北京市海淀区2016届高三下学期期中练习数学(理)试题(解析版)

海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习
数学试卷（理科）2016.4
本试卷共4 页，150 分．考试时长120 分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上
作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1
．函数()
f x=
A．［0，＋∞）B．［1，＋∞
）C．（－∞，0］D．（－∞，1］
【知识点】函数的定义域与值域
【试题解析】要使函数有意义，需满足：即
所以函数的定义域为：．
故答案为：A
【答案】A
2．某程序的框图如图所示，若输入的z＝i（其中i为虚数单位），则输出的S 值为A．－1
B．1
C．－i
D．i
【知识点】算法和程序框图
【试题解析】由题知：n=9时，否，是，
则输出的值为。

故答案为：D
【答案】D
3．若x，y 满足
20
40
x y
x y
y
-+≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则
1
2
z x y
=+的最大值为
A．5
2
B．3
C．7
2
D．4
【知识点】线性规划【试题解析】作可行域：
由图知：当目标函数线过点C （1，3）时，目标函数值最大，为
故答案为：C 【答案】C
4．某三棱锥的三视图如图所示，则其体积为
A ．
3 B ．2
C D
【知识点】空间几何体的表面积与体积空间几何体的三视图与直观图
【试题解析】该三棱锥的底面是以2为底，以
为高的三角形，高为1，
所以
故答案为：A 【答案】A
5．已知数列{}n a 的前n 项和为S n ，则“ {}n a 为常数列”是“*,n n n N S na ∀∈=”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 【知识点】充分条件与必要条件 【试题解析】若为常数列，则； 反过来，若
，则
，即
为常数列。

所以“为常数列”是“，”的充分必要条件。

故答案为：C 【答案】C
6．在极坐标系中，圆C 1 :2cos ρθ=与圆C 2:2sin ρθ=相交于 A ，B 两点，则｜AB ｜＝
A ．1
B
C
D ． 2 【知识点】圆与圆的位置关系 【试题解析】化圆为标准方程，
两圆方程作差，得相交弦AB 所在直线方程为：
圆
的圆心为（1，0），半径为1．
所以圆心到直线AB 的距离为：
所以弦长的一半为：即弦长为：。

故答案为：B 【答案】B
7．已知函数sin(),0
()cos(),0x a x f x x b x +≤⎧=⎨+>⎩
是偶函数，则下列结论可能成立的是
A ．,44a b π
π
=
=-
B ．2,36a b ππ
=
=
C ．,36a b ππ==
D ．52,63
a b ππ
==
【知识点】函数的奇偶性分段函数，抽象函数与复合函数 【试题解析】因为函数为偶函数，所以
设
即
所以
故答案为：C
【答案】C
8．某生产基地有五台机器，现有五项工作待完成，每台机器完成每项工作后获得的效益值 如表所示．若每台机器只完成一项工作，且完成五项工作后获得的效益值总和最大，则 下列叙述正确的是
A ．甲只能承担第四项工作
B ．乙不能承担第二项工作
C ．丙可以不承担第三项工作
D ．丁可以承担第三项工作 【知识点】加法计数原理
【试题解析】由表知：五项工作获得效益值总和最大为17+23+14+11+15=80，但不能同时取得。

要使总和最大，甲可以承担第一或四项工作；丙只能承担第三项工作；丁则不可以承担第三项工作，所以丁承担第五项工作；乙若承担第二项工作，则甲承担第四项工作；戊承担第一项工作，此时效益值总和为17+23+14+11+13=78．
乙若不承担第二项工作，承担第一项，甲承担第二项工作，则戊承担第四项工作，此时效益值总和为17+22+14+11+15=79．
所以乙不能承担第二项工作。

故答案为：B 【答案】B
二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分．
9．已知向量(1,),(,9)a t b t ==，若a b ，则t ＝ _______． 【知识点】平面向量坐标运算 【试题解析】由题知：若，则
故答案为： 【答案】
10．在等比数列{}n a 中，a 2＝2，且13115
4
a a +=，则13a a +的值为_______． 【知识点】等比数列 【试题解析】在等比数列
中，
由 得：解得：或
所以
故答案为： 【答案】
11．在三个数
1
2
3
1
,2.log2
2
-
中，最小的数是_______．
【知识点】对数与对数函数指数与指数函数【试题解析】
故答案为：
【答案】
12．已知双曲线C：
22
22
1
x y
a b
-=的一条渐近线l 的倾斜角为
3
π
，且C 的一个焦点到l 的距离
C 的方程为_______．
【知识点】双曲线
【试题解析】由题知：所以，所以
因为双曲线的焦点到渐近线的距离为b，所以b=2，所以
所以的方程为：
故答案为： 2，
【答案】2，
13．如图，在三角形三条边上的6个不同的圆内分别填入数字1，2，3 中的一个．（ⅰ）当每条边上的三个数字之和为4 时，不同的填法有_______种；
（ⅱ）当同一条边上的三个数字都不同时，不同的填法有_______种．
【知识点】乘法计数原理加法计数原理
【试题解析】当每条边上的三个数字之和为4时，这三个数字为1，1，2． 最上面为2时，中间都是1，最下面为1，2，1，1种； 最上面为1时，左中为1时，最下面为2，1，1，1种； 左中为2时，右中可以是1，2两种； 所以共4种填法。

当同一条边上的三个数字都不同时，最上面有3种填法，左中有2种填法，其余都唯一， 所以共种填法。

故答案为： 【答案】 14．已知函数()f x ，对于实数t ，若存在a ＞0，b ＞0 ，满足：[,]x t a t b ∀∈-+，使得
|()()|f x f t -≤2，则记a ＋b 的最大值为H （t ）．
（ⅰ）当 ()f x ＝2x 时，H （0）＝ _______．
（ⅱ）当()f x 2
x =且t [1,2]∈时，函数H （t ）的值域为_______． 【知识点】函数综合 【试题解析】（i ） t=0．当
时，
，使得
，即
所以
（ii ）当且时，
当时，
由题得：
因为H （t ）在[1，单调递增，所以H （
当
时，
由题得：
因为H （t ）在（单调递减，所以H （
综上，H，的值域为
故答案为：
【答案】
三、解答题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．15．（本小题满分13 分）
如图，在△ABC 中，点D在边AB上，且
1
3
AD
DB
=．记∠ACD＝α，∠BCD＝β．
（Ⅰ）求证：
sin
3sin
AC
BC
β
α
=；
（Ⅱ）若,,
62AB
ππ
αβ
===BC 的长．
【知识点】余弦定理正弦定理
【试题解析】（Ⅰ）在中，由正弦定理，有在中，由正弦定理，有
因为，所以
因为，所以
（Ⅱ）因为，，
由（Ⅰ）得
设，由余弦定理，
代入，得到，解得，所以．
【答案】见解析
16．（本小题满分13 分）
2004 年世界卫生组织、联合国儿童基金会等机构将青蒿素作为一线抗疟药品推 广．2015 年12 月10 日，我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法 上的贡献获得诺贝尔医学奖．目前，国内青蒿人工种植发展迅速．
某农科所为了深入研究海拔因素对青蒿素产量的影响，在山上和山下的试验田中 分别种植了100 株青蒿进行对比试验．现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4 株青蒿作为样本，每株提取的青蒿素产量（单位：克）如下表所示：
（Ⅰ）根据样本数据，试估计山下试验田青蒿素的总产量；
（Ⅱ）记山上与山下两块试验田单株青蒿素产量的方差分别为21s ，2
2s ，根据样本数据， 试估计21s 与22s 的大小关系（只需写出结论）；
（Ⅲ）从样本中的山上与山下青蒿中各随机选取1 株，记这2 株的产量总和为ξ，求 随机变量ξ的分布列和数学期望．
【知识点】随机变量的期望与方差随机变量的分布列样本的数据特征
【试题解析】(I)由山下试验田4株青蒿样本青蒿素产量数据，得样本平均数
则山下试验田
株青蒿的青蒿素产量估算为
g
（Ⅱ）比较山上、山下单株青蒿素青蒿素产量方差和
，结果为．
（Ⅲ）依题意，随机变量可以取
，
，
，
，
随机变量的分布列为
随机变量的期望
【答案】见解析
17．（本小题满分14 分）
如图，在四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为正方形，点M ，N 分别为线段PB ，PC 上的点，MN ⊥PB ． （Ⅰ）求证： BC ⊥平面PAB ；
（Ⅱ）求证：当点M 不与点P ，B 重合时，M ，N ，D ， A 四个点在同一个平面内； （Ⅲ）当PA ＝AB ＝2，二面角C －AN －D 的大小为
3
时，求PN 的长．
【知识点】利用直线方向向量与平面法向量解决计算问题空间的角垂直 【试题解析】（Ⅰ）证明：在正方形中，， 因为平面，平面， 所以．
因为，且，平面， 所以平面 （Ⅱ）证明：因为平面，平面， 所以 在中，，， 所以． 在正方形
中，
， 所以
，
所以 可以确定一个平面，记为
所以四个点在同一个平面内 （Ⅲ）因为平面，平面， 所以，． 又，如图，以为原点，
所在直线为轴建立空间直角坐标系，
所以
．
设平面的一个法向量为，
平面的一个法向量为，
设，，
因为，所以，
又，所以，即，取，得到，
因为，
所以，即，
取得，到，
因为二面大小为，所以，所以
解得，所以
【答案】见解析
18．（本小题满分13 分）
已知函数f (x) ＝ln x＋1
x
－1，
1
()
ln
x
g x
x
-
=
（Ⅰ）求函数f (x)的最小值；
（Ⅱ）求函数g(x)的单调区间；
（Ⅲ）求证：直线y＝x不是曲线y ＝g(x)的切线。

【知识点】导数的综合运用利用导数求最值和极值利用导数研究函数的单调性【试题解析】（Ⅰ）函数的定义域为，
当变化时，，的变化情况如下表：
函数在上的极小值为，
所以的最小值为
（Ⅱ）解：函数的定义域为，
由（Ⅰ）得，，所以
所以的单调增区间是，无单调减区间．
（Ⅲ）证明：假设直线是曲线的切线．
设切点为，则，即
又，则．
所以，得，与矛盾
所以假设不成立，直线不是曲线的切线
【答案】见解析
19．（本小题满分14 分）
已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>，椭圆C 与y 轴交于A ， B 两点， 且｜AB ｜＝2．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设点P 是椭圆C 上的一个动点，且点P 在 y 轴的右侧．直线PA ，PB 与直线x ＝ 4 分别交于M ， N 两点．若以MN 为直径的圆与x 轴交于两点E ，
F ，求点P 横 坐标的取值范围及｜EF ｜的最大值．
【知识点】圆锥曲线综合椭圆
【试题解析】（Ⅰ）由题意可得，，
， 得， 解， 椭圆的标准方程为． （Ⅱ）设，，， 所以，直线的方程为， 同理：直线的方程为， 直线与直线的交点为， 直线与直线的交点为， 线段的中点， 所以圆的方程为，
令，则，
因为，所以 ， 所以， 因为这个圆与轴相交，该方程有两个不同的实数解，
所以 ，解得． 设交点坐标，则（） 所以该圆被轴截得的弦长为最大值为2．
【答案】见解析
20．（本小题满分13 分）
给定正整数n (n ≥3)，集合{}1,2,,n U n =⋅⋅⋅．若存在集合A ，B ，C ，同时满足下
列条件：
① U n ＝A ∪B ∪C ，且A ∩B ＝ B ∩C ＝A ∩C ＝∅；
②集合A 中的元素都为奇数，集合B 中的元素都为偶数，所有能被3 整除的数都在集 合C 中（集合C 中还可以包含其它数）；
③集合A ， B ，C 中各元素之和分别记为S A ， S B ，S C ，有S A ＝S B ＝S C ；
则称集合 U n 为可分集合．
（Ⅰ）已知U 8为可分集合，写出相应的一组满足条件的集合A ， B ，C ；
（Ⅱ）证明：若n 是3 的倍数，则U n 不是可分集合；
（Ⅲ）若U n 为可分集合且n 为奇数，求n 的最小值．
（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）
【知识点】数列综合应用
【试题解析】（I ）依照题意，可以取，， （II ）假设存在是的倍数且
是可分集合． 设，则依照题意，
故，
而这个数的和为，故， 矛盾，
所以是3的倍数时，一定不是可分集合
(Ⅲ)35．
因为所有元素和为，又中元素是偶数，所以=(为正整数)
所以，因为为连续整数，故这两个数一个为奇数，另一个为偶数
由（Ⅱ）知道，不是3的倍数，所以一定有是的倍数．
当为奇数时，为偶数，而，
所以一定有既是的倍数，又是的倍数，所以，
所以．
定义集合，即集合由集合中所有不是3的倍数的奇数组成，
定义集合，即集合由集合中所有不是3的倍数的偶数组成，
根据集合的性质知道，集合，
此时集合中的元素之和都是，而，
此时中所有的倍数的和为，
，
显然必须从集合中各取出一些元素，这些元素的和都是，
所以从集合中必须取偶数个元素放到集合中，所以，
所以，此时
而令集合，
集合，
集合，
检验可知，此时是可分集合，所以的最小值为．
【答案】见解析。