2021届安徽省池州市高三上学期1月期末考试数学试卷(理)(解析版)

安徽省池州市2021届高三上学期1月期末考试数学试卷（理）一、选择题：共12小题，每小题5分，满分60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合A＝{x|－1<x<2}，B＝{x|y＝ln(x2＋2x)}，则A∪B＝( )
A.{x|0<x<2}
B.{x|x<2}
C.{x|x<－2，或x>－1}
D.{x|x<－2，或x>2}
2.复数z＝
i
25i
在复平面内对应点在( )
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
3.安徽省统计局2020年11月20日发布了全省规模以上工业增加值同比增长速度(注：增加值增长速度均为扣除价格因素的实际增长率，同比是指在相邻时段内某一相同时间点进行比较)，如下折线统计图所示，则下列说法正确的是( )
A.2020年3月份到10月份，工业增加值同比有增加也有下降
B.2020年3月份到10月份，工业增加值同比增加速度最大的是8月
C.2020年10月工业增加值同比下降0.5%
D.2020年10月工业增加值同比增长8.5%
4.过抛物线E：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线与抛物线E交于M，N两点，MN的中点为Q，且Q到抛物线E的准线距离为4，则|MN|＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
5.已知向量a，b满足|a|＝3，|b|＝4，且a与b反向，则(a＋3b)·b＝( )
A.36
B.48
C.57
D.64
6.执行下图所示的程序框图，则输出的i的值为( )
A.5
B.6
C.4
D.3
7.已知a ＝40.4，b ＝0.25－0.5，c ＝log 0.250.4，则a ，b ，c 的大小关系为( )
A.a <b <c
B.a <c <b
C.c <a <b
D.c <b <a
8.
已知5sin 122πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭13cos 122πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭( )
A.
C.
9.已知F 1，F 2分别是双曲线E ：22
221x y a b
-=(a >0，b >0)的左右焦点，M 是E 上一点，且满足12|MF ||MF |
＝4，则E 的离心率的取值范围是( ) A.(1，5
3』 B.(1
，2
，53
』
，2』 10.已知函数f (x )定义域为R ，其导函数为f '(x )，且3f (x )－f '(x )>0在R 上恒成立，则下列不等式一定成立的是( )
A.f (1)<e 3f (0)
B.f (1)>e 3f (0)
C.f (1)<e 2f (0)
D.f (1)>e 2f (0)
11.已知函数g (x )＝3cos (ωx ＋φ)(ω>0)在(π，
76π)上具有单调性，且满足g (4
π)＝0，g (π)＝3，则ω的取值共有( )
A.6个
B.5个
C.4个
D.3个
12.已知正方形ABCD 的四个顶点恰好都在曲线f (x )＝x 3－3x 上，则正方形ABCD 的对角线的斜率的取值集合为( )
－1
－1}
B.{
1
2
，
1
2
＋1
＋1}
C.{
1
2
，
1
2
－1
－1}
＋1
－1}
二、填空题：共4小题，每小题5分，满分20分。

13.若x，y满足约束条件
y x
x0
x y20
≥
⎧
⎪
≥
⎨
⎪+-≤
⎩
，则z＝5x＋y的最大值为。

14.()4
4
12
1
x
x
-
展开式中常数项为。

(用数字作答)
15.已知四棱锥A－BCDE的底面BCDE是边长为2的正方形，DE⊥平面ABE，AE＝2，AC
＝
，则四棱锥A－BCDE的外接球的表面积为。

16.已知在锐角△ABC
，且
212
tan tan sin
A B A
+=，其内角A，B，C所对边
分别为a，b，c，则边c的最小值为。

三、解答题：满分70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(一)必考题：满分60分。

17.(12分)
已知各项均为正数的等差数列{a n}中，2a2，a6，a9成等比数列，且a3＝3。

(1)求数列{a n}的通项公式；
(2)若b n＝
()
()n n a1
n
2n1a
n a12+
+-
+⋅
，求数列{b n}的前n项和T n。

18.(12分)
已知正方体ABCD－A1B1C1D1，棱长为2，M为棱CD的中点，N为面对角线BC1的中点，如下图。

(1)求证：ND⊥AM；
(2)求平面AMD1与平面AA1C1C所成锐二面角的余弦值。

19.(12分)
2020年新冠疫情以来，医用口罩成为防疫的必需品。

根据国家质量监督检验标准，过滤率
是生产医用口罩的重要参考标准，对于直径小于5微米的颗粒的过滤率必须大于90%。

为了监控某条医用口罩生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取10个医用口罩，检测其过滤率，依据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的医用口罩的过滤率Z服从正态分布N(μ，σ2)。

假设生产状态正常，生产出的每个口罩彼此独立。

记X表示一天内抽取10个口罩中过滤半小于或等于μ－3σ的数量。

(1)求P(X≥1)的概率；
(2)求X的数学期望E(X)；
(3)一天内抽检的口罩中，如果出现了过滤率Z小于μ－3σ的口罩，就认为这条生产线在这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需要对当天的生产过程进行检查维修，试问这种监控生产过程的方法合理吗？
附：若随机变量Z～N(μ，σ2)，则P(μ－σ<Z≤μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<Z≤μ＋2σ)＝0.9544，P(μ－3σ<Z≤μ＋3σ)＝0.9974，0.998710≈0.9871。

20.(12分)
已知椭圆C：
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>的左顶点。

右焦点分别为A，F，点M(1，
3
2
)在椭圆C
上，且椭圆C离心率为1
2。

(1)求椭圆C的方程；
(2)过点F且斜率为k(k≠0)的直线l与椭圆C交于D，E两点，直线AD，AE斜率分别为k1，k2，证明：kk1＋kk2为定值。

21.(12分)
已知函数f(x)＝3x2＋msinx(x>0)，其中m为常数，且m≥－6。

(1)当m＝1时，求函数f(x)的单调区间；
(2)若函数g (x )＝f (x )－mxcosx 在区间(0，
32
π)上有且只有一个零点，求实数m 的取值范围。

(二)选考题：满分10分。

请考生从22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22.『选修4－4：坐标系与参数方程』(10分)
在直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)，以坐标原点O 为极点，
以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝
2263sin 2cos θθ+。

(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)已知点P (－1，0)，若直线l 与曲线C 相交于不同的两点A ，B ，求
11PA PB
-的值。

23.『选修4－5：不等式选讲』(10分)
已知函数f (x )＝3|x ＋1|＋|3x －2|。

(1)求不等式f(x)≤5的解集；
(2)若关于x的不等式f(x)>2a2－9a恒成立，求实数a的取值范围。