高一数学下学期期末考试教学质量抽测试题含解析 试题

智才艺州攀枝花市创界学校二零二零—二零二壹高一数学下学期期末考试教学质量抽测试题〔含解析〕
一、单项选择题：此题一共8小题，每一小题5分，一共40分.在每一小题给出的四个选项里面，只有一项符合题目要求.
1.在复平面内，复数1i -+所对应的点位于〔〕 A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
【答案】B 【解析】 【分析】
复数1i -+在复平面内对应的点为()1,1-,进而得到该点所在象限即可 【详解】由题,1i -+在复平面内对应的点为()1,1-,在第二象限, 应选:B
【点睛】此题考察复数在复平面中的位置,考察复数的坐标表示,属于根底题 2.向量(1,3)a =，(3,1)b =，那么向量a b +与a b -的夹角为〔〕
A.
12
π
B.
6
π C.
3
π D.
2
π 【答案】D 【解析】 【分析】
先计算a b +与a b -，再利用向量夹角公式计算得到答案. 【详解】设θ为a b +与a b -的夹角，
(1,3)a =，(3,1)b =，
那么1+31+a b +=（，，131a b -=（-，）
||=6a b ++
||6a b -=-又()()0cos 04
a b a b a b a b
θ+⋅-=
==+-，0,2
π
θπθ≤≤∴=
.
应选：D .
【点睛】此题考察了坐标计算向量夹角.
3.某对甲、乙两个班级的某次成绩进展统计分析，制成了如图的条形图与扇形图，那么以下说法一定正确的选项是〔〕
A.甲班成绩优良人数超过了乙班成绩优良人数
B.甲班平均成绩高于乙班平均成绩
C.甲班学生比乙班学生发挥稳定
D.甲班不及格率高于乙班不及格率 【答案】D 【解析】 【分析】
根据条形统计图和扇形图，对每个选项进展逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】
A ：因为每个班的总人数不确定，故无法比较；
B ：甲班及格人数占比80%，乙班及格人数占比90%，
故甲班平均成绩显然高于乙班平均成绩；
C ：无法确定甲班和乙班学生成绩的方差，故错误；
D ：甲班不及格率为20%，乙班不及格率为10%，故D 正确.
应选：D .
【点睛】此题考察条形统计图和扇形图，属简单题.
4.α为第二象限角，1
sin cos 5
αα+=
，那么tan2α＝〔〕 A.﹣
247 B.
247
C.2425
D.
43
【答案】B 【解析】 【分析】
利用同角三角函数关系中的平方关系，结合条件求得tan α，再用倍角公式即可求得结果. 【详解】因为22sin cos 1αα+=，结合15
sin cos αα+=
， 即可得
()()53540cos cos αα+-=，
解得45cos α=
或者35
cos α=-， 又α是第二象限角，故35cos α=-，那么45sin α=，4
3
tan α=-.
故2224
21tan 7
tan tan ααα==
-. 应选：B
【点睛】此题考察同角三角函数关系和倍角公式的应用，属综合根底题.
5.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为棱DC 的中点，那么异面直线AE 与BC 1所成角的余弦值为〔〕
A.
25
C.
5
D.
10
【答案】C 【解析】 【分析】 平移直线1BC 至
1AD ，设出正方体棱长，再解三角形即可.
【详解】因为ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1是正方体，故可得1BC //1AD ，
连接
11,AD D E ，如以下列图所示：
那么1D AE ∠即为异面直线AE 与BC 1所成角或者其补角，
不妨设正方体棱长为2，
在三角形1AED
中，AE =
=
11D E AE AD ====.
故可得22211112AD AE D E cos D AE AD AE +-∠==
⨯. 又异面直线夹角的范围为0,
2π⎛⎤
⎥⎝
⎦
，
故异面直线AE 与BC 1
. 应选：C .
【点睛】此题考察异面直线夹角的求解，属根底题.
6.角α
的终边与单位圆的交点坐标为1
)2
，将α的终边绕原点顺时针旋转
34
π
，得到角β，那么
cos()αβ+=〔〕
A.
4
B.
4
C.
1
4
D.0
【答案】A 【解析】 【分析】
先求α的正余弦三角函数，再求β的正余弦三角函数，然后根据余弦的两角和与差的公式计算即可得到答案.
【详解】由角α
的终边经过点1)2
，得1sin ,cos 2αα==，
因为角β的终边是由角α的终边顺时针旋转
34
π
得到的，
所以3331sin sin()sin cos cos sin (4442πππβααα=-
=-=⨯=
1cos()cos cos sin sin 2αβαβαβ+=-=
=
，
应选：
A .
【点睛】此题主要考察两角和与差的正余弦公式.
7.在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a cos A ＝b cos B ，且c 2
＝a 2
+b 2
﹣ab ，那么△ABC 的形状为〔〕
A.等腰三角形或者直角三角形
B.等腰直角三角形
C.直角三角形
D.等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】
利用正弦定理将边化角转化a cos A ＝b cos B ，逆用余弦定理转化c 2
＝a 2
+b 2
﹣ab ，即可判断三角形形状. 【详解】因为a cos A ＝b cos B ，故可得sinAcosA sinBcosB =，即22sin A sin B =， 又
(),0,A B π∈，故可得A B =或者2
A B π
+=
；
又c 2
＝a 2
+b 2
﹣ab ，即1
2
cosC =
，又()0,C π∈，故可得60C =︒. 综上所述，60A B C ===︒.
故三角形
ABC 是等边三角形.
应选：D .
【点睛】此题考察利用正余弦定理判断三角形形状，属综合根底题.
8.用五点法作函数
()sin 0,0,2y A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的图象时，得到如下表格：
那么
A ，ω，ϕ的值分别为〔〕
A.4，2，3
π- B.4，
12
，3π C.4，2，
6
π
D.4，
12，6
π- 【答案】A 【解析】 【分析】
由表中数据求出
A 、T 的值，利用周期公式可求ω的值，根据图象过(
6
π
，0)，即可求得ϕ的值． 【详解】解：由表中的最大值为4，最小值为4-，可得4A =，
由
21
362T ππ-=，那么T π=，22πωπ
∴==， 4sin(2)y x ϕ=+，图象过(
6
π
，0)， 04sin(2)6πϕ∴=⨯+，∴226k π
ϕπ⨯+=，()k ∈Z ，解得23k π
ϕπ=-，
||2
π
ϕ<
，∴当0k =时，3
π
ϕ=-
．
应选：
A ．
【点睛】此题考察了由sin()y A x ωϕ=+的局部点确定其解析式，三角函数的图象与性质的应用问题，是根底题．
二、多项选择题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.在每一小题给出的四个选项里面有多项符合题目要求，全选对的得5分，局部选对的得3分，有选错的得0分.
9.为了得到函数
cos 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，可作如下变换〔〕
A.将y ＝cos x 的图象上所有点向左平移
4
π个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
12，
纵坐标不变而得到
B.将y ＝cos x 的图象上所有点向右平移
4
π
个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐变为原来的2倍，纵坐标不变而得到
C.将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移4
π个单位长度而得到
D.将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的
12，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移4
π个单位长度而得到 【答案】A 【解析】 【分析】
根据三角函数图象变换对参数的影响，结合选项即可判断和选择.
【详解】为得到
cos 24y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭的图象，可将y cosx =的图象上所有点向左平移4π个单位长度，
然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来的
1
2
，纵坐标不变而得到； 也可以将y ＝cos x 的图象上所有点的横坐标变为原来的1
2
，纵坐标不变，然后将所得图象上所有点向左平移
8
π
个单位长度而得到. 应选：
A .
【点睛】此题考察三角函数图象的变换，属简单题. 10.〕
A.过平面外一点有且只有一条直线与这个平面垂直
B.假设平面α
⊥平面β
，平面β
⊥平面γ
，那么平面//α
平面γ
C.a ，b 为直线，α为平面，假设//a α，//b α，那么//a b
D.l ，m ，n 为直线，α为平面，m α⊂，n ⊂α.“l α⊥〞的充要条件是“l m ⊥，且l n ⊥〞
【答案】BCD 【解析】 【分析】 在
A 中，由线面垂直的定义即可断定；
在D 中，平面α与平面β相交或者平行．
在C 中，根据线面平行的性质，可得a 、b 可能异面，可能相交； 在D 中，根据线面垂直的断定定理，即可判断． 【详解】解：对于
A ，根据线面垂直的定义，可得经过平面外一点作平面的垂线，
有且仅有一条．由此可得A 正确；
在B 中，假设平面α
⊥平面γ
，平面β
⊥平面γ
，那么平面α与平面β相交或者平行，故B 错误；
在C 中，假设//a α，//b α，那么a 与b 可能平行，可能异面，可能相交，故C 错误； 在D 中，m α⊂，n ⊂α，“l α⊥〞可得到“l m ⊥，且l n ⊥〞，m α⊂，n ⊂α，“l m ⊥，
且l
n ⊥〞
不能得到“l
α⊥〞，故D 错．
应选：BCD ． 【点睛】
11.以下结论正确的选项是〔〕 A.a 是非零向量，b
c ≠，假设a b a c ⋅=⋅，那么a ⊥〔-b c 〕
B.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，那么a 在b 上的投影向量为
12
b
C.点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，那么点P 是△ABC 的外心
D.以〔1，1〕，〔2，3〕，〔5，﹣1〕，〔6，1〕为顶点的四边形是一个矩形 【答案】ABD 【解析】 【分析】
利用平面向量的数量积运算，结合向量的线性运算，对每个选项进展逐一分析，即可容易判断选择. 【详解】对A ：因为()a b c a b a c ⋅-=⋅-⋅，又a b a c ⋅=⋅，故可得()
0a b c ⋅-=，
故()a
b c
⊥-，应选A 项正确；
对B ：因为|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b
⋅=⨯
=. 故a 在b 上的投影向量为12a b b b b ⎛⎫
⋅
⎪= ⎪⎝⎭
，应选B 项正确； 对C ：点P 在△ABC 所在的平面内，满足0PA PB PC ++=，那么点P 为三角形ABC 的重心，
应选C 项错误； 对D ：不妨设()()()()1,1,2,3,6,1,5,1A B C D -，
那么()()()1,24,25,0AB AD AC +=+-==，故四边形ABCD 是平行四边形；
又
()14220AB AD ⋅=⨯+⨯-=，那么AB AD ⊥，故四边形ABCD 是矩形.
应选D 项正确； 综上所述，正确的有：ABD .
应选：
ABD .
【点睛】此题考察向量数量积的运算，向量的坐标运算，向量垂直的转化，属综合中档题.
12.如图，ABCD 是边长为2的正方形，点E ，F 分别为达BC ，CD 的中点，将△ABE ，△ECF ，△FDA 分别沿AE ，
EF ，FA 折起，使B ，C ，D 三点重合于点P ，那么〔〕
A.AP ⊥EF
B.点P 在平面AEF 内的射影为△AEF 的垂心
C.二面角A ﹣EF ﹣P 的余弦值为
13
D.假设四面体P ﹣AEF 的四个顶点在同一个球面上，那么该球的外表积是24π 【答案】ABC 【解析】 【分析】
根据线面垂直的断定和性质、垂心的定义，二面角的定义，以及棱锥外接球外表积的求解，对每个选项进展逐一分析，即可判断和选择.
【详解】根据题意，,,,,AP PF AP PE PE PF P PE PF ⊥⊥⋂=⊂平面PEF ，故AP ⊥平面
PEF ；
因为,,,,PE
PA PE PF PA PF P PA PF ⊥⊥⋂=⊂平面PAF ，故PE ⊥平面PAF ；
故可得,,PA PE PF 两两垂直. 对
A ：由AP ⊥平面,PEF EF ⊂平面PEF ，故AP EF ⊥，故A 正确；
对B ：过P 作平面AEF 的垂线PN ，连接AN ，延长交EF 于M ，如下所示：
由
A 可知，EF AP ⊥，又PN ⊥平面,AEF EF ⊂平面AEF ，故EF PN ⊥，
又,,PN AP P PN AP ⋂=⊂平面PAM ，故可得：EF ⊥平面PAM ，
又
AM ⊂平面PAM ，故可得EF AM ⊥，即点N 在三角形AEF 底边EF 的垂线上；
同理可证，点N 在三角形AEF 底边,AF AE 的垂线上.
故点P 在平面
AEF 的投影即为三角形AEF 的垂心，故B 正确；
对C ：根据B 中所求，AM 为三角形AEF 的垂线，
又
AF AE ==M 为EF 中点.
又1PF PE ==，故三角形PEF 为等腰三角形，连接PM ，那么PM EF ⊥
根据二面角的定义，显然AMP ∠即为所求二面角.
在三角形PMA 中，122PM EF =
=
，
AM =
=2AP =，
故2221
23
AM MP AP cos AMP AM MP +-∠==⨯.
故二面角A ﹣EF ﹣P 的余弦值为
1
3
，那么C 正确； 对D ：因为,,PA PE PF 两两垂直，
故三棱锥P ﹣AEF 的外接球半径和长宽高分别为1,1,2的长方体的外接球半径相等.
故其外接球半径22
R ==，
故外接球外表积246S
R ππ==，故D 错误.
综上所述，正确的为ABC .
应选：
ABC .
【点睛】此题综合考察线面垂直的证明以及线面垂直的性质，二面角的角球，棱锥外接球的求解，属综合中档题.
三、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分.
13.复数2+i 为一元二次方程x 2
+ax +b ＝0〔a ，b ∈R 〕的一个根，那么复数|a +bi |＝_____．
【解析】 【分析】
利用复数的运算，将方程的根代入即可求得,a b ，再求复数模长即可.
【详解】因为2+i 为一元二次方程x 2
+ax +b ＝0， 故可得()
()2
220i a i b ++++=，
那么
()4230a i a b ++++=，又,a b R ∈，
故40,230a a b +=++=， 解得4, 5.a b =-=
那么
45a bi i +=-+==
.
【点睛】此题考察复数的运算，以及复数模长的求解，属综合根底题.
14.为了理解某设备消费产品质量的稳定性，现随机抽取了10件产品，其质量〔单位：克〕如下： 495500503508498500493500503500
质量落在区间[x ﹣s ，x +s ]〔x 表示质量的平均值，s 为HY 差〕内的产品件数为_____． 【答案】7 【解析】 【分析】
根据平均数和HY 差的计算公式，结合数据，即可求得结果. 【详解】由题可得：()1
49550050350849850049350050350010
x
=
+++++++++ 500=；
[]21
2596444991610
s =
+++++=， 故可得4s =.
那么区间[x ﹣s ，x +s ]即为
[]496,504.
故落在该区间的产品件数为：7. 故答案为：7.
【点睛】此题考察平均数和HY 差的计算，属综合简单题.
15.直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AD ∥BC ，AD ＝2，AB ＝1，BC ＝3，现将梯形ABCD 绕边AD 所在直线旋转一周得到一旋转体，那么该旋转体的体积为_____，外表积为_____．
【答案】(1).83
π(2).〔
【解析】 【分析】
根据旋转后几何体的特征，结合圆柱和圆锥外表积和体积计算公式，即可求得结果. 【详解】根据题意，所得几何体为一个圆柱挖去一个圆锥后的几何体. 其中圆柱体的母线长3l
=，底面半径1r AB ==，
圆锥体的底面半径1R =，圆锥的高1h BC AD =-= 那么该旋转体的体积2218
33
V r l R h πππ
=⨯-⨯=；
该旋转体的外表积(227S r r l R ππππ=+⨯+=+.
故答案为：
83
π
；
(7π.
【点睛】此题考察圆柱体和圆锥体体积和外表积的计算，属综合根底题. 16.如图，在平行四边形ABCD 中，M ，N 分别为AD ，AB 上的点，且
21
,32
AM AD AN AB =
=，MN 交于点P ．假设AP AC λ=，那么λ的值是_____．
【答案】
2
7
【解析】 【分析】 用向量
,AM AN 表示AC ，结合,,M P N
三点一共线，即可求得参数值.
【详解】根据题意，AP AC
λ=()
3
22
AB AD AN AM
λλλ=+=+，
因为,,M P N 三点一共线，故可得3212λ⎛⎫+
= ⎪⎝⎭，解得27
λ=.
故答案为：
27
. 【点睛】此题考察平面向量一共线定理的推论，涉及向量的线性运算，属综合根底题.
四、解答题：此题一共6小题，总分值是70分，解容许写出必要的文字说明、证明过程或者演算步骤. 17.一家保险公司决定对推销员实行月标管理，按以往月销售额〔单位：千元〕把推销员分为甲、乙、丙三个层次，各层次人数如下：
〔1〕为了理解推销员对目的设定的意见，决定从甲、乙、丙三个层次中采取比例分配的分层随机抽样抽取30人进展座谈，请计算甲、乙、丙三个层次各应抽取多少人？
〔2〕确定销售日标是否适宜，直接影响到公司的经济效益，假设目的定得过高，多数推销员完不成任务，会使推销员失去信心；假设目的定得太低，将不利于挖掘推销员的工作潜力．现按上面的方法抽取了局部推销员的月销售额〔单位：千元〕：
公司为了使70%的推销员可以完成销售目的，根据这组样本数据，应将销售目的定为多少比较合理？ 【答案】〔1〕8，16，6；〔2〕16000元，理由见详解. 【解析】 【分析】
〔1〕根据表中数据求得抽样比，即可据此求得每层抽取的人数； 〔2〕将数据从小到大进展排序，求得第30百分位数即可.
【详解】〔1〕根据表中数据可得，三层一共有12024090450++=人，抽样比为301
45015
=， 故应该从甲层抽取1
120815
⨯=人； 从乙层抽取1
2401615
⨯
=人；
从丙层抽取1
90615
⨯
=人. 〔2〕将30个数据按照从小到大的顺序进展排序，可得：
11.5，12.8，13.5，13.6，14.2，14.9，15.6，15.7，15.8，16.2， 16.3，16.4，17.0，17.2，17.7，17.8，18.0，18.2，18.4，19.2， 19.5，19.8，20.5，21.8，22.1，22.4，23.2，24.0，24.6，24.8，
为使得70%的销售员完成目的，只需求出第30百分位数即可.
由3030%9⨯=可知样本数据的第30百分位数为第9项与第10项数据的平均数， 即
15.816.2
16.02
+=. 那么应该将销售目的定位16000元比较合理.
【点睛】此题考察分抽抽样，以及百分位数的计算，属综合根底题. 18.向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，且a 与b 不一共线． 〔1〕假设向量a +k b 与k a +2b 为方向相反的向量，务实数k 的值； 〔2〕假设向量a 与b 的夹角为60°，求2a +b 与a ﹣b 的夹角θ．
【答案】〔1〕；〔2〕
2
3
π 【解析】 【分析】
〔1〕根据向量一共线定理，结合条件，列出方程，那么问题得解； 〔2〕根据题意求得a b ⋅，结合数量积运算，即可求得向量之间的夹角. 【详解】〔1〕因为向量a +k b 与k a +2b 为方向相反的向量， 故可设()
2,0a kb ka b μμ+=+<，
那么2a kb
k a b μμ+=+，又a 与b
不一共线，
故可得1,2k k μ
μ==，解得k u ==.
〔2〕向量a 与b 的夹角为60°，故可得1
212
a b ⋅=⨯
=. 故
()2
2244a b a b +=
+=++=，
()2
14a b a b -=-=+-= ()()22143a b a b +⋅-=--=-.
故()()231
.2
232a b a b cos a b a b θ+⋅--=
==-⨯+- 又[]0,θπ∈
，那么23
θπ=. 【点睛】此题考察向量一共线定理的应用，以及向量夹角的求解，属综合根底题.
1021年是我国全面打赢脱贫攻坚战收官之年．某山区地方政府为了帮助当地农民实现脱贫致富，大力开展当地的特色黄桃种植产业．为了理解某村黄桃的质量〔单位：克〕分布规律，现从该村的黄桃树上随机摘下了
n 个黄桃组成样本进展测重，其质量分布在区间[225，525]内，统计质量的数据作出其频率分布直方图如下
列图，质量分布在区间[275，325〕内的有16个． 〔1〕求n 的值和质量落在区间[425，475〕內的黄桃个数；
〔2〕该村的黄桃树上大约有10万个黄桃待出售，某电商欲以20元/千克的价格收买该村的黄桃，请估计该村黄桃的销售收入．
【答案】〔1〕100n =，20个〔2〕759000元 【解析】 【分析】
〔1〕根据频率分布直方图结合频率的计算公式，即可容易求得结果； 〔2〕根据频率分布直方图计算黄桃质量的平均数，即可容易估算销售收入. 【详解】〔1〕因为质量分布在区间[275，325〕内的黄桃有16个， 故可得
161
0.003250
n ⨯=，故可得100n =； ()500.00100.00320.00480.00600.00101x +++++=，解得0.004x =，
那么质量落在区间[425，475〕內的黄桃个数为5020nx =个. 〔2〕该村黄桃的单个质量的平均数为：
2500.053000.163500.244000.34500.25000.05379.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=〔克〕， 故该村黄桃的总质量大约为：379.41000037950⨯=〔千克〕 故该村黄桃销售收入的预测值为3795020759000⨯=元.
【点睛】此题考察频率分布直方图中的频率表的计算，以及平均数的计算，属综合根底题. 20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 满足AB AD ⊥，//BC AD ，2AD BC =，
且M 为PA 的中点. 〔1〕求证：//BM
平面PCD ；
〔2〕假设平面PAD ⊥平面
ABCD ，且DP DA =，求证：平面BDM ⊥平面PAB .
【答案】〔1〕证明见解析；〔2〕证明见解析. 【解析】 【分析】
〔1〕取PD 的中点N ，连结MN ，CN ，推导出四边形BMNC 是平行四边形，得到//BM CN ，由
线面平行的断定定理，即可证明//BM 平面PCD ．
〔2〕由面面垂直的性质定理可证
AB ⊥平面PAD ，AB DM ⊥，DM PA ⊥，得到DM ⊥平面
PAB ，由面面垂直的断定定理，可证明平面BDM ⊥平面PAB ．
【详解】证明：〔1〕取PD 的中点N ，连接MN ，CN . 因为M 是PA 的中点， 所以MN 为PAD △的中位线， 所以1
//
2
MN AD . 又因为1
//
2
BC AD ，
所以//MN BC ，
所以四边形BMNC 为平行四边形， 所以//BM CN .
又BM
⊄平面PCD ，CN ⊂平面PCD ，
所以//BM 平面PCD .
〔2〕因为平面PAD ⊥平面
ABCD ，且平面PAD
平面
ABCD AD =，AB AD ⊥，AB
平面
ABCD ，所以AB ⊥平面PAD .
∵DM
⊂平面PAD ，∴AB DM ⊥.
又因为DP DA =，M 为PA 的中点，所以DM PA ⊥， ∵PA ⊂平面PAB ，AB
平面PAB ，且PA
AB A =，
所以DM ⊥平面PAB .
又DM
⊂平面BDM ，
所以平面BDM ⊥平面PAB .
【点睛】此题考察线面平行、面面垂直的证明，考察空间中线线、线面、面面间的位置关系等根底知识，考察运算求解才能，是中档题．
21.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．现有以下三个条件：①〔2c +b 〕cos A +a cos B
＝0；②sin 2
B +sin 2
C ﹣sin 2A +sin B sin C ＝0；③2
22--=
a b c 请从以上三个条件中选择一个填到下
面问题中的横线上，并求解．向量m ＝〔4sin x ，〕
，n ＝〔cos x ，sin 2
x 〕，函数()23f x m n =⋅-在△ABC 中，3a
f π⎛⎫
= ⎪⎝⎭
，且____，求2b +c 的取值范围．
【答案】
(
【解析】
【分析】
根据平面向量数量积的运算，结合恒等变换，即可求得a ；选择①由正弦定理将边化角，即可求得A ；选择
②，利用正弦定理以及余弦定理即可求得A ；选择③利用面积公式以及余弦定理即可求得A ；无论选择哪个
条件，角
A 都一样大小.利用正弦定理，构造2b c +关于角
B 的函数，利用三角函数的值域，即可求得结果.
【详解】根据题意，
()24f x sinxcosx x =+-
2224sin 23sin x x x π⎛
⎫=-=- ⎪⎝
⎭.
又3a
f π⎛⎫
== ⎪⎝⎭
选择①：〔2c +b 〕cos A +a cos B ＝0，由正弦定理可得：
20sinCcosA sinAcosB sinBcosA ++=，
故可得2sinCcosA sinC =-，又0sinC ≠，
故可得12cosA =-
，又()0,A π∈，故2
3
A π=. 选择②：sin 2
B +sin 2
C ﹣sin 2
A +sin
B sin
C ＝0，由正弦定理得：
222b c a bc +-=-，由余弦定理得1
2
cosA =-
， 有
()0,A π∈，故2
3
A π=.
选择③：2
22--=
a b c S ，由面积公式以及余弦定理可得：
1
232
bccosA sinA bc -=
⨯⨯，解得tanA = 又
()0,A π∈，故可得2
3A π=.
故不管选择哪个条件，都有23A π=.又a =那么24a
R sinA
==.
故28484sin 3b c
sinB sinC sinB B π⎛⎫
+=+=+- ⎪⎝⎭
6B π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭，
又0,
3B π⎛
⎫
∈ ⎪⎝
⎭
，故,662B π
ππ⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
， 故1sin ,162B π⎛⎫⎛⎫
+
∈ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
，
故(2b c +∈
.
故答案为：(.
【点睛】此题考察向量数量积的运算、三角恒等变换以及正余弦定理解三角形，涉及三角形中范围问题的求解，属综合中档题.
22.亚洲第三大摩天轮“水城之眼〞是我的地标建筑，也是全球首座建筑与摩犬轮相结合的城地标． 〔1〕某数学课外活动小组为了测量摩天轮的最高点P 距地面的高度，选取了与点P 在地面上的射影A 在同
一程度面内的两个测量基点,B C 〔如下列图〕；现测得30
ABC ACB ACP ∠=∠=∠=，BC 两点间的
间隔是390米，求最高点P 距地面的高度PA ；
〔2〕假设摩天轮最低点Q 距地面的间隔20QA =米，开启后按逆时针方向匀速旋转，转动一周需要20分钟．
①从游客进人摩天轮位于最低点Q 处的轿厢开场计时，转动t 分钟后间隔地面的高度为h 米，求在转动一周的过程中，h 〔单位：米〕关于t 〔单位：分钟〕的函数解析式；
②假设只有当轿厢的高度h 超过47.5米时才能俯瞰东昌湖的关景，请计算游客在摩天轮旋转一周的过程中有多长时间是可以俯瞰东昌湖的美景． 【答案】〔1〕130；〔2〕①()7555cos 02010
h t t π
=-≤≤，②
40
3
【解析】 【分析】 〔1〕在
ABC 中，利用正弦定理可以求AC 的长，利用,30
PA AC PAC ⊥∠=，可以求得PA
〔2〕①建立坐标系，求出摩天轮的半径，然后根据周期性和三角函数的定义，可求出游客间隔地面的高度h 关于t 的函数解析式. ②令7555cos 47.510t π
->，即可得t 的范围，再利用020t ≤≤，可得t 的范围.
【详解】〔1〕由题意得：120BAC
∠=， 在ABC 中，由正弦定理得：
sin sin AC BC ABC BAC =∠∠，
即12AC === 又,30PA AC PAC ⊥
∠=， 所以3tan 303PA AC
==
，即13033
PA AC ===， 所以最高点P 距地面的高度130PA =米.
〔2〕①以PQ 的中点O 为坐标原点，PQ 所在的直线为y 轴建立如下列图的平面直角坐标系，因为130PA =，20QA =，
所以摩天轮的半径为13020552
r -=
=米，所以75OA =米， 由题意知：20分钟转一周，所以每分钟转22010ππ=弧度， 设从Q 点开场计时，转动t 分钟后轿厢运到到M 点，那么转过的10QOM
t π∠=弧度， 所以102xOM t π
π
∠=-，
设00(,)M x y ，由三角函数的定义可得：，
又因为07555cos 10h y OA t π
=+=-()020t ≤≤
所以游客距地面的高度h 关于t 的函数解析式为7555cos 10h t π
=-()020t ≤≤.
②当轿厢的高度h 超过47.5米时，即7555cos 47.510t π->， 所以55cos 27.510t π
<，即1cos 102
t π
<，
所以5223103k t k πππππ+<<
+，解得1050202033
k t k +<<+()k Z ∈， 因为020t ≤≤，所以只有当0k =时，105033
t <<符合题意， 即旋转一周中有501040333-=分钟可以俯瞰东昌湖的美景. 【点睛】此题主要考察了正弦定理解三角，求三角函数解析式，解三角函数不等式等用数学知识解决实际问题，属于中档题.。