常见的勾股数及公式word版本
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢 a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) . 五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考： 3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 6061；12 1620；12 3537；138485；14 4850；15 2025；153639；15 112 113；163034；16636517 144 145；182430；188082；19180 181；20 2129；20 4852；20 99101；21283521 7275；21220 221；22 120 122；23 264 265；243240；24 4551；247074；24143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27364 365；28 45 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224226；31 480 481；32 60 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544545；34 288 290；35 84 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 4258；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440442；43 924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336339；46 528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336340；52 675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；6080 100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132165；99 168 195；99 440 451；99 540 549100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第243组： 110 600 610 第244组： 111 148 185 第245组： 111 680 689 第246组： 112 180 212 第247组： 112 210 238 第248组： 112 384 400 第249组： 112 441 455 第250组： 112 780 788 第251组： 114 152 190 第252组： 114 352 370 第253组： 115 252 277 第254组： 115 276 299 第255组： 116 837 845 第256组： 117 156 195 第257组： 117 240 267 第258组： 117 520 533 第259组： 117 756 765 第260组： 119 120 169 第261组： 119 408 425 第262组： 120 126 174 第263组： 120 160 200 第264组： 120 182 218第266组： 120 225 255 第267组： 120 288 312 第268组： 120 350 370 第269组： 120 391 409 第270组： 120 442 458 第271组： 120 594 606 第272组： 120 715 725 第273组： 120 896 904 第274组： 121 660 671 第275组： 123 164 205 第276组： 123 836 845 第277组： 124 957 965 第278组： 125 300 325 第279组： 126 168 210 第280组： 126 432 450 第281组： 126 560 574 第282组： 128 240 272 第283组： 128 504 520 第284组： 129 172 215 第285组： 129 920 929 第286组： 130 144 194 第287组： 130 312 338第289组： 132 176 220 第290组： 132 224 260 第291组： 132 351 375 第292组： 132 385 407 第293组： 132 475 493 第294组： 132 720 732 第295组： 133 156 205 第296组： 133 456 475 第297组： 135 180 225 第298组： 135 324 351 第299组： 135 352 377 第300组： 135 600 615 第301组： 136 255 289 第302组： 136 273 305 第303组： 136 570 586 第304组： 138 184 230 第305组： 138 520 538 第306组： 140 147 203 第307组： 140 171 221 第308组： 140 225 265 第309组： 140 336 364 第310组： 140 480 500第312组： 140 975 985 第313组： 141 188 235 第314组： 143 780 793 第315组： 143 924 935 第316组： 144 165 219 第317组： 144 192 240 第318组： 144 270 306 第319组： 144 308 340 第320组： 144 420 444 第321组： 144 567 585 第322组： 144 640 656 第323组： 144 858 870 第324组： 145 348 377 第325组： 145 408 433 第326组： 147 196 245 第327组： 147 504 525 第328组： 150 200 250 第329组： 150 360 390 第330组： 150 616 634 第331组： 152 285 323 第332组： 152 345 377 第333组： 152 714 730第335组： 153 420 447 第336组： 153 680 697 第337组： 154 528 550 第338组： 154 840 854 第339组： 155 372 403 第340组： 155 468 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777 905 第782组： 464 870 986 第783组： 465 620 775 第784组： 468 595 757 第785组： 468 624 780 第786组： 471 628 785 第787组： 473 864 985 第788组： 474 632 790 第789组： 475 840 965 第790组： 476 480 676 第791组： 476 765 901 第792组： 477 636 795 第793组： 480 504 696第795组： 480 640 800 第796组： 480 693 843 第797组： 480 728 872 第798组： 480 836 964 第799组： 481 600 769 第800组： 483 644 805 第801组： 483 720 867 第802组： 486 648 810 第803组： 489 652 815 第804组： 492 656 820 第805组： 495 660 825 第806组： 495 840 975 第807组： 498 664 830 第808组： 500 525 725 第809组： 501 668 835 第810组： 504 550 746 第811组： 504 672 840 第812组： 504 703 865 第813组： 504 810 954 第814组： 507 676 845 第815组： 510 680 850 第816组： 510 792 942第818组： 516 688 860 第819组： 519 692 865 第820组： 520 546 754 第821组： 520 576 776 第822组： 520 765 925 第823组： 522 696 870 第824组： 522 760 922 第825组： 525 700 875 第826组： 528 605 803 第827组： 528 630 822 第828组： 528 704 880 第829组： 531 708 885 第830组： 532 624 820 第831组： 533 756 925 第832组： 534 712 890 第833组： 537 716 895 第834组： 540 567 783 第835组： 540 629 829 第836组： 540 720 900 第837组： 540 819 981 第838组： 543 724 905 第839组： 546 728 910第841组： 552 736 920 第842组： 555 572 797 第843组： 555 740 925 第844组： 558 744 930 第845组： 560 588 812 第846组： 560 684 884 第847组： 560 702 898 第848组： 561 748 935 第849组： 564 752 940 第850组： 567 756 945 第851组： 570 760 950 第852组： 573 764 955 第853组： 576 660 876 第854组： 576 768 960 第855组： 579 772 965 第856组： 580 609 841 第857组： 580 741 941 第858组： 582 776 970 第859组： 585 648 873 第860组： 585 780 975 第861组： 588 784 980 第862组： 591 788 985第864组： 594 792 990 第865组： 595 600 845 第866组： 597 796 995 第867组： 600 630 870 第868组： 600 800 1000 第869组： 612 759 975 第870组： 615 728 953 第871组： 616 663 905 第872组： 616 735 959 第873组： 620 651 899 第874组： 621 672 915 第875组： 624 715 949 第876组： 638 720 962 第877组： 640 672 928 第878组： 650 720 970 第879组： 660 693 957 第880组： 680 714 986 第881组： 696 697 985。
[实用参考]常见的勾股数及公式.doc
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常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（G －１，G ，G ＋１），则由勾股数的定义，得（G+1）2+G 2=（G+1）2，解得G ＝４或G ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n 是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（G ，G ＋１，1222++x x ）（G 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（G ，G ＋１，P ），P=1222++x x 则()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得G ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，P ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）. 3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15112 113；16 30 34；16 63 65 17144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145 25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 100 28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130 32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 362 39 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 202 40 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 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870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 330 346第229组：104 672 680第230组：105 140 175第231组：105 208 233第232组：105 252 273第233组：105 360 375第234组：105 608 617第235组：105 784 791第236组：108 144 180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第255组：116 837 845第256组：117 156 195第259组：117 756 765 第260组：119 120 169 第261组：119 408 425 第262组：120 126 174 第263组：120 160 200 第264组：120 182 218 第265组：120 209 241 第266组：120 225 255 第267组：120 288 312 第268组：120 350 370 第269组：120 391 409 第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 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第628组：322 480 578 第629组：324 432 540 第630组：324 693 765 第631组：324 945 999 第632组：325 360 485 第633组：325 780 845 第634组：327 436 545 第635组：328 615 697 第636组：330 440 550 第637组：330 560 650 第638组：330 792 858 第639组：333 444 555 第640组：333 644 725 第641组：335 804 871 第642组：336 377 505 第643组：336 385 511 第644组：336 448 560 第645组：336 527 625 第646组：336 540 636 第647组：336 630 714 第648组：336 748 820 第649组：336 850 914 第650组：339 452 565 第651组：340 357 493 第652组：340 528 628 第653组：340 816 884 第654组：341 420 541 第655组：342 456 570 第656组：344 645 731 第657组：345 460 575 第658组：345 756 831 第659组：345 828 897 第660组：348 464 580 第661组：348 805 877 第662组：350 576 674 第663组：350 840 910 第664组：351 468 585。
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？ a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 6517 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；2470 74；24 143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364 365；2845 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；3260 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；3584 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；6091 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 7297；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168195；99 440 451；99 540 549100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组：102 136 170第225组：102 864 870第226组：104 153 185第227组：104 195 221第228组：104 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792 890第727组：407 624 745第728组：408 506 650第729组：408 544 680第730组：408 765 867第731组：408 819 915第732组：411 548 685第733组：414 448 610第734组：414 552 690第735组：416 612 740第737组：417 556 695第738组：420 441 609第739组：420 513 663第740组：420 560 700第741组：420 637 763第742组：420 675 795第743组：420 832 932第744组：420 851 949第745组：423 564 705第746组：424 795 901第747组：425 660 785第748组：426 568 710第749组：429 460 629第750组：429 572 715第751组：429 700 821第753组：429 880 979第754组：432 495 657第755组：432 576 720第756组：432 665 793第757组：432 810 918第758组：435 580 725第759组：438 584 730第760组：440 462 638第761组：440 525 685第762组：440 825 935第763组：441 588 735第764组：444 592 740第765组：447 596 745第766组：448 720 848第767组：448 840 952第769组：450 600 750第770组：451 780 901第771组：453 604 755第772组：455 504 679第773组：455 528 697第774组：456 608 760第775组：456 650 794第776组：456 855 969第777组：459 612 765第778组：460 483 667第779组：462 616 770第780组：462 784 910第781组：464 777 905第782组：464 870 986第783组：465 620 775第785组：468 624 780第786组：471 628 785第787组：473 864 985第788组：474 632 790第789组：475 840 965第790组：476 480 676第791组：476 765 901第792组：477 636 795第793组：480 504 696第794组：480 550 730第795组：480 640 800第796组：480 693 843第797组：480 728 872第798组：480 836 964第799组：481 600 769第801组：483 720 867第802组：486 648 810第803组：489 652 815第804组：492 656 820第805组：495 660 825第806组：495 840 975第807组：498 664 830第808组：500 525 725第809组：501 668 835第810组：504 550 746第811组：504 672 840第812组：504 703 865第813组：504 810 954第814组：507 676 845第815组：510 680 850第817组：513 684 855第818组：516 688 860第819组：519 692 865第820组：520 546 754第821组：520 576 776第822组：520 765 925第823组：522 696 870第824组：522 760 922第825组：525 700 875第826组：528 605 803第827组：528 630 822第828组：528 704 880第829组：531 708 885第830组：532 624 820第831组：533 756 925第833组：537 716 895第834组：540 567 783第835组：540 629 829第836组：540 720 900第837组：540 819 981第838组：543 724 905第839组：546 728 910第840组：549 732 915第841组：552 736 920第842组：555 572 797第843组：555 740 925第844组：558 744 930第845组：560 588 812第846组：560 684 884第847组：560 702 898第849组：564 752 940第850组：567 756 945第851组：570 760 950第852组：573 764 955第853组：576 660 876第854组：576 768 960第855组：579 772 965第856组：580 609 841第857组：580 741 941第858组：582 776 970第859组：585 648 873第860组：585 780 975第861组：588 784 980第862组：591 788 985第863组：594 608 850第865组：595 600 845第866组：597 796 995第867组：600 630 870第868组：600 800 1000第869组：612 759 975第870组：615 728 953第871组：616 663 905第872组：616 735 959第873组：620 651 899第874组：621 672 915第875组：624 715 949第876组：638 720 962第877组：640 672 928第878组：650 720 970第879组：660 693 957第881组：696 697 985。
勾股定理
勾股定理、一、勾股定理：1、勾股定理定义：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方ABCabc弦股勾勾：直角三角形较短的直角边股：直角三角形较长的直角边弦：斜边勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形。
2. 勾股数：满足a2＋b2＝c2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a，b，c、为勾股数，那么ka，kb，kc同样也是勾股数组。
）*附：常见勾股数：3,4,5； 6,8,10； 9,12,15； 5,12,133. 判断直角三角形：如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）其他方法：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
用它判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c）；（2）若c2＝a2＋b2，则△ABC是以∠C为直角的三角形；若a2＋b2＜c2，则此三角形为钝角三角形（其中c为最大边）；若a2＋b2＞c2，则此三角形为锐角三角形（其中c为最大边）4.注意：（1）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。
（3）在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30°。
5. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形的两边求第三边。
（2）已知直角三角形的一边，求另两边的关系。
（3）用于证明线段平方关系的问题。
（4）利用勾股定理，作出长为n的线段（一）结合三角形：1.已知∆ABC 的三边a 、b 、c 满足0)()(22=-+-c b b a ，则∆ABC 为 三角形2.在∆ABC 中，若2a =（b +c ）（b -c ），则∆ABC 是 三角形，且∠ ︒90 3.在∆ABC 中，AB=13，AC=15，高AD=12，则BC 的长为1.已知2512-++-y x x 与25102+-z z 互为相反数，试判断以x 、y 、z 为三边的三角形的形状。
勾股定理(知识点+题型分类练习)(word文档物超所值)
A B Ca c 弦股勾勾股定理（知识点）【知识要点】1. 勾股定理的概念：如果直角三角形的两直角边长分别为a ，b ，斜边长为c ，那么 a 2＋b 2＝c 2. 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
常用关系式由三角形面积公式可得：AB·CD=AC·BC2. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 有下面关系：a 2＋b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形，其中为斜c 边。
3. 勾股数：①满足a 2＋b 2＝c 2的三个正整数叫做勾股数（注意：若a ，b ，c 、为勾股数，那么ka ，kb ，kc 同样也是勾股数组。
）②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如；；；；8,15,17等3,4,56,8,105,12,137,24,25③用含字母的代数式表示组勾股数：n （为正整数）；221,2,1n n n -+2,n ≥n （为正整数）2221,22,221n n n n n ++++n （，为正整数）2222,2,m n mn m n -+,m n >m n 4.判断直角三角形：（1）有一个角为90°的三角形是直角三角形。
（2）有两个角互余的三角形是直角三角形。
（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
（4）如果三角形的三边长a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2 ，那么这个三角形是直角三角形。
（经典直角三角形：勾三、股四、弦五）用勾股定理逆定理判断三角形是否为直角三角形的一般步骤是：（1）确定最大边（不妨设为c ）；（2）若c 2＝a 2＋b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的三角形；若a 2＋b 2＜c 2，则此三角形为钝角三角形（其中c 为最大边）；若a 2＋b 2＞c 2，则此三角形为锐角三角形（其中c 为最大边）A5.直角三角形的性质（1）直角三角形的两个锐角互余。
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°⇒ （2）在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果/ C=90，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边•与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为(a，b, c).勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数(3, 4, 5)是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为(x-1，X, x+1 )，则由勾股数的定义，得(x+1) 2+x2= (x+1) 2，解得x =4或x =0(舍去)，故三数为连续整数的勾股数只有一组(3， 4，5);类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：(5， 12， 13) ， (9， 40， 41) ， (113， 6338， 6385)，…, 都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1 (其特点是斜边与其中一股的差为1).分别取n =1,2,3,…就得勾股数组(3,4,5),(5,12,13),(7,2 4,25),…三、前两数为连续整数的勾股数你知道(2 0,2 1,2 9 ), (119,120,169), ( 4 0 5 9,4 0 6 0,5 7 4 1 )…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：(x ,x +1, 2x22x 1 ) (x为正整数)。
设前两数为连续整数的勺勾股数组为(x,x+1, y),y= 2x22x 1 则x2x 1 2y2(*)整理，得2x2 1,又1 2 1 2x 1 2 =y ,化为2x 1 22y2 1 ,即2x 1 .. 2y 2x 1 .2y =—2 =-■ 1,A 1• —2n 12 —2n 11 2= —1(n N),故取2x 1 、-2y =1 22n 1 2x 1 .2y = ‘—2n 112 ,解之，得x =1〔 1 1+ 1 2 2n1-2],込〔y =——〔—2n 112 —1 ,22n1],4 4故前两数为连续整数的勺勾股数组是(1l 2n〔1 2 1+ 1 2 2n 11—2],——2n 1〔1 24 4—2n 1+ 1 2 -2〕+1， 2 〔1 —2n 12—2r—1 2 1 1 〕)•4四、后两数为连续奇数的勾股数2 2如(8 , 15, 17),(12 , 35, 37)…其公式为：4(n+1),4(n+1) -1,4(n+1) +1(n 是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m i —1,c=m2+1 （m大于1 的整数）.=1（rn— n2）,b=mn,c =丄（吊+n2）（其中m>n 2 2且是互质的奇数）.=2m,b=rh— n2,c=m2+n2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5; 512 13; 6810; 72425; 81517; 9 1215; 940 41; 102426; 116061; 12 16 20；12 35 37; 13 84 85; 14 48 50; 15 20 25; 15 36 39; 15112 113; 16 30 34; 1663 6517144 145; 18 24 30; 18 80 82; 19 180 181; 20 21 29; 20 48 52; 20 99 101; 21 28 3521 72 75; 21 220 221; 22 120 122; 23 264 265; 24 32 40; 24 45 51; 24 7074; 24 143 14525 60 65; 25 312 313; 26 168 170 ; 27 36 45 ; 27120 123 ; 27 364 365 ;2845 53; 28 96 10028 195197;29 420 421;30 40 50 ; 30 72 78 ;30 224226 ;31 480481 ;3260 68;32 126 13032 255 257;33 44 55;33 56 65 ; 33 180 183 ;33 544545;34 288290 ;3584 91 ;35 120 12535 612 613;36 48 60 ;36 77 85 ; 36 105 111 ;36 160164;36 323325 ;37684 685;38 360 36239 52 65;39 80 89 ; 39 252 255 ;39 760 761 ;40 42 58 ;40 75 85; 40 96104; 40 198 20240 399401 ;41 840 841;42 56 70 ;42 144 150; 42 440 442 ; 43 924925 ;44 117125;44 240 24444 483 485 ;45 60 75 ;45 108 117 ; 45 200 205 ; 45 336 339 ; 46 528530 ;48 55 73 ;48 64 8048 90 102;48 140148;48 189195 ;48 286290 ;48 575 577 ;49 168175; 50 120 130 ;50 624 62651 68 85 ;51 140 149 ; 51 432 435; 52 165173; 52 336 340 ; 52 675677 ;54 72 90 ;54 240 24654 728 730 ;55 132143;55 300305 ;56 90 106 ;56 105 119 ;56 192200; 56 390 394 ;56 783 78557 76 95 ;57176 185 ; 57 540 543; 58 840 842 ; 60 63 87 ; 60 80 100 ; 6091 109;60 144 15660 175185;60 221 229;60 297 303 ;60 448452 ;60 899 901 ;62 960962; 63 84 105 ; 63 216 22563 280 287 ;63 660663 ;64 120 136;64 252260 ;64 510 514;65 7297; 65 156 169; 65 420 42566 88 110 ; 66 112 130 ; 66 360 366; 68 285 293 ; 68 576 580 ; 69 92115 ; 69 260 269 ; 69 792 79570 168182;70 240 250 ; 72 96 120 ;72 135153 ;72 154170 ;72 210222; 72 320 328 ; 72 429 43572 646 650 ; 75 100125;75 180 195 ;75 308317 ;75 560 565 ;75 936939; 76 357 365 ; 76 720 724116；80 150 170；80 192 208 160 178；504 510；80 315325；80 396 404； 80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112140；84 135 159；84 187 20584 245259；84 288 300； 84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132157；85 204 221；85 720 72587 116145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480488；88 966 970；90 120 15090 216234；90 400 410； 90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525533；93 124 155；93 476 48595 168193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180204；96 247 265；96 280 29696 378390；96 572 580； 96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168195；99 440 451；99 540 549100 105 145；0；100 495 505；9. 以下是大于100 的勾股数：第223 组：102 136 170 第224 组：102 280 298 第225 组：102 864 870 第226 组：104 153 185 第227 组：104 195 221 第228 组：104 330 346 第229 组：104 672 680 第230 组：105 140 175 第231 组：105 208 233 第232 组：105 252 273 第233 组：105 360 375 第234 组：105 608 617 第235 组：105 784 791 第236 组：108 144 180 第237 组：108 231 255 第238 组：108 315 333 第239 组：108 480 492 第240 组：108 725 733 第241 组：108 969 975 第242 组：110 264 286 第243 组：110 600 610 第244 组：111 148 185 第245 组：111 680 689 第246 组：112 180 212 第247 组：112 210 238 第248 组：112 384 400 第249 组：112 441 455 第250 组：112 780 788 第251 组：114 152 190 第252 组：114 352 370116 837 845 117 156 195 117 240 267 117 520 533 117 756 765 119 120 169 119 408 425 120 126 174 120 160 200 120 182 218 120 209 241 120 225 255 120 288 312 120 350 370 120 391 409 120 442 458 120 594 606 120 715 725 120 896 904 121 660 671 123 164 205 123 836 845 124 957 965 125 300 325 126 168 210 126 432 450 126 560 574 128 240 272 128 504 520 129 172 215 129 920 929 130 144 194 130 312 338 130 840 850 132 176 220 132 224 260 132 351 375 132 385 407 132 475 493 132 720 732 133 156 205 133 456 475 135 180 225 135 324 351第 254 组 第 255 组 第 256 组 第 257 组 第 258 组 第 259 组 第 260 组 第 261 组 第 262 组 第 263 组 第 264 组 第 265 组 第 266 组 第 267 组 第 268 组 第 269 组 第 270 组 第 271 组 第 272 组 第 273 组 第 274 组 第 275 组 第 276 组 第 277 组 第 278 组 第 279 组 第 280 组 第 281 组 第 282 组 第 283 组 第 284 组 第 285 组 第 286 组 第 287 组 第 288 组 第 289 组 第 290 组 第 291 组 第 292 组 第 293 组 第 294 组 第 295 组 第 296 组 第 297 组136 255 289 136 273 305 136 570 586 138 184 230 138 520 538 140 147 203 140 171 221 140 225 265 140 336 364 140 480 500 140 693 707 140 975 985 141 188 235 143 780 793 143 924 935 144 165 219 144 192 240 144 270 306 144 308 340 144 420 444 144 567 585 144 640 656 144 858 870 145 348 377 145 408 433 147 196 245 147 504 525 150 200 250 150 360 390 150 616 634 152 285 323 152 345 377 152 714 730 153 204 255 153 420 447 153 680 697 154 528 550 154 840 854 155 372 403 155 468 493 156 208 260 156 320 356 156 455 481 156 495 519第 300 组 第 301 组 第 302 组 第 303 组 第 304 组 第 305 组 第 306 组 第 307 组 第 308 组 第 309 组 第 310 组 第 311 组 第 312 组 第 313 组 第 314 组 第 315 组 第 316 组 第 317 组 第 318 组 第 319 组 第 320 组 第 321 组 第 322 组 第 323 组 第 324 组 第 325 组 第 326 组 第 327 组 第 328 组 第 329 组 第 330 组 第 331 组 第 332 组 第 333 组 第 334 组 第 335 组 第 336 组 第 337 组 第 338 组 第 339 组 第 340 组 第 341 组 第 342 组 第 343 组156 667 685 159 212 265 160 168 232 160 231 281 160 300 340 160 384 416 160 630 650 160 792 808 161 240 289 161 552 575 162 216 270 162 720 738 165 220 275 165 280 325 165 396 429 165 532 557 165 900 915 168 224 280 168 270 318 168 315 357 168 374 410 168 425 457 168 490 518 168 576 600 168 775 793 168 874 890 170 264 314 170 408 442 171 228 285 171 528 555 171 760 779 174 232 290 174 832 850 175 288 337 175 420 455 175 600 625 176 210 274 176 330 374 176 468 500 176 693 715 176 960 976 177 236 295 180 189 261 180 240 300 180 273 327 180 299 349第 345 组 第 346 组 第 347 组 第 348 组 第 349 组 第 350 组 第 351 组 第 352 组 第 353 组 第 354 组 第 355 组 第 356 组 第 357 组 第 358 组 第 359 组 第 360 组 第 361 组 第 362 组 第 363 组 第 364 组 第 365 组 第 366 组 第 367 组 第 368 组 第 369 组 第 370 组 第 371 组 第 372 组 第 373 组 第 374 组 第 375 组 第 376 组 第 377 组 第 378 组 第 379 组 第 380 组 第 381 组 第 382 组 第 383 组 第 384 组 第 385 组 第 386 组 第 387 组 第 388 组 第 389 组180 385 425 180 432 468 180 525 555 180 663 687 180 800 820 180 891 909 182 624 650 183 244 305 184 345 391 184 513 545 185 444 481 185 672 697 186 248 310 186 952 970 189 252 315 189 340 389 189 648 675 189 840 861 190 336 386 190 456 494 192 220 292 192 256 320 192 360 408 192 494 530 192 560 592 192 756 780 195 216 291 195 260 325 195 400 445 195 468 507 195 748 773 196 315 371 196 672 700 198 264 330 198 336 390 198 880 902 200 210 290 200 375 425 200 480 520 200 609 641 201 268 335 203 396 445 203 696 725 204 253 325 204 272 340 204 560 596第 391 组 第 392 组 第 393 组 第 394 组 第 395 组 第 396 组 第 397 组 第 398 组 第 399 组 第 400 组 第 401 组 第 402 组 第 403 组 第 404 组 第 405 组 第 406 组 第 407 组 第 408 组 第 409 组 第 410 组 第 411 组 第 412 组 第 413 组 第 414 组 第 415 组 第 416 组 第 417 组 第 418 组 第 419 组 第 420 组 第 421 组 第 422 组 第 423 组 第 424 组 第 425 组 第 426 组 第 427 组 第 428 组 第 429 组 第 430 组 第 431 组 第 432 组 第 433 组 第 434 组 第 435 组205 828 853 207 224 305 207 276 345 207 780 807 207 920 943 208 306 370 208 390 442 208 660 692 208 819 845 210 280 350 210 416 466 210 504 546 210 720 750 213 284 355 215 516 559 215 912 937 216 288 360 216 405 459 216 462 510 216 630 666 216 713 745 216 960 984 217 456 505 217 744 775 219 292 365 220 231 319 220 459 509 220 528 572 220 585 625 222 296 370 224 360 424 224 420 476 224 768 800 224 882 910 225 272 353 225 300 375 225 540 585 225 924 951 228 304 380 228 325 397 228 665 703 228 704 740 230 504 554第 439 组 第 440 组 第 441 组 第 442 组 第 443 组 第 444 组 第 445 组 第 446 组 第 447 组 第 448 组 第 449 组 第 450 组 第 451 组 第 452 组 第 453 组 第 454 组 第 455 组 第 456 组 第 457 组 第 458 组 第 459 组 第 460 组 第 461 组 第 462 组 第 463 组 第 464 组 第 465 组 第 466 组 第 467 组 第 468 组 第 469 组 第 470 组 第 471 组 第 472 组 第 473 组 第 474 组 第 475 组 第 476 组 第 477 组 第 478 组 第 479 组 第 480 组 第 481 组231 520 569 231 792 825 232 435 493 232 825 857 234 312 390 234 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第 727 组 第 728 组 第 729 组 第 730 组 第 731 组 第 732 组 第 733 组 第 734 组 第 735 组 第 736 组 第 737 组 第 738 组 第 739 组 第 740 组 第 741 组 第 742 组 第 743 组 第 744 组 第 745 组 第 746 组 第 747 组 第 748 组 第 749 组 第 750 组 第 751 组 第 752 组 第 753 组 第 754 组 第 755 组 第 756 组 第 757 组438 584 730 440 462 638 440 525 685 440 825 935 441 588 735 444 592 740 447 596 745 448 720 848 448 840 952 450 544 706 450 600 750 451 780 901 453 604 755 455 504 679 455 528 697 456 608 760 456 650 794 456 855 969 459 612 765 460 483 667 462 616 770 462 784 910 464 777 905 464 870 986 465 620 775 468 595 757 468 624 780 471 628 785 473 864 985 474 632 790 475 840 965 476 480 676 476 765 901 477 636 795 480 504 696 480 550 730 480 640 800 480 693 843 480 728 872 480 836 964 481 600 769 483 644 805 483 720 867 486 648 810 489 652 815 492 656 820第 759 组 第 760 组 第 761 组 第 762 组 第 763 组 第 764 组 第 765 组 第 766 组 第 767 组 第 768 组 第 769 组 第 770 组 第 771 组 第 772 组 第 773 组 第 774 组 第 775 组 第 776 组 第 777 组 第 778 组 第 779 组 第 780 组 第 781 组 第 782 组 第 783 组 第 784 组 第 785 组 第 786 组 第 787 组 第 788 组 第 789 组 第 790 组 第 791 组 第 792 组 第 793 组 第 794 组 第 795 组 第 796 组 第 797 组 第 798 组 第 799 组 第 800 组 第 801 组 第 802 组 第 803 组495 660 825 495 840 975 498 664 830 500 525 725 501 668 835 504 550 746 504 672 840 504 703 865 504 810 954 507 676 845 510 680 850 510 792 942 513 684 855 516 688 860 519 692 865 520 546 754 520 576 776 520 765 925 522 696 870 522 760 922 525 700 875 528 605 803 528 630 822 528 704 880 531 708 885 532 624 820 533 756 925 534 712 890 537 716 895 540 567 783 540 629 829 540 720 900 540 819 981 543 724 905 546 728 910 549 732 915 552 736 920 555 572 797 555 740 925 558 744 930 560 588 812 560 684 884 560 702 898 561 748 935 564 752 940 567 756 945第 805 组 第 806 组 第 807 组 第 808 组 第 809 组 第 810 组 第 811 组 第 812 组 第 813 组 第 814 组 第 815 组 第 816 组 第 817 组 第 818 组 第 819 组 第 820 组 第 821 组 第 822 组 第 823 组 第 824 组 第 825 组 第 826 组 第 827 组 第 828 组 第 829 组 第 830 组 第 831 组 第 832 组 第 833 组 第 834 组 第 835 组 第 836 组 第 837 组 第 838 组 第 839 组 第 840 组 第 841 组 第 842 组 第 843 组 第 844 组 第 845 组 第 846 组 第 847 组 第 848 组 第 849 组570 760 950 573 764 955 576 660 876 576 768 960 579 772 965 580 609 841 580 741 941 582 776 970 585 648 873 585 780 975 588 784 980 591 788 985 594 608 850 594 792 990 595 600 845 597 796 995 600 630 870 600 800 1000 612 759 975 615 728 953 616 663 905 616 735 959 620 651 899 621 672 915 624 715 949 638 720 962 640 672 928 650 720 970 660 693 957 680 714 986 696 697 985 第 851 组 第 852 组 第 853 组 第 854 组 第 855 组 第 856 组 第 857 组 第 858 组 第 859 组 第 860 组 第 861 组 第 862 组 第 863 组 第 864 组 第 865 组 第 866 组 第 867 组 第 868 组 第 869 组 第 870 组 第 871 组 第 872 组 第 873 组 第 874 组 第 875 组 第 876 组 第 877 组 第 878 组 第 879 组 第 880 组 第 881 组。
常见勾股数大全
常见勾股数大全勾股数，又称直角三角形的边长，是指一个三角形中的三条边中，满足勾股定理的关系，即a² + b² = c²。
在数学中，勾股数是一种特殊的整数，它们之间存在着一些特殊的规律和性质。
下面我们来总结一下常见的勾股数大全，希望对大家有所帮助。
1. 3、4、5勾股数。
3、4、5勾股数是最简单的勾股数之一，满足3² + 4² = 5²。
它是勾股数中最小的一组，也是最早被人们发现的勾股数之一。
在古代，人们就已经知道了这组勾股数的存在，并且应用于建筑、农业等方面。
2. 5、12、13勾股数。
5、12、13勾股数是另一组常见的勾股数，满足5² + 12² = 13²。
它也是一个较小的勾股数组合，可以在实际生活中找到很多应用场景，比如房屋建筑、道路规划等。
3. 7、24、25勾股数。
7、24、25勾股数是另一组常见的勾股数，满足7² + 24² = 25²。
它是一个稍大一些的勾股数组合，同样可以在实际生活中找到很多应用场景，比如航天工程、城市规划等。
4. 8、15、17勾股数。
8、15、17勾股数是另一组常见的勾股数，满足8² + 15² = 17²。
它也是一个较小的勾股数组合，可以在实际生活中找到很多应用场景，比如建筑设计、农业规划等。
5. 9、40、41勾股数。
9、40、41勾股数是另一组常见的勾股数，满足9² + 40² = 41²。
它是一个稍大一些的勾股数组合，同样可以在实际生活中找到很多应用场景，比如航天工程、城市规划等。
6. 11、60、61勾股数。
11、60、61勾股数是另一组常见的勾股数，满足11² + 60² = 61²。
它也是一个较小的勾股数组合，可以在实际生活中找到很多应用场景，比如建筑设计、农业规划等。
常见勾股数及公式
常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 4551；24 70 74；24 143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364365；28 45 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480481；32 60 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288290；35 84 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 7585；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576580；69 92 115；69 260 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180第237组：108 231 255第238组：108 315 333第239组：108 480 492第240组：108 725 733第241组：108 969 975第242组：110 264 286第243组：110 600 610第244组：111 148 185第245组：111 680 689第246组：112 180 212第247组：112 210 238第248组：112 384 400第249组：112 441 455第250组：112 780 788第251组：114 152 190第252组：114 352 370第253组：115 252 277第254组：115 276 299第255组：116 837 845第256组：117 156 195第257组：117 240 267第258组：117 520 533第259组：117 756 765第260组：119 120 169第261组：119 408 425第262组：120 126 174第263组：120 160 200第264组：120 182 218第265组：120 209 241第266组：120 225 255第267组：120 288 312第270组：120 442 458 第271组：120 594 606 第272组：120 715 725 第273组：120 896 904 第274组：121 660 671 第275组：123 164 205 第276组：123 836 845 第277组：124 957 965 第278组：125 300 325 第279组：126 168 210 第280组：126 432 450 第281组：126 560 574 第282组：128 240 272 第283组：128 504 520 第284组：129 172 215 第285组：129 920 929 第286组：130 144 194 第287组：130 312 338 第288组：130 840 850 第289组：132 176 220 第290组：132 224 260 第291组：132 351 375 第292组：132 385 407 第293组：132 475 493 第294组：132 720 732 第295组：133 156 205 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792 890 第727组：407 624 745 第728组：408 506 650 第729组：408 544 680 第730组：408 765 867 第731组：408 819 915 第732组：411 548 685 第733组：414 448 610 第734组：414 552 690 第735组：416 612 740 第736组：416 780 884 第737组：417 556 695 第738组：420 441 609 第739组：420 513 663 第740组：420 560 700 第741组：420 637 763 第742组：420 675 795 第743组：420 832 932 第744组：420 851 949 第745组：423 564 705 第746组：424 795 901 第747组：425 660 785 第748组：426 568 710 第749组：429 460 629 第750组：429 572 715 第751组：429 700 821 第752组：429 728 845 第753组：429 880 979 第754组：432 495 657 第755组：432 576 720 第756组：432 665 793 第757组：432 810 918第763组：441 588 735 第764组：444 592 740 第765组：447 596 745 第766组：448 720 848 第767组：448 840 952 第768组：450 544 706 第769组：450 600 750 第770组：451 780 901 第771组：453 604 755 第772组：455 504 679 第773组：455 528 697 第774组：456 608 760 第775组：456 650 794 第776组：456 855 969 第777组：459 612 765 第778组：460 483 667 第779组：462 616 770 第780组：462 784 910 第781组：464 777 905 第782组：464 870 986 第783组：465 620 775 第784组：468 595 757 第785组：468 624 780 第786组：471 628 785 第787组：473 864 985 第788组：474 632 790 第789组：475 840 965 第790组：476 480 676 第791组：476 765 901 第792组：477 636 795 第793组：480 504 696 第794组：480 550 730 第795组：480 640 800 第796组：480 693 843 第797组：480 728 872 第798组：480 836 964 第799组：481 600 769 第800组：483 644 805 第801组：483 720 867 第802组：486 648 810 第803组：489 652 815 第804组：492 656 820 第805组：495 660 825 第806组：495 840 975第811组：504 672 840 第812组：504 703 865 第813组：504 810 954 第814组：507 676 845 第815组：510 680 850 第816组：510 792 942 第817组：513 684 855 第818组：516 688 860 第819组：519 692 865 第820组：520 546 754 第821组：520 576 776 第822组：520 765 925 第823组：522 696 870 第824组：522 760 922 第825组：525 700 875 第826组：528 605 803 第827组：528 630 822 第828组：528 704 880 第829组：531 708 885 第830组：532 624 820 第831组：533 756 925 第832组：534 712 890 第833组：537 716 895 第834组：540 567 783 第835组：540 629 829 第836组：540 720 900 第837组：540 819 981 第838组：543 724 905 第839组：546 728 910 第840组：549 732 915 第841组：552 736 920 第842组：555 572 797 第843组：555 740 925 第844组：558 744 930 第845组：560 588 812 第846组：560 684 884 第847组：560 702 898 第848组：561 748 935 第849组：564 752 940 第850组：567 756 945 第851组：570 760 950 第852组：573 764 955 第853组：576 660 876 第854组：576 768 960 第855组：579 772 965第858组：582 776 970 第859组：585 648 873 第860组：585 780 975 第861组：588 784 980 第862组：591 788 985 第863组：594 608 850 第864组：594 792 990 第865组：595 600 845 第866组：597 796 995 第867组：600 630 870 第868组：600 800 1000 第869组：612 759 975 第870组：615 728 953 第871组：616 663 905 第872组：616 735 959 第873组：620 651 899 第874组：621 672 915 第875组：624 715 949 第876组：638 720 962 第877组：640 672 928 第878组：650 720 970 第879组：660 693 957 第880组：680 714 986 第881组：696 697 985。
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式文档编制序号：[KK8UY-LL9IO69-TTO6M3-MTOL89-FTT688]常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a、b、c是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a2+b2=c2；反之，若三角形的三边a、b、c满足a2+b2=c2，则该三角形是直角三角形，c为斜边．与此相类似，如果三个正整数a、b、c满足a2+b2=c2，则称a、b、c为勾股数，记为（a，b，c）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4，5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x－１，x，x＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x2=（x+1）2，解得x＝４或x＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n(n是正整数)都是勾股数。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n2+2n,c=2n2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊）整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１，又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ），故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ，解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕，故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17),(12，35，37)…其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数).五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c=21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：34 5；512 13；6810；72425；81517；9 1215；940 41；102426；116061；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；1536 39；15112 113；16 30 34；16 63 6517144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 3521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；2432 40；24 45 51；24 70 74；24 143 14525 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 10028 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 13032 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 12535 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；4042 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 24444 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 8048 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 62651 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 24654 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 78557 76 95；57176 185；57 540 543；58 840 842；60 6387；60 80 100；60 91 109；60 144 15660 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 22563 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 42566 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 79570 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 43572 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 72477 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 20880 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 20584 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 72587 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 15090 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549100 105 145；100240260；100 495 505；100621629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第243组： 110 600 610第244组： 111 148 185第245组： 111 680 689第246组： 112 180 212第247组： 112 210 238第248组： 112 384 400第249组： 112 441 455第250组： 112 780 788第251组： 114 152 190第252组： 114 352 370第253组： 115 252 277第254组： 115 276 299第255组： 116 837 845第256组： 117 156 195第257组： 117 240 267第258组： 117 520 533第259组： 117 756 765第260组： 119 120 169第261组： 119 408 425第262组： 120 126 174第263组： 120 160 200第264组： 120 182 218第265组： 120 209 241第266组： 120 225 255第267组： 120 288 312第268组： 120 350 370第269组： 120 391 409第270组： 120 442 458第271组： 120 594 606第272组： 120 715 725第273组： 120 896 904第274组： 121 660 671第275组： 123 164 205第276组： 123 836 845第277组： 124 957 965第278组： 125 300 325第279组： 126 168 210第280组： 126 432 450第281组： 126 560 574第282组： 128 240 272第283组： 128 504 520第284组： 129 172 215第285组： 129 920 929第286组： 130 144 194第287组： 130 312 338第288组： 130 840 850第289组： 132 176 220第290组： 132 224 260第291组： 132 351 375第292组： 132 385 407第293组： 132 475 493第294组： 132 720 732第295组： 133 156 205第296组： 133 456 475第297组： 135 180 225第298组： 135 324 351第299组： 135 352 377第300组： 135 600 615第301组： 136 255 289第302组： 136 273 305第303组： 136 570 586第304组： 138 184 230第305组： 138 520 538第306组： 140 147 203第307组： 140 171 221第308组： 140 225 265第309组： 140 336 364第310组： 140 480 500第311组： 140 693 707第312组： 140 975 985第313组： 141 188 235第314组： 143 780 793第315组： 143 924 935第316组： 144 165 219第317组： 144 192 240第318组： 144 270 306第320组： 144 420 444第321组： 144 567 585第322组： 144 640 656第323组： 144 858 870第324组： 145 348 377第325组： 145 408 433第326组： 147 196 245第327组： 147 504 525第328组： 150 200 250第329组： 150 360 390第330组： 150 616 634第331组： 152 285 323第332组： 152 345 377第333组： 152 714 730第334组： 153 204 255第335组： 153 420 447第336组： 153 680 697第337组： 154 528 550第338组： 154 840 854第339组： 155 372 403第340组： 155 468 493第342组： 156 320 356第343组： 156 455 481第344组： 156 495 519第345组： 156 667 685第346组： 159 212 265第347组： 160 168 232第348组： 160 231 281第349组： 160 300 340第350组： 160 384 416第351组： 160 630 650第352组： 160 792 808第353组： 161 240 289第354组： 161 552 575第355组： 162 216 270第356组： 162 720 738第357组： 165 220 275第358组： 165 280 325第359组： 165 396 429第360组： 165 532 557第361组： 165 900 915第362组： 168 224 280第364组： 168 315 357第365组： 168 374 410第366组： 168 425 457第367组： 168 490 518第368组： 168 576 600第369组： 168 775 793第370组： 168 874 890第371组： 170 264 314第372组： 170 408 442第373组： 171 228 285第374组： 171 528 555第375组： 171 760 779第376组： 174 232 290第377组： 174 832 850第378组： 175 288 337第379组： 175 420 455第380组： 175 600 625第381组： 176 210 274第382组： 176 330 374第383组： 176 468 500第384组： 176 693 715第386组： 177 236 295第387组： 180 189 261第388组： 180 240 300第389组： 180 273 327第390组： 180 299 349第391组： 180 385 425第392组： 180 432 468第393组： 180 525 555第394组： 180 663 687第395组： 180 800 820第396组： 180 891 909第397组： 182 624 650第398组： 183 244 305第399组： 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594 608 850第864组： 594 792 990第865组： 595 600 845第866组： 597 796 995第867组： 600 630 870第868组： 600 800 1000第870组： 615 728 953第871组： 616 663 905第872组： 616 735 959第873组： 620 651 899第874组： 621 672 915第875组： 624 715 949第876组： 638 720 962第877组： 640 672 928第878组： 650 720 970第879组： 660 693 957第880组： 680 714 986第881组： 696 697 985。
(word完整版)初二数学--勾股定理讲义(经典)
第一章 勾股定理【知识点归纳】123456⎧⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎩1、已知直角三角形的两边，求第三边勾股定理2、求直角三角形周长、面积等问题3、验证勾股定理成立1、勾股数的应用勾股定理勾股定理的逆定理2、判断三角形的形状3、求最大、最小角的问题、面积问题、求长度问题、最短距离问题勾股定理的应用、航海问题、网格问题、图形问题 考点一：勾股定理（1）对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a 、b ，斜边为c ，那么一定有222c b a =+ 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
（2）结论：①有一个角是30°的直角三角形，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
②有一个角是45°的直角三角形是等腰直角三角形。
③直角三角形斜边的中线等于斜边的一半。
（3）勾股定理的验证abcab cab cabcababa bba例题：例1：已知直角三角形的两边，利用勾股定理求第三边。
（1）在Rt △ABC 中，∠C=90°①若a=5，b=12，则c=___________； ②若a=15，c=25，则b=___________； ③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则Rt △ABC 的面积是=________。
（2）如果直角三角形的两直角边长分别为1n 2-，2n （n>1），那么它的斜边长是（ ） A 、2nB 、n+1C 、n 2－1D 、1n 2+（3）在Rt △ABC 中，a,b,c 为三边长，则下列关系中正确的是（ ）A.222a b c +=B. 222a c b +=C. 222c b a +=D.以上都有可能（4）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）A 、25B 、14C 、7D 、7或25例2：已知直角三角形的一边以及另外两边的关系利用勾股定理求周长、面积等问题。
100以内的勾股数规律整理
×2
8²-1=63 (n=8) 1=63 +1=65 8²+1=65
9²=40+41
互质
派9²-1=80 (n=9) 1=80 +1=82 9²+1=82 10² 10²-1=99 (n=10) 10² 10²+1=101
a=18,b=80,c=82 a=18,b=80,c=82 18,b=80,c= a=20,b=99,c=101 a=20,b=99,c=101 m 偶 n 奇 a=11,b=60,c=61 20,b=99,c= a=11 b=60,c=61 11, 60,c=
1
的平方， 较短直角边 a 的平方，拆成另一直角边 把 a 的一半的平方分成减 1 和加 1，
通式 m²-n²,2mn, m²+n² m²
的和。 （即 b 和斜边 c 的和。 即 a²= b + c 且 a 为 （ 奇数） ） 奇数）
a c= n²+1= ²+1 n²+1= 2
a=2n, 即 a=2n,
100 以内的勾股数
a²+b²=c² +b²=c²
的平方， 的一半的平方分成减 较短直角边 a 的平方， 拆成另一直角边 把 a 的一半的平方分成减 1 和加 1， m² 通式 m²-n²,2mn, m²+n² 的和。 b 和斜边 c 的和。 a a=2n, n² 即 a=2n, b= n²-1= ²-1, (m、 均是正整数， (m、n 均是正整数，m>n) 为奇数） （即 a²= b + c 且 a 为奇数） 2 =(m+n)(mm²-n²=(m+n)(m-n) 为奇数 =(m+n)² m²+n²=(m+n)²- 2mn 为奇数 a n²+1= c= n²+1= ²+1 为直角边， m²-n²、2mn 为直角边， 2 m²+n²为斜边 m偶n奇 3²=4+5 a=3，b=4， a=3,b=4,c=5 a=3,b=4, 互质 a=3，b=4，c=5 a 为偶数 m=2,n=1
(完整word版)勾股定理知识点梳理(良心出品必属精品)
第17章勾股定理知识梳理——汇森中学刘明17.1勾股定理知识点一：勾股定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么222+=，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.a b c勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，已知a，b，c，（c为斜边长）中的任意两条边的长度，利用此定理可以求出第三条边的长度.运用勾股定理的前提条件是在直角三角形中，并借助直角明确直角边和斜边勾股定理的变形公式：222=-，c=a=b c a=-，222a c bb=.例1.在Rt ABCBC cm=，8=，求AC的长.∆中，90C∠=°，10AB cm知识点二：勾股定理的探索与证明勾股定理的证明方法有许多种，现在给出集中常见的证明方法：证明一：著名的希腊数学家欧几里得在巨著《几何原本》中，给出了一个很好的证明.做三个边长分别为a ，b ，c 的正方形，把他们拼成如图所示的形状，使H 、C 、B三点在一条直线上，连接BF 、CD .过C 作CL DE ⊥，交AB 于点M ，交DE 于点L .,,AF AC AB AD FAB CAD ==∠=∠,FAB CAD ∴∆≅∆.于长FAB ∆的面积等于212a ，CAD ∆的面积等方形ADLM 的面积的一半，∴长方形ADLM 的面积=2a .同理可证，长方形MLEB 的面积=2b .正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形MLEB 的面积，∴222c a b =+，即222a b c +=.证明二:用拼图的方法验证勾股定理 用拼图的方法验证勾股定理的思路是：①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 常见方法如下：方法一：4EFGHS S S ∆+=正方形正方形ABCD ，2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．cbaHG F EDCB A方法二：bacbac cabcab四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积． 四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证a bcc baE D CBA例2：如果每一小方格表示1平方厘米，那么可以得到：正方形P的面积= 平方厘米；正方形Q的面积= 平方厘米；正方形R的面积= 平方厘米；正方形P、Q、R的面积之间的关系是；由此，我们得出直角三角形ABC的三边的长度之间存在关系 .（n为大于1的正整数）的线段例3知识点四：勾股定理的应用勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算，应设法添加辅助线（通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．例4. 台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围数十千米范围内形成气旋风暴，有极强的破坏力，如图，据气象观测，距沿海某城市A的正南方向220千米B处有一台风中心，其中心最大风力为12级，每远离台风中心20千米，风力就会减弱一级，该台风中心现正以15千米/时的速度沿北偏东30º方向往C移动，且台风中心风力不变，若城市所受风力达到或走过四级，则称为受台风影响.（1）该城市是否会受到这交台风的影响？请说明理由.（2）若会受到台风影响，那么台风影响该城市持续时间有多少？（3）该城市受到台风影响的最大风力为几级？类型一：利用勾股定理计算线段的长例1：如图所示，在四边形ABCD中，︒=DBC，3∠90=∠90BAD，︒AD=，4AB=，BC=，求CD.12变式训练1：在ABC ∆中，20,15,AB AC BC ==边上的高AD 为12，求ABC ∆的周长.类型二：勾股定理解决三角形中的折叠问题例2：如图，有一张直角三角形纸片，两直角边6,8AC cm BC cm ==，将ACD ∆折叠，使点C 与点E 重合，折痕为AD ，则CD 等于 .ABCE D变式训练2：如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C’的位置上，已知3BC=，重合部分△EBD的面积为．AB=，7类型三：勾股定理在空间图形中的应用例3：有一根长170cm的木棒，放在长、宽、高分别是30cm，40cm，120cm的木箱中，露在外边的长度至少为cm．DA变式训练3：一根筷子长度为17cm，斜放在半径为3cm的圆柱形水杯内，露在水杯外面的部分AD的长为7cm，则水杯高AC= cm．类型四：勾股定理的规律探索题例4:张老师在一次“探究性学习”课中，设计了如下数表：（1）分别观察a、b、c与n之间的关系，并用含自然数n (n>1)的代数式表示：a = ，b = ，c =（2）猜想：以a、b、c为边的三角形是否为直角三角形？并证明你的猜想.变式训练4：若正整数a、b、c满足方程a2+b2=c2，则称这一组正整数（a、b、c）为“商高数”，下面列举五组“商高数”：（3，4，5），（5，12，13），（6，8，10），（7，24，25），（12，16，20），注意这五组“商高数”的结构有如下规律：根据以上规律，回答以下问题：（1）商高数的三个数中，有几个偶数，几个奇数？（2）写出各数都大于30的两组商高数．用两个正整数m、n（m＞n）表示一组商高数，并证明你的结论．例5：如图，直线 L过正方形 ABCD 的顶点 B , 点A、C到直线 L 的距离分别是 1 和 2 , 则正方形的ABCD的面积是 .变式训练5：在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4= ．类型六：勾股定理的实际应用例6：如图，A、B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ABC DL变式训练6：一架方梯长25米，如图，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米，（1）这个梯子的顶端距地面有多高？（2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑动了几米？（3）当梯子的顶端下滑的距离与梯子的底端水平滑动的距离相等时，这时梯子的顶端距地面有多高？AABA O类型七：用勾股定理巧求最短距离例7：如图，一只蚂蚁沿棱长为a的正方体表面从顶点A爬到顶点B,则它走过的最短路程为 .变式训练7：如图，长方体的长为15，宽10，高为20，点B与点C的距离为5，一只蚂蚁如果沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是 .∙∙AB17.2勾股定理的逆定理知识点一：互逆命题与互逆定理1.互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中的一个叫做原命题，那么另一个命题就叫做它的逆命题.注：（1）任何一个命题都有逆命题，它们互为逆命题，“互逆”是指两个命题之间的关系；（2）把一个命题的题设和结论交换，就得到它的逆命题；（3）原命题成立，它的逆命题不一定成立.2.互逆定理有些命题的正确性是通过推理证实的，这样的真命题叫定理.如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫做互逆定理，其中一个叫做另一个的逆定理.例1：写出下列命题的逆命题：（1）对顶角相等；（2）两个锐角的和是钝角.知识点二：勾股定理的逆定理如果三角形的两边的平方和等于第三条边的平方，那么这个三角形是直角三角形，这就是勾股定理的逆定理，即如果直角三角形的三边长,,a b c满足222+=，那么这个三角形是直角三角形.a b c利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是否是直角三角形的一般步骤：（1）确定三角形的最长边；（2）分别计算出最长边的平方与另两边的平方和；（3）比较最长边的平方与另两边的平方和是否相等，若相等，则说明这个三角形是直角三角形，且最长边的对角就是直角.例2：判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形.（1）7,24,25===；a b ca b c===；（2）0.3,0.4,0.5（3）2,3,4===.a b c知识点三：勾股数满足222+=的三个正整数，称为勾股数.a b c常见的勾股数：3,4,5； 5,12，13； 6,8,10； 7,24,25； 8,15,17；9,40,41；11,60,61； 12，16,20； 15,20,25. 另外，勾股数的倍数也是勾股数.例3：根据下列条件，判断由线段,,a b c组成的三角形是不是直角三角形（1）7,24,25a b c===；a b c===；（2）8,15,19（3）0.6,0.8, 1.0===.a nb nc na b c===；（4）3,4,5类型一：判断三角形是否是直角三角形例1：在ABC ∆中，22a m n =-，2b mn =，22c m n =+，其中m 、n 是正整数，且m n >，试判断ABC ∆是否是直角三角形.变式训练1：若ABC ∆的三边,,a b c 满足条件222338102426a b c a b c +++=++，试判定ABC ∆的形状．类型二：勾股定理及其逆定理的综合应用例2：如图，在正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且EC=41BC ，求证：∠EFA=90︒.AB DCFE变式训练2：如图，是一种四边形的零件，东东通过测量，获得了如下数据：AB=4cm，•BC=12cm，CD=13cm，AD=3cm，东东想计算这种零件的面积，你认为东东还需测出哪些数据？请你写出这些数据并帮东东算出这种零件的面积.变式训练3：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，P是△ABC内的一点，且PB=1，PC=2，PA=3，求∠BPC的度数．C类型三：利用勾股定理逆定理解决航海中问题例3：“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里，它们离开港口一个半小时后相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？①“远航”号航行的距离是多少海里？②“海天”号航行的距离是多少海里？③“远航”号航行的距离和“海天”号航行的距离与两船之间的距离满足什么关系？④根据以上各题你能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？变式训练4：如图，南北向MN 以西为我国领海，以东为公海.上午9时50分，我反走私A 艇发现正东方向有一走私艇C 以13海里/时的速度偷偷向我领海驶来，便立即通知正在MN 线上巡逻的我国反走私艇B.已知A 、C 两艇的距离是13海里，A 、B 两艇的距离是5海里；反走私艇测得离C 艇的距离是12海里.若走私艇C 的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？************勾股定理中考链接*************1.（2013巴中）若直角三角形的两直角边长为a 、b，且满足，则该直角三角形的斜边长为 ．A M C B2.（2013雅安）在平面直角坐标系中，已知点A （﹣，0），B （，0），点C在坐标轴上，且AC+BC=6，写出满足条件的所有点C的坐标．离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）A．6 B．8 C．10 D．124.（2013湘西州）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3．（1）求DE的长；（2）求△ADB的面积．考点：角平分线的性质；勾股定理5.（2013柳州）在△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4．AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长为（）A． B． C． D．考点：角平分线的性质；三角形的面积；勾股定理6.（2013鞍山）如图，D是△ABC内一点，BD⊥CD，AD=6，BD=4，CD=3，E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的周长是．考点：三角形中位线定理；勾股定理．7.（2013鞍山）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，则BC的长．考点：锐角三角函数的定义；勾股定理．8．（2013绍兴）在平面直角坐标系中，O是原点，A是x轴上的点，将射线OA绕点O旋转，使点A与双曲线y=上的点B重合，若点B的纵坐标是1，则点A的横坐标是．考点：坐标与图形变化-旋转；反比例函数图象上点的坐标特征．9.（2013莆田）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2．则最大的正方形E的面积是．考点：勾股定理10.（2013包头）如图，点E是正方形ABCD内的一点，连接AE、BE、CE，将△ABE绕点B顺时针旋转90°到△CBE′的位置．若AE=1，BE=2，CE=3，则∠BE′C=度．考点：勾股定理的逆定理；正方形的性质；旋转的性质．11.（2013株洲）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，∠BAD=60°，对角线AC与BD交于点O，过点O的直线EF交AD于点E，交BC于点F．（1）求证：△AOE≌△COF；（2）若∠EOD=30°，求CE的长．考点：菱形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．12.（2013襄阳）在一张直角三角形纸片中，分别沿两直角边上一点与斜边中点的连线剪去两个三角形，得到如图所示的直角梯形，则原直角三角形纸片的斜边长是．考点：图形的剪拼；勾股定理．13．（2008年广东湛江市）如图9所示，已知AB为⊙O的直径，CD是弦，且AB CD于点E．连接AC、OC、BC ．（1）求证：∠ACO=∠BCD ．（2）若EB=8cm ，CD=24cm ，求⊙O 的直径．考点：圆；勾股定理第14章 勾股定理单元测试一、选择题1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高为( )A. 6B. 4.5C. 2.4D. 82. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③m 2 + n 2, m 2–n 2, 2mn （m ，n 均为正整数,m >n ）；④2a ,12+a ,22+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ③④3. 三角形的三边为a 、b 、c ，由下列条件不能判断它是直角三角形的是（ ）A ．a:b:c=8∶16∶17B ． a 2-b 2=c 2C ．a 2=(b+c)(b-c)D ． a:b:c =13∶5∶12 4. 三角形的三边长为ab c b a 2)(22+=+,则这个三角形是( )A. 等边三角形B. 钝角三角形C. 直角三角形D. 锐角三角形.5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长是( ) A ．5 B ．25 C ．7 D ．5或7 6．已知Rt △ABC 中，∠C=90°，若a+b=14cm ，c=10cm ，则Rt △ABC 的面积是( )A. 24cm 2B. 36cm 2C. 48cm 2D. 60cm 27．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为( )A ．121B ．120C ．90D ．不能确定8. 放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖20分钟到家，小红和小颖家的直线距离为( )A ．600米 B. 800米 C. 1000米 D. 不能确定9．直角三角形的三边是,,a b a a b -+,并且,a b 都是正整数,则三角形其中一边的长可能是( )A ．61B ． 71C ．81D ． 9110. 已知，如图，长方形ABCD 中，AB=3，AD=9，将此长方形折叠，使点B与点D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为（ A.6B.8C.10D.12二、填空题11. 在△ABC 中，∠C=90°， AB ＝5，则2AB +2AC +2BC =_______． 12. 如图，是2002年8月北京第24届国际数学家大会会标，由4个全等的直角三角形拼合而成.如果图中大、小正方形的面积分别为52和4，那F第10题图13．直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为_______．14．直角三角形的三边长为连续偶数，则这三个数分别为__________．15．如图，一根树在离地面9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处．树折断之前有______米.16．如图所示，是一个外轮廓为矩形的机器零件平面示意图，根据图中标出尺寸（单位：mm）计算两圆孔中心A和B的距离为．17．如图，梯子AB靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为2米，梯子的顶端B到地面的距离为7米．现将梯子的底端A向外移动到A’，使梯子的底端A’到墙根O的距离等于3米，同时梯子的顶端 B下降至 B’，那么 BB’的值：①等于1米；②大于1米5；③小于1米.其中正确结论的序号是．18.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边1.5m远的水底,竹竿高出水面0.5m,把竹竿的顶端拉向岸边,竿顶和岸边的水面刚好相齐,河水的深度为 . 三、解答题19.图1、图2中的每个小正方形的边长都是1，在图1中画出一个面积是3的直角三角形；在图2中画出一个面积是5的四边形.20.已知a 、b 、c 是三角形的三边长，a ＝2n 2＋2n ，b ＝2n ＋1，c ＝2n 2＋2n ＋1（n 为大于1的自然数）,试说明△ABC 为直角三角形.21. 如图，铁路上A 、B 两点相距25km, C 、D 为两村庄，若DA=10km,CB=15km ，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，现要在AB 上建一个中转站E ，使得C 、D 两村到E 站的距离相等.求E 应建在距A 多远处？图1图222. 如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC 沿∠CAB 的角平分线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，你能求出CD 的长吗？E BCAD23.如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时速度向北偏东40°航行，乙船向南偏东50°航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B 岛.若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？24. 如图，已知在△ABC中，AD、AE分别是BC边上的高和中线，AB=9cm，AC=7cm，BC=8m，求DE的长．AB CDE25. 如图所示的一块地ABCD，已知AD=4m，CD=3m，∠ADC=90°，AB=13m，BC=12m，，求这块地的面积．CDA B。
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 14532 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626 51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 425 66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 795 70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 435 72 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 724 77 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 208 80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 205 84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 725 87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 150 90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549 100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第243组： 110 600 610第244组： 111 148 185第245组： 111 680 689第246组： 112 180 212第252组： 114 352 370 第253组： 115 252 277 第254组： 115 276 299 第255组： 116 837 845 第256组： 117 156 195 第257组： 117 240 267 第258组： 117 520 533 第259组： 117 756 765 第260组： 119 120 169 第261组： 119 408 425 第262组： 120 126 174 第263组： 120 160 200 第264组： 120 182 218 第265组： 120 209 241 第266组： 120 225 255 第267组： 120 288 312 第268组： 120 350 370 第269组： 120 391 409 第270组： 120 442 458 第271组： 120 594 606 第272组： 120 715 725 第273组： 120 896 904 第274组： 121 660 671 第275组： 123 164 205 第276组： 123 836 845 第277组： 124 957 965 第278组： 125 300 325 第279组： 126 168 210 第280组： 126 432 450 第281组： 126 560 574 第282组： 128 240 272 第283组： 128 504 520 第284组： 129 172 215 第285组： 129 920 929 第286组： 130 144 194 第287组： 130 312 338 第288组： 130 840 850 第289组： 132 176 220 第290组： 132 224 260 第291组： 132 351 375 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511 第644组： 336 448 560 第645组： 336 527 625 第646组： 336 540 636 第647组： 336 630 714 第648组： 336 748 820 第649组： 336 850 914 第650组： 339 452 565 第651组： 340 357 493 第652组： 340 528 628 第653组： 340 816 884 第654组： 341 420 541 第655组： 342 456 570 第656组： 344 645 731 第657组： 345 460 575 第658组： 345 756 831 第659组： 345 828 897 第660组： 348 464 580 第661组： 348 805 877 第662组： 350 576 674 第663组： 350 840 910 第664组： 351 468 585 第665组： 351 720 801 第666组： 352 420 548 第667组： 352 660 748 第668组： 352 936 1000 第669组： 354 472 590 第670组： 355 852 923 第671组： 357 360 507 第672组： 357 476 595 第673组： 360 378 522 第674组： 360 480 600 第675组： 360 546 654 第676组： 360 598 698 第677组： 360 627 723 第678组： 360 675 765 第679组： 360 770 850 第680组： 360 864 936 第681组： 363 484 605 第682组： 363 616 715 第683组： 364 585 689 第684组： 364 627 725 第685组： 365 876 949 第686组： 366 488 610 第687组： 368 465 593第691组： 370 888 962 第692组： 372 496 620 第693组： 372 925 997 第694组： 375 500 625 第695组： 375 900 975 第696组： 376 705 799 第697组： 378 504 630 第698组： 378 680 778 第699组： 380 399 551 第700组： 380 672 772 第701组： 380 912 988 第702组： 381 508 635 第703组： 384 440 584 第704组： 384 512 640 第705组： 384 720 816 第706组： 385 552 673 第707组： 387 516 645 第708组： 387 884 965 第709组： 390 432 582 第710组： 390 520 650 第711组： 390 800 890 第712组： 392 630 742 第713组： 392 735 833 第714组： 393 524 655 第715组： 396 403 565 第716组： 396 528 660 第717组： 396 672 780 第718组： 396 847 935 第719组： 399 468 615 第720组： 399 532 665 第721组： 400 420 580 第722组： 400 561 689 第723组： 400 750 850 第724组： 402 536 670 第725组： 405 540 675 第726组： 406 792 890 第727组： 407 624 745 第728组： 408 506 650 第729组： 408 544 680 第730组： 408 765 867 第731组： 408 819 915 第732组： 411 548 685 第733组： 414 448 610 第734组： 414 552 690 第735组： 416 612 740 第736组： 416 780 884第742组： 420 675 795 第743组： 420 832 932 第744组： 420 851 949 第745组： 423 564 705 第746组： 424 795 901 第747组： 425 660 785 第748组： 426 568 710 第749组： 429 460 629 第750组： 429 572 715 第751组： 429 700 821 第752组： 429 728 845 第753组： 429 880 979 第754组： 432 495 657 第755组： 432 576 720 第756组： 432 665 793 第757组： 432 810 918 第758组： 435 580 725 第759组： 438 584 730 第760组： 440 462 638 第761组： 440 525 685 第762组： 440 825 935 第763组： 441 588 735 第764组： 444 592 740 第765组： 447 596 745 第766组： 448 720 848 第767组： 448 840 952 第768组： 450 544 706 第769组： 450 600 750 第770组： 451 780 901 第771组： 453 604 755 第772组： 455 504 679 第773组： 455 528 697 第774组： 456 608 760 第775组： 456 650 794 第776组： 456 855 969 第777组： 459 612 765 第778组： 460 483 667 第779组： 462 616 770 第780组： 462 784 910 第781组： 464 777 905 第782组： 464 870 986 第783组： 465 620 775 第784组： 468 595 757 第785组： 468 624 780第791组： 476 765 901 第792组： 477 636 795 第793组： 480 504 696 第794组： 480 550 730 第795组： 480 640 800 第796组： 480 693 843 第797组： 480 728 872 第798组： 480 836 964 第799组： 481 600 769 第800组： 483 644 805 第801组： 483 720 867 第802组： 486 648 810 第803组： 489 652 815 第804组： 492 656 820 第805组： 495 660 825 第806组： 495 840 975 第807组： 498 664 830 第808组： 500 525 725 第809组： 501 668 835 第810组： 504 550 746 第811组： 504 672 840 第812组： 504 703 865 第813组： 504 810 954 第814组： 507 676 845 第815组： 510 680 850 第816组： 510 792 942 第817组： 513 684 855 第818组： 516 688 860 第819组： 519 692 865 第820组： 520 546 754 第821组： 520 576 776 第822组： 520 765 925 第823组： 522 696 870 第824组： 522 760 922 第825组： 525 700 875 第826组： 528 605 803 第827组： 528 630 822 第828组： 528 704 880 第829组： 531 708 885 第830组： 532 624 820 第831组： 533 756 925 第832组： 534 712 890 第833组： 537 716 895 第834组： 540 567 783第837组： 540 819 981 第838组： 543 724 905 第839组： 546 728 910 第840组： 549 732 915 第841组： 552 736 920 第842组： 555 572 797 第843组： 555 740 925 第844组： 558 744 930 第845组： 560 588 812 第846组： 560 684 884 第847组： 560 702 898 第848组： 561 748 935 第849组： 564 752 940 第850组： 567 756 945 第851组： 570 760 950 第852组： 573 764 955 第853组： 576 660 876 第854组： 576 768 960 第855组： 579 772 965 第856组： 580 609 841 第857组： 580 741 941 第858组： 582 776 970 第859组： 585 648 873 第860组： 585 780 975 第861组： 588 784 980 第862组： 591 788 985 第863组： 594 608 850 第864组： 594 792 990 第865组： 595 600 845 第866组： 597 796 995 第867组： 600 630 870 第868组： 600 800 1000 第869组： 612 759 975 第870组： 615 728 953 第871组： 616 663 905 第872组： 616 735 959 第873组： 620 651 899 第874组： 621 672 915 第875组： 624 715 949 第876组： 638 720 962 第877组： 640 672 928 第878组： 650 720 970 第879组： 660 693 957 第880组： 680 714 986 第881组： 696 697 985。
常见的勾股数及公式
常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）．四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65 17 144 145；18 24 30；18 80 82；19 180 181；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35 21 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 14532 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626 51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 425 66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 795 70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 435 72 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 724 77 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 208 80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 205 84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 725 87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 150 90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549 100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 346第229组： 104 672 680第230组： 105 140 175第231组： 105 208 233第232组： 105 252 273第233组： 105 360 375第234组： 105 608 617第235组： 105 784 791第236组： 108 144 180第237组： 108 231 255第238组： 108 315 333第239组： 108 480 492第240组： 108 725 733第241组： 108 969 975第242组： 110 264 286第243组： 110 600 610第244组： 111 148 185第245组： 111 680 689第246组： 112 180 212第252组： 114 352 370 第253组： 115 252 277 第254组： 115 276 299 第255组： 116 837 845 第256组： 117 156 195 第257组： 117 240 267 第258组： 117 520 533 第259组： 117 756 765 第260组： 119 120 169 第261组： 119 408 425 第262组： 120 126 174 第263组： 120 160 200 第264组： 120 182 218 第265组： 120 209 241 第266组： 120 225 255 第267组： 120 288 312 第268组： 120 350 370 第269组： 120 391 409 第270组： 120 442 458 第271组： 120 594 606 第272组： 120 715 725 第273组： 120 896 904 第274组： 121 660 671 第275组： 123 164 205 第276组： 123 836 845 第277组： 124 957 965 第278组： 125 300 325 第279组： 126 168 210 第280组： 126 432 450 第281组： 126 560 574 第282组： 128 240 272 第283组： 128 504 520 第284组： 129 172 215 第285组： 129 920 929 第286组： 130 144 194 第287组： 130 312 338 第288组： 130 840 850 第289组： 132 176 220 第290组： 132 224 260 第291组： 132 351 375 第292组： 132 385 407 第293组： 132 475 493 第294组： 132 720 732 第295组： 133 156 205第301组： 136 255 289 第302组： 136 273 305 第303组： 136 570 586 第304组： 138 184 230 第305组： 138 520 538 第306组： 140 147 203 第307组： 140 171 221 第308组： 140 225 265 第309组： 140 336 364 第310组： 140 480 500 第311组： 140 693 707 第312组： 140 975 985 第313组： 141 188 235 第314组： 143 780 793 第315组： 143 924 935 第316组： 144 165 219 第317组： 144 192 240 第318组： 144 270 306 第319组： 144 308 340 第320组： 144 420 444 第321组： 144 567 585 第322组： 144 640 656 第323组： 144 858 870 第324组： 145 348 377 第325组： 145 408 433 第326组： 147 196 245 第327组： 147 504 525 第328组： 150 200 250 第329组： 150 360 390 第330组： 150 616 634 第331组： 152 285 323 第332组： 152 345 377 第333组： 152 714 730 第334组： 153 204 255 第335组： 153 420 447 第336组： 153 680 697 第337组： 154 528 550 第338组： 154 840 854 第339组： 155 372 403 第340组： 155 468 493 第341组： 156 208 260 第342组： 156 320 356 第343组： 156 455 481 第344组： 156 495 519第350组： 160 384 416 第351组： 160 630 650 第352组： 160 792 808 第353组： 161 240 289 第354组： 161 552 575 第355组： 162 216 270 第356组： 162 720 738 第357组： 165 220 275 第358组： 165 280 325 第359组： 165 396 429 第360组： 165 532 557 第361组： 165 900 915 第362组： 168 224 280 第363组： 168 270 318 第364组： 168 315 357 第365组： 168 374 410 第366组： 168 425 457 第367组： 168 490 518 第368组： 168 576 600 第369组： 168 775 793 第370组： 168 874 890 第371组： 170 264 314 第372组： 170 408 442 第373组： 171 228 285 第374组： 171 528 555 第375组： 171 760 779 第376组： 174 232 290 第377组： 174 832 850 第378组： 175 288 337 第379组： 175 420 455 第380组： 175 600 625 第381组： 176 210 274 第382组： 176 330 374 第383组： 176 468 500 第384组： 176 693 715 第385组： 176 960 976 第386组： 177 236 295 第387组： 180 189 261 第388组： 180 240 300 第389组： 180 273 327 第390组： 180 299 349 第391组： 180 385 425 第392组： 180 432 468 第393组： 180 525 555第399组： 184 345 391 第400组： 184 513 545 第401组： 185 444 481 第402组： 185 672 697 第403组： 186 248 310 第404组： 186 952 970 第405组： 189 252 315 第406组： 189 340 389 第407组： 189 648 675 第408组： 189 840 861 第409组： 190 336 386 第410组： 190 456 494 第411组： 192 220 292 第412组： 192 256 320 第413组： 192 360 408 第414组： 192 494 530 第415组： 192 560 592 第416组： 192 756 780 第417组： 195 216 291 第418组： 195 260 325 第419组： 195 400 445 第420组： 195 468 507 第421组： 195 748 773 第422组： 196 315 371 第423组： 196 672 700 第424组： 198 264 330 第425组： 198 336 390 第426组： 198 880 902 第427组： 200 210 290 第428组： 200 375 425 第429组： 200 480 520 第430组： 200 609 641 第431组： 201 268 335 第432组： 203 396 445 第433组： 203 696 725 第434组： 204 253 325 第435组： 204 272 340 第436组： 204 560 596 第437组： 204 595 629 第438组： 204 855 879 第439组： 205 492 533 第440组： 205 828 853 第441组： 207 224 305 第442组： 207 276 345第448组： 208 819 845 第449组： 210 280 350 第450组： 210 416 466 第451组： 210 504 546 第452组： 210 720 750 第453组： 213 284 355 第454组： 215 516 559 第455组： 215 912 937 第456组： 216 288 360 第457组： 216 405 459 第458组： 216 462 510 第459组： 216 630 666 第460组： 216 713 745 第461组： 216 960 984 第462组： 217 456 505 第463组： 217 744 775 第464组： 219 292 365 第465组： 220 231 319 第466组： 220 459 509 第467组： 220 528 572 第468组： 220 585 625 第469组： 222 296 370 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勾股定理-全章
第一章勾股定理勾股定理：直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：若直角三角形的两条直角边为a、b，斜边为c，则a²+b²=c²。
勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c有下面关系：a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
说明：根据勾股定理的逆定理，可以判定一个三角形是否是直角三角形：若已知三角形的三条边，只需验证最大边的平方是否等于另两边的平方和，若相等，则是直角三角形；若不等，则不是。
勾股数：满足a²+b²=c²的三个正整数，称为勾股数。
若a，b，c是一组勾股数，则ak，bk，ck（k为正整数），也必然是一组勾股数。
常用的几组勾股数有3,4,5；6,8,10；5,12,13；8,15,17等勾股定理的应用求两点之间的距离和线段的长度常构造直角三角形，利用勾股定理求解，求立体图形上两点之间的最短距离大致可分为：(1)圆柱形物体表面上的两点间的最短距离；(2)长方体或正方体表面上两点间的最短距离问题，直角三角形三边之间的关系不等量关系是：斜边的长大于每条直角边的长，其依据是“垂线段最短”；等量关系是：勾股定理，勾股定理是我们求直角三角形边长的依据，在直角三角形中，已知任意两边的长，可求第三边的长．直角三角形的判别直角三角形的判别有两种方法：(1)利用定义，判断一个三角形中有一个角是直角；(2)根据三角形一边的平方等于另外两边的平方和，来判定该三角形是直角三角形，勾股定理中的方程思想勾股定理三角形有一个直角的“形”的特征，转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范．对于一些几何问题，往往借助于勾股定理，利用代数方法来解决．把一条边的长设为未知数，根据勾股定理列出方程，解方程求出未知数的值，即使有时出现了二次方程，大多可通过抵消而去掉二次项．勾股定理中的转化思想在利用勾股定理计算时，常先利用转化的数学思想构造出直角三角形，比如立体图形上两点之间的最短距离的求解，解答时先把立体图形转化为平面图形，在平面图形中构造直角三角形求解，【例题1-勾股定理及其逆定理的基本用法】若直角三角形两直角边的比是3：4，斜边长是20，求此直角三角形的面积。
(完整word版)初中数学--勾股定理
聚智堂学科教师辅导讲义课 题勾股定理2 2 21勾股定理：直角三角形两直角边 a 、b 的平方和等于斜边 c 的平方。
(即：a+b=c )2、 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长： a 、b 、c 有关系a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是教学目的直角三角形。
2 . 2 23、 满足a b c 的三个正整数，称为 勾股数。
教学内容、日校回顾、知识回顾1. 勾股定理如图所示，在正方形网络里有一个直角三角形和三个分别以它的三条边为边的正方形，通过观察、探索、面积之间存在这样的关系： 即C 的面积=B 的面积+A 的面积，现将面积问题转化为直角三角形边的问题， 于是得到直角三角形三边之间的重要关系，即勾股定理。
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
说明：(1) 勾股定理只有在直角三角形中才适用，如果不是直角三角形，那么三条边之间就没有这种关系了。
年 级:学员姓名：课时数：辅导科目：数学学科教师： 辅导时间:发现正方形 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为(2)我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦。
在没有特殊说明的情况下，直角三角形中，a，b是直角边，c是斜边，但有时也要考虑特殊情况。
(3)除了利用a, b, c表示三边的关系外，还应会利用AB BC, CA表示三边的关系，在△ ABC中，/ B= 90°，利用勾股定理有AB2 BC2 AC2。
2. 利用勾股定理的变式进行计算c , 可推出如下变形公式：由a2b 2(1a2c2b2;)(2b2c2 2 a)(3a c2b2)b\ c2 2 a(4)(5c\ a22b (平方根将在下一章学到))说明：上述几个公式用哪一个，取决于已知条件给了哪些边，求哪条边，要判断准确。
三、知识梳理1、勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用有：(1)已知直角三角形的两边求第三边(2)已知直角三角形的一边与另两边的关系。
勾股定理可知(最全)word资料
勾股定理可知(最全)word资料由勾股定理可知在浩瀚的数学星空里，勾股定理像是一颗璀璨的明星闪耀在数学的星空上。
我国是最早了解勾股定理的国家之一。
早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三、股四、弦五”。
他被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，这是我国最早对勾股定理的记载。
勾股定理的奥秘：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
如果用a、b和c分别表示直角三角形的两条直角边和斜边，那么就会得到a²+b²=c²。
此公式另可以变形为b²=c²-a²和a²=c²-b²。
当然，学习勾股定理是要学以致用，勾股定理在生活中最大的用处就是证明直角三角形，从而解决一些实际性的问题。
此外，为了方便计算，我们也要记住一些常用的勾股数，如：“3、4、5”，“5、12、13”等等。
值得注意的是，勾股数的倍数也是勾股数，如“6、8、10”也是一组勾股数，它就是“3、4、5”的二倍。
可是，在我们享受着勾股定理为我们的生活带来便利的同时，也要想一想，勾股定理真的是正确的吗？聪明的毕达哥拉斯已经在几千年前给了我们答案。
但是在我国古代却有一种非常奇特无字证明法，它就是青朱出入图。
如图所示以勾为边的的正方形为朱方，以股为边的正方形为青方。
以赢补虚，只要把图中朱方的I移至I′，青方的II移至II′，III移至III′，则刚好拼好一个以弦为边长的正方形，由此便可证得a²+b²=c²。
勾股定理的出现已经有几千年了，应用非常广泛，在古代作为构造直角三角形的工具。
比如分土地时不知道怎样能分出直角三角形，这时就要使用勾股定理。
在现代勾股定理已经融入现代科技中和生活中，比如：在建筑学领域，利用勾股定理可此测量出房屋与地面是否垂直。
另外，如果将勾股定理与物理学中的力学完美的结合起来，勾股定理将会发挥更大更神奇的作用。
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常见的勾股数及公式武安市黄冈实验学校 翟升华搜集整理我们知道，如果∠C=90°，a 、b 、c 是直角三角形的三边，则由勾股定理，得a 2+b 2=c 2；反之，若三角形的三边a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则该三角形是直角三角形，c 为斜边．与此相类似，如果三个正整数a 、b 、c 满足a 2+b 2=c 2，则称a 、b 、c 为勾股数，记为（a ，b ，c ）．勾股数有无数多组，下面向同学们介绍几种：一、三数为连续整数的勾股数（3，4， 5）是我们所熟悉的一组三数为连续整数的勾股数，除此之外是否还有第二组或更多组呢？设三数为连续整数的勾股数组为（x －１，x ，x ＋１），则由勾股数的定义，得（x+1）2+x 2=（x+1）2，解得x ＝４或x ＝０（舍去），故三数为连续整数的勾股数只有一组（３，４，５）；类似有3n,4n,5n (n 是正整数)都是勾股数 。
二、后两数为连续整数的勾股数易知：（５，１２，１３），（９，４０，４１），（１１３，６３３８，６３８５），…，都是勾股数，如此许许多多的后两数为连续整数的勾股数，它的一般形式究竟是什么呢？a=2n+1,b=2n 2+2n,c=2n 2+2n+1（其特点是斜边与其中一股的差为1）.分别取n ＝１，２，３，…就得勾股数组（３，４，５），（５，１２，１３），（７，２４，２５），…三、前两数为连续整数的勾股数你知道（２０，２１，２９），（１１９，１２０，１６９），（４０５９，４０６０，５７４１）…，这些都是前两数为连续整数的勾股数组。
其公式为：（x ，x ＋１，1222++x x ）（x 为正整数）。
设前两数为连续整数的勾股数组为（x ，x ＋１，y ），y=1222++x x 则()2221y x x =++（＊） 整理，得1222++x x ＝2y ，化为()121222-=-+y x ，即()y x 212++()y x 212-+＝－１， 又()()2121-+＝－１，∴()1221++n ()1221+-n ＝－１（ｎ∈Ｎ）， 故取()y x 212++＝()1221++n ，()y x 212-+＝()1221+-n ， 解之，得x ＝41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，y ＝42〔()1221++n －()1221+-n 〕， 故前两数为连续整数的勾股数组是（41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕，41〔()1221++n ＋()1221+-n －２〕＋１，42〔()1221++n －()1221+-n 〕）． 四、后两数为连续奇数的勾股数如(8，15，17), (12，35，37) …其公式为：4(n+1),4(n+1)2-1,4(n+1)2+1(n 是正整数) .五、其它的勾股数组公式：1.a=2m,b=m 2－1,c=m 2+1（m 大于1的整数）.2.a=21（m 2－n 2）,b=mn,c= 21（m 2+n 2）（其中m>n 且是互质的奇数）.3.a=2m,b=m 2－n 2,c=m 2+n 2（m>n,互质且一奇一偶的任意正整数）.下面我们把100以内的勾股数组列出来，供同学们参考：3 4 5；5 12 13；6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20； 12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 6521 72 75；21 220 221；22 120 122；23 264 265；24 32 40；24 45 51；24 70 74；24 143 145 25 60 65；25 312 313；26 168 170；27 36 45；27 120 123；27 364 365；28 45 53；28 96 100 28 195 197；29 420 421；30 40 50；30 72 78；30 224 226；31 480 481；32 60 68；32 126 130 32 255 257；33 44 55；33 56 65；33 180 183；33 544 545；34 288 290；35 84 91；35 120 125 35 612 613；36 48 60；36 77 85；36 105 111；36 160 164；36 323 325；37 684 685；38 360 36239 52 65；39 80 89；39 252 255；39 760 761；40 42 58；40 75 85；40 96 104；40 198 20240 399 401；41 840 841；42 56 70；42 144 150；42 440 442；43 924 925；44 117 125；44 240 244 44 483 485；45 60 75；45 108 117；45 200 205；45 336 339；46 528 530；48 55 73；48 64 80 48 90 102；48 140 148；48 189 195；48 286 290；48 575 577；49 168 175；50 120 130；50 624 626 51 68 85；51 140 149；51 432 435；52 165 173；52 336 340；52 675 677；54 72 90；54 240 246 54 728 730；55 132 143；55 300 305；56 90 106；56 105 119；56 192 200；56 390 394；56 783 785 57 76 95；57 176 185；57 540 543；58 840 842；60 63 87；60 80 100；60 91 109；60 144 156 60 175 185；60 221 229；60 297 303；60 448 452；60 899 901；62 960 962；63 84 105；63 216 225 63 280 287；63 660 663；64 120 136；64 252 260；64 510 514；65 72 97；65 156 169；65 420 425 66 88 110；66 112 130；66 360 366；68 285 293；68 576 580；69 92 115；69 260 269；69 792 795 70 168 182；70 240 250；72 96 120；72 135 153；72 154 170；72 210 222；72 320 328；72 429 435 72 646 650；75 100 125；75 180 195；75 308 317；75 560 565；75 936 939；76 357 365；76 720 724 77 264 275；77 420 427；78 104 130；78 160 178；78 504 510；80 84 116；80 150 170；80 192 208 80 315 325；80 396 404；80 798 802；81 108 135；81 360 369；84 112 140；84 135 159；84 187 205 84 245 259；84 288 300；84 437 445；84 585 591；84 880 884；85 132 157；85 204 221；85 720 725 87 116 145；87 416 425；88 105 137；88 165 187；88 234 250；88 480 488；88 966 970；90 120 150 90 216 234；90 400 410；90 672 678；91 312 325；91 588 595；92 525 533；93 124 155；93 476 48595 168 193；95 228 247；95 900 905；96 110 146；96 128 160；96 180 204；96 247 265；96 280 29696 378 390；96 572 580；96 765 771；98 336 350；99 132 165；99 168 195；99 440 451；99 540 549 100 105 145；100 240 260；100 495 505；100 621 629.以下是大于100的勾股数：第223组： 102 136 170第224组： 102 280 298第225组： 102 864 870第226组： 104 153 185第227组： 104 195 221第228组： 104 330 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