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2007年考研数学一数学三真题及答案

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2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案

全国硕士研究生入学统一考试数学三试题答案答案速查： 一、选择题二、填空题三、解答题（17）曲线()y y x =在点（1，1）附近是凸的. （18）11)3+ （19）略（20）11011(1)()()(1),(1,3)532n nn n n f x x x ∞++=-=-+-∈-∑（21）1a =，此时所有公共解为[1,0,1]Tx k =-，其中k 为任意常数；2a =，此时唯一公共解为[0,1,1]Tx =-（22）（Ⅰ）B 的特征值为-2,1,1；B 的属于特征值-2的全部特征向量为11k α（1k 为非零的任意常数），B 的属于特征值1的全部特征向量为2233k k αα+（23,k k 为不全为零的任意常数）（Ⅱ）011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭（23）（Ⅰ）{}7224P X Y >=；（Ⅱ）2(2),01,()(2),12,0,Z z z z f z z z -<<⎧⎪=-≤<⎨⎪⎩其他（24）（Ⅰ）1ˆ=22X θ-;（Ⅱ）24()X 不是2θ的无偏估计量 一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1）【答案】（B ） 【解析】利用当0x →时的等价无穷小关系ln(1)x x +:，即知当0x +→时ln(1:故选B..（2）【答案】 (D)【解析】方法1:论证法，由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续，所以00()(0)lim ()lim()0,x x f x f f x x x→→===（A ）正确；由于00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在，所以'(0)f 存在.（C ）也正确； 由()f x 在0x =处连续，所以()f x -在0x =处连续，从而()()f x f x +-在0x =处连续，将它看成（A ）中的()f x ，从而推知(0)(0)0,f f +-=即有2(0)0,(0)0f f ==.所以（B ）正确，此题选择（D ）.方法2：举例法，举例说明（D ）不正确.例如取()f x x =，有00()()lim lim 00x x x x f x f x x x→→----==- 而'(0)f 并不存在. （D ）不正确，选（D ）. （3）【答案】（C ）【解析】由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而323223(3)()()(),288(2)(),2F f t dt f t dt f t dt F f t dt ππππ==+=-===⎰⎰⎰⎰所以(3)F - 3(2)4F =，选择C （4）【答案】（B ）【解析】画出该二次积分所对应的积分区域D ，交换为先x 后y11sin 0sin 2(,)(,)xarc ydx f x y dy dy f x y dx ππππ-=⎰⎰⎰⎰， 所以选择(B).（5）【答案】（D ） 【解析】'()22.()16021602Q P PP P Q P P P-===--需求弹性 由题知，它等于1，解之，40.P =所以选(D)（6）【答案】（D ） 【解析】001lim lim ln(1),x x x y e x →→⎛⎫=++=∞⎪⎝⎭所以0x =是一条垂直渐近线；1lim lim ln(1)0,x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++= ⎪⎝⎭所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线； 又 21ln(1)ln(1)1lim lim lim lim 1,xx x x x x x x e y e e e x x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞⎛⎫+++=+== ⎪⎝⎭洛 ()()1lim lim ln(1)lim ln(1)x x x x x y x e x e x x →+∞→+∞→+∞⎛⎫-=++-=+- ⎪⎝⎭ 1lim ln()lim ln(1)0,xx x x x e e e-→+∞→+∞+=+== 所以y x =也是一条渐近线，所以共有3条，选择（D ） （7）【答案】(A)【解析】根据线性相关的定义，若存在不全为零的数123,,k k k ，使得1122330k k k ααα++=成立.则称123,,ααα线性相关.因1223310αααααα-+-+-=， 故122331αααααα---，，线性相关，所以选择（A ）. （8）【答案】（B ）【解析】2111111111211210311211203E A λλλλλλλλλλ--=-=-=----()230λλ=-=因为A 的特征值是3，3，0，B 的特征值1，1，0，因为特征值不等，故不相似. A 与B 有相同的正惯性指数2，秩都等于2，所以A 与B 合同，应选（B ）.（9）【答案】(C)【解析】根据独立重复的贝努利试验，前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的，其概率为p .根据独立性，第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -=-g 所以应选（C ）.（10）【答案】(A)【解析】由于二维正态的(,)X Y 中X 与Y 不相关，故X 与Y 独立，且(,)()()X Y f x y f x f y =.根据条件概率密度的定义，当在Y y =条件下，如果()0,Y f y ≠则(,)()()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0，因此()().X X Y f x y f x = 应选(A).二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）【答案】 0【解析】方法1：由洛必达法则，()32223213262lim lim lim 22ln 232ln 26x x xx x x x x x x x x x x→+∞→+∞→+∞++++==+++ ()36lim0,2ln 26xx →+∞==+而(sin cos )x x +是有界变量，所以3231lim (sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+ 方法2：32133311lim(sin cos )lim (sin cos )221x x x x x x x x x x x x x x ---→+∞→+∞+++++=+++ 而 233222ln 22(ln 2)lim 2lim lim lim 36x x x xx x x x x x x x-→+∞→+∞→+∞→+∞===32(ln 2)lim 6x x →+∞==+∞， 所以 3231lim(sin cos )0.2x x x x x x x →∞+++=+（12）【答案】1(1)2!3n n n n +-【解析】()()()1232123,'(1)223,''(1)(2)223,,23y x y x y x x ---==+=-+=--++L由数学归纳法知()1()(1)2!23,n n nnyn x --=-+()1(1)2!(0)3n n n n n y +-= （13）【答案】''122()y x f f x y-+【解析】12122211'';'',z y z x f f f f x x y y x y ⎛⎫∂∂⎛⎫=⋅-+⋅=⋅+⋅- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝⎭''122()z z y xxy f f x y x y∂∂-=-+∂∂ （14）【解析】典型类型按标准解法.命,y ux =有,dy duu x dx dx=+原方程化为 31,2du u x u u dx +=- 即 32,du dx u x =-积分，得 21ln x C u=+化为y ，得 22ln x y x C=+解出y =再以(1,1)代入，1,C =所以得特解y =.（15）【答案】 1 【解析】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪== ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭32001001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭显然()31.r A=(16) 【答案】34【解析】所有可能随机在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ，12X Y -<。

2007年考研数学一试卷真题及答案解析

2007年考研数学一试卷真题及答案解析

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→等价的无穷小量是(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ]【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

考研数学三真题(2007年)

考研数学三真题(2007年)

2007年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内. （1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是( ) （A ）1e x - （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - （2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：( )（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()l im x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：( )（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F =（C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =--（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于( )（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是( )(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为( ) （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3.（7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则( ) (A) 122331,,αααααα---(B) 122331,,αααααα+++(C) 1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++.（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B ( )(A) 合同且相似 （B ）合同，但不相似. (C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为( ) （A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -. （C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p -（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为( )(A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D) ()()X Y f x f y .二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________.（13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 . （16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 .三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性.设二元函数222,||||11(,),1||||2x x y f x y x y x y ⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩，计算二重积分D (,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.（21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵. （I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B .设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度.2007年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题答案1.解:当0x +→时，1exx --，1112x x +-，()2111cos 22x xx -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，0001111lnln(1)ln(1)1112lim lim lim 112x x x x x x x x x x x xx+++→→→++⋅+--+--==，或1lnln(1)ln(1)()()()1xx x x o x x o x x o x x x+=+--=+++=+-.所以应选（B ） 2.解:取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)3.解:利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰. 所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）.4.解:由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）. 5.解:选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140Q P PP -⋅==⇒=，故选（D ）.6.解:()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e x x x y x →→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线；()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0limlim 11xxx x x x x x yx x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==， []()1lim lim ln 1e 0x x x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.7.本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.解:由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.8.本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.解: 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B合同，故选（B ）.9.解:p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.10.本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 解:因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）. 11.本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.解:因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.12.本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.解:()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 13.本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 解:利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 14.本题为齐次方程的求解，可令yu x=. 解:令yu x=，则原方程变为33d 1d d d 22u u x u xu u x u x+=-⇒=-. 两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y ==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即ln 1xy x =+，1e x ->. 15.先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.解:30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 16.根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便.解:利用几何概型计算. 图如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.17.】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得. 解: 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， A1/2 11 /2Oyx即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.18.由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 解:因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以 1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而 1222D 1,0,012,0,01(,)d d d x y x y x y x y f x y x x yσσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222222220011011d d d d d d xx x x x x y x y x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()12ln 1212=++. 所以 ()D1(,)d 42ln 123f x y σ=++⎰⎰.【评】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：2212120,00,01(,)d d x y x y x y x y f x y x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=+⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰2ln(12)=+.19.由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.解:令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=，于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评】对命题为()()0n f ξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n f x -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n f x -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件. 20.本题考查函数的幂级数展开，利用间接法. 解:211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ， 所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收敛区间为 13x -<<.21.将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a . 解:将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭.21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎪⎪-- ⎪ ⎪→→⎪ ⎪-+-- ⎪⎪----⎝⎭⎝⎭.显然，当1,2a a ≠≠时无公共解.当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数； 当2a =时，可求得公共解为 ()T 0,1,1ξ=-.22.本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.解:（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-， 则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量. 同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=. 所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数. 由前可知B 的属于－2的特征向量为 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.23.（I ）可化为二重积分计算； (II) 利用卷积公式可得. 解:（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx yP X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰.(II) 利用卷积公式可得 ()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他.（24） (本题满分11分)【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E X θ=.解:（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰，令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而()2221221()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰，所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故24X 不是2θ的无偏估计量.。

2007年考研数一真题及解析

2007年考研数一真题及解析

2007年考研数学一真题及参考答案一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内）（1） 当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 (B) A. 1xe- B.1ln1xx+- C. 11x +- D.1cos x -(2) 曲线y=1ln(1x e x++), 渐近线的条数为 (D) A.0 B.1 C.2 D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰.则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F + D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C)A. 若0()limx f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()lim x f x f x x→+- 存在，则f （0）=0C. 若0()lim x f x x → 存在，则'(0)f =0D. 若0()()lim x f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰ B. (,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++（C ）1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似(D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y(D)()()X Y f x f y 二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

2007考研数学三真题及答案解析

2007考研数学三真题及答案解析

y
y(2 ln y)
求在(1,1)的值：y''
x 1
( y'
)2
x 1
1(2 ln1)
1 8
0
所以y y(x)在点(1,1)处是凸的
（18）（本题满分 11 分）
设二元函数
x2.
f
(x,
y)
1, x2 y2
x y 1. 1 x y 2.
计算二重积分 f (x, y)d .其中 D (x, y) x y 2
(D) 1 2 2 , 2 23 ,3 21
2 1 1
1 0 0
（8）设矩阵 A 1 2 1 ， B 0 1 0 则 A 与 B （B）
1 1 2
0 0 0
（A）合同，且相似
(B) 合同，但不相似
(C) 不合同，但相似
(D) 既不合同，也不相似
(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第 4 次射击恰 好第 2 次命中目标的概率为 (C)
所以 B 的全部特征值为－2，1，1.
前面已经求得1 为 B 的属于－2 的特征值，而 A 为实对称矩阵，
于是根据 B 与 A 的关系可以知道 B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特 征向量正交，设 B 的属于 1 的特征向量为 ( x1, x2 , x3 )T ，所以有方程如下：
x1 x2 x3 0 于是求得 B 的属于 1 的特征向量为 2 (1, 0,1)T , 3 (1,1, 0)T 因而，矩阵 B 属于 2 的特征向量是是 k1 (1, 1,1)T ，其中 k1 是不为零的任意常数. 矩阵 B 属于 1 的特征向量是是 k2 (1,1, 0)T k3 (1, 0,1)T ，其中 k2 , k3 是不为零的任意 常数.

2007年考研数学三真题及解析

2007年考研数学三真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当）.（2） 设函数在处连续，下列命题错误的是： ( ).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（3） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（ ） .（4） 设函数连续，则二次积分等于（ ）（5） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）10 20 30 40（6） 曲线渐近线的条数为（ ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ） (B) （C ） (D)（8）设矩阵，则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为( ) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则________. （14）微分方程满足的特解为__________.（15）设距阵则的秩为_______.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分）设二元函数计算二重积分其中（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得 （20）（本题满分10分）2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()(0)_________n y =(,)f u v (,),y x z f x y =z zy x y∂∂-=∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y ==01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 12()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =2.1.(,)12.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. （24）（本题满分11分）设总体的概率密度为 . 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由.21()34f x x x =--1x -1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θ2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（7） 当B ）.（8） 设函数在处连续，下列命题错误的是： (D).若存在，则 若存在，则.若存在，则存在 若存在，则存在（9） 如图.连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设则下列结论正确的是：（C ） .（10） 设函数连续，则二次积分等于（B ）（11） 设某商品的需求函数为，其中，分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）10 20 30 40 （12） 曲线渐近线的条数为（D ） 0 1 2 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ） (B) (C) (D)（8）设矩阵，则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)0x +→A 1-.ln(1B +1C -.1D -()f x 0x =A 0()limx f x x →(0)0f =.B 0()()lim x f x f x x →+-(0)0f =.C 0()limx f x x →'(0)f .D 0()()lim x f x f x x→--'(0)f ()y f x =[][]3,2,2,3--[][]2,0,0,2-0()(),xF x f t dt =⎰.A (3)F 3(2)4F =--.B (3)F 5(2)4F =.C (3)F -3(2)4F =-.D (3)F -5(2)4F =--(,)f x y 1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 1arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰.D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰1602Q ρ=-Q ρ.A .B .C .D 1ln(1),x y e x=++.A .B .C .D 12αα-2131,,αααα--21αα-2331,,αααα++1223312,2,2αααααα---1223312,2,2αααααα+++211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭(10) 设随机变量服从二维正态分布，且与不相关，分别表示X, Y 的概率密度，则在条件下，的条件概率密度为 (A) （A ） (B) (C) (D)二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）.（12）设函数，则. （13）设是二元可微函数，则. （14）微分方程满足的特解为. （15）设距阵则的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于的概率为＿＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数由方程确定，试判断曲线在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：（18）（本题满分11分） 设二元函数2()3(1)A p p -2()6(1)B p p -22()3(1)C p p -22()6(1)D p p -(,)X Y X Y (),()x y f x f y Y y =X ()X Y x y f ()X f x ()y f y ()()x y f x f y ()()x y f x f y 3231lim (sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+123y x =+()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=(,)f u v (,),y x z f x y =''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂31()2dy y y dx x x=-11x y==221ln x y x=+01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭3A 1234()y y x =ln 0y y x y -+=()y y x =''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()101(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y y y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的计算二重积分其中【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设是D 在第一象限中的部分，即利用被积函数无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得设，其中于是由于，故为计算上的二重积分，可引入极坐标满足.在极坐标系中的方程是的方程是， ，因而 ，故令作换元，则，于是且，代入即得综合以上计算结果可知2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤(,).Df x y d σ⎰⎰{}(,)2D x y x y =+≤1D {}1(,)0,0D Dx y x y =≥≥(,)f x y 1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰11112D D D =+{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-1111122200111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰12D (,)r θcos ,sin x r y r θθ==(,)r θ1x y +=1,2cos sin r x y θθ=+=+2cos sin r θθ=+12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰tan2t θ=2arctan t θ=:0:012t πθ→⇔→2222212,cos ,sin 111dt t td t t tθθθ-===+++12112220000112210010122(1)cos sin 122(1)22 221)D dt dtd t u t t t du du du u u πθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰11(,)41)1)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数，在上内二阶可导且存在相等的最大值，又＝，＝，证明： （Ⅰ）存在使得； （Ⅱ）存在使得【详解】：证明：(1)设在内某点同时取得最大值，则，此时的c 就是所求点.若两个函数取得最大值的点不同则有设故有，由介值定理，在内肯定存在(2)由(1)和罗尔定理在区间内分别存在一点＝0在区间内再用罗尔定理，即. （20）（本题满分10分）将函数展开成的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组()f x ()g x [],a b ()f a ()g a ()f b ()g b (,),a b η∈()()f g ηη=(,),a b ξ∈''()''().f g ξξ=(),()f x g x (,)a b (,)c a b ∈()()f c g c =()()f g ηηη=使得()max (),()max ()f c f x g d g x ==()()0,()()0f c g c g d f d ->-<(,)c d ()()f g ηηη=使得(,),(,)a b ηη''1212,,()()f f ξξξξ使得＝12(,)ξξ''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得21()34f x x x =--1x -102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解的解.即距阵方程组(3)有解的充要条件为.当时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为此时的公共解为：当时，方程组(3)的系数距阵为此时方程组(3)的解为，即公共解为： （22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值是A 的属于的一个特征向量.记，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证，于是 于是是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 ， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为，所以有方程如下：于是求得B 的属于1的特征向量为因而，矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. 矩阵B 属于的特征向量是是，其中是不为零的任意常数. （Ⅱ）由有 令矩阵，1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪⎪++⎝⎭1,2a a ==1a =(1,0,1)T ξ=-,1,2,x k k ξ==2a =111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1230,1,1x x x ===-(0,1,1)T k -12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-1λ534B A A E =-+1α111(1,2,3...)n n A n αλα==5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-1α53()()4()1B A A λλλ=-+1α123(,,)T x x x 1230x x x -+=23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=2μ=-1(1,1,1)T k -1k 1μ=23(1,1,0)(1,0,1)T T k k +-23,k k 1122332,,,B B B ααβαββ=-==123123(,,)(2,,)B αααβββ=-则，所以 那么（23）（本题满分11分）设二维随机变量的概率密度为（Ⅰ）求； （Ⅱ）求的概率密度. 【详解】：（Ⅰ），其中D 为中的那部分区域；求此二重积分可得 （Ⅱ）当时，； 当时，；当时，当时， 于是（24）（本题满分11分）设总体的概率密度为. 其中参数未知，是来自总体的简单随机样本，是样本均值. （Ⅰ）求参数的矩估计量；（Ⅱ）判断是否为的无偏估计量，并说明理由. 【详解】：（Ⅰ）记，则 ，解出，因此参数的矩估计量为； 1(2,1,1)P BP diag -=-11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦(,)X Y 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他{}2P X Y >Z X Y =+()Z f z {}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰01,01x y <<<<2x y >{}11202(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724={}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤0z ≤()0Z F z =2z ≥()1Z F z =01z <<3201()(2)3zz xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰12z <<1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他X 1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他(01)θθ<<12,,...n X X X X X θθ24X 2θEX μ=1022(1)x x EX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+122θμ=-θ122X θ=-（Ⅱ）只须验证是否为即可，而，而 ，，， 于是 因此不是为的无偏估计量.2(4)E X 2θ22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n==+=+1142EX θ=+221(12)6EX θθ=++22251()481212DX EX EX θθ=-=-+222533131(4)1233n n n E X n n nθθθ+-+=++≠24X 2θ。

2007年考研数学三真题及完整解析

2007年考研数学三真题及完整解析

2007年研究生入学考试数学三试题一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.（1）当0x +→时，与x 等价的无穷小量是 （A ）1ex - （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是：（A ）若0()limx f x x →存在，则(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，则(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)0f '=.[ ]（3）如图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设0()()d xF x f t t =⎰，则下列结论正确的是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等于（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰（B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）设某商品的需求函数为1602Q P =-，其中,Q P 分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲线()1ln 1e x y x=++的渐近线的条数为 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）设向量组123,,ααα线性无关，则下列向量组线性相关的是线性相关，则 (A) 122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）设矩阵211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则A 与B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为(01)p p <<，则此人第4次射击恰好第2次击中目标的概率为（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ]（10）设随机变量(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度，则在Y y =的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Y f x y 为 (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空题：11～16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上.（11） 3231lim(sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________. （12）设函数123y x =+，则()(0)n y =________. （13） 设(,)f u v 是二元可微函数，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，则z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭满足11x y==的特解为y =________.（15）设矩阵0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，则3A 的秩为 . （16）在区间()0,1中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为 . 三、解答题：17～24小题，共86分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17） (本题满分10分)设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点(1,1)附近的凹凸性. （18） (本题满分11分)设二元函数222,||||11(,),1||||2x x y f x y x y x y ⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩，计算二重积分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本题满分11分)设函数(),()f x g x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且存在相等的最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本题满分10分)将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间. （21） (本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩与方程12321x x x a ++=-有公共解，求a 的值及所有公共解.（22） (本题满分11分)设三阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A 的属于1λ的一个特征向量，记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（I ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （II ）求矩阵B . （23） (本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >； (II) 求Z X Y =+的概率密度.2007答案1….【分析】本题为等价无穷小的判定，利用定义或等价无穷小代换即可. 【详解】当0x +→时，1exx --，1112x x +-，()2111cos 22x xx -=， 故用排除法可得正确选项为（B ）.事实上，0001111lnln(1)ln(1)1112lim lim lim 112x x x x x x x x x x x xx+++→→→++⋅+--+--==，或1lnln(1)ln(1)()()()1xx x x o x x o x x o x x x+=+--=+++=+-.所以应选（B ）【评注】本题为关于无穷小量比较的基本题型，利用等价无穷小代换可简化计算. 类似例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.54】 【例1.55】.2…….【分析】本题考查可导的极限定义及连续与可导的关系. 由于题设条件含有抽象函数，本题最简便的方法是用赋值法求解，即取符合题设条件的特殊函数()f x 去进行判断，然后选择正确选项.【详解】取()||f x x =，则0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可导，故选（D ）.事实上，在(A),(B)两项中，因为分母的极限为0，所以分子的极限也必须为0，则可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，则00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)项正确，故选(D)【评注】对于题设条件含抽象函数或备选项为抽象函数形式结果以及数值型结果的选择题，用赋值法求解往往能收到奇效.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例2】，文登07考研模拟试题数学二第一套（2）.3…….【分析】本题实质上是求分段函数的定积分. 【详解】利用定积分的几何意义，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==，202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故选（C ）. 【评注】本题属基本题型. 本题利用定积分的几何意义比较简便.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第5讲【例17】和【例18】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例3.38】【例3.40】.4…….【分析】本题更换二次积分的积分次序，先根据二次积分确定积分区域，然后写出新的二次积分. 【详解】由题设可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，则01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故应选（B ）.【评注】本题为基础题型. 画图更易看出.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例5】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.5】，【例7.6】.5…….【分析】本题考查需求弹性的概念. 【详解】选（D ）.商品需求弹性的绝对值等于d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故选（D ）.【评注】需掌握微积分在经济中的应用中的边际，弹性等概念.相关公式及例题见《数学复习指南》（经济类）第一篇【例11.2】.6…….【分析】利用曲线的渐近线的求解公式求出水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线，然后判断. 【详解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0xxx x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲线的水平渐近线；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲线的垂直渐近线； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1l i m l i m l n 1e 0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲线的斜渐近线.故选（D ）.【评注】本题为基本题型，应熟练掌握曲线的水平渐近线，垂直渐近线和斜渐近线的求法.注意当曲线存在水平渐近线时，斜渐近线不存在. 本题要注意e x当,x x →+∞→-∞时的极限不同.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲第4节【例12】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.30】，【例5.31】.7……..【分析】本题考查由线性无关的向量组123,,ααα构造的另一向量组123,,βββ的线性相关性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，则123,,βββ线性相关；若0A ≠，则123,,βββ线性无关. 但考虑到本题备选项的特征，可通过简单的线性运算得到正确选项.【详解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知应选（A ）.或者因为()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---线性相关，故选（A ）.【评注】本题也可用赋值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中的向量并分别组成一个矩阵，然后利用矩阵的秩或行列式是否为零可立即得到正确选项.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）《线性代数》【例3.3】.8……【分析】本题考查矩阵的合同关系与相似关系及其之间的联系，只要求得A 的特征值，并考虑到实对称矩阵A 必可经正交变换使之相似于对角阵，便可得到答案.【详解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A 的特征值为3,3,0；而B 的特征值为1,1,0.所以A 与B 不相似，但是A 与B 的秩均为2，且正惯性指数都为2，所以A 与B 合同，故选（B ）. 【评注】若矩阵A 与B 相似，则A 与B 具有相同的行列式，相同的秩和相同的特征值. 所以通过计算A 与B 的特征值可立即排除（A ）（C ）. 完全类似例题见《数学复习指南》（经济类）第二篇【例5.17】.9……..【分析】本题计算贝努里概型，即二项分布的概率. 关键要搞清所求事件中的成功次数. 【详解】p ＝｛前三次仅有一次击中目标，第4次击中目标｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故选（C ）.【评注】本题属基本题型.类似例题见《数学复习指南》（经济类）第三篇【例1.29】【例1.30】10…….【分析】本题求随机变量的条件概率密度，利用X 与Y 的独立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解.【详解】因为(),X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，所以X 与Y 独立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，应选（A ）.【评注】若(),X Y 服从二维正态分布，则X 与Y 不相关与X 与Y 独立是等价的.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇第二章知识点精讲中的一（4），二（3）和【例2.38】11….【分析】本题求类未定式，可利用“抓大头法”和无穷小乘以有界量仍为无穷小的结论.【详解】因为323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【评注】无穷小的相关性质：（1） 有限个无穷小的代数和为无穷小； （2） 有限个无穷小的乘积为无穷小； （3） 无穷小与有界变量的乘积为无穷小.完全类似例题和求法见文登强化班笔记《高等数学》第1讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例1.43】12,……..【分析】本题求函数的高阶导数，利用递推法或函数的麦克老林展开式.【详解】()212,2323y y x x '==-++，则()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第2讲【例21】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【2.20】，【例2.21】.13…….【分析】本题为二元复合函数求偏导，直接利用公式即可. 【详解】利用求导公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【评注】二元复合函数求偏导时，最好设出中间变量，注意计算的正确性.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第9讲【例8】, 【例9】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例6.16】,【例6.17】,【例6.18】.14…..【分析】本题为齐次方程的求解，可令y u x=. 【详解】令yu x=，则原方程变为 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.两边积分得 2111ln ln 222x C u -=--， 即222111e e y u x x x C C=⇒=，将11x y ==代入左式得 e C =，故满足条件的方程的特解为 22e e x y x =，即ln 1x y x =+，1e x ->.【评注】本题为基础题型.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第7讲【例2】, 【例3】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例9.3】.15……….【分析】先将3A 求出，然后利用定义判断其秩.【详解】30100000100100000()1000100000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【评注】本题为基础题型.矩阵相关运算公式见《数学复习指南》（经济类）第二篇第二章第1节中的知识点精讲.16……….【分析】根据题意可得两个随机变量服从区间()0,1上的均匀分布，利用几何概型计算较为简便. 【详解】利用几何概型计算. 图如下：A1/2 11 /2Oyx所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===. 【评注】本题也可先写出两个随机变量的概率密度，然后利用它们的独立性求得所求概率.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.29】，【例2.47】.17……..【分析】由凹凸性判别方法和隐函数的求导可得.【详解】 方程 ln 0y y x y -+=两边对x 求导得ln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，则1(1)2y '=. 上式两边再对x 求导得()2(2ln )0y y y y'''++=则1(1)8y ''=-，所以曲线()y y x =在点(1,1)附近是凸的.【评注】本题为基础题型.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第6讲【例10】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例5.29】.18…….【分析】由于积分区域关于,x y 轴均对称，所以利用二重积分的对称性结论简化所求积分. 【详解】因为被积函数关于,x y 均为偶函数，且积分区域关于,x y 轴均对称，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 为D 在第一象限内的部分.而1222D 1,0,012,0,01(,)d d d x y x y x y x y f x y x x yσσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222222220011011d d d d d d xx x x x x y x y x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()12ln 1212=++. 所以()D1(,)d 42ln 123f x y σ=++⎰⎰.【评注】被积函数包含22y x +时, 可考虑用极坐标，解答如下：2212120,00,01(,)d d x y x y x y x y f x y x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=+⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰2ln(12)=+.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第10讲【例1】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例7.3－例7.4】.19…….【分析】由所证结论()()f g ξξ''''=可联想到构造辅助函数()()()F x f x g x =-，然后根据题设条件利用罗尔定理证明.【详解】令()()()F x f x g x =-，则()F x 在[],a b 上连续，在(,)a b 内具有二阶导数且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 内同一点c 取得最大值，则()()()0f c g c F c =⇒=， 于是由罗尔定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 内不同点12,c c 取得最大值，则12()()f c g c M ==，于是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 于是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 于是由罗尔定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用罗尔定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【评注】对命题为()()0n fξ=的证明，一般利用以下两种方法：方法一：验证ξ为(1)()n fx -的最值或极值点，利用极值存在的必要条件或费尔马定理可得证；方法二：验证(1)()n fx -在包含x ξ=于其内的区间上满足罗尔定理条件.类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第4讲【例7】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例4.5】，【例4.6】.20….【分析】本题考查函数的幂级数展开，利用间接法.【详解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而 10011111(1),2414333313n nn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑， 10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ， 所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n n n n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收敛区间为 13x -<<.【评注】请记住常见函数的幂级数展开.完全类似例题见文登强化班笔记《高等数学》第11讲【例13】，《数学复习指南》（经济类）第一篇【例8.15】.21…..【分析】将方程组和方程合并，然后利用非齐次线性方程有解的判定条件求得a .【详解】将方程组和方程合并，后可得线性方程组12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其系数矩阵22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 显然，当1,2a a ≠≠时无公共解.当1a =时，可求得公共解为 ()T1,0,1k ξ=-,k 为任意常数； 当2a =时，可求得公共解为 ()T 0,1,1ξ=-. 【评注】本题为基础题型，考查非齐次线性方程组解的判定和结构.完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第4讲【例8】，《数学复习指南》（经济类）第二篇【例4.12】，【例4.15】.22……【分析】本题考查实对称矩阵特征值和特征向量的概念和性质.【详解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-， 则1α是矩阵B 的属于－2的特征向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=. 所以B 的全部特征值为2，1，1设B 的属于1的特征向量为T 2123(,,)x x x α=，显然B 为对称矩阵，所以根据不同特征值所对应的特征向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程组可得B 的属于1的特征向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 为不全为零的任意常数.由前可知B 的属于－2的特征向量为 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不为零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，则011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【评注】本题主要考查求抽象矩阵的特征值和特征向量，此类问题一般用定义求解，要想方设法将题设条件转化为Ax x λ=的形式. 请记住以下结论：（1）设λ是方阵A 的特征值，则21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分别有特征值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且对应的特征向量是相同的.（2）对实对称矩阵来讲，不同特征值所对应的特征向量一定是正交的完全类似例题见文登强化班笔记《线性代数》第5讲【例12】，《数学复习指南》（经济类） 第二篇【例5.24】23…….【分析】（I ）可化为二重积分计算；(II) 利用卷积公式可得.【详解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷积公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【评注】 (II)也可先求出分布函数，然后求导得概率密度.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第3讲【例10】，【例11】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例2.38】，【例2.44】.（24） (本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他 12(,,X X …,)n X 为来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（I ）求参数θ的矩估计量θ；（II ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判断()?224E Xθ=. 【详解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰， 令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰， 所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+，所以()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故24X 不是2θ的无偏估计量.【评注】要熟练掌握总体未知参数点估计的矩估计法，最大似然估计法和区间估计法.完全类似例题见文登强化班笔记《概率论与数理统计》第5讲【例3】，《数学复习指南》（经济类）第三篇【例6.3，例6.6，例6.9】，。

2007年数一真题试题+答案

2007年数一真题试题+答案

2007 年全年硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题： 1～ 10 小题 , 每小题 4 分, 共 40 分, 下列每题给出的四个选项中 , 只有一个选项符合题目要求 , 请将所选项前的字母填在答题纸 指定位置上．．．．(1) 当 x 0 时 , 与 x 等价的无穷小量是 ( )(A)1 e x.(B)ln1x . (C)1x1. (D)1 cos x .1x答案： (B) .(2) 曲线 y1 ln(1 e x ) 渐近线的条数为 ( )0 x1.23(A) . (B)(C).(D).答案： (D) .(3) 如图 , 连续函数 yf ( x) 在区间 3, 2 , 2,3 上的图形分别是直径为1 的上、下半圆周 , 在区2,0 ,0,2 上的图形分别是直径为xf (t)dt , 则下列结论正确间2 的上、下半圆周 , 设 F ( x)的是( )(A) F (3)3 F( 2).(B)F (3)5F(2) .44(C) F( 3)3F(2).(D)F( 3)5F ( 2) .44答案： (C) .(4) 设函数 f ( x) 在 x0 处连续 , 则下列命题错误 的是 ( )．．(A) 若 limx 0(C) 若 limx 0答案： (D) .(5) 设函数 f ( x) 确的是() f ( x) 存在 , 则 f (0) 0 .(B)若 lim f ( x)f ( x)存在 , 则 f (0)0 .xx 0xf ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .(D)若 lim f (x)f ( x)存在 , 则 f (0) 存在 .xx 0x在 (0, ) 上具有二阶导数 , 且 f ( x)0 , 令 u n f (n) (n 1,2, ) , 则下列结论正(A)若 u 1 u 2 , 则 u n 必收敛 .(B) 若 u 1 u 2 , 则 u n 必发散 . (C) 若 uu , 则 u 必收敛 .(D)若 uu , 则 u必发散 .12n12n答案： (D) .(6) 设曲线 L : f ( x, y)1( f ( x, y) 具有一阶连续偏导数 ), 过第Ⅱ象限内的点 M 和第Ⅳ象限内的点 N , 为 L 上从点 M 到点 N 的一段弧 , 则下列积分小于零 的是 ( )．．．(A)f (x, y)dx . (B)f ( x, y)dy .(C)f (x, y)ds .(D)f x (x, y)dx f y (x, y) dy .答案： (B) .(7) 设向量组1,2,3线性无关 , 则下列向量组线性相关 的是( )．．．． (A)(C)12 ,23,31 . (B) 12 ,23 ,31 .12 2 ,223 ,32 1 .(D)12 2 ,223 ,32 1 .答案： (A) .21 1 1 0 0(8) 设矩阵 A12 1 , B 0 1 0 ,则 A 与B ( ) 1120 0 0(A) 合同, 且相似 .(C) 不合同 , 但相似 . (B) 合同 , 但不相似 . (D)既不合同 , 也不相似 .答案： (B) .(9) 某人向同一目标独立重复射击 , 每次射击命中目标的概率为p(0p 1) , 则此人第 4 次射击恰好第 2 次命中目标的概率为( )(A)3 p(1 p) 2 . (B)6 p(1 p)2 .(C)3p 2 (1p)2 .(D)6p 2 (1 p)2 .答案： (C) .(10) 设随机变量 ( X ,Y) 服从二维正态分布 ,且 X 与Y 不相关 , f X ( x), f Y ( y) 分别表示 X , Y 的概率密度,则在Yy 条件下 , X 的条件概率密度 f X Y ( x y) 为 ( )(A)f X ( x) . (B)f Y ( y) .(C)f X ( x) f Y ( y) . (D)f X( x).f Y ( y)答案： (A) .二、填空题： 11～ 16 小题 , 每小题 4 分 , 共 24 分 , 请将答案写在答题纸 指定位置上 .．．． 21 1 .(11)x 3e xdx1答案： e .2(12)设 f (u, v) 为二元可微函数,z f ( x y , y x ), 则z.z x答案：f1 ( x y , y x ) yx y1f2 (x y , y x ) y x ln yx.(13)二阶常系数非齐次线性微分方程y4y3y2e2x的通解为y.答案：非齐次线性微分方程的通解为y C1e x C2e3 x2e2 x.(14)设曲面: x y z1,则( x y )dS.答案：( x y )dS1443. y dS3330 1 00(15)设距阵 A00 1 0,则A3的秩为.000 1000 0答案： r A3 1.(16)在区间 (0,1) 中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于1的概率为. 23答案：.三、解答题：17～ 24 小题 , 共 86 分 . 请将解答写在答题纸指定的位置上. 解答应写出文字说明、．．．证明过程或演算步骤.(17)( 本题满分 11 分)求函数 f (x, y) x22y2x2 y2, 在区域 D (x, y) x2y24, y0 上的最大值和最小值.答案：函数在 D 上的最大值为 f (0, 2) 8 ,最小值为 f (0,0)0 .(18) (本题满分10分)计算曲面积分 I xzdydz 2zydzdx 3xydxdy, 其中为曲面 z 1 x2 y2(0 z 1)的上侧.4答案：I.(19)( 本题满分 11 分)设函数 f ( x) , g (x) 在a, b 上连续,在(a, b)内二阶可导且存在相等的最大值, 又f ( a)＝g (a) , f (b) ＝ g(b) ,证明：存在(a,b), 使得 f ''( )g ''( ).证明：设(x) f (x) g( x) ,由题设 f ( x), g ( x) 存在相等的最大值, 设x1(a,b) ,x2(a, b)使 f ( x1 ) max f ( x) g( x2 ) max g( x) .[ a .b][ a.b ]若x1x2,即f ( x)与g( x)在同一点取得最大值, 此时 , 取x1,有f ( )g ( ) ；若 x1x2,不妨设 x1x2,则( x1 ) f (x1) g (x1) 0 ,(x2 ) f (x2 ) g( x2 ) 0 ,且( x) 在a,b 上连续,则由零点定理得存在(a, b), 使得( ) 0 ,即 f ( ) g( ) ；由题设 f (a) ＝ g (a) , f (b) ＝ g (b) ,则(a) 0(b) ,结合( ) 0 ,且(x) 在a, b 上连续 , 在(a, b)内二阶可导 , 应用两次使用罗尔定理知：存在1(a, ), 2 ( , b),使得( 1)＝0, ( 2)0.在[ 1,2 ] 再由罗尔定理,存在( 1, 2)，使( )0 .即 f ( ) g ( ) .(20)( 本题满分 10 分)设幂级数a n x n在 (,)内收敛,其和函数 y(x) 满足 y 2xy 4y 0, y(0) 0, y (0) 1.n 0(I) 证明a n22a n , n1,2, .n1(II)求 y( x) 的表达式.答案： (I)证明：对 y ax n n , 求一阶和二阶导数, 得y na n x n 1, y n(n 1)a n x n 2 ,n 0n 1n 2代入 y2xy 4 y 0 ,得n( n 1)a n x n 22x na n x n 1 4 a n x n0 .n 2n 1n 0即(n 1)(n 2) a n 2 x n2na n x n4a n x n0 .n 0n 1n 0于是2a 2 4a 0 00, n 1,2,,从而an 22a n , n 1,2, .1)a2an 1 (nn 2 n(II) yxe x 2.(21) ( 本题满分 11 分 )x 1 x 2 x 3 0设线性方程组x 1 2x 2 ax 30 (1) 与 方程 x 12x 2 x 3a 1 (2) 有公共解 , 求 a 得x 14x 2 a 2 x 3 0值及所有公共解 .1 1 1 0答案：当 a 1 时, ( A b)0 1 0 0 , 所以方程组的通解为 k (1,0, 1)T , k 为任意常数 , 此即为0 0 0 00 0 0方程组 (1) 与 (2) 的公共解 .1 11 0当 a2 时 , ( A b)1 1 0 , 此时方程组有唯一解(0,1, 1)T , 此即为方程组 (1) 与1 10 00 0(2) 的公共解 .(22) ( 本题满分11 分)设 3 阶实对称矩阵A 的特征值 1 1, 2 2, 3 2, 1 (1, 1,1)T是 A 的属于1 的一个特征向量 .记 BA 5 4 A 3 E ,其中 E 为3 阶单位矩阵 .(I)验证 1 是矩阵 B 的特征向量 , 并求 B 的全部特征值与特征向量； (II)求矩阵 B .答案：(I) 由 A 11 , 可得 A k1A k 1 ( A 1)A k 1 11 , k 是正整数 , 则B 1 (A 5 4A 3 E) 1 A 5 14A 31E 114112 1 ,于是 1 是矩阵 B 的属于特征值12特征向量 .所以 B 的所有的特征向量为：对应于12 的全体特征向量为 k 11 ,其中k 1 是非零任意常1k , k200011 (II)BP010P 110 1 .001110 (23) (本题满分11 分 )设二维随机变量( X ,Y) 的概率密度为 f ( x, y)2x y,0 x 1,0 y 1, 0,其他 ,(I)求PX 2Y；(II)求 Z X Y 的概率密度f Z(z).答案：111 5 x7(I)P X2Y dx xx y)dy2 ) dx.2 (2( x008242z z2 ,0z1,(II) f Z (z)z24z4,1z2,0,其他 .(24) (本题满分11 分)1,0 x,2设总体 X 的概率密度为 f (x; )1,x 1, 其中参数 (01) 未2(1)0,其他知,X1, X 2 ,... X n是来自总体X的简单随机样本,X是样本均值.(I)求参数的矩估计量；(II)判断 4X 22的无偏估计量 , 并说明理由 .是否为答案：(I)12X；222是否成立即可 .(II) 只须验证E(4 X )E(4X ) 4E(X ) 4(DX (EX )2) 4( 1DX (EX )2) ,22nE(X )1 1 , E(X 2)1(12 2),4 2 6D(X) E(X 2) (EX )25 12 1 2 ,代入得 E(4 X)5 3n 3n 14812 ,所以4X 不是2的无偏估计量 .3n 1 2 22212n 3n3n。

2007年考研数学三真题及完整解析

2007年考研数学三真题及完整解析

2007年研究生入學考試數學三試題一、選擇題：1～10小題，每小題4分，共40分. 在每小題給出の四個選項中，只有一項符合題目要求，把所選項前の字母填在題後の括弧內.（1）當0x +→時，與x 等價の無窮小量是 （A ）1ex - （B ）1ln1xx+- （C ）11x +- （D ）1cos x - [ ]（2）設函數()f x 在0x =處連續，下列命題錯誤の是：（A ）若0()limx f x x →存在，則(0)0f = （B ）若0()()lim x f x f x x→+-存在，則(0)0f = .（B ）若0()lim x f x x →存在，則(0)0f '= （D ）若0()()lim x f x f x x→--存在，則(0)0f '=.[ ]（3）如圖，連續函數()y f x =在區間[][]3,2,2,3--上の圖形分別是直徑為1の上、下半圓周，在區間[][]2,0,0,2-の圖形分別是直徑為2の下、上半圓周，設0()()d xF x f t t =⎰，則下列結論正確の是：（A ）3(3)(2)4F F =-- (B) 5(3)(2)4F F = （C ）3(3)(2)4F F = （D ）5(3)(2)4F F =-- [ ]（4）設函數(,)f x y 連續，則二次積分1sin 2d (,)d xx f x y y ππ⎰⎰等於（A ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （B ）10arcsin d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（C ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ+⎰⎰ （D ）1arcsin 02d (,)d yy f x y x ππ-⎰⎰（5）設某商品の需求函數為1602Q P =-，其中,Q P 分別表示需要量和價格，如果該商品需求彈性の絕對值等於1，則商品の價格是(A) 10. (B) 20 (C) 30. (D) 40. [ ] （6）曲線()1ln 1e x y x=++の漸近線の條數為 （A ）0. （B ）1. （C ）2. （D ）3. [ ] （7）設向量組123,,ααα線性無關，則下列向量組線性相關の是線性相關，則 (A) 122331,,αααααα---(B)122331,,αααααα+++(C)1223312,2,2αααααα---. (D) 1223312,2,2αααααα+++. [ ]（8）設矩陣211100121,010112000A B --⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=--= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，則A 與B(A) 合同且相似（B ）合同，但不相似.(C) 不合同，但相似. (D) 既不合同也不相似 [ ] （9）某人向同一目標獨立重複射擊，每次射擊命中目標の概率為(01)p p <<，則此人第4次射擊恰好第2次擊中目標の概率為（A ）23(1)p p -. （B ）26(1)p p -.（C ）223(1)p p -. （D ）226(1)p p - [ ]（10）設隨機變數(),X Y 服從二維正態分佈，且X 與Y 不相關，(),()X Y f x f y 分別表示,X Y の概率密度，則在Y y =の條件下，X の條件概率密度|(|)X Y f x y 為 (A) ()X f x . (B) ()Y f y . (C) ()()X Y f x f y . (D)()()X Y f x f y . [ ] 二、填空題：11～16小題，每小題4分，共24分. 把答案填在題中橫線上.（11） 3231lim (sin cos )2x x x x x x x →+∞+++=+ __________.（12）設函數123y x =+，則()(0)n y =________. （13） 設(,)f u v 是二元可微函數，,y x z f x y ⎛⎫=⎪⎝⎭，則z zx y x y ∂∂-=∂∂ __________.（14）微分方程3d 1d 2y y y x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭滿足11x y==の特解為y =________.（15）設矩陣0100001000010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，則3A の秩為 . （16）在區間()0,1中隨機地取兩個數，則這兩個數之差の絕對值小於12の概率為 . 三、解答題：17～24小題，共86分. 解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.（17） (本題滿分10分)設函數()y y x =由方程ln 0y y x y -+=確定，試判斷曲線()y y x =在點(1,1)附近の凹凸性. （18） (本題滿分11分)設二元函數222,||||11(,),1||||2x x y f x y x y x y ⎧+≤⎪=⎨<+≤⎪+⎩，計算二重積分D(,)d f x y σ⎰⎰，其中(){},||||2D x y x y =+≤.（19） (本題滿分11分)設函數(),()f x g x 在[],a b 上連續，在(,)a b 內具有二階導數且存在相等の最大值，()(),()()f a g a f b g b ==，證明：存在(,)a b ξ∈，使得()()f g ξξ''''=.（20） (本題滿分10分)將函數21()34f x x x =--展開成1x -の冪級數，並指出其收斂區間.（21） (本題滿分11分)設線性方程組123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩與方程12321x x x a ++=-有公共解，求a の值及所有公共解.（22） (本題滿分11分)設三階對稱矩陣A の特徵向量值1231,2,2λλλ===-，T 1(1,1,1)α=-是A の屬於1λの一個特徵向量，記534B A A E =-+，其中E 為3階單位矩陣.（I ）驗證1α是矩陣B の特徵向量，並求B の全部特徵值與特徵向量； （II ）求矩陣B . （23） (本題滿分11分)設二維隨機變數(,)X Y の概率密度為2,01,01(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他.（I ）求{}2P X Y >； (II) 求Z X Y =+の概率密度.2007答案1….【分析】本題為等價無窮小の判定，利用定義或等價無窮小代換即可. 【詳解】當0x +→時，1exx --，1112x x +-，()2111cos 22x xx -=， 故用排除法可得正確選項為（B ）.事實上，0001111lnln(1)ln(1)1112lim lim lim 112x x x x x x x x x x x xx+++→→→++⋅+--+--==，或1lnln(1)ln(1)()()()1xx x x o x x o x x o x x x+=+--=+++=+-.所以應選（B ）【評注】本題為關於無窮小量比較の基本題型，利用等價無窮小代換可簡化計算. .2…….【分析】本題考查可導の極限定義及連續與可導の關係. 由於題設條件含有抽象函數，本題最簡便の方法是用賦值法求解，即取符合題設條件の特殊函數()f x 去進行判斷，然後選擇正確選項.【詳解】取()||f x x =，則0()()lim0x f x f x x→--=，但()f x 在0x =不可導，故選（D ）.事實上，在(A),(B)兩項中，因為分母の極限為0，所以分子の極限也必須為0，則可推得(0)0f =.在（C ）中，0()limx f x x →存在，則00()(0)()(0)0,(0)limlim 00x x f x f f x f f x x→→-'====-，所以(C)項正確，故選(D)【評注】對於題設條件含抽象函數或備選項為抽象函數形式結果以及數值型結果の選擇題，用賦值法求解往往能收到奇效.3…….【分析】本題實質上是求分段函數の定積分. 【詳解】利用定積分の幾何意義，可得221113(3)12228F πππ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，211(2)222F ππ==， 202202011(2)()d ()d ()d 122F f x x f x x f x x ππ---==-===⎰⎰⎰.所以 33(3)(2)(2)44F F F ==-，故選（C ）. 【評注】本題屬基本題型. 本題利用定積分の幾何意義比較簡便.4…….【分析】本題更換二次積分の積分次序，先根據二次積分確定積分區域，然後寫出新の二次積分. 【詳解】由題設可知，,sin 12x x y ππ≤≤≤≤，則01,arcsin y y x ππ≤≤-≤≤，故應選（B ）.【評注】本題為基礎題型. 畫圖更易看出.5…….【分析】本題考查需求彈性の概念. 【詳解】選（D ）.商品需求彈性の絕對值等於d 2140d 1602Q P P P P Q P-⋅==⇒=-， 故選（D ）.【評注】需掌握微積分在經濟中の應用中の邊際，彈性等概念.6…….【分析】利用曲線の漸近線の求解公式求出水準漸近線，垂直漸近線和斜漸近線，然後判斷. 【詳解】()()11lim lim ln 1e ,lim lim ln 1e 0x x x x x x y y x x →+∞→+∞→-∞→-∞⎡⎤⎡⎤=++=+∞=++=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，所以 0y =是曲線の水準漸近線；()001lim lim ln 1e xx x y x→→⎡⎤=++=∞⎢⎥⎣⎦，所以0x =是曲線の垂直漸近線； ()()1e ln 1e ln 1e 1e lim lim 0lim lim 11xxx x x x x x y x x x x →+∞→+∞→+∞→+∞++++==+==，[]()1l i m l i m l n 1e 0xx x b y x x x →+∞→+∞⎡⎤=-=++-=⎢⎥⎣⎦，所以y x =是曲線の斜漸近線.故選（D ）.【評注】本題為基本題型，應熟練掌握曲線の水準漸近線，垂直漸近線和斜漸近線の求法.注意當曲線存在水準漸近線時，斜漸近線不存在. 本題要注意e x當,x x →+∞→-∞時の極限不同.7……..【分析】本題考查由線性無關の向量組123,,ααα構造の另一向量組123,,βββの線性相關性. 一般令()()123123,,,,A βββααα=，若0A =，則123,,βββ線性相關；若0A ≠，則123,,βββ線性無關. 但考慮到本題備選項の特徵，可通過簡單の線性運算得到正確選項.【詳解】由()()()1223310αααααα-+-+-=可知應選（A ）.或者因為()()122331123101,,,,110011ααααααααα-⎛⎫ ⎪---=- ⎪ ⎪-⎝⎭，而1011100011--=-， 所以122331,,αααααα---線性相關，故選（A ）.【評注】本題也可用賦值法求解，如取()()()TTT1231,0,0,0,1,0,0,0,1ααα===，以此求出（A ），（B ），（C ），（D ）中の向量並分別組成一個矩陣，然後利用矩陣の秩或行列式是否為零可立即得到正確選項.8……【分析】本題考查矩陣の合同關係與相似關係及其之間の聯繫，只要求得A の特徵值，並考慮到實對稱矩陣A 必可經正交變換使之相似於對角陣，便可得到答案.【詳解】 由2211121(3)112E A λλλλλλ--=-=--可得1233,0λλλ===，所以A の特徵值為3,3,0；而B の特徵值為1,1,0.所以A 與B 不相似，但是A 與B の秩均為2，且正慣性指數都為2，所以A 與B 合同，故選（B ）. 【評注】若矩陣A 與B 相似，則A 與B 具有相同の行列式，相同の秩和相同の特徵值. 所以通過計算A 與B の特徵值可立即排除（A ）（C ）.9……..【分析】本題計算貝努裏概型，即二項分佈の概率. 關鍵要搞清所求事件中の成功次數. 【詳解】p ＝｛前三次僅有一次擊中目標，第4次擊中目標｝12223(1)3(1)C p p p p p =-=-，故選（C ）.【評注】本題屬基本題型.10…….【分析】本題求隨機變數の條件概率密度，利用X 與Y の獨立性和公式|(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =可求解. 【詳解】因為(),X Y 服從二維正態分佈，且X 與Y 不相關，所以X 與Y 獨立，所以(,)()()X Y f x y f x f y =.故|()()(,)(|)()()()X Y X Y X Y Y f x f y f x y f x y f x f y f y ===，應選（A ）.【評注】若(),X Y 服從二維正態分佈，則X 與Y 不相關與X 與Y 獨立是等價の.11….【分析】本題求類未定式，可利用“抓大頭法”和無窮小乘以有界量仍為無窮小の結論.【詳解】因為323233110222lim lim0,|sin cos |22112x x x x x x xx x x x x x x x →+∞→+∞++++===+<++， 所以3231lim (sin cos )02x x x x x x x →+∞+++=+.【評注】無窮小の相關性質：（1） 有限個無窮小の代數和為無窮小； （2） 有限個無窮小の乘積為無窮小； （3） 無窮小與有界變數の乘積為無窮小.12,……..【分析】本題求函數の高階導數，利用遞推法或函數の麥克老林展開式.【詳解】()212,2323y y x x '==-++，則()1(1)2!()(23)n n n n n y x x +-=+，故()1(1)2!(0)3n n n n n y +-=. 【評注】本題為基礎題型.13…….【分析】本題為二元複合函數求偏導，直接利用公式即可. 【詳解】利用求導公式可得1221z y f f x x y ∂''=-+∂， 1221z x f f y x y∂''=-∂， 所以122z z y x xy f f x y xy ⎛⎫∂∂''-=-- ⎪∂∂⎝⎭. 【評注】二元複合函數求偏導時，最好設出中間變數，注意計算の正確性.14…..【分析】本題為齊次方程の求解，可令y u x=. 【詳解】令yu x=，則原方程變為 33d 1d d d 22u u x u x u u x u x+=-⇒=-.兩邊積分得 2111ln ln 222x C u -=--，即222111e e y u x x x C C=⇒=，將11x y ==代入左式得 e C =，故滿足條件の方程の特解為 22e e x y x =，即ln 1x y x =+，1e x ->.【評注】本題為基礎題型.15……….【分析】先將3A 求出，然後利用定義判斷其秩.【詳解】30100000100100000()10001000000000000A A r A ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎪⎪=⇒=⇒= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 【評注】本題為基礎題型.16……….【分析】根據題意可得兩個隨機變數服從區間()0,1上の均勻分佈，利用幾何概型計算較為簡便.【詳解】利用幾何概型計算. 圖如下：所求概率2113214A D S S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===.【評注】本題也可先寫出兩個隨機變數の概率密度，然後利用它們の獨立性求得所求概率.17……..【分析】由凹凸性判別方法和隱函數の求導可得.【詳解】 方程 ln 0y y x y -+=兩邊對x 求導得A1/2 11 /2Oyxln 10y y y yy y'''+-+=， 即(2ln )1y y '+=，則1(1)2y '=. 上式兩邊再對x 求導得()2(2ln )0y y y y'''++=則1(1)8y ''=-，所以曲線()y y x =在點(1,1)附近是凸の.【評注】本題為基礎題型.18…….【分析】由於積分區域關於,x y 軸均對稱，所以利用二重積分の對稱性結論簡化所求積分. 【詳解】因為被積函數關於,x y 均為偶函數，且積分區域關於,x y 軸均對稱，所以1DD (,)d (,)d f x y f x y σσ=⎰⎰⎰⎰，其中1D 為D 在第一象限內の部分.而1222D 1,0,012,0,01(,)d d d x y x y x y x y f x y x x yσσσ+≤≥≥≤+≤≥≥=++⎰⎰⎰⎰⎰⎰11222222220011011d d d d d d xx x x x x y x y x y x y x y ---⎛⎫ ⎪=++ ⎪++⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰()12ln 1212=++. 所以()D1(,)d 42ln 123f x y σ=++⎰⎰.【評注】被積函數包含22y x +時, 可考慮用極座標，解答如下：2212120,00,01(,)d d x y x y x y x y f x y x yσσ≤+≤≤+≤>>>>=+⎰⎰⎰⎰22sin cos 10sin cos d d r πθθθθθ++=⎰⎰2ln(12)=+..19…….【分析】由所證結論()()f g ξξ''''=可聯想到構造輔助函數()()()F x f x g x =-，然後根據題設條件利用羅爾定理證明.【詳解】令()()()F x f x g x =-，則()F x 在[],a b 上連續，在(,)a b 內具有二階導數且()()0F a F b ==.（1）若(),()f x g x 在(,)a b 內同一點c 取得最大值，則()()()0f c g c F c =⇒=， 於是由羅爾定理可得，存在12(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用羅爾定理，可得 存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. （2）若(),()f x g x 在(,)a b 內不同點12,c c 取得最大值，則12()()f c g c M ==，於是 111222()()()0,()()()0F c f c g c F c f c g c =->=-<， 於是由零值定理可得，存在312(,)c c c ∈，使得3()0F c = 於是由羅爾定理可得，存在1323(,),(,)a c c b ξξ∈∈，使得12()()0F F ξξ''==.再利用羅爾定理，可得 ，存在12(,)ξξξ∈，使得()0F ξ''=，即()()f g ξξ''''=. 【評注】對命題為()()0n fξ=の證明，一般利用以下兩種方法：方法一：驗證ξ為(1)()n fx -の最值或極值點，利用極值存在の必要條件或費爾馬定理可得證；方法二：驗證(1)()n fx -在包含x ξ=於其內の區間上滿足羅爾定理條件..20….【分析】本題考查函數の冪級數展開，利用間接法. 【詳解】211111()34(4)(1)541f x x x x x x x ⎛⎫===- ⎪---+-+⎝⎭，而 10011111(1),2414333313nnn n n x x x x x ∞∞+==--⎛⎫=-⋅=-=--<< ⎪--⎝⎭-∑∑，10011111(1)(1),1311222212nn nn n n x x x x x ∞∞+==---⎛⎫=⋅=-=-<< ⎪-+⎝⎭+∑∑ ， 所以 1111000(1)(1)(1)1(1)()(1)3232n n n n nn n n n n n n x x f x x ∞∞∞++++===⎡⎤----=-+=-+-⎢⎥⎣⎦∑∑∑， 收斂區間為 13x -<<.【評注】請記住常見函數の冪級數展開.21…..【分析】將方程組和方程合併，然後利用非齊次線性方程有解の判定條件求得a .【詳解】將方程組和方程合併，後可得線性方程組12312321231230204021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩ 其係數矩陣22111011101200110140031012110101a a A a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭. 21110111001100110003200011001100(1)(2)0a a a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-- ⎪ ⎪→→ ⎪ ⎪-+-- ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭. 顯然，當1,2a a ≠≠時無公共解.當1a =時，可求得公共解為 ()T 1,0,1k ξ=-,k 為任意常數； 當2a =時，可求得公共解為 ()T 0,1,1ξ=-. 【評注】本題為基礎題型，考查非齊次線性方程組解の判定和結構.22……【分析】本題考查實對稱矩陣特徵值和特徵向量の概念和性質.【詳解】（I ）()()5353531111111111144412B A A E ααλαλααλλαα=-+=-+=-+=-， 則1α是矩陣B の屬於－2の特徵向量.同理可得()532222241B αλλαα=-+=，()533333341B αλλαα=-+=. 所以B の全部特徵值為2，1，1設B の屬於1の特徵向量為T 2123(,,)x x x α=，顯然B 為對稱矩陣，所以根據不同特徵值所對應の特徵向量正交，可得T 120αα=.即 1230x x x -+=，解方程組可得B の屬於1の特徵向量T T 212(1,0,1)(0,1,0)k k α=-+，其中12,k k 為不全為零の任意常數.由前可知B の屬於－2の特徵向量為 T 3(1,1,1)k -，其中3k 不為零.（II ）令101011101P ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，由（Ⅰ）可得-1100010002P BP ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭，則011101110B -⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭.【評注】本題主要考查求抽象矩陣の特徵值和特徵向量，此類問題一般用定義求解，要想方設法將題設條件轉化為Ax x λ=の形式. 請記住以下結論：（1）設λ是方陣A の特徵值，則21*,,,(),,kA aA bE A f A A A -+分別有特徵值21,,,(),,(A k a b f A λλλλλλ+可逆），且對應の特徵向量是相同の.（2）對實對稱矩陣來講，不同特徵值所對應の特徵向量一定是正交の23…….【分析】（I ）可化為二重積分計算；(II) 利用卷積公式可得.【詳解】（I ）{}()()12002722d d d 2d 24xx y P X Y x y x y x x y y >>=--=--=⎰⎰⎰⎰. (II) 利用卷積公式可得()(,)d Z f z f x z x x +∞-∞=-⎰20121(2)d ,01201(2)d ,12(2)120,0,z z x x z z z z x x z z z -⎧-<<⎪⎧-<<⎪⎪=-<<=-≤<⎨⎨⎪⎪⎩⎪⎩⎰⎰其他其他. 【評注】 (II)也可先求出分佈函數，然後求導得概率密度..（24） (本題滿分11分)設總體X の概率密度為1,021(),12(1)0,x f x x θθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他12(,,X X …,)n X 為來自總體X の簡單隨機樣本，X 是樣本均值.（I ）求參數θの矩估計量θ；（II ）判斷24X 是否為2θの無偏估計量，並說明理由.【分析】利用EX X =求（I ）；判斷()?224E Xθ=. 【詳解】（I ）()101()d d d 22124x x EX xf x x x x θθθθθ+∞-∞==+=+-⎰⎰⎰， 令112242X X θθ=+⇒=-. （II ）()()()()222214444E X E X DX EX DX EX n ⎡⎤⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎣⎦， 而()22212201()d d d 221336x x EX x f x x x x θθθθθθ+∞-∞==+=++-⎰⎰⎰， 所以 ()2225121248DX EX EX θθ=-=-+， 所以 ()()222211115441133412E X DX EX n n n n θθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=++-++≠ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故24X 不是2θの無偏估計量.【評注】要熟練掌握總體未知參數點估計の矩估計法，最大似然估計法和區間估計法.。

2007数学一真题答案解析

2007数学一真题答案解析

硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(1) 当0x +→(A) 1- (B) ln(C) 1. (D) 1- [ B ]【分析】 利用已知无穷小量的等价代换公式，尽量将四个选项先转化为其等价无穷小量，再进行比较分析找出正确答案.【详解】 当0x +→时，有1(1)~-=--1~；2111~.22x -= 利用排除法知应选(B). (2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为 (A) 0. (B) 1. (C) 2. (D) 3. [ D ] 【分析】 先找出无定义点，确定其是否为对应垂直渐近线；再考虑水平或斜渐近线。

【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim [ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim[]lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim [1]lim [ln(1)]xx x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim [ln (1)]lim ln(1)0x xxx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故应选(D).(3) 如图，连续函数y =f (x )在区间[−3，−2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[−2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()().xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是(A) 3(3)(2)4F F =--. (B) 5(3)(2)4F F =. (C) )2(43)3(F F =-. (D) )2(45)3(--=-F F . [ C ]【分析】 本题考查定积分的几何意义，应注意f (x )在不同区间段上的符号，从而搞清楚相应积分与面积的关系。

2007年考研数学一真题及问题详解

2007年考研数学一真题及问题详解

2007年考研数学一真题一、选择题（110小题，每小题4分，共40分。

下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。

）(1)当时，与等价的无穷小量是(A) (B)(C) (D)【答案】B。

【解析】当时几个不同阶的无穷小量的代数和，其阶数由其中阶数最低的项来决定。

综上所述，本题正确答案是B。

【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较(2)曲线渐近线的条数为(A)0 (B)1(C)2 (D)3【答案】D。

【解析】由于∞，则是曲线的垂直渐近线；又∞∞∞∞∞所以是曲线的水平渐近线；斜渐近线：由于∞一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在∞一侧。

∞∞∞∞∞∞∞∞∞则曲线有斜渐近线，故该曲线有三条渐近线。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(3)如图，连续函数在区间上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间上的图形分别是直径为2的下、上半圆周，设,则下列结论正确的是(A)(B)(C)(D)【答案】C。

【解析】【方法一】四个选项中出现的在四个点上的函数值可根据定积分的几何意义确定则【方法二】由定积分几何意义知,排除(B)又由的图形可知的奇函数，则为偶函数，从而显然排除(A)和(D),故选(C)。

综上所述，本题正确答案是C。

【考点】高等数学—一元函数积分学—定积分的概念和基本性质，定积分的应用(4)设函数在处连续，下列命题错误．．的是(A)若存在，则(B)若存在，则(C) 若存在，则′存在(D) 若存在，则′存在【答案】D。

【解析】(A)：若存在，因为,则,又已知函数在处连续，所以,故,(A)正确；(B)：若存在，则,则，故(B)正确。

(C)存在，知，则′则′存在，故(C)正确(D)存在，不能说明存在例如在处连续，存在，但是′不存在，故命题(D)不正确。

综上所述，本题正确答案是D。

【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念(5)设函数在∞内具有二阶导数，且′′,令,则下列结论正确的是(A)若,则必收敛 (B)若,则必发散(C)若,则必收敛 (D)若,则必发散【答案】D。

2007考研数学三真题及答案

2007考研数学三真题及答案

2007考研数学三真题及答案一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当0x +→ ）A .1-.ln(1B + 1C .1D -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在 （3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（ ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 10arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ （C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )________2x x x x x x x →∞+++=+. （12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y=则z zy x y∂∂-=∂∂________. （14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y ==的特解为__________. （15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪ ⎪⎝⎭则3A 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分） 设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)020(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . （24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量$θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.参考答案一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内）（1） 当0x +→B ）A.1-.ln(1B +1C.1D -（2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (D)A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在，则(0)0f =.C .若0()limx f x x →存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则'(0)f 存在 （3） 如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ）.A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10arcsin (,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1arcsin 02(,)ydy f x y dx ππ-⎰⎰（5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （6） 曲线1ln(1),x y e x=++渐近线的条数为（D ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关，则下列向量组线相关的是 (A) （A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ (C)1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p - 22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为 (A) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y 二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上（11）3231lim(sin cos )___0_________2x x x x x x x →∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n n n n n y +-=. （13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y xz f x y=则''122(,)2(,)z z y y x x y x y f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂. （14）微分方程31()2dy y y dx x x =-满足11x y==的特解为221ln x y x=+. （15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿.(16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿. 三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln121()(2ln )0(2ln )()11(2ln1)8()(1,1)x x x y y y y yy y y y y y y y y y y yy y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分）设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即 {}1(,)0,0D D x y x y =≥≥I利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222000111(1)3412xD x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是， 2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t td t t tθθθ-===+++，代入即得121122200001122100122(1)cos sin122(1)22221)Ddt dtd t ut t tdu duduu uπθθθ===-=++--=-==--==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)41)1)123Df x y dσ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x，()g x在[],a b上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a＝()g a，()f b＝()g b，证明：（Ⅰ）存在(,),a bη∈使得()()f gηη=；（Ⅱ）存在(,),a bξ∈使得''()''().f gξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f xg x在(,)a b内某点(,)c a b∈同时取得最大值，则()()f cg c=，此时的c就是所求点()()f gηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()max(),()max()f c f xg d g x==故有()()0,()()0f cg c g d f d->-<，由介值定理，在(,)c d内肯定存在()()f gηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a bηη内分别存在一点''1212,,()()f fξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f gξξξ∈=存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34f xx x=--展开成1x-的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】：102001111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn nnn n n f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212nnn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==.当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==L当2a =时，方程组(3)的系数距阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪ ⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk - （22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n nA n αλα==，于是 5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T T ββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数.矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)T Tk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有 令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-，则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么 11123123211111033(2,,)(,,)210101303201110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦（23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他 （Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z .【详解】：（Ⅰ）{}2(2)D P X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰ 1205()8x x dx =-⎰ 724= （Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =；当01z <<时，32001()(2)3z z xZ F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰ 当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z x F z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰ 于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值. （Ⅰ）求参数θ的矩估计量$θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则1022(1)xxEX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰ 1142θ=+，解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为$122X θ=-； （Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而 22221(4)4()4(())4(())E X E X DX E X DX EX n ==+=+，而 1142EX θ=+，221(12)6EX θθ=++，22251()481212DX EX EX θθ=-=-+， 于是222533131(4)1233n n n E X n n n θθθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。

2007—数三真题、标准答案及解析

2007—数三真题、标准答案及解析

2007年考研数学（三）真题一．选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （1） 当0x +→）A.1-.l n ()B +1C.1c D - （2） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： ( )A .若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()limx f x f x x →+-存在，则(0)0f = .C .若0()limx f x x→存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（3）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（ ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（4） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（ ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10a r c s i n(,)y d y f x y d x ππ-⎰⎰.C 1arcsin 02(,)y dy f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1a r c s i n2(,)y d y f x y dx ππ-⎰⎰ （5） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（ ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40（6） 曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（ ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关( )（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ （C ）1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （ ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p -22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为( ) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）3231lim(sin cos )________2xx x x x x x→∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()(0)_________n y =.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则z zy x y∂∂-=∂∂________. （14）微分方程31()2dy y y dxxx=-满足11x y ==的特解为__________.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为_______. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为________.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. （18）（本题满分11分） 设二元函数2. 1.(,)1 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ= （20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. （23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . （24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由.2007年考研数学（三）真题一、选择题（本题共10分小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在后边的括号内） （7） 当0x +→B ）A.1-.l n ()B +1C.1c D - （8） 设函数()f x 在0x =处连续，下列命题错误的是： (D)A .若0()limx f x x→存在，则(0)0f = .B 若0()()limx f x f x x→+-存在，则(0)0f = .C .若0()limx f x x→存在，则'(0)f 存在 .D 若0()()limx f x f x x→--存在，则'(0)f 存在（9）如图.连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是：（C ） .A .(3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F =- .D (3)F -5(2)4F =--（10） 设函数(,)f x y 连续，则二次积分1sin 2(,)xdx f x y dy ππ⎰⎰等于（B ）.A 1arcsin (,)xdy f x y dx ππ+⎰⎰.B 10a r c s i n(,)y d y f x y d x ππ-⎰⎰.C 1a r c s i n2(,)y d y f x y dx ππ+⎰⎰ .D 1a r c s i n2(,)y d y f x y dx ππ-⎰⎰ （11） 设某商品的需求函数为1602Q ρ=-，其中Q ，ρ分别表示需要量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（D ）.A 10 .B 20 .C 30 .D 40 （12） 曲线1ln(1),xy e x=++渐近线的条数为（D ）.A 0 .B 1 .C 2 .D 3（7）设向量组线性无关 (A)（A ）12αα-2131,,αααα-- (B)21αα-2331,,αααα++ (C)1223312,2,2αααααα--- (D)1223312,2,2αααααα+++（8）设矩阵211121112A --⎧⎫⎪⎪=--⎨⎬⎪⎪--⎩⎭，100010000B ⎧⎫⎪⎪=⎨⎬⎪⎪⎩⎭则A 与B （B ）（A ）合同，且相似 (B) 合同，但不相似(C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似(9)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 (C)2()3(1)A p p - 2()6(1)B p p -22()3(1)C p p - 22()6(1)D p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，(),()x y f x f y 分别表示X, Y 的概率密度，则在Y y =条件下，X 的条件概率密度()X Y x y f 为 (A) （A ）()X f x (B)()y f y (C)()()x y f x f y (D)()()x y f x f y二、填空题：11-16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）3231lim(sin cos )___0_________2xx x x x x x→∞+++=+.（12）设函数123y x =+，则()1(1)2!(0)___________3n nn n n y+-=.（13）设(,)f u v 是二元可微函数，(,),y x z f x y =则''122(,)2(,)z z y y x x y xy f f x y x x y y x y∂∂-=-+∂∂. （14）微分方程31()2dy yy dx x x=-满足11x y ==的特解为221ln xy x=+.（15）设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿1＿＿＿. (16)在区间(0,1)中随机地取两个数,这两数之差的绝对值小于12的概率为＿34＿.三、解答题：17－24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（17）（本题满分10分）设函数()y y x =由方程ln 0y y x y -+=确定，试判断曲线()y y x =在点（1，1）附近的凹凸性. 【详解】：''''1'2'''''''21''11ln 2102ln 112ln 121()(2ln )0(2ln )()101(2ln 1)8()(1,1)x x x y y y y yyy y y yy y yy y yy y y x ===+-=⇒=+==+++=⇒=-+=-=-<+=对方程两边求导得从而有再对两边求导得求在(1,1)的值：所以在点处是凸的（18）（本题满分11分） 设二元函数2.1.(,)11 2.x x y f x y x y ⎧+≤⎪=≤+≤计算二重积分(,).Df x y d σ⎰⎰其中{}(,)2D x y x y =+≤【详解】：积分区域D 如图，不难发现D 分别关于x 轴和y 轴对称，设1D 是D 在第一象限中的部分，即{}1(,)0,0D D x y x y =≥≥利用被积函数(,)f x y 无论关于x 轴还是关于y 轴对称，从而按二重积分的简化计算法则可得1(,)4(,)DD f x y d f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰设11112D D D =+，其中{}{}1112(,)1,0,0,(,)12,0,0D x y x y x y D x y x y x y =+≤≥≥=≤+≤≥≥于是1111211122(,)4(,)4(,)4(,) 44(,)DD D D D D f x y d f x y d f x y d f x y d x d f x y d σσσσσσ==+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰由于{}11(,)01,01D x y x y x =≤≤≤≤-，故11111222111(1)3412x D x d x dx dy x x dx σ-==-=-=⎰⎰⎰⎰⎰为计算12D 上的二重积分，可引入极坐标(,)r θ满足cos ,sin x r y r θθ==.在极坐标系(,)r θ中1x y +=的方程是1,2cos sin r x y θθ=+=+的方程是， 2cos sin r θθ=+，因而12120,2cos sin cos sin D r πθθθθθ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬++⎩⎭，故1222cos sin 2100cos sin 1cos sin D d r d dr d rππθθθθθθθθ++==+⎰⎰⎰⎰⎰令tan2t θ=作换元，则2arctan t θ=，于是:0:012t πθ→⇔→且2222212,cos ,sin 111dt t t d t ttθθθ-===+++，代入即得121122211221122(1)cos sin 122(1)22 22111 =1)D d dt dt d t u t t t du dudu uu πθθθ===-=++--=-==---==+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰综合以上计算结果可知11(,)441)41)123Df x y d σ=⨯+=+⎰⎰（19）（本题满分11分）设函数()f x ，()g x 在[],a b 上内二阶可导且存在相等的最大值，又()f a ＝()g a ，()f b ＝()g b ，证明：（Ⅰ）存在(,),a b η∈使得()()f g ηη=； （Ⅱ）存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=【详解】：证明：(1)设(),()f x g x 在(,)a b 内某点(,)c a b ∈同时取得最大值，则()()f c g c =，此时的c 就是所求点()(f g ηηη=使得.若两个函数取得最大值的点不同则有设()m a x (),()f c f x g dg x ==故有()()0,()()0f c g c g d f d ->-<，由介值定理，在(,)c d 内肯定存在()()f g ηηη=使得(2)由(1)和罗尔定理在区间(,),(,)a b ηη内分别存在一点''1212,,()()f f ξξξξ使得＝＝0在区间12(,)ξξ内再用罗尔定理，即''''(,)()()a b f g ξξξ∈=存在，使得.（20）（本题满分10分）将函数21()34f x x x =--展开成1x -的幂级数，并指出其收敛区间.【详解】： 10201111()()(4)(1)513121111513512111111()()()154151531()311243111111()()()(1)151101021()211122111()()153nn n nn nn f x x x x x x x x f x x x x x x f x x x x x x f x ∞=∞=∞===--+---+=----+-==-=-----<⇒-<<-===--++-<⇒-<<-=-+∑∑∑记其中其中则01()(1)10212n nn x x ∞=---<<∑故收敛域为：1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解【详解】：因为方程组(1)、(2)有公共解，即由方程组(1)、(2)组成的方程组1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩的解.即距阵211100201401211a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭211100110001000340a a a ⎛⎫⎪-⎪→ ⎪- ⎪ ⎪++⎝⎭方程组(3)有解的充要条件为1,2a a ==. 当1a =时，方程组(3)等价于方程组(1)即此时的公共解为方程组(1)的解.解方程组(1)的基础解系为(1,0,1)Tξ=-此时的公共解为：,1,2,x k k ξ==当2a =时，方程组(3)的系数距阵为111011101220011014400001111100⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪→ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭此时方程组(3)的解为1230,1,1x x x ===-，即公共解为：(0,1,1)Tk -（22）（本题满分11分）设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)T λλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量.记534B A A E =-+，其中E 为3阶单位矩阵.（Ⅰ）验证1α是矩阵B 的特征向量，并求B 的全部特征值与特征向量； （Ⅱ）求矩阵B. 【详解】：（Ⅰ）可以很容易验证111(1,2,3...)n n A n αλα==，于是5353111111(4)(41)2B A A E ααλλαα=-+=-+=- 于是1α是矩阵B 的特征向量.B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到，即 53()()4()1B A A λλλ=-+， 所以B 的全部特征值为－2，1，1.前面已经求得1α为B 的属于－2的特征值，而A 为实对称矩阵，于是根据B 与A 的关系可以知道B 也是实对称矩阵，于是属于不同的特征值的特征向量正交，设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ，所以有方程如下：1230x x x -+=于是求得B 的属于1的特征向量为23(1,0,1),(1,1,0)T Tββ=-=因而，矩阵B 属于2μ=-的特征向量是是1(1,1,1)Tk -，其中1k 是不为零的任意常数.矩阵B 属于1μ=的特征向量是是23(1,1,0)(1,0,1)T Tk k +-，其中23,k k 是不为零的任意常数.（Ⅱ）由1122332,,,B B B ααβαββ=-==有 令矩阵123123(,,)(2,,)B αααβββ=-， 则1(2,1,1)P BP diag -=-，所以那么11123123211111033(2,,)(,,)21010130321110330B βββααα------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （23）（本题满分11分）设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他（Ⅰ）求{}2P X Y >；（Ⅱ）求Z X Y =+的概率密度()Z f z . 【详解】：（Ⅰ）{}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰，其中D 为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域；求此二重积分可得{}112002(2)xP X Y dx x y dy >=--⎰⎰ 125()8x x dx =-⎰724=（Ⅱ）{}{}()Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤当0z ≤时，()0Z F z =；当2z ≥时，()1Z F z =； 当01z <<时，321()(2)3z z x Z F z dx x y dy z z -=--=-+⎰⎰当12z <<时，1132115()1(2)2433Z z z xF z dx x y dy z z z --=---=-+-⎰⎰于是222,01()44,120,Z z z z f z z z z ⎧-<<⎪=-+≤<⎨⎪⎩其他（24）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知，12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值.（Ⅰ）求参数θ的矩估计量 θ； （Ⅱ）判断24X 是否为2θ的无偏估计量，并说明理由. 【详解】：（Ⅰ）记EX μ=，则122(1)x xEX dx dx θθμθθ==+-⎰⎰1142θ=+，解出122θμ=-，因此参数θ的矩估计量为 122X θ=-；（Ⅱ）只须验证2(4)E X 是否为2θ即可，而 22221(4)4()4(())4(())E X E X D X E X D X E X n==+=+，而1142EX θ=+，221(12)6E Xθθ=++， 22251()481212D X EX EX θθ=-=-+，于是222533131(4)1233n n n E X nnnθθθ+-+=++≠因此24X 不是为2θ的无偏估计量.。

2007年考研数学一真题及参考答案

2007年考研数学一真题及参考答案

(2) 曲线 (A)0(B)1 (C)2(D)3 【答案】 D。 【解析】 由于
渐近线的条数为
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， 则 是曲线的垂直渐近线； 又
所以
是曲线的水平渐近线；
斜渐近线：由于
一侧有水平渐近线，则斜渐近线只可能出现在
一侧。
则曲线有斜渐近线
，故该曲线有三条渐近线。
综上所述，本题正确答案是 D。
【考点】高等数学—一元函数微分学—函数图形的凹凸性、拐点及渐近线
, 线性相关；
因为
由于 (C) ：
线性无关，所以判断 ,故知
线性无关 线性无关；
(D) ：
，同理
线性无关；
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，同理
线性无关；
综上所述，本题正确答案是 A。 【考点】线性代数—向量—向量组的线性相关与线性无关
(8) 设矩阵
,则 与
(A) 合同，且相似 (B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D) 既不合同，也不相似 【答案】 B。 【解析】
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综上所述，本题正确答案是
。
【考点】高等数学—多元函数微分学—多元函数的偏导数和全微分
(13) 二阶常系数非齐次微分方程 【答案】 【解析】 对应齐次方程的特征方程为
【解析】
设 的坐标分别为
，则由题设可得
因为 , ； ；
综上所述，本题正确答案是 B。 【考点】高等数学—多元函数积分学—两类曲线积分的概念、性质及计算
(7) 设向量组 (A)
线性无关，则下列向量组线性．相．关．．的是
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(B) (C) (D) 【答案】 A。 【解析】
(A) ：因为 所以向量组 (B) ：
由定积分几何意义知

2007考研数一真题及解析

2007考研数一真题及解析

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、选择题：110小题,每小题4分,共40分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.(1) 当0x +→时,等价的无穷小量是( )A.1-B1C.1D -(2) 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为( ) .A 0 .B 1 .C 2 .D 3(3) 如图,连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周,在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周,设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是( ).A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F =.C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--(4) 设函数()f x 在0x =连续,则下列命题错误的是( ).A 若0()limx f x x →存在,则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x→+-存在,则(0)0f =.C 若0()limx f x x →存在,则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在,则(0)f '存在(5) 设函数()f x 在(0,)+∞上具有二阶导数,且()0f x ''>,令()(1,2,)n u f n n ==,则下列结论正确的是( ).A 若12u u >,则{}n u 必收敛 .B 若12u u >,则{}n u 必发散 .C 若12u u <,则{}n u 必收敛 .D 若12u u <,则{}n u 必发散(6) 设曲线:(,)1L f x y =((,)f x y 具有一阶连续偏导数)过第Ⅱ象限内的点M 和第IV 象限内的点N ,Γ为L 上从点M 到点N 的一段弧,则下列积分小于零的是( ).A(,)f x y dx Γ⎰.B (,)f x y dy Γ⎰.C (,)f x y ds Γ⎰ .D (,)(,)x y f x y dx f x y dy Γ''+⎰(7) 设向量组123,,ααα线性无关,则下列向量组线性相关的是( )A .12αα-2331,,αααα--B .12αα+2331,,αααα++C .1223312,2,2αααααα---D .1223312,2,2αααααα+++(8) 设矩阵211121112A --⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦,100010000B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,则A 与B ( ) A . 合同,且相似 B . 合同,但不相似C . 不合同,但相似D . 既不合同,也不相似(9) 某人向同一目标独立重复射击,每次射击命中目标的概率为(01),p p <<则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为 ( )A .23(1)p p -B .26(1)p p -C .223(1)p p -D .226(1)p p -(10) 设随机变量(,)X Y 服从二维正态分布,且X 与Y 不相关,(),()X Y f x f y 分别表示,X Y 的概率密度,则在Y y =条件下,X 的条件概率密度()X Y f x y 为( )A .()X f xB .()Y f yC .()()X Y f x f yD .()()X Y f x f y二、填空题：11-16小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (11)12311x e dx x=⎰_________ (12) 设(,)f u v 为二元可微函数,(,),yxz f x y =则______zx∂=∂(13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e '''-+=的通解为_____y =(14) 设曲面:1x y z ∑++=,则()_____x y dS ∑+=⎰⎰(15) 设距阵01000010,00010000A ⎛⎫⎪ ⎪= ⎪⎪⎝⎭则3A 的秩为＿＿＿＿＿(16) 在区间(0,1)中随机地取两个数,则这两数之差的绝对值小于12的概率为＿＿＿＿＿＿三、解答题：17－24小题,共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(17)(本题满分10分)求函数2222(,)2,f x y x y x y =+-在区域{}22(,)4,0D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值.(18)(本题满分11分)计算曲面积分 23,I xzdydz zydzdx xydxdy ∑=++⎰⎰ 其中∑为曲面221(01)4y z x z =--≤≤的上侧.(19)(本题满分11分)设函数()f x ,()g x 在[],a b 上连续,在(,)a b 内二阶可导且存在相等的最大值,又()f a ＝()g a ,()f b ＝()g b ,证明：存在(,),a b ξ∈使得''()''().f g ξξ=(20)(本题满分10分)设幂级数nn n a x∞=∑在(,)-∞+∞内收敛,其和函数()y x 满足240,(0)0,(0)1y xy y y y ''''--===(I) 证明22,1,2,1n n a a n n +==+(II) 求()y x 的表达式(21)(本题满分11分)设线性方程组123123212302040x x x x x ax x x a x ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩ (1)与方程 12321x x x a ++=- (2)有公共解,求a 得值及所有公共解.(22)(本题满分11分)设3阶实对称矩阵A 的特征值12311,2,2,(1,1,1)Tλλλα===-=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+,其中E 为3阶单位矩阵.(I) 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值与特征向量； (II) 求矩阵B .(23)(本题满分11分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为 2,01,0 1.(,)0,x y x y f x y --<<<<⎧=⎨⎩其他(I) 求{}2P X Y >；(II) 求Z X Y =+的概率密度()Z f z .(24)(本题满分11分)设总体X 的概率密度为1,0,21(;),1,2(1)0,x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他.其中参数(01)θθ<<未知,12,,...n X X X 是来自总体X 的简单随机样本,X 是样本均值.(I) 求参数θ的矩估计量θ；(II) 判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、选择题 (1)【答案】B 【详解】方法1：排除法：由几个常见的等价无穷小,当0x →时,11;11;2xe x x x -+-2221cos 2sin 2(),222x x x x-==当0x +→时,此时0→,所以11();11;2x x x --+-211(),2x x-可以排除A 、C 、D ,所以选(B). 方法2：==ln[1+当0x +→时,11→0→,又因为0x →时,()ln 1x x+,所以)ln[1~~1~x =选(B).方法3：000lim limlim x x x +++''→→→=1111lim lim 1x x x x++→→-+--==11xA x -=++则(()1142A B x x ++=+对应系数相等得：1A B = =,所以原式01lim lim 1x x xx ++→→-⎡⎤==⎢+⎣0lim lim 01x x ++→→==+1=,选(B).(2)【答案】D【详解】因为001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭001lim limln(1)x x x e x →→=++=∞,所以0x =是一条铅直渐近线；因为1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++⎪⎝⎭--1lim lim ln(1)000x x x e x →∞→∞=++=+=, 所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令 21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+10lim 11xx x e e →+∞+ +=洛必达法则令 ()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()1limlim ln(1)x x x e x x →+∞→+∞=++-()ln 0lim ln(1)ln x x x x x e e e →+∞ = ++-1lim ln()xx x e e→+∞+=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+== 所以y x =是曲线的斜渐近线,所以共有3条,选择(D)(3)【答案】C【详解】由题给条件知,()f x 为x 的奇函数,则()()f x f x -=-,由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --==- -- -=- =⎰⎰⎰令因为,故()F x 为x 的偶函数,所以(3)(3)F F -=.而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积,所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰,3232(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰,其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值,所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以 232333(3)()()(2)288424F f t dt f t dt F ππππ=+=-==⋅=⎰⎰ 所以 3(3)(3)(2)4F F F -==,选择C(4)【答案】( D) 【详解】方法1：论证法,证明..A B C 都正确,从而只有.D 不正确.由0()limx f x x→存在及()f x 在0x =处连续,所以0(0)lim ()x f f x →=0000()()()lim()lim lim 0lim x x x x f x f x f x x x x x x→→→→==⋅=⋅0=,所以(A)正确；由选项(A)知,(0)0f =,所以00()(0)()lim lim0x x f x f f x x x→→-=-存在,根据导数定义,0()(0)'(0)lim 0x f x f f x →-=-存在,所以(C)也正确；由()f x 在0x =处连续,所以()f x -在0x =处连续,从而[]0lim ()()lim ()lim ()(0)(0)2(0)x x x f x f x f x f x f f f →→→+-=+-=+=所以0000()()()()()()2(0)lim lim lim 0lim 0x x x x f x f x f x f x f x f x f x x x x x →→→→+-+-+-⎡⎤=⋅=⋅=⋅=⎢⎥⎣⎦即有(0)0f =.所以(B)正确,故此题选择(D).方法2：举例法,举例说明(D)不正确. 例如取()f x x =,有0()()limlim 00x x x x f x f x x x→→----==-存在 而 ()()0000lim lim 100x x f x f x x x --→→---==---,()()0000lim lim 100x x f x f x x x +-→→--==--, 左右极限存在但不相等,所以()f x x =在0x =的导数'(0)f 不存在. (D)不正确,选(D).(5)【答案】( D)【详解】()n u f n =,由拉格朗日中值定理,有1n n (1)()'()(1)'(),(1,2,)n n u u f n f n f n n f n ξξ+-=+-=+-==,其中n 1n n ξ<<+,12n .ξξξ<<<< 由''()0,f x >知'()f x 严格单调增,故 12n '()'()'().f f f ξξξ<<<<若12u u <,则121'()0,f u u ξ=-> 所以12n 0'()'()'().f f f ξξξ<<<<<1111k 1111()'()'().nnn k k k k u u u u u f u nf ξξ++===+-=+>+∑∑而1'()f ξ是一个确定的正数. 于是推知1lim ,n n u +→∞=+∞故{}n u 发散. 选(D)(6)【答案】B【详解】用排除法.将(,)1f x y =代入知(,)0f x y ds ds s ΓΓ==>⎰⎰,排除C.取22(,)f x y x y =+,M 、N依次为(、,则37cos ,sin 44x y Γθθπθπ:== ≤≤734(,)cos 0f x y dx d πΓπθ=>⎰⎰,排除A734(,)(,)2cos (sin )2sin cos 0x y f x y dx f x y dy d πΓπθθθθθ''+=-+=⎰⎰,排除D7434(,)sin 0f x y dy d πΓπθ=<⎰⎰,选B(7) 【答案】A 【详解】方法1：根据线性相关的定义,若存在不全为零的数123,,k k k ,使得1122330k k k ααα++=成立,则称123,,ααα线性相关.因122331()()()0αααααα-+-+-=,故122331αααααα---，，线性相关,所以选择(A).方法2：排除法因为()122331,,αααααα+++()()1231232101,,110,,,011C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭其中2101110011C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,且 2101110011C =11101111(1)2011111011+-⨯-+-=-行行（）1111=⨯-⨯-（）20=≠.故2C 是可逆矩阵,由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积,2C 右乘()123,,ααα时,等于作若干次初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,故有122331123(,,)(,,)3r r ααααααααα+++==所以122331,,αααααα+++线性无关,排除(B). 因为()1223312,2,2αααααα---()()1231233102,,210,,,021C αααααα-⎛⎫ ⎪=-= ⎪ ⎪-⎝⎭ 其中3102210021C -⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭,3102210021C -=--11102141014121021+--⨯-=---行2+2行（）1124=⨯--⨯-（）（）≠=-70.故3C 是可逆矩阵,由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 3C 右乘()123,,ααα时,等于作若干次初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα---==所以1223312,2,2αααααα---线性无关,排除(C). 因为()1223312,2,2αααααα+++()()1231234102,,210,,,021C αααααα⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭ 其中4102210021C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,4102210021C =11102141(2)2014121021+-⨯-+-=-行行（）1124=⨯-⨯-（）90.=≠故4C 是可逆矩阵,由可逆矩阵可以表示为若干个初等矩阵的乘积, 4C 右乘()123,,ααα时,等于作若干次初等变换,初等变换不改变矩阵的秩,故有122331123(2,2,2)(,,)3r r ααααααααα+++==所以1223312,2,2αααααα+++线性无关,排除(D).综上知应选(A).(8) 【答案】B 【详解】方法1：211121112E A λλλλ--=--112312112λλλλλ--、列分别加到列111121112λλλλ--提出1111103112λλλ⨯---行（）+2行111110303λλλ⨯---行（）+3行113103λλλ+-=--（）()230λλ=-=则A 的特征值为3,3,0;B 是对角阵,对应元素即是的特征值,则B 的特征值为1,1,0. ,A B 的特征值不相同,由相似矩阵的特征值相同知,A B 与不相似.由,A B 的特征值可知,,A B 的正惯性指数都是2,又秩都等于2可知负惯性指数也相同,则由实对称矩阵合同的充要条件是有相同的正惯性指数和相同的负惯性指数,知A 与B 合同,应选(B).方法2: 因为迹(A )=2+2+2=6,迹(B )=1+1=2≠6,所以A 与B 不相似(不满足相似的必要条件).又2(3)E A λλλ-=-,2(1)E B λλλ-=-,A 与B 是同阶实对称矩阵,其秩相等,且有相同的正惯性指数,故A 与B 合同.(9)【答案】C【详解】把独立重复射击看成独立重复试验.射中目标看成试验成功. 第4次射击恰好是第2次命中目标可以理解为：第4次试验成功而前三次试验中必有1次成功,2次失败.根据独立重复的伯努利试验,前3次试验中有1次成功2次失败.其概率必为123(1).C p p -再加上第4次是成功的,其概率为p .根据独立性原理：若事件1,,n A A 独立,则{}{}{}{}1212n n P A A A P A P A P A =所以,第4次射击为第二次命中目标的概率为12223(1)3(1).C p p p p p -⋅=- 所以选(C)(10)【答案】A【详解】二维正态随机变量(,)X Y 中,X 与Y 的独立等价于X 与Y 不相关. 而对任意两个随机变量X 与Y ,如果它们相互独立,则有(,)()()X Y f x y f x f y =.由于二维正态随机变量(,)X Y 中X 与Y 不相关,故X 与Y 独立,且(,)()()X Y f x y f x f y =. 根据条件概率密度的定义,当在Y y =条件下,如果()0,Y f y ≠则(,)(|)()X Y Y f x y f x y f y =()()()()X Y X Y f x f y f x f y ==.现()Y f y 显然不为0,因此(|)().X X Y f x y f x = 所以应选(A).二、填空题 (11)【详解】命1t x=,有211,,x dx dt t t ==-12311x e dx x ⎰111133222121112111t t t t t t e d t e dt te dt te dt x t t ⎛⎫ = =-=-= ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰ ()1111121111222212t t tt tde tee dt e e e =-=--⎰⎰分部积分11122211222e e e e e ⎛⎫=---== ⎪⎝⎭(12)【答案】112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''+【详解】z x∂=∂12(,)(,)(,)y x y xy x y xf x y x y f x y f x y x x x ∂∂∂''=+∂∂∂112(,)(,)ln y x y y x x f x y yx f x y y y -''=+(13)【答案】32122x x xC e C e e +-【详解】这是二阶常系数非齐次线性微分方程,且函数()f x 是()xm P x e λ型(其中()2,2m P x λ= =).所给方程对应的齐次方程为430y y y '''-+=,它的特征方程为2430,r r -+= 得特征根121,3,r r == 对应齐次方程的通解1231212r x r x x x y C e C e C e C e =+=+由于这里2λ=不是特征方程的根,所以应设该非齐次方程的一个特解为*2,x y Ae = 所以()*22xy Ae '=,()*24xy Ae''=,代入原方程：222244232xx x x AeAe Ae e -⋅+=,则2A =-,所以*22.xy e =- 故得原方程的通解为32122x x x y C e C e e =+-.(14)【详解】 ()x y dS xdS y dS ∑∑∑+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰,对于第一部分,由于积分区域关于x 轴、y 轴是对称的面,被积函数x 为x 的奇函数,所以0.xdS ∑=⎰⎰对于第二部分,因∑关于,,x y z 轮换对称,所以,xdS y dS z dS ∑∑∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰那么()1133y dS x y z dS dS ∑∑∑=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰,由曲面积分的几何意义,dS ∑⎰⎰为曲面的表面积,所以13y dS dS ∑∑=⎰⎰⎰⎰()1.3=⨯∑的面积而∑为8块同样的等边三角形,,所以∑的面积218sin23π=⋅=所以1()433x y dS y dS ∑∑+==⋅=⎰⎰⎰⎰(15)【答案】1 【详解】2010001000010*********001000100010000000000000000A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 3201001000001000100100000000000010000000000000000A A A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=⋅==⎪⎪ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由阶梯矩阵的行秩等于列秩,其值等于阶梯形矩阵的非零行的行数,知()3 1.r A =(16) 【答案】34【详解】不妨假定随机地抽出两个数分别 为X Y 和,它们应是相互独立的. 如果把 ,X Y （）看成平面上一个点的坐标,则由于 01,01,X Y <<<<所以,X Y （）为平面上 正方形：01,01X Y <<<<中的一个点.X Y 和两个数之差的绝对值小于12对应于正方形中12X Y -<的区域.所有可能在区间(0,1)中随机取的两个数,X Y ,可以被看成上图中单位正方形里的点.12X Y -<的区域就是正方形中阴影的面积D . 根据几何概率的定义：()211213.214D P X Y -⎛⎫-<=== ⎪⎝⎭的面积单位正方形面积三、解答题(17)【详解】方法1：先求函数(,)f x y 在D 的内部驻点,由22220420x y f x xy f y x y ⎧'=-=⎪⎨'=-=⎪⎩,解得D内的驻点为(,相应的函数值为(2f =再考虑在D 的边界1L ：0(22)y x =-≤≤上的(,)f x y . 即2(,0)(22)f x x x =-≤≤,易知函数(,)f x y 在此边界上的最大值为(2,0)4f ±=,最小值为(0,0)0f =.考虑在D 的边界2L ：224(0)x y y +=≥上的(,)f x y ,所以y =令222242()(2(4)(4)58,22h x f x x x x x x x x ==+---=-+-≤≤由3()4100h x x x '=-=得驻点1230,x x x ===所以函数()h x 在相应点处的函数值为(0)(0,2)8h f ==,7((4h f ==,74h f == 综上可知函数在D 上的最大值为(0,2)8f =,最小值为(0,0)0f =. 方法2：在D 内与边界1L 上,同方法1 .在边界2L ：224(0)x y y +=≥上,构造函数222222(,,)2(4)F x y x y x y x y λλ=+-++-令 22222220422040x y F x xy x F y x y y F x y λλλ'⎧=-+=⎪'=-+=⎨⎪'=+-=⎩,解得x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,02x y =⎧⎨=⎩(74f =,(0,2)8f =综上,(,)f x y 在D 上的最大值为8,最小值为0(18)【详解】方法1：增加一个曲面使之成为闭合曲面,从而利用高斯公式,补充曲面片22:0,14y S z x =+≤,下侧为正,有122323SSI xzdydz zydzdx xydxdy xzdydz zydzdx xydxdy II ∑+=++-++=+⎰⎰⎰⎰根据高斯公式,1(2)I z z dv Ω=+⎰⎰⎰221111436(1)x y zzdz dxdy z z dz ππ+<-==-=⎰⎰⎰⎰其中,22(,,)1,014y x y z x z z ⎧⎫⎪⎪Ω=+≤-≤≤⎨⎬⎪⎪⎩⎭. 又2221143x y I xydxdy +≤=-⎰⎰由函数奇偶性可知2211430x y xydxdy +≤=⎰⎰,从而0I ππ=+=.方法2：曲面∑在xOy 上的投影记为xy D ,由于曲面∑的正向法向量为1(,,1)(2,,1)2x y n z z x y ''=--=,所以 23(,,)xyD I xzdydz zydzdx xydxdy X Y Z ndxdy ∑=++=⎰⎰⎰⎰2222222211411[2(1)(1)3]44x y x x y y x y xy dxdy +≤=--+--+⎰⎰令 cos ,02,01sin x r r y r θθπθ=⎧≤≤≤≤⎨=⎩,则2122222220[2(1)cos 2(1)sin 6cos sin ]2I d r r r r r rdr πθθθθθ=-+-+⎰⎰132012(1)r r dr ππ=-=⎰方法3：记曲面∑在三个坐标平面上的投影分别为,,xy yz zx D D D ,则利用函数奇偶性有,330xyD xydxdy xydxdy ∑==⎰⎰⎰⎰1022yzD xzdydz zdz --∑==⎰⎰⎰⎰⎰⎰10[2(1)]3z z dz ππ=-=⎰1288zxD zydzdx zdz ∑==⎰⎰⎰⎰⎰124(1)3z z dz ππ=-=⎰ 所以 223033I xzdydz zydzdx xydxdy πππ∑=++=++=⎰⎰(19)【详解】欲证明存在(,)a b ξ∈使得()()f g ξξ''''=,可构造函数((),())0f x g x ϕ=,从而使用介值定理、微分中值定理等证明之.令()()()x f x g x ϕ=-,由题设(),()f x g x 存在相等的最大值,设1(,)x a b ∈,2(,)x a b ∈使得12[.][.]()max ()()max ()a b a b f x f x g x g x ===. 于是111()()()0x f x g x ϕ=-≥,222()()()0x f x g x ϕ=-≤若1()0x ϕ=,则取1(,)x a b η=∈有()0ϕη=. 若2()0x ϕ=,则取2(,)x a b η=∈有()0ϕη=.若12()0,()0x x ϕϕ><,则由连续函数介值定理知,存在12(,)x x η∈使()0ϕη=. 不论以上哪种情况,总存在(,),a b η∈使()0ϕη=.再()()()0,()()()0a f a g a b f b g b ϕϕ=-==-=,将()x ϕ在区间[,],[,]a b ηη分别应用罗尔定理,得存在12(,),(,),a b ξηξη∈∈使得12()()0ϕξϕξ''=＝0,；再由罗尔定理知,存在12(,)ξξξ∈，使()0ϕξ''=.即有()()f g ξξ''''=.(20)【详解】(I) 证法一：对0nn n y a x∞==∑求一阶和二阶导数,得 1212,(1),n n nn n n y na xy n n a x ∞∞--=='''==-∑∑代入240y xy y '''--=,得2121(1)240n n n nn n n n n n n a xx na xa x ∞∞∞--===---=∑∑∑即21(1)(2)240nnn n n n n n n n n ax na x a x ∞∞∞+===++--=∑∑∑于是 202240(1)20,n n a a n a a +-=⎧⎨+-=⎩1,2,,n = 从而 22,1,2,,1n n a a n n +==+证法二：由于0nn n y a x ∞==∑,根据泰勒级数的唯一性便知()(0)!n n y a n =.在方程240y xy y '''--=两端求n 阶导数,得(2)(1)()22(2)0n n n y xy n y ++--+=令0x =,得(2)()(0)2(2)(0)0n n yn y +-+=,即 2(2)!2(2)!0n n n a n n a ++-+⋅=, 故 22,1,2,1n n a a n n +==+(II) 证法一：由于2202,1,2,,2,1n n a a n a a n +===+且根据题设中条件 01(0)0,(0)1,a y a y '====所以 20,1,2,n a n ==；21211221,0,1,2,22(22)42!nn n a a a n n n n n +-=====-从而 22212121001()()!!n n n n x n n n n n n x y x a x axx x xe n n ∞∞∞∞+++=========∑∑∑∑.证法二：因为0nn n y a x ∞==∑,所以11n n n y a x x ∞-==∑,两边求导,得2220()(1)(1)n n n n n n y n a xn a x x ∞∞-+=='=-=+∑∑ 由于 22,1,2,1n n a a n n +==+,所以 0()22nn n y a x y x ∞='==∑,即函数()y x 满足方程()20y y x '-=令()y u x x =,则上述方程变为20u xu '-=,即2du xdx u=,解之得2x u Ce =,从而2x y Cxe =. 由(0)1y '=得1C =,所以2x y xe =.(21) 【详解】方法1：因为方程组(1)、(2)有公共解,将方程组联立得1231232123123020(3)4021x x x x x ax x x a x x x x a ++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=-⎩对联立方程组的增广矩阵作初等行变换21110120()140121a A b a a ⎛⎫ ⎪ ⎪=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭211100110112140121a a a ⎛⎫ ⎪- ⎪⨯-+ ⎪⎪⎝⎭行（）行2111001101130310121a a a ⎛⎫ ⎪-⎪⨯-+ ⎪- ⎪⎝⎭行（）行21110011011403100101a a a ⎛⎫⎪- ⎪⨯-+ ⎪-⎪-⎝⎭行（）行2111000111203100101a a a a ⎛⎫ ⎪--⎪⨯-+ ⎪- ⎪-⎝⎭4行（）行2111001133001330101a a a a a ⎛⎫⎪-- ⎪⨯-+ ⎪--⎪-⎝⎭4行（）行21110101001100133a a a a a ⎛⎫ ⎪-⎪ ⎪-- ⎪--⎝⎭换行111001013--140011000(1)(2)a a a aa a ⎛⎫⎪-⎪⨯+ ⎪--⎪--⎝⎭行（）行由此知,要使此线性方程组有解,a 必须满足(1)(2)0a a --=,即1a =或2a =.当1a =时,()2r A =,联立方程组(3)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩,由()2r A =,方程组有321n r -=-=个自由未知量. 选1x 为自由未知量,取11x =,解得两方程组的公共解为()1,0,1Tk -,其中k 是任意常数.当2a =时, 联立方程组(3)的同解方程组为1232301x x x x x ++=⎧⎪=⎨⎪=-⎩,解得两方程的公共解为()0,1,1T -.方法2：将方程组(1)的系数矩阵A 作初等行变换21111214A a a ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦211111201114a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行（）行 2111113011031a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦行（）行1113301100(1)(2)a a a ⎡⎤⎢⎥⨯-+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦2行（）行当1a =时,()2r A =,方程组(1)的同解方程组为12320x x x x ++=⎧⎨=⎩,由()2r A =,方程组有321n r -=-=个自由未知量.选1x 为自由未知量,取11x =,解得(1)的通解为()1,0,1Tk -,其中k 是任意常数. 将通解()1,0,1Tk -代入方程(2)得0()0k k ++-=,对任意的k 成立,故当1a =时,()1,0,1Tk -是(1)、(2)的公共解.当2a =时,()2r A =,方程组(1)的同解方程组为123230x x x x x ++=⎧⎨+=⎩,由()2r A =,方程组有321n r -=-=个自由未知量.选2x 为自由未知量,取21x =,解得(1)的通解为()0,1,1Tμ-,其中μ是任意常数. 将通解()0,1,1Tμ-代入方程(2)得21μμ-=,即1μ=,故当2a =时,(1)和(2)的公共解为()0,1,1T-.(22) 【详解】(I)由11A αα=,可得 111111()k k k A A A A αααα--====,k 是正整数,故5311(4)B A A E αα=-+531114A A E ααα=-+111142αααα=-+=-于是1α是矩阵B 的特征向量(对应的特征值为12λ'=-).若Ax x λ=,则()(),m mkA x k x A x x λλ==因此对任意多项式()f x ,()()f A x f x λ=,即()f λ是()f A 的特征值.故B 的特征值可以由A 的特征值以及B 与A 的关系得到,A 的特征值11,λ=22,λ=32,λ=- 则B有特征值112233()2,()1,()1,f f f λλλλλλ'''==-====所以B 的全部特征值为－2,1,1. 由A 是实对称矩阵及B 与A 的关系可以知道,B 也是实对称矩阵,属于不同的特征值的特征向量正交. 由前面证明知1α是矩阵B 的属于特征值12λ'=-的特征向量,设B 的属于1的特征向量为123(,,)Tx x x ,1α与123(,,)Tx x x 正交,所以有方程如下：1230x x x -+=选23,x x 为自由未知量,取23230,11,0x x x x ====和,于是求得B 的属于1的特征向量为223(1,0,1),(1,1,0)T T k αα=-=故B 的所有的特征向量为：对应于12λ'=-的全体特征向量为11k α,其中1k 是非零任意常数,对应于231λλ''==的全体特征向量为2233k k αα+,其中23,k k 是不同时为零的任意常数. ()II 方法1：令矩阵[]123111,,101110P ααα-⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,求逆矩阵1P -.111100101010110001-⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦11110012012110110001-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行行 11110013012110021101-⎡⎤⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦行行1111003012110003121-⎡⎤⎢⎥⨯+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦行2行 1111011110330121100101/31/32/30011/32/31/30011/32/31/3--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥÷-⨯---⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦行3行(-2)+2行 1102/32/31/30101/31/32/30011/32/31/3---⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦3行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯---⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1)+1行1001/31/31/30101/31/32/30011/32/31/3-⎡⎤⎢⎥⨯-⎢⎥⎢⎥⎣⎦2行(-1) 则 1P -1/31/31/311111/31/32/311231/32/31/3121--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦由1(2,1,1)P BP diag -=-,所以11112001111(2,1,1)1010101123110001121B P diag P ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⋅-⋅=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦1112220331110111230333110121330----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦方法2：由()I 知1α与23,αα分别正交,但是23αα和不正交,现将23,αα正交化：取22331221111,(1,1,0)(,0,)(,1,)2222k βαβαβ==+=+-=.其中,3212222(,)1(1)11(1,0,1)(,0,)(,)(1)(1)1122T k αββββ⨯-=-=--=--⨯-+⨯再对1,α23,ββ单位化：312123123111,1),1,0,1),(,1,)22βαβξξξαββ==-==-=== 其中,123αββ====,记0Q ⎡⎤⎢⎥⎥=⎥⎥由1(2,1,1)Q BQ diag -=-,有1(2,1,1)B Q diag Q -=⋅-⋅. 又由正交矩阵的性质：1TQ Q -=,得200(2,1,1)00100001TB Q diag Q ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⋅-⋅=⎢⎥⎢⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎥⎢⎥00⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎥=⎢⎥⎥⎥011101110-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦.(23)【详解】 计算{}2P X Y >可用公式{}22(,)x yP X Y f x y dxdy >>=⎰⎰求Z X Y =+的概率密度()Z f z ：可用两个随机变量和的概率密度的一般公式求解.(卷积公式)()(,)(,).Z f z f z y y dy f x z x dx +∞+∞-∞-∞=-=-⎰⎰此公式简单,但讨论具体的积分上下限会较复杂.另一种方法可用定义先求出{}{}(),Z F z P Z z P X Y z =≤=+≤然后再'()()Z Z f z F z =.(I){}2(2)DP X Y x y dxdy >=--⎰⎰,其中D为01,01x y <<<<中2x y >的那部分区域(右 图阴影部分)；求此二重积分可得{}11202(2)x P X Y dx x y dy >=--⎰⎰1205()8x x dx =-⎰724=(Ⅱ)方法1：根据两个随机变量和的概率密度的卷积公式有()(,).Z f z f x z x dx +∞-∞=-⎰先考虑被积函数(,)f x z x -中第一个自变量x 的变化范围,根据题设条件只有当01x <<时(,)f x z x -才不等于0. 因此,不妨将积分范围改成1()(,).Z f z f x z x dx =-⎰现再考虑被积函数(,)f x z x -的第二个变量z x -.显然,只有当01z x <-<时,(,)f x z x -才不等于0.且为2()2.x z x z ---=-为此,我们将z 分段讨论.因为有01z x <-<,即是1,x z x <<+而x 的取值范围是(0,1),所以使得(,)f x z x -不等于0的z 取值范围是(0,2] 如下图,在01x <<情况下,在阴影区域1D 和2D ,密度函数值不为0,积分方向如图所示,积分上下限就很好确定了,所以很容易由卷积公式得出答案。

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一真题及答案

2007年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、 选择题：110:小题，每小题4分，共40分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.（1） 当0x +→）A.1-B1C.1D -【答案】(B)【考点】等价无穷小 【难易度】★★【详解】解析：方法1：排斥法：由几个常见的等价无穷小，当0x +→0→，所以1(1-::211,2-:可以排除A 、C 、D ，所以选（B ）. 方法2：==ln 1⎛⎫+ ⎝ 当0x +→时，11→0→，又因为0x →时，()ln 1x x +:，所以)ln 1~~1~x ⎛= ⎝B ）.方法3：0lim x +→00lim x x →→'洛1lim lim 1x x ++→→==1A x=+(()111A B x x ++=- 对应系数相等得：1A B = =，所以原式00lim lim 1x x x ++→→⎡⎤==+⎢+⎣0lim lim 011x x x ++→→=+=++1=，选（B ）.（2） 曲线1ln(1)x y e x=++渐近线的条数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3【答案】( D)【考点】函数图形的渐近线 【难易度】★★★【详解】解析：001lim lim ln(1)x x x y e x →→⎛⎫=++⎪⎝⎭=∞，所以0x =是一条铅直渐近线；1lim lim ln(1)x x x y e x →-∞→-∞⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1lim lim ln(1)000x x x e x →-∞→-∞=++=+=，所以0y =是沿x →-∞方向的一条水平渐近线；令21ln(1)1ln(1)lim lim lim x x x x x e y e x a x x x x →+∞→+∞→+∞++⎛⎫+===+ ⎪⎝⎭21ln(1)lim lim x x x e x x →+∞→+∞+=+ln(1)0lim x x e x →+∞+=+1lim 11xx x e e →+∞+ =洛必达法则令()1lim lim ln(1)x x x b y a x e x x →+∞→+∞⎛⎫=-⋅=++- ⎪⎝⎭()()1limlim ln(1)0lim ln(1)x x x x x e x e x x →+∞→+∞→+∞=++-=++- ()1ln lim ln(1)ln lim ln()xxxxx x x e x e e e e→+∞→+∞+ = +-=lim ln(1)ln10x x e -→+∞=+==所以y ax b x =+=是曲线的斜渐近线，所以共有3条，选择（D ）（3） 如下图，连续函数()y f x =在区间[][]3,2,2,3--上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[][]2,0,0,2-上图形分别是直径为2的上、下半圆周，设0()(),xF x f t dt =⎰则下列结论正确的是（ ）.A (3)F 3(2)4F =-- .B (3)F 5(2)4F = .C (3)F - 3(2)4F = .D (3)F -5(2)4F =--【答案】( C)【考点】定积分的概念、定积分的基本性质，积分上限的函数及其导数 【难易度】★★★【详解】解析：由题给条件知，()f x 为x 的奇函数，则()()f x f x -=-，由0()(),xF x f t dt =⎰知()()()()()()()()xx xF x f t dt t u f u d u f u f u f u du F x --= =- -- -=- =⎰⎰⎰，故()F x 为x 的偶函数，所以(3)(3).F F -=而2(2)()F f t dt =⎰表示半径1R =的半圆的面积，所以22(2)()22R F f t dt ππ===⎰，32302(3)()()()F f t dt f t dt f t dt ==+⎰⎰⎰，其中32()f t dt ⎰表示半径12r =的半圆的面积的负值，所以22321()2228r f t dt πππ⎛⎫=-=-⋅=- ⎪⎝⎭⎰所以3232333(3)()()()(2)288424F f t dt f t dt f t dt F ππππ==+=-==⋅=⎰⎰⎰ 所以3(3)(3)(2)4F F F -==，选择( C)（4） 设函数()f x 在0x =处连续，则下列命题错误的是（ ）.A 若0()limx f x x →存在，则(0)0f = .B 若0()()lim x f x f x x →+-存在，则(0)0f =.C 若0()lim x f x x →存在，则(0)f '存在 .D 若0()()lim x f x f x x→--存在，则(0)f '存在【答案】( D)【考点】极限的四则运算，函数连续的概念，导数的概念【难易度】★★【详解】解析：方法1:论证法，证明..A B C 都正确，从而只有.D 不正确。

07考研数一真题及答案

07考研数一真题及答案

2007年硕士研究生入学考试数学一试题及答案解析一、选择题：(本题共10小题，每小题4分，共40分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内)(2) 曲线1ln(1)x y e x=++，渐近线的条数为_______ 【详解】 因为01lim[ln(1)]xx e x→++=∞，所以0x =为垂直渐近线；又 1lim[ln(1)]0xx e x→-∞++=，所以y=0为水平渐近线；进一步，21ln(1)ln(1)lim lim []lim x x x x x y e e x x x x →+∞→+∞→+∞++=+==lim 11xx x e e→+∞=+， 1lim[1]lim[ln(1)]x x x y x e x x→+∞→+∞-⋅=++-=lim[ln(1)]xx e x →+∞+-=lim[ln (1)]lim ln(1)0x x xx x e e x e --→+∞→+∞+-=+=，于是有斜渐近线：y = x . 故3条(8) 设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=211121112A , ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000010001B , 则A 与B_______(填是否合同，相似)【详解】 由0||=-A E λ 得A 的特征值为0, 3, 3, 而B 的特征值为0, 1, 1,从而A 与B 不相似.又r (A )=r (B )=2, 且A 、B 有相同的正惯性指数, 因此A 与B 合同.二、填空题：(11－16小题，每小题4分，共24分. 把答案填在题中横线上)(11)12311x e dx x⎰=_______ 【分析】 先作变量代换，再分部积分。

【详解】111213213211211()t xt txe dx t e dt te dt x t ==-=⎰⎰⎰ =111121112221.2tt t tdetee dt e =-=⎰⎰(12) 设f (u ,v )为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则zx∂∂=_______ 【详解】 利用复合函数求偏导公式，有z x∂∂=112ln .y xf yx f y y -''⋅+⋅ (13) 二阶常系数非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的通解为_______ 其中21,C C 为任意常数.【详解】 特征方程为2430λλ-+=，解得121, 3.λλ== 可见对应齐次线性微分方程430y y y '''-+=的通解为 312.x xy C e C e =+设非齐次线性微分方程2432xy y y e'''-+=的特解为*2xy ke=，代入非齐次方程可得k= −2. 故通解为32122.x x xy C e C e e =+-(14) 设曲面:1x y z ∑++=，则dS y x ⎰⎰∑+|)|(= _______【详解】 由于曲面∑关于平面x =0对称，因此dS x ⎰⎰∑=0. 又曲面:1x y z ∑++=具有轮换对称性，于是dS y x ⎰⎰∑+|)|(=dS y ⎰⎰∑||=dS x ⎰⎰∑||=dS z ⎰⎰∑||=dS z y x ⎰⎰∑++|)||||(|31=dS ⎰⎰∑3123831⨯⨯==43.3 (15) 设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0000100001000010A , 则3A 的秩为_______. 【详解】 依矩阵乘法直接计算得 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00000000000010003A , 故r (3A )=1. 三、解答题：(17－24小题，共86分. ) (17) (本题满分11分)求函数2222(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值。

2007考研数学一试题及答案解析

2007考研数学一试题及答案解析

因 1, 2 , 3 线性无关，所以
x1
x3 0,
x1 x
0, 又
2x2 x3 0.
10 1 1 1 0 0， 0 11
故上述齐次线性方程组有非零解, 即 1
线性无关的.
(8) 设矩阵 A
2 11 1 2 1,B 1 12
2 , 2 3 , 3 1 线性相关. 类似可得(B), (C), (D)中的向量组都是
3, 3
1 . (B) 1
2, 2
3, 3
1.
(C) 1 2 2 , 2 2 3, 3 2 1 . (D) 1 2 2 , 2 2 3 , 3
【详解】用定义进行判定:令
x1( 1 2 ) x2 ( 2 3 ) x3 ( 3 1 ) 0 ，
2 1.
[A]
得
(x1 x3 ) 1 ( x1 x2 ) 2 ( x2 x3 ) 3 0 .
,| x y | 12}.
3
故
P( A) S A S
4 1
3 4
，其中
S
A
,
S
分别表示 A 与
的面积.
三、解答题：(17－24 小题，共 86 分. ) (17) (本题满分 11 分)
求函数 f (x, y) x2 2 y2 x2 y2
D {(x, y) x2 y2 4, y 0}上的最大值和最小值。
【详解】 (A),(B)两项中分母的极限为 0，因此分子的极限也必须为 0，均可推导出 f(0)=0.
若 lim f (x) 存在，则 f (0) x0 x
0, f (0)
lim
x0
f
(x) x
f (0) 0
lim f (x) x0 x
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2007年考研数学一真题一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （1） 当0x +→( )A. 1-B.lnC.1D.1cos -(2) 曲线y= 1ln(1xe x++), 渐近线的条数为 ( )A.0B.1C.2D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰ .则下列结论正确的是 ( ) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F +D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 ( ) A. 若0()lim x f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()limx f x f x x →+- 存在，则f （0）=0 C. 若0()limx f x x→ 存在，则'(0)f =0 D. 若0()()limx f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是 ( )A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 ( ) A.(,)rx y dx ⎰B.(,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： ( ) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++ （C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++ （8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭，则A 于B ( )(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： ( ) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)X Yf x y 为 ( )（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上 （11）31211x e dx x⎰＝_______.（12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)y x z f x y =，则z x∂∂＝______.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝____________. (14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰ ＝_____________.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为________. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为________.三．解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.222222(,)2{(,)4,0}f x y x y x y D x y x y y =+-=+≤≥(17)（本题满分11分）求函数在区域上的最大值和最小值。

22(18)(10)23,1(01)4I xzdydz xydzdx xydxdy yz x z ∑=++∑=--≤≤⎰⎰本题满分分计算曲面积分其中为曲面的上侧.''''(19)()(),()[,](,)()(),()()(,)()().f x g x a b a b f a g a f b g b a b f g ξξξ==∈=本题是11分设函数在上连续，在内二阶导数且存在相等的最大值，证明：存在，使得 0''''2(20)(10)(,)()240,(0)0,(0)12(1),1,2,;1(2)()nn n n n a x y x y xy y y y a a n n y x ∞=+-∞+∞--=====+∑ 本题满分分设幂级数在内收敛，其和函数满足证明求的表达式.1231232123123(21)(11)20(1)4021(2)x x x x x ax x x a x x x x a a ⎧++=⎪++=⎨⎪++=⎩++=-本题满分分设线性方程组与方程有公共解，求的值及所有公共解.(22)设3阶对称矩阵A 的特征向量值1231,2,2,λλλ===-1(1,1,1)Tα=-是A 的属于1λ的一个特征向量,记534B A A E =-+其中E 为3阶单位矩阵()I 验证1α是矩阵B 的特征向量,并求B 的全部特征值的特征向量； ()II 求矩阵B .(23)设二维变量(,)x y 的概率密度为2(,)0x y f x y --⎧=⎨⎩01,01x y <<<<其他()I 求{2}P X Y >；()II 求z X Y =+的概率密度.(24)设总体X 的概率密度为1021(,)12(1)0x f x x θθθθθ⎧<<⎪⎪⎪=≤<⎨-⎪⎪⎪⎩其他1X ,2X ,…n X 是来自总体X 的简单随机样本，X 是样本均值()I 求参数θ的矩估计量；()II 判断24X 是否为2θ的无偏估计量,并说明理由.2007年考研数学一真题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，满分40分，在每小题给的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后括号内） （2） 当0x +→(B)A. 1-B.lnC.1D.1cos -(2) 曲线y= 1ln(1xe x++), 渐近线的条数为 (D)A.0B.1C.2D.3(3)如图，连续函数y=f(x)在区间[-3，-2]，[2，3]上的图形分别是直径为1的上、下半圆周，在区间[-2，0]，[0，2]的图形分别是直径为2的上、下半圆周，设F(x)=0()xf t dt ⎰ .则下列结论正确的是 (C) A. F(3)=3(2)4F -- B. F(3)=5(2)4F C. F(3)=3(2)4F +D. F(3)= 5(2)4F --(4)设函数f （x ）在x=0处连续，下列命题错误的是 (C) A. 若0()lim x f x x →存在，则f （0）=0 B. 若0()()limx f x f x x →+- 存在，则f （0）=0 C. 若0()limx f x x→ 存在，则'(0)f =0 D. 若0()()limx f x f x x→-- 存在，则'(0)f =0(5)设函数f （x ）在（0, +∞）上具有二阶导数，且"()f x o >, 令n u =f(n)=1,2,…..n, 则下列结论正确的是(D)A.若12u u >，则{n u }必收敛B. 若12u u >，则{n u }必发散C. 若12u u <，则{n u }必收敛D. 若12u u <，则{n u }必发散(6)设曲线L ：f(x, y) = 1 (f(x, y)具有一阶连续偏导数），过第Ⅱ象限内的点M 和第Ⅳ象限内的点N,T 为L 上从点M 到N 的一段弧，则下列小于零的是 (B) A.(,)rx y dx ⎰B.(,)rf x y dy ⎰C.(,)rf x y ds ⎰D.'(,)'(,)x y rf x y dx f x y dy +⎰（7）设向量组1α，2α，3α线形无关，则下列向量组线形相关的是： (A) （A ） ,,122331αααααα--- （B ） ,,122331αααααα+++ （C ） 1223312,2,2αααααα--- （D ）1223312,2,2αααααα+++ （8）设矩阵A=211121112--⎛⎫ ⎪-- ⎪ ⎪--⎝⎭，B=100010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭,则A 于B ， (B)(A) 合同，且相似(B) 合同，但不相似 (C) 不合同，但相似 (D)既不合同，也不相似（9）某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p ()01p <<，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为： (C) （A ）23(1)p p - (B)26(1)p p - (C) 223(1)p p -(D) 226(1)p p -(10) 设随即变量（X ，Y ）服从二维正态分布，且X 与Y 不相关，()X f x ，()Y f y 分别表示X ，Y 的概率密度，则在Y ＝y 的条件下，X 的条件概率密度|(|)XYf x y 为 (A)（A ）()X f x(B) ()Y f y(C) ()X f x ()Y f y (D)()()X Y f x f y二．填空题：11－16小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上。

（11）31211xe dx x⎰＝1212e .（12）设(,)f u v 为二元可微函数，(,)yxz f x y =，则z x∂∂＝'1'12(,)ln (,)yxy xyxf x y yxy yf x y -+.(13)二阶常系数非齐次线性方程2''4'32x y y y e -+=的通解为y ＝32122x x xC e C e e +-.(14)设曲面∑：||||||1x y z ++=，则(||)x y ds ∑+⎰⎰＝3.(15)设矩阵A ＝0100001000010000⎛⎫⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭，则3A 的秩为１. （16）在区间（0，1）中随机地取两个数，则这两个数之差的绝对值小于12的概率为34.三、解答题：17~24小题，共86分.请将解答写在答题纸指定的位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

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