广东省汕头市丹阳中学高三数学理模拟试卷含解析

广东省汕头市丹阳中学高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知，且为实数，则等于
A ．1 B． C． D．
参考答案：
答案：A
2. 已知S n是数列{a n}的前n项和，a1=1，a2=2，a3=3，数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，则
S25=( )
A．232 B．233 C．234 D．235
参考答案：
B
【考点】等差数列的前n项和．
【专题】计算题；转化思想；等差数列与等比数列．
【分析】由已知可得a n+3﹣a n=（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=2，故a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，结合等差数列前n项和公式，和分组求和法，可得答案．
【解答】解：∵数列{a n+a n+1+a n+2}是公差为2的等差数列，
∴a n+3﹣a n=（a n+1+a n+2+a n+3）﹣（a n+a n+1+a n+2）=2，
∴a1，a4，a7，…是首项为1，公差为2的等差数列，
a2，a5，a8，…是首项为2，公差为2的等差数列，
a3，a6，a9，…是首项为3，公差为2的等差数列，
∴S25=（a1+a4+a7+…+a25）+（a2+a5+a8+…+a23）+（a3+a6+a9+…+a24）
=++=233，
故选：B
【点评】本题考查的知识点是等差数列的前n项和公式，根据已知得到a n+3﹣a n=2，是解答的关键．
3. 设集合由满足下列两个条件的数列构成：
①②存在实数，使．（为正整数）．在以下数列⑴;（2）; （3）;（4）
中属于集合W的数列编号为（）
（A）（1）（2）（B）(3) (4) （C）（2）（3）（D）(2) (4)
参考答案：
D
4. 抛物线C1：y2=4x，双曲线C2：﹣=1（a＞0，b＞0），若C1的焦点恰为C2的右焦点，则2a+b 的最大值为( )
A．B．5 C．D．2
参考答案：
A
考点：双曲线的简单性质．
专题：计算题；三角函数的图像与性质；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析：求出抛物线的焦点（1，0），即有c=1，即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），运用两角和的正弦公式和正弦函数的值域，即可得到最大值．
解答：解：抛物线C1：y2=4x的焦点为（1，0），
即有双曲线的c=1，
即a2+b2=1，（a＞0，b＞0），
设a=cosα，b=sinα（0＜α＜），
则2a+b=2cosα+sinα=（cosα+sinα）=sin（α+θ）（其中tanθ=2，θ为锐角），当α+θ=时，2a+b取得最大值，且为．
故选A．
点评：本题考查抛物线和双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的a，b，c的关系，运用三角换元和正弦函数的值域是解题的关键．
5. 若函数f(x)=(k-1)ax-a-x(a>0，且a≠1)在R上既是奇函数，又是减函数，则g(x) =loga(x+k)的图象是（）
参考答案：
A
略
6. 设长方体的长、宽、高分别为,其顶点都在一个球面上，
则该球的表面积为 ( )
（A）（B）（C）（D）
参考答案：
B
7. 已知i与j为互相垂直的单位向量，，且a与b的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）
A．B．
C．D．
参考答案：
C
，因为它们的夹角为锐角，则且不共线同向，所以且，故选C．8. 已知条件，条件，则是的（）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
参考答案：
A
9. 已知函数是定义在实数集R上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有
，则的值是
A．0 B． C．1
D．
参考答案：
A
10. 已知函数f(x)=sin(?x+?) (?＞0, 0＜?＜)，f(x1)=1，f(x2)=0，若|x1–x2|min=，且f() =，则f(x)的单调递增区间为()
A. B.
C. D.
参考答案：
B
设f(x)的周期为T，由f(x1)=1，f(x2)=0，|x1–x2|min=?,得,
由f() =，得sin(? +?)=，即cos?=，又0＜?＜，∴? =，f(x)=sin(?x).
由，得.
∴f(x)的单调递增区间为故选B.
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 如图,在直角梯形ABCD中,,.若M,N分别是边AD、BC上的动点,满足
，，其中,若,则的值为
.
参考答案：
12. 设正实数x，y ，z 满足x2﹣3xy+4y2﹣z=0，则当取得最小值时，x+2y﹣z的最大值
为．
参考答案：
2
考点：基本不等式．
专题：综合题．
分析：将z=x2﹣3xy+4y2代入，利用基本不等式化简即可得到当取得最小值时的条件，用x，z 表示y后利用配方法求得x+2y﹣z的最大值．
解答：解：∵x2﹣3xy+4y2﹣z=0，
∴z=x2﹣3xy+4y2，又x，y，z为正实数，
∴=+﹣3≥2﹣3=1（当且仅当x=2y时取“=”），
即x=2y（y＞0），
∴x+2y﹣z=2y+2y﹣（x2﹣3xy+4y2）
=4y﹣2y2=﹣2（y﹣1）2+2≤2．
∴x+2y﹣z的最大值为2．
故答案为：2．
点评：本题考查基本不等式，将z=x2﹣3xy+4y2代入，求得取得最小值时x=2y是关键，考查配方法求最值，属于中档题．
13. 设变量x，y满足约束条件，则其目标函数z＝mx＋y仅在点（3,1）处取得最大值，则m的取值范围是＿＿＿
参考答案：
（－1,1）
14. 定义：若平面点集中的任一个点，总存在正实数，使得集合
，则称为一个开集．给出下列集合：
①；② ；
③；④ ．
其中是开集的是．（请写出所有符合条件的序号）
参考答案：
答案：② 、④
15. 若函数在定义域的某个子区间上不具有单调性，则实数的取
值范围为 .
参考答案：
或
考点：对数
函数的图象和性质及运用． 16. 已知是等差数列的前项和，且，有下列四个命题：①
；
②
；③
；④数列
中的最大项为
，其中正确命题的序号是 ________．
参考答案：
①② 略 17. 正方体
为棱长为1，动点分别在棱上，过点
的平面截
该正方体所得的截面记为，设
其中
，下列命题正确的是（写出所有正
确命题的编号） ①当
时，
为矩形，其面积最大为1；
②当时，为等腰梯形；
③当时，为六边形；
④当时，设与棱的交点为，则。

参考答案：
【知识点】正方体的特征G1
②④
当
时，为矩形，其最大面积为1，所以①错误；当时，截面如图所示，
所以②正确；
当
时，截面如图，所以③错误；
当时，如图，设S与棱C1D1的交点为R，延长DD1，使DD1∩QR=N，连接AN交A1D1于
S，连接SR，可证AN∥PQ，由△NRD1∽△QRC1，可得C1R：D1R=C1Q：D1N，可得，∴④正确；综上可知正确的序号应为②④.
.
【思路点拨】可结合线面平行的性质作出其截面，结合其截面特征进行解答.
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
如图，在四棱锥P - ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E 为棱PC的中点．
（1）证明：BE⊥DC；
（2）若F为棱PC上一点，满足BF⊥AC，求二面角F－AB－P的余弦值．参考答案：
解: (1)以点A为原点建立空间直角坐标系如图，可得，，，由为棱的中点，得，故，
所以·＝0，所以BE⊥DC. ………………4分
(2) ，，，
由点在棱上，设＝λ，，
故＝＋＝＋λ＝(1－2λ，2－2λ，2λ)．
由BF⊥AC，得·＝0，因此2(1－2λ)＋2(2－2λ)＝0，解得λ＝，
即＝(,,) …………………………8分
设为平面的法向量，
则,即
不妨令z＝1，可得为平面FAB的一个法向量．取平面的法向量，
则cos〈n1，n2〉＝＝＝－.
易知，二面角是锐角，所以余弦值为………………………12分
19. （本小题满分10分，每题5分）
（1）求曲线在点（1，1）处的切线方程；
（2）运动曲线方程为，求t=3时的速度。

参考答案：
20. (13分)已知抛物线C:,定点M(0,5),直线与轴交于点F,O为原点,若以OM 为直径的圆恰好过与抛物线C的交点.
(1)求抛物线C的方程;
(2)过点M作直线交抛物线C于A,B两点,连AF,BF延长交抛物线分别于,求证: 抛物线C分别过
两点的切线的交点Q在一条定直线上运动.
参考答案：
(1)直线与轴的交点为抛物线C的焦点,又以为直径的圆恰好过直线抛物线的交
点,,所以抛物线C的方程为
(2)由题意知直线AB的斜率一定存在,设直线AB的方程为,
又设,
共线,,
,,同理可求
,过点的切线的斜率为,切线方程为:,
同理得过点的切线方程为:,联立得:
由
,即点Q在定直线上运动.
21. 已知函数.
（1）若曲线在处的切线的斜率为3，求实数a的值；
（2）若函数在区间[1,2]上存在极小值，求实数a的取值范围；
（3）如果的解集中只有一个整数，求实数a的取值范围.
参考答案：
（1）（2）（3）
【分析】
（1）先求出，利用可求.
（2）因函数在区间上存在极小值，故在上有解，利用求根公式求出的较大的根，它在区间中，从而得到的取值范围，
（3）利用导数可得当时，为上的增函数，而，故无整数解；当时，因在上有两个不同的解且，所以
在
上为增函数，在上为减函数，在上为增函数，结合可以得到
，从而得到的取值范围.
【详解】（1）由题意，，
由题意知，，所以，解得.
（2）令，所以，所以（舍负），
因为函数在上存在极小值，所以，
解之得，
经检验，当时，符合题意，
所以.
（3）①当，即时，恒成立，
在上为增函数，.
所以当时，，所以当时，，所以无整数解；
②当，即或时，
若，则，同①可得无整数解；
若，即在上有两个不同的解且，当时，，在上为增函数；
当时，，在上为减函数；
当时，，在上为增函数，
而，所以在上无解，故在上只有一个整数解，故，即，
解得，
综上，.
【点睛】函数的极值刻画了函数局部性质，它可以理解为函数图像具有“局部最低”的特性，用数学语言描述则是：“在的附近的任意，有（）” ．另外如果在附近可导且的左右两侧导数的符号发生变化，则必为函数的极值点．导数背景下不等式的整数解问题，应利用导数讨论函数的单调性，结合函数的零点从而得到特殊点的函数值的正负，从而得到参数的取值范围.
22. （本题满分12分）已知数列的前项和为，且．
（Ⅰ）求；（Ⅱ）设，求数列的前项和．
参考答案：
（Ⅰ）时,
所以
（Ⅱ）。