⊥⊥n m n m ,,，则α//n ； ③ 若βαβα⊥⊥⊥n m ,,，则m n ⊥；④ 若m n 、是异面直线，ββα//,,m n m ⊂⊂，则α//n . 其中正确的命题有( )．7． 如图，垂直于x 轴的直线EF 经坐标原点O 向右移动. 若E 是EF 与x 轴的交点，设OE =x a x ≤≤0()，EF 在移动过程中扫过平行四边形OABC 的面积为f 8． ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，A ．2-2iB ．2+2iC ．-2D ．2A ．2-B ．1-C ．1D ．2A ．（a ,0）B ．(-a ,0)C ．（0,a ）D ．（0,-a ） A . B . C . D .A ．①②B ．②③C ．③④D ．②④第3题第7题图俯视图则cos B =( )． 9． 已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4()1(),4(2)(x x f x x f x ，那么(5)f 的值为( )．10．已知点F 1、F 2分别是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与椭圆交于A 、B 两点，若△ABF 2( )．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在题中的横线上).11. 如果实数+∈R b a ,,且b a >,那么b 、ab 和)(21b a + 由大到小的顺序是 . 12．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是____.13．若框图所给程序运行的结果为S=90，那么判断框中应填入的关于k 的判断条件是 . 14．考察下列一组不等式：,5252522233⋅+⋅>+ ,5252523344⋅+⋅>+ ,5252523344⋅+⋅>+,525252322355⋅+⋅>+.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下加以推广，使以上的不等式成为推广不等式的特例，则推广的不等式可以是 .A ．14B ．34C ．4D ．3A ．32B ．16C ．8D ．64A ． 21B . 22C. 31 D . 33 第12题图三、解答题(满分80分，解答应写出文字说明和演算步骤).15.（本小题满分12分）已知：)1,3(-=a，)cos ,(sin x x b = ，x ∈R . 求b a ⋅的最大值，并求使b a ⋅取得最大值时a 和b的夹角．16．（本小题满分14分）已知ABCD 是矩形，4,2AD AB ==，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点，PA ⊥面ABCD .(1) 证明：PF ⊥FD ；(2) 在PA 上找一点G ，使得EG ∥平面PFD .17．（本小题满分12分）已知，圆C ：012822=+-+y y x ，直线l ：02=++a y ax . (1) 当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2) 当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且22=AB 时，求直线l 的方程.18．（本小题满分14分）设数列{}n b 的前n 项和为n S ，且22n n b S =-，数列{}n a 为等差数列，且145=a ，207=a .(1) 求321,,b b b ；(2) 求数列{}n b 的通项公式；(3) 若,1,2,3,n n n c a b n =⋅=，求数列{}n c 的前n 项和n T第13题图第16题图CDBA PEF19．（本小题满分14分）为了对2006年佛山市中考成绩进行分析，在60分以上的全体同学中随机(1) 若规定85分(包括85分)以上为优秀，求这8位同学中数学和物理分数均为优秀的概率；(2) 用变量y 与x 、z 与x 的相关系数说明物理与数学、化学与数学的相关程度；(3) 求y 与x 、z 与x 的线性回归方程（系数精确到），并用相关指数比较所求回归模型的效果.参考数据：5.77=x ，85=y ，81=z ，1050)(812≈-∑=i i x x ，456)(812≈-∑=i iy y，550)(812≈-∑=i i z z ，688))((81≈--∑=i i i y y x x ，755))((81≈--∑=i i iz z x x，7)ˆ(812≈-∑=i i i yy ，94)ˆ(812≈-∑=i i i z z ，5.23550,4.21456,4.321050≈≈≈.20．（本小题满分14分）已知函数x a x x f ln )(2+=.(1) 当2-=a 时，求函数)(x f 的单调区间和极值；(2) 若xx f x g 2)()(+=在),1[∞+上是单调函数，求实数a 的取值范围.数学试题参考答案和评分标准（文科1）一、选择题（每题5分，共40分）二、填空题（每题5分，共30分）11．b ＜ab ＜)(21b a + 12．334 13．8≤k14．()0,,,0,>≠>+>+++n m b a b a b a b a b a m n n m n m n m （或n m b a b a ,,,0,≠>为正整数）注：填m n n m n m n m 525252+>+++以及是否注明字母的取值符号和关系，均不扣分．三、解答题(满分80分，解答应写出文字说明和演算步骤).15. 解：∵)6sin(2cos sin 3π-=-=•x x x b a ， ……………………………………………4分∴当1)6sin(=-πx 即)(322Z k k x ∈+=ππ时， ……………………………………………6分b a•取得最大值2. ……………………………………………………………………………………………8分此时，)21,23(-=b ，故1||||ˆ,cos =•>=<b a ba b a ，………………………………………11分∴a和b 的夹角是0. …………………………………………………………………………………………12分注：也可以由a 和b同向来说明.16．解：(1) 证明：连结AF ，∵在矩形ABCD 中，4,2AD AB ==，F 是线段BC 的中点， ∴AF ⊥FD . (3)分又∵PA ⊥面ABCD ，∴PA ⊥FD . …………………………………4分第16题图CDBA PEF∴平面PAF ⊥FD . …………………………………………………………5分 ∴PF ⊥FD . (6)分(2) 过E 作EH ∥FD 交AD 于H ，则EH ∥平面PFD 且AD AH 41=. …………9分再过H 作HG ∥DP 交PA 于G ，则HG ∥平面PFD 且AP AG 41=. ……………11分∴平面EHG ∥平面PFD .∴EG ∥平面PFD . ……………………………………………………………………………………………13分 从而满足AP AG 41=的点G 为所找. ………………………………………………………………14分 注：1. 也可以延长DF 、AB 交于R ，然后找EG ∥PR 进行处理)2. 本题也可用向量法解.17．解：将圆C 的方程012822=+-+y y x 配方得标准方程为4)4(22=-+y x ，则此圆的圆心为（0,4），半径为2.(1) 若直线l 与圆C 相切，则有21|24|2=++a a . ………………………………………………3分 解得43-=a . ……………………………………………………………………………………………………5分(2) 解法一：过圆心C 作CD ⊥AB ，则根据题意和圆的性质，得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧====+++=.221,2,1|24|22222AB DA AC DA CD a a CD ……………………………………………………………………………8分解得1,7--=a . ………………………………………………………………………………………………10分（解法二：联立方程⎩⎨⎧=+-+=++0128,0222y y x a y ax 并消去y ，得 0)34(4)2(4)1(22222=++++++a a x a x a .设此方程的两根分别为1x 、2x ，则用]4))[(1(22212212x x x x a AB -++==即可求出a .）∴直线l 的方程是0147=+-y x 和02=+-y x . ………………………………………12分18．解：（1）由22n n b S =－，令1n =，则1122b S =-，又11S b =，所以123b =. 由21222()b b b =-+，得229b =.由)(223213b b b b ++-=，得2723=b . ……………………………………………………………………3分 （2）方法一：当2≥n 时，由22n n b S =－，可得n n n n n b S S b b 2)(211-=--=---.即113n n b b －＝. …………………………………………………………………………………………………………………………5分 所以{}n b 是以123b =为首项，31为公比的等比数列，于是n n b 312⋅=. (6)分方法二：由（1）归纳可得，n n b 312⋅=，它适合22n n b S =－.所以n n b 312⋅=. ……………………………………………………………………………………………………………5分注：方法二扣1分.（3）数列{}n a 为等差数列，公差751() 3 2d a a ==－,可得13-=n a n . ……………8分从而11112(31)()2()2()333n n n n n n c a b n n -=⋅==-－，………………………………………………9分∴].31)13(31)43(315312[231],31)13(318315312[213232+⋅-+⋅-++⋅+⋅=⋅-++⋅+⋅+⋅=n n n n n n n T n T ……………10分 ∴]31)13(31313313313313[232132+⋅---⋅++⋅+⋅+⋅=n n n n T . …………………11分 ∴1)31()31(2727---=-=n n n n n n Q R T . ……………………………………………………………14分19．解：(1) 由表中可以看出，所选出的8位同学中，数学和物理分数均为优秀的人数是3人，其概率是83. ………………………………………………………………………………………………………3分(2) 变量y 与x 、z 与x 的相关系数分别是99.04.214.32688≈⨯=r 、99.05.234.32755≈⨯='r . ……………………………………………5分 可以看出，物理与数学、化学与数学的成绩都是高度正相关. …………………………6分(3) 设y 与x 、z 与x 的线性回归方程分别是a bx y+=ˆ、a x b z '+'=ˆ. 根据所给的数据，可以计算出63.345.77*65.085,65.01050688=-===a b ， 20.255.77*72.081,72.01050755=-='=='a b . ……………………………………………………10分 所以y 与x 和z 与x 的回归方程分别是63.3465.0ˆ+=x y、20.2572.0ˆ+=x z . …………………………………………………………11分 又y 与x 、z 与x 的相关指数是98.0456712≈-=R 、83.05509412≈-='R . (13)分故回归模型63.3465.0ˆ+=x y比回归模型20.2572.0ˆ+=x z 的拟合的效果好. …14分20．解：(1) 易知，函数)(x f 的定义域为),0(∞+. ……………………………………………1分当2-=a 时，xx x x x x f )1)(1(222)(-+=-='. ……………………………………………2分'……………………………………由上表可知，函数)(x f 的单调递减区间是（0,1）、单调递增区间是（1，+∞）、极小值是1)1(=f . ……………………………………………………………………………………………………………7分(2) 由x x a x x g 2ln )(2++=，得222)(x x a x x g -+='. ………………………………8分又函数xx a x x g 2ln )(2++=为[1,)+∞上单调函数，① 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调增函数，则0)(≥'x g 在[1,)+∞上恒成立，即不等式2220a x x x -+≥在[1,)+∞上恒成立.也即222x xa -≥在[1,)+∞上恒成立. ………11分又222)(x xx -=ϕ在[1,)+∞上为减函数，0)1()(max ==ϕϕx . ……………………12分所以0a ≥.② 若函数)(x g 为[1,)+∞上的单调减函数，则0)(≤'x g 在[1,)+∞上恒成立，这是不可能的. ……………………………………………………………………………………………………………………13分综上，a 的取值范围为[0,)+∞. ………………………………………………………………………14分。