2019一个有关勾股定理的猜想精品教育.doc
探索勾股定理教案(第一课时).docx
探索勾股定理教案（第一课时）绍兴市袍江中学张清—、教材分析（一）教材所处的地位这节课是九年制义务教育浙教版课程标准教科书八年级第二章第六节探索勾股定理第一课时，勾股定理是几何屮几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形屮三边的数量关系，把“形”的特征一一三角形屮一个角是直角，转化成数量关系一一三边之间满足/+沪二利用它可以解决直角三角形屮的许多计算问题，是解直角三角形的主要根据之一.它在数学的发展屮起过重要的作用，在现时世界屮也有着广泛的作用.学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解.（-）根据课程标准，制定本课的教学H标（1）知识与技能：掌握勾股定理，并能运用勾股定理解决一些实际问题.掌握用面积的方法来说明勾股定理的正确性.（2）过程与方法：经历探索勾股定理的过程，体验数学学习探究的方法.经历观察、归纳、猜想、概括等数学学习活动过程，发展合情推理能力，体会数形结合思想.（3）情感态度与价值观：进一步丰富数学学习的成功体验，认识到数学是解决实际问题的重要工具，初步形成积极参与数学活动的意识；通过追溯勾股定理的历史，增强学生的爱国情感.（三）本课教学重难点重点：勾股定理的发现及其简单应用.难点：勾般定理的探究采用面积法，这是学生从未体验过的，是本节教学的难点. 二、教法与学法教法分析：针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，由特殊到一般地提出问题.引导学生口主探索，合作交流，这种教学理念反映了吋代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，基本教学流程是：创设情境，引发思考一一自主探索，合作交流一一追溯历史，激发情感一一应用拓展，能力提升一一冋顾反思，提炼升华一一布置作业，课堂延伸六部分.学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取他识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体.三、教学过程（一）、创设情境，引发思考故事引入：相传两千多年前，古希腊著名的哲学家、数学家毕达哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地发起呆来•原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方. 主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他，谁知，毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了.原来，他发现了地砖上的三个正方形存在某种数学关系.图1 （黑白相间的地砖）教师与学生行为：教师给出一个历史小故事，设置悬念，引发学生思考.教学效果预估与对策：学生对故事中的问题很感兴趣，能够激发学生的探究欲望.设计意图：由毕达哥拉斯在朋友家做客的偶然发现入手，引入本节课的课题一一勾股定理，学生 接受起来更自然，贴切.（二）、自主探索，合作交流 探究活动1猜一猜问题1:你能发现图2屮三个正方形面积之间有怎样的关系？问题3：你能用等腰直角三角形的边长表示止方形的面积吗？由此猜想等腰直角三角 形三边有怎样的关系？教师与学生行为：对于问题（2）、（3）教师给学生足够的思考时间，然后让学生交流合作，得出 结论.问题（3）可让学生在自己准备好的小方格上画出，并计算A 、B 、C 三个正方形的面积，用字母 表示三个正方形面积Z 间的数量关系，进而发现了等腰肓角三角形三边的特殊关系.并在小组内交流, 教师适当引导，深入学生当屮，倾听他们的想法.教学效果预估与对策：对等腰直角三角形三边性质的探索，学生们探究欲望会很强烈，小组交流 想法也会达成共识，对于验证三个正方形面积Z 间的关系.同时辅Z 多媒体的动态演示，使教学效果 更肓观，利于学生接受，顺利突破难点.设计意图：通过设计问题串，让探索过稈由浅入深，循序渐进.经历观察、猜想、归纳这一数学 学习过稈，符合学生认知规律.探索血积证法的多样性，体现数学解决问题的灵活性，发展学生的合2：如图3屮的各红I 图形面积之问都有丄述的结果吗?情推理能力.探究活动2 做一做问题4；请分别计算出图4小正方形A 、B 、C 的面积，看看能得出什么结论?问题5：如图5, a, b, c 分别表示三个止方形的边长，三者之间的面积关系如何表示? 由三个正方形所搭成的直角三角形三边存在怎样的关系? 教师与学生行为：教师观察学生活动，指导与合作，让学生充分发表自己的见解，暴露他们的思 维过程•计算正方形C 的面积不易求出，教师及时点拨，同时借助多媒体动态演示.教学效果预估与对策：根据探索等腰直角三角形三边关系过稈，学生在对探讨一•般肓角三角形三 边性质有了一定基础.计算正方形C 的面积利用分割法和把它看作边长是整数的大正方形面积的一半很 容易想到，但拼凑法会有一定困难，教师利用多媒体动态演示，从而化难为易，得出頁角边为整数的 直角三角形三边的特殊关系.设计意图：此环节设计让学生动手做一做，算一算，充分利用计算血积的不同方法，进一步体会 数形结合思想，让学生经历从特殊到一般的过稈，体会事物由特殊到-•般的变化规律，发展学生的合情 推理能力.探究活动3量一量问题6:,在纸上画出三个直角三角形，使其两条直角边长分别为3c 加和4czn, 1. 5cm 和2cm , 0. 8c/77和1・5肋，分别测量这三个直角三角形斜边的长，根据所测得的结果填写 下表：a b c a 2+b 2c 2 3 41.5 20.81.5观察表屮后两列的数据・JL 面所猜想的数量关系还成立吗？ 教师与学生行为：学生动手在纸上逊育角三角形，测量斜边的长度，讲行计算，教师及时点拨. 教学效果预估与对策：由于直角边长不是報数，计算起来难度大.测量斜边长度，由于存在误差， 预计学生会出现思维障碍，此时教师及时点拨，借助儿何I 出i 板演示岚角边为任意长的育角三角形三边W 2C < 1 1 ♦ 1 个 ] ] ( ] / C■pH * E 主 b ・ .・ — ■・ …■ .■ ・'・・・* ■ “ .B* + • + ] • ・ +1 B 1 1 ■卜■] 厶 ] 彳/ 二' + 寸 • 十 (A 的面积+1 '的面积二4 的面积) ・■ ■丄 」.八 厶■・ -.关系，得出一般直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，从而发现了勾股定理.勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a、b ,斜边为c,那么r+bJc?设计意图：通过上述两种探究活动，学生已初步探究出直角边为整数的直角三角形三边关系.设计让学生动T-MS角边是小数的情形而脱离网格纸，将探究活动进一步深化，从而扩展到更一般的情况.使学生体会数学探究由特殊到一般，再到更一般的过稈.探究活动4 验一验问题7:直角三角形的两条直角边长分别为“、b (b>a),斜边长为c (如图7-1),将四个全等的直角三角形按如图7・2位置放置.如何用图7・2來说明勾股定理的正确性？DB图7-1 图7-2教师与学生行为：动手剪出四个全等的育角三角形，并按图要求拼好.教师提示学生用不同的方法求大正方形的面积并进行化简•指出这就是著名的赵爽证明来说明勾股定理的正确性.教学效果预估与对策：利用面积法来说明勾股定理的正确性，这是学生从未经历过的，学生较难形成思路，因此，一开始学生不知从何做起，此时教师进行启发：①大正方形面积肓接如何求?②若分开又如何求？③两者求出的面积有何关系？化简后你发现了什么?等一系列问题进行提示.设计意图：通过上述三种探究活动，学生已经得到一般肓角三角形的三边关系，肓角三角形两肓角边的平方和等于斜边的平方一勾股定理.但都是通过猜想、测量、计算等方法而得到，缺少几何严谨的说理过程，而探究活动4则弥补了它的缺陷，使学生更加确信勾股定理的正确性.同时也符合学生接受新知识的认知过程.探究活动5 议一议问题8:观察图8并计算，判断锐角三角形，钝角三角形三边的长度是否满足aSb2=c2教师与学生行为：学生观察计算，教师多媒体动态演示.教学效果预估与对策：此环节在前探究的基础上，预计学生能大多数独立解决，从而进一步验证了有且只有直角三角形才满足a2+b2=c2.设计意图：经历从特殊到一般的探索过稈，学生以初步认识到直角三角形的特有性质，但学生已有的认知基础会不断地向学生提示锐角、钝角三角形迅否也具有这样的性质？此坏节的设计符合学生的认知特点，通过与锐角三角形、钝角三角形的对比，进一步强调育角三角形三边关系的特征.（三）、追溯历史，激发情感介绍勾股定理的历史，列举了东西文化中对勾股定理的发现，介绍了一些著名的人物、著作和学派.如商高、《周髀算经》、毕达哥拉斯……这些知识足以激发他们的兴趣，让学生更深刻的体会勾股定理所蕴涵的文化价值.教师与学生行为：老师介绍有关勾股定理的历史，学生认真对比屮西方文化，增强对勾股定理的进一步了解.教学效果预估与对策：教师利用多媒体辅助演示，使知识更系统.设计意图：介绍有关勾股定理的历史，使学生对屮国乃至世界的数学史产生浓厚的兴趣，为下一节的验证打好基础.(四)、应用拓展，能力提升(1)对勾股定理的直接应用问题9:①已知在厶ABC ZC=RtZ, BC = a,AC =b,AB = c.⑴若a = \,b = 2,求c ;(2)若a = 15,c = 17 ,求b・②已知在AABC 屮，ZC=RtZ, BC = a,AC=b,AB = c・(1)如果a =彳,b = ?,求c ;(2)如果a = 12,c = 13,求b ;(3)如果c = 34,a : b = 8:15,求 a,b.（2）利用勾股定理解决实际应用问题问题10:①如图9是一个长方形零件图，根据所给的尺寸（单位：mm）,求两孔屮心A, B之间的距离.②某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6. 5 米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2. 5米，请问消防队员能否进入三楼灭火？(3) 面积法说明勾股定理正确性的再次认识问题11: (1876年美国总统Garfield 用面积法说明勾股定理的正确性)以"、b 为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成 如图10所示形状，使A 、E 、B 三点在-•条直线上•利用面积法来说明勾般定理的正确性.图10教师与学生行为：教师出示问题，学生解决问题•对于个别有困惑的同学，教师及时点拨.教学效果预估与对策：对于问题9学生很容易独立完成.问题10都是要把实际问题转化为用勾股 定理来进行解决,学生可能难度比较大，教师在讲解时要多提示.问题11是面积法的再次应用，可在教师 的指导下共同完成.设计意图：设计了一个层层深入的问题串，引导学生由浅入深地思考问题，悟出一类问题的解题 规律.另外，由于学生对知识的理解程度有所差异，因此，习题的设置体现层次性.在新知运用过程 屮，也设计小组合作交流，鼓励学生主动参与学习活动，尝试用白己的方式去解决问题，发表白己的 看法.(五) 、回顾反思，提炼升华问题12：通过本节课的学习，你有哪些收获与感悟？教师与学生行为：教师引导学生从知识、过程、方法、情感态度等方面发表看法，学生积极进行 H 我总结，相互补充，巩固探究成果.r 等腰直角三角形［一般直角三角形 j 锐角、钝角三角场 ——肓角三角形两育角边的平方和等于斜边的平方一一定理的应用与拓展教学效果预估与对策：预计学生总结的是木课知识方面的收获与探索过程屮的经验和教训，以及 在与他人合作中得到的快乐.教师要加以引导，师生之间相互加以完善.设计意图：学生通过对本节知识的提炼，归纳岀有关知识与技能方面的一般结论以及在做数学活 动屮所遇到的困惑，感悟到古代数学家在探索新知的领域屮所付出的艰辛，做学问有乐趣亦有苦趣， 培养学生良好的个性和思维品质.(六) 、布置作业，课堂延伸A 类:继续强化勾股定理的计算与应用书本作业题1、3、5及作业本(2) 1,2, 4, 5, 6.B 类:进一•步加深对“勾股定理”的理解及对勾股定理的灵活应用书本Row 作业题4、6、7及作业本(2)3, 7.C 类:如图11,在厶ABC 中,AB=AC=2,在BC 边上有10个不同的点 P, P 2> …Pg,记 Mi 二APj+RB • RC (i=l, 2,…，10)・(1) 求％的值； B(2) 求 M.W-+M.0的值. 教师与学生行为：教师布置作业，学生记录作业.教学效果预估与对策：预计90%以上的同学可以独立完成A 层作业，B 层作业具有一定的开放性, 多数同学对此会很感兴趣.C 层作业比较难，主要是为哪些学有余力的同学准备.设计意图：作业布置上尽量体现层次性及开放性，面向全体•让学生进一步体会勾股定理在解决 直角三故事引入——探索勾股定理 观察、计算 猜想、归纳CA b E a BA 图II角形边的计算方面的重要作川，提高学生分析问题、解决问题的能力，感受勾股定理的现实意义.。
《勾股定理+第3课时》精品教学方案
第十七章勾股定理17.1 勾股定理第3课时一、教学目标1.会利用勾股定理证明直角三角形全等的判定定理；2.会利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点；3.经历利用勾股定理解决问题的过程，体会解决问题的策略，发展学生的动手操作能力和创新能力；4.通过学习探究体会勾股定理在数学中的重要地位和作用.二、教学重难点重点：会利用勾股定理在数轴上画出表示无理数的点.难点：勾股定理的灵活运用.三、教学用具电脑、多媒体、课件四、教学过程设计【复习回顾】教师活动：教师引导学生回顾勾股定理的内容，并提出问题让学生思考.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c².变形：求斜边：22=+c a b求直角边：22=-b c a=-，22a c b提问：利用勾股定理还能解决哪些问题呢？【合作探究】教师活动：教师提出问题让学生分组探究，再让学生展示证明过程，最后教师完善过程.问题：在八年级上册中我们曾经通过画图得到结论：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.学习了勾股定理后，你能证明这一结论吗？探究过程展示：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．证明：在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，根据勾股定理，得2222.C=-''=''-''，B AB AC B C A B A C又AB=A′B′，AC=A′C′，∴BC=B′C′．∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）．问题：我们知道数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，你能在数轴上画出表示13的点吗？提示：能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.想一想：(1)长为13的线段能是直角边的长为正整数的直角三角形的斜边吗？(2)如果能，直角边的长分别为多少？预设答案：(1)能；(2) 直角边的长分别为2、3.小结：能画出长为13的线段，就能在数轴上画出表示13的点.步骤：①在数轴上找到点A，使OA=3；②作直线l⊥OA，在l上取一点B，使AB=2；③以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴交于C点，则点C即为表示13的点.【做一做】教师活动：先让学生独立完成，然后回答，最后教师播放视频，让学生熟悉作图过程.类比上面的方法，在数轴上画出表示1，2，3，4，5的点.【归纳】利用勾股定理在数轴上表示无理数的方法：①利用勾股定理把一个无理数表示成直角边的长为正整数的直角三角形的斜边；②以原点为圆心，以无理数斜边为半径画弧与数轴存在交点，弧与数轴的交点即为表示无理数的点.注意：这些表示无理数的点中，原点左边的点表示负无理数，原点右边的点表示正无理数.【拓展】利用勾股定理可以作出这样一幅美丽的“海螺型”图案，它被选为第七届国际数学教育大会的会徽.【典型例题】【例1】在数轴上作出表示17的点.解：(1)数轴上找到点A，使OA=4；(2)作直线l垂直于OA，在l上取点B，使AB=1；(3)以原点O为圆心，以OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示17的点.【例2】如图，等边三角形的边长是6.求：(1)高AD的长；(2)这个三角形的面积.解：(1)等边三角形ABC中AD⊥BC于D，则BD=CD=3.在Rt△ABD中，根据勾股定理AD2=AB2–BD2=62–32= 27，得AD=33.(2) S△ABC=12BC·AD=12⨯6⨯33=93【随堂练习】1.如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则在网格上的三角形ABC中，边长为无理数的边数有()A.0条B.1条C.2条D.3条2.如图，O为数轴原点，A、B两点分别对应-3、3，作腰长为4的等腰△ABC，连接OC，以O为圆心，OC长为半径画弧交数轴于点M，则点M对应的实数为.3.如图，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△BAC的斜边AC为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE.依此类推，则第2018个等腰直角三角形的斜边长是_____．答案：1.D；2.7；2.3.1009。
1.1 第2课时 验证勾股定理(教学设计——精品教案)
1.1探索勾股定理第2课时验证勾股定理教学目标【知识与能力】1.掌握勾股定理,理解和利用拼图验证勾股定理的方法.2.能运用勾股定理解决一些简单的实际问题.【过程与方法】通过拼图法验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结合的思想.【情感态度价值观】培养学生大胆探索,不怕失败的精神.教学重难点【教学重点】经历勾股定理的验证过程,能利用勾股定理解决实际问题.【教学难点】用拼图法验证勾股定理.课前准备【教师准备】教材图1 - 4,1 - 5,1 - 6,1 - 7的图片.【学生准备】4个全等的直角三角形纸片.教学过程第一环节：引入新课导入一:【提问】直角三角形的三边有怎样的关系?在研究直角三角形三边关系时,我们是通过测量、数格子的方法发现了勾股定理,那么,我们怎样用科学的方法去证明勾股定理的正确性呢?请跟我一起去探索吧!导入二:上节课我们用什么方法探索发现了勾股定理?学生思考(测量、数格子).第二环节：新知构建1.勾股定理的验证思路一【师生活动】师:投影教材P4图1 - 4,分别以直角三角形的三条边的长度为边长向外作正方形,你能利用这个图说明勾股定理的正确性吗?你是如何做的?与同伴进行交流.生:割补法进行验证.师:出示教材P5图1 - 5和图1 - 6,想一想:小明是怎样对大正方形进行割补的?生:讨论交流.师总结:图1 - 5是在大正方形的四周补上四个边长为a,b,c的直角三角形;图1 - 6是把大正方形分割成四个边长为a,b,c的直角三角形和一个小正方形.图1 -5采用的是“补”的方法,而图1 - 6采用的是“割”的方法,请同学们将所有三角形和正方形的面积用a,b,c 的关系式表示出来.(1)动笔操作,独立完成.师:图1 - 5中正方形ABCD的面积是多少?你们有哪些方法求?与同伴进行交流.(2)分组讨论面积的不同表示方法.ab+c2两种方法.生:得出(a+b)2,4×12(3)板书学生讨论的结果.【提问】你能利用图1 - 5验证勾股定理吗?生:根据刚才讨论的情况列出等式进行化简.师:化简之后能得到勾股定理吗?生:得到a2+b2=c2,即两直角边的平方和等于斜边的平方,验证了勾股定理.师:你能用图1 - 6也证明一下勾股定理吗?独立完成.师:(强调)割补法是几何证明中常用的方法,要注意这种方法的运用.思路二教师出示教材图1 - 4及“做一做”,让学生观察图1 - 5和图1 - 6.【提问】小明是怎样拼的?你来试一试.(学生以小组为单位展开拼图尝试,同伴之间讨论、争辩、互相启发,将拼好的图形画下来)【思考】“做一做”的三个问题.教师讲评验证勾股定理的方法.2.勾股定理的简单应用思路一：出示教材P5例题,教师分析并抽象出几何图形.【问题】(1)图中三角形的三边长是否满足AB2=AC2+BC2?(2)要想求敌方汽车的速度,应先求什么?你能利用勾股定理完成这道题吗?(学生独立完成,教师指名板演)出示教材P8图1 - 8.【提问】判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.(学生以组为单位合作完成,分别计算出每个正方形的面积.独立完成,有困难的可以合作完成)思路二我方侦察员小王在距离东西向公路400 m处侦察,发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪,测得汽车与他相距400 m,10 s后,汽车与他相距500 m,你能帮小王计算敌方汽车的速度吗?〔解析〕根据题意,可以画出右图,其中点A表示小王所在位置,点C,点B表示两个时刻敌方汽车的位置.由于小王距离公路400 m,因此∠C是直角,这样就可以由勾股定理来解决这个问题了.解:由勾股定理,可以得到AB2=BC2+AC2,也就是5002=BC2+4002,所以BC=300.敌方汽车10 s行驶了300 m,那么它1 h行驶的距离为300×6×60=108000(m),即它行驶的速度为108 km/h.[知识拓展]利用面积相等来验证勾股定理,关键是利用不同的方法表示图形的面积,一要注意部分面积和等于整体面积的思想,二要注意拼接时要做到不重不漏.曾任美国总统的伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他提出的一个勾股定理证明,如图所示,这就是他拼出的图形.它的面积有两种表示方法,既可以表示为12(a +b )(a +b ),又可以表示为12(2ab +c 2),所以可得12(a +b )(a +b )=12(2ab +c 2),化简可得a 2+b 2=c 2.第三环节：课堂小结1.勾股定理的验证方法{测量法数格子法面积法2.在实际问题中,首先要找到直角三角形,然后再应用勾股定理解题. 第四环节：检测反馈1.下列选项中,不能用来证明勾股定理的是 ( )解析:A,B,C 都可以利用图形面积得出a ,b ,c 的关系,即可证明勾股定理,故A,B,C 选项不符合题意;D,不能利用图形面积证明勾股定理,故此选项正确.故选D .2.用四个边长均为a ,b ,c 的直角三角板,拼成如图所示的图形,则下列结论中正确的是( )A.c 2=a 2+b 2B.c 2=a 2+2ab +b 2C .c 2=a 2-2ab +b 2D .c 2=(a +b )2解析:由题意得到四个完全一样的直角三角板围成的四边形为正方形,其边长为c,里面ab×4+(b-a)2,整理得c2=a2+b2.故选A.的小四边形也为正方形,边长为b-a,则有c2=123.如图所示,大正方形的面积是,另一种方法计算大正方形的面积是,两种结果相等,推得勾股定理是.ab+c2,即(a+b)2=4×解析:如图所示,大正方形的面积是(a+b)2,另一种计算方法是4×121ab+c2,化简得a2+b2=c2.2ab+c2a2+b2=c2答案:(a+b)24×124.操作:剪若干个大小形状完全相同的直角三角形,三边长分别记为a,b,c(如图(1)所示),分别用4张这样的直角三角形纸片拼成如图(2)(3)所示的形状,图(2)中的两个小正方形的面积S2,S3与图(3)中小正方形的面积S1有什么关系?你能得到a,b,c之间有什么关系?解析:根据已知图形的形状得出面积关系,进一步证明勾股定理即可求解.解:分别用4张直角三角形纸片,拼成如图(2)(3)所示的形状,观察图(2)(3)可发现,图(2)中的两个小正方形的面积之和等于图(3)中的小正方形的面积,即S2+S3=S1,这个结论用关系式可表示为a2+b2=c2.第五环节：布置作业1.教材作业【必做题】教材第6页随堂练习.【选做题】教材第7页习题1.2第3题.2.课后作业【基础巩固】1.我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边长分别为a,b,那么(a-b)2的值是()A.1B.2C.12D.132.历史上对勾股定理的一种证法采用了如图所示的图形,其中两个全等的直角三角形边AE,EB在一条直线上.证明中用到的面积相等的关系是()A.SΔEDA =SΔCEBB.SΔEDA+SΔCEB=SΔCDEC.S四边形CDAE =S四边形CDEBD.SΔEDA+SΔCDE+SΔCEB=S四边形ABCD3.北京召开的第24届国际数学家大会会标的图案如图所示.(1)它可以看做是由四个边长分别为a,b,c的直角三角形拼成的,请从面积关系出发,写出一个关于a,b,c的等式.(要有过程)(2)请用四个这样的直角三角形再拼出另一个几何图形,也能验证(1)中所写的等式.(不用写出验证过程)(3)如果a2+b2=100,a+b=14,求此直角三角形的面积.【能力提升】4.勾股定理是几何中的一个重要定理.在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三,股四,则弦五”的记载.如图(1)所示的是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的,可以用其面积关系验证勾股定理.图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∠BAC=90°,AB=6,AC=8,点D,E,F,G,H,I都在矩形KLMJ的边上,则矩形KLMJ的面积为.5.在北京召开的国际数学家大会的会标如图所示,它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形,若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的较长直角边为a,较短直角边为b,则a4+b4的值为()A.35B.43C.89D.976.据传当年毕达哥拉斯借助如图所示的两个图验证了勾股定理,你能说说其中的道理吗?7.如图所示,在平面内,把矩形ABCD绕点B按顺时针方向旋转90°得到矩形A'BC'D'.设AB=a,BC=b,BD=c.请利用该图验证勾股定理.【拓展探究】8.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅“弦图”,后人称其为“赵爽弦图”(如图(1)所示).图(2)是由弦图变化得到的,它是用八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD,正方形EFGH,正方形MNKT的面积分别为S1,S2,S3.若S1+S2+S3=16,则S2的值是.9.勾股定理神秘而美妙,它的证法多样,其巧妙各有不同,其中的“面积法”给了小聪以灵感,他惊喜地发现,当两个全等的直角三角形如图(1)或图(2)摆放时,都可以用“面积法”来证明,下面是小聪利用图(1)证明勾股定理的过程.将两个全等的直角三角形按图(1)所示摆放,连接DC ,其中∠DAB =90°,求证a 2+b 2=c 2. 证明:连接DB ,过点D 作BC 边上的高DF ,则DF =EC =b-a. ∵S 四边形ADCB=S ΔACD+S ΔABC=12b 2+12ab , 又∵S 四边形ADCB=S ΔADB+S ΔDCB=12c 2+12a (b-a ),∴12b 2+12ab =12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.请参照上述证法,利用图(2)完成下面的验证过程.将两个全等的直角三角形按图(2)所示摆放,其中∠DAB =90°,连接BE.验证a 2+b 2=c 2.证明:连接 , ∵S 五边形ACBED= , 又∵S 五边形ACBED= ,∴ , ∴a 2+b 2=c 2.【答案与解析】1.A(解析:根据勾股定理可得a 2+b 2=13,四个直角三角形的面积和是12ab ×4=13-1=12,即2ab =12,则(a-b )2=a 2-2ab +b 2=13-12=1.故选A.) 2.D(解析:由S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD,可知12ab +12c 2+12ab =12(a +b )2,∴c 2+2ab =a 2+2ab +b 2,整理得a 2+b 2=c 2,∴证明中用到的面积相等的关系是S ΔEDA+S ΔCDE+S ΔCEB=S 四边形ABCD.故选D .)3.解:(1)大正方形的面积=4个三角形的面积+小正方形的面积,即c 2=4×12ab +(a-b )2=a 2+b 2. (2)如图所示. (3)∵2ab =(a +b )2-(a 2+b 2)=196-100=96,∴ab =48,∴S =12ab =12×48=24.4.440(解析:如图所示,延长AB 交KL 于P ,延长AC 交LM 于Q ,则ΔABC ≌ΔPFB ≌ΔQCG ,∴PB =AC =8,CQ =AB =6,∵图(2)是由图(1)放入矩形内得到的,∴IP =8+6+8=22,DQ =6+8+6=20,∴矩形KLMJ 的面积=22×20=440.故答案为440.)5.D(解析:依题意有:a 2+b 2=大正方形的面积=13,2ab =四个直角三角形的面积和=13-1=12,ab =6,则a 4+b 4=(a 2+b 2)2-2a 2b 2=(a 2+b 2)2-2(ab )2=132-2×62=169-72=97.故选D .)6.解:根据题意,第一个图形中间空白小正方形的面积是c 2;第二个图形中空白的两个小正方形的面积的和是a 2+b 2,∵它们的面积都等于边长为a +b 的正方形的面积-4个直角边分别为a ,b 的直角三角形的面积和,∴a 2+b 2=c 2,即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和.7.解:连接D'D ,依题意,图中的四边形DAC'D'为直角梯形,ΔDBD'为等腰直角三角形,Rt ΔDAB 和Rt ΔBC'D'的形状和大小完全一样,设梯形DAC'D'的面积为S ,则S =12(a +b )(a +b )=12(a 2+b 2)+ab ,又S =S Rt ΔDBD'+2S Rt ΔABD =12c 2+2×12ab =12c 2+ab ,∴12(a 2+b 2)+ab =12c 2+ab ,因此a 2+b 2=c 2.8.163(解析:∵八个直角三角形全等,四边形ABCD ,EFGH ,MNKT 是正方形,∴CG =NG ,CF =DG =NF =GK ,∴S 1=(CG +DG )2=CG 2+DG 2+2CG ·DG =GF 2+2CG ·DG ,S 2=GF 2,S 3=(NG-NF )2=NG 2+NF 2-2NG ·NF ,∴S 1+S 2+S 3=GF 2+2CG ·DG +GF 2+NG 2+NF 2-2NG ·NF =3GF 2=16,∴GF 2=163,∴S 2=163.故答案为163.)9.证明:连接BD ,过点B 作DE 边上的高BF ,则BF =b-a ,∵S 五边形ACBED=S ΔACB +S ΔABE+S ΔADE=12ab +12b 2+12ab ,又∵S五边形ACBED=SΔACB+SΔABD+SΔBDE=12ab +12c 2+12a (b-a ),∴12ab +12b 2+12ab =12ab +12c 2+12a (b-a ),∴a 2+b 2=c 2.板书设计1.1.21.勾股定理的验证.2.勾股定理的简单应用. 教学反思成功之处在课堂教学中,始终注意了调动学生的积极性.兴趣是最好的老师,所以无论是引入、拼图,还是历史回顾,都注意去调动学生,让学生满怀激情地投入到活动中.勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其历史价值和应用价值,因此充分挖掘了其内涵.特别是让学生事先进行调查,再在课堂上进行展示,这极大地调动了学生的积极性,既加深了对勾股定理文化的理解,又培养了学生收集、整理资料的能力.不足之处在教学过程中,过于让学生发散思维,而导致课堂秩序略有松散. 再教设计勾股定理的验证既是本节课的重点,也是本节课的难点,为了突破这一难点,可以设计拼图活动,先让学生从形上感知,再层层设问,从面积(数)入手,师生共同探究,最后由学生独立探究,这样学生较容易突破本节课的难点.备课资源古诗中的数学题请你先欣赏下面一首诗:平平湖水清可鉴,面上半尺生红莲; 出泥不染亭亭立,忽被强风吹一边; 渔人观看忙向前,花离原位两尺远; 能算诸君请解题,湖水如何知深浅?你能用所学的数学知识解决上述诗中的问题吗? 〔解析〕 要解决诗中提出的问题,关键是将实际问题转化为数学问题,画出符合题意的图形,如图所示.在Rt ΔBCD 中,由勾股定理建立方程求线段的长.解:如图所示,AD 表示莲花的高度,CD 是水的深度,CB 是莲花吹倒后离原位的距离.- 11 -设CD =x 尺,则AD =BD =(x +12)尺. 在Rt ΔBCD 中,∠BCD =90°,由勾股定理得BD 2=CD 2+BC 2,即(x +12)2=22+x 2.解得x =3.75.所以所求的湖水深度为3.75尺.[方法总结] 建立数学模型是解决实际问题的常用方法.本例是利用莲花无风时与水面垂直构造直角三角形这一几何模型.在直角三角形中常用勾股定理建立方程求线段的长.。
1.1《探索勾股定理》优质课-北师大教学设计精品
【课题】北师版八年级上册第一章第一节《探索勾股定理》【课程标准】探索勾股定理，并能用它解决一些简单的实际问题。
一、教材分析本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版八年级(上)第一章《勾股定理》第一节. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用．本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性．此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值．二、学情分析八年级学生已经具备一定的观察、归纳、探索和推理的能力．在小学，他们已学习了一些几何图形面积的计算方法，但运用面积法解决问题的意识和能力还远远不够．部分学生听说过“勾三股四弦五”，但并没有真正认识什么是“勾股定理”．此外，学生普遍学习积极性较高，探究意识较强，课堂活动参与较主动，但合作交流能力和探究能力有待加强．【学习目标】1．经历探索、验证勾股定理的过程，进一步发展空间观念和推理能力；2．学会用等面积法解决问题；3．掌握勾股定理，并用勾股定理解决一些实际问题。
教学过程设计：第一环节：小现象—大问题—善抽象1、学校的旗杆长为8m ,升旗用的绳子拉直时着地点距旗杆底部6m ,问绳子有多长？2、学校矩形草坪被走出一条斜路，只少走了几米，值得吗？教师活动：出示问题，并用问题串激发学生的思考：（1）、上面两个问题用已学过的知识能解决吗？（2）、两个问题有什么共同点？（3）、要解决这两个问题我们需要知道什么？学生活动：积极回答老师的问题，并感受探索勾股定理的必要性；活动目的：通过实际问题引出本节课要探索的具体问题：直角三角形的三边关系，开启本节课的探究之旅。
第二环节：特殊—一般——猜想1、用四张全等的等腰直角三角形纸片，拼成一个正方形（不能重叠，不能有空隙）：教师活动：出示问题，要求学生独立完成，学生活动：独立思考完成 ，一名学生到黑板上完成；2、用拼得的图形得直角边 a 和斜边c 的关系，学生讨论，一名学生回答问题教师活动： 对方法进行总结，先用两种不同的方法来表示同一个正方形的面积，再让它们相等，得到一个等式，再化简就可以得到222a c =，这种方法称之为“等面积法”。
【推荐】八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的验证及简单应用
14.1 勾股定理
2．勾股定理在四边形中的应用： (1)梯形的问题，通常通过作高，构造直角三角形，利用勾股定理 求解． (2)有内角为直角的四边形的问题，通常连结对角线等，转化成直 角三角形的问题，再应用勾股定理求解．
14.1 勾股定理
例 3 如图 14－1－7 是一个蔬菜大棚的简单示意图，大棚宽为 6 m，高为 8 m，大棚的斜面是一个长方形，将该长方形用塑料薄膜 遮盖，求所需塑料薄膜的面积．
2019/8/3
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谢谢欣赏！
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(2)如果MB＝a，BQ＝b，AB＝c，那么利用这个图形中的面积 关系，你能得到勾股定理吗？请说明理由．
图14－1－5
14.1 勾股定理
解：(1)正方形 ABCD 的面积＝正方形 MNPQ 的面积－4×三角形 BCM 的面积＝ 7×7－4×12×3×4＝25. (2)能．理由如下：正方形 MNPQ 的面积＝(a＋b)2 ＝a2 ＋b2 ＋2ab， 正方形 MNPQ 的面积＝4×12×ab＋c2＝2ab＋c2， 所以 a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2， 得 a2＋b2＝c2.
14.1 勾股定理
【归纳总结】拼图法是探索勾股定理的有效方法，一般应遵循以 下步骤： 拼出图形→写出图形面积的表达式→找出等量关系→恒等变形→ 导出勾股定理．
14.1 勾股定理
目标二 能用勾股定理解决简单问题
例 四边形 ABCD 中，∠B ＝∠D＝90°，BC＝2，CD＝3，AD＝4，求 AB 的长．
14.1 勾股定理
【归纳总结】勾股定理在三角形及四边形中的应用： 1．勾股定理在三角形中的应用： (1)添线应用． 应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，当题目中没有直角 三角形时，可以通过作高等方式，把非直角三角形的问题转化为 直角三角形的问题，应用勾股定理求解．
探索勾股定理
探索勾股定理1教材所处的地位勾股定理是几何中几个重要定理之一，它揭示的是直角三角形中三边的数量关系，将形与数密切联系起来，它在数学的发展中起过重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用.学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解.教学目标：1、能说出勾股定理的内容，并能应用勾股定理解决简单的问题．2、在经历探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证-应用”的数学思想，发展合理的推理能力，并体会数形结合和特殊到一般的思想方法.3、经历用多种方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理的思考与表达能力，感受勾股定理的文化价值和数学美，激发学生的学习热情和爱国情感.教学重点：勾股定理的探讨.教学难点：用割补法验证勾股定理．教法与学法分析：教法分析：数学《课程标准》提出，“本学段(7-9)年级的教学应结合具体的数学内容，采用‘问题情景---建立模型----解释、应用与拓展’的模式展开，应加强数学与学生的生活经验相联系．”针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，从学生熟知、感兴趣的生活事例出发，以生活实践为依托，将生活经验数学化，由特殊到一般地提出问题．引导学生自主探索，合作交流，促进学生的主动参与，让学生经历数学知识的形成与应用过程，这种教学理念反映了时代精神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性，焕发出数学课堂的活力．学法分析：在教师的组织引导下，采用自主探索、合作交流的研讨式学习方式，让学生思考问题，获取知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力，使学生真正成为学习的主体．课本的知识是有限的，而五彩缤纷的生活所提供的教育资源却是无限的．在课改中本着促进学生发展的宗旨，让学生在生活中观察、猜测，在自主探索与合作交流中，创造出自己的数学——生活中的数学，时时感受到：“无处不在的数学”与数学美，进一步体会数学的地位与作用．教学过程情景创设1南京市暑期初中数学教师培训教案、说课评比一等奖2008.10用课件展示1955年希腊发行的一枚纪念邮票．师：请同学们观察这枚邮票小方格的个数，你有哪些发现？邮票上的图案是根据一个著名的数学定理设计的．生：我发现邮票上面左边的正方形有16个小方格，右边的正方形有9个小方格，最大的正方形有25个小方格．生：我也有这样的发现，我还发现最大的正方形中的方格数等于两个较小的正方形中的方格数．师：说得好，这张邮票是希腊1955年纪念毕达哥拉斯生平的一张邮票，画面上以32+42=52形象地表明这一我们本课要学的勾股定理的内容．师：某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高h=3米，消防队员取来6.5米长的云梯,如果梯子的底部离墙基的距离x=2.5米,请问消防队员能否进入三楼灭火?让学生思考1～2分钟，小组讨论，各小组保留结果代用，期待共同解决．师：这个问题有挑战性，待会儿看看我们用什么方法来解决．(问题设计具有一定的挑战性,目的是激发学生的探究欲望,教师引导学生将实际问题转化成数学问题,也就是“已知一直角三角形的两边，如何求第三边？” 的问题．学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了．这种以实际问题为切入点引入新课，不仅自然，而且反映了数学来源于实际生活．)1、探索活动（1） 猜想右图中以AB 为边的正方形的面积是多少？说说你是如何猜想的．学生在观察屏幕上的图形后，举手请求回答问题．生：我通过数数，完整的小方格一共有13个，还有不完整的图形我把它们合并成12个小方格，它们一共有25个，所以正方形的面积是25．师：很好，还有别的方法吗？生：老师，利用邮票上的方格数比较方法，我猜是25，它的面积是以BC 为边和AC 为边的两个正方形的面积的和，不知对不对？师：同学们，他的猜想有道理吗？两个小正方形的面积的和等于大正方形的面积吗？ C BA（通过猜想促使学生积极思考，自发的由邮票上的方格数转换到图2-1的联想，承前起后．）通过屏幕显示以下两图．师：你能计算出以AB 为边的正方形的面积吗？观察小方格的数量与正方形的面积，正方形的面积与正方形的边长，正方形的边长与三角形的形状之间的联系．（教学中要让学生主动建立由形到数，由数到形的联想，从中使学生不断积累数学活动的经验．）师：现在你能说明你的猜想是正确的吗？请先在小组与同学进行交流．师：从以AB为边的正方形的面积的计算中你发现了什么？生：老师，求正方形的面积有时候不一定要知道边的长度．师：那你怎么办？生：就像图上显示的，我把这个正方形分成4个小三角形和一个小正方形，一个小三角形的面积是6，小正方形是1，总共是25．生：我们还可以把它放到一个边长为7的大正方形中，然后拿去4个面积为6的小三角形，以AB为边的正方形的面积也是25．师：你计算以AB为边的正方形的面积的方法和他们的计算方法一样吗？从他们的计算方法中你得到什么启发吗？．（让同学再次回味、思考、交流．）师：现在你可得出什么结论？生：以AB为边的正方形的面积等于以BC为边的正方形的面积与以AC为边的正方形的面积的和．师：从以AB为边的正方形的面积的计算中，我们发现：以AB为边的正方形的面积等于以BC为边的正方形的面积与以AC为边的正方形的面积的和，在其它的直角三角形中，还有这种关系吗？请你在方格纸上做实验，并与四人小组的同学进行交流．（把图形进行“割”和“补”，两种方法体现的是同一种思想-----化归思想，即把不能利用网格线直接计算面积的图形化成可以利用网格线直接计算面积的图形）2、 实验操作（探索-猜想）：实验1 在方格纸上，任意画一个顶点都在格点上的直角三角形；并分别以这个直角三角形的各边为一边向三角形外作正方形，仿照上面的方法计算以斜边为一边的正方形的面积．师：现在屏幕显示出一个表，让同学们填表，通过学生操作、实验，请学生将正方形的面积与三角形的边长联系找出来．（教师在教室巡视，和同学共同参与演算，作为他们某 个小组的一份子，听取他们的意见和看法，并进行个别指导．）师：请几位同学介绍自己的实验结果，并将数据填入表格．实验2 教师用计算机演示（利用几何画板）： 1.在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对边分别为a ，b 和 c ， ∠ACB ＝ 90°，使△ABC 运动起来，但始终保持∠ACB ＝90°，如拖动 A 点或B 点改变a ,b 的长度来拖动AB 边绕任一点旋转△ACB 等．2.在以上过程中，始终测算a 2，b 2，c 2，各取以上典型运动的某一两个状态的测算值（约3～5个）列成表格，让学生观察三个数之间有何数量关系．b c C a B A（通过学生操作、实验和课件的演示，从而为归纳提供基础，使学生体验归纳的思想．）师：从我们实验的大量数据中，你现在对直角三角形三边之间的数量关系有什么猜想？生：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．师：这就是我们今天要学习的勾股定理（板书课题）．师：引导学生用符号语言表示，因为将文字语言转化为数学语言是学习数学学习的一项基本技能. 接着教师向学生介绍“勾，股，弦”的含义.∵Rt △ABC 中，∠C ＝ 90°∴AB 2=AC 2+BC 2或a 2+b 2=c 2（通过实验验证定理的正确性，加深学生的印象，同时感受数学奇异美）3.应用举例，巩固定理师：我们刚才学习了勾股定理．勾股定理有什么用吗？怎样用？ 生：知道直角三角形两边可以求第三边．生：知道两直角边，应用公式可以求斜边．生：知道一直角边和斜边，应用公式可以求另一直角边．师：请同学们每人任作两直角三角形，量出其中一个直角三角形两直角边，求出其斜边；量出另一个直角三角形一直角边和斜边，求另一直角边．运算完之后，再量出所求线段的长，看计算是否正确，图是否画准．（投影）请小组里的同学互相检验．（通过此题，可以锻炼学生灵活运用的能力）4.巩固练习：1、课本P54练习（投影）.2、让学生解决开头的实际问题，再问消防队员能否进入三楼灭火.请同学们观察当三边长度改变后，a 2+b 2的值与c 2的值有什么关系？a 2+b 2 = 32.30 厘米2b 2 = 6.45 厘米2c 2 = 32.30 厘米2a 2 = 25.85 厘米2b = 2.54 厘米c = 5.68 厘米a = 5.08 厘米ba 探索勾股定理C A2、小米妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小米量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？（让学生解决开头的实际问题，前后呼应，学生从中能体会到成功的喜悦，再做生活中的实例，进一步体会勾股定理在实际生活中的应用，数学是与实际生活紧密相连的．）5.介绍勾股定理的史料我国称这个结论为“勾股定理”，西方称它为“毕达哥拉斯定理”，为什么呢？（1）介绍《周髀算经》中西周的商高（公元一千多年前）发现了勾三股四弦五这个规律；（2）介绍西方毕达哥拉斯于公元前582～493时期发现了勾股定理；（3）康熙数学专著《勾股图解》有五种求解直角三角形的方法,积求勾股法是其独创；（4）目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了面积证法，而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法．（引导学生对知识要点进行总结，梳理学习思路,掌握定理内容及初步应用）6、说说你的收获与体会（1）请你说说勾股定理；（2）勾股定理揭示了“形”与“数”的内在联系，你还能举例说明这种联系吗？（3）两种探索转化方法：“割”与“补”.7、布置作业.课后反思一、本节课根据学生的知识结构，我采用的是“观察—猜想—归纳—验证-应用”的教学方法，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，让学生体会到观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想．本节课我力求做到了以下几点：1.“新”．利用学生熟知的邮票图案，引入新课，创设问题情景．引入消防队员能否进入三楼灭火的问题，由它激发学生强烈地求知欲望，从而调动学生学习数学的积极性，在生活情境中感受数学美．2.“活”．创设愉悦和谐的乐学气氛,引导学生自主探索与合作交流．通过设置问题，引导学生开展小组讨论，学生通过实验操作进行自主探索，用不同的学习方式来理解直角三角形的三边关系，为学生提供了参与活动与交流的空间，在交流实践中创造美．3.“实”．加强师生间的合作，营造一种学生敢想、感说、感问的课堂气氛，让全体学生都能生动活泼、积极主动地教学活动．通过几个练习，让学生理解并会应用勾股定理来解决问题，把所学知识和运用知识结合起来，培养了学生的创新意识和实践能力．这节课运用现代信息技术，做成课件进行演示，取得了较好的教学效果，在应用中感受数学的奇异美．二.探索定理采用了“割补法”，引导学生利用实验进行由特殊到一般直角三角形三边关系的研究，得出结论．“因为快乐，所以学习”，在教学中，我们就是要让学生积极主动的参与，充分调动学生的学习积极性，在学生得到“勾股定理”的结论后，又让学生画图检验其正确性，让学生感到自己的发现的定理是正确的，通过教学让学生初步掌握这种方法，对于学生良好思维品质的形成有重要作用，对学生的终身发展也有一定的作用．三.本课从内容、应用、数学思想方法、获取知识的途径等几个方面展开，既有知识的总结，又有方法的提炼，这样对于学生学知识，用数学知识解决实际问题的意识是有很大的促进作用的．在教学中，我们老师不要把数学教育单纯地理解成知识的传授和技能的训练，要把探究作为课堂教学的主旋律，做为创新教学方式的一种．真正实施民主的开放式教学，创设平等、民主、宽松的教学氛围，使师生完全处于平等的地位，学生才能敞开思想，积极参与教学活动，从而最大限度的调动学生的积极性，激发他们的学习兴趣，引导他们多角度、多方位、多层次地思考问题，使他们有足够的机会显示灵性，展现个性，在课堂活动中经历、感悟知识的生成、发展与变化过程，其中体现的合作交流，勇于探索的品质，从而感受数学美给学生带来的快乐，把“做数学”的过程还给学生.。
3.1勾股定理教学案(1).doc
勾股定理（一）
教学目标
1.能说出勾股定理,并能应用其进行简单的计算和实际运用.
2.经历观察一猜想一归纳一验证的数学发现过程,发展合情推理的能力，体会数形结合和由特殊到一般的数学思想.
教学重点与难点
重点：探索勾股定理.
难点：利用数形结合的方法验证勾股定理.
三、教学过程：
【说一说】
1955年希腊发行的一枚纪念邮票，邮票上的图案是根据一个著名的
数学定理设计的。
观察这枚邮票上的图案和图案中小
方格的个数，你有哪些发现？
【做一做】
1、分别以图中的直角三角形三边为边向外作正方
形，求这三个正方形的面积？
2、这三个面积之间是否存在什么样的未知关系，如果存在，那么它们的关系
【练一练】
1、判断题（1）若a、b、c是三角形的三边，则a2+b~=c2.
（2）直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方.
2、求下列直角三角形中未知边
【例题讲解】
1.在波平如静的湖面上，有一朵美丽的红莲，它高出水面1米，一阵大风吹过，红莲被吹至一边, 花朵齐及水面，如果知道红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？
2.下列各图中所示的线段的长度或正方形的面积为多少。
（注：下列各图中的三角形均为直
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3.受台风影响，一棵9米高的树断裂，树的顶部落在离树跟底部3米处，这棵树折断后离地面有多高？
4、如图，在四边形ABCD 中，Z BAD = 90° , Z DBC = 90° , AD = 3,AB = 4,BC = 12,
求CD.。
(完整word版)勾股定理知识点梳理(良心出品必属精品)
第17章勾股定理知识梳理——汇森中学刘明17.1勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222+=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边勾股定理的变形公式：222=-，c=a=b c a=-，222a c bb=.例1.在Rt ABCBC cm=，8=，求AC的长.∆中，90C∠=°，10AB cm知识点二：勾股定理的探索与证明勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把他们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连接BF 、CD .过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .,,AF AC AB AD FAB CAD ==∠=∠,FAB CAD ∴∆≅∆.于长FAB ∆的面积等于212a ，CAD ∆的面积等方形ADLM 的面积的一半，∴长方形ADLM 的面积=2a .同理可证，长方形MLEB 的面积=2b .正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形MLEB 的面积，∴222c a b =+，即222a b c +=.证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米；正方形P、Q、R的面积之间的关系是；由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .（n为大于1的正整数）的线段例3知识点四：勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？类型一：利用勾股定理计算线段的长例1：如图所示，在四边形ABCD中，︒=DBC，3∠90=∠90BAD，︒AD=，4AB=，BC=，求CD.12变式训练1：在ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高AD 为12，求ABC ∆的周长.类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将ACD ∆折叠，使点C 与点E 重合，折痕为AD ，则CD 等于 .ABCE D变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知3BC=，重合部分△EBD的面积为．AB=，7类型三：勾股定理在空间图形中的应用例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为cm．DA变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．类型四：勾股定理的规律探索题例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．类型六：勾股定理的实际应用例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABC DL变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AABA O类型七：用勾股定理巧求最短距离例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .∙∙AB17.2勾股定理的逆定理知识点一：互逆命题与互逆定理1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立.2.互逆定理有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.例1：写出下列命题的逆命题：（1）对顶角相等；（2）两个锐角的和是钝角.知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长,,a b c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形.a b c利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：（1）确定三角形的最长边；（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角.例2：判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形.（1）7,24,25===；a b ca b c===；（2）0.3,0.4,0.5（3）2,3,4===.a b c知识点三：勾股数满足222+=的三个正整数，称为勾股数.a b c常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17；9,40,41；11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.例3：根据下列条件，判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形（1）7,24,25a b c===；a b c===；（2）8,15,19（3）0.6,0.8, 1.0===.a nb nc na b c===；（4）3,4,5类型一：判断三角形是否是直角三角形例1：在ABC ∆中，22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，其中m 、n 是正整数，且m n >，试判断ABC ∆是否是直角三角形.变式训练1：若ABC ∆的三边,,a b c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判定ABC ∆的形状．类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用例2：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．C类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？①“远航”号航行的距离是多少海里？②“海天”号航行的距离是多少海里？③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？变式训练4：如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？************勾股定理中考链接*************1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．A M C B2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．考点：勾股定理10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．考点：图形的剪拼；勾股定理．13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．考点：圆；勾股定理第14章 勾股定理单元测试一、选择题1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D. 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定9．直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )A ．61B ． 71C ．81D ． 9110. 已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那F第10题图13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.20.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC 为直角三角形.21. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？图1图222. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCAD23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．AB CDE25. 如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，，求这块地的面积．CDA B。
专题十一 勾股定理.doc(学生版)
专题十一勾股定理(学生版）教学目标1、掌握在直角三角形的三边及角之间的关系。
2、掌握运用勾股定理逆定理判断一个三角形为直角三角形。
一、知识回顾课前热身知识点1、勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2＋b2= c2．即直角三角形两直角的平方和等于斜边的平方．因此，在运用勾股定理计算三角形的边长时，要注意如下三点：（1）注意勾股定理的使用条件：只对直角三角形适用，而不适用于锐角三角形和钝角三角形；（2）注意分清斜边和直角边，避免盲目代入公式致错；（3）注意勾股定理公式的变形：在直角三角形中，已知任意两边，可求第三边长．即c2= a2＋b2，a2= c2－b2，b2= c2－a2．热身1、一个直角三角形的三边从小到大依次为x，16，20，则x= ；2、已知一直角三角形两边长分别为3和4，则第三边的长为．3、若等腰直角三角形斜边长为2，则它的直角边长为．知识点2、学会用拼图法验证勾股定理拼图法验证勾股定理的基本思想是：借助于图形的面积来验证，依据是对图形经过割补、拼接后面积不变的原理．热身2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么()2ba+的值为（）A、13 B、19 C、25 D、169知识点3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.热身1、三角形三边长分别为6、8、10，那么它最短边上的高为．2、测得一个三角形花坛的三边长分别为5cm，12cm，•13cm，•则这个花坛的面积是。
知识点4、1）命题与原命题：勾股定理的逆定理的题设和结论恰好与勾股定理的题设和结论相反，我们把像这样的两个命题叫做互逆命题，如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。
勾股定理导学案(精品学案)
课题名称：勾股定理（1）学习目标： 1．了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2．培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
了解我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就。
学习目标：经历观察与发现直角三角形三边关系的过程，感受勾股定理的应用意识。
学习重点：勾股定理的内容及证明。
学习难点：勾股定理的证明。
自助探究 1．1、2002年北京召开了被誉为数学界“奥运会”的国际数学家大会， 这就是当时采用的会徽. 你知道这个图案的名字吗？你知道它 的背景吗？你知道为什么会用它作为会徽吗？2、相传2500年前，古希腊的数学家毕达哥拉斯在朋友家做客时，发现朋友家用地砖铺成的地面中反映了直角三角形三边的某种数量关系.么？(1) 引导学生观察三个正方形之间的面积的关系；(2) 引导学生把面积的关系转化为边的关系.结论：等腰直角三角形三边的特殊关系：斜边的平方等于两直角边的平方和. 3、等腰直角三角形有上述性质， 其它直角三角形也有这个性质吗？4、猜想：命题1自助提升 1、定理证明（1）赵爽利用弦图证明。
．．．．．显然4个 的面积＋中间小正方形的面积＝该图案的面积.即4×21× ＋﹝ ﹞2＝c 2,化简后得到 .（2）其他证明方法：教材72页 思考讨论完成2、在Rt △ABC 中，∠C=90,AB=17,BC=8,求AC 的长3、Rt △ABC 和以AB 为边的正方形ABEF ，∠ACB =90°， AC =12，BC =5，则正方形的面积是______．4、(1) 已知Rt △ABC 中，∠C =90°，BC =6，AC =8，求AB .(2) 已知Rt △ABC 中，∠A =90°，AB =5，BC =6，求AC . (3) 已知Rt △ABC 中，∠B =90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ， ∠C 的对边，c ∶a =3∶4，b =15，求a ，c 及斜边高线h .BC AB5、如图1-1-4，所有的四边形都是正方形，所有的三角 形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7cm ， 则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是多少？自助检测1．一个直角三角形，两直角边长分别为3和4，下列说法正确的是 ( )2．斜边长为25 B ．三角形的周长为25 C ．斜边长为5 D ．三角形面积为20 3．一直角三角形的斜边长比一条直角边长多2，另一直角边长为6，则斜边长为（ ）A ．4B ．8 C．10 D ．124．直角三角形的两直角边的长分别是5和12，则其斜边上的高的长为（ ） A ．6 B ．8 C ．1380 D ．13605、已知，如图1-1-5，折叠长方形（四个角都是直角，对边相等）的一边AD使点D 落在BC 边的点F 处，已知AB =8cm ，BC =10cm ，求CF CE 小结与反思这节课你学到了一些什么？你想进一步探究的问题是什么？ 教学反思§ 勾股定理（2）一、学习目标通过经历和体验，运用勾股定理解决一些实际问题的过程，进一步掌握勾股定理。
教学设计《勾股定理》优秀精品一等奖
勾股定理教学设计（市优质课一等奖教案韩信春）（四）知识应用回归生活巩固运用、培养实践技能。
(五)总结反思布置作业总结知识，总结方法，强化重点，培养能力。
设计说明1、充分运用计算机强大的拼图能力和动画特效突破难点，这是本节课的最大特点。
运用四个全等的Rt△拼图、平移，巧妙地进行勾股定理的演示与证明,方法独特，容易理解。
使学生更容易体会数形结合思想，发展了学生的创造性思维能力和动手操作能力。
这是平时教学所不能达到的。
另外的，课件插入了丰富的勾股知识和美丽的图片，如“美丽的勾股树”，加强了学生爱国主义教育和对美的熏陶教育。
2、根据学生的知识结构，我采用的教学流程是：创设情境导入新课—实验操作探求新知—动手操作证明定理—知识应用回归生活—总结反思布置作业五部分，这一流程体现了知识发生、形成和发展的过程，体现了让学生观察、猜想、归纳、验证的思想和数形结合的思想。
3、探索定理采用了面积法，引导学生利用实验由特殊到一般，再到更一般，对直角三角形三边关系进行了探索和研究，得出结论。
这种一般化的思想是认识事物的重要方法，通过教学让学生初步掌握这种方法，对学生良好思维品质的形成起着重要的作用。
4、课件中勾股定理的证明方法，做了最优化处理，证明的方法很多，为什么拼图就选择了这四种呢？原因就是这四个全等的直角三角形，学生很容易就能找到，而且用这四个直角三角形就能拼成多种不同的图案，学生拿着反复拼凑，揣摩，这不仅培养学生的观察能力、动手能力，还培养了学生的创新思维能力。
教学过程设计问题与情境师生行为设计意图受台风影响，一棵树在离地面5米处断裂，树的顶部落在离树跟底部12米处，这棵树折断前有多高？（1）让学生观看台风吹倒大树的课件，设疑激思、引入课题。
通过欣赏课件，激发学生学习兴趣，引出本节课的课题。
活动1探究：最简单的等腰直角三角形三边关系。
正方形A,B,C的面积是多少？它们之间有怎样的关系？这个直角三角形的三边有怎样关系？（2）学生观察得出面积。
勾股定理优秀教学设计模板（通用5篇）
勾股定理优秀教学设计模板（通⽤5篇）勾股定理优秀教学设计模板（通⽤5篇） 在教学⼯作者实际的教学活动中，时常需要⽤到教学设计，教学设计是根据课程标准的要求和教学对象的特点，将教学诸要素有序安排，确定合适的教学⽅案的设想和计划。
那么⼤家知道规范的教学设计是怎么写的吗？以下是⼩编为⼤家收集的勾股定理优秀教学设计模板（通⽤5篇），希望能够帮助到⼤家。
勾股定理优秀教学设计1 ⼀、教案背景概述： 教材分析：勾股定理是直⾓三⾓形的重要性质，它把三⾓形有⼀个直⾓的"形"的特点，转化为三边之间的"数"的关系，它是数形结合的典范。
它可以解决许多直⾓三⾓形中的计算问题，它是直⾓三⾓形特有的性质，是初中数学教学内容重点之⼀。
本节课的重点是发现勾股定理，难点是说明勾股定理的正确性。
学⽣分析： 1、考虑到三⾓尺学⽣天天在⽤，较为熟悉，但真正能仔细研究过三⾓尺的同学并不多，通过这样的情景设计，能⾮常简单地将学⽣的注意⼒引向本节课的本质。
2、以与勾股定理有关的⼈⽂历史知识为背景展开对直⾓三⾓形三边关系的讨论，能激发学⽣的学习兴趣。
设计理念：本教案以学⽣⼿中舞动的三⾓尺为知识背景展开，以勾股定理在古今中外的发展史为主线贯穿课堂始终，让学⽣对勾股定理的发展过程有所了解，让他们感受勾股定理的丰富⽂化内涵，体验勾股定理的探索和运⽤过程，激发学⽣学习数学的兴趣，特别是通过向学⽣介绍我国古代在勾股定理研究和运⽤⽅⾯的成就，激发学⽣热爱祖国，热爱祖国悠久⽂化的思想感情，培养他们的民族⾃豪感和探究创新的精神。
教学⽬标： 1、经历⽤⾯积割、补法探索勾股定理的过程，培养学⽣主动探究意识，发展合理推理能⼒，体现数形结合思想。
2、经历⽤多种割、补图形的⽅法验证勾股定理的过程，发展⽤数学的眼光观察现实世界和有条理地思考能⼒以及语⾔表达能⼒等，感受勾股定理的⽂化价值。
3、培养学⽣学习数学的兴趣和爱国热情。
《勾股定理》整章教学设计-精品教案
基本信息省市区江苏省学校姓名马敏豇联系电话学科数学电子邮箱年级八年级教科书版本及章节单元（或主题）教学设计单元（或主题）名称勾股定理1.单元（或主题）教学设计说明从学生熟悉的生活问题引入勾股定理，感受数学来源于生活，感受直角三角形的形状与三边之间的联系，从而引出勾股定理以及逆定理，最后利用我们学习的相关知识解决进行实际应用，理论回归实际，数学回归生活。
2.单元（或主题）学习目标与重点难点学习目标：1．能运用勾股定理及直角三角形的判定条件解决实际问题；2．运用勾股定理解释生活中的实际问题．3.感受数学的“转化”思想（把解斜三角形问题转化为解直角三角形的问题），进一步发展有条理思考和有条理表达的能力．重点：应用勾股定理及其逆定理解决实际应用问题难点：能构造直角三角形解决相关问题3.单元（或主题）整体教学思路（教学结构图）课题勾股定理新授课 章/单元复习课□专题复习课□课型习题/试卷讲评课□学科实践活动课□其他□1.教学内容分析本节课是学生在学生对勾股定理已经有了初步的了解基础上对勾股定理的形成作进一步探索，从上节课的不完全归纳到本节课严密的证明.2.学习者分析通过前面的学习，学生已具备勾股定理的初步感知，因此，我采用直观教具、多媒体等手段，让学生动手、动口、动脑，化难为易，深入浅出，让学生感受学习知识的乐趣。
3.学习目标确定1.让学生经历从数到形再由形到数的转化过程，经历探求三个正方形面积间的关系转化为三边数量关系的过程．并从过程中让学生体会数形结合思想，发展将未知转化为已知，由特殊推测一般的合情推理能力2.经历探索勾股定理的过程，发展合情推理的能力，体会数形结合思想3.能说出勾股定理，并能用勾股定理解决简单问题4．经历用多种拼图方法验证勾股定理的过程，发展用数学的眼光观察现实世界和有条理地思考与表达的能力，感受勾股定理的文化价值4.学习重点难点学习重点：勾股定理的探索过程．通过综合运用已有知识解决问题的过程，加深对数形结合的思想认识.学习难点：通过拼图验证勾股定理的过程，使学生获得一些研究问题与合作交流的方法与经验．5.学习活动设计教师活动学生活动环节一：自主学习1.填空在Rt△ABC中，AB=c,BC=a,AC=b, ∠C=90°,短边为a ，较长边为b ，那么(a+b) 2的值是 ．环节四：课堂检测1.在Rt △ABC 中，∠C=90，周长为60，斜边与一条直角边之比为13∶5，则这个三角形三边长分别是 （ ） A ．5、4、3、； B ．13、12、5； C ．10、8、6； D ．26、24、102.若等腰三角形中相等的两边长为10cm,第三边长为16 cm,那么第三边上的高为 ( ) A. 12 cm B. 10 cm C. 8 cm D. 6 cm3.如图，长2.5m 的梯子靠在墙上，梯子的底部离墙角1.5m ，求梯子的顶端与地面的距离h.4.如图，把四个全等直角三角形按如下两种方式图摆放，你能验证勾股定理吗？.acb板书设计：作业与拓展学习设计3.1勾股定理（2）一．选择题1．斜边为17cm，一条直角边长为15cm的直角三角形的面积是（）A．60 B．30 C．90 D．1202．直角三角形的斜边比一直角边长2cm，另一直角边长为6cm，则它的斜边长（）A．4cm B．8cm C．10cm D．12cm3．如图，AC是圆的直径，∠B为直角，AB=6，BC=8，则阴影面积为（）A．100π﹣24 B．25π﹣24 C．100π﹣48 D．25π﹣484．在北京召开的国际数学家大会会标如图所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较长直角边为a，较短直角边为b，则a4+b4的值为（）A．35 B．43 C．89 D．97二．填空题5．求图中直角三角形中未知的长度：b=，c=．6．在Rt△ABC中，∠C=90°3.1（2）探索勾股定理利用面积相等整体:局部；①若a=5，b=12，则c=；②若a=5，c=13，则b=；③若c=25，b=15，则a=．7．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，AB=13，CD=6，则（AC+BC）2=．8．若一个直角三角形的周长为30cm，面积为30cm2，则这个直角三角形的斜边长为．三．解答题9．在△ABC中，∠BAC=90°，AB=16，AC=12，AD⊥BC，垂足为D，（1）求BC的长；（2）求AD的长．10．图①、图②都是4×4的正方形网格，小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在①、②两个网格中分别标注了5个格点，按下列要求画图：（1）在图①中以格点为顶点，画一个等腰三角形，使其内部含有已标注的3个格点；（2）在图②中以格点为顶点，画一个正方形，使其边长为无理数，并使其内部含有已标注的3个格点．11．如图，点C在线段BD上，AC⊥BD，CA=CD，点E在线段CA上，且满足DE=AB，连接DE 并延长交AB于点F．（1）求证：DE⊥AB；（2）若已知BC=a，AC=b，AB=c，设EF=x，则△ABD的面积用代数式可表示为；你能借助本题提供的图形，证明勾股定理吗？试一试吧．12．利用下面的图形分别给出勾股定理的两种证明．教学反思与改进判断：请判断一下上述你所画的三角形的形状A B C D 2.猜想：三角形的三边满足什么条件时，这个三角形是直角三角形？ 3.你会证明你的猜想吗？阅读教材83页4.勾股定理的逆定理： 探索活动二阅读教材84页回答下列问题：1．满足a 2＋b 2＝c 2的3个 a 、b 、c 称为勾股数． 2.除了3、4、5这组勾股数之外，你还能写出其他的勾股数吗？ 3．判断：下列各组数是勾股数吗？（1）6，8，10；（2）9，12，15；（3）12，16，20． 你发现什么规律？你还能写出更多的勾股数吗？索、发现结论活动意图说明进一步激发学生学习兴趣，使学生在不知不觉中进入学习的最佳状态。
(精品教案)《勾股定理》讲课稿
（精品教案）《勾股定理》讲课稿整理的《勾股定理》讲课稿，欢迎大伙儿借鉴与参考，希翼对大伙儿有所帮助。
（一）教材的地位与作用从知识结构上看，勾股定理揭示了直角三角形三条边之间的数量关系，为后续学习解直角三角形提供重要的理论依据，在现实日子中有着广泛的应用。
从学生认知结构上看，它把形的特征转化成数量关系，架起了几何与代数之间的桥梁；勾股定理又是对学生举行爱国主义教育的良好素材，所以具有相当重要的地位和作用。
依照数学新课程标准以及八年级学生的认知水平我确定如下学习目标：知识技能、数学考虑、咨询题解决、情感态度。
其中情感态度方面，以我国数学文化为主线，激发学生热爱祖国悠久文化的情感。
（二）重点与难点为变被动同意为主动探索，我确定本节课的重点为：勾股定理的探究过程。
限于八年级学生的思维水平，我将面积法（拼图法）发觉勾股定理确定为本节课的难点，我将引导学生动手实验突出重点，合作交流突破难点。
教学办法叶圣陶讲过“教师之为教，别在全盘授予，而在相机诱导。
”所以教师利用几何直观提出咨询题，引导学生由浅入深的探究，设计实验让学生举行验证，感悟其中所蕴涵的思想办法。
学法指导为把学习的主动权还给学生，教师鼓舞学生采纳动手实践，自主探究、合作交流的学习办法，让学生亲自感知体验知识的形成过程。
我国数学文化源远流长、博大精深，为了使学生感觉其传承的魅力，我将本节课设计为以下五个环节。
首先，情境导入古韵今风给出《七巧八分图》中的一组图片，让学生利用两组七巧板举行合作拼图。
让学生观看并考虑三个正方形面积之间的关系？它们围成了如何样三角形，反映在三旁边，又蕴含着如何样数学奥妙呢？寓教于乐，激发学生好奇、探索的欲望。
第二步追溯历史解密真相勾股定理的探究过程是本节课的重点，根据数学知识的循序渐进、螺旋上升的原则，我设计如下三个活动。
从上面低起点的咨询题入手，有利于学生参与探究。
学生非常容易发觉，在等腰三角形中存在如下关系。
巧妙的将面积之间的关系转化为边长之间的关系，体现了转化的思想。
探索勾股定理-勾股定理PPT精品教学课件3
a
c b
a c
b
● 只有天才和科学结了婚才能得到最好的结果。 ──斯宾塞 ● 最可怕的敌人，就是没有坚强的信念。 ──罗曼·罗兰 ● 在科学上没有平坦的大道，只有不畏劳苦沿着陡峭山路攀登的人，才有希望达到光辉的顶点。 ──马克思 ● 人只有为自己同时代人的完善，为他们的幸福而工作，他才能达到自身的完善。─马克思 ● 生活就像海洋，只有意志坚强的人，才能到达彼岸。 ──马克思 ● 人的价值蕴藏在人的才能之中。 ──马克思 ● 万事开头难，每门科学都是如此。 ──马克思 ● 一切节省，归根到底都归结为时间的节省。 ──马克思 ● 辛苦是获得一切的定律。 ──牛顿 ● 提出一个问题往往比解决一个问题更重要，因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已。而提出新的问题、新的可能性，从新的角度去看旧的问题，都需要有 创造性的想象力，而且标志着科学的真正进步。 ──爱因斯坦 ● 天才出于勤奋。 ──高尔基 ● 天才的十分之一是灵感，十分之九是血汗。 ──列夫·托尔斯泰 ● 天才就是这样，终身努力，便成天才。 ──门捷列夫 ● 天才免不了有障碍，因为障碍会创造天才。 ──罗曼.罗兰 ● 天才是百分之一的灵感，百分之九十九的血汗。 ──爱迪生 ● 天才是由于对事业的热爱而发展起来的。简直可以说，天才──就其本质而论──只不过是对事业，对工作的热爱而已。 ──高尔基 ● 天生我材必有用。 ──李白 ● 天下兴亡，匹夫有责。 ──顾炎武 ● 青年时种下什么，老年时就收获什么。 ──易卜生 ● 人并不是因为美丽才可爱，而是因为可爱才美丽。 ──托尔斯泰 ● 人的美德的荣誉比他的财富的荣誉不知大多少倍。──达·芬奇 ● 人的生命是有限的，可是，为人民服务是无限的，我要把有限的生命，投入到无限的为人民服务之中去。 ──雷锋 ● 人的天职在勇于探索真理。 ──哥白尼 ● 人的知识愈广，人的本身也愈臻完善。──高尔基 ● 人的智慧掌握着三把钥匙，一把开启数字，一把开启字母，一把开启音符。知识、思想、幻想就在其中。 ──雨果 ● 人们常觉得准备的阶段是在浪费时间，只有当真正机会来临，而自己没有能力把握的时候，才能觉悟自己平时没有准备才是浪费了时间。 ──罗曼.罗兰 ● 勇于探索真理是人的天职。 ──哥白尼 ● 有很多人是用青春的幸福作成功代价的。 ──莫扎特 ● 越学习，越发现自己的无知。 ──笛卡尔 ● 在观察的领域中，机遇只偏爱那种有准备的头脑。 ──巴斯德 ● 在天才和勤奋两者之间，我毫不迟疑地选择勤奋，她是几乎世界上一切成就的催产婆。 ──爱因斯坦
《勾股定理》教学分析doc
《勾股定理》教学分析本节课我从教材、教法与学法、教学过程、信息技术与课程整合、教学评价五个方面对本节课进行分析。
一、教材分析（一）本节内容在全书和章节的地位“勾股定理”是义务教育新课程标准人教版八年级第十八章第一课时内容。
勾股定理是几何中几个重要的定理之一，它揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，它将数与形密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用,在现实世界中有着广泛的应用。
（二）学情分析八年级学生已初步具有几何图形的观察，几何证明的理论思维能力。
他们希望老师创设便于他们进行观察的几何环境，给他们发表自己见解和表现自己才华的机会，希望老师满足他们的创造愿望，让他们实际操作，使他们获得施展自己创造才能的机会。
但对于勾股定理的得出，首先需要学生通过动手操作，在观察的基础上，大胆猜想数学结论，而这需要学生具备一定的分析、归纳的思维方法和运用数学的思想意识，但学生在这一方面的可预见性和耐挫折能力并不是很成熟，从而形成困难。
据此，我制定教学目标及重难点如下：（三）三维教学目标【知识与能力目标】⒈理解并掌握勾股定理的内容和证明，能够灵活运用勾股定理及其计算；⒉通过观察分析，大胆猜想，并探索勾股定理，培养学生动手操作、合作交流、逻辑推理的能力。
【过程与方法目标】在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察-猜想-归纳-验证”的数学思想，并体会数形结合和从特殊到一般的思想方法。
【情感态度与价值观】通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感和钻研精神。
（四）教学重点、难点【教学重点】探索发现并验证勾股定理。
【教学难点】1．“割补法”探究直角三角形斜边为边长的正方形的面积计算。
2．通过拼图验证勾股定理；【学具准备】4个全等的直角三角形硬纸板.二、教法与学法分析在教学中我采用的是“引导探索法”，由浅到深，由特殊到一般的提出问题。
以导为主,采用设疑的形式，让学生逐步进行探究性学习。
19.9勾股定理(第1课时)(教材配套课件)-2024-2025学年八年级数学上册精品教学(沪教版)
练习2
a2+b2=c2
在Rt⊿ABC中，∠C=90°
（1）已知a=8，c=17, 求b=_15___
（2）已知b=5，c=13， 求a=_1_2__
练习3
1. 求下列图中字母所代表的正方形的面积
A =92 32
60
81 B =144
225
课堂小结
1．学习内容方面： 勾股定理及其公式应用；
2．数学思想方面： 数形结合、特殊到一般、面积法。
3.情感方面： 中国人有智慧，数学很有用，数学很美。
“ THANKS ”
八年级上册数学沪教版
第 19 章 几何证明
19.9勾股定理（第1课时）
学习目标
1．体验勾股定理的探索过程,掌握勾股定理并能简单 运用
2．经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学过程，体会 数形结合的数学思想和由特殊到一般的研究问题方 法.
3．了解中国古代在勾股定理方面的成就，知道勾股 定理在人类重大科技发现中的地位.
S3 c a S1
a
S2
问题3：一般直角三角形的三边是否也 具有这样的数量关系呢？
F
A
H
E
cb
B aC
G
N
M
能否用四个全等的一般直角三角形拼 成一个大正方形呢?（不能重叠，可以 有空隙）
勾股定理
在直角三角形中， 两条直角边的平方和等于斜边的平方
数学表达式： ∵ 在Rt△ABC中，∠C = 90°
问题1 定理：在在直直角角三三角角形形中中，，斜斜边边与大两于条直直角边
角边之间有怎样的大小关系？为什么？
A
C
B
线段AC是点A到BC的垂线段， 线段AB是点A到BC的斜线段，
一个有关勾股定理的猜想
一个有关勾股定理的猜想：本文通过对勾股定理证明的学习，由此引出一个猜想：以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为边长的正多边形的面积。
并对此进行了论证，由此得出了四个定理及一个猜想。
：勾股定理，正多边形，直角三角形，面积在无限攀登的学习过程中，我接触到了勾股定理，并对其证明产生了浓厚的爱好，由此产生了一个大胆的方法：既然以直角三角形的两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，那么以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和会等于以斜边为边长的正多边形的面积吗？带着那个方法，在老师的指导下，我尝试着做了以下的论证：图1勾股定理：在一个直角三角形中，若两直角边分别为a、b，斜边为c，则a2+b2=c2。
正三角形的面积：如图2，一个正三角形的边长为a，则由勾股定理可得其高可表示为：则面为：。
图2正六边形的面积：如图3，一个正六边形的边长为a，作它的三条对角线，则正六边形被分成了六个边长为的正三角形，故面积为：图3正八边形的面积：如图4，一个正八边形的边长为a，作它的两条对角线，则正八边形被分成了两个全等的等腰梯形和一个矩形，故面积为：图4定理一：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边为边长的正三角形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，以这三边为边长所作的正三角形的面积分别为：。
则：即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边为边长的正三角形的面积。
定理二：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边为边长的正四边形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，以这三边为边长所作的正四边形的面积分别为：a2，b2，c2。
则：a2+b2=c2即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边为边长的正四边形的面积。
定理三：以直角三角形的两直角边为边长的两个正六边形的面积和等于以斜边为边长的正六边形的面积。
勾股定理
“勾股定理”五大题型
勾股定理是初中几何学中极其重要的内容之一。
从整体看，它更是连接几何和方程的纽带，把这个知识学好，将为学生高中的几何学习带来不少益处。
勾股定理的基本定义其实很简单，无非就是一个公式。
但随着学习的深入，题型变得越来越复杂，不少学生都有这样的感觉：在掌握了勾股定理的基本含义下，除去一些最基础的题目，稍作变型就无法上手。
这类现象还是要归结于基础没打好，同学们看题目、看定义都不能只看它表面，学习不是一件你看看就都能弄懂的事情。
特别是数学，式子、题型都是可以千变万化的，不多做点题，弄懂规律，考试都不会有好结果。
根据这样的情况，老师在下面总结出了勾股定理所有的知识点和考点。
相信在看了下面的内容后，同学们都能对勾股定理有全新的认识。
数学向来是一门伟大的科目，不小瞧任何一个知识点，不放过任何一种题型，是所有学生都应遵守的准则。
希望各位学生总结教训，好好积累知识，争取在考试中都能完美拿下每一分！。
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一个有关勾股定理的猜想
：本文通过对勾股定理证明的学习，由此引出一个猜想：以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为边长的正多边形的面积。
并对此进行了论证，由此得出了四个定理及一个猜想。
：勾股定理，正多边形，直角三角形，面积在无限攀登的学习过程中，我接触到了勾股定理，并对其证明产生了浓厚的兴趣，由此产生了一个大胆的想法：既然以直角三角形的两直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形的面积，那么以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和会等于以斜边为边长的正多边形的面积吗？带着这个想法，在老师的指导下，我尝试着做了以下的论证：
图1 勾股定理：在一个直角三角形中，若两直角边分别为a、b，斜边为c,则a2+b2=c2。
正三角形的面积：如图2, 一个正三角形的边长为a,则由勾股定理可得其高可表示为：则面为：。
图2
正六边形的面积：如图3, —个正六边形的边长为a,作它的三条对角线,则正六边形被分成了六个边长为的正三角形,故面积为：图3
正八边形的面积：如图4, 一个正八边形的边长为a,作它的两条对角线，则正八边形被分成了两个全等的等腰梯形和一个矩形,故
面积为：
图4
定理一：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边为边长的正三角形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为a、b,斜边为c,
以这三边为边长所作的正三角形的面积分别为：。
则：
即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形的面积和等于以斜边为边长的正三角形的面积。
定理二：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边为边长的正四边形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为、 ,斜边为,以这三边为边长所作的正四边形的面积分别为：a2, b2, c2。
则：a2+b2=c2 即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正四边形的面积和等于以斜边为边长的正四边形的面积。
定理三：以直角三角形的两直角边为边长的两个正六边形的面积和等于以斜边为边长的正六边形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为、 ,斜边为,以这三边为边长所作的正六边形的面积分别为：。
则：
即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正六边形的面积和等于以斜边为边长的正六边形的面积。
定理四：以直角三角形的两直角边为边长的两个正八边形的面积和等于以斜边为边长的正八边形的面积。
证明：一个直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，以这三边为边长所作的正八边形的面积分别为：。
则：
即：以直角三角形的两直角边为边长的两个正八边形的面积和等于以斜边为边长的正八边形的面积。
通过以上的论证，我说明了分别以直角三角形的两直角边为边长的两个正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的面积和等于以斜边为边长的正三角形、正四边形、正六边形、正八边形的面积，并由此得到了以下的猜想。
当然，鉴于目前我的认知水平，我只能做到这一个深度，但是，随着学习的深入，我相信我会努力去证明我的猜想！
猜想：以直角三角形的两直角边为边长的两个正多边形的面积和等于以斜边为边长的正多边形的面积。