电场概念复习

A Wa Wb q a q b
保守力场中引入电势的好处之一就是求电场力的功不需考虑 过程,用初态势能减去终态势能就得电场力的功.
理论上,带电体不是无限大,通常选无穷远处为零势点
a

a
E dl
点电荷场中
a
q 4 0 r
连续带电体的电势

V
dq 4 0 r
q Q ( ) 4 0 r R
1
r O q R
P
Q
求两球电荷面密度和曲率半径的关系
R
Q
Q 4 0 R q 4 0 r
q
r


R r r R
导体的表面场强
σ
E 0
S
例：两块大导体平板，面积为S，分别带电q1和q2，两极 板间距远小于平板的线度。求平板各表面的电荷密度。
2. 表面场强垂直于导体表面。
导体上电荷分布的特点
有空腔 无空腔
(1). 由高斯定理和电荷守恒定律：
外球壳的内表面带电-q，外表面带电 +q。 q r2 4 0 r2 (2). 外球壳接地且重新绝缘后，电 荷重新分布。外表面附近场强为 0 ， 所以外球壳外表面不带电，故外球 壳的内表面仍带电-q。
q1 + _ +_ +_ _ + C1 U
q UC1 UC2 q (C1 C 2 )U
q q1 q2
q2
+ + + +
__ _ _
q
q CU
C C1 C 2
C2 U
静电场中的电介质
电介质：
电阻率很大，导电能力很差的物质，即绝缘体。 （常温下电阻率大于107欧·米）
电介质的特点：
分子中的正负电荷束缚的很紧，介质内部几 乎没有自由电荷。
一 电介质的极化
两大类电介质分子结构：
1. 无极分子： 分子的正、负电荷中心在无外场时 重合。不存在固有分子电偶极矩。
ka 2 (1) 平板外空间的场强为均匀电场,大小为 4 0 2 (2) 平板内 x a 处E=0 2
据分析可知平板外的电场是均匀电场, 作如图封闭圆柱面为高斯面
0 a 1 2 a q kxSdx kSx 0 0 2 S 1 kSa 2 2 1 1 2 2 ES kSa E ka 2 2 4 0
y
R
dE
dq
dE y dE sin
π 2 0
dE x dE cos

x
E x dE x dE cosθ

dq Rd

λ dθ λ cosθ 4ε ε 0R 4π ε 0 R
E y dE y dE cosθ
E III
1 2 2 0 2 0
x
以上假定电荷密度是正号,实际求解时要考虑正负号
7、厚度为a的无限大带电平板 空间的电场分布，其电荷体密
度分布有两种情况： （1）密度均匀分布； （2）密度是x的函数。

E
E
a
如图所示,一厚度为a的无限大带电平板,其电荷体密度分 布为 kx (0 x a)式中k 为正常数,试证明:
高斯面内所包含的电通量为：
O
e 2 ES
Q
P
由高斯定理：
2 ES q 0 2 xS
0
E p x 0
对于Q点：
以Q为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面， 设底面积为S，长度为2xＱ
高斯面内所包含的电量为：
q aS
e 2 ES
由高斯定理： P Q
1 1 2 kx a
E( x) 0
1 2 1 kx ka 2 2 4 0
x
2a 2
设电荷密度均匀,求电场分布 解: (1) 以O为对称点作垂直于平板平面的圆柱面为高斯面， 设底面积为S，长度为2x，如图所示。 高斯面内所包含的电量为：
q 2 xS
x d
x
λ dR ln πε0 R
0 C dR U ln R
电容器的串并联
q _-q +_ + +_ _ + C1 U1 U
q _- q +_ +_ +_ + U2 C2
1 1 q q ( )q U U1 U 2 C1 C 2 C1 C2 q 1 1 1 1 C 1 1 U C C1 C 2 C1 C 2
静电场复习
一、电场强度
dqr E 3 4 0 r
应用
(1)
dq
E qr 4 0 r 3
r
.P
dE
延长线上的电场
(2) 圆轴线上的电场强度 (3) 一段半圆圆心的电场
解: 取电荷元dq，其矢径与x轴的交角为 dq d dE 4 0 R 4 0 R 2
pe
（Ｂ）


F
F
M Pe E
W Md
例：一半径为Ｒ，长为Ｌ的带电圆柱面，其单位长度 带电量为,在带电圆柱的中面上有一 点Ｐ，它到轴线 距离为r,则Ｐ的电场强度的大小：
当r<<L时
当r＞＞L时
E 2 0 r L E 4 0 r 2
外球壳电势由叠加可得：
+ + +
q
r1 r2
-q
+
r1 r2 1 4 0 r2 4 0 r2 4 0 r2 r2 q q
r1 q r2
例：真空中有一半径为R的球面均匀带电Q.在球心o点处有一电 量为q的点电荷,如图所示.设无穷远处为电势零点,则在球内离O 点处为r的P点处的电势为
（r < R 3 ）
E2
q 4o r
2
（R3 <r <R2 ）
E1 0
（R2 < r<R1 ）
2q （r > R1 ） E0 2 4o r
（2 ） o


0
R3 R2 R1 E dl ( )E dl
0 R3 R2 R1
解：
1S 2 S q1 电荷守恒： 3 S 4 S q2
1 2 3 4 EA 0 2 o 2 o 2 o 2 o 1 2 3 4 EB 0 2 O 2 O 2 o 2 o
1
q1
q2
由静电平衡条件，导体板内E = 0
高斯面内所包含的电通量为：
2 ES q 0 aS 0 EQ a 2 0
三
环流定理应用
b
E dl 0
A Wa Wb q E dl
L
E
a
Wb 0
Wa q E dl
L
b Wa a E dl a q
S
E dS 2 ES
q
x dx
E
0
x
a
(2) x<a
E dS E1 S E ( x ) S
S
q
0
x
q
x
0
kxSdx
1 kSx 2 2
E1 S
1 kSx 2 E1 S E( x) S 2 0 1 2 kx E1 E ( x ) 2 0
φ
均匀带电球面
1 φ r
均匀带电球面在内部任一点产生的电势与表面处 的电势相等
例求均匀带电圆盘中心的电势 解: 细圆环在o点的电势为d
取以r为半径，宽为dr的细圆环，带电量为 dq 2 r dr ，
2 rdr dr d 4 0 r 4 0 r 2 0 dq
6. 均匀带电无限大平面的电场
高斯面
E
S
E
E 2 0
σ

单位面积上的电量
如图设一薄导体板表面的电荷面密度为 用高斯定理求空间电场

E

E
单位面积上的电量
2 ES
2S
0
2 E 2 0 0
1
2
I
II
III
1 2 EI 2 0 2 0 1 2 E II 2 0 2 0
A
C q
B

例、半径都是R的两根无限长均匀带电导线，其电荷线密度分别 为+和－ ，两直导线平行放置，相距为d（d>>R).试求该导体 组单位长度的电容。
+
－
E( x) 2 0 x 2 0 (d x )
U
E ( x )dx
dR R
R

( )dx 2 0 x 2 0 (d x )
2q 2q dr （3） 1 R 2 1 4 r 4 o R1 o

四 导体的静电平衡
导体中电荷的宏观定向运动终止，电荷分布不随时间改变。 静电平衡条件： 用场强来描写： 1. 导体内部场强处处为零； 用电势来描写： 1. 导体为一等势体； 2. 导体表面是一个等势面。 腔内有电荷 腔内无电荷

R
0
4 r dr
2

R
0
4 Ar 3dr AR4
(2)
rR
dr
作以r为半径的高斯面，高斯面内所包含的电量为：
q

r
0
4π r 2ρ dr π Ar 4
r
r
由高斯定理： 4 r 2 E q 0 ,
E Ar 2