2014年高考新课标1理科数学真题及答案详解

2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷Ⅰ）理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

满分150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）已知集合{}{}22|,032|2<≤-=≥--=x x B x x x A ，则=B AA.]1,2[--B.]1,1[-C.)2,1[-D.)2,1[（2）=-+23)1()1(i i A.1＋i B.－1＋i C.1－i D.－1－i （3）设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是A.)()(x g x f 是偶函数B.|)(|)(x g x f 是奇函数C.)(|)(|x g x f 是奇函数D.|)()(|x g x f 是奇函数 （4）已知F 为双曲线C :)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A.3B.m 3C.3D.m 3 （5）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A.81 B.85 C.83 D.87（6）如图，图O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则],0[)(π在x f y =的图像大致为（7）执行右面的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1，2，3，则输出的M=A.320 B.516 C.27 D.815 （8）设(0,),(0,),22ππαβ∈∈且1sin tan ,cos βαβ+=则 A.32παβ-=B.22παβ-= C.32παβ+=D.22παβ+=（9）不等式组1,24,x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集为D ,有下面四个命题：1:(x,y)D,x 2y 2p ∀∈+≥-， 2:(x,y)D,x 2y 2p ∃∈+≥， 3:(x,y)D,x 2y 3p ∀∈+≤ 4:(x,y)D,x 2y 1p ∃∈+≤-，其中的真命题是A.23,p pB.14,p pC.12,p pD.13,p p （10）已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 得一个焦点，若FQ PF 4=，则=QFA.27B.25 C.3 D.2 （11）已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A.()2,+∞B.(),2-∞-C.()1,+∞D.(),1-∞- （12）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为A.B.第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）()()8x y x y -+的展开式中27x y 的系数为________.（用数字填写答案）（14）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过C B A ,,三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市. 丙说：我们三个去过同一城市. 由此可判断乙去过的城市为__________ （15）已知C B A ,,为圆O 上的三点，若()+=21，则AB 与的夹角为_______．（16）已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边，2=a ，且()C b c B A b sin )()sin (sin 2-=-+，则A B C ∆面积的最大值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． （17）（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数，（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由.从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均值x 和样本方差2s （同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标Z 服从正态分布()2,N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求()187.8212.2P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间()187.8,212.2的产品件数.利用（i ）的结果，求EX .12.2≈若()2~,Z N μσ则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，()220.9544P Z μσμσ-<<+=。

如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧面C C BB 11为菱形，C B AB 1⊥. （Ⅰ）证明：1AB AC =;（Ⅱ）若1AC AB ⊥，︒=∠601CBB ,BC AB =,求二面角111C B A A --的余弦值.已知点A ()02-，,椭圆E:22221(0)x y a b a b +=>>F 是椭圆E的右焦点，直线AF 的斜率为3，O 为坐标原点 （Ⅰ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的动直线l 与E 相交于P,Q 两点。

当OPQ ∆的面积最大时，求l 的直线方程.设函数1()ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为(1) 2.y e x =-+（Ⅰ）求,;a b （Ⅱ）证明：() 1.f x >请考生在（22）、（23）、（24）题中任选一题作答,如果多做,则按所做的首题进行评分.（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，四边形ABCD 是的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB CE =.（Ⅰ）证明：D E ∠=∠； （Ⅱ）设AD 不是的直径，AD 的中点为M ，且MB MC =，证明：ADE ∆为等边三角形.（23）（本小题满分10分）选修4—4，坐标系与参数方程已知曲线221:149x y C +=，直线l ：2,22,x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）.（Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30︒的直线，交l 于点A ，PA 的最大值与最小值．（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲若0,0a b >>，且11a b+=（Ⅰ）求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学答案第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合{}{}2230,22A x x x B x x =--≥=-≤<，则A B = A ．[]2,1-- B ．[)1,2- C ．[]1,1- D ．[)1,2 解析：{}()(){}{}223031013A x x x x x x x x x =--≥=-+≥=≤-≥或，{}22B x x =-≤<又，A B =[]2,1--，故选A2．()()3211+-i i =A ．1i +B ．1i -C ．1i -+D ．1i --解析：()()()()()()3222111211211++++--i i i i i i i i i ===---，故选D3．设函数()(),f x g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论中正确的是A ．()()f x g x 是偶函数B ．()()f x g x 是奇函数C ．()()f x g x 是奇函数D ．()()f x g x 是奇函数解析：()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，排除A()f x 是奇函数，()f x 是偶函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是偶函数，排除B()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则()()f x g x 是奇函数，C 正确()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，()()f x g x 是奇函数，则()()f x g x 是偶函数，排除D ，故选C4．已知F 为双曲线()22:30C x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A ．B ．3C D ．3m解析：双曲线的焦点到渐近线的距离为虚半轴长b A 5．4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为A ．18B ．38C ．58D ．78解析：周六没有同学的方法数为1为1，所以周六、周日都有同学参加公益活动的概率为4422728P -==，故选D 6．如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP ()f x ，则()y f x =在[]0,π的图像大致为解析：由已知1,sin ,cos OP PM x OM x ===，又()1122f x OP OM MP ⋅=，所以()1sin cos sin 22f x x x x ==，故选C 7．执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，则输出的M = A ．203 B ．72 C ．165 D ．158解析：当2n =时，33,2,22M a b ===；当3n =时，838,,323M a b ===；当4n =时，15815,,838Ma b===；此时运算终止，158M =，故选D 8．设0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭且1sin tan cos βαβ+=,则A ．32παβ-= B ．32παβ+= C ．22παβ-=D ．22παβ+=解析: 由1sin tan cos βαβ+=得sin 1sin sin cos cos cos sin cos cos αβαβααβαβ+=∴=+ 即()sin cos αβα-=,所以()sin sin 2παβα⎛⎫-=- ⎪⎝⎭,由已知0,,0,,22ππαβ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以,02222ππππαβα-<-<<-<,sin y x =在,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增,所以,222ππαβααβ-=--=,故选C9.不等式组1,24x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D,有下面四个命题()()12:,,22,:,,22,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≥-∃∈+≥()()34:,,23,:,,21,p x y D x y p x y D x y ∀∈+≤∃∈+≤-其中的真命题是 A ．23,p p B ．12,p p C ． 14,p p D ．13,p p 解析:令()()()()222x y m x y n x y m n x m n y +=++-=++-,所以122m n m n +=⎧⎨-=⎩,解得4313m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,所以()()4122033x y x y x y +=+--≥,因而可以判断12,p p 为真,故选B10.已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点,若4FP FQ =,则QF =A ．72B ．3C ． 52D ．2P解析:由已知2,2,P F x x =-=又4FP FQ =,则()442Q x -=-,1Q x ∴=,过Q 作QD 垂直于l ，垂足为D ， 所以3QF QD ==，故选B11．已知函数()3231f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是A ．()2,+∞B ．()1,+∞C ． (),2-∞-D ．(),1-∞- 解析：当0a =时， ()231f x x =-+有两个零点，不满足条件当0a ≠时，()22'363f x ax x ax x a ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()2'030f x ax x a ⎛⎫=⇒-= ⎪⎝⎭，解得20x x a==或，当0a <时，()3231f x ax x =-+在()22,0,,0a a ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和递增，递减，2241=fa a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为极小值，()01=f 为极大值，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，只需22410,a 2=f a a ⎛⎫-+><- ⎪⎝⎭即为，当0a >时，()3231f x ax x =-+在()22,0,0,a a ⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭和递增，递减，()01=f 为极大值，2241=f a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭为极小值，不可能有满足条件的极值，故选C12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A. B .6 C. D .4解析：几何体为如图所示的一个三棱锥P ABC -，底面等腰三角形，,A 4,AB BC C == 顶点B 到AC 的距离为4，面PAC ABC ⊥面，且三角形PAC 为以A 为直角的等腰直角三角形，所以棱PB最长，长度为6，故选B第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。