人教版A数学选修2-1：第三章3.1.5知能演练轻松闯关

⼈教版A数学选修2-1：第三章3.1.5知能演练轻松闯关
1.已知a ＝(1，1，0)，b ＝(0，1，1)，c ＝(1，0，1)，p ＝a －b ，q ＝a ＋2b －c ，则p ·q ＝( ) A ．－1 B ．1 C ．0
D ．－2
解析：选A.p ＝a －b ＝(1，0，－1)，q ＝a ＋2b －c ＝(0，3，1)，
∴p ·q ＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1，故选A.
2.已知A 点的坐标是(－1，－2，6)，B 点的坐标是(1，2，－6)，O 为坐标原点，则向量OA →与OB →
的夹⾓是( ) A ．0 B.π2 C ．π
D.
3π
2解析：选C.法⼀：cos 〈OA →，OB →
〉＝OA →·OB →|OA →||OB →|
＝－1－4－36
1＋4＋361＋4＋36＝－1.
∴〈OA →，OB →
〉＝π.
法⼆：注意到A 、B 关于原点对称，故OA →，OB →
为相反向量，所以夹⾓为π.
3.已知△ABC 的三个顶点为A (3，3，2)、B (4，－3，7)、C (0，5，1)，M 为BC 的中点，则|AM →
|＝________．
解析：M (2，1，4)，∴AM →
＝(－1，－2，2)．∴|AM →
|＝1＋4＋4＝3.
答案：3
4.已知空间三个向量a ＝(1，－2，z )，b ＝(x ，2，－4)，c ＝(－1，y ，3)，若它们分别两两垂直，则x ＝________，y ＝________，z ＝________．解析：∵a ⊥b ，∴x －4－4z ＝0. ∵a ⊥c ，
∴－1＋(－2)y ＋3z ＝0.
∵b ⊥c ，
∴－x ＋2y －12＝0，
∴x ＝－64，y ＝－26，z ＝－17. 答案：－64 －26 －17
[A 级基础达标]
1.已知a ＋b ＝(2，2，23)，a －b ＝(0，2，0)，则cos 〈a ，b 〉＝( ) A.13 B.16
C.
63 D.66
解析：选C.由已知得a ＝(1，2，3)，b ＝(1，0，3)，
∴cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝1＋0＋36×4＝6
3
.
2.已知a ＝(1，0，1)，b ＝(－2，－1，1)，c ＝(3，1，0)，则|a －b ＋2c |等于( )
A ．310
B ．210
C.10 D ．5
解析：选A.∵a －b ＋2c ＝(1，0，1)－(－2，－1，1)＋(6，2，0)＝(3，1，0)＋(6，2，0)＝(9，3，0)，
∴|a －b ＋2c |＝310.
3.已知a ＝(1，2，－y )，b ＝(x ，1，2)，且(a ＋2b )∥(2a －b )，则( ) A ．x ＝1
3，y ＝1
B ．x ＝1
2y ＝－4
C ．x ＝2，y ＝－1
4
D ．x ＝1，y ＝－1
解析：选B.a ＋2b ＝(2x ＋1，4，4－y )， 2a －b ＝(2－x ，3，－2y －2)，
∵(a ＋2b )∥(2a －b )，∴存在λ，使a ＋2b ＝λ(2a －b )，∴2x ＋1＝λ（2－x ），4＝3λ，4－y ＝（－2y －2）λ，∴? x ＝12，y ＝－4.
4.已知a ＝(2，－1，3)，b ＝(－4，2，x )，c ＝(1，－x ，2)，若(a ＋b )⊥c ，则x ＝__________．
解析：∵a ＋b ＝(－2，1，x ＋3)，∴(a ＋b )·c ＝－2－x ＋2(x ＋3)＝x ＋4. ⼜∵(a ＋b )⊥c ，
∴x ＋4＝0，即x ＝－4.
答案：－4
5.已知向量a ＝(2，－1，3)，b ＝(－1，4，－2)，c ＝(7，0，λ)，若a 、b 、c 三个向量共⾯，则实数λ＝__________．解析：由a 、b 、c 共⾯可得c ＝xa ＋yb ，
∴
7＝2x －y ，0＝－x ＋4y ，λ＝3x －2y ，解得λ＝10. 答案：10
6.已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)．求： (1)|b |；(2)(2a ＋3b )·(a －2b )．解：(1)|b |＝b 2
＝62
＋（－3）2
＋22
＝7；
(2)∵|a |＝a 2＝42＋（－2）2＋（－4）2
＝6， a ·b ＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22，∴(2a ＋3b )·(a －2b )＝2a 2
＋3a ·b －4a·b －6b 2
＝2×62
－22－6×72
＝－244.
[B 级能⼒提升]
7.已知a ＝(x ，2，0)，b ＝(3，2－x ，x )，且a 与b 的夹⾓为钝⾓，则x 的取值范围是( ) A ．x <－4 B ．－44
解析：选A.∵a 、b 的夹⾓为钝⾓，∴a ·b <0. 即3x ＋2(2－x )＋0·x ＝4＋x <0，∴x <－4.
⼜当夹⾓为π时，存在λ<0，使b ＝λa ，
∴
3＝λx ，2－x ＝2λ，x ＝0，
此⽅程组⽆解，故选A. 8.已知OA →＝(1，2，3)，OB →＝(2，1，2)，OP →＝(1，1，2)，点Q 在直线OP 上运动，则当QA →·QB →取得最⼩值时，点Q 的坐标为( ) A.12，34，13 B.
12，23，34 C.
43，43，83 D.
43，43，73 解析：选C.设OQ →＝λ OP →
，
则QA →＝OA →－OQ →＝OA →－λ OP →
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)， QB →＝OB →－OQ →＝OB →－λ OP →
＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，所以 QA →·QB →
＝(1－λ，2－λ，3－2λ)·(2－λ，1－λ，2－2λ)
＝2(3λ2
－8λ＋5)＝23λ－432
－13
. 所以，当λ＝43
时，QA →·QB →
最⼩，
此时OQ →＝43
OP →
＝43，43，83.
9.已知3a －2b ＝(－2，0，4)，c ＝(－2，1，2)，a ·c ＝2，|b |＝4，则cos 〈b ，c 〉＝__________．
解析：(3a －2b )·c ＝(－2，0，4)·(－2，1，2)＝12，即3a ·c －2b ·c ＝12. 由a ·c ＝2，得b ·c ＝－3. ⼜∵|c |＝3，|b |＝4，∴cos 〈b ，c 〉＝b ·c |b ||c |＝－1
4
答案：－1
4
10.(2012·深圳⾼⼆检测)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)． (1)求以向量AB →，AC →
为⼀组邻边的平⾏四边形的⾯积S ；
(2)若向量a 分别与向量AB →，AC →
垂直，且|a |＝3，求向量a 的坐标．
解：(1)∵AB →
＝(－2，－1，3)， AC →
＝(1，－3，2)，∴cos ∠BAC ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝1
2，
∴∠BAC ＝60°，
∴S ＝|AB →||AC →
|sin60°＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )，则a ⊥AB →
－2x －y ＋3z ＝0， a ⊥AC →
x －3y ＋2z ＝0，
|a |＝3?x 2＋y 2＋z 2＝3，
解得x ＝y ＝z ＝1或x ＝y ＝z ＝－1，
∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1)．
11.(创新题)如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底⾯ABC 中，CA ＝CB ＝1，∠BCA ＝90°，棱AA 1＝2，M 、N 分别是A 1B 1、A 1A 的中点． (1)求BN →
的模；
(2)求异⾯直线BA 1与CB 1所成⾓的余弦值； (3)求证：A 1B ⊥C 1M .
解：以C 为坐标原点，以CA →、CB →、CC 1→
的⽅向为x 轴、y 轴、z 轴的正⽅向，建⽴空间直⾓坐标系Cxyz ，如图．
(1)由题意得
N (1，0，1)，B (0，1，0)，∴|BN →
|＝12＋（－1）2＋12＝ 3.
(2)依题意得A 1(1，0，2)，B (0，1，0)，C (0，0，0)，B 1(0，1，2)，C 1(0，0，2)．∴BA 1→＝(1，－1，2)，CB 1→
＝(0，1，2)，∴BA 1→·CB 1→
＝3. |BA 1→|＝6，|CB 1→
|＝5，
∴cos 〈BA 1→，CB 1→
〉＝BA 1→·CB 1→|BA 1→||CB 1→|＝3010，
∴异⾯直线BA 1与CB 1所成⾓的余弦值为
3010
. (3)证明：∵M 12，12，2，∴C 1M →＝(12，12，0)，⼜∵A 1B →
＝(－1，1，－2)，
∴A 1B →·C 1M →
＝－1×12＋1×12＋(－2)×0＝0，∴A 1B →⊥C 1M →
，即A 1B ⊥C 1M .。