2021-2022学年度沪科版八年级数学下册第18章 勾股定理必考点解析试题(含答案解析)

八年级数学下册第18章勾股定理必考点解析
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、在棱长为1的正方体中，顶点A，B的位置如图所示，则A、B两点间的距离为（）
A．1 B C D
2、如图，四边形ABCD是边长为9的正方形纸片，将其沿MN折叠，使点B落在CD边上的点B'处，
B C'=，则AM的长为（）
点A的对应点为点A'，3
A．1.8 B．2 C．2.3 D
3、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）
A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．a：b：c＝3：4：5
C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c2
4、如图，将长方形纸片ABCD沿AE折叠，使点D恰好落在BC边上点F处，若AB＝3，AD＝5，则EC 的长为（）
A．1 B．5
3
C．
3
2
D．
4
3
5、下列各组数据中，能构成直角三角形的三边的长的一组是（）
A．1，2，3 B．4，5，6 C．5，12，13 D．13，14，15
6、如图，以数轴的单位长度为边作正方形，以数轴上的原点O为圆心，正方形的对角线的长为半径作弧与数轴交于一点A，则点A表示的数为（）
A．1 B C D．2
7、如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（）
A ．4
B ．5
C ．6
D ．7
8、下列事件中，属于必然事件的是（ ）
A ．13人中至少有2个人生日在同月
B ．任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上
C ．从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A
D ．以长度分别是3cm ，4cm ，6cm 的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形
9、下列四组数中，是勾股数的是（ ）
A ．5，12，13
B ．23，24，25
C ．1
D ．7，24，26
10、如图，在ABC 中，90ABC ∠=︒，BD AC ⊥，垂足为D ．如果6AC =，3BC =，则BD 的长为（ ）
A ．2
B ．32
C ．
D 第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝1，以AB为边做等腰直角三角形ABD，点D、C在直线AB 两旁，则线段CD长是______．
2、如图，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，E是BC中点，点F是线段AB上一个动点．
（1）连接DF，则DF+EF的最小值为 _____；
（2）以EF为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG，点F从点B运动到点A的过程中，AG的最小值为
_____．
3、在一个长11cm，宽5cm的长方形纸片上，如图放置一根正三棱柱的木块，它的侧棱平行且大于纸片的宽AD，它的底面边长为1cm的等边三角形，一只蚂蚁从点A处到点C处的最短路程是
________cm．
4、如图，直线l：y＝﹣4
3
x，点A1坐标为（﹣3，0）．经过A1作x轴的垂线交直线l于点B1，以原点
O为圆心，OB1长为半径画弧交x轴负半轴于点A2，再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O 为圆心，OB2长为半径画弧交x轴负半轴于点A3，…，按此做法进行下去，点A2021的坐标为_____．
5、往直径为26cm的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为8cm，则水面AB的宽度为___cm．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，在ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．
（1）求ABD的面积．
（2）求BC的长（结果保留根号）．
2、如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，A、B、C三点都在格点上（网格线的交点叫做格点），现将△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到△A1B1C1
（1）在图中画出△A1B1C1，点C1的坐标是；
（2）如果将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是．
3、若实数b的立方根为2，且实数a，b，c2
+-+=．
(4)8
b a c
（1）求23a b c -+的值；
（2）若a ，b ，c 是△ABC 的三边，试判断三角形的形状．
4、如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，点E 是线段AD 上的点，且AD BD =，DE DC =．
（1）求证：EBD CAD ∠=∠；
（2）若13AC =，5DE =，求BD 的长．
5、如图1，ABC ∆中，CD AB ⊥于D ，且::2:3:4BD AD CD =；
（1）试说明ABC ∆是等腰三角形；
（2）已知Δ40ABC S =cm 2，如图2，动点M 从点B 出发以每秒1cm 的速度沿线段BA 向点A 运动，同时动点N 从点A 出发以相同速度沿线段AC 向点C 运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M 运动的时间为t (秒)．
①若DMN ∆的边与BC 平行，求t 的值；
②在点N 运动的过程中，ADN ∆能否成为等腰三角形?若能，求出t 的值；若不能，请说明理由．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【分析】
根据Rt△ABC和勾股定理可得出AB两点间的距离．
【详解】
解：在Rt△ABC中，AC＝1，BC
=
可得：AB=，
故选：C．
【点睛】
本题考查了勾股定理，得出正方体上A、B两点间的距离为直角三角形的斜边是解题关键．
2、B
【分析】
连接BM，MB′，由于CB′=3，则DB′=6，在Rt△ABM和Rt△MDB′中由勾股定理求得AM的值．【详解】
解：连接BM，MB′，
设AM=x，
在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，
在Rt△MDB′中，B′M2=MD2+DB′2，
∵折叠，
∴MB=MB′，
∴AB2+AM2= MD2+DB′2，
即92+x2=(9-x)2+(9-3)2，
解得x=2，
即AM=2，
故选：B．
【点睛】
本题考查了翻折的性质，对应边相等，利用了勾股定理建立方程求解．
3、A
【分析】
根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】
解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，
∴∠C＝180°×13
25
＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；
B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；
C、∵∠A﹣∠B＝∠C，
∴∠A＝∠B+∠C，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝90°，
∴是直角三角形，故此选项不合题意；
D、∵b2＝a2﹣c2，
∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；
故选：A．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．
4、D
【分析】
由翻折可知：AD＝AF＝5．DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．在Rt△ECF中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC＝5，AB＝CD＝3，
∴∠B＝∠BCD＝90°，
由翻折可知：AD＝AF＝5，DE＝EF，设EC＝x，则DE＝EF＝3−x．
在Rt△ABF中，BF4，
∴CF＝BC−BF＝5−4＝1，
在Rt△EFC中，EF2＝CE2＋CF2，∴（3−x）2＝x2＋12，
∴x＝4
3
，
∴EC＝4
3
．
故选：D．
【点睛】
本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握方程的思想方法是解题的关键．5、C
【分析】
先计算两条小的边的平方和，再计算最长边的平方，根据勾股定理的逆定理判断解题．【详解】
解：A.222
1+23
≠，不是直角三角形，故A不符合题意；
B. 222
4+56
≠，不是直角三角形，故B不符合题意；
C. 222
5+12=13，是直角三角形，故C不符合题意；
D. 222
13+1415
≠，不是直角三角形，故D不符合题意，
故选：C．
【点睛】
本题考查勾股定理的逆定理，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
6、B
【分析】
先根据勾股定理求出正方形对角线的长，然后根据实数与数轴的关系解答即可．
【详解】
解：由勾股定理得：
==
OA OB
∵O点表示的原点，
∴点A
故选B．
【点睛】
本题考查了勾股定理，以及实数与数轴，主要是数轴上无理数的作法，需熟练掌握．
7、C
【分析】
根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．
【详解】
解：∵由勾股定理得：AC2+BC2=AB2，
∴S3+S2=S1，
∵S1+S2+S3=12，
∴2S1=12，
∴S1=6，
故选：C．
【点睛】
题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．
8、A
【分析】
根据确定事件和随机事件的定义来区分判断即可，必然事件和不可能事件统称确定性事件；必然事件：在一定条件下，一定会发生的事件称为必然事件；不可能事件：在一定条件下，一定不会发生的事件称为不可能事件；随机事件：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．
【详解】
解：A. 13人中至少有2个人生日在同月，是必然事件，故该选项符合题意；
B. 任意掷一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上，是随机事件，故该选项不符合题意；
C. 从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到的是红桃A ，是随机事件，故该选项不符合题意；
D. 因为2222223425,636,346+==+≠，则以长度分别是3cm ，4cm ，6cm 的线段为三角形三边，能构成一个直角三角形，是不可能事件，故该选项不符合题意；
故选A
【点睛】
本题考查了确定事件和随机事件的定义，熟悉定义是解题的关键．
9、A
【分析】
根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足222+=a b c ，称为勾股数．由此判定即可．
【详解】
解：A 、22251213+=，是勾股数，符合题意；
B 、222222(3)(4)(5)+≠，不是勾股数，不符合题意；
C
D 、22272426+≠，不是勾股数，不符合题意．
故选：A ．
【点睛】
本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．
10、D
【分析】
先根据勾股定理求出AB ，再利用三角形面积求出BD 即可．
【详解】
解：∵90ABC ∠=︒，6AC =，3BC =，
∴根据勾股定理AB ==，
∵BD AC ⊥，
∴S △ABC =1
122AB BC AC BD ⋅=⋅，即113622
BD ⨯=⨯⋅，
解得：BD =
故选择D ．
【点睛】 本题考查直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式，掌握直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积等积式是解题关键．
二、填空题
1、5或【详解】
分情况讨论：当∠DAB ＝90°时，当∠DBA ＝90°时，当∠ADB ＝90°时，分别画出图形再利用三角形
全等和勾股定理可得答案．
【分析】
解：①如图，当∠DAB ＝90°时，过点D 作DE ⊥AC ，交CA 的延长线与点E ，
∵∠ACB ＝∠DAB ＝90°，
∴∠BAC +∠ABC ＝∠BAC +∠DAE ＝90°，
∴∠ABC ＝∠DAE ，
在△ABC 和△DAE 中，ABC DAE ACB DEA AB AD ∠=∠⎧⎪∠-∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DAE （AAS ），
∴AE ＝BC ＝1，DE ＝AC ＝3，
∴CE ＝3+1＝4，
∴DC
5；
②如图，当∠DBA ＝90°时，过点D 作DF ⊥BC ，交CB 的延长线与点F ，
∵∠ACB ＝∠DBA ＝90°，
∴∠BAC +∠ABC ＝∠ABC +∠DBF ＝90°，
∴∠BAC ＝∠DBF ，
在△DBF 和△ABC 中，
DFB BCA DBF BAC DB AB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△DBF ≌△ABC （AAS ），
∴DF ＝BC ＝1，BF ＝AC ＝3，
∴CF ＝3+1＝4，
∴DC
24+
；
③如图，当∠ADB ＝90°时，过点D 作MN ∥AC ，分别过C 、A 作CM ⊥MN 于M ，作AN ⊥MN 于N ，
∵∠M ＝∠ADB ＝∠ACB ＝90°，
∴四边形ACMN 是矩形，
∴∠BDM +∠NDA ＝∠BDM +∠MBD ＝90°，
∴∠NDA ＝∠MBD ，
在△BDM 和△DAN 中，MBD NDA W N BD DA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△BDM ≌△DAN （AAS ），
∴MD ＝NA ，DN ＝BM ，
设DN ＝BM ＝x ，
∴MD ＝3﹣x ，AN ＝MC ＝x +1，
∴3﹣x ＝x +1，解得x ＝1，
∴MB ＝1，MD ＝2，
∴CD
综上，CD ＝5
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，正确画出图形是解题关键，注意要分情况讨论．
2、【分析】
（1）作点E 关于AB 的对称点E ′，连接DE ′于AB 交于F （图中F ′），则DE +DF 最小值是DE ′的长，进而勾股定理求解即可
（2）以EF 为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG ，过点G 分别作,AB CD 的垂线，垂直分别为,M N ，CD 上取1DP =，连接PB ，则2PC BC ==，证明GFM GEN ≌即可得G 点在线段PB 上当AG PB ⊥时AG 取得最小值，进而勾股定理即可求得AG 的长
【详解】
解：（1）如图1，
作点E 关于AB 的对称点E ′，连接DE ′于AB 交于F （图中F ′），则DE +DF 最小值是DE ′的长， 在Rt△CDE ′中，CD ＝3，CE ′＝3，
∴DE ，
故答案是：
（2）如图，以EF 为斜边向斜上方作等腰Rt△EFG ，过点G 分别作,AB CD 的垂线，垂直分别为,M N ，CD 上取1DP =，连接PB ，则2PC BC ==
90C ∠=︒
PCB ∴△是等腰直角三角形
45PBC ∴∠=︒
90CBA ∠=︒
45PBA ∴∠=︒
90,45ABC CBP ABP ∠=︒∠=∠=︒
PB ∴是ABC ∠的角平分线 GFE 是等腰直角三角
GF GE ∴=，90FGE ∠=︒
,,GN NB GM MB NB MB ⊥⊥⊥
GM GN ∴⊥
90MGN ∴∠=︒
FGM MGE MGE EGN ∴∠+∠=∠+∠
FGM EGN ∴∠=∠
又90GMF GNE ∠=∠=︒
GFM GEN ∴≌
GM GN ∴=
∴G 点在线段PB 上
∴当AG PB ⊥时AG 取得最小值
45PBA ∠=︒
ABG ∴是等腰直角三角形
AG GB ∴=
222AG GB AB +=
∴AG AB =
【点睛】 本题考查了勾股定理，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，正确的添加辅助线是解题的关键． 3、13
【分析】
将木块展开看作平面后，由两点之间线段最短知蚂蚁的最短距离为线段AC ，由勾股定理计算即可．
【详解】
将长方形纸片与木块展开后如图所示
由两点之间线段最短可知蚂蚁的最短距离为线段AC
此时AB长度为11-1+2=12
由勾股定理有AC
即
13
AC=
故答案为：13．
【点睛】
本题考查了图形的展开以及勾股定理，将正三棱柱的木块展开看作平面是解题的关键．
4、（﹣
2020
2019
5
3
，0）
【分析】
先根据一次函数解析式求出B1点的坐标，再根据B1点的坐标求出OA2的长，用同样的方法得出OA3，OA4的长，以此类推，总结规律便可求出点A2021的坐标．
【详解】
解：∵点A1坐标为（﹣3，0），
∴OA1＝3，
在y＝﹣4
3
x中，当x＝﹣3时，y＝4，即B1点的坐标为（﹣3，4），
∴由勾股定理可得OB1＝5，即OA2＝5＝3×5
3
，
同理可得，
OB2＝25
3
，即OA3＝
25
3
＝5×（
5
3
）1，
OB3＝125
9
，即OA4＝
125
9
＝5×（
5
3
）2，
以此类推，
OA n＝5×（5
3
）n﹣2＝
-1
2
5
3
n
n-
，
即点A n坐标为（﹣
-1
2
5
3
n
n-
，0），
当n＝2021时，点A2021坐标为（﹣
2020
2019
5
3
，0），
故答案为：（﹣
2020
2019
5
3
，0）．
【点睛】
本题考查一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理等知识，是重要考点，难度一般，解题注意，直线
上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝﹣4
3
x．
5、24
【分析】
连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D，再根据勾股定理求出AC的长，进而可得出AB的长．
【详解】
解：连接OA，过点O作OD⊥AB交AB于点C交⊙O于D．
∵OC⊥AB，
∴AC＝CB，
∵OA＝OD＝13cm，CD＝8cm，
∴OC＝OD﹣CD＝5（cm），
∴12(cm)
AC==，
∴AB＝2AC＝24（cm），
故答案为：24．
【点睛】
本题主要考查垂径定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．
三、解答题
1、
（1）6
（2）
【分析】
（1）先利用勾股定理的逆定理说明△ABD是直角三角形，再根据三角形面积公式列式计算即可；（2）先利用勾股定理求出DC，然后根据BC＝BD+DC求解即可．
（1）
解：∵在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，∴BD2+AD2＝AB2，
∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，
∴S△ABD＝1
2AD•BD＝1
2
×4×3＝6；
（2）
解：∵∠ADB＝90°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，
∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，
∴DC＝
∴BC＝BD+DC＝
【点睛】
本题主要考查了勾股定理的逆定理和运用勾股定理解直角三角形，运用勾股定理判定△ABD为直角三角形是解答本题的关键．
2、（1）△A1B1C1为所求，图形见详解；（5，3）；（2）5．
【分析】
（1）先求出点A（-3，2），点B（-2，-2），点C（2，-1），根据点平移的特征上加下减，右加左减原则可得A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），利用描点A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），连接A1B1、B1C1、C1 A1，则△A1B1C1为所求；
（2）根据勾股定理求出AA1的长即可．
【详解】
解：（1）根据图形位置点A（-3，2），点B（-2，-2），点C（2，-1），
△ABC先向上平移4个单位长度，再向右平移3个单位长度就得到△A1B1C1，
根据点平移的特征上加下减，右加左减原则可得：
A1（-3+3，2+4）即（0，6），点B1（-2+3，-2+4）即（1，2），点C1（2+3，-1+4）即（5，3），
在平面直角坐标系中描点A1（0，6），点B1（1，2），点C1（5，3），
顺次连结A1B1、B1C1、C1 A1，则△A1B1C1为所求；
故答案为：（5，3）；
（2）根据勾股定理AA1，
将△A1B1C1看成由△ABC经过一次平移得到的，那么一次平移的距离是5，
故答案为5．
【点睛】
本题考查平移作图，勾股定理，掌握平移作图方法是先求点坐标，在根据平移的方向与距离平移到指定位置，连线成图，和勾股定理应用是解题关键．
3、（1）232
-+=-；（2）△ABC是直角三角形．
a b c
【分析】
（1）先根据立方根的定义求出b 的值，然后根据非负数的性质求出a 、c 的值，最后代值计算即可；
（2）根据（1）所求，利用勾股定理的逆定理求解即可．
【详解】
解：（1）∵实数b 的立方根是2，
∴b ＝8，
2(4)8b a c +-+=，
28(4)8a c +-+=，
2(4)0a c -+=，
0≥，2(4)0a c -+≥，
∴6040a a c -=⎧⎨-+=⎩
， ∴a ＝6，c ＝10，
∴232638102a b c -+=⨯-⨯+=-；
（2）∵a 2+b 2＝36+64＝100，c 2＝100，
∴a 2+b 2＝c 2．
∴△ABC 是直角三角形．
【点睛】
本题主要考查了立方根，非负数的性质，代数式求值，勾股定理的逆定理，熟知相关知识是解题的关键．
4、
（1）见解析
（2）BD =12．
【分析】
（1）利用SAS 即可证明△BDE ≌△ADC ，由全等三角形的性质可证明∠EBD =∠CAD ；
（2）利用勾股定理易求AD 的长，再由DE =DC ，即可求出BD 的长．
（1）
证明：∵AD ⊥BC ，
∴∠BDE =∠ADC =90°．
∵AD =BD ，DE =DC ，
∴在△BDE 和△ADC 中
90BD AD BDE ADC DE DC =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩
， ∴△BDE ≌△ADC ，
∴∠EBD =∠CAD ；
（2）
解：∵∠ADC =90°，AC =13，DE =5即DC =5，
∴AD
，
∵△BDE ≌△ADC ，
∴BD =AD =12．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，关键在于证明△BDE ≌△ADC ．
5、（1）证明见解析；
（2）①t值为5或6；②点N运动的时间为6s，36
5
s，或5s时，ΔADN为等腰三角形.
【分析】
（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，由勾股定理求出AC，即可得出结论；
（2）①由△ABC的面积求出BD、AD、CD、AC；再分当MN∥BC时，AM＝AN和当DN∥BC时，AD＝AN两种情况得出方程，解方程即可；②分三种情况：AD=AN；DA=DN；和ND=NA，三种情况讨论即可
【详解】
解：（1）设BD＝2x，AD＝3x，CD＝4x，则AB＝5x，
在Rt△ACD中，AC5x，
∴AB＝AC，
∴△ABC是等腰三角形；
（2）①S△ABC＝1
2
×5x×4x＝40cm2，而x＞0，
∴x＝2cm，
则BD＝4cm，AD＝6cm，CD＝8cm，AC＝10cm．
当MN∥BC时，AM＝AN，即10−t＝t，此时t＝5，
当DN∥BC时，AD＝AN，此时t＝6，
综上所述，若△DMN的边与BC平行时，t值为5或6；
②ΔADN能成为等腰三角形，
分三种情况：
（ⅰ）若AD=AN=6，如图：
则t =6
1=6s ；
（ⅱ）若DA =DN ，如图：
过点D 作DH AC ⊥于点H ，则AH =NH ， 由1122ACD S AD CD AC DH =⋅=⋅，得11681022
DH ⨯⨯=⨯⨯， 解得245
DH =，
在Rt ADH 中，185AH ===， 3625AN AH ∴==
， 3615
AN t s ∴==； （ⅲ）若ND =NA ，如图：
过点N 作NQ AB ⊥于点Q ，则AQ =DQ =3，142
NQ CD ==，
5AN ∴==，
51
AN t s ∴==； 综上，点N 运动的时间为6s ，
365s ，或5s 时，ΔADN 为等腰三角形. 【点睛】
此题主要考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形的面积公式，勾股定理，解本题的关键是熟练掌握方程的思想方法和分类讨论思想．。