2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年高考全国卷1理科数学试题及标准答案-(word版)
2０14年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1． 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题）两部分。
答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动,用橡皮搽干净后,再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.３. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,答在本试题上无效.4． 考试结束,将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一.选择题：共12小题，每小题５分，共６0分。
在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的一项。
1． 已知集合A ＝｛x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x <2=,则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,２) C .[-1,1］ D ．[1，２)２. 32(1)(1)i i +-＝ A ．1i + B ．1i - C .1i -+ D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R,且()f x 时奇函数,()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x ｜()g x 是奇函数C .()f x ｜()g x ｜是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C :223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A .3 B ．３ C .3m D .3m5. ４位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78６． 如图,圆O 的半径为1，A 是圆上的定点,P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为７. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈,且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-= B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+= 9． 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题:1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P :(,),23x y D x y ∀∈+≤,4p :(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A ．2p ,3PB .1p ,4pC .1p ,2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C :28y x =的焦点为F ,准线为l ,P 是l 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个焦点,若4FP FQ =,则||QF =A .72B .52C .３D .2 11. 已知函数()f x =3231ax x -+,若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0,则a 的取值范围为A .(２,＋∞)B ．(-∞，-2）C .(1，+∞）D .(-∞，-1)12． 如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中,最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)及答案
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p310．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．211．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为_________．（用数字填写答案）14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为_________．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为_________．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为_________．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分）1．（5分）（2014•河南）已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B=（）A．[﹣2，﹣1]B．[﹣1，2）C．[﹣1，1]D．[1，2）考点：交集及其运算．专题：集合．分析：根据集合的基本运算即可得到结论．解答：解：A={x|x2﹣2x﹣3≥0}={x|x≥3或x≤﹣1}，B={x|﹣2≤x＜2}，则A∩B={x|﹣2≤x≤﹣1}，故选：A点评：本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）（2014•河南）=（）A．1+i B．1﹣i C．﹣1+i D．﹣1﹣i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：由条件利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．解答：解：==﹣（1+i）=﹣1﹣i，故选：D．点评：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3．（5分）（2014•河南）设函数f（x），g（x）的定义域都为R，且f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结论中正确的是（）A．f（x）g（x）是偶函数B．|f（x）|g（x）是奇函数C．f（x）|g（x）|是奇函数D．|f（x）g（x）|是奇函数考点：函数奇偶性的判断；函数的定义域及其求法．专题：函数的性质及应用．分析：由题意可得，|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，从而得出结论．解答：解：∵f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，∴|f（x）|为偶函数，|g（x）|为偶函数．再根据两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得f（x）|g（x）|为奇函数，故选：C．点评：本题主要考查函数的奇偶性，注意利用函数的奇偶性规律，属于基础题．4．（5分）（2014•河南）已知F为双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为（）A．B．3C．m D．3m考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：双曲线方程化为标准方程，求出焦点坐标，一条渐近线方程，利用点到直线的距离公式，可得结论．解答：解：双曲线C：x2﹣my2=3m（m＞0）可化为，∴一个焦点为（，0），一条渐近线方程为=0，∴点F到C 的一条渐近线的距离为=．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查点到直线的距离公式，属于基础题．5．（5分）（2014•河南）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A．B．C．D．考点：等可能事件的概率．专题：计算题；概率与统计．分析：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可．解答：解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，共有24=16种情况，周六、周日都有同学参加公益活动，共有24﹣2=16﹣2=14种情况，∴所求概率为=．故选：D．点评：本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数．6．（5分）（2014•河南）如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x 的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P 做直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f（x），则y=f（x）在[0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．考点：抽象函数及其应用．专题：三角函数的图像与性质．分析：在直角三角形OMP中，求出OM，注意长度、距离为正，再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f（x）的表达式，然后化简，分析周期和最值，结合图象正确选择．解答：解：在直角三角形OMP中，OP=1，∠POM=x，则OM=|cosx|，∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f（x）=OM|sinx|=|cosx|•|sinx|=|sin2x|，其周期为T=，最大值为，最小值为0，故选C．点评：本题主要考查三角函数的图象与性质，正确表示函数的表达式是解题的关键，同时考查二倍角公式的运用．7．（5分）（2014•河南）执行如图的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M=（）A．B．C．D．考点：程序框图．专题：概率与统计．分析：根据框图的流程模拟运行程序，直到不满足条件，计算输出M的值．解答：解：由程序框图知：第一次循环M=1+=，a=2，b=，n=2；第二次循环M=2+=，a=，b=，n=3；第三次循环M=+=，a=，b=，n=4．不满足条件n≤3，跳出循环体，输出M=．故选：D．点评：本题考查了当型循环结构的程序框图，根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法．8．（5分）（2014•河南）设α∈（0，），β∈（0，），且tanα=，则（）A．3α﹣β=B．3α+β=C．2α﹣β=D．2α+β=考点：三角函数的化简求值．专题：三角函数的求值．分析：化切为弦，整理后得到sin（α﹣β）=cosα，由该等式左右两边角的关系可排除选项A，B，然后验证C满足等式sin（α﹣β）=cosα，则答案可求．解答：解：由tanα=，得：，即sinαcosβ=cosαsinβ+cosα，sin（α﹣β）=cosα．由等式右边为单角α，左边为角α与β的差，可知β与2α有关．排除选项A，B后验证C，当时，sin（α﹣β）=sin（）=cosα成立．故选：C．点评：本题考查三角函数的化简求值，训练了利用排除法及验证法求解选择题，是基础题．9．（5分）（2014•河南）不等式组的解集记为D，有下列四个命题：p1：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2 p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3 p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1其中真命题是（）A．p2，p3B．p1，p4C．p1，p2D．p1，p3考点：命题的真假判断与应用．专题：不等式的解法及应用．分析：作出不等式组的表示的区域D，对四个选项逐一分析即可．解答：解：作出图形如下：由图知，区域D为直线x+y=1与x﹣2y=4相交的上部角型区域，显然，区域D在x+2y≥﹣2 区域的上方，故A：∀（x，y）∈D，x+2y≥﹣2成立；在直线x+2y=2的右上方区域，：∃（x，y）∈D，x+2y≥2，故p2：∃（x，y）∈D，x+2y≥2正确；由图知，p3：∀（x，y）∈D，x+2y≤3错误；x+2y≤﹣1的区域（左下方的虚线区域）恒在区域D下方，故p4：∃（x，y）∈D，x+2y≤﹣1错误；综上所述，p1、p2正确；故选：C．点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查作图能力，熟练作图，正确分析是关键，属于难题．10．（5分）（2014•河南）已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（）A．B．3C．D．2考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：求得直线PF的方程，与y2=8x联立可得x=1，利用|QF|=d可求．解答：解：设Q到l的距离为d，则|QF|=d，∵=4，∴|PQ|=3d，∴直线PF的斜率为﹣2，∵F（2，0），∴直线PF的方程为y=﹣2（x﹣2），与y2=8x联立可得x=1，∴|QF|=d=1+2=3，故选：B．点评：本题考查抛物线的简单性质，考查直线与抛物线的位置关系，属于基础题．11．（5分）（2014•河南）已知函数f（x）=ax3﹣3x2+1，若f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是（）A．（2，+∞）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣2）D．（﹣∞，﹣1）考点：函数在某点取得极值的条件；函数的零点．专题：导数的综合应用．分析：分类讨论：当a≥0时，容易判断出不符合题意；当a＜0时，由于而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，可知：存在x0＞0，使得f（x0）=0，要使满足条件f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，则必须极小值＞0，解出即可．解答：解：当a=0时，f（x）=﹣3x2+1=0，解得x=，函数f（x）有两个零点，不符合题意，应舍去；当a＞0时，令f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＞0，列表如下：x （﹣∞，0）0f′（x）+0 ﹣0 +f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增∵x→+∞，f（x）→+∞，而f（0）=1＞0，∴存在x＜0，使得f（x）=0，不符合条件：f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，应舍去．当a＜0时，f′（x）=3ax2﹣6x=3ax=0，解得x=0或x=＜0，列表如下：0 （0，+∞）x（﹣∞，）f′（x）﹣0 + 0 ﹣f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减而f（0）=1＞0，x→+∞时，f（x）→﹣∞，∴存在x0＞0，使得f（x0）=0，∵f（x）存在唯一的零点x0，且x0＞0，∴极小值=，化为a2＞4，∵a＜0，∴a＜﹣2．综上可知：a的取值范围是（﹣∞，﹣2）．故选：C．点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、分类讨论的思想方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．12．（5分）（2014•河南）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）A．6B．6C．4D．4考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：画出图形，结合三视图的数据求出棱长，推出结果即可．解答：解：几何体的直观图如图：AB=4，BD=4，C到BD的中点的距离为：4，∴．AC==6，AD=4，显然AC最长．长为6．故选：B．点评：本题考查三视图求解几何体的棱长，考查计算能力．二、填空题（共4小题，每小题5分）13．（5分）（2014•河南）（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为﹣20．（用数字填写答案）考点：二项式定理的应用；二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析：由题意依次求出（x+y）8中xy7，x2y6，项的系数，求和即可．解答：解：（x+y）8的展开式中，含xy7的系数是：=8．含x2y6的系数是=28，∴（x﹣y）（x+y）8的展开式中x2y7的系数为：8﹣28=﹣20．故答案为：﹣20点评：本题考查二项式定理系数的性质，二项式定理的应用，考查计算能力．14．（5分）（2014•河南）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为A．考点：进行简单的合情推理．专题：推理和证明．分析：可先由乙推出，可能去过A城市或B城市，再由甲推出只能是A，B中的一个，再由丙即可推出结论．解答：解：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A．故答案为：A．点评：本题主要考查简单的合情推理，要抓住关键，逐步推断，是一道基础题．15．（5分）（2014•河南）已知A，B，C为圆O上的三点，若=（+），则与的夹角为90°．考点：数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：根据向量之间的关系，利用圆直径的性质，即可得到结论．解答：解：在圆中若=（+），即2=+，即+的和向量是过A，O的直径，则以AB，AC为临边的四边形是矩形，则⊥，即与的夹角为90°，故答案为：90°点评：本题主要考查平面向量的夹角的计算，利用圆直径的性质是解决本题的关键，比较基础．16．（5分）（2014•河南）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由条件利用正弦定理可得b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．解答：解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA﹣sinB）=（c﹣b）sinC，∴利用正弦定理可得4﹣b2=（c﹣b）c，即b2+c2﹣bc=4．再利用基本不等式可得4≥2bc﹣bc=bc，∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，它的面积为==，故答案为：．点评：本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式，属于中档题．三、解答题17．（12分）（2014•河南）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n≠0，a n a n+1=λS n﹣1，其中λ为常数．（Ⅰ）证明：a n+2﹣a n=λ（Ⅱ）是否存在λ，使得{a n}为等差数列？并说明理由．考点：数列递推式；等差关系的确定．专题：等差数列与等比数列．分析：（Ⅰ）利用a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，相减即可得出；（Ⅱ）对λ分类讨论：λ=0直接验证即可；λ≠0，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．可得λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，．得到λS n=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ即可．解答：（Ⅰ）证明：∵a n a n+1=λS n﹣1，a n+1a n+2=λS n+1﹣1，∴a n+1（a n+2﹣a n）=λa n+1∵a n+1≠0，∴a n+2﹣a n=λ．（Ⅱ）解：①当λ=0时，a n a n+1=﹣1，假设{a n}为等差数列，设公差为d．则a n+2﹣a n=0，∴2d=0，解得d=0，∴a n=a n+1=1，∴12=﹣1，矛盾，因此λ=0时{a n}不为等差数列．②当λ≠0时，假设存在λ，使得{a n}为等差数列，设公差为d．则λ=a n+2﹣a n=（a n+2﹣a n+1）+（a n+1﹣a n）=2d，∴．∴，，∴λS n=1+=，根据{a n}为等差数列的充要条件是，解得λ=4．此时可得，a n=2n﹣1．因此存在λ=4，使得{a n}为等差数列．点评：本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法，属于难题．18．（12分）（2014•河南）从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（Ⅰ）求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2（同一组中数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（i）利用该正态分布，求P（187.8＜Z＜212.2）；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X表示这100件产品中质量指标值位于区间（187.8，212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求EX．附：≈12.2．若Z﹣N（μ，σ2）则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）=0.9544．考点：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义；离散型随机变量的期望与方差．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）运用离散型随机变量的期望和方差公式，即可求出；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而求出P（187.8＜Z＜212.2），注意运用所给数据；（ii）由（i）知X～B（100，0.6826），运用EX=np即可求得．解答：解：（Ⅰ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200，s2=（﹣30）2×0.02+（﹣20）2×0.09+（﹣10）2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150．（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知Z～N（200，150），从而P（187.8＜Z＜212.2）=P（200﹣12.2＜Z＜200+12.2）=0.6826；（ii）由（i）知一件产品的质量指标值位于区间（187.8，212.2）的概率为0.6826，依题意知X～B（100，0.6826），所以EX=100×0.6826=68.26．点评：本题主要考查离散型随机变量的期望和方差，以及正态分布的特点及概率求解，考查运算能力．19．（12分）（2014•河南）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．考点：用空间向量求平面间的夹角；空间向量的夹角与距离求解公式．专题：空间向量及应用．分析：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．解答：解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为点评：本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）（2014•河南）已知点A（0，﹣2），椭圆E：+=1（a＞b＞0）的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．（Ⅰ）求E的方程；（Ⅱ）设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方程．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）设F（c，0），利用直线的斜率公式可得，可得c．又，b2=a2﹣c2，即可解得a，b；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，再利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式即可得出S△OPQ．通过换元再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（Ⅰ）设F（c，0），∵直线AF的斜率为，∴，解得c=．又，b2=a2﹣c2，解得a=2，b=1．∴椭圆E的方程为；（Ⅱ）设P（x1，y1），Q（x2，y2）．由题意可设直线l的方程为：y=kx﹣2．联立，化为（1+4k2）x2﹣16kx+12=0，当△=16（4k2﹣3）＞0时，即时，，．∴|PQ|===，点O到直线l的距离d=．∴S△OPQ==，设＞0，则4k2=t2+3，∴==1，当且仅当t=2，即，解得时取等号．满足△＞0，∴△OPQ的面积最大时直线l的方程为：．点评：本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、斜率计算公式、椭圆的方程联立可得根与系数的关系、弦长公式、点到直线的距离公式、三角形的面积计算公式、基本不等式的性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了换元法和转化方法，属于难题．21．（12分）（2014•河南）设函数f（x）=ae x lnx+，曲线y=f（x）在点（1，f（1））处得切线方程为y=e（x ﹣1）+2．（Ⅰ）求a、b；（Ⅱ）证明：f（x）＞1．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：综合题；导数的综合应用．分析：（Ⅰ）求出定义域，导数f′（x），根据题意有f（1）=2，f′（1）=e，解出即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，函数h（x）=，只需证明g（x）min＞h（x）max，利用导数可分别求得g（x）min，h（x）max；解答：解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=+，由题意可得f（1）=2，f′（1）=e，故a=1，b=2；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x lnx+，从而f（x）＞1等价于xlnx＞xe﹣x﹣，设函数g（x）=xlnx，则g′（x）=1+lnx，∴当x∈（0，）时，g′（x）＜0；当x∈（，+∞）时，g′（x）＞0．故g（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（）=﹣．设函数h（x）=，则h′（x）=e﹣x（1﹣x）．∴当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=﹣．综上，当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．点评：本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力．四、选做题（22-24题任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分）选修4-1：集合证明选讲22．（10分）（2014•河南）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E，且CB=CE．（Ⅰ）证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，且MB=MC，证明：△ADE为等边三角形．考点：与圆有关的比例线段．专题：选作题；几何证明．分析：（Ⅰ）利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形，可得∠D=∠CBE，由CB=CE，可得∠E=∠CBE，即可证明：∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，证明AD∥BC，可得∠A=∠CBE，进而可得∠A=∠E，即可证明△ADE 为等边三角形．解答：证明：（Ⅰ）∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∴∠D=∠CBE，∵CB=CE，∴∠E=∠CBE，∴∠D=∠E；（Ⅱ）设BC的中点为N，连接MN，则由MB=MC知MN⊥BC，∴O在直线MN上，∵AD不是⊙O的直径，AD的中点为M，∴OM⊥AD，∴AD∥BC，∴∠A=∠CBE，∵∠CBE=∠E，∴∠A=∠E，由（Ⅰ）知，∠D=∠E，∴△ADE为等边三角形．点评：本题考查圆的内接四边形性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．选修4-4：坐标系与参数方程23．（2014•河南）已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数）（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程．（Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）联想三角函数的平方关系可取x=2cosθ、y=3sinθ得曲线C的参数方程，直接消掉参数t得直线l的普通方程；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离，除以sin30°进一步得到|PA|，化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值．解答：解：（Ⅰ）对于曲线C：+=1，可令x=2cosθ、y=3sinθ，故曲线C的参数方程为，（θ为参数）．对于直线l：，由①得：t=x﹣2，代入②并整理得：2x+y﹣6=0；（Ⅱ）设曲线C上任意一点P（2cosθ，3sinθ）．P到直线l的距离为．则，其中α为锐角．当sin（θ+α）=﹣1时，|PA|取得最大值，最大值为．当sin（θ+α）=1时，|PA|取得最小值，最小值为．点评：本题考查普通方程与参数方程的互化，训练了点到直线的距离公式，体现了数学转化思想方法，是中档题．选修4-5：不等式选讲24．（2014•河南）若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并说明理由．考点：基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）由条件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根据ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，从而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，当且仅当a=b=时取等号．∵a3+b3 ≥2≥2=4，当且仅当a=b=时取等号，∴a3+b3的最小值为4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．点评：本题主要考查基本不等式在最值中的应用，要注意检验等号成立条件是否具备，属于基础题．参与本试卷答题和审题的老师有：lincy；caoqz；wyz123；刘长柏；sxs123；wfy814；孙佑中；minqi5；清风慕竹；maths；qiss（排名不分先后）菁优网2014年6月23日。
2014年全国高考理科数学试题及答案-全国卷
22 3 1y + = + = + 2 2 + = 2014 年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.10i1. 设 z =3 + i，则 z 的共轭复数为（）A ． -1+ 3iB ． -1- 3iC ．1+ 3iD ．1- 3i2. 设集合 M = {x | x 2- 3x - 4 < 0}， N = {x | 0 ≤ x ≤ 5}，则 MN = （）A ． (0, 4]B ．[0, 4)C ．[-1, 0)D ． (-1, 0]3. 设 a = sin 330， b = cos 550， c = tan 350，则（）A. a > b > cB. b > c > aC. c > b > aD. c > a > b4. 若向量 a , b 满足：| a |= 1， (a + b ) ⊥ a ， (2a + b ) ⊥ b ，则| b |= （）A ．2B ．C ．1D ．25. 有 6 名男医生、5 名女医生，从中选出 2 名男医生、1 名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（ ）A ．60 种B ．70 种C ．75 种D ．150 种x 2 y 2 6.已知椭圆 C ： + a 2 b 2 = 1 (a > b > 0) 的左、右焦点为 F 1 、 F 2，离心率为 3，过 F 2 的直线l 交 C 于 A 、B 两点，若∆AF 1B 的周长为4，则 C 的方程为（）x 2 y 2A ．B ．x= 1 x 2 y 2C ． x 2y 2D ． 13 2312 812 47. 曲线 y = xex -1在点（1,1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．18. 正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为 4，底面边长为 2，则该球的表面积为（ ）81 A ．B ．164C. 927 D.49. 已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 F 1 、 F 2 ，点 A 在 C 上，若| F 1 A |= 2 | F 2 A | ，则cos ∠AF 2 F 1 =3 122 23y x⎪⎩1 （）1 1 A.B ．C ．D ．434310. 等比数列{a n }中， a 4 = 2, a 5 = 5 ，则数列{lg a n } 的前 8 项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角- l - 为600 ， AB ⊂， AB ⊥ l ，A 为垂足， CD ⊂， C ∈ l ，∠ACD = 1350 ，则异面直线 AB 与 CD 所成角的余弦值为（）1 1A.B ．C ．D ．444212. 函数 y =f (x ) 的图象与函数 y =g (x ) 的图象关于直线 x + y = 0 对称，则 y = f (x ) 的反函数是（）A. y = g (x )B. y = g (-x )C. y = -g (x )D ． y = -g (-x )第Ⅱ卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.(x - y )8的展开式中 x 2 y 2 的系数为 .⎧ x - y ≥ 014.设 x 、y 满足约束条件⎨x + 2 y ≤ 3 ，则 z = x + 4 y 的最大值为.⎪ x - 2 y ≤ 115.直线l 1 和l 2 是圆 x 2+ y 2= 2 的两条切线，若l 与l 的交点为（1,3），则l 1 与l 2 的夹角的正切值 等于.16.若函数 f (x ) = cos 2x + a sin x 在区间( , ) 是减函数，则 a 的取值范围是.6 2三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分 10 分）∆ABC 的内角 A 、B 、C 的对边分别为 a 、b 、c ，已知3a cos C = 2c cos A ， tan A =18.（本小题满分 12 分）等差数列{a n }的前 n 项和为 S n ，已知 a 1 = 10 ， a 2 为整数，且 S n ≤ S 4 .（1） 求{a n }的通项公式；1，求 B.323 =a a 11（2） 设b nn n +1，求数列{b n }的前 n 项和T n . 19. （本小题满分 12 分）如图，三棱柱 ABC - A 1B 1C 1 中，点 A 1 在平面 ABC 内的射 影D 在 AC 上， ∠ACB = 900， BC = 1, AC = CC = 2 . （1） 证明： AC 1 ⊥ A 1B ；（2） 设直线 AA 1 与平面 BCC 1B 1 的距离为，求二面角A 1 - AB -C 的大小.20. （本小题满分 12 分）设每个工作日甲、乙、丙、丁 4 人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4 ，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少 3 人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求 X 的数学期望. 21. （本小题满分 12 分）已知抛物线 C ： y 2= 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，直线 y = 4 与 y 轴的交点为 P ，与 C 的交点为 Q ，5且| QF |= | PQ | .4（1） 求 C 的方程；（2） 过 F 的直线l 与 C 相交于 A 、B 两点，若 AB 的垂直平分线l '与 C 相较于 M 、N 两点，且 A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程. 22. （本小题满分 12 分）函数 f (x ) = ln(x +1) -（1）讨论 f (x ) 的单调性；axx + a(a > 1) .2 3 （2）设 a 1 = 1, a n +1 = ln(a n +1) ，证明：n +2< a n ≤n + 2.3 10 3n 13一、选择题：参考答案1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：4 13. 70 14.5 15.16. (-∞, 2]3三、解答题：17.（本小题满分 10 分）解：由题设和正弦定理得3sin A cos C = 2 sin C cos A 故 3 tan A c os C = 2 s in C1因为tan A =1，所以cos C = 2 sin C3 即 tan C = ……………………………6 分2所以tan B = tan[180- ( A + C )]= - tan( A + C )= tan A + tan C tan A tan C -1 ……………8 分 = -1即 B = 135................................................................10 分18.（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）由 a 1 = 10 ， a 2 为整数知，等差数列{a n }的公差 d为整数又 S n ≤ S 4 ，故 a 4 ≥ 0, a 5 ≤ 0 即 10 + 3d ≥ 0,10 + 4d ≤ 0 10 5 解得 - ≤ d ≤ - 3 2 因此d = -3 数列{a n }的通项公式为 a n = 13 - 3n ............................................. 6 分11 1 1（Ⅱ） b n = (13 - 3n )(10 - 3n ) = ⋅ ( - - - 3n) ................................8 分3于是T n = b 1 + b 2 +... + b n= 1 [( 1 - 1 ) + ( 1 - 1 ) +... + ( 1 - 1 )] 3 7 10 4 7 10 - 3n 13 - 3n = 1 (1 - 1 ) 3 10 - 3n = n10(10 - 3n )10……………….12 分19.（本小题满分 12 分）解法一：（Ⅰ）因为 A 1D ⊥ 平面 ABC , A 1D ⊂ 平面 AA 1C 1C ，故平面AA 1C 1C ⊥ 平面 ABC ， 又 BC ⊥ AC ，所以 BC ⊥ 平面AA 1C 1C ， ......... 3 分连结 A 1C ，因为侧面 AA 1C 1C 为菱形，故AC 1 ⊥ A 1C由三垂线定理得 AC 1 ⊥ A 1B ............ 5 分（Ⅱ） BC ⊥ 平面 AA 1C 1C , BC ⊂ 平面 BCC 1B 1 ，故平面AA 1C 1C ⊥ 平面 BCC 1B 1作 A 1E ⊥ CC 1 , E 为垂足，则 A 1E ⊥ 平面 BCC 1B 1又直线 AA 1 // 平面 BCC 1B 1 ，因而 A 1E 为直线 AA 1 与平面 BCC 1B 1 的距离，A 1E = 因为 A 1C 为∠ACC 1 的平分线，故 A 1D = A 1E =………………8 分作 DF ⊥ AB , F 为垂足，连结 A 1F ，由三垂线定理得 A 1F ⊥ AB ， 故∠A 1FD 为二面角 A 1 - AB - C 的平面角 由 AD =DF = 1 ⨯ AC ⨯ BC == 1得 D 为 AC 中点，5 ， tan ∠A FD = A 1D = 2 AB 51DF所以二面角 A 1 - AB - C 的大小为arctan ………………12 分解法二：以 C 为坐标原点，射线 CA 为 x 轴的正半轴，以 CB 的长为单位长，建立如图所示的空间3 AA 2 - A D 21 115153 直角坐标系C - xyz ，由题设知 A 1D 与 z 轴平行， x 轴在平面 AA 1C 1C 内（Ⅰ）设 A 1 (a , 0, c ) ，由题设有 a ≤ 2 ， A (2, 0, 0) ，B (0,1, 0) ，则 AB = (-2,1, 0) ， AC = (-2, 0, 0) ， AA 1 = (a - 2, 0, c ) ，AC 1 = AC + AA 1 = (a - 4, 0, c ) ， BA 1 = (a , -1, c ) .................... 2 分由| AA 1 |= 2 得 a 2 - 4 a + c 2 = 0= 2 ，即①于是 AC ⋅ BA = a 2- 4a + c 2= 0 ，所以 AC ⊥ A B ............................... 5 分1111（Ⅱ）设平面 BCC 1B 1 的法向量 m = (x , y , z ) ，则 m ⊥ CB , m ⊥ BB 1 ，即 m ⋅ CB = 0 ，m ⋅ BB 1 = 0因为CB = (0,1, 0) ， BB 1 = AA 1 = (a - 2, 0, c ) ，故 y = 0 ，且(a - 2)x + cz = 0 令 x = c ，则 z = 2 - a ， m = (c , 0, 2 - a ) ，点 A 到平面 BCC 1B 1 的距离为| CA ⋅ m | 2c| CA | ⋅ | cos < m , C A >|= = = c| m | c 2 + (2 - a )2又依题设， A 到平面 BCC 1B 1 的距离为 ，所以c = 代入①解得 a = 3 （舍去）或 a = 1 于是 AA 1 = (-1, 0, 3)………………………………………8 分设平面 ABA 1 的法向量 n = ( p , q , r ) ，则 n ⊥ AA 1 , n ⊥ AB ，即 n ⋅ AA 1 = 0 ，n ⋅ AB = 0 ，- p + 3r = 0 且-2 p + q = 0 ，令 p = ，则 q = 2 ， r = 1，n = ( 3, 2 3,1) ，又 p = (0, 0,1) 为平面 ABC 的法向量，故(a - 2)2+ c 233 3cos <n, p >= n ⋅p =1| n | ⋅ | p | 41所以二面角A1-AB -C 的大小为arccos4 ............................12 分20.（本小题满分12 分）解：记A i 表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备，i = 0,1, 2 ，B 表示事件：甲需使用设备，C 表示事件：丁需使用设备，D 表示事件：同一工作日至少3 人需使用设备（Ⅰ）D =A1⋅B ⋅C +A2 ⋅B +A2 ⋅B ⋅CP(B) = 0.6, P(C) = 0.4, P( A ) =C i ⨯0.52 , i = 0,1, 2 .......... 3 分i 2所以 P(D) =P( A1 ⋅B ⋅C +A2 ⋅B +A2 ⋅B ⋅C)=P( A1 ⋅B ⋅C) +P( A2⋅B) +P( A2⋅B ⋅C)=P( A1 ) ⋅P(B) ⋅P(C) +P( A2) ⋅P(B) +P( A2) ⋅P(B) ⋅P(C)= 0.31 ................................................ 6 分（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3，4，其分布列为P(= 0) =P(B ⋅A⋅C)=P(B) ⋅P( A) ⋅P(C)= (1- 0.6) ⨯ 0.52 ⨯(1- 0.4)= 0.06P(= 1) =P(B ⋅A0 ⋅C +B ⋅A⋅C +B ⋅A1⋅C)=P(B) ⋅P( A0 ) ⋅P(C) +P(B) ⋅P( A) ⋅P(C) +P(B) ⋅P( A1) ⋅P(C)= 0.6 ⨯ 0.52 ⨯(1- 0.4) + (1- 0.6) ⨯ 0.52 ⨯ 0.4 + (1- 0.6) ⨯ 0.52 ⨯(1- 0.4)= 0.25P(= 4) =P( A ⋅B ⋅C) =P( A ) ⋅P(B) ⋅P(C) = 0.52 ⨯ 0.6 ⨯ 0.4 = 0.062 2P(= 3) =P(D) -P(= 4) = 0.25P(= 2) = 1-P(= 0) -P(= 1) -P(= 3) -P(= 4)= 1- 0.06 - 0.25 - 0.25 - 0.06= 0.38 ....................................................................................... 10 分数学期望EX = 0 ⨯ P (= 0) +1⨯ P (= 1) + 2 ⨯ P (= 2) + 3⨯ P (= 3) + 4 ⨯ P (= 4)= 0.25 + 2 ⨯ 0.38 + 3⨯ 0.25 + 4 ⨯ 0.06= 2 ................................................................................ 12 分21.（本小题满分 12 分）解：（Ⅰ）设Q (x , 4) ，代入 y 2= 2 px 得 x = 8p8 pp 8所以| PQ |= ,| QF |= + x = + p 2 02 p p 8 5 8由题设得 + = ⨯ ，解得 p = -2 （舍去）或 p = 22 p 4 p所以 C 的方程为 y 2= 4x ..................................................... 5 分 （Ⅱ）依题意知l 与坐标轴不垂直，故可设l 的方程为 x = my +1(m ≠ 0)代入 y 2= 4x 得y 2 - 4my - 4 = 0设 A (x 1 , y 1 ), B (x 2 , y 2 ) ，则 y 1 + y 2 = 4m , y 1 y 2 = -4故 AB 的中点为 D (2m 2 +1.2m ),| AB |= | y - y |= 4(m 2+1)又l ' 的斜率为-m ，所以l ' 的方程为 x = - 1 m1 2y + 2m 2 + 3将上式代入 y 2 = 4x ，并整理得 y 2 + 4 y - 4(2m 2+ 3) = 0m设 M (x , y ), N (x , y ) ，则 y + y = - 4 , y y = -4(2m 2+ 3)3 34 4故 MN 的中点为3 4 m 3 4E ( 2 + 2m 2 m 2 + 3, - 2) ，| MN |m| y 3 - y 4|= …10 分m 21由于 MN 垂直平分 AB ，故 A , M , B , N 四点在同一圆上等价于| AE |=| BE |= 从而 1 | AB |2 + | DE |2= 1 | MN |244| MN |，2即4(m 2+1)2+ (2m + 2)2 + ( 2 + 2)2 =4(m 2 +1)2 (2m 2 +1) m m 2 m 4化简得 m 2-1 = 0 ，解得 m = 1或 m = -1m 2 +1 1+ 1 m 2 4(m 2 +1) 2m 2 +12 23 所求直线l 的方程为 x - y -1 = 0 或 x + y -1 = 0 ...................................... 12 分22.（本小题满分 12 分） 解：（Ⅰ） f (x ) 的定义域为(-1, +∞), f '(x ) = 2[x - (a 2 - 2a )] (x +1)(x + a )2………………….2 分（ⅰ）当1 < a < 2 时，若 x ∈(-1, a 2 - 2a ) ，则 f '(x ) > 0 ， f (x ) 在(-1, a 2- 2a ) 是增函数；若 x ∈(a 2- 2a , 0) ，则 f '(x ) < 0 ， f (x ) 在(a 2- 2a , 0) 是减函数；若 x ∈(0, +∞) ，则 f '(x ) > 0 ， f (x ) 在(0, +∞) 是增函数； ............... 4 分（ⅱ）当 a = 2 时， f '(x ) ≥ 0 ， f '(x ) = 0 成立当且仅当 x = 0 ， f (x ) 在(-1, +∞) 是增函数； （ⅲ）当 a > 2 时，若 x ∈(-1, 0) ，则 f '(x ) > 0 ， f (x ) 在(-1, 0) 是增函数；若 x ∈(0, a 2- 2a ) ，则 f '(x ) < 0 ， f (x ) 在(0, a 2- 2a ) 是减函数；若 x ∈(a 2- 2a , +∞) ，则 f '(x ) > 0 ， f (x ) 在(a 2- 2a , +∞) 是增函数；……6 分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当 a = 2 时， f (x ) 在(-1, +∞) 是增函数，2x当 x ∈(0, +∞) 时， f (x ) > f (0) = 0 ，即ln(x +1) >x + 2(x > 0)又由（Ⅰ）知，当 a = 3 时， f (x ) 在[0, 3) 是减函数， 3x当 x ∈(0, 3) 时， f (x ) < f (0) = 0 ，即ln(x +1) <23x + 3(0 < x < 3) .......................... 9 分下面用数学归纳法证明n + 2 < a n ≤n + 2（ⅰ）当 n = 1 时，由已知 3< a 1 = 1 ，故结论成立； （ⅱ）设当 n = k 时结论成立，即k + 2 < a k ≤ k + 2当 n = k +1 时，a k +1= ln(a k+1) > ln(2 k + 2+1) > 2 ⨯ 2k + 2 = 2 + 2 2 k + 3 k + 23⨯ 3a k +1 = ln(a k +1) ≤ ln( 3 k + 2 +1) > k + 2 = 3 + 3 3 k + 3k + 22 3即当 n = k +1 时有k + 3 < a k +1 ≤ k + 3，结论成立。
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学全国Ⅰ卷试卷及参考答案与试题解析
2014年全国统一高考数学试卷高考理科数学全国Ⅰ卷全国1卷试卷及参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0},B＝{x|－2≤x＜2},则A∩B＝( )A.[1,2)B.[－1,1]C.[－1,2)D.[－2,－1]2.(5分)＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数4.(5分)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y＝f(x)在[0,π]的图象大致为( )A. B. C.D.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M＝( )A. B. C. D.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα＝,则( )A.3α－β＝B.3α＋β＝C.2α－β＝D.2α＋β＝9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题：p 1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2 p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2p 3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3 p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p310.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若＝4,则|QF|＝( )A. B.3 C. D.211.(5分)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x＞0,则实数a的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)D.(－∞,－2)12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为.(用数字填写答案)14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若＝(＋),则与的夹角为.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,则△ABC面积的最大值为.三、解答题17.(12分)已知数列{an }的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,anan＋1＝λSn－1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明：an＋2－an＝λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列？并说明理由.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8＜Z＜212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2)则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明：AC＝AB1；(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A－A1B1－C1的余弦值.20.(12分)已知点A(0,－2),椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为,F是椭圆的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(Ⅰ)求E的方程；(Ⅱ)设过点A的直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.21.(12分)设函数f(x)＝ae x lnx＋,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y＝e(x－1)＋2.(Ⅰ)求a、b；(Ⅱ)证明：f(x)＞1.选修4-1：几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB ＝CE.(Ⅰ)证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB＝MC,证明：△ADE为等边三角形.选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线C：＋＝1,直线l：(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 选修4-5：不等式选讲24.若a＞0,b＞0,且＋＝.(Ⅰ)求a3＋b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并说明理由.2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标Ⅰ)参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分)1.(5分)已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0},B＝{x|－2≤x＜2},则A∩B＝( )A.[1,2)B.[－1,1]C.[－1,2)D.[－2,－1]【分析】求出A中不等式的解集确定出A,找出A与B的交集即可.【解答】解：由A中不等式变形得：(x－3)(x＋1)≥0,解得：x≥3或x≤－1,即A＝(－∞,－1]∪[3,＋∞),∵B＝[－2,2),∴A∩B＝[－2,－1].故选：D.【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.2.(5分)＝( )A.1＋iB.1－iC.－1＋iD.－1－i【分析】由条件利用两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,计算求得结果.【解答】解：＝＝－(1＋i)＝－1－i,故选：D.【点评】本题主要考查两个复数代数形式的乘除法,虚数单位i的幂运算性质,属于基础题.3.(5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是( )A.f(x)•g(x)是偶函数B.|f(x)|•g(x)是奇函数C.f(x)•|g(x)|是奇函数D.|f(x)•g(x)|是奇函数【分析】根据函数奇偶性的性质即可得到结论.【解答】解：∵f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,∴f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),f(－x)•g(－x)＝－f(x)•g(x),故函数是奇函数,故A错误,|f(－x)|•g(－x)＝|f(x)|•g(x)为偶函数,故B错误,f(－x)•|g(－x)|＝－f(x)•|g(x)|是奇函数,故C正确.|f(－x)•g(－x)|＝|f(x)•g(x)|为偶函数,故D错误,故选：C.【点评】本题主要考查函数奇偶性的判断,根据函数奇偶性的定义是解决本题的关键.4.(5分)已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)的一个焦点,则点F到C的一条渐近线的距离为( )A. B.3 C.m D.3m【分析】双曲线方程化为标准方程,求出焦点坐标,一条渐近线方程,利用点到直线的距离公式,可得结论.【解答】解：双曲线C：x2－my2＝3m(m＞0)可化为,∴一个焦点为(,0),一条渐近线方程为＝0,∴点F到C的一条渐近线的距离为＝.故选：A.【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查点到直线的距离公式,属于基础题.5.(5分)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A. B. C. D.【分析】求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况,利用古典概型概率公式求解即可.【解答】解：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24＝16种情况, 周六、周日都有同学参加公益活动,共有24－2＝16－2＝14种情况,∴所求概率为＝.故选：D.【点评】本题考查古典概型,是一个古典概型与排列组合结合的问题,解题时先要判断该概率模型是不是古典概型,再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数.6.(5分)如图,圆O的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点,角x的始边为射线OA,终边为射线OP,过点P做直线OA的垂线,垂足为M,将点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x),则y＝f(x)在[0,π]的图象大致为( )A. B. C.D.【分析】在直角三角形OMP中,求出OM,注意长度、距离为正,再根据直角三角形的锐角三角函数的定义即可得到f(x)的表达式,然后化简,分析周期和最值,结合图象正确选择.【解答】解：在直角三角形OMP中,OP＝1,∠POM＝x,则OM＝|cosx|,∴点M到直线OP的距离表示为x的函数f(x)＝OM|sinx|＝|cosx|•|sinx|＝|sin2x|,其周期为T＝,最大值为,最小值为0,故选：C.【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质,正确表示函数的表达式是解题的关键,同时考查二倍角公式的运用.7.(5分)执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M＝( )A. B. C. D.【分析】根据框图的流程模拟运行程序,直到不满足条件,计算输出M的值.【解答】解：由程序框图知：第一次循环M＝1＋＝,a＝2,b＝,n＝2；第二次循环M＝2＋＝,a＝,b＝,n＝3；第三次循环M＝＋＝,a＝,b＝,n＝4.不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M＝.故选：D.【点评】本题考查了当型循环结构的程序框图,根据框图的流程模拟运行程序是解答此类问题的常用方法.8.(5分)设α∈(0,),β∈(0,),且tanα＝,则( )A.3α－β＝B.3α＋β＝C.2α－β＝D.2α＋β＝【分析】化切为弦,整理后得到sin(α－β)＝cosα,由该等式左右两边角的关系可排除选项A,B,然后验证C满足等式sin(α－β)＝cosα,则答案可求.【解答】解：由tanα＝,得：,即sinαcosβ＝cosαsinβ＋cosα,sin(α－β)＝cosα＝sin(),∵α∈(0,),β∈(0,),∴当时,sin(α－β)＝sin()＝cosα成立.故选：C.【点评】本题考查三角函数的化简求值,训练了利用排除法及验证法求解选择题,是基础题.9.(5分)不等式组的解集记为D,有下列四个命题：p 1：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2 p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2p 3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3 p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1其中真命题是( )A.p2,p3B.p1,p4C.p1,p2D.p1,p3【分析】作出不等式组的表示的区域D,对四个选项逐一分析即可. 【解答】解：作出图形如下：由图知,区域D为直线x＋y＝1与x－2y＝4相交的上部角型区域,p1：区域D在x＋2y≥－2 区域的上方,故：∀(x,y)∈D,x＋2y≥－2成立；p 2：在直线x＋2y＝2的右上方和区域D重叠的区域内,∃(x,y)∈D,x＋2y≥2,故p2：∃(x,y)∈D,x＋2y≥2正确；p 3：由图知,区域D有部分在直线x＋2y＝3的上方,因此p3：∀(x,y)∈D,x＋2y≤3错误；p 4：x＋2y≤－1的区域(左下方的虚线区域)恒在区域D下方,故p4：∃(x,y)∈D,x＋2y≤－1错误；综上所述,p1、p2正确；故选：C.【点评】本题考查命题的真假判断与应用,着重考查作图能力,熟练作图,正确分析是关键,属于难题.10.(5分)已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F,准线为l,P是l上一点,Q是直线PF与C的一个交点,若＝4,则|QF|＝( )A. B.3 C. D.2【分析】求得直线PF的方程,与y2＝8x联立可得x＝1,利用|QF|＝d可求.【解答】解：设Q到l的距离为d,则|QF|＝d,∵＝4,∴|PQ|＝3d,∴不妨设直线PF的斜率为－＝－2,∵F(2,0),∴直线PF的方程为y＝－2(x－2),与y2＝8x联立可得x＝1,∴|QF|＝d＝1＋2＝3,故选：B.【点评】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线的位置关系,属于基础题.11.(5分)已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x＞0,则实数a的取值范围是( )A.(1,＋∞)B.(2,＋∞)C.(－∞,－1)D.(－∞,－2)【分析】由题意可得f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),f(0)＝1；分类讨论确定函数的零点的个数及位置即可.【解答】解：∵f(x)＝ax3－3x2＋1,∴f′(x)＝3ax2－6x＝3x(ax－2),f(0)＝1；①当a＝0时,f(x)＝－3x2＋1有两个零点,不成立；②当a＞0时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上有零点,故不成立；③当a＜0时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(0,＋∞)上有且只有一个零点；故f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上没有零点；而当x＝时,f(x)＝ax3－3x2＋1在(－∞,0)上取得最小值；故f()＝－3•＋1＞0；故a＜－2；综上所述,实数a的取值范围是(－∞,－2)；故选：D.【点评】本题考查了导数的综合应用及分类讨论的思想应用,同时考查了函数的零点的判定的应用,属于基础题.12.(5分)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )A.6B.6C.4D.4【分析】画出图形,结合三视图的数据求出棱长,推出结果即可.【解答】解：几何体的直观图如图：AB＝4,BD＝4,C到BD的中点的距离为：4,∴.AC＝＝6,AD＝4,显然AC最长.长为6.故选：B.【点评】本题考查三视图求解几何体的棱长,考查计算能力.二、填空题(共4小题,每小题5分)13.(5分)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为－20 .(用数字填写答案)【分析】由题意依次求出(x＋y)8中xy7,x2y6,项的系数,求和即可.【解答】解：(x＋y)8的展开式中,含xy7的系数是：8.含x2y6的系数是28,∴(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为：8－28＝－20.故答案为：－20【点评】本题考查二项式定理系数的性质,二项式定理的应用,考查计算能力.14.(5分)甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C三个城市时,甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市；乙说：我没去过C城市；丙说：我们三人去过同一城市；由此可判断乙去过的城市为 A .【分析】可先由乙推出,可能去过A城市或B城市,再由甲推出只能是A,B中的一个,再由丙即可推出结论.【解答】解：由乙说：我没去过C城市,则乙可能去过A城市或B城市,但甲说：我去过的城市比乙多,但没去过B城市,则乙只能是去过A,B中的任一个,再由丙说：我们三人去过同一城市,则由此可判断乙去过的城市为A.故答案为：A.【点评】本题主要考查简单的合情推理,要抓住关键,逐步推断,是一道基础题.15.(5分)已知A,B,C为圆O上的三点,若＝(＋),则与的夹角为90°. 【分析】根据向量之间的关系,利用圆直径的性质,即可得到结论.【解答】解：在圆中若＝(＋),即2＝＋,即＋的和向量是过A,O的直径,则以AB,AC为邻边的四边形是矩形,则⊥,即与的夹角为90°,故答案为：90°【点评】本题主要考查平面向量的夹角的计算,利用圆直径的性质是解决本题的关键,比较基础.16.(5分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边,a＝2且(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC,则△ABC面积的最大值为.【分析】由正弦定理化简已知可得2a－b2＝c2－bc,结合余弦定理可求A的值,由基本不等式可求bc≤4,再利用三角形面积公式即可计算得解.【解答】解：因为：(2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC⇒(2＋b)(a－b)＝(c－b)c⇒2a－b2＝c2－bc,又因为：a＝2,所以：,△ABC面积,而b2＋c2－a2＝bc⇒b2＋c2－bc＝a2⇒b2＋c2－bc＝4⇒bc≤4所以：,即△ABC面积的最大值为.故答案为：.【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,基本不等式,三角形面积公式在解三角形中的应用,考查了计算能力和转化思想,属于中档题.三、解答题17.(12分)已知数列{an }的前n项和为Sn,a1＝1,an≠0,anan＋1＝λSn－1,其中λ为常数.(Ⅰ)证明：an＋2－an＝λ(Ⅱ)是否存在λ,使得{an}为等差数列？并说明理由.【分析】(Ⅰ)利用an an＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,相减即可得出；(Ⅱ)对λ分类讨论：λ＝0直接验证即可；λ≠0,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.可得λ＝an＋2－an＝(an＋2－an＋1)＋(an＋1－an)＝2d,.得到λSn＝,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ即可.【解答】(Ⅰ)证明：∵an an＋1＝λSn－1,an＋1an＋2＝λSn＋1－1,∴an＋1(an＋2－an)＝λan＋1∵an＋1≠0,∴an＋2－an＝λ.(Ⅱ)解：①当λ＝0时,an an＋1＝－1,假设{an}为等差数列,设公差为d.则an＋2－an＝0,∴2d＝0,解得d＝0,∴an ＝an＋1＝1,∴12＝－1,矛盾,因此λ＝0时{an}不为等差数列.②当λ≠0时,假设存在λ,使得{an}为等差数列,设公差为d.则λ＝an＋2－an＝(an＋2－an＋1)＋(an＋1－an)＝2d,∴.∴,,∴λSn＝1＋＝,根据{an}为等差数列的充要条件是,解得λ＝4.此时可得,an＝2n－1.因此存在λ＝4,使得{an}为等差数列.【点评】本题考查了递推式的意义、等差数列的通项公式及其前n项和公式、等差数列的充要条件等基础知识与基本技能方法,考查了推理能力和计算能力、分类讨论的思想方法,属于难题.18.(12分)从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：(Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表)；(Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.(i)利用该正态分布,求P(187.8＜Z＜212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX.附：≈12.2.若Z～N(μ,σ2)则P(μ－σ＜Z＜μ＋σ)＝0.6826,P(μ－2σ＜Z＜μ＋2σ)＝0.9544. 【分析】(Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出；(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150),从而求出P(187.8＜Z＜212.2),注意运用所给数据；(ii)由(i)知X～B(100,0.6826),运用EX＝np即可求得.【解答】解：(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为：＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200,s2＝(－30)2×0.02＋(－20)2×0.09＋(－10)2×0.22＋0×0.33＋102×0.24＋202×0.08＋302×0.02＝150.(Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z～N(200,150),从而P(187.8＜Z＜212.2)＝P(200－12.2＜Z＜200＋12.2)＝0.6826；(ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826,依题意知X～B(100,0.6826),所以EX＝100×0.6826＝68.26.【点评】本题主要考查离散型随机变量的期望和方差,以及正态分布的特点及概率求解,考查运算能力.19.(12分)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,AB⊥B1C.(Ⅰ)证明：AC＝AB1；(Ⅱ)若AC⊥AB1,∠CBB1＝60°,AB＝BC,求二面角A－A1B1－C1的余弦值.【分析】(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,可证B1C⊥平面ABO,可得B1C⊥AO,B10＝CO,进而可得AC＝AB1；(2)以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y轴的正方向,的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系,分别可得两平面的法向量,可得所求余弦值.【解答】解：(1)连结BC1,交B1C于点O,连结AO,∵侧面BB1C1C为菱形,∴BC1⊥B1C,且O为BC1和B1C的中点,又∵AB⊥B1C,∴B1C⊥平面ABO,∵AO⊂平面ABO,∴B1C⊥AO,又B10＝CO,∴AC＝AB1,(2)∵AC⊥AB1,且O为B1C的中点,∴AO＝CO,又∵AB＝BC,∴△BOA≌△BOC,∴OA⊥OB,∴OA,OB,OB1两两垂直,以O为坐标原点,的方向为x轴的正方向,||为单位长度,的方向为y 轴的正方向,的方向为z 轴的正方向建立空间直角坐标系,∵∠CBB 1＝60°,∴△CBB 1为正三角形,又AB ＝BC, ∴A(0,0,),B(1,0,0,),B 1(0,,0),C(0,,0)∴＝(0,,),＝＝(1,0,),＝＝(－1,,0),设向量＝(x,y,z)是平面AA 1B 1的法向量,则,可取＝(1,,), 同理可得平面A 1B 1C 1的一个法向量＝(1,－,),∴cos ＜,＞＝＝,∴二面角A －A 1B 1－C 1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题,建立坐标系是解决问题的关键,属中档题.20.(12分)已知点A(0,－2),椭圆E ：＋＝1(a ＞b ＞0)的离心率为,F 是椭圆的右焦点,直线AF 的斜率为,O 为坐标原点.(Ⅰ)求E 的方程；(Ⅱ)设过点A 的直线l 与E 相交于P,Q 两点,当△OPQ 的面积最大时,求l 的方程. 【分析】(Ⅰ)通过离心率得到a 、c 关系,通过A 求出a,即可求E 的方程； (Ⅱ)设直线l ：y ＝kx －2,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)将y ＝kx －2代入,利用△＞0,求出k的范围,利用弦长公式求出|PQ|,然后求出△OPQ 的面积表达式,利用换元法以及基本不等式求出最值,然后求解直线方程.【解答】解：(Ⅰ) 设F(c,0),由条件知,得又,所以a ＝,b 2＝a 2－c 2＝1,故E 的方程.….(5分)(Ⅱ)依题意当l ⊥x 轴不合题意,故设直线l ：y ＝kx －2,设P(x 1,y 1),Q(x 2,y 2)将y＝kx－2代入,得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0,当△＝16(4k2－3)＞0,即时,从而又点O到直线PQ的距离,所以△OPQ的面积＝,设,则t＞0,,当且仅当t＝2,k＝±等号成立,且满足△＞0,所以当△OPQ的面积最大时,l的方程为：y＝x－2或y＝－x－2.…(12分)【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用,椭圆的求法,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力.21.(12分)设函数f(x)＝ae x lnx＋,曲线y＝f(x)在点(1,f(1))处得切线方程为y＝e(x－1)＋2.(Ⅰ)求a、b；(Ⅱ)证明：f(x)＞1.【分析】(Ⅰ)求出定义域,导数f′(x),根据题意有f(1)＝2,f′(1)＝e,解出即可；(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－,设函数g(x)＝xlnx,函数h(x)＝,只需证明g(x)min ＞h(x)max,利用导数可分别求得g(x)min,h(x)max；【解答】解：(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,＋∞),f′(x)＝＋,由题意可得f(1)＝2,f′(1)＝e,故a＝1,b＝2；(Ⅱ)由(Ⅰ)知,f(x)＝e x lnx＋,∵f(x)＞1,∴e x lnx＋＞1,∴lnx＞－,∴f(x)＞1等价于xlnx＞xe－x－,设函数g(x)＝xlnx,则g′(x)＝1＋lnx,∴当x∈(0,)时,g′(x)＜0；当x∈(,＋∞)时,g′(x)＞0.故g(x)在(0,)上单调递减,在(,＋∞)上单调递增,从而g(x)在(0,＋∞)上的最小值为g()＝－.设函数h(x)＝xe－x－,则h′(x)＝e－x(1－x).∴当x∈(0,1)时,h′(x)＞0；当x∈(1,＋∞)时,h′(x)＜0,故h(x)在(0,1)上单调递增,在(1,＋∞)上单调递减,从而h(x)在(0,＋∞)上的最大值为h(1)＝－.综上,当x＞0时,g(x)＞h(x),即f(x)＞1.【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数求函数的最值、证明不等式等,考查转化思想,考查学生分析解决问题的能力.选修4-1：几何证明选讲22.(10分)如图,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB ＝CE.(Ⅰ)证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB＝MC,证明：△ADE为等边三角形.【分析】(Ⅰ)利用四边形ABCD是⊙O的内接四边形,可得∠D＝∠CBE,由CB＝CE,可得∠E＝∠CBE,即可证明：∠D＝∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,证明AD∥BC,可得∠A＝∠CBE,进而可得∠A＝∠E,即可证明△ADE为等边三角形.【解答】证明：(Ⅰ)∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形,∴∠D＝∠CBE,∵CB＝CE,∴∠E＝∠CBE,∴∠D＝∠E；(Ⅱ)设BC的中点为N,连接MN,则由MB＝MC知MN⊥BC,∴O在直线MN上,∵AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,∴OM⊥AD,∴AD∥BC,∴∠A＝∠CBE,∵∠CBE＝∠E,∴∠A＝∠E,由(Ⅰ)知,∠D＝∠E,∴△ADE为等边三角形.【点评】本题考查圆的内接四边形性质,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题.选修4-4：坐标系与参数方程23.已知曲线C：＋＝1,直线l：(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【分析】(Ⅰ)联想三角函数的平方关系可取x＝2cosθ、y＝3sinθ得曲线C的参数方程,直接消掉参数t得直线l的普通方程；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).由点到直线的距离公式得到P到直线l的距离,除以sin30°进一步得到|PA|,化积后由三角函数的范围求得|PA|的最大值与最小值.【解答】解：(Ⅰ)对于曲线C：＋＝1,可令x＝2cosθ、y＝3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l：,由①得：t＝x－2,代入②并整理得：2x＋y－6＝0；(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ＋α)＝－1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ＋α)＝1时,|PA|取得最小值,最小值为.【点评】本题考查普通方程与参数方程的互化,训练了点到直线的距离公式,体现了数学转化思想方法,是中档题.选修4-5：不等式选讲24.若a＞0,b＞0,且＋＝.(Ⅰ)求a3＋b3的最小值；(Ⅱ)是否存在a,b,使得2a＋3b＝6？并说明理由.【分析】(Ⅰ)由条件利用基本不等式求得ab≥2,再利用基本不等式求得a3＋b3的最小值. (Ⅱ)根据 ab≥2及基本不等式求的2a＋3b＞8,从而可得不存在a,b,使得2a＋3b＝6.【解答】解：(Ⅰ)∵a＞0,b＞0,且＋＝,∴＝＋≥2,∴ab≥2,当且仅当a＝b＝时取等号.∵a3＋b3 ≥2≥2＝4,当且仅当a＝b＝时取等号,∴a3＋b3的最小值为4.(Ⅱ)∵2a＋3b≥2＝2,当且仅当2a＝3b时,取等号.而由(1)可知,2≥2＝4＞6,故不存在a,b,使得2a＋3b＝6成立.【点评】本题主要考查基本不等式在最值中的应用,要注意检验等号成立条件是否具备,属于基础题.。
2014年全国统一高考真题数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含答案及解析)
2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2} 2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．54．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．15．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.456．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．78．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．39．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．210．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．11．（5分）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC=CA=CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．2014年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求.1．（5分）设集合M={0，1，2}，N={x|x2﹣3x+2≤0}，则M∩N=（）A．{1}B．{2}C．{0，1}D．{1，2}【考点】1E：交集及其运算．【专题】5J：集合．【分析】求出集合N的元素，利用集合的基本运算即可得到结论．【解答】解：∵N={x|x2﹣3x+2≤0}={x|（x﹣1）（x﹣2）≤0}={x|1≤x≤2}，∴M∩N={1，2}，故选：D．【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2．（5分）设复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，z1=2+i，则z1z2=（）A．﹣5B．5C．﹣4+i D．﹣4﹣i【考点】A5：复数的运算．【专题】5N：数系的扩充和复数．【分析】根据复数的几何意义求出z2，即可得到结论．【解答】解：z1=2+i对应的点的坐标为（2，1），∵复数z1，z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，∴（2，1）关于虚轴对称的点的坐标为（﹣2，1），则对应的复数，z2=﹣2+i，则z1z2=（2+i）（﹣2+i）=i2﹣4=﹣1﹣4=﹣5，故选：A．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的几何意义是解决本题的关键，比较基础．3．（5分）设向量，满足|+|=，|﹣|=，则•=（）A．1B．2C．3D．5【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【专题】5A：平面向量及应用．【分析】将等式进行平方，相加即可得到结论．【解答】解：∵|+|=，|﹣|=，∴分别平方得+2•+=10，﹣2•+=6，两式相减得4•=10﹣6=4，即•=1，故选：A．【点评】本题主要考查向量的基本运算，利用平方进行相加是解决本题的关键，比较基础．4．（5分）钝角三角形ABC的面积是，AB=1，BC=，则AC=（）A．5B．C．2D．1【考点】HR：余弦定理．【专题】56：三角函数的求值．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将已知面积，AB，BC的值代入求出sinB的值，分两种情况考虑：当B为钝角时；当B为锐角时，利用同角三角函数间的基本关系求出cosB的值，利用余弦定理求出AC的值即可．【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是，AB=c=1，BC=a=，∴S=acsinB=，即sinB=，当B为钝角时，cosB=﹣=﹣，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2+2=5，即AC=，当B为锐角时，cosB==，利用余弦定理得：AC2=AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB=1+2﹣2=1，即AC=1，此时AB2+AC2=BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，则AC=．故选：B．【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．5．（5分）某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A．0.8B．0.75C．0.6D．0.45【考点】C8：相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．【专题】5I：概率与统计．【分析】设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，由此解得p的值．【解答】解：设随后一天的空气质量为优良的概率为p，则由题意可得0.75×p=0.6，解得p=0.8，故选：A．【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题．6．（5分）如图，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（）A．B．C．D．【考点】L!：由三视图求面积、体积．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】由三视图判断几何体的形状，通过三视图的数据求解几何体的体积即可．【解答】解：几何体是由两个圆柱组成，一个是底面半径为3高为2，一个是底面半径为2，高为4，组合体体积是：32π•2+22π•4=34π．底面半径为3cm，高为6cm的圆柱体毛坯的体积为：32π×6=54π切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为：=．故选：C．【点评】本题考查三视图与几何体的关系，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的x，t均为2，则输出的S=（）A．4B．5C．6D．7【考点】EF：程序框图．【专题】5K：算法和程序框图．【分析】根据条件，依次运行程序，即可得到结论．【解答】解：若x=t=2，则第一次循环，1≤2成立，则M=，S=2+3=5，k=2，第二次循环，2≤2成立，则M=，S=2+5=7，k=3，此时3≤2不成立，输出S=7，故选：D．【点评】本题主要考查程序框图的识别和判断，比较基础．8．（5分）设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a=（）A．0B．1C．2D．3【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】52：导数的概念及应用．【分析】根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．【解答】解：，∴y′（0）=a﹣1=2，∴a=3．故选：D．【点评】本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．9．（5分）设x，y满足约束条件，则z=2x﹣y的最大值为（）A．10B．8C．3D．2【考点】7C：简单线性规划．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分ABC）．由z=2x﹣y得y=2x﹣z，平移直线y=2x﹣z，由图象可知当直线y=2x﹣z经过点C时，直线y=2x﹣z的截距最小，此时z最大．由，解得，即C（5，2）代入目标函数z=2x﹣y，得z=2×5﹣2=8．故选：B．【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．10．（5分）设F为抛物线C：y2=3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为（）A．B．C．D．【考点】K8：抛物线的性质．【专题】5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】由抛物线方程求出焦点坐标，由直线的倾斜角求出斜率，写出过A，B 两点的直线方程，和抛物线方程联立后化为关于y的一元二次方程，由根与系数关系得到A，B两点纵坐标的和与积，把△OAB的面积表示为两个小三角形AOF与BOF的面积和得答案．【解答】解：由y2=2px，得2p=3，p=，则F（，0）．∴过A，B的直线方程为y=（x﹣），即x=y+．联立，得4y2﹣12y﹣9=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则y 1+y 2=3，y 1y 2=﹣．∴S△OAB =S △OAF +S△OFB =×|y 1﹣y 2|==×=．故选：D ．【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查数学转化思想方法，涉及直线和圆锥曲线关系问题，常采用联立直线和圆锥曲线，然后利用一元二次方程的根与系数关系解题，是中档题．11．（5分）直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，BC=CA=CC 1，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ） A ．B ．C ．D ．【考点】LM ：异面直线及其所成的角．【专题】5F ：空间位置关系与距离．【分析】画出图形，找出BM 与AN 所成角的平面角，利用解三角形求出BM 与AN 所成角的余弦值．【解答】解：直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∠BCA=90°，M ，N 分别是A 1B 1，A 1C 1的中点，如图：BC 的中点为O ，连结ON ，，则MN0B 是平行四边形，BM 与AN 所成角就是∠ANO ，∵BC=CA=CC 1，设BC=CA=CC 1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB===， 在△ANO 中，由余弦定理可得：cos ∠ANO===．故选：C ．【点评】本题考查异面直线对称角的求法，作出异面直线所成角的平面角是解题的关键，同时考查余弦定理的应用．12．（5分）设函数f（x）=sin，若存在f（x）的极值点x0满足x02+[f（x0）]2＜m2，则m的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣6）∪（6，+∞）B．（﹣∞，﹣4）∪（4，+∞）C．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】H4：正弦函数的定义域和值域．【专题】57：三角函数的图像与性质．【分析】由题意可得，f（x0）=±，且=kπ+，k∈Z，再由题意可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，可得m2 ＞m2+3，由此求得m的取值范围．【解答】解：由题意可得，f（x0）=±，即=kπ+，k∈z，即x0=m．再由x02+[f（x0）]2＜m2，即x02+3＜m2，可得当m2最小时，|x0|最小，而|x0|最小为|m|，∴m2 ＞m2+3，∴m2＞4．求得m＞2，或m＜﹣2，故选：C．【点评】本题主要正弦函数的图象和性质，函数的零点的定义，体现了转化的数学思想，属于中档题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.（第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22题~第24题为选考题，考生根据要求作答）13．（5分）（x+a）10的展开式中，x7的系数为15，则a=．【考点】DA：二项式定理．【专题】5P：二项式定理．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于3，求出r的值，即可求得x7的系数，再根据x7的系数为15，求得a的值．【解答】解：（x+a）10的展开式的通项公式为T r=•x10﹣r•a r，+1令10﹣r=7，求得r=3，可得x7的系数为a3•=120a3=15，∴a=，故答案为：．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．14．（5分）函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）的最大值为1．【考点】GP：两角和与差的三角函数；HW：三角函数的最值．【专题】56：三角函数的求值．【分析】由条件利用两角和差的正弦公式、余弦公式化简函数的解析式为f（x）=sinx，从而求得函数的最大值．【解答】解：函数f（x）=sin（x+2φ）﹣2sinφcos（x+φ）=sin[（x+φ）+φ]﹣2sinφcos （x+φ）=sin（x+φ）cosφ+cos（x+φ）sinφ﹣2sinφcos（x+φ）=sin（x+φ）cosφ﹣cos（x+φ）sinφ=sin[（x+φ）﹣φ]=sinx，故函数f（x）的最大值为1，故答案为：1．【点评】本题主要考查两角和差的正弦公式、余弦公式的应用，正弦函数的最值，属于中档题．15．（5分）已知偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，若f（x﹣1）＞0，则x的取值范围是（﹣1，3）．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2），即可得到结论．【解答】解：∵偶函数f（x）在[0，+∞）单调递减，f（2）=0，∴不等式f（x﹣1）＞0等价为f（x﹣1）＞f（2），即f（|x﹣1|）＞f（2），∴|x﹣1|＜2，解得﹣1＜x＜3，故答案为：（﹣1，3）【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系的应用，将不等式等价转化为f（|x﹣1|）＞f（2）是解决本题的关键．16．（5分）设点M（x0，1），若在圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则x0的取值范围是[﹣1，1] ．【考点】J9：直线与圆的位置关系．【专题】5B：直线与圆．【分析】根据直线和圆的位置关系，画出图形，利用数形结合即可得到结论．【解答】解：由题意画出图形如图：点M（x0，1），要使圆O：x2+y2=1上存在点N，使得∠OMN=45°，则∠OMN的最大值大于或等于45°时一定存在点N，使得∠OMN=45°，而当MN与圆相切时∠OMN取得最大值，此时MN=1，图中只有M′到M″之间的区域满足MN≤1，∴x0的取值范围是[﹣1，1]．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，直线与直线设出角的求法，数形结合是快速解得本题的策略之一．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或验算步骤.17．（12分）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．【考点】87：等比数列的性质；8E：数列的求和．【专题】14：证明题；54：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即=常数，又首项不为0，所以为等比数列；再根据等比数列的通项化式，求出{a n}的通项公式；（Ⅱ）将进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从而求和，证明不等式．【解答】证明（Ⅰ）==3，∵≠0，∴数列{a n+}是以首项为，公比为3的等比数列；∴a n+==，即；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当n≥2时，∵3n﹣1＞3n﹣3n﹣1，∴＜=，∴当n=1时，成立，当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．时，++…+＜．∴对n∈N+【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是常用的方法之一，通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消法求和的新数列．属于中档题．18．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）设二面角D﹣AE﹣C为60°，AP=1，AD=，求三棱锥E﹣ACD的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LS：直线与平面平行；MJ：二面角的平面角及求法．【专题】5F：空间位置关系与距离．【分析】（Ⅰ）连接BD交AC于O点，连接EO，只要证明EO∥PB，即可证明PB∥平面AEC；（Ⅱ）延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，说明∠CMD=60°，是二面角的平面角，求出CD，即可三棱锥E﹣ACD的体积．【解答】（Ⅰ）证明：连接BD交AC于O点，连接EO，∵O为BD中点，E为PD中点，∴EO∥PB，（2分）EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，所以PB∥平面AEC；（6分）（Ⅱ）解：延长AE至M连结DM，使得AM⊥DM，∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，∴CD⊥平面AMD，∴CD⊥MD．∵二面角D﹣AE﹣C为60°，∴∠CMD=60°，∵AP=1，AD=，∠ADP=30°，∴PD=2，E为PD的中点．AE=1，∴DM=，CD==．三棱锥E﹣ACD的体积为：==．【点评】本题考查直线与平面平行的判定，几何体的体积的求法，二面角等指数的应用，考查逻辑思维能力，是中档题．19．（12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：=，=﹣．【考点】BK：线性回归方程．【专题】11：计算题；5I：概率与统计．【分析】（Ⅰ）根据所给的数据，利用最小二乘法可得横标和纵标的平均数，横标和纵标的积的和，与横标的平方和，代入公式求出b的值，再求出a的值，写出线性回归方程．（Ⅱ）根据上一问做出的线性回归方程，代入所给的t的值，预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入，这是一个估计值．【解答】解：（Ⅰ）由题意，=×（1+2+3+4+5+6+7）=4，=×（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3，∴== =0.5，=﹣=4.3﹣0.5×4=2.3．∴y关于t的线性回归方程为=0.5t+2.3；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，b=0.5＞0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t=9代入=0.5t+2.3，得：=0.5×9+2.3=6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．【点评】本题考查线性回归分析的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法认真做出线性回归方程的系数，这是整个题目做对的必备条件，本题是一个基础题．20．（12分）设F1，F2分别是C：+=1（a＞b＞0）的左，右焦点，M是C 上一点且MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N．（1）若直线MN的斜率为，求C的离心率；（2）若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|=5|F1N|，求a，b．【考点】K4：椭圆的性质．【专题】5E：圆锥曲线中的最值与范围问题．【分析】（1）根据条件求出M的坐标，利用直线MN的斜率为，建立关于a，c的方程即可求C的离心率；（2）根据直线MN在y轴上的截距为2，以及|MN|=5|F1N|，建立方程组关系，求出N的坐标，代入椭圆方程即可得到结论．【解答】解：（1）∵M是C上一点且MF2与x轴垂直，∴M的横坐标为c，当x=c时，y=，即M（c，），若直线MN的斜率为，即tan∠MF1F2=，即b2==a2﹣c2，即c2+﹣a2=0，则，即2e2+3e﹣2=0解得e=或e=﹣2（舍去），即e=．（Ⅱ）由题意，原点O是F1F2的中点，则直线MF1与y轴的交点D（0，2）是线段MF1的中点，设M（c，y），（y＞0），则，即，解得y=，∵OD是△MF1F2的中位线，∴=4，即b2=4a，由|MN|=5|F1N|，则|MF1|=4|F1N|，解得|DF1|=2|F1N|，即设N（x1，y1），由题意知y1＜0，则（﹣c，﹣2）=2（x1+c，y1）．即，即代入椭圆方程得，将b2=4a代入得，解得a=7，b=．【点评】本题主要考查椭圆的性质，利用条件建立方程组，利用待定系数法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大，有一定的难度．21．（12分）已知函数f（x）=e x﹣e﹣x﹣2x．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）=f（2x）﹣4bf（x），当x＞0时，g（x）＞0，求b的最大值；（Ⅲ）已知1.4142＜＜1.4143，估计ln2的近似值（精确到0.001）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【专题】16：压轴题；53：导数的综合应用．【分析】对第（Ⅰ）问，直接求导后，利用基本不等式可达到目的；对第（Ⅱ）问，先验证g（0）=0，只需说明g（x）在[0+∞）上为增函数即可，从而问题转化为“判断g′（x）＞0是否成立”的问题；对第（Ⅲ）问，根据第（Ⅱ）问的结论，设法利用的近似值，并寻求ln2，于是在b=2及b＞2的情况下分别计算，最后可估计ln2的近似值．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）得f′（x）=e x+e﹣x﹣2，即f′（x）≥0，当且仅当e x=e﹣x即x=0时，f′（x）=0，∴函数f（x）在R上为增函数．（Ⅱ）g（x）=f（2x）﹣4bf（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，则g′（x）=2[e2x+e﹣2x﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣2）]=2[（e x+e﹣x）2﹣2b（e x+e﹣x）+（4b﹣4）]=2（e x+e﹣x﹣2）（e x+e﹣x+2﹣2b）．①∵e x+e﹣x＞2，e x+e﹣x+2＞4，∴当2b≤4，即b≤2时，g′（x）≥0，当且仅当x=0时取等号，从而g（x）在R上为增函数，而g（0）=0，∴x＞0时，g（x）＞0，符合题意．②当b＞2时，若x满足2＜e x+e﹣x＜2b﹣2即，得，此时，g′（x）＜0，又由g（0）=0知，当时，g（x）＜0，不符合题意．综合①、②知，b≤2，得b的最大值为2．（Ⅲ）∵1.4142＜＜1.4143，根据（Ⅱ）中g（x）=e2x﹣e﹣2x﹣4b（e x﹣e﹣x）+（8b﹣4）x，为了凑配ln2，并利用的近似值，故将ln即代入g（x）的解析式中，得．当b=2时，由g（x）＞0，得，从而；令，得＞2，当时，由g（x）＜0，得，得．所以ln2的近似值为0.693．【点评】1．本题三个小题的难度逐步增大，考查了学生对函数单调性深层次的把握能力，对思维的要求较高，属压轴题．2．从求解过程来看，对导函数解析式的合理变形至关重要，因为这直接影响到对导数符号的判断，是解决本题的一个重要突破口．3．本题的难点在于如何寻求ln2，关键是根据第（2）问中g（x）的解析式探究b的值，从而获得不等式，这样自然地将不等式放缩为的范围的端点值，达到了估值的目的．请考生在第22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号.【选修4-1：几何证明选讲】22．（10分）如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC=2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E，证明：（Ⅰ）BE=EC；（Ⅱ）AD•DE=2PB2．【考点】N4：相似三角形的判定；NC：与圆有关的比例线段．【专题】17：选作题；5Q：立体几何．【分析】（Ⅰ）连接OE，OA，证明OE⊥BC，可得E是的中点，从而BE=EC；（Ⅱ）利用切割线定理证明PD=2PB，PB=BD，结合相交弦定理可得AD•DE=2PB2．【解答】证明：（Ⅰ）连接OE，OA，则∠OAE=∠OEA，∠OAP=90°，∵PC=2PA，D为PC的中点，∴PA=PD，∴∠PAD=∠PDA，∵∠PDA=∠CDE，∴∠OEA+∠CDE=∠OAE+∠PAD=90°，∴OE⊥BC，∴E是的中点，∴BE=EC；（Ⅱ）∵PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，∴PA2=PB•PC，∵PC=2PA，∴PA=2PB，∴PD=2PB，∴PB=BD，∴BD•DC=PB•2PB，∵AD•DE=BD•DC，∴AD•DE=2PB2．【点评】本题考查与圆有关的比例线段，考查切割线定理、相交弦定理，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]（Ⅰ）求C的参数方程；（Ⅱ）设点D在半圆C上，半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，根据（1）中你得到的参数方程，求直线CD的倾斜角及D的坐标．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】5S：坐标系和参数方程．【分析】（1）利用即可得出直角坐标方程，利用cos2t+sin2t=1进而得出参数方程．（2）利用半圆C在D处的切线与直线l：y=x+2垂直，则直线CD的斜率与直线l的斜率相等，即可得出直线CD的倾斜角及D的坐标．【解答】解：（1）由半圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ，θ∈[0，]，即ρ2=2ρcosθ，可得C的普通方程为（x﹣1）2+y2=1（0≤y≤1）．可得C的参数方程为（t为参数，0≤t≤π）．（2）设D（1+cos t，sin t），由（1）知C是以C（1，0）为圆心，1为半径的上半圆，∵直线CD的斜率与直线l的斜率相等，∴tant=，t=．故D的直角坐标为，即（，）．【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．六、解答题（共1小题，满分0分）24．设函数f（x）=|x+|+|x﹣a|（a＞0）．（Ⅰ）证明：f（x）≥2；（Ⅱ）若f（3）＜5，求a的取值范围．【考点】R5：绝对值不等式的解法．【专题】59：不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|，利用绝对值三角不等式、基本不等式证得f（x）≥2成立．（Ⅱ）由f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，分当a＞3时和当0＜a≤3时两种情况，分别去掉绝对值，求得不等式的解集，再取并集，即得所求．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵a＞0，f（x）=|x+|+|x﹣a|≥|（x+）﹣（x﹣a）|=|a+|=a+≥2=2，故不等式f（x）≥2成立．（Ⅱ）∵f（3）=|3+|+|3﹣a|＜5，∴当a＞3时，不等式即a+＜5，即a2﹣5a+1＜0，解得3＜a＜．当0＜a≤3时，不等式即6﹣a+＜5，即a2﹣a﹣1＞0，求得＜a≤3．综上可得，a的取值范围（，）．【点评】本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．。
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案
2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第Ⅰ卷（选择题共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x|x-2x-3≥0}，B={x|-2≤x＜2}，则A∩B=A.[-2,-1]B.[-1,2)C.[-1,1]D.[1,2)2.(1+i)³/(1-i)²=A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i3.设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)时奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数4.已知F是双曲线C：x-my=3m(m>0)的一个焦点，则点F 到C的一条渐近线的距离为A.3B.3mC.3D.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率=A.1/3B.5/8C.7/8D.16.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x 的函数f(x)，则y=f(x)在[0,π]上的图像大致为图片无法显示)7.执行下图的程序框图，若输入的a,b,k分别为1,2,3，则输出的M=图片无法显示)A.2016B.715C.35D.288.设α∈(0,π/2)，β∈(0,π/2)，且tanα=(1+sinβ)/cos²β，则3α-β=A.2α-βB.2α+βC.3α+βD.3α-β9.不等式组{x+y≥1，x-2y≤4}的解集记为D。
有下面四个命题：p1：对于任意的(x,y)∈D，有x+2y≥-2；p2：存在(x,y)∈D，使得x+2y≥2；p3：对于任意的(x,y)∈D，有x+2y≤3；p4：存在(x,y)∈D，使得x+2y≤-1.其中真命题是A.p2，p3B.p1，p4C.p1，p2D.p1，p310.已知抛物线C：y=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个焦点，若2FP=4FQ，则|QF|=A.7/5B.3C.√3D.21.已知函数$f(x)=ax-3x+1$，若$f(x)$存在唯一的零点$x$，且$x>0$，则$a$的取值范围为$\textbf{(C)}$（$1$，$+\infty$）。
2014年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)
2014 年一般高等学校招生全国一致考试（全国Ⅰ）数学（理科）第 Ⅰ 卷一、选择题：本大题共 12 小题，每题5 分，在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项吻合题目要求的．（ 1）【 2014 年全国Ⅰ，理 1， 5 分】已知会集 Ax x 22x 30 ， Bx 2x 2，则AB =（）（A ） 2,1 （B ） 1,2 （C ）1,1 （D ） 1,2【答案】 A【剖析】∵ Ax x 22x 3 0x x1 或 x3 ， B x 2 x 2 ，∴ A B x 2 x 1 ，应选 A ．3（ 2）【 2014 年全国Ⅰ，理2，5 分】 1 i1 2i （A ）1i （ B ） 1 i （ C ） 1i （D ） 【答案】 D（）1 i【剖析】∵(1i) 32i(1 i)2 1 i ，应选 D ． (1 i) 2i（ 3）【 2014 年全国Ⅰ，理 3， 5 分】设函数 f x ， g x 的定义域为 R ，且 fx 是奇函数， g x 是偶函数，则以下结论中正确的选项是（）（ A ） f ( x) g (x) 是偶函数（ B ） f (x) g( x) 是奇函数（ C ） f ( x) | g( x) |是奇函数（ D ） | f (x)g ( x) | 是奇函数【答案】 C【剖析】∵ f x 是奇函数， g x 是偶函数，∴f (x) 为偶函数， g( x) 为偶函数．再依照两个奇函数的积是偶函数、两个偶函数的积还是偶函数、一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数，可得 f (x) | g (x) | 为奇函数，应选 C ．（ 4）【 2014 年全国Ⅰ，理 4， 5 分】已知 F 是双曲线 C ： x 2my 23m(m 0) 的一个焦点，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离为（）（ A ） 3 （ B ） 3（C ） 3m （ D ） 3m 【答案】 A 【剖析】由 C ： x 2my 23m(m0) ，得 x 2y 2 1 ， c 2 3m 3,c3m 3，设 F3m 3,0 ，一条渐近线3m3y3my0 ，则点 F 到 C 的一条渐近线的距离d3m33 ，应选 A ．x ，即 x1 m3m（ 5）【 2014 年全国Ⅰ，理 5， 5 分】 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率（） （ A ） 1（B ） 3（C ）5（D ）78 8 88 【答案】 D【剖析】由题知 F 13,0 ， F 23,0 且x 02y 0 2 1，因此 MF 1 MF 23 x 0 , y 03 x 0 , y 02x 02 y 023 3y 021 0 ，解得3 y 0 3，应选 D ．3 3（ 6）【 2014 年全国Ⅰ，理 6，5 分】如图，圆 O 的半径为 1， A 是圆上的定点， P 是圆上的动点，角x 的始边为射线 OA ，终边为射线 OP ，过点 P 作直线 OA 的垂线，垂足为 M ，将点 M 到直线 OP的距离表示为 x 的函数 f (x) ，则 y f ( x) 在 0, 上的图像大体为（）（A ） （B ）（ C ）（D ）【答案】 B【剖析】如图：过 M 作 MDOP 于D ，则 PM sin x ， OMcos x ,在 Rt OMP 中，OM PMcos x sin x1 1 MDcos x sin x sin 2 x ，∴f xsin 2x (0 x ) ，OP122应选 B ．（ 7）【 2014 年全国Ⅰ，理 7， 5 分】执行以下列图的程序框图，若输入的 a,b,k 分别为 1,2,3，则输出的M （）（ A ） 20（B ） 16（C ） 7 （D ） 1535 28【答案】 D【剖析】输入 a1, b 2, k 3 ； n 1时：M 11 3 , a 2,b 3 ；222n 2 时： M 228, a3,b8； n 3时： M3 3 15 , a 8,b 15 ；33 2328 8 38n 4 时：输出 M15，应选 D ．81sin（ 8）【 2014 年全国Ⅰ，理 8， 5分】设(0,) ， (0, ) ，且 tan，则（）cos22 （A ） 3（B ） 2（C ） 3 2 （D ） 2 2【答案】 B 22【剖析】∵ tansin 1 sin coscoscos sin， sincossin，coscos ，∴ sin222 ,0 2，∴2，即 2，应选 B ．22x y 1的解集记为 D ．有下面四个命题： p 1 ： ( x, y) D , x 2 y 2 ，（ 9【） 2014 年全国Ⅰ，理 9，5 分】不等式组2y 4 xp 2 ： (x, y) D, x 2 y 2 , P 3 ： ( x, y) D , x 2 y 3 ， p 4 ： (x, y)D , x 2 y 1 ．其中真命题是（）（ A ） p 2 ， p 3 （ B ） p 1 ， p 4 （C ） p 1 ， p 2 （ D ） p 1 ，p 3 【答案】 C【剖析】作出可行域如图： 设 x 2 y z ，即 y1x z，当直线过 A 2, 1 时，zmin2 2 0 ，2 2∴ z 0 ，∴命题 p 1 、 p 2 真命题，应选 C ．（ 10）【 2014 年全国Ⅰ，理 10，5 分】已知抛物线 C ： y 28x 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与 C 的一个交点，若FP4FQ ，则 |QF |（）（ A ） 7 （B ） 5（C ）3（D ）22 2【答案】 C【剖析】过 Q 作 QMl 于 M ，∵ FPPQ 3 ，又QM PQ 3 3 ，4FQ ，∴44PF，∴ QMPF4由抛物线定义知 QF QM3，应选 C ．（ 11）【 2014 年全国Ⅰ，理 11，5 分】已知函数 fxax 3 3x 2 1 ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 00 ，则 a的取值范围为（）（A ） 2,（B ）, 2 （C ） 1,（ D ）, 1【答案】 B【剖析】解法一：由已知 a0 ， f ( x)3ax 26 x ，令 f (x) 0 ，得 x 0 或 x2 ，a当 a0 时， x,0 , f (x) 0; x0,2, f ( x) 0; x2 , , f (x) 0 ；aa且 f (0) 10 ， f (x) 有小于零的零点，不吻合题意．当 a0 时， x2 0; x2 , f (x) 0; x0,, f (x),, f ( x) ,0aa要使 f (x) 有唯一的零点x 0 且 x 00 ，只需 2) 0 ，即 a2， a2 ，应选 B ．f ( 4a解法二：由已知 a0 ， f x ax33x21 有唯一的正零点，等价于a 3 1 13 有唯一的正零根，令 t1，则t 3t 3 x xx 问题又等价于 a3t 有唯一的正零根，即y a 与 y3t 有唯一的交点且交点在在 y 轴右侧记f (t )t 3 3t ， f (t)3t 2 3 ，由 f (t )0 ， t 1 ， t, 1 , f (t) 0;t1,1 , f (t )0; ，t 1,, f (t ) 0 ，要使 a33t 有唯一的正零根，只需 af ( 1)2 ，应选 B ．t （ 12）【 2014 年全国Ⅰ，理 12， 5 分】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为（）（ A ） 6 2 （B ） 4 2 （C ）6（D ）4【答案】 C【剖析】以下列图，原几何体为三棱锥D ABC ，其中 ABBC 4,AC 4 2,DB DC 2 5，26 ，应选 C ．DA4 24 6 ，故最长的棱的长度为 DA第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（ 13）题 ~第（ 21）题为必考题，每个试题考生都必定作答．第（ 22）题 ~第（ 24）题为选考题，考生依照要求作答．二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分（ 13）【 2014 年全国Ⅰ，理 13， 5 分】 (x y)( xy)8的张开式中 x 2 y 2 的系数为．（用数字填写答案）【答案】 20【剖析】 (x y)8 张开式的通项为T r 1 C 8r x 8 r y r (r0,1, ,8) ，∴ T 8C 87 xy 7 8xy 7 ， T 7 C 86 x 2 y 628x 2 y 6 ，∴ (xy)( x y)8 的张开式中 x 2 y 7 的项为 x 8 xy 7 y 28 x 2 y 6 20 x 2 y 7 ，故系数为20 ．（ 14）【 2014 年全国Ⅰ，理 14， 5 分】甲、乙、丙三位同学被问到可否去过 A 、 B 、 C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市；由 此可判断乙去过的城市为． 【答案】 AA 城市或B 城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B【剖析】由乙说：我没去过 C 城市，则乙可能去过 城市，则乙只能是去过 A ， B 中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的 城市为 A ． （ 15）【 2014 年全国Ⅰ，理 15，5 分】已知 A ， B ， C 是圆 O 上的三点，若 AO1(ABAC)，则 AB 与 AC 的2夹角为．【答案】 900【剖析】∵ AO 1 ( AB AC) ，∴ O 为线段 BC 中点，故 BC 为 O 的直径，∴BAC 900，∴ AB 与 AC 的夹2角为 90 0 ．a,b,c 分别为A,B,C 的对边， a（ 16 ）【 2014 年全国Ⅰ，理16， 5 分】已知ABC 的三个内角2 ，且(2 b )(sin AsinB ) c ( b ) sinC ，则 ABC 面积的最大值为．【答案】 3【剖析】由 a2且(2 b)(sin A sin B)(c b)sin C ，即 (a b)(sin A sin B) (cb)sin C ，由及正弦定理得：2221，∴(a b )(ab) (c b)c ，∴ b 2c 2 a 2bc ，故 cos Abc a A 600 ，∴ b 2c 2 4 bc ，12bc24 b 2 c 2 bcbc ，∴ S ABCbc sin A3 ． 2三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（ 17）【 2014 年全国Ⅰ，理 17，12 分】已知数列 a n 的前 n 项和为 S n ， a 11 ， a n 0 ， a n a n 1S n 1，其中为常数．（ 1）证明： a n 2 a n；（ 2）可否存在 ，使得 a n 为等差数列？并说明原由．解：（ 1）由题设 a n a n 1S n 1 ， a n 1 a n 2S n 1 1，两式相减 a n 1an 2a na n 1 ，由于 a n0 ，因此 a n 2 a n．6分（ 2）由题设 a 1 1 ， a 1a 2S 1 1，可得 a 211，由（ 1）知 a 31假设 a n 为等差数列，则 a 1 ,a 2 ,a 3 成等差数列，∴ a 1 a 3 2a 2 ，解得4 ；证明4 时， a n 为等差数列：由 a n2a n 4 知：数列奇数项构成的数列a2 m 1是首项为 1，公差为4 的等差数列 a 2m14m 3 ，令 n 2m 1, 则 m n 1，∴ a n 2n 1 ( n 2m 1)2n ，数列偶数项构成的数列 a2m 是首项为 3，公差为 4 的等差数列 a 2m 4m 1 ，令 n 2m, 则 m ∴2 1 ，∴ （ * ），2a n n ( n 2m) a n2n 1 n n 1a n2N a因此，存在存在4 ，使得 a n 为等差数列．12 分（ 18）【 2014 年全国Ⅰ，理 18， 12 分】从某企业的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得以下频率分布直方图：（ 1）求这 500 件产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 （同一组数据用该区间的中点值作代表） ；（ 2）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 遵从正态分布 N ( , 2 ) ，其中 近似为样本平均数 x ， 2 近似为样本方差 s 2 ．（ i ）利用该正态分布，求 P(187.8 Z 212.2) ；（ ii ）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示 100 件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2 ）的产品件数，利用（ i ）的结果，求 EX ．附： 15012.2 ．若 Z N ( , 2) ，则 P(Z) 06826.，P(2Z2 ) =0.9544．解：（ 1）抽取产质量量指标值的样本平均数x 和样本方差 s 2 分别为：x 170 0.02 1800.09 1900.22 200 0.33 2100.24 220 0.08 2300.02 200s 230 220.0920.22 00.33 10220.08302150 ．0.0220100.24200.02 6 分（ 2）（ⅰ）由（1）知 Z N(200,150)，从而 P(187.8 Z212.2) P(200 12.2 Z200 12.2)0.6826． 9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为 0.6826依题意知 X B(100,0.6826)，因此 EX 100 0.6826 68.26 ．12 分（ 19）【 2014 年全国Ⅰ，理 19， 12 分】如图三棱柱ABC A 1 B 1C 1 中，侧面 BB 1C 1C 为菱形， ABB 1C ．（ 1）证明： AC AB 1 ；（ 2）若 ACAB 1 ，CBB 1 60 o， AB BC ，求二面角 A A 1B 1 C 1 的余弦值．解：（ 1）连结 BC 1 ，交 B 1C 于 O ，连结 AO ．由于侧面 1 1 为菱形， 因此 B 1CBC 1 ，BBC C且O 为 B 1C 与 BC 1 的中点．又 AB B 1C ，因此 B 1C 平面 ABO ，故 B 1 C AO又 B 1O CO ，故 AC AB 1 ． 6分（ 2）由于 AC AB 1 且 O 为 B 1C 的中点，因此 AOCO ，又由于 AB BC ，因此 BOABOC ，故 OA OB ，从而 OA ， OB ， OB 1 两两互相垂直． 以 O 为坐标原点， OB 的方向为 x 轴正方 向，OB 为单位长，建立以下列图空间直角坐标系O xyz ．由于CBB 1 600 ， 因此 CBB 1 为等边三角形． 又 ABBC ，则 A 0,0,3，B 1,0,0， 0,3 ，B 1,033C 0,3 ,0 ， AB 1 0, 3 , 3， A 1B 1 AB1,0,3 ，33 33B C1 BC1, 3 ,0 ，设 nx, y, z 是平面的法向量，则n AB 1，即13n A 1B 13y3 03zm A 1 B 13因此可取 n1, 3,3 ，设 m 是平面的法向量，则，同理可取3n B 1C 1xz 03m1,3, 3 ，则 cos n, mn m 1 ，因此二面角 AA 1B 1C 1 的余弦值为1．12分n m 77223，F 是（ 20）【 2014 年全国Ⅰ，理 20， 12 分】已知点 A 0, 2 ，椭圆 E ：xy 1(a b 0) 的离心率为a 2b 22椭圆的焦点，直线 AF 的斜率为23， O 为坐标原点．（ 1）求 E 的方程；3（ 2）设过点 A 的直线 l 与 E 订交于 P,Q 两点，当OPQ 的面积最大时，求 l 的方程．解：（ 1）设 F c,0 ，由条件知2 2 3，得 c 3 ，又c3 ，c 3a 2因此 a2 ， b2a2c21，故 E 的方程x 2y 21 ． 6分42（ 2）依题意当 lx 轴不合题意， 故设直线 l ：y kx 2 ，设 P x 1y, 1 Q, x y 2 , 2，将 y kx 2 代入xy 2 1 ，4得 14k 2x216kx12 0 ，当16(4 k23)0 ，即 k23时， x 1,2 8k 2 4 k 2 341 4k 2从而 PQk21 x 1x 24 k21 4k 23，又点 O 到直线 PQ 的距离 d2 ，因此 OPQ 的1 4k 2k 2 1 面积 S OPQ14 4k 2 3，设4k 23 t ，则 t0 ，S OPQ4t41 ，d PQ12t 2 4424ktt当且仅当 t2 ， k7等号建立，且满足0 ，因此当 OPQ 的面积最大时，l 的方程为：2y77x 2 或 yx 2 ．.12 分22be x 1（ 21）【 2014 年全国Ⅰ，理 21， 12 分】设函数 f xae x ln x，曲线 y f ( x) 在点 1, f 1 处的切线为xy e(x 1) 2 ．（ 1）求 a, b ；（ 2）证明： f ( x) 1．解：（ 1）函数 f (x) 的定义域为 0,，xa xb x 1 b x 1xex 2exef (x) ae ln x由题意可得 f (1)2, f (1) e ，故 a 1,b2 ． 6分x2e x 1 x2（ 2）由（ 1）知， f (x)ln x，从而 f ( x) 1 等价于 x ln x xex ln x ，则ex，设函数 g( x)eg (x) xln x ，因此当 x0, 1 时， g ( x) 0 ，当 x1 ,时， g (x) 0，故 g( x) 在 0,1单调减，eee在1,单调递加，从而 g( x) 在 0,的最小值为g( 1)1． 8分eee设函数 h(x)xex2，则 h (x) ex1 x，因此当 x0,1 时， h (x)0 ，当 x1,时， h ( x) 0 ，e故 h(x) 在 0,1 单调递加，在 1,单调递减，从而 h( x) g( x) 在 0,的最小值为 h(1)1 ． 综上：当 x0 时， g( x)h( x) ，即 f ( x) 1.12e分请考生在（ 22）、（ 23）、（ 24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．若是多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡大将所选题号后的方框涂黑． ABCD 是（ 22）【 2014 年全国Ⅰ，理 22，10 分】（选修 4-1：几何证明选讲）如图，四边形O 的内接四边形， AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E ，且 CBCE ．（ 1）证明： D E ；（ 2）设 AD 不是O 的直径， AD 的中点为 M ，且 MBMC ，证明： ABC 为等边三角形．解：（ 1）由题设得， A ， B ， C ， D 四点共圆，因此， D CBE又 CB CE ， CBE E ，因此 D E5 分（ 2）设 BC 的中点为 N ，连结 MN ，则由 MB MC 知MN BC ，故 O 在直线 MN 上，又AD 不是 O 的直径， M 为 AD 的中点，故 OM AD ，即 MN AD ，因此 AD / /BC ，故 A CBE ，又 CBE E ，故 A E ，由（ 1）知， D E ，因此 ADE 为等边三角形．10 分2 2（ 23）【 2014 年全国Ⅰ，理 23，10 分】（选修 4-4：坐标系与参数方程）已知曲线C :xy1 ，49直线 l : x 2 t （ t 为参数）．y 2 2t（ 1）写出曲线 C 的参数方程，直线l 的一般方程；（ 2）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求 PA 的最大值与最小值．解：（ 1）曲线 C 的参数方程为x 2cos （为参数）直线 l 的一般方程为 2xy 60 ． 5分y3sin（ 2）曲线 C 上任意一点 P(2cos,3sin) 到 l 的距离为 d5| 4cos3sin6 |，5则|PA|d2 5 | 5sin() 6| ，其中为锐角，且 tan4 ，sin3053当 sin()1时， | PA | 获取最大值，最大值为2255当 sin() 1时， | PA | 获取最小值，最小值为 25 ．10 分50 且11（ 24）【 2014 年全国Ⅰ，理 24， 10 分】（选修 4-5：不等式选讲）若 a0 ， bab ．（ 1）求 a 3 b 3 的最小值；ab（ 2）可否存在 a, b ，使得 2a 3b 6？并说明原由．解：（ 1）由 ab 1 1 2，得 ab 2 ，且当 a b 2 时等号建立．a bab故 a 3 b 32 a3 b 34 2 ，且当 a b 2 时等号建立，因此a 3b 3 的最小值为 4 2 ．5分（ 2）由（ 1）知， 2a 3b 2 6 ab 4 3，由于 4 3 6 ，从而不存在 a,b ，使得 2a 3b 6 ．10 分。
2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2. 32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3. 设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4. 已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5. 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7. 执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588. 设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-= C .32παβ+=D .22παβ+=9. 不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10. 已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11. 已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1） 12. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考全国卷1理科数学试题及答案-(word版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12 小题，每小题 5 分，共60 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1. 已知集合A={ x| 2 2 3 0x x } ，B={ x| －2≤x＜2＝，则 A B =A .[-2,-1]B .[-1,2 ）C .[-1,1]D .[1,2）3 (1 i)2. =2(1 i)A .1 iB .1 iC . 1 iD . 1 i3. 设函数 f (x) ，g( x) 的定义域都为R，且 f ( x) 时奇函数，g( x) 是偶函数，则下列结论正确的是A . f (x) g( x) 是偶函数B .| f (x) |g(x) 是奇函数C . f (x) | g( x) |是奇函数D .| f ( x) g( x) |是奇函数4. 已知F 是双曲线 C ： 2 2 3 ( 0)x my m m 的一个焦点，则点 F 到C 的一条渐近线的距离为A . 3B .3C . 3mD . 3m5. 4 位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A . 18B .38C .58D .786. 如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x的函数 f ( x) ，则y = f (x) 在[0, ] 上的图像大致为5. 执行下图的程序框图，若输入的 a, b, k 分别为 1,2,3，则输出的 M =A .20 3B .165C .7 215 8D .6. 设(0, ) 2 ，(0, ) 2，且tan 1 sin cos，则A .3B . 222C .3D . 22 27. 不等式组xy 1 x 2y 4的解集记为 D .有下面四个命题：p ： (x, y) D, x 2y2 ， p 2 ： ( x, y) D ,x 2y 2 ,1P ： (x, y) D, x 2y 3 ， 3p ： (x, y) D ,x 2y1 .4其中真命题是A . p 2 ， PB . 3p ， p 4C . 1 p ， p 2D . 1p ， 1P38. 已知抛物线 C ：28yx 的焦点为 F ，准线为 l ， P 是 l 上一点， Q 是直线 PF 与C 的一个焦点，若F P 4FQ ，则 | QF |=A .7 2B .5 2C .3D .29. 已知函数 f (x) =33 2 1 axx ，若 f ( x) 存在唯一的零点 x 0 ，且 x 0 ＞0，则 a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）10. 如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .6 2B .4 2C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年全国高考数学(理科)试题及答案-新课标1卷(解析版)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅰ卷）数学（理科）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2. 回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效. 3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效. 4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<， ∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i+=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d = A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作M D ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x = 1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ =∴34PQ PF=，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014年全国高考-全国卷理科数学试题及答案
2014年普通高等学校统一考试（大纲）理科第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设103i zi，则z 的共轭复数为（）A ．13iB ．13i C ．13i D ．13i2. 设集合2{|340}M x xx ，{|05}Nx x ，则MN（）A ．(0,4]B ．[0,4)C ．[1,0)D ．(1,0]3. 设0sin 33a，0cos55b ，0tan 35c，则（）A ．a bcB ．bc a C ．cb a D ．ca b4. 若向量,a b 满足：||1a ，()a b a ，(2)a b b ，则||b （）A ．2B ．2C ．1D ．225. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有（）A ．60种B ．70种C ．75种D ．150种6. 已知椭圆C ：22221x y ab(0)a b 的左、右焦点为1F 、2F ，离心率为33，过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点，若1AF B 的周长为43，则C 的方程为（）A ．22132xyB ．2213xyC ．221128xyD ．221124xy7. 曲线1x y xe 在点（1,1）处切线的斜率等于（）A ．2eB ．eC ．2D ．18．正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为（）A ．814B ．16C ．9D ．2749. 已知双曲线C 的离心率为2，焦点为1F 、2F ，点A 在C 上，若12||2||F A F A ，则21cos AF F （）A ．14B ．13C ．24D ．2310. 等比数列{}n a 中，452,5a a ，则数列{lg }n a 的前8项和等于（）A ．6B ．5C ．4D ．311. 已知二面角l为060，AB ，AB l ，A 为垂足，CD，C l ，0135ACD，则异面直线AB 与CD 所成角的余弦值为（）A ．14B ．24C ．34D ．1212. 函数()yf x 的图象与函数()yg x 的图象关于直线0xy对称，则()yf x 的反函数是（）A ．()yg x B ．()y g x C ．()y g x D ．()y g x 第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.8()x y yx的展开式中22x y 的系数为.14. 设x 、y 满足约束条件02321xy xyx y，则4z xy 的最大值为.15．直线1l 和2l 是圆222xy的两条切线，若1l 与2l 的交点为（1,3），则1l 与2l 的夹角的正切值等于.16. 若函数()cos 2sin f x x a x 在区间(,)62是减函数，则a 的取值范围是.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分10分）ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知3cos 2cos a Cc A ，1tan 3A，求B.18.（本小题满分12分）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知110a ，2a 为整数，且4n S S .（1）求{}n a 的通项公式；（2）设11nn nb a a ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. （本小题满分12分）如图，三棱柱111ABCA B C 中，点1A 在平面ABC内的射影D 在AC 上，090ACB，11,2BC ACCC . （1）证明：11AC A B ；（2）设直线1AA 与平面11BCC B 的距离为3，求二面角1A ABC 的大小.20. （本小题满分12分）设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.60.50.50.4、、、，各人是否需使用设备相互独立.（1）求同一工作日至少3人需使用设备的概率；（2）X 表示同一工作日需使用设备的人数，求X 的数学期望.21. （本小题满分12分）已知抛物线C ：22(0)y px p 的焦点为F ，直线4y 与y 轴的交点为P ，与C 的交点为Q ，且5||||4QF PQ .（1）求C 的方程；（2）过F 的直线l 与C 相交于A 、B 两点，若AB 的垂直平分线'l 与C 相较于M 、N 两点，且A 、M 、B 、N 四点在同一圆上，求l 的方程.22. （本小题满分12分）函数()ln(1)(1)ax f x x a xa.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设111,ln(1)nn a a a ，证明：23+22na n n.参考答案一、选择题：1. D2.B3.C4.B5.C6.A7.C8.A9.A10.C11.B12.D二、填空题：13. 70 14. 5 15.4316.(,2]三、解答题：17.（本小题满分10分）解：由题设和正弦定理得3sin cos 2sin cos A C C A故3tan cos 2sin A CC因为1tan 3A ，所以cos 2sin CC即1tan 2C……………………………6分所以tan tan[180()]B AC tan()A C tan tan tan tan 1A CA C ……………8分1即135B ………………………………10分18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由110a ，2a 为整数知，等差数列{}n a 的公差d 为整数又4nS S ，故450,0a a 即1030,1040d d 解得10532d因此3d数列{}n a 的通项公式为133na n …………………………………6分（Ⅱ）1111()(133)(103)3103133nb n n nn………………………8分于是12...n nT b b b 1111111[()()...()]371047103133nn 111()310310n 10(103)n n ……………….12分19.（本小题满分12分）解法一：（Ⅰ）因为1A D平面1,ABC A D平面11AAC C ，故平面11AAC C平面ABC ，又BCAC ，所以BC平面11AAC C ，……………3分连结1AC ，因为侧面11AAC C 为菱形，故11AC AC 由三垂线定理得11AC A B ………5分（Ⅱ）BC平面11,AAC C BC平面11BCC B ，故平面11AAC C 平面11BCC B 作11,A ECC E 为垂足，则1A E 平面11BCC B 又直线1//AA 平面11BCC B ，因而1A E 为直线1AA 与平面11BCC B 的距离，13A E因为1AC 为1ACC 的平分线，故113A D A E………………8分作,DF AB F 为垂足，连结1A F ，由三垂线定理得1A FAB ，故1A FD 为二面角1A ABC 的平面角由22111ADAA A D得D 为AC 中点，1525AC BC DFAB ，11tan 15A D A FDDF所以二面角1A ABC 的大小为arctan 15………………12分解法二：以C 为坐标原点，射线CA 为x 轴的正半轴，以CB 的长为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系C xyz ，由题设知1A D 与z 轴平行，x 轴在平面11AAC C 内（Ⅰ）设1(,0,)A a c ，由题设有2a，(2,0,0)A ，(0,1,0)B ，则(2,1,0)AB ，(2,0,0)AC ，1(2,0,)AA a c ，11(4,0,)AC ACAA a c ，1(,1,)BA a c ………………2分由1||2AA 得22(2)2a c，即2240aac①于是221140AC BA aa c，所以11AC A B ………………………5分（Ⅱ）设平面11BCC B 的法向量(,,)mx y z ，则1,m CB mBB ，即0m CB，1m BB 因为(0,1,0)CB，11(2,0,)BB AA a c ，故0y ，且(2)0a x cz 令x c ，则2za ，(,0,2)mc a ，点A 到平面11BCC B 的距离为22||2|||cos,|||(2)CA m c CA m CA cm ca 又依题设，A 到平面11BCC B 的距离为3，所以3c 代入①解得3a （舍去）或1a………………………………………8分于是1(1,0,3)AA 设平面1ABA 的法向量(,,)n p q r ，则1,nAA n AB ，即10n AA ，0n AB ，30pr且20pq，令3p ，则23q ，1r ，(3,23,1)n ，又(0,0,1)p为平面ABC 的法向量，故。
2014年高考理科数学全国卷1含答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=【A 】A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）2.32(1)(1)i i +-=【D 】A .1i +B .1i -C .1i -+D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是【B 】A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F是双曲线C：223(0)x my m m-=>的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为【A】AB.3 CD.3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】A.18B.38C.58D.786.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数()f x，则y=()f x在[0,π]上的图像大致为【B】7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k分别为1,2,3，则输出的M=【D】A.203B.165C.72D.1588.设(0,)2πα∈，(0,2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则【B 】 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是【C 】A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =【C 】A .72B .52 C .3D .211.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为【C 】A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C 】A. B. C .6 D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考真题——数学理(全国Ⅰ卷)+Word版含答解析
2014年高招全国课标1（理科数学word 解析版）第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={}22x x -≤<，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2）【答案】：A【解析】：∵A={x |2230x x --≥}={}13x x x ≤-≥或，B={}22x x -≤<，∴A B ⋂={}21x x -≤≤，选A..2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --【答案】：D【解析】：∵32(1)(1)i i +-=2(1)12i i i i +=---，选D..3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数【答案】：C【解析】：设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .B .3CD .3m【答案】：A【解析】：由C ：223(0)x my m m -=>，得22133x y m -=，233,c m c =+=设)F，一条渐近线y x =，即0x =，则点F 到C 的一条渐近线的距离d = A. .5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .78【答案】：D【解析】：4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有4216=种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：①一天一人一天三人有11428C A =种；②每天2人有246C =种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为867168+=；或间接解法：4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为1627168-=；选D.6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为【答案】：B【解析】：如图：过M 作M D ⊥OP 于Ｄ，则 PM=sin x ，OM=cos x ,在Rt OMP ∆中，MD=cos sin 1x xOM PM OP =cos sin x x =1sin 22x =，∴()f x 1sin 2(0)2x x π=≤≤，选B. .7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .158【答案】：D【解析】：输入1,2,3a b k ===；1n =时：1331,2,222M a b =+===； 2n =时：28382,,3323M a b =+===；3n =时：3315815,,28838M a b =+===；4n =时：输出158M = . 选D.8.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=【答案】：Ｂ【解析】：∵sin 1sin tan cos cos αβααβ+==，∴sin cos cos cos sin αβααβ=+ ()sin cos sin 2παβαα⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，,02222ππππαβα-<-<<-<∴2παβα-=-，即22παβ-=，选B9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P【答案】：C【解析】：作出可行域如图：设2x y z +=，即122zy x =-+，当直线过()2,1A -时，min 220z =-+=，∴0z ≥，∴命题1p 、2p 真命题，选C.10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 【答案】：C【解析】：过Q 作Q M ⊥直线L 于M ，∵4FP FQ = ∴34PQPF =，又344QM PQ PF ==，∴3QM =，由抛物线定义知3QF QM == 选C11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）【答案】：B【解析1】：由已知0a ≠，2()36f x ax x '=-，令()0f x '=，得0x =或2x a=， 当0a >时，()22,0,()0;0,,()0;,,()0x f x x f x x f x a a ⎛⎫⎛⎫'''∈-∞>∈<∈+∞> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；且(0)10f =>，()f x 有小于零的零点，不符合题意。
2014年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
18．（12 分）从某企业生产的某种产品中抽取 500 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结 果得如下频率分布直方图：
A．6
B．6
C．4
D．4
二、填空题（共 4 小题，每小题 5 分） 13．（5 分）（x﹣y）（x+y）8 的展开式中 x2y7 的系数为 ．（用数字填写答案） 14．（5 分）甲、乙、丙三位同学被问到是否去过 A，B，C 三个城市时， 甲说：我去过的城市比乙多，但没去过 B 城市； 乙说：我没去过 C 城市； 丙说：我们三人去过同一城市；
A．1+i
B．1﹣i
C．﹣1+i
D．﹣1﹣i
3．（5 分）设函数 f（x），g（x）的定义域都为 R，且 f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，则下列结
论正确的是（ ）
A．f（x）•g（x）是偶函数
B．|f（x）|•g（x）是奇函数
C．f（x）•|g（x）|是奇函数
D．|f（x）•g（x）|是奇函数
（Ⅰ）求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s2（同一组中数据用该组区间的中点 值作代表）；
（Ⅱ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N（μ，σ2），其中 μ 近似为样本 平均数 ，σ2 近似为样本方差 s2．
（i）利用该正态分布，求 P（187.8＜Z＜212.2）； （ii）某用户从该企业购买了 100 件这种产品，记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间
A．p2，p3
B．p1，p4
C．p1，p2
D．p1，p3
10．（5 分）已知抛物线 C：y2=8x 的焦点为 F，准线为 l，P 是 l 上一点，Q 是直线 PF 与 C 的一个交
2014全国新课标版1高考数学试卷及答案(理科)
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标1理科数学注意事项1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂= A .[-2,-1] B .[-1,2） C .[-1,1] D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是 A .()f x ()g x 是偶函数 B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为学科网A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203B .165C .72D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+= 9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-，2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥,3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤，4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3PB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3P10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF = A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，学科网若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为A .（2，+∞）B .（-∞，-2）C .（1，+∞）D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年全国卷1(理科数学)含答案
绝密★启用前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国Ⅰ卷）注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3. 回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第Ⅰ卷一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={|}，B={|－2≤＜2＝，则=【A 】.[-2,-1] .[-1,2） .[-1,1] .[1,2）2.=【D 】. . . .3.设函数，的定义域都为R ，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是【B 】.是偶函数 .||是奇函数.||是奇函数 .||是奇函数x 2230x x --≥x x A B ⋂A B C D 32(1)(1)i i +-A 1i +B 1i -C 1i -+D 1i --()f x ()g x ()f x ()g x A ()f x ()g x B ()f x ()g x C ()f x ()g x D ()f x ()g x4.已知是双曲线：的一个焦点，则点到的一条渐近线的距离为【A】..3 ..5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率【D】....6.如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角的始边为射线，终边为射线，过点作直线的垂线，垂足为，将点到直线的距离表示为的函数，则=在[0,]上的图像大致为【B】7.执行下图的程序框图，若输入的分别为1,2,3，则输出的=【D】....F C223(0)x my m m-=>F CA3B C3m D3mA18B38C58D78x OA OP P OA M M OPx()f x y()f xπ,,a b k MA203B165C72D1588.设，，且，则【B 】 ....9.不等式组的解集记为.有下面四个命题：：，：,：，：.其中真命题是【C 】.， .， .， .，10.已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个焦点，若，则=【C 】. . .3 .211.已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为【C 】.（2，+∞） .（-∞，-2） .（1，+∞） .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为【C 】. . .6 .4第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年高考理科数学全国卷1-答案
A B=--[+∞，所以[2,3,])，集合B，求A B.2i(1i)+=-则(4,P F =-，0(FQ x =-【解析】由题易知点AC与AB的夹角为【考点】数量积表示两个向量的夹角因为+10n a ≠，所以+2n n a a λ-=.（2）由题设11a =，1211a a S λ=-，可得21a λ=-，由（1）知31a λ=+，若{}n a 为等差数列，则2132a a a =+，解得4λ=，故+24n n a a -=.由此可得21{}n a -是首项为1，公差为4的等差数列，2143n n a -=-；2{}n a 是首项为3，公差为4的等差数列，2=41n a n -.所以21n a n =-，+1n n a a -=2.因此存在4λ=，使得数列{}n a 为等差数列. 【提示】根据等差数列知识完成证明，求出使得{}n a 为等差数列的参数λ 【考点】等差数列18.【答案】（1）200=平均数2150s =（2）（i ）0.6826 （ii ）68.26【解析】（1）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s 分别为：平均数1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.2222222(30)(20)(10)0020090220033102420008300025010s ---=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．．．.（2）（i ）由（1）知(200,150)ZN ，从而187821222001222001220.682()6)(P Z P Z <<=-<<+=．．．．. （ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间1878,2(212)．．的概率为06826．，依题意知100,0682 ()6X B ～．，所以100068266826EX =⨯=．．.【提示】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率. 【考点】平均数和方差及正态分布19.【答案】（1）证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C ⊥1BC ， 且O 为1B C 及1BC 的中点.又AB ⊥1B C ，所以1B C ⊥平面ABO . 由于AO ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AO .又1B O CO =，故1AC AB =. （2）因为AC ⊥1AB ，且O 为1B C 的中点，所以AO CO =.又因为AB BC =，所以BOA BOC △△≌.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，||OB 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -. 因为∠160CBB ︒=，所以1CBB △为等边三角形，10,B A ⎛= ，1,0,AB ⎛= ，1,BC ⎛-- 设(,n x y =B 的法向量，则即33y -1|||7n m n m =.所以结合图形知二面角221431k k -+.22||44341k d k PQ -=+，即k =±知，∠D=∠E，所以△ADE为等边三角形.。
2014年高考数学全国I卷(理)真含答案
绝密★启封并使用完毕前2014年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。
全卷满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页。
2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。
3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。
4. 考试结束，将本试题和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷A 卷一．(1)已知集合A={}032|2≥--x x x ,B={}22|<≤-x x ，则=B A A []1,2-- B [)2,1- C []1,1- D [)2,1(2) 23)1()1(i i -+=A i +1B i -1C i +-1D i --1(3)设函数)(x f ,)(x g 的定义域都为R ，且)(x f 是奇函数,)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是 A )()(x g x f 是偶函数 B )(|)(|x g x f 是奇函数 C |)(|)(x g x f 是奇函数 D |)()(|x g x f 是奇函数(4)已知F 为双曲线C:)0(322>=-m m my x 的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为 A 3 B 3 C m 3 D m 3(5)4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为 A81 B 83 C 85 D 87 (6)如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数)(x f ，则)(x f y =在[]π,0的图像大致为A BC D (7)执行右图的程序框图，若输入的k b a ,,分别为1,2,3，则输出的M= A320 B 27 C 516 D 815(8)设)2,0(πα∈,)2,0(πβ∈，且ββαcos sin 1tan +=，则A 23πβα=- B 23πβα=+ C 22πβα=-D2α(9)不等式组⎩⎨⎧≤-≥+421y x y x 的解集记为D 22,),(:1-≥+∈∀y x D y x P22,),(:2≥+∈∃y x D y x P32,),(:3≤+∈∀y x D y x P 12,),(:4-≤+∈∃y x D y x P 其中的真命题是A 32p pB 21p pC 41p pD 31p p(10)已知抛物线C ：x y 82=的焦点为F ，准线为l ，P 上一点,Q 是直线PF 与C 的一个交点。
(完整版)2014年新课标I卷高考理科数学试卷(带详解)
2014高考真题·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)一、选择题1.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ＝{x |223x x －－≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) B.[－1，1] D.[1，2) 【测量目标】集合的交集.【考查方式】给出集合A 、集合B ，求A ∩B. 【参考答案】A.【试题解析】集合A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A ∩B ＝[－2，－1]. 【难易程度】容易题2.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]32(1i)(1i)+-＝( )A.1＋iB.1－IC.－1＋iD.－1－i 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】对给出的复数进行化简. 【参考答案】D【试题解析】 32(1i)(1i)+-＝22(1i)(1i)(1i)++-＝2i(1i)2i+-＝－1－i.【难易程度】容易题3.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.|f (x )|g (x )是奇函数C.f (x )|g (x )|是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数 【测量目标】函数奇偶性【考查方式】判断复合函数的奇偶性. 【参考答案】C.【试题解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C. 【难易程度】容易题.4.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C ：223x my m －=(m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )B.3 D.3m【测量目标】双曲线及点到直线的距离.【考查方式】给出含参数双曲线方程，求焦点到渐近线的距离. 【参考答案】A【试题解析】双曲线的一条渐近线的方程为x ＝0.根据双曲线方程得2=3a m ，23b =，所以c双曲线的右焦点坐标为0).【难易程度】容易题 5.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78【测量目标】概率计算【考查方式】以生活实际为情境，根据条件求出概率【参考答案】D【试题解析】每位同学有2种选法，基本事件的总数为4216=，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为27 1.168 -=【难易程度】容易题6. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为()A(ZX056) B(ZX057) C(ZX058) D(ZX059)【测量目标】函数图像【考查方式】根据题意判断函数图像【参考答案】C【试题解析】根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为12|sin x cos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin x cos x|＝12|sin 2x|，且当x＝π2时上述关系也成立，故函数f(x)的图像为选项C中的图像.【难易程度】容易题7.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝()第7题图(ZX035)A.203B.165C.72D.158【测量目标】程序框图【考查方式】给出程序框图求输出结果【参考答案】D【试题解析】逐次计算，依次可得：M＝32，a＝2，b＝32，n＝2；M＝83，a＝32，b＝83，n＝3；M＝158，a＝83，b＝158，n＝4.此时输出M，故输出的是158.【难易程度】容易题8.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，β∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，且tan α＝1sincosββ+，则()A.3α－β＝π2B.3α＋β＝π2C.2α－β＝π2D.2α＋β＝π2【测量目标】三角恒等变换【考查方式】给出,αβ的范围利用三角恒等变换求解.【参考答案】C【试题解析】tan α＝1sincosββ+＝222cos sin22cos sin22ββββ⎛⎫+⎪⎝⎭-＝cos sin22cos sin22ββββ+-＝1tan21tan2ββ+-＝tanπ42β⎛⎫+⎪⎝⎭，因为β∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以π4＋2β∈ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，又α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭且tan α＝tanπ42β⎛⎫+⎪⎝⎭，所以α＝π42β+，即2α－β＝π2.【难易程度】中等题9. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组124x yx y+⎧⎨-⎩的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2;p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2;p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3;p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A.23p p， B.12p p，14p p， D.13p p，【测量目标】考查线性规划中目标函数的最值、全称命题与特称命题【考查方式】给出不等式组求解集判断命题的正误【参考答案】B【试题解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且minz＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题12p p，为真，命题34p p，为假.第9题图(ZX060)【难易程度】中等题10.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：28y x=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF 与C的一个交点.若FPFQ＝4，则|QF|＝()A.72B.3C.52D.2【测量目标】抛物线定义与性质【考查方式】给出抛物线方程根据抛物线性质求线段长度 【参考答案】B【试题解析】 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (00x y ，)，则FP ＝(－4，t )，FQ ＝(002x y －，)，由FP ＝4FQ ，得－4＝4(0x －2)，解得0x ＝1，根据抛物线定义得|QF |＝0x ＋2＝3. 【难易程度】中等题11.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝3231ax x －＋，若f (x )存在唯一的零点0x ，且0x >0，则a 的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－1) 【测量目标】利用导函数求零点【考查方式】利用导函数得出零点求参数取值范围 【参考答案】C【试题解析】当a ＝0时，f (x )＝231x －＋，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.由()2360f x ax x '-==，得x ＝0或x ＝2a .若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且()f x 极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a，且()f x 极小值＝f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝224a a -，此时只需224a a ->0，即可解得a <－2；若a >0，则()f x 极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2).【难易程度】中等题 12.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )第12题图(ZX061)A.62 B.6 C.4 2 D.4【测量目标】三视图【考查方式】根据三视图求棱长 【参考答案】B【试题解析】 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥11-E CC D (其中E 为1BB 的中点)，其中最长的棱为1D E ＝22(42)2+＝6.第12题图(ZX062)【难易程度】容易题 二、填空题13.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]8()()x y x y －＋的展开式中27x y 的系数为________.(用数字填写答案) 【测量目标】二项式定理【考查方式】利用二项式定理求某项的系数. 【参考答案】－20【试题解析】8()x y ＋的展开式中7xy 的系数为78C =8，26x y 的系数为68C 28=，故8()()x y x y －＋的展开式中28x y 的系数为8－28＝－20.【难易程度】容易题 14.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.【测量目标】考查逻辑思维能力【考查方式】以实际情境为载体考查学生逻辑思维能力 【参考答案】A【试题解析】由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市. 【难易程度】容易题15.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ＝12(AB ＋AC )，则AC 与AB 的夹角为________.【测量目标】圆的性质与向量运算.【考查方式】根据圆的性质的出向量的夹角 【参考答案】.90°【试题解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.【难易程度】容易题 16.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________. 【测量目标】考查正弦定理与余弦定理及基本不等式.【考查方式】根据正弦定理与余弦定理及基本不等式求解三角形最大面积【试题解析】根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得222b c a bc ＋－=，根据余弦定理得cos A ＝2222b c a bc +-＝12，所以A ＝π3.根据及222b c a bc ＋－=基本不等式得22bcbc a －，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为1422⨯⨯=【难易程度】中等题三、解答题17. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝1，n a ≠0，1n n a a ＋＝1n S λ－，其中λ为常数.(1)证明：2.n n a a λ＋-=(2)是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 【测量目标】考查等差数列【考查方式】根据等差数列知识完成证明，求出使得{}n a 为等差数列的参数λ【试题解析】(1)证明：由题设，11n n n a a S λ＋=－，1211n n n a a S λ＋＋＋=－，两式相减得121()n n n n a a a a λ＋＋＋－=.因为10n a ≠＋，所以2n n a a λ＋－=.(2)由题设，1a ＝1，12a a ＝11S λ－，可得2a ＝λ－1，由(1)知，3a ＝λ＋1.若{}n a 为等差数列，则2132a a a =＋，解得λ＝4，故24n n a a ＋-=.由此可得21{}n a －是首项为1，公差为4的等差数列，21n a －＝4n －3；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =－.所以n a ＝2n －1，1n n a a ＋－＝2.因此存在λ＝4，使得数列{}n a 为等差数列.【难易程度】中等题18. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：第18题图(ZX063)(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (2)μσ，，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX .15012.2.若Z ～N (μ，2σ)，则p (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，p (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.【测量目标】考查平均数和方差及正态分布【考查方式】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率.【试题解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s 分别为：平均数＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.2s ＝2(30)-×0.02＋2(20)-×0.09＋2(10)-×0.22＋0×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝150.(2)(i)由(1)知，Z ～N (200，150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以EX ＝100×0.682 6＝68.26. 【难易程度】中等题19. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]三棱柱111-ABC A B C 中，底面11BB C C 为菱形，AB ⊥1B C . (1)证明：AC ＝1AB ；(2)若AC ⊥1AB ，∠1CBB ＝60°，AB ＝BC ，求二面角111--A A B C 的余弦值.第19题图(ZX064)【测量目标】立体几何直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系 【考查方式】给出立体几何求证直线与直线相等及二面角的余弦值【试题解析】(1)证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C ⊥1BC ，且O 为1B C 及1BC 的中点.又AB ⊥1B C ，所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AO .又1B O ＝CO ，故AC ＝1AB .(2)因为AC ⊥1AB ，且O 为1B C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以BOA BOC △△≌.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为∠160CBB ︒=，所以1CBB △为等边三角形，又AB ＝BC ，则A 30,0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B (1，0，0)，B 130,,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，C 30,,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.1B A ＝330,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AB ＝31,0,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，BC ＝31,03⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设n ＝(x ，y ，z )是平面11AA B 的法向量，则即33030.3y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以可取n ＝(1，3，3).设m 是平面111A B C 的法向量，则同理可取m ＝(1，－3，3).则cos 〈n ，m 〉＝||||n m n m ⋅＝17.所以结合图形知二面角111--A A B C 的余弦值为17.第19题图(ZX065)【难易程度】中等题20.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：2222=1x y a b+ (a >b >0)，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程. 【测量目标】考查圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线的性质【考查方式】根据条件写出椭圆方程及一条直线与椭圆相交围成面积最大时直线方程 【试题解析】(1)设F (c ，0)，由条件知，23c =，得c.又2c a =，所以a ＝2，2221b a c =－=.故E 的方程为2214x y +=.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，11()P x y ，，22()Q x y ，.将y ＝kx －2代入得22(14)16120k x kx ＋－＋=，当216(43)0k ∆>=－，即234k >从而12|||PQ x x =-＝241k +.又点O 到直线l 的距离d.所以△OPQ 的面积OPQ S △＝12d ·|PQ |＝.241k +t ，则t >0，OPQS △＝244.44t t t t=++因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝时等号成立，满足∆>0，所以，当OPQ △的面积最大时，k ＝，l 的方程为yx －2或yx －2. 【难易程度】较难题21.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝1ln x xbe ae x x-+，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【测量目标】考查导数的应用【考查方式】给出函数及切线方程求参数a ,b;完成证明【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，-1-12()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x '=+-+，由题意可得f (1)＝2，()1f '＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝-12ln xx e x e x +，从而f (x )>1等价于-2ln .x x x xe e>-设函数g (x )＝x ln x ，则()g x '＝1＋ln x ，所以当x ∈10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()g x ' <0；当x ∈1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()g x ' >0.故g (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－1e .设函数h (x )＝2xxe e--，则()e (1)x h x x '－＝－，所以当x ∈(0，1)时，()0h x '>；当x ∈(1，＋∞)时，()0h x '<.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. 因为min max 1()(1)()g x g h h x e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 【难易程度】较难题22.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE . (1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形.第22题图(ZX040)【测量目标】圆的性质【考查方式】根据圆的性质证明【试题解析】(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上.又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ，所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E ，由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形. 【难易程度】容易题第22题图(ZX041)23.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C ：22=149x y +，直线l 222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【测量目标】考查参数方程【考查方式】考查参数方程与普通方程的转换，并求|P A |的最大值与最小值【试题解析】(1)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离d θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝sin 30d ＝θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为5. 【难易程度】中等题24.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修45：不等式选讲若a >0，b >0，且11a b+=(1)求33a b ＋的最小值.(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由. 【测量目标】不等式的运用【考察方法】利用不等式求最值，求满足条件的参数的值【试题解析】(1)＝1a ＋1b ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立.故33a b ＋≥≥，当且仅当a ＝b 时等号成立.所以33a b ＋的最小值为.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥由于，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6. 【难易程度】中等题。
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2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 理科数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A .3B .3C .3mD .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18B .38C .58D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3pB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3p10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72 B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1） 12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .62B .42C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。
第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。
二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。
13.8()()x y x y -+的展开式中22x y 的系数为 .(用数字填写答案) 14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市； 乙说：我没去过C 城市； 丙说：我们三人去过同一个城市. 由此可判断乙去过的城市为 . 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 16.已知,,a b c 分别为ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-，则ABC ∆面积的最大值为 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题满分12分)已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.（I ）证明：2n n a a λ+-=；（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由.18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s （同一组数据用该区间的中点值作代表）； （Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μδ，其中μ近似为样本平均数x ，2δ近似为样本方差2s .（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，学科网记X 表示这100件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求EX .附：150≈12.2.若Z ～2(,)N μδ，则()P Z μδμδ-<<+=0.6826，(22)P Z μδμδ-<<+=0.9544.19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC A B C -中， 侧面11BB C C 为菱形，1AB B C ⊥. （I ）证明：1AC AB =；（Ⅱ）若1AC AB ⊥，o 160CBB ∠=，AB=Bc ，求二面角111A A B C --的余弦值.20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为32，F 是椭圆的焦点，直线AF 的斜率为233，O 为坐标原点. （I ）求E 的方程；（Ⅱ）设过点A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当OPQ ∆的面积最大时，求l 的方程.21. (本小题满分12分)设函数1(0ln x xbe f x ae x x-=+，曲线()y f x =在点（1，(1)f ）处的切线为(1)2y e x =-+. （I ）求,a b ； （Ⅱ）证明：()1f x >.请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
注意：只能做所选定的题目。
如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB=CE (Ⅰ)证明：∠D=∠E ；学科网（Ⅱ）设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB=MC ，证明：△ADE 为等边三角形. 23. （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t=+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （I ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.24. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 若0,0a b >>，且11ab a b+=. （I ） 求33a b +的最小值；（Ⅱ）是否存在,a b ，使得236a b +=？并说明理由.2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I 答案1—5ADCAD 6—12 CDCBBCB 13．－20 14．A 15．90° 16．217．【解析】：(Ⅰ)由题设11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-，两式相减()121n n n n a a a a λ+++-=，由于0n a ≠，所以2n n a a λ+-= …………6分（Ⅱ）由题设1a =1，1211a a S λ=-，可得211a λ=-，由(Ⅰ)知31a λ=+ 假设{n a }为等差数列，则123,,a a a 成等差数列，∴1322a a a +=，解得4λ=； 证明4λ=时，{n a }为等差数列：由24n n a a +-=知数列奇数项构成的数列{}21m a -是首项为1，公差为4的等差数列2143m a m -=- 令21,n m =-则12n m +=，∴21n a n =-(21)n m =- 数列偶数项构成的数列{}2m a 是首项为3，公差为4的等差数列241m a m =- 令2,n m =则2nm =，∴21n a n =-(2)n m = ∴21n a n =-（*n N ∈），12n n a a +-=因此，存在存在4λ=，使得{n a }为等差数列. ………12分 18．【解析】：(Ⅰ) 抽取产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s 分别为1700.021800.091900.222000.332100.242200.082300.02200x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= ()()()()()()2222222300.02200.09100.2200.33100.24200.08300.02s =-⨯+-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯150= …………6分（Ⅱ）（ⅰ）由(Ⅰ)知Z ～(200,150)N ，从而(187.8212.2)P Z <<=(20012.220012.2)0.6826P Z -<<+= ………………9分（ⅱ）由（ⅰ）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826 依题意知(100,0.6826)XB ，所以1000.682668.26EX =⨯= ………12分19．【解析】：(Ⅰ)连结1BC ，交1B C 于O ，连结AO ．因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C 1BC ⊥，且O 为1B C 与1BC 的中点．又1AB B C ⊥，所以1B C ⊥平面ABO ，故1B C AO⊥又 1B O CO =，故1AC AB = ………6分（Ⅱ）因为1AC AB ⊥且O 为1B C 的中点，所以AO=CO 又因为AB=BC ，所以BOA BOC ∆≅∆ 故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两互相垂直． 以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，OB 为单位长，建立如图所示空间直角坐标系O-xyz ． 因为0160CBB ∠=，所以1CBB ∆为等边三角形．又AB=BC ，则30,0,3A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，()1,0,0B ，130,,03B ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，30,,03C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ 1330,,33AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，1131,0,,3A B AB ⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭1131,,03B C BC ⎛⎫==-- ⎪ ⎪⎝⎭设(),,n x y z =是平面的法向量，则11100n AB nA B ⎧=⎪⎨=⎪⎩，即33033303y z x z ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩所以可取()1,3,3n =设m 是平面的法向量，则11110m A B n B C ⎧=⎪⎨=⎪⎩，同理可取()1,3,3m =-则1cos ,7n m n m n m==，所以二面角111A A B C --的余弦值为17.20．【解析】(Ⅰ) 设(),0F c ，由条件知2233c =，得3c = 又32c a =， 所以a=2，2221b a c =-= ,故E 的方程2214x y +=. ……….6分（Ⅱ）依题意当l x ⊥轴不合题意，故设直线l ：2y kx =-，设()()1122,,,P x y Q x y将2y kx =-代入2214x y +=，得()221416120k x kx +-+=， 当216(43)0k ∆=->，即234k >时，21,22824314k k x k ±-=+从而2221224143114k k PQ k x x k +-=+-=+又点O 到直线PQ 的距离221d k =+，所以∆OPQ 的面积221443214OPQk S d PQ k∆-==+ ， 设243k t -=，则0t >，244144OPQ t S t t t∆==≤++， 当且仅当2t =，72k =±时等号成立，且满足0∆>，所以当∆OPQ 的面积最大时，l 的方程为：722y x =- 或722y x =--. …………………………12分 21．【解析】(Ⅰ) 函数()f x 的定义域为()0,+∞，112()ln x x x x a b b f x ae x e e e x x x--'=+-+ 由题意可得(1)2,(1)f f e'==，故1,2a b == ……………6分（Ⅱ）由(Ⅰ)知，12()ln x xe f x e x x -=+，从而()1f x >等价于2ln x x x xe e->- 设函数()ln g x x x =，则()ln g x x x '=+，所以当10,x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<，当1,x e ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '>，故()g x 在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，从而()g x 在()0,+∞的最小值为11()g e e=-. ……………8分 设函数2()x h x xe e-=-，则()()1x h x e x -'=-，所以当()0,1x ∈时，()0h x '>，当()1,x ∈+∞时，()0h x '<，故()h x 在()0,1单调递增，在()1,+∞单调递减，从而()h x ()g x 在()0,+∞的最小值为1(1)h e=-. 综上：当0x >时，()()g x h x >，即()1f x >. ……12分22．【解析】.(Ⅰ) 由题设知得A 、B 、C 、D 四点共圆，所以∠D=∠CBE ，由已知得，∠CBE=∠E , 所以∠D=∠E ……………5分（Ⅱ）设BCN 中点为，连接MN,则由MB=MC ,知MN ⊥BC 所以O 在MN 上，又AD 不是O 的直径，M 为AD 中点，故OM ⊥AD ， 即MN ⊥AD ，所以AD//BC,故∠A=∠CBE ， 又∠CBE=∠E ，故∠A=∠E 由(Ⅰ)（1）知∠D=∠E ， 所以△ADE 为等边三角形． ……………10分 23．【解析】.(Ⅰ) 曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ （θ为参数），直线l 的普通方程为：260x y +-= ………5分（Ⅱ）（2）在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为54cos 3sin 65d θθ=+-， 则()025||5sin 6sin 305d PA θα==+-，其中α为锐角．且4tan 3α=. 当()sin 1θα+=-时，||PA 2255当()sin 1θα+=时，||PA 255…………10分 24．【解析】(Ⅰ) 112ab a b ab=+≥，得2ab ≥，且当2a b ==时等号成立， 故3333342a b a b +≥=，且当2a b ==33a b +的最小值为2.…5分（Ⅱ）由(Ⅰ)知：232643a b ab +≥≥，由于36，从而不存在,a b ，使得236a b +=. ……………10分。