专题04 二项式定理及二项式系数性质

x
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12。
解法二： 3
x＋
1 x
4＝
3x＋1 x2
4
答
＝ 1 (81x4＋108x3＋54x2＋12x＋1) x2
案 ＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12。 与 (2)原式＝C05(x－1)5＋C15(x－1)4＋C25·(x－1)3＋C35(x－1)2＋C45(x－1)＋C55·(x－1)0－1
n－1＝1＋n－1＋C2n－1·12 2
2＋…＋
1 2
n－1>n＋1>0，所以 2
2 3 n－1<n＋2 1，即原不等式成立。
与
解
析
难点三：
【典例】用二项式定理证明：7777－1 能被 19 整除．
【解析】7777－1＝(76＋1)77－1
＝7677＋C177 ×7676＋C277 ×7675＋…＋C7767 ×76＋C7777 －1
n- 3 r
x 2.
(1)由展开式的第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2∶5，
可得 C1n ∶C2n ＝2∶5，解得 n＝6(n＝0 舍去).
答 6-3r
(2)由(1)知 Tr＋1＝(－1)r26－rCr6 x 2 ，所以展开式的第 3 项的系数为(－1)2×26－2C26 ＝240，
案 第 4 项的系数为(－1)3×26－3C36 ＝－160. 与 解 析
案 项的系数不为 0，故 A 正确，B 错误；
与 n3r 当－3r－n＋4k＝1，即 3r＋n＋2＝8k 时，当 r＝0，k＝1，n＝6 是其中一组解，由于 Crn 3r x 2 Cnk x4kn 的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，
答 ∴a1＋a3＋a5＋a7＝8 256. 案 (3)∵Tk＋1＝Ck7(3x)7－k(－1)k， 与 ∴|a0|＋|a1|＋…＋|a7|＝－a0＋a1－a2＋a3－…－a6＋a7＝47＝16 384. 解 析
考点六：
【典例】已知 f(x)＝(3 x2＋3x2)n 展开式中各项的系数和比各项的二项式系数和大 992。 (1)求展开式中二项式系数最大的项； (2)求展开式中系数最大的项。
【解析】∵(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023，
(1)令 x＝0，得(1－0)2 023＝a0，因此 a0＝1.
答
(2)令 x＝1，得(1－2)2 023＝a0＋a1＋a2＋…＋a2 023，
案
∴a0＋a1＋a2＋…＋a2 023＝－1， 因此 a1＋a2＋…＋a2 023＝－2.
＝(C22 ＋C23 ＋C24 ＋…＋C29 )＋(2＋3＋…＋9)
答
案
＝C310
＋8×（2＋9） 2
＝164.
与
解
析
考点五：
【典例】设(1－2x)2 023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 023x2 023(x∈R). (1)求 a0 的值； (2)求 a1＋a2＋a3＋…＋a2 023 的值.
＝76×(7676＋C177 ×7675＋C277 ×7674＋…＋C7767 ).
答
由于 76 能被 19 整除，因此 7777－1 能被 19 整除．
案
与
解
析
难点四：
【典例】我国南宋数学家杨辉在所著的《详解九章算法》一书中用如图所示的三角形解释二项展开式的系数规律， 现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得数列：1,1,1,1,2,1,1,3,3,1,1,4,6,4,1，…，记作数列{an}，若数 列{an}的前 n 项和为 Sn，则 S67＝________。
【解析】将数列{an}中的项从上到下，从左到右排成杨辉三角。如图所示：
1
11
121
1331
14641
……
答 使得行数与该行的项数相等，则第 k 行最后一项在数列{an}中的项数为k k＋1 ，设 a67 位于第 k(k∈N*)行，则k k－1 <67≤k k＋1 ，解得 k＝12，且
2
2
2
案 与
第 11 行最后一项在数列{an}中的项数为11×212＝66，所以 a67 位于杨辉三角的第 12 行第 1 个，而第一行各项的和为 20＝1，第二行各项的和为 21＝2，第三
＝
2·n！
14！·（n－14）！
，
答
得3 n－13
＝2 14
，所以 n＝34.
案
与
解
析
考点四：
【变式】如图所示，在“杨辉三角”中，从 1 开始箭头所指的数组成一个锯齿形数列：1，2，3，3，6，4，10，5，…， 记其前 n 项和为 Sn，求 S16 的值．
【解析】由题意及杨辉三角的特点可得 S16＝(1＋2)＋(3＋3)＋(6＋4)＋(10＋5)＋…＋(36＋9) ＝(C22 ＋C12 )＋(C23 ＋C13 )＋(C24 ＋C14 )＋…＋(C29 ＋C19 )
2
26
所以7≤k≤9，因为 22
k∈N，所以
k＝4，所以展开式中系数最大的项为
T5＝C45x
3
(3x2)4＝405x
3
。
析
考点六：
【变式】在
x－
1 x
n
的展开式中，只有第
5
项的二项式系数最大，则展开式中系数最小的项的系数为(
)
A．－126
B．－70ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
C．－56
D．－28
答
【解析】由题意可得
n＝8。所以二项展开式的通项
案
与
解
析
考点四：
【典例】如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第________行中从左到右第 14 与第 15 个数的比为 2∶3.
【解析】设第 n 行从左至右第 14 与第 15 个数之比为 2∶3，则 C1n3 ∶C1n4 ＝2∶3.
所以 3C1n3
＝2C1n4
，即
3·n！
13！·（n－13）！
与
解
析
考点三：
【变式】已知二项式
x－a x
9
的展开式中
x3
的系数是－84，则
a＝________.
【解析】
x－a x
9
的展开式的通项为
1 Tk＋1＝Ck9x9－k(－a)k·x
k
＝Ck9·(－a)kx9－2k(0≤k≤9，k∈N).当 9－2k＝3 时，解得 k＝3，
答
代入得 x3 的系数为 C39(－a)3＝－84，解得 a＝1.
答
(2)展开式的通项为 Tk＋1＝Ck5·3k·x
2 3
(5＋2k) ，假设 Tk＋1 项系数最大，则有
Ck53k≥Ck5－13k－1， Ck53k≥Ck5＋13k＋1，
所以
5－5k！！k！×3≥
6－k
5！ ！ k－1
， ！
5－5k！！k！≥
4－k
5！ ！ k＋1
！×3，
即
案 与
3k≥6－1 k，
解 5－1 k≥k＋3 1，
Tk＋1＝Ck8x8－k·－
1 x
8－ k＝Ck8(－1)kx
3 2
k ，要使该项系数 Ck8·(－1)k 最小，k 为奇数，取 1,3,5,7，经过检
案 验，当 k＝3 或 5 时，系数 Ck8(－1)k 最小，即第 4 项系数等于第 6 项系数，且最小，所以展开式中系数最小的项的系数为－56。故选 C。
第六章计数原理
二项式定理及二项式系数性质复习课
考点一：
【典例】(1)求
3
x＋
1 x
4
的展开式；
(2)化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)。
【解析】(1)解法一： 3
x＋
1 x
4
1
1
1
＝C04(3 x)4＋C14(3 x)3 1 ＋C24(3 x)2· x 2＋C34(3 x) x 3＋C44 x 4
对于二项式
x＋3 x
n
1＋x3 x
n(n∈N*)，展开式的通项为 Crn
3r
n3r
x 2
Cnk
x4k n
，未知数的次数为n－3r＋4k－n＝－3r－n＋4k，
2
22
n3r
答 当－3r－n＋4k＝0，即 3r＋n＝8k 时，r＝1，k＝1，n＝5 是其中一组解，由于 Crn 3r x 2 Cnk x4kn 的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数 22
4
5
【变式】已知 A ＝30C ，
n
n
1 设 f(x) ＝ x－3 x n.
(1)求 n 的值；
(2)求 f(x)的展开式中的常数项．
考点二：
【解析】(1)由已知 A4n
＝30C
5 n
得： n！ (n－4)！
＝ 30n！ (n－5)！5！
，
答
n！ (n－4)(n－5)！
＝ 30n！ 120(n－5)！
2。
x＋1＋ 2x
2
25
－x－ 1
1
1
答
在 x<0 时可化为－ 2
－x 10，所以展开式的通项 Tk＋1＝－Ck10 2 10－k·(－1)k( －x)10－2k，令 10－2k＝0，得 k＝5，则展开式的常数项为－C510 2 5(－
案
1)5＝63
2。综上，
x＋1＋ 2x
2 5 的展开式的常数项为63
m＝(
)
A. 2
B. 3
C.2
D.3
【解析】二项式
mx－ 1 x2
6
的展开式的通项为
Tr＋1＝Cr6(mx)6－rx－2r·(－1)r
答
＝Cr6m6－rx6－3r·(－1)r，0≤r≤6，且 r∈N.
令 6－3r＝0，得 r＝2，所以 C26m6－2(－1)2＝60，
案 即 15m4＝60.又 m>0，以 m＝ 2.
与
解
析
考点五：
【变式】若(3x－1)7＝a7x7＋a6x6＋…＋a1x＋a0，求： (1)a1＋a2＋…＋a7； (2)a1＋a3＋a5＋a7； (3)|a0|＋|a1|＋…＋|a7|.
【解析】(1)令 x＝0，则 a0＝－1. 令 x＝1，则 a0＋a1＋…＋a7＝27＝128，① ∴a1＋a2＋…＋a7＝129. (2)令 x＝－1，得 a0－a1＋…＋a6－a7＝(－4)7，② 由①－②得，2(a1＋a3＋a5＋a7)＝128－(－4)7，
2。
2
2
与
解
析
难点二：
【典例】利用二项式定理证明：
2 3
n－1<n＋2 1(n∈N*，且
n≥3)。
【解析】欲证
2 3 n－1<n＋2 1成立，只需证
3 2
n－1>n＋1成立。
2
答 案
因为
3 2
n－1＝
1＋1 2
1 n－1＝C0n－1＋C1n－1·12＋C2n－1·2
1 2＋…＋Cnn－ －11·2
【解析】令 x＝1，则二项式各项系数的和为 f(1)＝(1＋3)n＝4n，又展开式中各项的二项式系数之和为 2n，由题意知，4n－2n＝992。
所以(2n)2－2n－992＝0，所以(2n＋31)(2n－32)＝0，所以 2n＝－31(舍去)或 2n＝32，所以 n＝5。
2
2
22
(1)由于 n＝5 为奇数，所以展开式中二项式系数最大的项为中间的两项，它们分别为 T3＝C25(x 3 )3·(3x2)2＝90x6，T4＝C35(x 3 )2·(3x2)3＝270x 3 。
解 ＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1。
析
考点一：
【变式】若 x5＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋…＋a5(x－2)5，则 a2＝( )
A．－32
B．－2
C．80
D．32
答 【解析】x5＝[2＋(x－2)]5＝25＋C1524(x－2)＋C2523·(x－2)2＋C3522(x－2)3＋C452(x－2)4＋C55(x－2)5。所以 a2＝C2523＝80。故选 C。
与
解
析
难点一：
【典例】
x＋1＋ 2x
2 5 的展开式中的常数项为________(用数字作答)。
【解析】
x＋1＋ 2x
2 5 在 x>0 时可化为
x＋ 1 2 x 10，因而展开式的通项 Tr＋1＝Cr10
1 2 10－r·(
1 x)10－2r，则 r＝5 时为常数项，即 C510· 2 5＝63
案 与 解 析
考点二：
(2x 1 )n
【典例】已知
x (n∈N*)的展开式的第 2 项与第 3 项的二项式系数之比是 2∶5.
(1)求 n 的值；
(2)求展开式的第 3 项和第 4 项的系数．
(2x
【解析】
1 )n
(
x 的展开式的通项为 Tr＋1＝Crn (2x)n－r
1 )r x ＝(－1)r2n－rCrn
解 行各项的和为 22＝4，依此类推，第 k 行各项的和为 2k－1，所以 S67＝(20＋21＋22＋…＋210)＋C011＝11－－2211＋1＝211＝2 048。
析
难点五：
【典例】(多选)对于二项式
x＋3 x
n
1＋x3 x
n(n∈N*)，以下判断正确的有(
)
A．存在 n∈N*，展开式中有常数项
B．对任意 n∈N*，展开式中没有常数项
C．对任意 n∈N*，展开式中没有 x 的一次项
D．存在 n∈N*，展开式中有 x 的一次项
【解析】对于二项式
x＋3 x
n 的展开式的通项为
Tr＋1＝
C
r n
3r
n3r
x 2
，r＝0,1,2，…，n，而
1＋x3 x
n 的展开式的通项为
Tk＋1＝Ckn·x4k－n，k＝0,1,2，…，n.
，解得 n＝8.
案 与
x 1
1
(2) x－3 x
8 展开式的通项为 Tk＋1＝Ck8
x8－k
－3 x
k＝Ck8 (－1) k
8- 4 k
3，
解 由 8－4k ＝0 得 k＝6，即 f(x)的展开式中的常数项为 T7＝28. 3
析
考点三：
【典例】二项式
mx－x12
6
(m>0)的展开式中常数项为
60，则