2024届陕西省西安中学高三一模文数试题及答案

西安中学高2024届高三模拟考试(一)
数学学科（文科）
（满分：150分
时间：120分钟）
一、单选题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.若
),(12
R b a bi a i
∈+=+，则=+20242023b a ( )A. −1
B. 0
C. 1
D. 2
2.在用反证法证明“已知0,,<+∈y x R y x ，则y x ,中至多有一个大于0”时，假设应为( )
A. x ，y 都小于0
B. x ，y 至少有一个大于0
C. x ，y 都大于0
D. x ，y 至少有一个小于
3.如图1的矩形长为5、宽为2，在矩形内随机地撒300颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆数为138颗，则我们可以估计出阴影部分的面积为( )A. 23
5
B. 23
50
C. 10
D. 不能估计
4.与双曲线1452
2=-y x 的焦点相同，且长轴长为43的椭圆的标准方程为( )
A. 1
4
52
2=+y x B. 1
3
122
2=+y x C. 1
7
1622=+y x D. 1
36
482
2=+y x 5.已知y x ,满足⎩⎨⎧-≤-≤-≤+≤244
2y x y x ，则y x -2的取值范围是( )
A. []0,6-
B. []1,5--
C. []1,6--
D. []0,5-6.已知点P 是ΔABC 的重心，则AP =( )A. AP =1
6AB +1
6AC B. AP =14AB +1
4AC C. AP =2
3AC +1
3BC D. AP =2
3AB +1
3BC
7.如图2是计算39
1
51311++++
值的一个程序框图,其中判断框内应填的是( )
A. i >10
B. i <10
C. i >20
D. i <20
图1
图2
8.某四面体的三视图如图3所示，该四面体四个面的面积中最大的是( )
A. 8
B. 6
2 C. 10 D. 8
2
9.三角函数值sin 1，sin 2，sin 3的大小顺序是( )A. sin 1>sin 2>sin 3 B. sin 2>sin 1>sin 3C. sin 1>sin 3>sin 2
D. sin 3>sin 2>sin 1
10.四面体ABCD 外接球球心在CD 上，且2CD =
，AB =
13.已知曲线1ln +=x y ，则斜率为3的切线方程为
．
14.过点(1,3)P ，在x 轴上的截距和在y 轴上的截距相等的直线方程为
．
15.已知m b
a
==72，2
1
11=+b a ，则=m
．
图3
16.平面上动点M 到定点F （3,0）的距离比M 到y 轴的距离大3，则动点M 满足的方程为
．
三、解答题：本题共7小题，共70分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

(一)必考题:共60分. 17.(本小题12分)
在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为c b a ,,，sin sin 02c A C π⎛
⎫+= ⎪⎝
⎭，
6=c .
（1）求角C ；
（2）若=c ，求ABC ∆的周长.18.(本小题12分)
第18届亚洲杯将于2024年1月12日在卡塔尔举行，该比赛预计会吸引亿万球迷观看.为了了解某校大学生喜爱观看足球比赛是否与性别有关，该大学记者站随机抽取了100名学生进行统计，其中女生喜爱观看足球比赛的占女生人数的1
4，男生
有10人表示不喜欢看足球比赛．
（1）完成下面2×299.999%的把握认为喜爱观看足球比赛与性别有关联？
男
女
合计
喜爱看足球比赛不喜爱看足球比赛
合计
60
（2）在不喜爱观看足球比赛的观众中，按性别用分层随机抽样的方式抽取8人，再从这8人中随机抽取2人参加校记者站的访谈节目，求抽到的男生人数为1人的概率．
附：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中d c b a n +++=．
P （K 2≥k ）0.0500.0100.001
k 3.841 6.63510.828
19.(本小题12分)
如图4，在三棱锥P -ABC 中，PA ⊥AB ，PA ⊥BC ，AB ⊥BC ，PA ＝AB ＝BC ＝2，D 为线段AC 的中点，E 为线段PC 上一点．
（1）求证：平面BDE ⊥平面PAC ；
（2）当BDE PA 平面//时，求三棱锥E -BCD 的体积．
图4
西安中学 高三年级 数学（文科）答案 第1页 共5页
一、单选题题号123456789101112选项
D
C
A
B
B
D
C
C
B
C
A
B
二、填空题
13. 3ln 3-=x y ； 14.043=-+=y x x y 或； 15. 196； 16. )0(0122≤==x y x y 或 ．
三、解答题
17.解：（1）由sin sin 02c A C π⎛⎫
++
= ⎪⎝
⎭
得0cos 3sin =+C a A c 由正弦定理得：0cos sin 3sin sin =+C A A C 又 0
sin ≠A 0cos 3sin =+∴C C 即3tan -=C 又 ），（π0∈C 3
2π
=
∴C (2)6=c 且=
c 3
2=∴b 由余弦定理C ab b a c cos 2222-+=得（2
13
2212362
-⋅⋅-+=a a 即0)3432=+-a a ）（（
解得3432-==a a 或所以周长为6
34+18.解：(1)根据表格数据可知抽取的女生共40人，喜欢观看足球比赛的女生为40×1
4
=10人，
西安中学高2024届高三模拟考试(一)
数学学科（文科）答案
西安中学 高三年级 数学（文科）答案 第2页 共5页
可得得2×2列联表如下：
男
女合计喜爱看足球比赛
50
1060不喜爱看足球比赛103040合计
60
40
100
根据列联表中的数据计算得χ2
=100×(50×30−10×10)260×40×60×40=122536
≈34.028>10.828
所以有99.999%的把握认为喜爱观看足球比赛与性别有关联．
(2)按照分层随机抽样的方式抽取8人，根据抽样比可知其中男生2人，女生6人，记男生为a,b,女生为1,2,3,4,5,6，从8人中抽2人，所以可能结果如下：（a,b ）,（a,1）,（a,2）,（a,3）,（a,4）,（a,5）,（a,6）,
（b,1）,（b,2）,（b,3）,（b,4）,（b,5）,（b,6）, （1,2）,（1,3）,（1,4）,（1,5）,（1,6）,
（2,3）,（2,4）,（2,5）,（2,6）,
（3,4）,（3,5）,（3,6）,
（4,5）, （4,6）,
（5,6）共28种结果，
设事件A 表示“抽到男生人数为1人”，共12种结果，故7
3
2812)(==A P 19.（1）BC PA AB PA ⊥⊥, B
BC AB = ABC PA 平面⊥∴
又ABC BD 平面⊆
所以PA BD
⊥因为AB BC =，D 为AC 中点，所以BD AC ⊥，所以BD ⊥平面PAC ，BDE BD 平面⊆所以平面BDE ⊥平面PAC .
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（2）因为PA ∥平面BDE ，平面PAC 平面BDE DE =，所以PA DE ∥.
因为D 为AC 的中点，所以1
12
DE PA =
=
，BD DC ==由（1）知，PA ⊥平面PAC ，所以DE ⊥平面PAC .所以三棱锥E BCD -的体积1163
V BD DC DE =
⋅⋅=.20.解：（1）()e 10x
f x ='-=，得0x =，
21.(1)=2,=2
3,=a 2+b 2,解得a =1,
b = 3
c =2,，
所以双曲线C 的方程为x 2−y 23=1．
(2)证明：设直线PQ 的方程为x =my +2．
西安中学 高三年级 数学（文科）答案 第4页 共5页
将其与双曲线的方程联立
x 2−y 2
3=1,
x =my +2,
消去x 得(my +2)2−y 2
3=1，整理得(3m 2−1)y 2+12my +9=0(∗)，设P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)，则y 1，y 2是方程(∗)的两根，则y 1+y 2=−12m
3m 2−1，y 1y 2=9
3m 2−1．
因为直线AP 的方程为y =y 1
x 1+1(x +1)，直线BQ 的方程为y =y 2
x 2−1(x−1)，联立方程组
y =y 1
x 1+1(x +1),y =
y 2
x 2−1
(x−1),得x T +1
x T −1=y 2(x 1+1)
y 1(x 2−1)=y 2(my 1+3)
y 1(my 2+1)=my 1y 2+3y 2
my 1y 2+y 1
=my 1y 2+3(y 1+y 2)−3y 1
my 1y 2+y 1
=
m
3m 2−1
3⋅
−12m
3m 2−1
−3y 1
m ⋅
93m 2−1
+y 1
=−3，
由此解得x T =1
2，故点T 在定直线x =1
2上.
西安中学高三年级数学（文科）答案第5页共5页。