高三数学理科第九次阶段考试卷试题

卜人入州八九几市潮王学校2021届侨光高三
数学理科第九次阶段考试卷
参考公式:
一、选择题〔本大题一一共12小题,每一小题5分,一共60分.在每一小题给出的四个选项里面,有且只有一项
为哪一项哪一项符合题目要求的〕
1.设复数z =
，那么1
z 等于〔〕
A 12i -
B 12i +
C ．12
D ．12+
2.某工厂消费产品，用传送带将产品送放下一个工序，检查人员每隔10分钟在传送带某一个位置取一件检验〔假设传送带的传送速度是匀速的〕，那么这种抽样的方法是〔〕
3.以下函数中，周期为1的奇函数是〔〕 A.
212sin y x π=- B.sin 23y x ππ=+（）
C.tan 2
y x π
= D.sin cos y x x ππ= 4.在ABC ∆中,lgsin ,lgsin ,lgsin A B C 成等差数列,是三边,,a b c 成等比数列的〔〕 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 5.设函数
)(x f 在1=x 处连续，且21
)
(lim
1
=-→x x f x ，那么)1(f 等于〔〕 A ．－1
B ．0
C ．1
D ．2
6.假设直线02=+-m
y x 按向量)2
3
,2(=→
a 平移后与圆C x y x y ：22240++-=相切，那么实数
m 的值是〔〕
-5 C.-7或者-17D.-3或者-13
7.把正方形ABCD 沿对角线AC 折起,当以A 、B 、C 、D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD 和平面ABC 所成
的角的大小为〔〕
A ．90°
B ．60°
C ．45°
D ．30°
8.过椭圆221259
x y +=的右焦点F 的直线与椭圆在第一象限交于P 点.假设|PF|=2，那么P 点到左准线间隔为〔〕 A ．10B.5 C.
52D.54
9.将写有1，2，3，4，5的5张卡片分别放入标有1，2，3，4，5的5个盒子内,每个盒子里放且只放1张卡片。

那么2号卡片不在2号盒内且4号卡片不在4号盒内的放法数等于〔〕 A ．42 B ．72 C ．78
D ．120
10.函数1)6()(23++++=x a ax x x f 有极大值和极小值，那么实数a 的取值范围是〔〕
A ．21<<-a
B ．63<<-a
C ．63>-<a a 或
D ．21>-<a a 或
11.函数1()2
x
y =与函数216x y =-的图象关于〔〕
A ．直线2x
=对称B ．点(4,0)对称C ．直线4x =对称D ．点(2,0)对称
12.某商店方案投入资金20万元经销甲或者乙两种商品，经销甲商品与乙商品所获得的总利润分别为P 和Q 〔万
元〕，且它们与投入资金x 〔万元〕的关系是：4x P
=
,)0(2
>=a x a
Q ；假设不管资金如何投放，经销这两种商品或者其中之一种所获得的利润总不小于5万元，那么a 的最小值应为〔〕 A ．5-B ．5C ．5D ．5±
二．填空题:本大题一一共4小题，每一小题4分，一共16分，把答案填在题中横线上。

13.表示右图中阴影局部的二元一次不等式组为_____________。

14．在3
10(1)(1)x
x -+的展开式中，5x 的系数为。

15．假设函数()f x 满足：对任意实数,a b 都有()()()f a b f a f b +=，
且()12f =，那么
()()
()()
()()
()()
()()
259141274136101225f f f f f f f f f f +
+
+
++
=…_______________________．
16.
①分别和两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②假设一个平面内任意一点到另一个平面的间隔都相等，那么这两个平面平行；
③一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，那么这两个二面角的平面角相等或者互补； ④过两异面直线外的一点能作且只能作出一条直线和这两条异面直线同时相交. ______.
三．解答题：本大题一一共6小题，一共74分。

解容许写出文字说明，证明过程或者演算步骤。

第13题图
17．〔本大题总分值是12分〕向量(sin ,1cos )m B B =-，且与向量(1,0)n =所成角为
3
π
，其中A 、B 、C 是△ABC 的内角． 〔1〕求角Ｂ的大小；
〔2〕求sin sin A C +的取值范围．
18．〔本大题总分值是12分〕有一批数量很大的产品，其次品率为
1
5
，对这批产品进展抽查检验，每次检验1件，由于检验具有破坏性，每检验一次需支付费用为1000元。

规定：当检验出4件合格品或者2件不合格品时，那么停顿检验。

令ξ表示检验的次数。

求ξ的分布列和支付的平均检验费用。

19．〔本大题总分值是12分〕数列{}a n 的前n 项和S n b n
n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等
差数列。

〔1〕求数列{}a n 的通项公式；
〔2〕假设c a b n
n n =
+1
25()
，求数列{}c n 的前n 项和n n n T T ∞→lim 及。

20．〔本大题总分值是12分〕如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD
是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中
点．
〔1〕求VC 与平面ABCD 所成的角； 〔2〕求二面角V -FC -B 的度数；
〔3〕当V 到平面ABCD 的间隔是3时，求B 到平面VFC 的间隔．
21．〔本大题总分值是12分〕假设12,F F 为双曲线22
221x y a b -=的左、右焦点，O 为坐标原点，P 在双曲线左
支上，M 在右准线上，且满足11
1,OF OP OP OM FO PM OP OM
OF OP
⋅⋅==。

〔Ⅰ〕求此双曲线的离心率； 〔Ⅱ〕假设此双曲线过点()2,3N
，求双曲线的方程；
〔Ⅲ〕设〔Ⅱ〕中双曲线的虚轴端点为(
)
121,B B B y 在轴正半轴上，过2B 作直线AB 与双曲线交于
,A B
两点，求11B A B B ⊥时，直线的方程。

22．〔本大题总分值是14分〕
设关于x 的方程2x 2
－mx －2=0的两根为α、β〔α＜β〕，函数1
4)(2
+-=
x m
x x f ． 〔1〕求f(α)·f(β)的值；
〔2〕证明f(x)是[α，β]上的增函数；
〔3〕当m 为何值时，f(x)在区间[α，β]上的最大值与最小值之差最小？
[参考答案]
一、选择题
DB
二．填空题:
1⎪⎩
⎪⎨⎧≥+-≤-≥0220
1y x x y 0
－216.②
三．解答题： 17.解：〔1〕∵(sin ,1cos )m
B B =-,且与向量(1,0)n =所成角为
,3
π
1
2
=，1cos 22B =，又π<<B 0，
∴
23B π=，即2,33
B A
C π
π=+=。

〔2〕由〔1〕可得：
∵03
A π
<<
，∴
23
3
3
A π
π
π
<+
<
，∴sin()1]3
2
A π
+
∈，
∴sin sin 1]A C +∈。

当且仅当6
A C π
==时，sin sin 1A C +=。

18.解：由条件有：ξ所有可能的取值为2，3，4，5…………2分
2
11(2)525P ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，2
12148(3)55125
P C ξ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，…………4分 224
13144304(4)
555625P C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+=
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，…………6分 2
3
1
4
11441414256(5)
5555625P C C ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+= ⎪
⎪
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
…………8分 所以ξ分布列为：
验费用〔单位元〕，那么ξη
1000=，…………
令η表示支付的检
…………10分
11分
所以ξη
E E 1000==6.4265625
2666000)62525656253044125832512(1000==⨯+⨯+⨯+⨯
即支付的平均检验费用为426元。

………………………………………………12分 19．解：〔I 〕由，b n n n
=+-=-12121()
〔Ⅱ〕)
3
41
141(41)34)(14(12+--=+-=
≥n n n n c n
n 时，……8分
∴lim lim lim lim
lim
n n
n n n n T n n n n
n n →∞→∞→∞→∞→∞=++=+
+=++=+=61564261564261
56426056328
12……分
20.解法一：取AD 的中点G ，连结VG ，CG ． 〔1〕∵△ADV 为正三角形，∴VG ⊥AD ． 又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，
∴VG ⊥平面ABCD ，那么∠VCG 为CV 与平面ABCD 所成的角．………………2分
设AD ＝a ，那么a VG 2
3
=
，a DC 2=． 在Rt △GDC 中，
a a a GD DC GC 2
3
4222
2
2
=+=+=．……3分
在Rt △VGC 中，3
3
tan ==
∠GC VG VCG ．
∴
30=∠VCG ．即VC 与平面ABCD 成30°．………………4分
〔2〕连结GF ，那么a AF AG GF 2322=
+=
．而a BC FB FC 2
6
22=+=． 在△GFC 中，222
FC GF GC
+=．∴GF ⊥FC ．…………6分
连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，那么∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角．7分
在Rt △VFG 中,a GF VG 2
3
=
=．∴∠VFG ＝45°,二面角V -FC -B 的度数为135°.9分 〔3〕设B 到平面VFC 的间隔为h ,当V 到平面ABCD 的间隔是3时,即VG ＝3,10分
此时
32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ．
∴921==⋅∆FC VF S VFC
，232
1
==⋅∆BC FB S BFC ． ∵VCF B FCB V V V --=，∴VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3
1
31．…………11分
∴93
1
23331⋅⋅=⨯⨯h ．∴2=h 即B 到面VCF 的间隔为2．…12分 解法二：取AD 的中点O ，BC 中点G 连结VO ，OG ．∴VO ⊥平面ABCD 分别以直线OD 、OG 、OV 为,,x y z 轴建立直角坐标系
〔1〕设AD ＝a ，那么3
2
VO a =
，a DC 2=．那么 23(,2,0),(,,0),(,2,0),(0,0,)22222
a a a C a F a B a V a --…………2分 平面
ABCD 的法向量为
3(0,0,
)2OV =,3(,2,)22
a VC a a =-
∴0(,)60OV VC =…4分 即VC 与平面ABCD 成30°．
〔2〕设平面VCF 的法向量为n (,,)x y z =，由
023(1,2,3)022n VF y x z n n FC x y
⎧⎧⋅==+⎪⎪⇒⇒=-⎨⎨
⋅=-=-⎪⎪⎩⎩…………7分 ∴2cos(,)2
n OV n OV n OV
⋅==
∴(n ,OV )＝45°．二面角V -FC -B 的度数为135°…9分
(3)∵V 到平面ABCD 的间隔是3∴23a =…………10分
26
BC n a
h n ⋅=
==…………12分 z
y
x
O
G
21.解：〔Ⅰ〕由1FO PM =知四边形1
PFOM 是平行四边形，……………………1分 又由
11OF OP OP OM OP OM
OF OP
⋅⋅=
知OP 平分1FOM ∠，∴四边形1PFOM 是菱形。

………………………………2分 设半焦距为c ，由1OF c =知1,PF c PM c ==
∴
2122PF PF a c a =+=+ 又
21
PF e PM =，即
2c a
e c
+= ∴()
2
20,21e e e e --===-得舍去……………………………………………4分
〔Ⅱ〕∵2c
e a
==
∴2c a =………12分 ∴双曲线方程为2
22213x y a a -=，将(N 代入有222
43
133a a a
-==得 即所求双曲线的方程为22
139
x y -=。

…………………………………………7分
〔Ⅲ〕由题意知()()120,3,0,3B B -
设直线AB 的方程为()()11223,,,,y kx A x y B x y =-
那么由22
313
9y kx x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，有()22
3618
0k x kx -+-=……………………………8分
∵双曲线的渐近线为y =
当k =时，AB 与双曲线只有一个交点 ∴k ≠∵1
212
22
618
,33k x x x x k k -+=
⋅=-- 。

那么()()212121212122
18
6,993y y k x x y y k x x k x x k
-+=+-=⋅=-++=- 又()()111122,3,,3B A x y B B x y =-=-
由11B A B B ⊥有()121212390x x y y
y y +⋅-++=……………………………10分 ∴k =
∴直线AB
的方程为3y =-。

………………………………………12分
22.解：〔1〕由题意知α＋β＝
2
m
，α·β＝－1，∴α2
＋β2
＝24
2
+m ， ∴f(α)·f(β)＝1
)(416141422222
22+++++-=
+-⋅+-ββαβααβββααa m m m m 41
24
12162
2
2－=++++--=m m m ． 〔2〕证明：当α≤x ≤β时，
2
2'
22''
)
1()1)(4()1()4()(++--+-=x x m x x m x x f ∵α、β是方程2x 2
－mx －2=0的两根，
∴当α≤x ≤β时，恒有2x 2
－mx －2≤0，∴()f x '≥0，又)(x f 不是常函数，
∴
)(x f 是[α，β]上的增函数．
〔3〕f(x)在区间[α，β]上的最大值f(β)＞0，最小值f(α)＜0，
又∵|f(α)·f(β)|＝4，∴f(β)－f(α)＝|f(β)|＋|f(α)|≥4)()(2
=⋅βαf f
当且仅当|f(β)|＝|f(α)|＝2时取“＝〞号，此时f(β)＝2，f(α)＝－2
∴⎪⎩⎪⎨⎧=--=+-)
2(022)1(21422 ββββm m
由〔1〕、〔2〕得0)16(2
=+m m ，∴m ＝0为所求．。