函数概念及其表示(知识点总结例题分类讲解)

龙文教育教师1对1个性化教案

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函数及其表示

【要点回顾】 函数的概念 1.函数的概念

定义：设B A 、是两个非空的数集，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的任意x ，在集合B 中都有唯一的数和它对应，那么这样的对应叫做从A 到B 的一个函数，通常记为 .

2.函数的定义域与值域

在函数A x x f y ∈=),(中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做)(x f y =的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈)(称为函数)(x f y =的值域. 函数的三要素：定义域、值域和对应法则 3.区间的概念

4.判断对应是否为函数

5.定义域的求法

6.函数值域的求法

7.复合函数（抽象函数）定义域的求法

函数的表示法

1．函数的三种表示法

图象法、列表法、解析法

2．分段函数

在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

3.映射的概念

设B A 、是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f ，对于集合A 中的任意一个元素，在集合B 中都有唯一确定的元素与之对应，那么就称对应B A f →:为从集合A 到集合B 的一个映射，通常记为B A f →: ，f 表示对应法则.

【例题讲解】

考点一：函数与映射概念考查

例1 判断下列图象能表示函数图象的是（ ）

练习1：函数()y f x =的图象与直线x = a

的交点个数 （ ）

A.

只有一个 B.至多有一个 C.至少有一个 D.0个

练习2：下述两个个对应是A 到B 的映射吗？ （1）A R =，{|0}B y y =>，:||f x y

x →=

；

（

2

）{|

0}A x x =>，{|}B y y R =∈，:f x y →=

练习3：下列是映射的是（ ）

图1 图2 图3 图4 图5

(A)图1、2、3 (B)图1、2、5 (C)图1、3、5 (D)图1、2、3、5

函数相等：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致.

例2 指出下列各函数中，哪个与函数y x =是同一个函数： （1）2

x y x

=； （2）y = （3）s t =．

练习1：判定下列各组函数是否为同一个函数：

（1）()f x x =， ()f x （2）()1f x x =+，21

()1

x f x x -=-

练习2：试判断以下各组函数是否表示同一函数？ （1）2)(x x f =，33)(x x g =；

(A)

（2）x x

x f =

)(，⎩⎨⎧<-≥=;

01,

01

)(x x x g （3）x x f =)(1+x ，x x x g +=2)(；

（4）12)(2--=x x x f ，12)(2--=t t t g

（5）1212)(++=n n x x f ，1212)()(--=n n x x g （n ∈N *）；

考点二：函数定义域

题型1：求有解析式的函数的定义域

（1）方法总结：如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式有意义的x 的取值范围，实际操作时要注意：① 分母不能为0；② 对数的真数必须为正；③ 偶次根式中被开方数应为非负数；④ 零指数幂中，底数不等于0；⑤ 负分数指数幂中，底数应大于0；⑥ 若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的交集；⑦ 如果涉及实际问题，还应使得实际问题有意义，而且注意：研究函数的有关问题一定要注意定义域优先原则，实际问题的定义域不要漏写.

例１ 求下列函数的定义域：

（１）()1

1

f x x =+； （２）()f x =

例2 设()21

3

x f x -=

，求()0f ，()2f ，()5f -，()f b ．

练习1：函数()1

3

f x x =-的定义域为（ ）

A ．[)(]22+∞-∞-U ，，

B ．[)()2,33+∞U ，

C ．(][)()22,33-∞-+∞U U ，，

D ．(]2-∞-，

练习2：函数x

x x x f -+=

0)1()(的定义域是（ ）

A.{}0|

B. {}0|>x x

C. {}10|-≠

D. {}10|-≠≠x x x 且

题型2：求复合函数和抽象函数的定义域（选讲） 1、复合函数的定义

如果y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即()y f u =，()u g x =，那么y 关于x 的 函数(())y f g x =叫

做函数()y f u =（外函数）和()u g x =（内函数）的复合函数，其中u 是中间变量，自变量为x 函数值为y 。 例如：函数2

1

2x y += 是由2u y =和21u x =+ 复合而成立。

2．求有关复合函数的定义域

① 已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域的方法：

已知)(x f 的定义域为)(b a ,，求))((x g f 的定义域。实际上是已知中间变量的u 的取值范围，即

)(b a u ,∈，)()(b a x g ,∈。通过解不等式b x g a <<)(求得x 的范围，即为))((x g f 的定义域。

② 已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域的方法： 若已知))((x g f 的定义域为)(b a ，，求)(x f 的定义域。实际上是已知直接变量x 的取值范围，

即)(b a x ，∈。先利用b x a <<

求得)(x g 的范围，则)(x g 的范围即是)(x f 的定义域。

例3 已知)2(+=x f y 的定义域是][b a ，，求函数)(x f y =的定义域.

练习1：已知(21)y f x =-的定义域是（-2，0），求(21)y f x =+的定义域.

练习2： ⑴若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；

⑵若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域； ⑶已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．

考点三：函数表示

例1 文具店内出售某种铅笔，每支售价为0.12元，应付款额是购买铅笔数的函数，当购买6支以内（含6支）的铅笔时，请用三种方法表示这个函数．

分析 函数的定义域为{1，2，3，4，5，6}，分别根据三种函数表示法的要求表示函数．