赵树源线性代数线性代数第1讲
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a a a 1 j1 2 j2 3 j3 j1j2j3为三级排列, 当j1j2j3取遍了3级排列时, 即得到三阶行列式的所有项(不包含符号), 共为3!=6项.
24
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号.
13
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即
N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
14
表1-1
排列 123 132 213 231 312 321
22
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为
a a 1 j1 2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
23
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为
6
画线法记忆
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
+ +
+
7
例1. 1 23 4 0 5 1 0 6 + 2 5 (1) + 3 4 0 1 0 6 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
8
例2. a,b满足什么条件时有
a b0
b a 0 0
21
(二) n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式:
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 + a12a23a31 a31 a32 a33 +a13a21a32 a11a23a32
a12a21a33 a13a22a31
34
定理1.3 n阶行列式D=|aij|的一般项可以记 为
(1) a a N (i1i2 in )+N ( j1 j2 jn ) i1 j1 i2 j2
ain jn
其中i1i2…in与j1j2…jn均为n级排列.
(1.4)
35
证: 由于i1i2…in与j1j2…jn都是n级排列, 因 此(1.4)式中的n个元素是取自D的不同的 行不同的列. 如果交换(1.4)式中的两个元素
38
例3 用行列式定义计算行列式
0101 1010 0100 0011
解: 因第1列和第3行都只有一个元素不为0, 为寻找不为0的项, 划去相应元素的行和列, 则第3列取第4行, 第4列只能取第1行, N(4123)=3, 因此行列式取值1.
39
作业: 习题一(A), 从35页开始 第1，2，8，9题 从第二周开始交作业 每周一交作业, 其它时间不收作业, 作业最好写在分2
nkn
(1)N (k1k2
a a kn ) 1k1 2k2
ankn
37
例2. 若(1)N(i432k)+N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五 阶行列式|aij|的一项, 则i,j,k应为何值? 此 时该项的符号是什么? 解: 由行列式定义, 每一项中的元素取自 不同行不同列, 故有j=3, 且有i=1时k=5, 或 i=5时k=1. 因此当i=1,j=3,k=5时, a15a42a33a21a54为 |aij|的一项. 当i=5, j=3, k=1时, a55a42a33a21a14也是|aij| 的一项.
16
定理1.1 任意一个排列经过一个对换后 奇偶性改变.
17
证: (1) 首先讨论对换相邻两个数码的情形, 设排列为 AijB 其中A,B表示除i,j以外的 其余数码, 经过 对换(i, j), 变为排列
AjiB 比较上面两个排列中的逆序, 显然, AB中 数码的次序没有改变,且i,j与A,B中数码次 序也没有改变, 仅改变了i与j的次序, 因此, 新排列仅比原排列增加或减少了一个逆 序, 所以它们的奇偶性相反.
27
一阶行列式|a|就是a. 行列式有时简记为|aij|. 由定理1.2可知: n阶行列式共有n!项, 且 冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素 本身所带的负号)各占一半.
28
例如, 四阶行列式
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有4!=24项. 例如, a11a22a33a44项取正号, a14a23a31a42项取 负号, a11a24a33a44不是D的一项.
29
例1. 计算n阶行列式
a11 0 0
0
a21 a22 0
0
D a31 a32 a33
0
an1 an2 an3
ann
的值, 其中aii0 (i=1,2,…,n).
30
解: D中各项中不为零的项只有 a11a22…ann, 其它项均为零, 由于 N(12…n)=0, 因此这一项取正号, 得
a11 0 0
逆序 无 32 21
21, 31 31, 32 21,31,32
逆序数 0 1 1 2 2 3
奇偶性 偶排列 奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列
15
在一个排列i1…is…it…in中, 如果仅将它 的两个数码is与it对调, 其它数码不变, 得 到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对 换, 记为 对换(is,it). 例如, 对排列21354施以 对换(1,4)后得到 排列24351.
第一章 行列式
§1.1 二阶,三阶行列式
1
(一) 二阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a11
a12
a21
a22
+
2
例1. 5 1 5 2 (1) 3 13 32
3
例2. 设
2
D
31
问: (1) 当为何值时D=0
(2) 当为何值时D0
4
解:
2
D
2 3
18
(2) 在一般情形, 设原排列为
Aik1k2…ks jB 经过对换(i, j)变为新排列
Ajk1k2…ks iB 由原排列中将数码i依次与k1,k2,…,ks,j作 s+1次相邻对换, 变为
Ak1k2…ks jiB 再将j依次与ks,…,k2,k1作s次相邻对换得 到新排列, 即新排列可由原排列经过2s+1 次相邻对换得到, 改变了奇数次奇偶性, 因此与原排列的奇偶性相反.
19
定理1.2 n个数码(n>1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.
20
证: n级排列的总数为n•(n1)•…•2•1=n!, 设其中奇排列为p个, 偶排列为q个. 设想将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换(1,2), 则由定理1.1可知p个奇 排列全部变为偶排列, 于是有pq; 同理如 将全部偶排列也都施以同一对换, 则q个 偶排列全部变为奇排列, 于是又有qp, 所 以得出p=q, 即奇偶排列数相等, 各为n!/2 个. 用三级排列验证, 见表1-1, 奇偶排列各三 个
0
a21 a22 0
0
D a31 a32 a33
0 a11a22a33 ann
an1 an2 an3
ann
称这种形式的行列式为下三角行列式.
31
同理可得上三角行列式
a11 a12 a13 0 a22 a23 D 0 0 a33
a1n a2n a3n a11a22a33 ann
000
ann
其中aii0 (i=1,2,…,n).
a 和a , is js
it jt
则其行标排列由i1…is…it…in换为 i1…it…is…in, 逆序数奇偶性改变, 列标排列 由j1…js…jt…jn换为j1…jt…js…jn,逆序数奇 偶性也改变. 则对换后两下标排列逆序数 之和的奇偶性则不改变.
36
即有
(1)N (i1 is it in )+ N ( j1 js jt jn )
根据这个规律, 可给出n阶行列式的定义.
25
定义1.2 用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的
记号 a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
称为n阶行列式, 其中横排称为行, 纵排称为 列. 它表示所有可能取自不同的行不同的列 的n个元素乘积的代数和, 各项符号是: (接 后)
(1)N (i1 it is in )+ N ( j1 jt js jn )
所以交换(1.4)式中元素的位置, 其符号不改 变. 这样我们总可以经过有限次交换(1.4)式 中元素的位置, 使其行标i1i2…in换为自然数 顺序排列, 设此时列标排列变为k1k2…kn, 则 (1.4)式变为
(1) a a a N (12 n)+N (k1k2 kn )
32
特殊情况:
a11 0 0 0 a22 0 D 0 0 a33
0 0 0 a11a22a33 ann
000
ann
其中aii0 (i=1,2,…,n).
这种行列式称为对角形行列式.
33
三角形行列式及对角形行列式的值, 均等 于主对角线上元素的乘积. 这一结论在以 后行列式计算中可直接应用. 由行列式的定义不难得出: 一个行列式若 有一行(或一列)中的元素皆为零, 则此行 列式必为零.
40
31
23=0, 则=0, =3.
因此可得
(1) 当=0或=3时D=0, (2) 当0且3时D0.
5
(二) 三阶行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 + a12a23a31 a31 a32 a33 +a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
26
当这一项中元素的行标按自然数顺序排列 后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则 取正号, 是奇排列则取负号. 因此, n阶行列 式所表示的代数和中的一般项可以写为:
(1) a a a N ( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
(1.3)
其中j1j2…jn构成一个n级排列, 当取遍所有n 级排列时, 则得到n阶行列式表示的代数和 中所有的项.
1 01
解:
a b0
b a 0 a2 + b2
1 01
若要a2+b2=0, 必须a=0且b=0.
9
a10
例3.
1 a 的0 充 分0 必要条件是什么?
411
解: a 1 0 1 a 0 a2 1 411
a21>0 当且仅当|a|>1
10
§1.2 n阶行列式
11
(一)排列与逆序 由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称为一个n级排列. 例如, 1234及2341都是4级排列, 25413是 一个5级排列.
12
定义 1.1 在一个n级排列i1i2…in中, 如果 有较大的数it排在较小的数is前面(is<it), 则称it与is构成一个逆序. 一个n级排列中 逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为
N(i1i2…in) 如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇 数则称为奇排列, 是偶数或0则称为偶排 列.
24
(2) 每一项的符号是, 当这一项中元素的 行标按自然数顺序排列后, 如果对应的列 标构成的排列是偶排列则取正号, 是奇排 列则取负号. 如在上述二阶行列式中, 当 N(j1j2)为偶数时取正号, 为奇数时取负号; 在上述三阶行列式中, 当N(j1j2j3)为偶数 时取正号, 为奇数时取负号.
13
例如, 排列23154中, 2在1前面, 3在1前面, 5在4 前面, 共有3个逆序, 即
N(23154)=3, 所以23154为奇排列. 排列12…n的逆序数是零, 是偶排列. 例如, 由1,2,3这3个数码组成的3个数码组成的 3级排列共有3!=6种. 其排列情况可列成表.
14
表1-1
排列 123 132 213 231 312 321
22
(1) 二阶行列式表示所有不同的行不同的 列的两个元素乘积的代数和. 两个元素的 乘积可以表示为
a a 1 j1 2 j2 j1j2为2级排列, 当j1j2取遍了2级排列(12, 21) 时, 即得到二阶行列式的所有项(不包含符 号), 共为2!=2项.
23
三阶行列式表示所有位于不同的行不同 的列的3个元素乘积的代数和. 3个元素 的乘积可以表示为
6
画线法记忆
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
+ +
+
7
例1. 1 23 4 0 5 1 0 6 + 2 5 (1) + 3 4 0 1 0 6 1 5 0 2 4 6 3 0 (1) 10 48 58
8
例2. a,b满足什么条件时有
a b0
b a 0 0
21
(二) n阶行列式的定义 观察二阶行列式和三阶行列式:
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 + a12a23a31 a31 a32 a33 +a13a21a32 a11a23a32
a12a21a33 a13a22a31
34
定理1.3 n阶行列式D=|aij|的一般项可以记 为
(1) a a N (i1i2 in )+N ( j1 j2 jn ) i1 j1 i2 j2
ain jn
其中i1i2…in与j1j2…jn均为n级排列.
(1.4)
35
证: 由于i1i2…in与j1j2…jn都是n级排列, 因 此(1.4)式中的n个元素是取自D的不同的 行不同的列. 如果交换(1.4)式中的两个元素
38
例3 用行列式定义计算行列式
0101 1010 0100 0011
解: 因第1列和第3行都只有一个元素不为0, 为寻找不为0的项, 划去相应元素的行和列, 则第3列取第4行, 第4列只能取第1行, N(4123)=3, 因此行列式取值1.
39
作业: 习题一(A), 从35页开始 第1，2，8，9题 从第二周开始交作业 每周一交作业, 其它时间不收作业, 作业最好写在分2
nkn
(1)N (k1k2
a a kn ) 1k1 2k2
ankn
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例2. 若(1)N(i432k)+N(52j14)ai5a42a3ja21ak4是五 阶行列式|aij|的一项, 则i,j,k应为何值? 此 时该项的符号是什么? 解: 由行列式定义, 每一项中的元素取自 不同行不同列, 故有j=3, 且有i=1时k=5, 或 i=5时k=1. 因此当i=1,j=3,k=5时, a15a42a33a21a54为 |aij|的一项. 当i=5, j=3, k=1时, a55a42a33a21a14也是|aij| 的一项.
16
定理1.1 任意一个排列经过一个对换后 奇偶性改变.
17
证: (1) 首先讨论对换相邻两个数码的情形, 设排列为 AijB 其中A,B表示除i,j以外的 其余数码, 经过 对换(i, j), 变为排列
AjiB 比较上面两个排列中的逆序, 显然, AB中 数码的次序没有改变,且i,j与A,B中数码次 序也没有改变, 仅改变了i与j的次序, 因此, 新排列仅比原排列增加或减少了一个逆 序, 所以它们的奇偶性相反.
27
一阶行列式|a|就是a. 行列式有时简记为|aij|. 由定理1.2可知: n阶行列式共有n!项, 且 冠以正号的项和冠以负号的项(不算元素 本身所带的负号)各占一半.
28
例如, 四阶行列式
a11 a12 a13 a14 D a21 a22 a23 a24
a31 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 所表示的代数和中有4!=24项. 例如, a11a22a33a44项取正号, a14a23a31a42项取 负号, a11a24a33a44不是D的一项.
29
例1. 计算n阶行列式
a11 0 0
0
a21 a22 0
0
D a31 a32 a33
0
an1 an2 an3
ann
的值, 其中aii0 (i=1,2,…,n).
30
解: D中各项中不为零的项只有 a11a22…ann, 其它项均为零, 由于 N(12…n)=0, 因此这一项取正号, 得
a11 0 0
逆序 无 32 21
21, 31 31, 32 21,31,32
逆序数 0 1 1 2 2 3
奇偶性 偶排列 奇排列 奇排列 偶排列 偶排列 奇排列
15
在一个排列i1…is…it…in中, 如果仅将它 的两个数码is与it对调, 其它数码不变, 得 到另一个排列, 这样的变换, 称为一个对 换, 记为 对换(is,it). 例如, 对排列21354施以 对换(1,4)后得到 排列24351.
第一章 行列式
§1.1 二阶,三阶行列式
1
(一) 二阶行列式
a11 a21
a12 a22
a11a22 a12a21
a11
a12
a21
a22
+
2
例1. 5 1 5 2 (1) 3 13 32
3
例2. 设
2
D
31
问: (1) 当为何值时D=0
(2) 当为何值时D0
4
解:
2
D
2 3
18
(2) 在一般情形, 设原排列为
Aik1k2…ks jB 经过对换(i, j)变为新排列
Ajk1k2…ks iB 由原排列中将数码i依次与k1,k2,…,ks,j作 s+1次相邻对换, 变为
Ak1k2…ks jiB 再将j依次与ks,…,k2,k1作s次相邻对换得 到新排列, 即新排列可由原排列经过2s+1 次相邻对换得到, 改变了奇数次奇偶性, 因此与原排列的奇偶性相反.
19
定理1.2 n个数码(n>1)共有n!个n级排列, 其中奇偶排列各占一半.
20
证: n级排列的总数为n•(n1)•…•2•1=n!, 设其中奇排列为p个, 偶排列为q个. 设想将每一个奇排列都施以同一的对换, 例如都对换(1,2), 则由定理1.1可知p个奇 排列全部变为偶排列, 于是有pq; 同理如 将全部偶排列也都施以同一对换, 则q个 偶排列全部变为奇排列, 于是又有qp, 所 以得出p=q, 即奇偶排列数相等, 各为n!/2 个. 用三级排列验证, 见表1-1, 奇偶排列各三 个
0
a21 a22 0
0
D a31 a32 a33
0 a11a22a33 ann
an1 an2 an3
ann
称这种形式的行列式为下三角行列式.
31
同理可得上三角行列式
a11 a12 a13 0 a22 a23 D 0 0 a33
a1n a2n a3n a11a22a33 ann
000
ann
其中aii0 (i=1,2,…,n).
a 和a , is js
it jt
则其行标排列由i1…is…it…in换为 i1…it…is…in, 逆序数奇偶性改变, 列标排列 由j1…js…jt…jn换为j1…jt…js…jn,逆序数奇 偶性也改变. 则对换后两下标排列逆序数 之和的奇偶性则不改变.
36
即有
(1)N (i1 is it in )+ N ( j1 js jt jn )
根据这个规律, 可给出n阶行列式的定义.
25
定义1.2 用n2个元素aij(i,j=1,2,…,n)组成的
记号 a11 a12
a1n
a21 a22
a2n
an1 an2
ann
称为n阶行列式, 其中横排称为行, 纵排称为 列. 它表示所有可能取自不同的行不同的列 的n个元素乘积的代数和, 各项符号是: (接 后)
(1)N (i1 it is in )+ N ( j1 jt js jn )
所以交换(1.4)式中元素的位置, 其符号不改 变. 这样我们总可以经过有限次交换(1.4)式 中元素的位置, 使其行标i1i2…in换为自然数 顺序排列, 设此时列标排列变为k1k2…kn, 则 (1.4)式变为
(1) a a a N (12 n)+N (k1k2 kn )
32
特殊情况:
a11 0 0 0 a22 0 D 0 0 a33
0 0 0 a11a22a33 ann
000
ann
其中aii0 (i=1,2,…,n).
这种行列式称为对角形行列式.
33
三角形行列式及对角形行列式的值, 均等 于主对角线上元素的乘积. 这一结论在以 后行列式计算中可直接应用. 由行列式的定义不难得出: 一个行列式若 有一行(或一列)中的元素皆为零, 则此行 列式必为零.
40
31
23=0, 则=0, =3.
因此可得
(1) 当=0或=3时D=0, (2) 当0且3时D0.
5
(二) 三阶行列式 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a11a22a33 + a12a23a31 a31 a32 a33 +a13a21a32 a11a23a32 a12a21a33 a13a22a31
26
当这一项中元素的行标按自然数顺序排列 后, 如果对应的列标构成的排列是偶排列则 取正号, 是奇排列则取负号. 因此, n阶行列 式所表示的代数和中的一般项可以写为:
(1) a a a N ( j1 j2 jn )
1 j1 2 j2
njn
(1.3)
其中j1j2…jn构成一个n级排列, 当取遍所有n 级排列时, 则得到n阶行列式表示的代数和 中所有的项.
1 01
解:
a b0
b a 0 a2 + b2
1 01
若要a2+b2=0, 必须a=0且b=0.
9
a10
例3.
1 a 的0 充 分0 必要条件是什么?
411
解: a 1 0 1 a 0 a2 1 411
a21>0 当且仅当|a|>1
10
§1.2 n阶行列式
11
(一)排列与逆序 由n个不同数码1,2,…,n 组成的有序数组 i1i2…in, 称为一个n级排列. 例如, 1234及2341都是4级排列, 25413是 一个5级排列.
12
定义 1.1 在一个n级排列i1i2…in中, 如果 有较大的数it排在较小的数is前面(is<it), 则称it与is构成一个逆序. 一个n级排列中 逆序的总数, 称为它的逆序数, 记为
N(i1i2…in) 如果排列i1i2…in的逆序数N(i1i2…in)是奇 数则称为奇排列, 是偶数或0则称为偶排 列.