2014年高考理科数学试题(含答案)

河北省2014年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学

注意事项：

1. 本试题分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

2. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。

3. 全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效.。

4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回.

第Ⅰ卷

一．选择题：共12小题，每小题5分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合2

{|230}A x x x =--≥，{|22}B x x =-≤<，则A B ⋂=

A. [2,1]--

B. [1,2)-

C. [1,1]-

D. [1,2) 2、32(1)(1)i i +=- A. 1i + B. 1i - C. 1i -+ D. 1i --

3、设函数()f x 、()g x 的定义域都为R ，且()f x 是奇函数，()g x 是偶函数。则下列结论中正确的是

A. ()f x ()g x 是偶函数

B. |()|()f x g x 是奇函数

C. ()|()|f x g x 是奇函数

D. |()()|f x g x 是奇函数

4、已知F 为双曲线C: 223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为

A. 3

B. 3

C. 3m

D. 3m

5、4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六周日都有同学参加公益活动的概率为

A. 18

B. 38

C. 58

D. 78

6、如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的

始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 做直线OA 的垂线，垂足

为M ，将点M 到直线OP 的距离表示成x 的函数()f x ，则

()y f x =在[0,]π的图像大致为

7、执行右面的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1，2，3，

则输出的M =

A. 203

B. 165

C. 72

D. 158

8、设(0,)2πα∈，(0,)2

πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A. 32παβ-=

B. 32παβ+=

C. 22παβ-=

D. 22παβ+=

9、不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩

的解集记为D, 有下面四个命题： 1p ：(,)x y D ∀∈, 22x y +≥- 2p ：(,)x y D ∃∈，22x y +≥

3p ：(,)x y D ∀∈，23x y +≤ 4p ：(,)x y D ∃∈，21x y +≤-

其中的真命题是

A. 23,p p

B. 12,p p

C. 14,p p

D. 13,p p

10、已知抛物线C ：2

8y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若 4FP FQ =, 则||QF =

A.

72 B. 3 C. 52

D. 2

11、已知函数32()31f x ax x =-+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且00x >，则a 的取值范围是

A. (2,)+∞

B. (1,)+∞

C. (,2)-∞-

D. (,1)-∞-

12、如图网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体 的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为 A. 62 B. 6

C. 42

D. 4

第Ⅱ卷

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13、8

()()x y x y -+的展开式中27x y 的系数为_______. (用数字填写答案)

14、甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A 、B 、C 三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；

乙说：我没去过C 城市；

丙说：我们三人去过同一城市；

由此可判断乙去过的城市为_______.

15、已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2

AO AB AC =

+，则AB 与AC 的夹角为 . 16、已知a 、b 、

c 分别为ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边，2a =，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C +-=-,则ABC ∆面积的最大值为_______.

答案：

一、选择题

1—5 ADCAD 6—10 CDCBB 11. C 12. B

二、填空题

13. 20- 14. A 15.

2

π 16. 3

三. 解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17. (本小题满分12分)

已知数列{n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ≠，11n n n a a S λ+=-，其中λ为常数.

（Ⅰ）证明：2n n a a λ+-=；

（Ⅱ）是否存在λ，使得{n a }为等差数列？并说明理由。

解：

（Ⅰ）由题设，11n n n a a S λ+=-，1211n n n a a S λ+++=-

两式相减得121()n n n n a a a a λ+++-=，而10n a +≠， ∴ 2n n a a λ+-=

（Ⅱ）112111a a S a λλ=-=-，而1a =1，解得21a λ=- ，又 311a a λλ=+=+

令2132a a a =+，解得4λ=。此时1a =1，23a =，35a =，24n n a a +-=

∴ {n a }是首项为1，公差为2的等差数列。 即存在4λ=，使得{n a }为等差数列。

18. (本小题满分12分)

从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：

(Ⅰ) 求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2

s （同一组中的数据用该组区间的中点值作

代表）；

（Ⅱ） 由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布2(,)N μσ，其中μ近似为样本平均数x ，2σ近似为样本方差2s .

（ⅰ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z <<；

（ⅱ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间

（187.8,212.2）的产品件数，利用（ⅰ）的结果，求EX . 15012.2.

若Z ～2

(,)N μσ，则()P Z μσμσ-<<+=0.6826，(22)P Z μσμσ-<<+=0.9544.