2020年1月广东省普通高中学业水平考试数学模拟卷二

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2020年广东省普通高中学业水平考试测试题二(含答案)

2020年广东省普通高中学业水平考试数学周测试题 (二)一、选择题（本题共有15小题，每小题4分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1、已知集合A={-2,-1,0,1,2,3},B={x|x2-2x-3<0},则A∩B=()A．{-1,0} B．{0,1,2} C．{-1,0,1} D．{-2,-1,0}2、.设i是虚数单位,x是实数,若复数的虚部是2,则x= ( )A. 4B. 2C. -2D. -43、某校高一(1)班有男、女学生共50人,其中男生20人,用分层抽样的方法,从该班学生中随机选取15人参加某项活动,则应选取的男、女生人数分别是( )A.6和9B.9和6C.7和8D.8和74、集合A={1,2,3}的所有子集的个数为 ( )A.5个B.6个C.7个D.8个5、“sin α>0”是“α为锐角”的 ( )A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C.既不充分也不必要条件D.充要条件6、)函数f(x)=的定义域为 ( )A.(-∞,1]B.(-∞,0)C.(-∞,0)∪(0,1]D.(0,1]7、若f(x)=,则f[f(-2)]= ( )A.2B.3C.4D.58、下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是 ( )A.y=x+sin 2x B、y= 2x cosx1 D.y=x2+sin xC.y=x2 +x29、一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示,则其俯视图不可能为：①长方形;②直角三角形;③圆;④椭圆.其中正确的是 ( )A.①B.②C.③D.④10、设x ,y 满足约束条件则z=x-2y 的最小值为 ( )A.-10B.-6C.-1D.011、化简：)3()(31212132b a b a -∙÷)31(6561b a =（）A.6aB.-aC.-9aD.92a12.已知圆C 与y 轴相切于点(0,5),半径为5,则圆C 的标准方程是 ( )A.(x-5)2+(y-5)2=25B.(x+5)2+(y-5)2=25C.(x-5)2+(y-5)2=5或(x+5)2+(y-5)2=5D.(x-5)2+(y-5)2=25或(x+5)2+(y-5)2=25 13、若log 7[log 3(log 2x )]=0,则21x 的值为 ( ) A .3B .2C .2D .314、函数f (x )=4sin x cos x ,则f (x )的最大值和最小正周期分别为 ( ) A.2和π B.4和π C.2和2π D.4和2π15、已知ABC ∆三个内角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、，若120,3,8,A b c =︒==则ABC ∆的面积等于( )A ．6B ．C ．12D ．二、填空题（本题共4小题，每小题4分，满分16分）16、函数y=ax+1(a>0)在区间[1,3]上的最大值为4,则a= 。

广东省2020届高考数学一模试卷2 (含答案解析)

广东省2020届高考数学一模试卷2一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={1,2，3，4，5，6，7}，集合A={3,4，5}，B={1,3，6}，则A∩(∁U B)等于()A. {4,5}B. {2,4，5，7}C. {1,6}D. {3}2.设i是虚数单位，复数7+4i1+2i=()A. 3+2iB. 3−2iC. 2+3iD. 2−3i3.设x，y满足约束条件{3x+y−2 ≤ 0 y−x ≤ 2 y ≥ −x−1 , ，则z=y−2x的最大值()A. 72B. 2 C. 3 D. 1124.方程x+√y=0所表示的图形是()A. B. C. D.5.函数f(x)=(x−1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数是()A. 4B. 5C. 6D. 76.一个正三棱柱的侧棱长和底面边长都相等，它的俯视图如图所示，左视图是一个矩形，棱柱的体积为2√3，则这个三棱柱的表面积为()A. 2√3B. 12C. 2√3+12D. 2√3+67.已知某地区一次联考中10000名学生的数学成绩服从正态分布N(120,100)，则数学成绩高于130分的学生人数大约为()附：X～N(μ,σ2)，则P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544；P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974．A. 3174B. 1587C. 456D. 68288.设(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1+a2+⋯+a n=63，则展开式中系数最大的项是()A. 15x2B. 20x3C. 21x3D. 35x39.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为()A. √212B. √13 C. 2√3 D. √19210.设数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，则S10=()A. 2×(310−1)B. 2×(310+1)C. 2×(39+1)D. 2×(39−1)11.已知三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，2AC=√3AB，若三棱锥P−ABC的体积为3，则该三棱锥的外接球的体积为()2A. 8√3πB. 6√3πC. 4√3πD. 2√3π12.已知函数f(x)=x−sinx，则不等式f(x2−1)+f(2x−2)>0的解集是()．A. (−∞,−1)⋃(3,+∞)B. (−3,1)C. (−∞,−3)⋃(1,+∞)D. (−1,3)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=(x+a)lnx，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x−y=0平行，则实数a的值为______．14.已知在数列{a n}中，a1=2，2n(a n+a n+1)=1，设T n=a1+2a2+⋯+2n−1a n，b n=3T n−n−1，a n数列{b n}的前n项和S n=______．15.已知a⃗,b⃗ ,c⃗均为单位向量，若a⃗⋅b⃗ =0，则|3a⃗+2b⃗ −c⃗|的最大值为________．16.过抛物线C：x2=4y的准线上任意一点P作抛物线的切线PA，PB，切点分别为A，B，则A点到准线的距离与B点到准线的距离之和的最小值是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且a2=b2+c2+bc．(1)求A的大小；(2)若sinB+sinC=1，b=2，试求△ABC的面积．18.如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AC=BC=4，AB=4√3，M，N分别为AB，CC1的中点．(1)求证：CM//平面B1AN；(2)若A1M⊥B1C，求平面B1AN与平面B1MC所成锐二面角的余弦值．19.已知椭圆E：x23+y22=1的左右顶点分别为A、B，点P为椭圆上异于A，B的任意一点．(Ⅰ)求直线PA与PB的斜率乘积的值；(Ⅱ)设Q(t,0)(t≠√3)，过点Q作与x轴不重合的任意直线交椭圆E于M，N两点，则是否存在实数t，使得以MN为直径的圆恒过点A？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．20.已知函数f(x)=(x2−2x−5)e2x−1，求函数f(x)的极值．21.口袋中有大小形状质量相同的四个白球和两个红球，每次从中任取一个球，各个球被取到的可能性是一样的，取后不放回．若能把两个红球区分出来就停止，用ξ表示停止时取球的次数，(1)求ξ=3时的概率P(ξ=3)(2)求ξ的分布列与均值．22. 在平面直角坐标系中，圆C 的参数方程为{x =1+2cosαy =2sinα(α为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ−π4)=1−√22．(1)求圆C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；(2)若直线l 与圆C 交于A,B 两点，M 是圆C 上不同于A,B 两点的动点，求ΔMAB 面积的最大值．23. 已知函数f(x)=|x −2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x +1|，若∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，求a 的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：本题考查了集合的定义与运算问题，是基础题目．根据补集与交集的定义，进行运算即可．解：全集U ={1,2，3，4，5，6，7}，集合A ={3,4，5}，集合B ={1,3，6}，所以∁U B ={2,4，5，7}，所以A ∩(∁U B)={4,5}. 故选A .2.答案：B解析：解：复数7+4i1+2i =(7+4i)(1−2i)(1+2i)(1−2i)=15−10i 5=3−2i ．故选：B ．利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，属于基础题．3.答案：A解析：【解答】约束条件对应的平面区域如图：目标函数z =y −2x 即y =2x +z ，当过B 时z 最大，由{y −x =2y =−x −1得到B(−1.5,0.5)，所以z 的最大值为0.5−2×(−1.5)=3.5；故选：A ．【分析】首先由约束条件画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求其最大值．本题考查了简单线性规划问题；一般首先画出可行域，然后根据目标函数的几何意义求其最值．4.答案：D解析：本题主要考查函数的图象，属于基础题．利用排除法进行排除即可．解：因为√y≥0，则x≤0，排除ABC，故选D．5.答案：C解析：解：令f(x)=0，可得x=1或cosx2=0∴x=1或x2=kπ+π，k∈Z，2∵x∈[0,4]，则x2∈[0,16]，∴k可取的值有0，1，2，3，4，∴方程共有6个解，∴函数f(x)=(x−1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数为6个，故选C令函数值为0，构建方程，即可求出在区间[0,4]上的解，从而可得函数f(x)=(x−1)cosx2在区间[0,4]上的零点个数本题考查三角函数的周期性以及零点的概念，属于基础题．6.答案：C解析：解：一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为2√3，x3=2√3，设高为：x，所以√34解得：x=2，)x2=2√3+12，故这个三棱柱的表面积为：(3+√32故选：C通过正三棱柱的体积，求出正三棱柱的高，棱长，进而可得答案．本题考查的知识点是棱柱的体积和表面积，简单几何体的三视图，方程思想，难度中档．7.答案：B解析：本题考查正态曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题，解题的关键是考试的成绩ξ关于ξ= 120对称，利用对称写出待求分数段的频率，进而得解．根据考试的成绩ξ服从正态分布N(120,100)，得到考试的成绩ξ关于ξ=120对称，根据P(110<ξ≤130)=0.6826，得到P(ξ≥130)=0.1587，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数．解：∵数学成绩服从正态分布N(120,100)，∴数学成绩ξ关于ξ=120对称，∵P(110<ξ≤130)=0.6826，∴P(ξ≥130)=P(ξ≤110)=12×(1−0.6826)=0.1587，∴该班数学成绩在130分以上的人数为0.1587×10000=1587．故选：B．8.答案：B解析：本题考查了二项式展开式的系数，属于基础题．解：∵(1+x)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，令x=0，得a0=1．令x=1，则(1+1)n=a0+a1+a2+⋯+a n=64，∴n=6，又(1+x)6的展开式二项式系数最大项的系数最大，∴(1+x)6的展开式系数最大项为T4=C63x3=20x3．故选B．9.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值．解：双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，将直线y=bax代入圆的方程，可得，x=√a2+b2=a(负的舍去)，y=b，即有M(a,b)，又A(−a,0)，B(a,0)，由于∠AMB=30°，BM⊥x轴，则tan30°=2ab =√33，即有b=2√3a，则离心率e=ca =√1+b2a2=√13．故选：B．10.答案：C解析：解：数列{a n}的前n项和为S n，若a1=4且S n=12a n+1+2，可得a1=S1=12a2+2，即a2=4，n≥2时，a n=S n−S n−1，S n=12a n+1+2，S n−1=12a n+2，两式相减可得a n=12a n+1−12a n，即为a n+1=3a n，可得a n=a2q n−2=4⋅3n−2，n≥2，则S10=12a11+2=2×39+2=2×(39+1)，故选：C．由数列的递推式：n=1时，a1=S1，n≥2时，a n=S n−S n−1，结合等比数列的通项公式，可得a n，即可得到所求和．本题考查数列的递推式的运用：求通项，考查化简整理的运算能力，属于中档题．11.答案：C解析：本题考查了线面垂直的性质、三棱锥的体积计算公式、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．如图所示，由于三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，可得PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，AC⊥BC.而2AC=√3AB，可得BC=x，AC=√3x.利用三棱锥的体积计算公式可得x，再利用球的体积计算公式即可得出．解：如图所示，∵三棱锥P−ABC的外接球的球心O在AB上，且PO⊥平面ABC，∴PO是三棱锥P−ABC的高，OA=OB=OC=OP=x，∴∠ACB=90°，∴AC⊥BC．∵2AC=√3AB，∴∠ABC=60°，。

2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟(二)数学试题(2)

一、单选题二、多选题1. 下列命题中为假命题的是（）A ．垂直于同一直线的两个平面平行B ．垂直于同一直线的两条直线平行C ．平行于同一直线的两条直线平行D ．平行于同一平面的两个平面平行2. 甲和乙两位同学准备在体育课上进行一场乒乓球比赛，假设甲对乙每局获胜的概率都为，比赛采取三局两胜制（当一方获得两局胜利时，该方获胜，比赛结束），则甲获胜的概率为（）A．B．C．D．3. 若函数，（其中，）的最小正周期是，且，则A．B．C．D．4. 若事件与互为对立事件，且，则（）A ．0.2B ．0.4C ．0.6D ．0.85. 满足条件∪{1}={1，2，3}的集合的个数是A ．1B ．2C ．3D ．46. 已知，则的值为（）A．B．C．D．7. 已知直线l 和平面α，β，若l ⊥α，α⊥β，则（）A．B．C．D ．或8. 某班对八校联考成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将名同学的成绩按、、、、进行编号，然后从随机数表第行第列的数开始向右读，则选出的第个个体是（注：下表为随机数表的第行和第行）（）63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79｝第8行33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 45 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54｝第9行A ．07B ．25C ．42D ．529. 在不透明的罐中装入大小相同的红、黑两种小球，其中红球个，黑球个，每次随机取出一个球，记录颜色后放回．每次取球记录颜色后再放入个与记录颜色同色的小球和个异色小球（说明：放入的球只能是红球或黑球），记表示事件“第次取出的是黑球”，表示事件“第次取出的是红球”．则下列说法正确的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D ．若，则10.若，，则下列不等式成立的是（）A．B．C．D．11. 已知向量，，且与的夹角为，则（）2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（二）数学试题(2)2024年广东省普通高中学业水平合格性考试模拟（二）数学试题(2)三、填空题四、解答题A．B．C．D．12.已知抛物线的焦点为为坐标原点，其准线与轴交于点，经过点的直线与抛物线交于不同两点，则下列说法正确的是（）A．B．存在C．不存在以为直径且经过焦点的圆D ．当的面积为时，直线的倾斜角为或13.已知多项式，则_______，________．14. 展览会会务组安排了分别标有序号为“1号”、“2号”、“3号”的三辆车，采用等可能随机的顺序前往酒店接嘉宾．某与会嘉宾设计了两种乘车方案．方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号，就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车．则该嘉宾坐到“3号”车的概率是_____．15. 已知直线则直线与的夹角是________．16. 发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是应对气候变化、推动绿色发展的战略举措.随着国务院《新能源汽车产业发展规划(2021—2035)》的发布，我国自主品牌汽车越来越具备竞争力.国产某品牌汽车为调研市场，统计了三款燃油汽车和两款新能源汽车在甲、乙两个城市本月的销售情况﹐数据如下.燃油汽车A 型车燃油汽车B 型车燃油汽车C 型车新能源纯电动汽车新能源混合动力汽车城市甲6050403020城市乙2101801107030(1)若在城市甲的销量和在城市乙的销量满足线性相关关系，求出关于的线性回归方程(2)计算是否有的把握认为选择新能源汽车与消费者所在城市有关.附:.，其中.临界值表:0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82817. 如图，在三棱锥中，，，，，平面平面．(1)求证：；(2)求的长度；(3)求二面角的大小．18. 一次课外活动举行篮球投篮趣味比赛，选手在连续投篮时，第一次投进得1分，并规定：若某次投进，则下一次投进的得分是本次得分的两倍；若某次未投进，则该次得0分，且下一次投进得1分．已知某同学连续投篮n次，总得分为X，每次投进的概率为，且每次投篮相互独立．(1)当时，判断与10的大小，并说明理由；(2)当时，求X的概率分布列和数学期望；(3)记的概率为，求的表达式．19. 已知a，b都是大于零的实数.（1）证明：；（2）若，证明：.20. 已知等差数列公差不为零，，，数列各项均为正数，，.(1)求数列、的通项公式；(2)若恒成立，求实数的最小值．21. 如图，在四棱锥中，为等腰三角形的底边中点，平面与等腰梯形所在的平面垂直，，，.（1）求证：平面；（2）若三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.。

2020年广东省高考数学二模试卷（二）（有答案解析）

2020年⼴东省⾼考数学⼆模试卷（⼆）（有答案解析）2020年⼴东省⾼考数学⼆模试卷（⼆）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题，共60.0分）1.已知集合A={x|-1＜x＜6}，集合B={x|x2＜4}，则A∩（?R B）=（）A. {x|-1＜x＜2}B. {x|-1＜x≤2}C. {x|2≤x＜6}D. {x|2＜x＜6}2.设i为虚数单位，则复数的共轭复数=（）A. B. C. D.3.在样本的频率直⽅图中，共有9个⼩长⽅形，若中间⼀个长⽅形的⾯积等于其他8个⼩长⽅形⾯积的和的，且样本容量为200，则中间⼀组的频数为（）A. 0.2B. 0.25C. 40D. 504.设向量与向量垂直，且=（2，k），=（6，4），则下列下列与向量+共线的是（）A. （1，8）B. （-16，-2）C. （1，-8）D. （-16，2）5.某⼏何体的三视图如图所⽰，三个视图都是半径相等的扇形，若该⼏何体的表⾯积为，则其体积为（）A.B.C.D.6.阿基⽶德（公元前287年-公元前212年）不仅是著名的物理学家，也是著名的数学家，他利⽤“逼近法”得到椭圆的⾯积除以圆周率等于椭圆的长半轴与短半轴的乘积．若椭圆C的对称轴为坐标轴，焦点在y轴上，且椭圆的离⼼率为，⾯积为12π，则椭圆C的⽅程为（）A. B. C. D.7.设a，b，c分别为△ABC内⾓A，B，C的对边，若B=C≠A，且b=2a cos A，则A=（）A. B. C. D.8.的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中x3项的系数为（）A. 30B. 80C. -50D. 1309.函数的部分图象不可能为（）A. B.C. D.10.若函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，则k的取值范围为（）A. [0，+∞）B.C.D.11.已知⾼为的正三棱锥的每个顶点都在半径为的球的球⾯上，若⼆⾯⾓的正切值为4 ，则（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的⽅程f（f（x））=m有两个不同的实数根x1，x2，则x1+x2的取值范围为（）A. [2，3）B. （2，3）C. [2ln2，4）D. （2ln2，4）⼆、填空题（本⼤题共4⼩题，共20.0分）13.若x，y满⾜约束条件，则的最⼤值为______．14.若tan（α-2β）=4，tanβ=2，则=______．15.已知函数f（x）=3x+9x（t≤x≤t+1），若f（x）的最⼤值为12，则f（x）的最⼩值为______16.已知直线x=2a与双曲线C：的⼀条渐近线交于点P，双曲线C的左、右焦点分别为F1，F2，且，则双曲线C的离⼼率为______．三、解答题（本⼤题共7⼩题，共82.0分）17.已知S n为数列{a n}的前n项和，且依次成等⽐数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列的前n项和T n．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底⾯ABCD是边长为2的菱形，PD⊥平⾯ABCD，∠PAD=∠DAB=60°，E为AB中点．（1）证明；PE⊥CD；（2）求⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值．19.在平⾯直⾓坐标系xOy中，抛物线C：x2=6y与直线l：y=kx+3交于M，N两点．（1）设M，N到y轴的距离分别为d1，d2，证明：d1和d2的乘积为定值；（2）y轴上是否存在点p，当k变化时，总有∠OPM=∠OPN？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．20.2019年春节期间，我国⾼速公路继续执⾏“节假⽇⾼速公路免费政策”．某路桥公司为掌握春节期间车辆出⾏的⾼峰情况，在某⾼速公路收费站点记录了⼤年初三上午9：20～10：40这⼀时间段内通过的车辆数，统计发现这⼀时间段内共有600辆车通过该收费点，它们通过该收费点的时刻的频率分布直⽅图如下图所⽰，其中时间段9：20～9：40记作区[20，40），9：40～10：00记作[40，60），10：00～10：20记作[60，80），10：20～10：40记作[80，100），例如10点04分，记作时刻64．（1）估计这600辆车在9：20～10：40时间内通过该收费点的时刻的平均值（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表）；（2）为了对数据进⾏分析，现采⽤分层抽样的⽅法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车随机抽取4辆，设抽到的4辆车中，在9：20～10：00之间通过的车辆数为X，求X的分布列与数学期望；（3）由⼤数据分析可知，车辆在每天通过该收费点的时刻T服从正态分布N（µ，σ2），其中µ可⽤这600辆车在9：20～10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，σ2可⽤样本的⽅差近似代替（同⼀组中的数据⽤该组区间的中点值代表），已知⼤年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）．若T～N（µ，σ2）则P（µ-σ＜T≤µ+σ）=0.6827，P（µ-2σ＜T≤σ+2σ）=0.9545，P（µ-3σ＜T≤µ+3σ）=0.9973．21.已知函数．（1）讨论函数在（1，+∞）上的单调性；（2）若a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成⽴，求a的取值范围．22.在平⾯直⾓坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴为正半轴建⽴极坐标系，已知曲线C的极坐标⽅程为ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0．（1）求曲线C的直⾓坐标⽅程；（2）过曲线C上⼀动点P分别作极轴、直线ρcosθ=-1的垂线，垂⾜分别为M，N，求|PM|+|PN|的最⼤值．23.设函数f（x）=|x+1|+|2-x|-k．（1）当k=4时，求不等式f（x）＜0的解集；（2）若不等式对x∈恒成⽴，求k的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：B={x|x2＜4}={x|-2＜x＜2}，则?R B={x|x≥2或x≤-2}，则A∩（?R B）={x|2≤x＜6}，故选：C．求出集合B的等价条件，结合补集交集的定义进⾏求解即可．本题主要考查集合的基本运算，求出集合的等价条件以及利⽤交集补集的定义是解决本题的关键．2.答案：D解析：解：∵==，∴．故选：D．直接利⽤复数代数形式的乘除运算得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：D解析：解：在样本的频率直⽅图中，共有9个⼩长⽅形，中间⼀个长⽅形的⾯积等于其他8个⼩长⽅形⾯积的和的，且样本容量为200，设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，解得m=150，∴中间⼀组的频数为=50．故选：D．设其他8组的频率数和为m，则由题意得：m+m=200，由此能求出中间⼀组的频数．本题考查频数的求法，考查频率分布直⽅图的性质等基础知识，考查运算求解能⼒，是基础题．4.答案：B解析：解：∵；∴；∴k=-3；∴；∴；∴（-16，-2）与共线．故选：B．根据即可得出，从⽽得出k=-3，从⽽可求出，从⽽可找出与共线的向量．考查向量垂直的充要条件，向量坐标的加法和数量积的运算，共线向量基本定理．5.答案：A解析：解：将三视图还原可知该⼏何体为球体的，S=3×+=，r=，⼏何体的体积为：=．故选：A．⾸先把⼏何体的三视图进⾏转换，进⼀步利⽤表⾯积公式的应⽤求出结果．本题考查的知识要点：三视图和⼏何体的转换，⼏何体的体积公式和⾯积公式的应⽤，主要考查学⽣的运算能⼒和转化能⼒，属于基础题型．6.答案：A解析：【分析】本题考查椭圆简单性质的应⽤,考查转化思想以及计算能⼒,属于基础题.利⽤已知条件列出⽅程组，求出a，b，即可得到椭圆⽅程．【解答】解：由题意可得：，解得a=4，b=3，因为椭圆的焦点坐标在y轴上，所以椭圆⽅程为：．故选A．7.答案：B解析：解：在△ABC中，∵b=2a cos A，∴由正弦定理可得：sin B=2sin A cosA=sin2A，∴B=2A，或B=π-2A，∵B=C≠A，∴当B=2A时，由于A+B+C=5A=π，可得：A=；当B=π-2A时，由于A+B+C=B+2A，可得：B=C=A（舍去）．综上，A=．故选：B．由正弦定理化简已知等式可得：sin B=sin2A，可求B=2A，或B=π-2A，根据三⾓形的内⾓和定理即可得解A的值．本题主要考查了正弦定理，三⾓形的内⾓和定理在解三⾓形中的综合应⽤，属于基础题．8.答案：D解析：解：令x=1得各项系数和为（2-n）（1-2）5=3，即n-2=3，得n=5，多项式为（2x2-5）（x-）5，⼆项式（x-）5的通项公式为T k+1=C5k x5-k（-）k=（-2）k C5k x5-2k，若第⼀个因式是2x2，则第⼆个因式为x，即当k=2时，因式为4C52x=40x，此时2x2×40x=80x3，若第⼀个因式是-5，则第⼆个因式为x3，即当k=1时，因式为-2C51x3=-10x3，此时-5×（-10）x3=50x3，则展开式中x3项的为80x3+50x3=130x3，即x3的系数为130故选：D．令x=1得各项系数为3，求出n的值，结合展开式项的系数进⾏求解即可．本题主要考查⼆项式定理的应⽤，令x=1求出各项系数和以及通过通项公式求出对应项的系数是解决本题的关键．9.答案：B解析：解：A．由图象知函数的周期T=2π，则=2π得ω=1，此时f（x）=2sin（x-）=-2cos x为偶函数，对应图象为A，故A图象可能B．由图象知函数的周期T=-（-）==，即=，得ω=±3，当ω=3时，此时f（x）=2sin（3x-），f（）=2sin（3×-）=2sin≠-2，即B图象不可能，当ω=-3时，此时f（x）=2sin（-3x+），f（）=2sin（-3×+）=-2sin≠-2，即B图象不可能，C．由图象知函数的周期T=4π，则=4π得ω=±，当ω=时，此时f（x）=2sin（x-π）=-2sin x，f（π）=-2sin=-1，即此时C图象不可能，当ω=-时，此时f（x）=2sin（-x-π）=2sin x，f（π）=2sin=-1，即此时C图象可能，D．由图象知函数的周期=-=，即t=π，则=π得ω=2，此时f（x）=2sin（2x-），f（）=2sin（2×-）=2sin=2，即D图象可能，综上不可能的图象是B，故选：B．根据三⾓函数的图象判断周期性性以及对称轴是否对应即可得到结论．本题主要考查三⾓函数图象的识别和判断，利⽤周期性求出ω以及利⽤特殊值进⾏验证是解决本题的关键．注意本题的ω有可能是复数．10.答案：C解析：【分析】本题考查了导数与函数单调性的关系，函数恒成⽴问题，属于中档题．令f′（x）≤0在（0，+∞）上恒成⽴得k在（0，+∞）上恒成⽴，求出右侧函数的最⼤值即可得出k的范围．【解答】解：∵函数f（x）=x3-ke x在（0，+∞）上单调递减，∴f′（x）=3x2-ke x≤0在（0，+∞）上恒成⽴，∴k在（0，+∞）上恒成⽴，令g（x）=，x＞0，则，当0＜x＜2时，g′（x）＞0，此时g（x）单调递增，x＞2时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，故当x=2时，g（x）取得最⼤值g（2）=，则k，故选：C．11.答案：A解析：【分析】本题考查正三棱柱的⾼与其外接球半径的⽐值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．设棱锥底⾯边长为a，由已知把a⽤含有H的代数式表⽰，再由球的性质利⽤勾股定理求得．【解答】解：设P在底⾯ABC的射影为E，则PE为正三棱锥的⾼，D为AB的中点，连结PD，设正三⾓形ABC的边长为a，则CD=，∴ED=，EC=a，由题意可得：，⼆⾯⾓的平⾯⾓为，由⼆⾯⾓P-AB-C的正切值为4，得=4，解得a=．∴EC==，OP=OC=R，OE=H-R，∴OC2=OE2+CE2，∴R2=（H-R）2+（）2，解得=．故选：A．12.答案：A解析：解：函数，的图象如下：当m≥1时，f（t）=m，有两个解t1，t2，其中t1≤0，t2≥2，f（x）=t1有⼀个解，f（x）=t2有两个解，不符合题意．当m＜0时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈（0，1），f（x）=t有⼀个解，不符合题意．当0≤m＜1时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈[1，2），f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x2=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，g′（t）=2t ln t-1＞0，故g（t）在[1，2）单调递增，∴g（t）∈[2，3）．故选：A．画出函数，的图象，可求得当0≤m＜1时，f（t）=m，有⼀个解t，且t∈[1，2），f（x）=t两个不同的实数根x1，x2，符合题意．可得1-x1=log2x=t，且t∈[1，2），x1+x2=2t-t+1，令g（t）=2t-t+1，利⽤导数求解．本题考查了函数与⽅程思想、数形结合思想，属于中档题．13.答案：解析：解：设z=，则z的⼏何意义为可⾏域内的点与原点连线的斜率，作出不等式组对应得平⾯区域如图：由图可知OA的斜率最⼤，由，解得A（3，4），则OA得斜率k=，则的最⼤值为．故答案为：．本题主要考查线性规划求最值，是基础题．设z=，作出不等式组对应得平⾯区域，利⽤z的⼏何意义即可得到结论．14.答案：解析：解：由tanβ=2，得tan2β==，⼜tan（α-2β）=4，∴tanα=tan[（α-2β）+2β]==．∴=．故答案为：．由已知求得tan2β，再由tanα=tan[（α-2β）+2β]求出tanα，代⼊得答案．本题考查三⾓函数的化简求值，考查两⾓和的正切与⼆倍⾓的正切，是中档题．15.答案：2解析：解：设m=3x，因为t≤x≤t+1，所以3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，故答案为：2．由⼆次型函数值域的求法得：设m=3x，则3t≤m≤3t+1，则g（m）=m2+m，3t≤m≤3t+1，因为函数g（m）在[3t，3t+1]为增函数，所以（3t+1）2+3t+1=12，解得：3t+1=3，即t=0，即f（x）min=g（30）=2，得解本题考查了⼆次型函数值域的求法，属中档题．16.答案：解析：【分析】本题考查双曲线的⽅程和性质，主要是渐近线⽅程和离⼼率的求法，考查⽅程思想和运算能⼒，属于中档题．设出双曲线的焦点，求得⼀条渐近线⽅程可得P的坐标，求得直线PF2的斜率，由两点的斜率公式和离⼼率公式，可得所求值．【解答】解：双曲线C的左、右焦点分别为F1（-c，0），F2（c，0），且，可得sin∠PF2F1==，即有直线PF2的斜率为tan∠PF2F1=，由直线x=2a与双曲线C：的⼀条渐近线y=x交于点P，可得P（2a，2b），可得=，即有4b2=15（4a2-4ac+c2）=4（c2-a2），化为11c2-60ac+64a2=0，由e=可得11e2-60e+64=0，解得e=或e=4，由2a-c＞0，可得c＜2a，即e＜2，可得e=4舍去．故答案为：．17.答案：解：（1）依次成等⽐数列，可得（）2=S n=（n+2）（a1-2）n，当n=1时，a1=S1=3（a1-2），解得a1=3，当n≥2时，a n=S n-S n-1=n（n+2）-（n-1）（n+1）=2n+1，上式对n=1也成⽴，则数列{a n}的通项公式为a n=2n+1；（2）==（-），可得前n项和T n=（-+-+…+-）=（-）=．解析：（1）运⽤等⽐数列的中项性质，令n=1，可得⾸项，再由数列的递推式：当n≥2时，a n=S n-S n-1，计算可得所求通项公式；（2）求得==（-），再由数列的裂项相消求和，化简计算可得所求和．本题考查等⽐数列中项性质和数列的递推式的运⽤，考查数列的裂项相消求和，化简整理的运算能⼒，属于基础题．18.答案：证明：（1）连结DE，BD，∵四边形ABCD是菱形，且∠DAB=60°，E为AB的中点，∴DE⊥AB，∵PD⊥平⾯ABCD，∴PD⊥AB，⼜DE∩PD=D，∴AB⊥平⾯PDE，∴AB⊥PE，∵AB∥CD，∴PE⊥CD．解：（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平⾯ABCD的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，如图，则P（-1，0，2），A（0，-，0），E（，0），C（0，，0），=（-1，，2），=（，0），=（1，），=（，0），设平⾯APE的法向量=（x，y，z），则，取z=1，得=（），设平⾯PCE的法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（3，1，2），设⼆⾯⾓A-PE-C的平⾯⾓为θ，由图知θ为钝⾓，∴cosθ=-=-=-．∴⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值为-．解析：（1）连结DE，BD，推导出DE⊥AB，PD⊥AB，从⽽AB⊥平⾯PDE，进⽽AB⊥PE，由此能证明PE⊥CD．（2）设AC，BD交点为O，以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，过O作平⾯ABCD 的垂线为z轴，建⽴空间直⾓坐标系，利⽤向量法能求出⼆⾯⾓A-PE-C的余弦值．本题考查线线垂直的证明，考查⼆⾯⾓的余弦值的求法，考查空间中线线、线⾯、⾯⾯间的位置关系等基础知识，考查运算求解能⼒，是中档题．19.答案：解（1）证明：将y=kx+3代⼊x2=6y，得x2-6kx-18=0．设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1x2=-18，从⽽d1d2=|x1|?|x2|=|x1x2|=18为定值．（2）解：存在符合题意的点，证明如下：设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，．从⽽k1+k2=+==．当b=-3时，有k1+k2=0对任意k恒成⽴，则直线PM的倾斜⾓与直线PN的倾斜⾓互补，故∠OPM=∠OPN，所以点P（0，-3）符合题意．解析：（1）先将y=kx+3代⼊x2=6y，设M（x1，y1），N（x2，y2），结合韦达定理，即可证明结论成⽴；（2）先设设P（0，b）为符合题意的点，直线PM，PN的斜率分别为k1，k2，由∠OPM=∠OPN，得当k变化时，k1+k2=0恒成⽴，进⽽可求出结果本题主要考查直线与抛物线的位置关系、以及抛物线中的定点问题，通常需要联⽴直线与抛物线⽅程，结合韦达定理等求解，属于中档题．20.答案：解：（1）这600辆车在9：20～10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值为（30×0.05+50×0.015+70×0.025+90×0.010）×20=64，即10：04（2）结合频率分布直⽅图和分层抽样的⽅法可知，抽取的10辆车中，在10：00前通过的车辆数就是位于时间分组中在[20，60）这⼀区间内的车辆数，即（0.005+0.015）×20×10=4，所以X的可能的取值为0，1，2，3，4．所以P（X=0）==，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）==，P（X=4）==，所以X的分布列为：X01234P所以E（X）=0×+1×+2×+3×+4×=．（3）由（1）得µ=64，σ2=（30-64）2×0.1+（50-64）2×0.3+（50-64）2×0.4+（70-64）2×0.4+（90-64）2×0.2=324，所以σ=18，估计在9：46～10：40之间通过的车辆数也就是在[46，100）通过的车辆数，由T～N（64，182），得，P（64-18≤T≤64+2×18）=+=0.8186，所以估计在在9：46～10：40之间通过的车辆数为1000×0.8186≈819辆．解析：（1）将直⽅图中每个⼩长⽅形的中点横坐标作为该组数据的代表值，频率作为权重，加权平均即可．（2）抽样⽐为，计算出各区间抽取的车辆数，找到随机变量X的所有可能的取值，计算出每个X对应的概率，列分布列，求期望即可．（3）根据频率分布直⽅图估计出⽅差，再结合（1）求出的期望，得到µ，σ2再根据其对称性处理即可．本题考查了离散型随机变量的概率分布列，超⼏何分布，正态分布等知识，阅读量⼤，审清题意是关键，属于中档题．21.答案：解：（1）∵函数，∴x＞0，则g（x）=，．若a≤-，∵x＞1，∴ln x＞0，∴g′（x）＜0，∴g（x）在（1，+∞）上单调递减，若a＞-，令g′（x）=0，得x=，当1＜x＜时，g′（x）＞0，当x＞时，g′（x）＜0，∴g（x）的单调递减区间是（，+∞），单调递增区间为（1，）．（2）a≥0，不等式x2f（x）+a≥2-e对x∈（0，+∞）恒成⽴，∴x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成⽴，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，令h′（x）=0，得x=e a-1，当x∈（0，e a-1）时，h′（x）＜0，当x∈（e a-1，+∞）时，h′（x）＞0，∴h（x）的最⼩值为h（e a-1）=（a-1）e a-1+a+e-2-ae a-1=a+e-2-e a-1，令t（a）=a+e-2-e a-1，则t′（a）=1-e a-1，令t′（a）=0，得a=1，当a∈[0，1）时，t′（a）＞0，t（a）在[0，1）上单调递增，当a∈[1，+∞）时，t′（a）0，t（a）在[1，+∞）上单调递减，∴当a∈[0，1）时，h（x）的最⼩值为t（a）≥t（0）=e-2-，当a∈[1，+∞）时，h（x）的最⼩值为t（a）=a+e-2-e a-1≥0=t（2），∴a的取值范围是[0，2]．解析：本题考查导数的综合应⽤，考查推理能⼒和运算求解能⼒，考查化归与转化思想，是难题．（1）x＞0，．利⽤分类讨论思想结合导数性质能讨论函数在（1，+∞）上的单调性．（2）推导出x lnx-ax+a+e-2≥0对x∈（0，+∞）恒成⽴，设h（x）=x lnx-ax+a+e-2，则h′（x）=ln x+1-a，由此利⽤导数性质，结合分类讨论思想能求出a的取值范围．22.答案：解：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直⾓坐标⽅程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，则|PM|=3+sinα，⼜直线ρcosθ=-1的直⾓坐标⽅程为x=-1，所以|PN|=2+cosα+1=3+cosα，所以|PM|+|PN|=6+sin（α+），故当α=时，|PM|+|PN|取得最⼤值为6+．解析：（1）由ρ2-4ρcosθ-6ρsinθ+12=0，得x2+y2-4x-6y+12=0，即（x-2）2+（y-3）2=1，此即为曲线C的直⾓坐标⽅程．（2）由（1）可设P的坐标为（2+cosα，3+sinα），0≤α＜2π，求出|PM|和|PN|后相加，⽤三⾓函数的性质求得最⼤值．本题考查了简单曲线的极坐标⽅程，属中档题．23.答案：解：（1）k=4时，函数f（x）=|x+1|+|2-x|-4，不等式f（x）＜0化为|x+1|+|2-x|＜4，当x＜-1时，不等式化为-x-1+2-x＜4，解得-＜x＜-1，当-1≤x≤2时，不等式化为x+1+2-x=3＜4恒成⽴，则-1≤x≤2，当x＞2时，不等式化为x+1+x-2＜4，解得2＜x＜，综上所述，不等式f（x）＜0的解集为（-，）；（2）因为f（x）=|x+1|+|2-x|-k≥|x+1+2-x|-k=3-k，所以f（x）的最⼩值为3-k；⼜不等式对x∈恒成⽴，所以3-k≥，所以，解得k≤1，所以k的取值范围是（-∞，1]．解析：本题考查了不等式恒成⽴应⽤问题，也考查了含有绝对值的不等式解法与应⽤问题，是中档题．（1）k=4时，利⽤分类讨论思想求出不等式f（x）＜0的解集，再求它们的并集；（2）利⽤绝对值不等式的性质求出f（x）的最⼩值，再把不等式化为3-k≥，求出不等式的解集即可．。

广东省普通高中数学学业水平考试模拟试卷(二)

学业水平考试模拟试卷(二)(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若复数z 满足i ·z ＝－12(1＋i)，则z 的共轭复数的虚部是( )A ．－12i B.12i C ．－12 D.12解析：z ＝－12（1＋i ）i ＝12i(1＋i)＝－12＋12i ，共轭复数为－12－12i ，虚部为－12.故选C.答案：C2．设A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪12＜x ＜5，x ∈Z ，B ＝{x |x >a }．若A ⊆B ，则实数a的取值范围是( )A ．a <12B ．a ≤12 C ．a ≤1 D ．a <1解析：A ＝{1，2，3，4}，由A ⊆B 得a <1. 答案：D3．定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．1解析：函数y ＝x 3，y ＝2sin x 为奇函数，y ＝2x 为非奇非偶函数，y ＝x 2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.答案：C4．命题“任意x ∈R ，x 2≠x ”的否定是( ) A ．任意x ∉R ，x 2≠x B ．任意x ∈R ，x 2＝x C ．存在x ∉R ，x 2≠x D ．存在x ∈R ，x 2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x ∈R ，x 2≠x ”的否定是“存在x ∈R ，x 2＝x ”．答案：D5．如果点P 在平面区域⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋2≥0，x －2y ＋1≤0x ＋y －2≤0上，点Q 在曲线x 2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ |的最小值为( )A.5－1B.45－1 C ．22－1 D.2－1 解析：由图可知不等式组确定的区域为阴影部分(包括边界)，点P 到Q 的最小距离为(－1，0)到(0，－2)的距离减去半径1，|PQ |min ＝（－2－0）2＋（1）2－1＝5－1.答案：A6．如图，三棱锥V -ABC 的底面为正三角形，侧面VAC 与底面垂直且VA ＝VC ，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为( )A.32 B.33 C.34 D.36解析：由题意知，该三棱锥的主视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB，由VA＝VC，知O为AC中点，∴OB⊥AC，又平面VAC⊥平面ABC，∴VO⊥平面ABC，∴VO⊥OB，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为12×2a×h＝ah＝23.又三棱锥的左视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝3a，∴左视图的面积为1 2OB·VO＝12×3a×h＝32ah＝32×23＝33.答案：B7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x－2y－a＝0的两侧，则a的取值范围为()A．(－24，7) B．(－7，24)C．(－∞，－7)∪(24，＋∞) D．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：根据题意知(－9＋2－a)·(12＋12－a)<0，即(a＋7)(a－24)<0，解得－7<a<24.答案：B8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝()A．－53B．－59 C.59 D.53解析：利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sinα＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2k α＋α2＜α＜2k α＋34α(k ∈Z)，∴4k α＋α＜2α＜4k α＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53.答案：A9．已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝1与直线l ：x －2y ＋1＝0相交于A ，B 两点，则|AB |＝( )A.255B.55C.235D.35解析：圆C ：(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1，0)，半径为1，∵C (1，0)到直线l ∶x －2y ＋1＝0的距离为25，∴|AB |＝21－45＝255.故选A.答案：A10．将号码分别为1，2，3，4的四个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同，甲从袋中摸出一个小球，其号码为a ，放回后，乙从此袋中再摸出一个小球，其号码为b ，则使不等式a －2b ＋4<0成立的事件发生的概率为( )A.18B.316C.14D.12解析：由题意知(a ，b )的所有可能结果有4×4＝16个．其中满足a －2b ＋4<0的有(1，3)，(1，4)，(2，4)，(3，4)，共4个，∴所求概率为14.答案：C11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( )A.33 B. 3 C ．－33D ．－ 3 解析：∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝ 3.答案：B12．分别以正方形ABCD 的四条边为直径画半圆，重叠部分如图中阴影区域所示，若向该正方形内随机投一点，则该点落在阴影区域的概率为( )A.4－π2B.π－22C.4－π4D.π－24解析：设正方形边长为2，阴影区域的面积的一半等于半径为1的圆减去2个△BOC 的面积，即为α－2，则阴影区域的面积为2α－4，∴所求概率为P ＝2α－44＝α－22.选B.答案：B13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( )A ．T ＝π，M ＝1B ．T ＝2π，M ＝1C ．T ＝π，M ＝2D ．T ＝2π，M ＝2解析：由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y ＝2sin2x －1的最小正周期T ＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1.答案：A14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 解析：∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l . 答案：C15．若变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ≤2，2x －3y ≤9，x ≥0.则x 2＋y 2的最大值是()A ．4B ．9C ．10D ．12解析：不等式组表示的可行域是以A (0，－3)，B (0，2)，C (3，－1)为顶点的三角形区域，x 2＋y 2表示点(x ，y )到原点距离的平方，最大值必在顶点处取到，经验证最大值|OC |2＝10，故选C.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________．解析：f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 答案：－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．解析：由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970.答案：97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2.答案：α2三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4.(2)列表并描点画出图象： x －α2 －3α8 －α8 α8 3α8 α2 2x －α4－5α4 －α －α2 0 α2 3α4 y211－211＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)如图，在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，S 是B 1D 1的中点，E ，F ，G 分别是BC ，DC ，SC 的中点，求证：(1)直线EG∥平面BDD1B1；(2)平面EFG∥平面BDD1B1.证明：(1)如图，连接SB，∵E，G分别是BC，SC的中点，∴EG∥SB.又∵SB⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1，∴直线EG∥平面BDD1B1.(2)连接SD，∵F，G分别是DC，SC的中点，∴FG∥SD.又∵SD⊂平面BDD1B1，FG⊄平面BDD1B1，∴FG∥平面BDD1B1，且EG⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，EG ∩FG＝G，∴平面EFG∥平面BDD1B1.。

2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷(2)

2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷（6）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分•每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分•） 1•复数（-1+3i ）（3-i ）=（）A . 10B .- 10C . 10iD .- 10i2•已知集合 A = { - 2, 0, 1, 2, 3} , B = { - 1, 1, 3, 4}，则 A H B =(3.函数f x = .3x ，1的定义域为（ -1 )r —3,丿4 . lg2+lg5 =(38A .B .83下列函数在R 上是增函数的是（）C . y - -xC . .T710 .角〉的终边经过点（1,- 1）,则cos ;A . {1 , 3}B . { - 2, 1, 3}C . { - 1, 1, 3, 4}{ - 2, -1, 1, 3}A ' -1 -He .3，C .A . lg75.已知两点A (- 1,C .lg252), B (3, 4),则直线AB 的斜率为c11B .C .-2 2lg2X |g56 .已知向量a - 2,3 ,b = x,4 .若 a 〃 a -b ，则 x =(7. △ ABC 的内角A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b = 3,229.已知样本数据X 1 , X 2,…，X 10,其中 X 1, x 2, X 3的平均数为a ； X 4, X 5, …，X 10的平均数为b ,则样本数据的平均数为（a b3a 7bB . 107a 3b C . 10D- 10A . 1B . - 1C . —2D .一2 211. 已知函数f (x )=F ‘X 兰0 ，则f |f 11的值是()[log 2X,x >0 ] (2 丿」 A . - B . 3 C .- 1 D .、3312.设m ：一…，_：i ,-是两个不同的平面，贝厂’r |”是“ m 〃： ”的()15 .已知等比数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，若a 什a 3= 3， a 2+a 4= 6，贝U S B =( ) A . 45B . 81C . 117D . 153二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分.)16 .已知圆锥的底面半径为4cm ,高为5 cm ，则这个圆锥的表面积是 ____________ cm 2 . 17 .以点(-2, 3)为圆心且过坐标原点的圆的方程是 ________________ .18 .甲、乙两校各有3名教师报名支教，若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为 __________ .垂直，则双曲线C 的离心率e= _________ .三、解答题(本大题共2小题，共24分.解答应时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.)20 .(本小题满分12分)已知数列｛a n ｝是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2= 4，& = 20 .(1) 求数列｛a n ｝的通项公式；(2) 令b n 二a n -9，求数列fbj 的前n 项和Tn .A .充分不必要条件B .必要不充分条件C .充要条件D .既不充分也不必要条件13. 已知在△ ABC 中，P 为线段AB 上一点，且31〕，若C?二XCZ • C 2，则x 2y C .14.若实数x ， x 空3y 满足x • y _2，则2x+y 的取值范围为 [y兰xA . [1 ， 9]B . [5，9]C . [3， 9]D . [3，5]19 .已知双曲线C : =1 ( a 0， b 0)的一条渐近线与直线 l : x -2y+2020= 021.（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 是菱形, / BAD = 60 , PA = PD , O 为 AD 边的中点. （1）证明：平面POB_平面PAD ;2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷（6）参考答案、选择题(2)若丄三=2 .,3 ,考「13，求四棱锥P -ABCD 的体积.•••OB = 3,7分、填空题三、解答题:20.解：(1)设数列｛a n ｝的公差为d, .............................. 1分r a 2 二耳 d =4由IS 4 = 4a 1 6d = 20I解得a ^2 . ................................ 5分d =2.•.a n = 2+2 (n - 1)= 2n. ............................ 6分 (2)由(1) 知 a n = 2n ,a n••• bn— n 1 -9- 2n-9 =2 , ............................................... 9 分二数列：0 ［是以b 1 = -7为首项，公差为2的等差数列， ............. 10分n b 1 b n n [-7 2n -9 2------------ = -------------------- =n2 221. (1)证明：•••底面 ABCD 是菱形，/ BAD = 60° ••• AB = BD = AD, ........................ 1 分v O 为AD 的中点，••• AD 丄BO, ........................ 2 分v O 为AD 的中点，FA = PD ,••• AD 丄 PO, ....................... 3 分v PO P BO = O , PO 平面 POB , BO 平面 POB,••• AD 丄平面POB, ........................ 5分v AD?平面 PAD ,•••平面POB 丄平面PAD. .................. 6分 16. 40'： 2 217. x 2 y-3 1318. -19. .55—8n . 12分(2)解:v三=2,3，匕D是正三角形,在Rt A PAO 中"门，江〕- ,3 ,••• PO= 2, .......................................... 8 分2 2 2•••OB2+PO2= 9 4 = 13 = PB2,••• PO丄OB, ...................... 9分••• AD 丄PO, 且OB A AD = O, OB 平面ABCD, AD 平面ABCD ,••• PO 丄平面ABCD , ...................... 10 分1 2S菱形J■予D = 3 =<sin 60'=6^/3 , .............................. 11 分•••四棱锥P- ABCD的体积为V =〔S菱形二C D沖-1 6乜2=4■■一3 •…12分3 3。

广东省普通高中2020-2021学年高二学业水平考试数学模拟试题(二)

广东省普通高中2020-2021学年高二学业水平考试数学模拟试题（二）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，，则（）
A． B． C． D．
2．函数的定义域为（）
A． B．，
C． D．
3．设，是两个平面，、是两条直线，下列命题中，可以判断的是（）
A． B． C． D．
12．已知数列的前项和，则（）
A． B． C． D．
13．将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），所得图象对应的表达式为（）
A． B．
C． D．
14．今年第一季度在某妇幼医院出生的男、女婴人数统计表（单位：人）如表：
月份性别
一
二
三
总计
男婴
22
19
23
19．已知在时取得最小值，则 ________.
三、解答题
20．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，， .
（1）求b的值；
（2）求的值.
21．已知圆与直线相交于不同的、两点，为坐标原点.
（1）求的取值范围；
（2）若，求实数的值.
参考答案
1．A
【分析】
根据交集的概念，由题中条件，直接得出结果.
A．，，且， B．，，且
C．，且 D．，，且
4．定义域为的四个函数 , , , 中,奇函数的个数是( )
A． B． C． D．
5．设向量，，，且满足，则（）
A． B． C． D．2
6．下列抛物线中，其方程形式为的是（）

2024年广东省普通高中学业水平合格性考试数学模拟卷(二)(含答案)

数 2024年第一次广东省普通高中学业水平合格性考试模拟卷（二）学位号填写在答题卡上。

用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”本试卷共22小题，满分150分。

考试用时90分钟。

注意事项：1. 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不能答在试卷上。

3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4. 考生必须保持答题卡的整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

─、选择题：本大题共12小题，每小题6分，共72分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．已知全集U =R ，集合{}|13Ax x =<<，则CC UU AA =（）A ．{|1x x <或3}x >B ．{}|3x x ≥C ．{|1x x ≤或3}x ≥D ．{}|1x x ≤2．下列函数中，在区间（0，＋∞）上是减函数的是（）A ．y ＝x 2B ．y ＝1x C ．y ＝2x D ．y ＝lg x 3. 已知角α的终边过点()1,2P −，则tan α等于（）A. 2B. 12−C. 2−D.124．函数lg y x =+的定义域是（）A ．{1x x >或}0x <B ．{}01x x <<C ．{1x x ≥或}0x ≤D ．{}01x x <≤5．已知R a ∈，则“1a >”是“11a<”的（） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件6．不等式(2x −1)(x +2)>0的解集是（A ．）{2x x <−∣，或12x>B ．12∣ >xx C ．122xx−<<∣ D ．{2}xx <−∣ 7．已知平面向量a ＝（－2，4），b ＝（n ，6），且a ∥b ，则n ＝（）A. 3 B ．2C ．1D ．－18．已知,0x y >且xy ＝36，则x y +的最小值为（）A． B ．4C ．6D ．129. 要得到函数4y sin x =−（3π）的图象，只需要将函数4y sin x =的图象（）A. 向左平移12π个单位 B. 向右平移12π个单位 C. 向左平移3π个单位 D. 向右平移3π个单位10. 已知函数()122,0,log ,0,x x f x x x ≤= > 则()()2f f −=（）A. －2B. －1C. 1D. 211．如图1，在正方体1111ABCD A B C D −中，E ，F 分别是AB ，AD 的中点，则异面直线1B C 与EF 所成的角的大小为（） A ．90° B ．60°C ．45°D ．30°12. 某同学计划2023年高考结束后，在A ，B ，C ，D ，E 五所大学中随机选两所去参观，则A 大学恰好被选中的概率为（） A.45B.35C.25 D. 15二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分。

2020年广东省高考数学二模试卷(理科)

2020年广东省高考数学二模试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．（5分）已知集合{|(3)0}A x x x =+<，{|2B x x =-<<，则(A B =I )A ．{|3x x -<<B ．{|3x x -<<C ．{|2x x -<<D ．{|2x x -<<2．（5分）已知复数()(z i a i i =-为虚数单位，)a R ∈，若12a <<，则||z 的取值范围为()A ．B ．，2)C ．D ．(1,2)3．（5分）《周髀算经》是我国古老的天文学和数学著作，其书中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同（晷是按照日影测定时刻的仪器，晷长即为所测影子的长度），夏至、小暑、大暑、立秋、处暑、白露、秋分、寒露、霜降是连续的九个节气，其晷长依次成等差数列，经记录测算，这九个节气的所有晷长之和为49.5尺，夏至、大暑、处暑三个节气晷长之和为10.5尺，则立秋的晷长为( ) A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺4．（5分）在ABC ∆中，已知45A ∠=︒，AB =，且AB 边上的高为sin (C =)A B C D 5．（5分）一个底面半径为2的圆锥，其内部有一个底面半径为1的内接圆柱，若其内接圆，则该圆锥的体积为( )A ．B C D 6．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且在(0,)+∞上单调递减，(3)0f -=，则不等式(1)0f x ->的解集为( ) A ．(3,3)-B ．(-∞，2)(1-⋃，4)C ．(-∞，4)(1--⋃，2)D ．(-∞，3)(0-⋃，3)7．（5分）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ，过点F 分别作双曲线的两条渐近线的垂线，垂足分别为A ，B ．若0FA FB =u u u r u u u rg ，则该双曲线的离心率为( )A ．5B ．2C ．3D ．28．（5分）已知四边形ABCD 中，//AD BC ，30A ∠=︒，23AB =，5AD =，E 在CB 的延长线上，且AE BE =，则(AE DB =u u u r u u u rg )A ．1B ．2C ．12D ．39．（5分）6(2)x y ++的展开式中，3xy 的系数为( ) A ．120B ．480C ．240D ．32010．（5分）把函数()2sin f x x =的图象向右平移3π个单位长度，再把所得的函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）得到函数()g x 的图象，关于()g t 的说法有：①函数()g x 的图象关于点(,0)3π对称；②函数()g x 的图象的一条对称轴是12x π=-；③函数()g x 在[3π，]2π上的最上的最小值为3；④函数()[0g x ∈，]π上单调递增，则以上说法正确的个数是( ) A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个11．（5分）如图，在矩形ABCD 中，已知22AB AD a ==，E 是AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成△1A DE ，连接1A C ．若当三棱锥1A CDE -的体积取得最大值时，三棱锥1A CDE -外接球的体积为823π，则(a = )A ．2B 2C ．22D ．412．（5分）已知函数21()cos 1()2f x ax x a R =+-∈，若函数()f x 有唯一零点，则a 的取值范围为( ) A ．(,0)-∞ B ．(-∞，0][1U ，)+∞ C ．(-∞，1][1U ，)+∞D ．(,0)[1-∞U ，)+∞二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷(2)

2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷（6）一、选择题（本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分．） 1．复数（﹣1+3i ）（3﹣i ）＝（）A ．10B ．﹣10C ．10iD ．﹣10i 2．已知集合A ＝{﹣2，0，1，2，3}，B ＝{﹣1，1，3，4}，则A ∩B ＝（） A ．{1，3} B ．{﹣2，1，3} C ．{﹣1，1，3，4}D ．{﹣2，﹣1，1，3}3．函数()f x = ）A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭4．lg2+lg5＝（）A ．lg7B ．lg25C ．1D ．lg2×lg5 5．已知两点A （﹣1，2），B （3，4），则直线AB 的斜率为（）A ．2B ．12-C ．12D ．﹣26．已知向量()2,3a =，(),4b x =．若()//a a b -，则x ＝（）A ．38B ．83C ．12D ．27．下列函数在R 上是增函数的是（）A ．3y x = B ．3log y x = C ．y x =- D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭8．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，c ＝2，cos A ＝23，则a ＝（）A B ．3 C D 9．已知样本数据x 1，x 2，…，x 10，其中x 1，x 2，x 3的平均数为a ；x 4，x 5，…，x 10的平均数为b ，则样本数据的平均数为（） A ．2a b + B ．3710a b + C ．7310a b + D ．10a b+10．角α的终边经过点（1，﹣1），则cos 2πα⎛⎫- ⎪⎝⎭＝（）A ．1B ．﹣1 CD．11．已知函数()23,0log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则12f f ⎡⎤⎛⎫ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的值是（） A ．13B ．3C ．﹣1 D12．设m α⊂，α，β是两个不同的平面，则“αβ⊥”是“//m β”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件13．已知在△ABC 中，P 为线段AB 上一点，且3BP =PA ，若C C C x yP =A +B ，则2x y +＝（）A ．34B ．54C ．74D ．9414．若实数x ，y 满足32x x y y x ≤⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩，则2x +y 的取值范围为（）A ．[1，9]B ．[5，9]C ．[3，9]D ．[3，5] 15．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1+a 3＝3，a 2+a 4＝6，则S 8＝（） A ．45 B ．81 C ．117 D ．153 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分．）16．已知圆锥的底面半径为4cm，高为，则这个圆锥的表面积是 cm 2． 17．以点（﹣2，3）为圆心且过坐标原点的圆的方程是．18．甲、乙两校各有3名教师报名支教，若从这6名教师中任选2名，选出的2名教师来自同一学校的概率为．19．已知双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的一条渐近线与直线l ：x ﹣2y +2020＝0垂直，则双曲线C 的离心率e ＝．三、解答题（本大题共2小题，共24分．解答应时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）20．（本小题满分12分）已知数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，且a 2＝4，S 4＝20．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）令9n n b a =-，求数列{}n b 的前n 项和T n ．21．（本小题满分12分）如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BAD＝60，P A＝PD，O为AD边的中点．（1）证明：平面POB⊥平面P AD；（2）若AB=PA=PB=，求四棱锥P﹣ABCD的体积．2020年广东省普通高中学业水平考试数学模拟仿真卷（6）参考答案一、选择题16．40π 17．()()222313x y ++-= 18．2519三、解答题：20．解：（1）设数列{a n }的公差为d ，…………………1分由214144620a a d S a d =+=⎧⎨=+=⎩，…………………3分解得122a d =⎧⎨=⎩．…………………5分∴a n ＝2+2（n ﹣1）＝2n ．…………………6分（2）由（1）知a n ＝2n ，∴929n n b a n =-=-，…………………7分∵()()1219292n n b b n n +-=+---=，…………………9分∴数列{}n b 是以17b =-为首项，公差为2的等差数列，…………………10分 ∴()()12729822n n n b b n n n n +-+-T ===-．…………………12分 21．（1）证明：∵底面ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°， ∴AB ＝BD ＝AD ，…………………1分 ∵O 为AD 的中点，∴AD ⊥BO ，…………………2分 ∵O 为AD 的中点，P A ＝PD ， ∴AD ⊥PO ，…………………3分∵PO ∩BO ＝O ，PO ⊂平面POB ，BO ⊂平面POB ， ∴AD ⊥平面POB ，…………………5分 ∵AD ⊂平面P AD ，∴平面POB ⊥平面P AD ．…………………6分（2）解：∵AB =D ∆AB 是正三角形， ∴OB ＝3，…………………7分在Rt △P AO 中，PA =AO =PO ＝2，…………………8分 ∵OB 2+PO 2＝94+＝13＝PB 2， ∴PO ⊥OB ，…………………9分∵AD ⊥PO ，且OB ∩AD ＝O ，OB ⊂平面ABCD ，AD ⊂平面ABCD ， ∴PO ⊥平面ABCD ，…………………10分(2CD 12sin 60632S AB =⨯⨯⨯=菱形，…………………11分∴四棱锥P ﹣ABCD 的体积为CD 11V 233S AB =⨯PO =⨯=菱形………12分。

广东省普通高中1月学业水平考试模拟数学试卷(二)解析版

学业水平考试模拟试卷(二)数学(时间：90分钟满分：100分)一、选择题(本大题共15小题，每小题4分，共60分．每小题中只有一个选项是符合题意的，不选、多选、错选均不得分)1．若复数z满足i·z＝－12(1＋i)，则z的共轭复数的虚部是()A．－12i B.12i C．－12 D.12解析：z＝－12（1＋i）i＝12i(1＋i)＝－12＋12i，共轭复数为－12－12i，虚部为－12.故选C.答案：C2．已知集合A＝{x|2＜x＜4}，B＝{x|x＜3或x＞5}，则A∩B＝() A．{x|2＜x＜5} B．{x|x＜4或x＞5}C．{x|2＜x＜3} D．{x|x＜2或x＞5}解析：借助数轴可得{x|2＜x＜3}．答案：C3．定义域为R的四个函数y＝x3，y＝2x，y＝x2＋1，y＝2sin x中，奇函数的个数是()A．4 B．3 C．2 D．1解析：函数y＝x3，y＝2sin x为奇函数，y＝2x为非奇非偶函数，y ＝x2＋1为偶函数，故奇函数的个数是2，故选C.答案：C4．命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是()A．任意x∉R，x2≠x B．任意x∈R，x2＝xC．存在x∉R，x2≠x D．存在x∈R，x2＝x解析：全称命题的否定是特称命题，所以命题“任意x∈R，x2≠x”的否定是“存在x∈R，x2＝x”．答案：D5．若等差数列{a n}的前n项和S n满足S4＝4，S6＝12，则S2＝() A．－1 B．0 C．1 D．3解析：等差数列中，设S2＝a1＋a2＝x，则a3＋a4＝S4－S2＝4－x，a5＋a6＝S6－S4＝8，则S2，S4－S2，S6－S4仍成等差数列，所以2(4－x)＝x＋8，解得x＝0，即S2＝0故选B.答案：B6．如图，三棱锥V-ABC的底面为正三角形，侧面VAC与底面垂直且VA＝VC，已知其主视图的面积为23，则其左视图的面积为()A.32 B.33 C.34 D.36解析：由题意知，该三棱锥的主视图为△VAC，作VO⊥AC于O，连接OB，由VA＝VC，知O为AC中点，∴OB⊥AC，又平面VAC⊥平面ABC，∴VO⊥平面ABC，∴VO⊥OB，设底面边长为2a，高VO＝h，则△VAC的面积为12×2a×h＝ah＝23.又三棱锥的左视图为Rt△VOB，在正三角形ABC中，高OB＝3a，∴左视图的面积为12OB·VO＝12×3a×h＝32ah＝32×23＝33. 答案：B7．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )A ．(－24，7)B ．(－7，24)C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞) 解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24.答案：B8．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α＝( ) A ．－53 B ．－59 C.59 D.53解析：利用同角三角函数的基本关系及二倍角公式求解．∵sin α＋cos α＝33，∴(sin α＋cos α)2＝13，∵2sin αcos α＝－23，即sin 2α＝－23.又∵α为第二象限角且sin α＋cos α＝33＞0，∴2k α＋α2＜α＜2k α＋34α(k ∈Z)，∴4k α＋α＜2α＜4k α＋32α(k ∈Z)，∴2α为第三象限角，∴cos 2α＝－1－sin 22α＝－53. 答案：A9．已知双曲线C ：x 2－y28＝1，则双曲线的渐近线方程为( )A ．y ＝±22xB ．y ＝22xC ．y ＝－22xD ．y ＝±24x解析：因为双曲线的渐近线方程为y ＝±ba x 且a ＝1，b ＝22，所以答案为A.答案：A10．若实数x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1，则z ＝2y －2x ＋4的最小值为( )A ．3B ．4C ．6D ．8解析：作出满足不等式⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤1，0≤y ≤2，2y －x ≥1的可行域，如图所示，作直线l 1：2y －2x ＝t ，当l 1经过B (1，1)时，z min ＝2×1－2×1＋4＝4.故选B. 答案：B11．已知向量a ＝(1，3)，b ＝(cos θ，sin θ)，若a ∥b ，则tan θ＝( )A.33B. 3 C ．－33D ．－ 3 解析：∵a ∥b ，∴sin θ－3cos θ＝0，即sin θ＝3cos θ.故tan θ＝3.答案：B12．设不等式组⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ≤2，0≤y ≤2表示的平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是( )A.π4B.π－22C.π6D.4－π4解析：如图所示，区域D 是正方形OABC ，且区域D 的面积S ＝4.又阴影部分表示的是区域D 内到坐标原点的距离大于2的区域．易知该阴影部分的面积S 阴＝4－π，所以所求事件的概率P ＝4－π4.答案：D13．设函数y ＝2sin 2x －1的最小正周期为T ，最大值为M ，则( ) A ．T ＝π，M ＝1 B ．T ＝2π，M ＝1 C ．T ＝π， M ＝2D ．T ＝2π，M ＝2解析：由于三角函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的最小正周期T ＝2αω，最大值为A ＋B ；∴函数y ＝2sin2x －1的最小正周期T ＝2α2＝α，最大值M ＝2－1＝1.答案：A14．已知互相垂直的平面α，β交于直线l .若直线m ，n 满足m ∥α，n ⊥β，则( )A ．m ∥lB ．m ∥nC ．n ⊥lD ．m ⊥n 解析：∵n ⊥β，且α，β交于直线l .l ⊂β，∴n ⊥l . 答案：C15．已知一组数据x 1，x 2，…，x n 的平均值为2，方差为1，则2x 1＋1，2x 2＋1，…，2x n ＋1，平均值和方差分别为( )A ．5，4B ．5，3C ．3，5D ．4，5解析：一组数据x 1，x 2，x 3…，x n 的平均值为2，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的平均数是2×2＋1＝5；又数据x 1，x 2，x 3，…x n 的方差为1，所以数据2x 1＋1，2x 2＋1，2x 3＋1，…，2x n ＋1的方差是22×1＝4，故选A.答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)16．f (x )为奇函数，当x <0时，f (x )＝log 2(1－x )，则f (3)＝________．解析：f (3)＝－f (－3)＝－log 24＝－2. 答案：－217．经过点(－2，2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1的直线l 的方程为________．解析：设所求直线l 的方程为x a ＋yb ＝1，由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋2b ＝1，12|a ||b |＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1.∴2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝0为所求．答案：2x ＋y ＋2＝0或x ＋2y －2＝018．某防疫站对学生进行身体健康调查，欲采用分层抽样的办法抽取样本．某中学共有学生2 000名，抽取了一个容量为200的样本，已知样本中女生比男生少6人，则该校共有女生________人．解析：由题意知抽取女生97人，设该校共有女生x 人．则x ×2002 000＝97，解得x ＝970.答案：97019．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω＞0，－π2≤φ≤π2的图象上的两个相邻的最高点和最低点的距离为22，则ω＝______．解析：由已知两相邻最高点和最低点的距离为22，由勾股定理可得T 2＝（22）2－22，∴T ＝4，∴ω＝α2. 答案：α2三、解答题(本大题共2小题，共24分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤)20．(12分)已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4＋1.(1)求它的振幅、最小正周期、初相；(2)在如图所示坐标系中画出函数y ＝f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2上的图象．解：(1)f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －α4＋1的振幅为2，最小正周期T ＝2α2＝α，初相为－α4.(2)列表并描点画出图象： x －α2 －3α8 －α8 α8 3α8 α2 2x －α4－5α4－α －α2 0 α2 3α4 y211－211＋22故函数y ＝f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－α2，α2上的图象是21．(12分)如图所示，在直三棱柱ABCA 1B 1C 1中，E ，F 分别为A 1C 1和BC 的中点．(1)求证：EF ∥平面AA 1B 1B ；(2)若AA 1＝3，AB ＝23，求EF 与平面ABC 所成的角．(1)证明：如图所示，取A 1B 1的中点D ，连接DE ，BD . 因为E 是A 1C 1的中点，所以DE 綊12B 1C 1.又因为BC 綊B 1C 1，BF ＝12BC ，所以DE 綊BF .所以四边形BDEF 为平行四边形．所以BD ∥EF .又因为BD ⊂平面AA 1B 1B ，EF ⊄平面AA 1B 1B ，所以EF ∥平面AA 1B 1B .(2)解：如图所示，取AC 的中点H ，连接HF ，EH .因为EH∥AA1，AA1⊥平面ABC，所以EH⊥平面ABC.所以∠EFH就是EF与平面ABC所成的角．在Rt△EHF中，FH＝3，EH＝AA1＝3，所以∠EFH＝60°.故EF与平面ABC所成的角为60°.。

2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟二数学试题

一、单选题二、多选题1. “1＜x ＜2”是“x ＜2”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件2.函数的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．43. 已知函数在区间上有且仅有两条对称轴，则的取值范围是（）A．B．C．D．4. 设，那么“”是“"的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5. 已知集合M ，N 都是R的子集，且，则（）A．B．C．D．6. 已知角的终边在直线上，则的值为（）A．B．C ．0D．7. 函数，则的最大值和最小正周期分别为（）A ．2和B ．4和C ． 2和D ． 4和8. 如图，在△中，点M是上的点且满足，N是上的点且满足，与交于P 点，设，则（）A．B．C．D．9. 球面几何是几何学的一个重要分支，在航海、航空、卫星定位等方面都有广泛的应用．如图，A ,B ,C 是球面上不在同一大圆（大圆是过球心的平面与球面的交线）上的三点，经过这三点中任意两点的大圆的劣弧分别为，由这三条劣弧围成的球面部分称为球面，定义为经过两点的大圆在这两点间的劣弧的长度，已知地球半径为，北极为点N ，点P ，Q 是地球表面上的两点，则（）A．B．若点在赤道上，且经度分别为东经30°和东经60°，则2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟二数学试题三、填空题四、解答题C ．若点在赤道上，且经度分别为东经40°和东经80°，则球面的面积D．若，则球面的面积为10. 如图所示，在棱长为2的正方形中，点，分别是，的中点，则（）A．B．与平面所成角的正弦值为C．二面角的余弦值为D ．平面截正方体所得的截面周长为11. 如图，正方体的棱长为，点为的中点，下列说法正确的是（）A．B．平面C．点到平面的距离为D．与平面所成角的正弦值为12.已知数列满足，，，数列的前n 项和为，且，则下列说法正确的是（）A．B．C．数列为单调递增的等差数列D．满足不等式的正整数n 的最小值为6313. 已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是____________________.14. 设过曲线（为自然对数的底数）上的任意一点的切线为，总存在过曲线上的一点处的切线，使，则m 的取值范围是 _____________________.15.已知双曲线的中心是坐标原点，它的一个顶点为，两条渐近线与以A 为圆心1为半径的圆都相切，则该双曲线的标准方程是___________．16. 如图，在棱长为1的正方体中，AP=BQ=b （0<b <1），截面PQEF ∥，截面PQGH∥．（Ⅰ）证明：平面PQEF和平面PQGH互相垂直；（Ⅱ）证明：截面PQEF和截面PQGH面积之和是定值，并求出这个值；（Ⅲ）若，求与平面PQEF所成角的正弦值．17. 如图，四棱锥中，平面，四边形为正方形，点M、N分别为直线上的点，且满足．（1）求证：平面；（2）若，，求点到平面的距离．18.已知三棱柱中，，，点为的中点，．（1）求证：平面；（2）条件①：直线与平面所成的角，条件②：为锐角，三棱锥的体积为．在以上两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题：若平面平面，_______，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．19. 已知函数，，其中为常数.(1)当，且时，求函数的单调区间及极值；(2)已知，，若函数有2个零点，有6个零点，试确定的值.20. 已知函数有两个不同的零点.(1)求的最值；(2)证明：.21. 为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中400名居民体育锻炼的次数与年龄，得到如下的频数分布表.年龄[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]次数每周0~2次70553659每周3~4次25404431每周5次及以上552010(1)若把年龄在的锻炼者称为青年，年龄在的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的称为体育锻炼频率低，不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄是否有关联；(2)从每周体育锻炼5次及以上的样本锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在与的人数分别为，求ξ的分布列与期望；(3)已知小明每周的星期六、星期天都进行体育锻炼，且两次锻炼均在跑步、篮球、羽毛球3种运动项目中选择一种，已知小明在某星期六等可能选择一种运动项目，如果星期六选择跑步、篮球、羽毛球，则星期天选择跑步的概率分别为，求小明星期天选择跑步的概率.参考公式：附：α0.100.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828。

2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟二数学试题

一、单选题二、多选题1. 下列函数中，以为最小正周期且在区间上单调递减的是（）A．B．C．D．2. 已知等比数列的公比为2，前项和为.若，则（）A ．4B ．8C ．16D ．323. 已知命题，则的否定是（）A．B．C．D．4. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，点，，分别在线段，，上，，分别是，的中点，，则（）A ．直线与直线平行B ．直线与直线相交C ．直线与直线相交D ．直线与平面平行5.设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（）A．B．C．D．6.已知随机变量，且，则（）A ．0.1586B ．0.3413C ．0.4177D ．0.68267.若数据，，，，的方差为，数据，，，，的方差为，,则（）A．B．C．D．，关系不确定8. 若命题“”为假命题，则m 的取值范围是（）A．B．C．D．9. 如图是函数的部分图象，则（）A．函数的最小正周期为2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟二数学试题2023年1月广东省普通高中学业水平考试模拟二数学试题三、填空题四、解答题B ．直线是函数图象的一条对称轴C ．点是函数图象的一个对称中心D ．函数为奇函数10. 声音是由物体振动产生的声波，纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音.我们听到的声音函数是，记，则下列结论中正确的为（）A ．在上是增函数B．的最大值为C ．的最小正周期为D．11. 若在中，，则（）A．B．C．D．12. 某市组织全市高中学生进行知识竞赛，为了解学生知识掌握情况，从全市随机抽取了100名学生，将他们的成绩（单位：分）分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，已知图中未知的数据，，成等差数列，成绩落在内的人数为40.从分数在和的两组学生中采用分层抽样的方法抽取5人，再从这5人中抽取3人，记3人中成绩在内的人数为，设事件“至少1人成绩在内”，事件“3人成绩均在内”.则下列结论正确的是（）A．B．C．与是互斥事件，但不是对立事件D ．估计该市学生知识竞赛成绩的中位数不高于72分13.已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A ，与右支交于点B ，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.14. 已知命题：“”，则：______________．15. 已知，则=__________．16.已知函数的图像在点处的切线为.（1）当时，求直线的方程；（2）若曲线和直线有且只有一个公共点，求实数的最大值.17. 已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．18. 在中，角所对的边分别是，已知且.(1)求角的大小；(2)若，延长至，使，且，求的面积.19. 如图,某小区为美化环境,建设美丽家园,计划在一块半径为R（R为常数）的扇形区域上,建个矩形的花坛CDEF和一个三角形的水池FCG.其中,O为圆心,,C,G,F在扇形圆弧上,D,E分别在半径OA,OB上,记OG与CF,DE分别交于M,N,.（1）求△FCG的面积S关于的关系式,并写出定义域；（2）若R=10米,花坛每平方米的造价是300元,试问矩形花坛的最高造价是多少？（取）20.如图所示的五面体中，是正方形，是等腰梯形，且平面平面，为的中点，，．（1）求证：平面平面；（2）为线段的中点，在线段上，记，是线段上的动点．当为何值时，三棱锥的体积为定值？证明此时二面角为定值，并求出其余弦值．21. 为迎接2022年冬奥会，某地区高一、高二年级学生参加了冬奥知识竞赛．为了解知识竞赛成绩优秀（不低于85分）学生的得分情况，从高一、高二这两个年级知识竞赛成绩优秀的学生中分别随机抽取容量为15、20的样本，得分情况统计如下图所示（满分100分，得分均为整数），其中高二年级学生得分按，，分组．(1)从抽取的高二年级学生样本中随机抽取一人，求其得分不低于90分的概率；(2)由于高二年级学生样本原始数据丢失，请根据统计图信息，判断高二年级学生样本得分的最高分至少为多少分时，高二年级学生样本得分的平均分一定超过高一年级学生样本得分的平均分，并说明理由．。