2019年全国I卷理数高考试卷及答案

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2019年高考新课标Ⅰ卷理数试题解析(解析版)

2019年高考新课标Ⅰ卷理数试题解析(解析版)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷5页,23小题,满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需要改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则 A .{|0}A B x x =< B .A B =R C .{|1}A B x x =>D .AB =∅【答案】A2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是A .14 B .π8 C .12D .π4【答案】B【解析】不妨设正方形边长为 a.由图形的对称性可知,太极图中黑白部分面积相等,即所各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得,所求概率为221()228a a ππ⨯⨯=,选B. 3.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z ∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ;3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB .14,p pC .23,p pD .24,p p【答案】B4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A .1B .2C .4D .8【答案】C【解析】设公差为d ,则有112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =,故选C.5.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A .[2,2]-B .[1,1]-C .[0,4]D .[1,3]【答案】D【解析】由已知,使1()1f x -≤≤成立的x 满足11x -≤≤,所以由121x -≤-≤得13x ≤≤,即使1(2)1f x -≤-≤成立的x 满足13x ≤≤,选D.6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A .15B .20C .30D .35【答案】C 【解析】621(1)(1)x x ++展开式中含2x 的项为224426621130C x C x x x⋅+⋅=,故2x 前系数为30,选C.. 7.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为A .10B .12C .14D .16【答案】B8.右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A .A >1 000和n =n +1B .A >1 000和n =n +2C .A ≤1 000和n =n +1D .A ≤1 000和n =n +2 【答案】D【解析】由题意选择321000nn->,则判定框内填1000A ≤,由因为选择偶数,所以矩形框内填2n n =+,故选D.9.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2【答案】D10.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A .16B .14C .12D .10【答案】A【解析】设直线1l 方程为1(1)y k x =-取方程214(1)y xy k x ⎧=⎨=-⎩得2222111240k x k x x k --+=∴21122124k x x k --+=-212124k k += 同理直线2l 与抛物线的交点满足22342224k x x k ++= 由抛物线定义可知1234||||2AB DE x x x x p +=++++221222222212121224244416482816k k k k k k k k ++=++=++≥+= 当且仅当121k k =-=(或1-)时,取得等号. 11.设x 、y 、z 为正数,且235x y z ==,则A .2x <3y <5zB .5z <2x <3yC .3y <5z <2xD .3y <2x <5z【答案】D12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,学科*网其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A .440B .330C .220D .110【答案】A【解析】由题意得,数列如下:11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为 1(1)1(12)(122)222k k k k S k ++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭要使(1)1002k k +>,有14k ≥,此时122k k ++<,所以2k +是之后的等比数列11,2,,2k +的部分和,即1212221t t k -+=+++=-,所以2314tk =-≥,则5t ≥,此时52329k =-=, 对应满足的最小条件为293054402N ⨯=+=,故选A. 二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

(精校版)2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

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绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .A =12A+ B .A =12A+C .A =112A+D .A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y += B .22132x y += C .22143x y += D .22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F分别是P A ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为A .68πB .64πC .62πD .6π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N I = A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则 A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为 A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .A =12A+ B .A =12A+C .A =112A+D .A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y += B .22132x y += C .22143x y += D .22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F分别是P A ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为 A .68πB .64πC .62πD .6π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年高考理科数学全国1卷-含答案

2019年高考理科数学全国1卷-含答案

2019年普通高等学校招生全统一考试理科数学第Ⅰ卷一、选择题:本题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

(1) 设集合{}0342<+-=x x x A ,{}032>-=x x B ,则=B A(A )(3-,23-) (B )(3-,23) (C )(1,23) (D )(23-,3)(2) 设yi x i +=+1)1(,其中x ,y 是实数,则=+yi x(A )1 (B )2 (C )3 (D )2(3) 已知等差数列{}n a 前9项的和为27,810=a ,则=100a(A )100 (B )99 (C )98 (D )97(4) 某公司的班车在7:30,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(A )31(B )21 (C )32 (D )43 (5) 已知方程132222=--+nm y n m x 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则m 的取值范围是 (A )(1-,3) (B )(1-,3) (C )(0,3) (D )(0,3)(6) 如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是328π,则它的表面积是 (A )17π (B )18π (C )20π (D )28π否ny y = n ,输出y x ,结束xe x -22在[]22,-的图象大致为(A ) (B ) (C ) (D )(8) 若1>>b a ,10<<c ,则(A )c c b a < (B )c c ba ab < (C )c b c a a b log log < (D )c c b a log log <(9) 执行右图的程序框图,如果输入的0=x ,1=y ,1=n ,则输出y x ,的值满足(A )x y 2= (B )x y 3= (C )x y 4= (D )x y 5=(10) 以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A ,B 两点,交C 的准线于D ,E 两点.已知24=AB ,52=DE ,则C 的焦点到准线的距离为(A )2 (B )4 (C )6 (D )8(11) 平面α过正方体1111D C B A ABCD -的顶点A ,α∥平面11D CB ,α∩平面m ABCD =,α∩平面n A ABB =11,则n m ,所成角的正弦值为(A )23 (B )22 (C )33 (D )31(12) 已知函数)sin()(ϕω+=x x f )2,0(πϕω≤>,4π-=x 为)(x f 的零点,4π=x 为)(x f y =图象的对称轴,且)(x f 在)365,18(ππ单调,则ω的最大值为(A )11 (B )9 (C )7 (D )5第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2019年全国卷Ⅰ理数数学高考试题(含答案)

2019年全国卷Ⅰ理数数学高考试题(含答案)
(2) 有且仅有2个零点.
21.(12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得 分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得 分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X.
A.165 cmB.175 cmC.185 cmD.190cm
5.函数f(x)= 在 的图像大致为
A. B.
C. D.
6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“——”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是
16.已知双曲线C: 的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A,B两点.若 , ,则C的离心率为____________.
三、解答题:
17.(12分) 的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设 .
(1)求A;
(2)若 ,求sinC.
18.(12分) 如图,直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点.
(1)求C和l的直角坐标方程;
(2)求C上的点到l距离的最小值.
23.[选修4—5:不等式选讲](10分)

2019年高考全国1卷理科数学试题及答案(精校版)

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2019年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷Ⅰ)理科数学一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知集合A ={x |x <1},B ={x |31x <},则A.{|0}A B x x =<IB.A B =R UC.{|1}A B x x =>UD.A B =∅I 2.如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 A.14B.π8C .12D.π43.设有下面四个命题1p :若复数z 满足1z∈R ,则z ∈R ;2p :若复数z 满足2z ∈R ,则z ∈R ; 3p :若复数12,z z 满足12z z ∈R ,则12z z =;4p :若复数z ∈R ,则z ∈R .其中的真命题为 A.13,p pB.14,p pC.23,p pD.24,p p4.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=,648S =,则{}n a 的公差为A.1B.2C.4D.85.函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减,且为奇函数.若(11)f =-,则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A.[2,2]-B.[1,1]-C.[0,4]D.[1,3]6.621(1)(1)x x++展开式中2x 的系数为 A.15B.20C.30D.357.某多面体的三视图如图所示,其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边长为2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为 A.10 B.12 C.14 D.168.右面程序框图是为了求出满足3n −2n >1000的最小偶数n ,那么在和两个空白框中,可以分别填入A.A >1 000和n =n +1B.A >1 000和n =n +2C.A ≤1 000和n =n +1D.A ≤1 000和n =n +29.已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是 A.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2 B.把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D.把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 210.已知F 为抛物线C :y 2=4x 的焦点,过F 作两条互相垂直的直线l 1,l 2,直线l 1与C 交于A 、B 两点,直线l 2与C 交于D 、E 两点,则|AB |+|DE |的最小值为 A.16B.14C.12D.1011.设xyz 为正数,且235x y z ==,则A.2x <3y <5zB.5z <2x <3yC.3y <5z <2xD.3y <2x <5z12.几位大学生响应国家的创业号召,开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣,他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案:已知数列1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,…,其中第一项是20,接下来的两项是20,21,再接下来的三项是20,21,22,依此类推.求满足如下条件的最小整数N :N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A.440B.330C.220D.110二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.已知向量a ,b 的夹角为60°,|a |=2,|b |=1,则| a +2 b |= _____________ .14.设x ,y 满足约束条件21210x y x y x y +≤⎧⎪+≥-⎨⎪-≤⎩,则32z x y =-的最小值为_____________ .15.已知双曲线C :22221x y a b-=(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径做圆A ,圆A与双曲线C 的一条渐近线交于M 、N 两点。

2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(附答案)【优选】

2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(附答案)【优选】

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =A .}{43xx -<<B .}42{xx -<<- C .}{22x x -<< D .}{23xx <<2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为 A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .A =12A+ B .A =12A+C .A =112A+D .A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则 A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y += B .22132x y += C .22143x y += D .22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论: ①f (x )是偶函数②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为A .68πB .64πC .62πD .6π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年高考理科数学全国卷1(附参考答案和详解)

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2019年高考理科数学试卷(全国I卷)及答案

2019年高考理科数学试卷(全国I卷)及答案

2019年全国高考理科数学试卷(全国I 卷)及答案一、选择题(本大题共12小题,共60分)1.已知集合}24|{<<-=x x M ,}06|{2<--=x x x N ,则=N M ()A.}34|{<<-x xB.}24|{-<<-x xC.}22|{<<-x xD.}32|{<<x x 2.设复数z 满足1z i -=,z 在复平面内对应的点为(,)x y ,则()A.22(1)1x y ++=B.22(1)1x y -+=C.22(1)1x y +-=D.22(1)1x y ++=3.已知2log 0.2a =,0.22b =,0.30.2c =,则()A.a b c <<B.a c b <<C.c a b <<D.b c a<<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是215-(618.0215≈-称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是215-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为cm 105,头顶至脖子下端的长度为cm 26,则其身高可能是()A.cm 165B.cm 175C.cm 185D.cm 1905.函数2sin ()cos x xf x x x+=+在[,]ππ-的图像大致为()A.B.C.D.6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A.516B.1132C.2132D.11167.已知非零向量,a b 满足2a b = ,且()a b b -⊥ ,则a 与b的夹角为()A.6πB.3πC.23πD.56π8.右图是求112+12+2的程序框图,图中空白框中应填入()A.12A A =+B.12A A=+C.112A A =+D.112A A=+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知40S =,55a =,则()A.25n a n =- B.310n a n =- C.228n S n n=- D.2122n S n n =-10.已知椭圆C 的焦点为)0,1(1-F ,)0,1(2F ,过2F 的直线与C 交于A ,B 两点.若||2||22B F AF =,||||1BF AB =,则C 的方程为()A.1222=+y xB.12322=+y x C.13422=+y x D.14522=+y x 11.关于函数()sin sin f x x x =+有下述四个结论:①()f x 是偶函数②()f x 在区间(,)2ππ单调递增③()f x 在[],ππ-有4个零点④()f x 的最大值为2其中所有正确结论的编号是()A.①②④B.②④C.①④D.①③12.已知三棱锥P ABC -的四个顶点在球O 的球面上,PA PB PC ==,ABC ∆是边长为2的正三角形,,E F 分别是PA ,AB 的中点,90CEF ∠=︒,则球O 的体积为()A.B.C.二、填空题(本大题共4小题,共20分)13.曲线23()x y x x e =+在点(0,0)处的切线方程为.14.记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和,若113a =,246a a =,则5S =.15.甲乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该对获胜,决赛结束)根据前期的比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是.16.已知双曲线C:22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点分别为12,F F ,过1F 的直线与C 的两条渐近线分别交于,A B 两点.若112,0F A AB F B F B =⋅=uuu r uuu r uuu r uuu r ,则C 的离心率为.三、解答题(本大题共5小题,共60分)17.ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .设()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-.(1)求A ;2b c +=,求sin C .18.如图,直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是菱形,14,2,60AA AB BAD ==∠=︒,,,E M N 分别是11,,BC BB A D 的中点.(1)证明://MN 平面1C DE ;(2)求二面角1A MA N --的正弦值.19.已知抛物线x y C 3:2=的焦点为F ,斜率为23的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若4||||=+BF AF ,求l 的方程;(2)若PB AP 3=,求||AB .20.已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导函数.证明:(1)()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点;(2)()f x 有且仅有2个零点.21.为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物实验.实验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比实验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮实验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止实验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮实验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮实验中甲药的得分记为X .(1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在实验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i = 表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i = ,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=.(i)证明:1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列;(ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种实验方案的合理性.四、选做题(2选1)(本大题共2小题,共10分)22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22211()41t x t t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩为参数.以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=.(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)求C 上的点到l 距离的最小值.23.已知,,a b c 为正数,且满足1abc =,证明:(1)222111a b c a b c++≤++(2)333()()()24a b b c c a +++++≥2019年高考理科数学(全国I 卷)参考答案选择题1-5CCBBD 6-12ABAAB CD13.3y x =14.5S =121315.0.1816.217.解答:(1)由()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=结合正弦定理得222b c a bc+-=∴2221cos =22b c a A b c +-=⋅⋅又(0,)A π∈,∴=3A π.(22b c +=sin 2sin A B C +=,()sin 2sin A A C C ++=∴6sin()2sin 23C C π++=,∴1sin cos 222C C -=∴2sin()62C π-=又203C π<<∴662C πππ-<-<又sin()06C π->∴062C ππ<-<∴2cos 62C π⎛⎫-= ⎪⎝⎭,∴sin sin()66C C ππ=-+=sin cos cos sin 6666C C ππππ⎛⎫⎛⎫-+- ⎪ ⎝⎭⎝⎭624=.18、解:(1)连结,M E 和1,B C ,∵,M E 分别是1BB 和BC 的中点,∴1//ME B C 且112ME B C =,又N 是1A D ,∴//ME DN ,且ME DN =,∴四边形MNDE 是平行四边形,∴//MN DE ,又DE ⊂平面1C DE ,MN ⊄平面1C DE ,∴//MN 平面1C DE.(2)以D 为原点建立如图坐标系,由题(0,0,0)D ,(2,0,0)A ,1(2,0,4)A,M 1(0,0,4)A A =-uuu r,1(2)A M =--uuuu r ,1(2,0,4)A D =--uuur,设平面1AA M 的法向量为1111(,,)n x y z =u r ,平面1DA M 的法向量为2222(,,)n x y z =u u r,由111100n A A n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u r uuu r u r uuuu r得11114020z x z -=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,令1x =得1n =u r ,由212100n A D n A M ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u r uuur u u r uuuu r得2222224020x z x z --=⎧⎪⎨-+-=⎪⎩,令22x =得2(2,0,1)n =-u u r ,∴12121215cos ,5n n n n n n ⋅==⋅u r u u ru r u u r u r u u r ,∴二面角1A MA N --的正弦值为5.19.解答:设直线l 的方程为b x y +=23,设),(11y x A ,),(22y x B ,(1)联立直线l 与抛物线的方程:⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y bx y 3232消去y 化简整理得0)33(4922=+-+b x b x ,0494)33(22>⨯--=∆b b ,21<∴b ,9)33(421b x x -⨯=+,依题意4||||=+BF AF 可知42321=++x x ,即2521=+x x ,故259)33(4=-⨯b ,得87-=b ,满足0>∆,故直线l 的方程为8723-=x y ,即07128=+-x y .(2)联立方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y b x y 3232消去x 化简整理得0222=+-b y y ,084>-=∆b ,21<∴b ,221=+y y ,b y y 221=, PB AP 3=,可知213y y -=,则222=-y ,得12-=y ,31=y ,故可知23-=b 满足0>∆,∴3134|13|941||11||212=+⨯+=-⋅+=y y k AB .20.解答:(1)对()f x 进行求导可得,1()cos 1f x x x '=-+,(12x π-<<取1()cos 1g x x x=-+,则21()sin (1)g x x x '=-++,在(1,2x π∈-内21()sin (1)g x x x '=-++为单调递减函数,且(0)1g =,21(102(1)2g ππ=-+<+所以在(0,1)x ∈内存在一个0x ,使得()0g x '=,所以在0(1,)x x ∈-内()0g x '>,()f x '为增函数;在0(,2x x π∈内()0g x '<,()f x '为减函数,所以在()f x '在区间(1,2π-存在唯一极大值点;(2)由(1)可知当(1,0)x ∈-时,()f x '单调增,且(0)0f '=,可得()0'<x f 则()f x 在此区间单调减;当0(0,)x x ∈时,()f x '单调增,且(0)0f '=,()0f x '>则()f x 在此区间单调增;又(0)0f =则在0(1,)x x ∈-上()f x 有唯一零点0x =.当0(,2x x π∈时,()f x '单调减,且0()0,()02f x f π''><,则存在唯一的10(,)2x x π∈,使得1()0f x '=,在01(,)x x x ∈时,()0f x '>,()f x 单调增;当1(,)2x x π∈时,()f x 单调减,且()1ln(1)1ln 022f e ππ=-+>-=,所以在0(,)2x x π∈上()f x 无零点;当(,)2x ππ∈时,sin y x =单调减,ln(1)y x =-+单调减,则()f x 在(,)2x ππ∈上单调减,()0ln(1)0f ππ=-+<,所以在(,)2x ππ∈上()f x 存在一个零点.当(,)x π∈+∞时,()sin ln(1)1ln(1)0f x x x π=-+<-+<恒成立,则()f x 在(,)x π∈+∞上无零点.综上可得,()f x 有且仅有2个零点.21.解答:(1)一轮实验中甲药的得分有三种情况:1、1-、0.得1分时是施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈,则(1)(1)P X αβ==-;得1-分时是施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈,则(1)(1)P X αβ=-=-;得0分时是都治愈或都未治愈,则(0)(1)(1)P X αβαβ==+--.则X的分布列为:(2)(i )因为0.5α=,0.8β=,则(1)0.4a P X ==-=,(0)0.5b P X ===,(1)0.1c P X ===.可得110.40.50.1i i i i p p p p -+=++,则110.50.40.1i i i p p p -+=+,则110.4()0.1()i i i i p p p p -+-=-,则114i ii i p p p p +--=-,所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 为等比数列.(ii )1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-= 的首项为101p p p -=,那么可得:78714p p p -=⨯,67614p p p -=⨯,………………2114p p p -=⨯,以上7个式子相加,得到76811(444)p p p -=⨯+++ ,则886781111441(1444)143p p p p --=⨯++++=⨯=- ,则18341p =-,再把后面三个式子相加,得23411(444)p p p -=⨯++,则4423411844141311(1444)334141257p p p --=⨯+++==⨯==-+.4p 表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只,且甲药的累计得分为4”,因为0.5α=,0.8β=,αβ<,则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白鼠多4只,且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的,而41257p =的确非常小,说明这种实验方案是合理的.22.(1)曲线C :由题意得22212111t x t t -==-+++即2211x t +=+,则2(1)y t x =+,然后代入即可得到2214y x +=(1)x ¹-而直线l :将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到2110x ++=(2)将曲线C 化成参数方程形式为则d =所以当362ππθ+=23.(1)1abc = ,111bc ac ab a b c∴++=++.由基本不等式可得:222222,,222b c a c a b bc ac ab +++≤≤≤,于是得到222222222111222b c a c a b a b c a b c +++++≤++=++.(2)由基本不等式得到:332()8()a b a b ab +≥+≥,332()8()b c b c bc +≥+≥,332()8()c a c a ac +≥+≥.于是得到333333222()()()8[()()()]a b b c c a ab bc ac +++++≥++824≥⨯。

(精校版)2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

(精校版)2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则 A .a b c <<B .a c b <<C .c a b <<D .b c a <<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos ++x xx x 在[,]-ππ的图像大致为A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入A .A =12A+ B .A =12A+C .A =112A+D .A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则A .25n a n =-B . 310n a n =-C .228n S n n =-D .2122n S n n =- 10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为A .2212x y += B .22132x y += C .22143x y += D .22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上,P A =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F分别是P A ,PB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为A .68πB .64πC .62πD .6π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

2019年全国卷Ⅰ理数高考试题文档版(含答案)

- 1 - 绝密★启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷共4页,23小题,满分150分,考试用时120分钟。

注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。


2B 铅笔将试卷类型(B )填涂在答题卡的相应位置上。

2.作答选择题时,选出每小题答案后,用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑;
如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案。

答案不能答在试卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应
位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新答案;不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。

考试结束后,将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共
12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合242{60{}M x x N x x x ,,则M N =
A .{43x x
B .42{x x
C .{22x x
D .{23
x x 2.设复数z 满足=1i z ,z 在复平面内对应的点为
(x ,y),则A .22+11()x y B .221(1)x y
C .22(1)1y x
D .22(+1)1y x 3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ,,,则
A .a b c
B .a c b
C .c a b
D .b c a。

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2019年普通高等学校招生全国统一考试(答案附在后面)理科数学注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。

如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

回答非选择题时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<,,则M N =( ) A .}{43x x -<<B .}42{x x -<<-C .}{22x x -<<D .}{23x x <<2.设复数z 满足=1i z -,z 在复平面内对应的点为(x ,y ),则( ) A .22+11()x y +=B .221(1)x y +=-C .22(1)1y x +-=D .22(+1)1y x +=3.已知0.20.32log 0.220.2a b c ===,,,则( ) A .a b c << B .a c b << C .c a b << D .b c a <<4.古希腊时期,人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-(512-≈0.618,称为黄金分割比例),著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外,最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-.若某人满足上述两个黄金分割比例,且腿长为105 cm ,头顶至脖子下端的长度为26 cm ,则其身高可能是( )A .165 cmB .175 cmC .185 cmD .190 cm5.函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为( ) A .B .C .D .6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是( )A .516B .1132C .2132D .11167.已知非零向量a ,b 满足||2||=a b ,且()-a b ⊥b ,则a 与b 的夹角为( ) A .π6B .π3C .2π3D .5π68.如图是求112122++的程序框图,图中空白框中应填入( )A .A =12A+ B .A =12A+C .A =112A+ D .A =112A+9.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.已知4505S a ==,,则( ) A .25n a n =-B .310n a n =- C .228n S n n =-D .2122n S n n =-10.已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -(),(),过F 2的直线与C 交于A ,B 两点.若22||2||AF F B =,1||||AB BF =,则C 的方程为( )A .2212x y +=B .22132x y += C .22143x y += D .22154x y += 11.关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论:①f (x )是偶函数②f (x )在区间(2π,π)单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是( ) A .①②④B .②④C .①④D .①③12.已知三棱锥P −ABC 的四个顶点在球O 的球面上,PA =PB =PC ,△ABC 是边长为2的正三角形,E ,F 分别是PA ,AB 的中点,∠CEF =90°,则球O 的体积为( ) A .68πB .64πC .62πD .6π二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。

13.曲线23()e x y x x =+在点(0)0,处的切线方程为____________. 14.记S n 为等比数列{a n }的前n 项和.若214613a a a ==,,则S 5=____________.15.甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4∶1获胜的概率是____________.16.已知双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1,F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若1F A AB =,120F B F B ⋅=,则C 的离心率为____________. 三、解答题:共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题,每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题,考生根据要求作答。

(一)必考题:共60分。

17.(12分)ABC △的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-. (1)求A ;(2)若22a b c +=,求sin C .18.(12分)如图,直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形,AA 1=4,AB =2,∠BAD =60°,E ,M ,N 分别是BC ,BB 1,A 1D 的中点.(1)证明:MN ∥平面C 1DE ; (2)求二面角A −MA 1−N 的正弦值.19.(12分)已知抛物线C :y 2=3x 的焦点为F ,斜率为32的直线l 与C 的交点为A ,B ,与x 轴的交点为P .(1)若|AF |+|BF |=4,求l 的方程; (2)若3AP PB =,求|AB |.20.(12分)已知函数()sin ln(1)f x x x =-+,()f x '为()f x 的导数.证明:(1)()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点;(2)()f x 有且仅有2个零点.21.(12分)为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得1-分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得1-分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X . (1)求X 的分布列;(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则00p =,81p =,11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =,其中(1)a P X ==-,(0)b P X ==,(1)c P X ==.假设0.5α=,0.8β=. (i)证明:1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列;(ii)求4p ,并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性.(二)选考题:共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做,则按所做的第一题计分。

22.[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t 为参数).以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为2cos 3sin 110ρθρθ++=. (1)求C 和l 的直角坐标方程; (2)求C 上的点到l 距离的最小值. 23.[选修4—5:不等式选讲](10分)已知a ,b ,c 为正数,且满足abc =1.证明:(1)222111a b c a b c++≤++;(2)333()()()24a b b c c a +++≥++.2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学•参考答案一、选择题1.C 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.B 8.A 9.A 10.B 11.C 12.D 二、填空题 13.y =3x 14.121315.0.18 16.2三、解答题17.解:(1)由已知得222sin sin sin sin sin B C A B C +-=,故由正弦定理得222b c a bc +-=.由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==. 因为0180A ︒︒<<,所以60A ︒=.(2)由(1)知120B C ︒=-,由题设及正弦定理得()2sin sin 1202sin A C C ︒+-=, 即631cos sin 2sin 222C C C ++=,可得()2cos 602C ︒+=-.由于0120C ︒︒<<,所以()2sin 602C ︒+=,故 ()sin sin 6060C C ︒︒=+-()()sin 60cos60cos 60sin 60C C ︒︒︒︒=+-+624+=. 18.解:(1)连结B 1C ,ME .因为M ,E 分别为BB 1,BC 的中点, 所以ME ∥B 1C ,且ME =12B 1C . 又因为N 为A 1D 的中点,所以ND =12A 1D .由题设知A 1B 1=DC ,可得B 1C =A 1D ,故ME =ND , 因此四边形MNDE 为平行四边形,MN ∥ED . 又MN ⊄平面EDC 1,所以MN ∥平面C 1DE . (2)由已知可得DE ⊥DA .以D 为坐标原点,DA 的方向为x 轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系D −xyz ,则(2,0,0)A ,A 1(2,0,4),(1,3,2)M ,(1,0,2)N ,1(0,0,4)A A =-,1(1,3,2)A M =--,1(1,0,2)A N =--,(0,3,0)MN =-.设(,,)x y z =m 为平面A 1MA 的法向量,则110A M A A ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m ,所以32040x y z z ⎧-+-=⎪⎨-=⎪⎩,.可取(3,1,0)=m .设(,,)p q r =n 为平面A 1MN 的法向量,则100MN A N ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,.n n所以3020q p r ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩,.可取(2,0,1)=-n .于是2315cos ,||525⋅〈〉===⨯‖m n m n m n ,所以二面角1A MA N --的正弦值为105. 19.解:设直线()()11223:,,,,2l y x t A x y B x y =+. (1)由题设得3,04F ⎛⎫⎪⎝⎭,故123||||2AF BF x x +=++,由题设可得1252x x +=. 由2323y x ty x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得22912(1)40x t x t +-+=,则1212(1)9t x x -+=-. 从而12(1)592t --=,得78t =-. 所以l 的方程为3728y x =-. (2)由3AP PB =可得123y y =-.由2323y x t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩,可得2220y y t -+=. 所以122y y +=.从而2232y y -+=,故211,3y y =-=.代入C 的方程得1213,3x x ==.故413||3AB =. 20.解:(1)设()()g x f 'x =,则1()cos 1g x x x=-+,21sin ())(1x 'x g x =-++. 当1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时,()g'x 单调递减,而(0)0,()02g'g'π><,可得()g'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭有唯一零点,设为α.则当(1,)x α∈-时,()0g'x >;当,2x α⎛π⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0g'x <.所以()g x 在(1,)α-单调递增,在,2απ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减,故()g x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点,即()f 'x 在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭存在唯一极大值点.(2)()f x 的定义域为(1,)-+∞.(i )当(1,0]x ∈-时,由(1)知,()f 'x 在(1,0)-单调递增,而(0)0f '=,所以当(1,0)x ∈-时,()0f 'x <,故()f x 在(1,0)-单调递减,又(0)=0f ,从而0x =是()f x 在(1,0]-的唯一零点.(ii )当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,由(1)知,()f 'x 在(0,)α单调递增,在,2απ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,而(0)=0f ',02f 'π⎛⎫< ⎪⎝⎭,所以存在,2βαπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()0f 'β=,且当(0,)x β∈时,()0f 'x >;当,2x βπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f 'x <.故()f x 在(0,)β单调递增,在,2βπ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减.又(0)=0f ,1ln 1022f ππ⎛⎫⎛⎫=-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以当0,2x ⎛π⎤∈ ⎥⎝⎦时,()0f x >.从而,()f x 在0,2⎛⎤⎥⎝⎦π没有零点.(iii )当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时,()0f 'x <,所以()f x 在,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减.而02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭,()0f π<,所以()f x 在,2π⎛⎤π ⎥⎝⎦有唯一零点.(iv )当(,)x ∈π+∞时,ln(1)1x +>,所以()f x <0,从而()f x 在(,)π+∞没有零点. 综上,()f x 有且仅有2个零点. 21.解:X 的所有可能取值为1,0,1-.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P X P X P X αβαβαβαβ=-=-==+--==-,,, 所以X 的分布列为(2)(i )由(1)得0.4,0.5,0.1a b c ===.因此11=0.4+0.5 +0.1i i i i p p p p -+,故()()110.10.4i i i i p p p p +--=-,即()114i i i i p p p p +--=-.又因为1010p p p -=≠,所以{}1(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4,首项为1p 的等比数列.(ii )由(i )可得()()()888776100877610134 1p p p p p p p p p p p p p p p -=-+-++-+=-+-++-=.由于8=1p ,故18341p =-,所以 ()()()()44433221101411.325 7p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=4p 表示最终认为甲药更有效的概率,由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理.22.解:(1)因为221111t t --<≤+,且()22222222141211y t t x tt ⎛⎫-⎛⎫+=+= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C 的直角坐标方程为221(1)4y x x +=≠-.11 l 的直角坐标方程为23110x y ++=.(2)由(1)可设C 的参数方程为cos ,2sin x y αα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<). C 上的点到l 的距离为π4cos 11|2cos 23sin 11|377ααα⎛⎫-+ ⎪++⎝⎭=. 当2π3α=-时,π4cos 113α⎛⎫-+ ⎪⎝⎭取得最小值7,故C 上的点到l 距离的最小值为7. 23.解:(1)因为2222222,2,2a b ab b c bc c a ac +≥+≥+≥,又1abc =,故有222111ab bc ca a b c ab bc ca abc a b c++++≥++==++. 所以222111a b c a b c++≤++. (2)因为, , a b c 为正数且1abc =,故有 3333333()()()3()()()a b b c c a a b b c a c +++++≥+++ =3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)ab bc ac ≥⨯⨯⨯=24.所以333()()()24a b b c c a +++++≥.。

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