金融数学笔记

资产 t 时刻 证券 现金 证券 现金 Yt Xt YT (1+r)
(T-t)
负债 Xt Yt XT Xt (1+r)
(T-t)
权益 0
T 时刻 2.
Yt
(1+r)(T-t)(Xt – Yt)
投资组合的自融资 自融资指无需增加额外资本。对于一个投资组合 Et = ϕtSt + φtBt，两种证券
的份额 ϕt, φt 可随时间调整，但在离散时域自融资意味着 St-1∆ϕt + Bt-1∆φt = 0。 3. 衍生证券的定价 假定资产 St 在 T 时刻的衍生证券 X = f(ST)在 t 时刻的价格为 Vt。 若存在投资 组合 Et 使得 1) Et 是自融资的；2) ET = VT = X，则由套利定价原理 Vt = Et。 Et 可以通过其基础资产 St 和现金 Bt 的投资组合来构造。设 Et = ϕtSt + φtBt， 其中现金 Bt = (1+r)t（取初始单位 B0 = 1）为确定性过程，定义 Bt-1St 和 Bt-1Et 为 贴现过程（均转化为初始时刻现值） 。下面只需确定满足条件的(ϕt, φt)： 1) 取测度 Q，使得贴现过程 Bt-1St 为 Q 测度下的鞅（一般不同于 St 的原始测 度） ； 2) 由 Doob 鞅，取 Bt-1Et = EQ(BT-1X|St)，则 Bt-1Et 也为 Q 测度下的鞅； 3) 由鞅表示定理，存在可料过程 ϕt，使得∆Bt-1Et = ϕt∆Bt-1St； 4) 取 φt = Bt-1Et - ϕtBt-1St； 则(ϕt, φt)一定满足套利定价的两个条件。 证明：1) BT-1ET = EQ(BT-1X|ST) = BT-1X，即 ET = X（终时价值恒等） 。 2) ∆Bt-1Et = ϕt∆Bt-1St， 即∆(ϕt Bt-1St + φt) = ϕt∆Bt-1St。 按公式∆XtYt = Xt∆Yt + Yt∆Xt - ∆Xt∆Yt 展开可得 St-1∆ϕt + Bt-1∆φt = 0 （自融资） 。 由上述策略，可得衍生证券 X 在 t 时刻的无套利价格为 Vt = BtEQ(BT-1X|St)， 在初始时刻有 V0 = EQ(BT-1X|S0)， 这可以理解为 X 的贴现值在 Bt-1St 的鞅测度 （不 是 St 的原始测度）下的期望。如果在 t 时刻有 Vt ≠ Et，则存在套利机会，但注 意投资组合中(ϕt, φt)是需要通过自融资随时间调整的参数。 4. 远期合约 假定基础资产 St 为股票或贴现债券，由上述定价公式：
利用该定理可以对任意的随机微分方程进行测度变换。假定dXt = σt dWt +
注意，dXt 在两个测度下的波动率不变而漂移率发生了改变。若取γt = σt ，
t
μ
σt dWt ，形式上 Xt 的期望不发生改变。事实上，若 σt 满足一定有界性条件，则可 以证明 Xt 是鞅过程。借助这种形式，就很容易理解连续时域上的鞅表示定理： 若 Xt 和 Yt 为定义在同一测度下的鞅过程， 则存在可料过程 ϕt， 使 得 dXt = ϕtdYt。
连续过程的数学基础
1. 随机微积分 1) 随机微分意义 dXt = σt dWt + μt dt
其中 Wt 为布朗运动，σt 为波动率，μt 为漂移率。σt，μt 可依赖于 Xt，但必须
为 Xt 的可料过程（这要求 Xt 为连续随机变量） 。dXt 可以看作是一个微小的随机 增量，其期望和方差分别由 μtdt 和 σtdWt 描述。 上式也可以看作 Xt 的随机微分方程 （SDE） 。 但是能用解析法求解的 SDE （给 出 Xt 与 Wt 和 t 的显式关系）是很少的。 随机变量没有导数这一概念。 2) 随机微积分运算法则 （加法）d(Xt + Yt ) = dXt + dYt
鞅过程
1. 随机过程 （随机过程）随机过程 Xt 定义的是时域 T ×状态空间 X 到概率空间 P 上的 函数， 反映随机变量随时间的演化情况。将随机变量的状态空间与概率空间分开 是有意义的，前者称为 σ 域（在时域上称为 σ 域流 Ft） ，后者为 σ 域的测度 P。 （可料过程）若过程 ϕt 在 t 时刻的取值是只依赖于 Xt 以前的历史而与 Xt 无 关的确定性变量，则 ϕt 称为 F-可料过程（因为 ϕt 总是先于 Xt 确定） 。 2. 鞅过程 （鞅定义）如果对于所有的 t ≥ s，均有 EP(Xt|Fs) = Xs，则称 Xt 为定义在 σ 域 流 Ft 和测度 P 下的鞅。 对 s = 0 有 EP(Xt|F0) = X0，即 Xt 的期望总等于其在初始时 刻的取值。 （Doob 鞅） 若 f(XT)为定义在终时状态 T 的随机变量函数， 则过程 EP(f(XT)|Ft) (t ≤ T)是一个在测度 P 下的鞅过程。 证明：对 t ≥ s，EP(EP(f(XT)|Ft)|Fs) = EP(f(XT)|Fs)（条件期望定理） 。 （鞅表示定理）若 Xt 和 Yt 为定义在同一测度 P 下的鞅过程，则存在可料过 程 ϕt，使得∆Xt = ϕt∆Yt。 证明：对于离散的鞅过程，EP(∆Xt|Ft-1) = EP(Xt - Xt-1|Ft-1) = 0，即 Σ∆xtipti = 0，
基于二叉树的定价
1. 二叉树过程 二叉树过程是用于描述离散 St 的有力工具，可以方便地实现测度变换。虽然 现实中 St 大多是连续的，但二叉树也可以实现近似模拟，这对一些不能用解析 法定价的衍生证券特别有用。数学上，σ 域流 Ft 用于表示二叉树在 t 时刻的状态 空间。基础资产价格 St 为 Ft 上的随机过程，St 的原测度 P 用二叉树上的状态转 移概率表示。衍生证券未定权益 X = f(ST)为终时状态 ST 的函数，其无套利价格 证明为 Vt = BtEQ(BT-1X|St)，其中 Q 为 Bt-1St 的鞅测度。 考虑二叉树从 t – 1 到 t 时刻的递推关系： St1 Vt1
ϕt 使得∆xti = ϕt∆yti 对所有的 xti 恒成立，故∆Xt = ϕt∆Yt。
其中 xti 为状态空间所有可能取值。同理也有 Σ∆ytipti = 0。由线性代数可知，存在
套利定价综述
1. 套利定价原理 假定两种资产价格 Xt, Yt, 满足 1) 自融资； 2) T 时刻恒有 XT = YT， 则对所有 t ≤ T, 均有 Xt = Yt。 若在某时刻有 Xt > Yt, 则存在套利机会，策略是在该时刻买入 Yt 同时卖出 Xt （买低卖高） 。由于在 T 时刻 XT, YT 同时平仓，这就会实现套利收益（零投资 零风险） 。这一过程用资产负债表可反映如下（r 为利率） ：
（乘法）dXt Yt = Yt dXt + Xt dYt + σt ρt dt （σt，ρt 分别为 Xt，Yt 的波动率）
1 ′′ (μt f ′ (Xt ) + 2 σ2 t f (X t ))dt 1
′′ ′ （复合函数， Ito 公式） df(Xt ) = f ′ (Xt )dXt + 2 σ2 t f (X t )dt = σt f (X t )dWt +
1
因而基础资产的价格过程就可以用指数布朗运动来描述。 3. 测度变换
金融数学上常常用dYt = σt dWt + μt dt 来描述基础资产的瞬时回报率或利率，
连续过程测度变换理论比较复杂，这里只引入对布朗运动测度变换的一个定 理： 若 Wt 是 P 测度下的布朗运动， γt 是 Wt 的可料过程且满足一定的有界性条件，
其中乘法和复合函数的微分与牛顿微分法则不同。 3) 微积分关系 （微分的积分）∫0 dXs = ∫0 σs dWs + ∫0 μs ds = Xt − X0
t t t
（积分的微分）d ∫0 dXs = d ∫0 σs dWs + d ∫0 μs ds = σt dWt + μt dt 一个有用的公式是积分号下的微分(differentiation under the integral sign)： d ∫a(t) f(t, Xs )dXs = f�t, Xb(t) �b′ (t)dt − f�t, Xa(t) �a′ (t)dt + ∫a(t) df(t, Xs )dXs 这与牛顿微积分是类似的。 2. 指数布朗运动 指 数 布 朗 运 动 的 一 般 形 式 定 义 为 Xt = exp(Yt ) ， 其 中 Yt 由 微 分 方 程
1 b(t) b(t)
t
t
t
利用上面的关系可证得：d ∫0 f(Xs )dXs = f(Xt )dXt
t
dYt = σt dWt + μt dt 给出。由 Ito 公式，Xt 的微分方程可写为dXt = Xt (σt dWt + (μt + 2 σ2 t )dt ) 。这暗示 了一类微分方程的解为指数布朗运动。例如， dX t = Xt (σdWt + μdt) 的解为 Xt = X0 exp(σWt + (μ − 2 σ2 )t)。
连续时域鞅过程的定义与离散时域是类似的。对于无漂移的 SDE dXt =这与离散时域也源自类似的。基于连续过程的定价
1. 套利定价策略 假定资产 St 在 T 时刻的衍生证券 X = f(ST)在 t 时刻的价格为 Vt， 其套期保值 的投资组合设为 Et = ϕtSt + φtBt，其中现金 Bt = ert（r 为连续利率） 。下面将前面 介绍的套利定价策略改为连续版本： 1) 取测度 Q，使得贴现过程 Bt-1St 为 Q 测度下的鞅； 2) 由 Doob 鞅，取 Bt-1Et = EQ(BT-1X|St)，则 Bt-1Et 也为 Q 测度下的鞅； 3) 由鞅表示定理，存在可料过程 ϕt，使得 dBt-1Et = ϕtdBt-1St； 4) 取 φt = Bt-1Et - ϕtBt-1St。 下面只需补充证明 Et 在连续条件下也满足自融资条件。注意，自融资意味着 Stdϕt + Btdφt = 0（或等价地，dEt = ϕt dSt+ φtdBt） 。这只需将 dBt-1Et = ϕtdBt-1St 展 开即可证得。 这 样 ， 基 于 连 续 过程的 定 价 公 式 与 离 散情况 完 全 类 似 ， 即 Vt = Et = BtEQ(BT-1X|St) ，在初始时刻有 V0 = E0 = EQ(BT-1X|S0) 。而投资组合的份额 ϕt =