〖精选3套试卷〗2020学年福建省莆田市高一数学下学期期末考试试题
《试卷3份集锦》福建省莆田市2020高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位长度得到()g x 图象，则函数的解析式是（ ） A ．()sin 23g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．()sin 26g x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭C ．()sin 23g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭D ．()sin 26g x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭2．某中学举行高一广播体操比赛，共10个队参赛，为了确定出场顺序，学校制作了10个出场序号签供大家抽签，高一（l ）班先抽，则他们抽到的出场序号小于4的概率为（ ） A ．710B ．15C ．25D ．3103．已知A(－3,8)，B(2,2)，在x 轴上有一点M ，使得|MA|＋|MB|最短，则点M 的坐标是( ) A ．(－1,0)B ．(1,0)C ．2205⎛⎫⎪⎝⎭， D ．2205⎛⎫ ⎪⎝⎭，4．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，M ，N 分别是棱BB 1，B 1C 1的中点，若∠CMN=90°，则异面直线AD 1和DM 所成角为（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°5．在空间直角坐标系中，点P （3，4，5）关于yOz 平面的对称点的坐标为( ) A ．（−3，4，5） B ．（−3，−4，5） C ．（3，−4，−5） D ．（−3，4，−5）6．设1122511,, 7241a b c log --⎛⎛⎫⎪⎫=== ⎝⎝⎭⎪⎭，则（ ） A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．a c b >>7．若点()1,1A a a -+，(),B a a 关于直线l 对称，则l 的方程为（ ）A ．10x y -+=B ．10x y +-=C ．2210x y -+=D ．220x y +-=8．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A ．0.3B ．0.4C ．0.6D ．0.79．现有1瓶矿泉水，编号从1至1．若从中抽取6瓶检验，用系统抽样方法确定所抽的编号为（ ） A ．3，13，23，33，43，53 B ．2，14，26，38，42，56 C ．5，8，31，36，48，54D ．5，10，15，20，25，3010．设数列{}n a 满足110a =，且()*13n n a a n n N +-=-∈，则数列1n a 中的最大项为（ ） A ．17B ．855C ．18D ．1911．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ）A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度12．在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若1a =，b =3π4c =，则c =（ ）A B ．1C ．2D二、填空题：本题共4小题13．若三角形ABC 的三个角A ，B ，C 成等差数列，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，三角形ABC 的面积ABCS=，则b 的最小值是________． 14．已知数列{}n a 的前n 项和221n S n n =++，则61a a +=___________．15．已知函数(),()f x g x 分别由下表给出：则当[()]2f g x =时，x =_____________.16．已知向量1,2,7a b a b ==+=，则a 与b 的夹角为______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
福建省莆田市2024届高一数学第二学期期末统考模拟试题含解析
福建省莆田市2024届高一数学第二学期期末统考模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。
答案不能答在试题卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．某校有高一学生400人，高二学生380人，高三学生220人，现教育局督导组欲用分层抽样的方法抽取50名学生进行问卷调查，则下列判断正确的是（） A ．高一学生被抽到的可能性最大 B ．高二学生被抽到的可能性最大 C ．高三学生被抽到的可能性最大D ．每位学生被抽到的可能性相等2．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若111tan tan tan A B C+=，则2223a b c++的最小值是（ ） A ．5B ．8C ．7D ．63．已知59a =°，sin15cos15b =+°°，31cos31c =°°，则实数a 、b 、c 的大小关系是（）A ．a c b <<a c b <<B ．a b c <<C ．a c b ≥≥D ．a b c ≥≥4．已知实数,,a b c 满足c b a <<且0ac <，则下列选项中不．一定成立的是（ ） A ．ab ac >B ．()0c b a ->C ．()0ac a c -<D ．22cb ab <5．设,αβ是两个不同的平面，l 是一条直线，以下命题正确的是（ ） A ．若,l ααβ⊥⊥，则l β⊂ B ．若//,//l ααβ，则l β⊂ C ．若,//l ααβ⊥，则l β⊥D ．若//,l ααβ⊥，则l β⊥6．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，它的体积是（ ）A ．324R B ．38R C 3R D 3R7．设a b c ，，均为正数，且122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭．则（ ） A ．a b c << B ．c b a << C ．c a b << D ．b a c <<8．法国学者贝特朗发现，在研究事件A“在半径为1的圆内随机地取一条弦，其长度超过圆内接等边三角形的边长”的概率的过程中，基于对“随机地取一条弦”的含义的的不同理解，事件A 的概率存在不同的容案该问题被称为贝特朗悖论现给出种解释：若固定弦的一个端点,另个端点在圆周上随机选取，则=（ ）A ．B ．C ．D ．9．在空间中，有三条不重合的直线a ，b ，c ，两个不重合的平面α，β，下列判断正确的是A ．若a ∥α，b ∥α，则a ∥bB ．若b a ⊥，c a ⊥，则b ∥cC ．若a α⊥，a ∥β，则αβ⊥D ．若a α⊂，b β⊂，α∥β，则a ∥b10．在ABC ∆中，根据下列条件解三角形，其中有一解的是（ ） A ．7a =，3b =，30B = B ．6b =，52c =，45B = C ．10a =，15b =，120A = D ．6b =，63c =，60C =二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2019-2020学年福建省莆田一中高一(下)期末数学试卷(附答案详解)
2019-2020学年福建省莆田一中高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.圆C1：(x+2)2+(y−2)2=1与圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16的位置关系是()A. 外离B. 外切C. 内切D. 相交2.设a、b是不同的直线，α、β是不同的平面，则下列四个命题中正确的是()A. 若a⊥b，a⊥α，则b//αB. 若a//α，α⊥β，则a⊥βC. 若a⊥β，α⊥β，则a//αD. 若a⊥b，a⊥α，b⊥β，则α⊥β3.已知两条直线l1：x+y−1=0，l2：3x+ay+2=0且l1⊥l2，则a=()A. −13B. 13C. −3D. 34.如果函数y=f(x)的图象与函数y′=3−2x的图象关于坐标原点对称，则y=f(x)的表达式为()A. y=2x−3B. y=2x+3C. y=−2x+3D. y=−2x−35.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=7，S4=20，则a10=()A. 25B. 32C. 35D. 406.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是()A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 以上情况都有可能7.如图：正三棱锥A−BCD中，∠BAD=40°，侧棱AB=2，BD平行于过点C的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为()A. 2B. 2√3C. 4D. 4√38.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC=a，BC=b，则该图形可以完成的无字证明为() A. a+b2≥√ab(a>b>0) B. a2+b2≥2ab(a>b>0)C. 2aba+b ≤√ab(a>b>0) D. a+b2≤√a2+b22(a>b>0)9.已知A(−3,0)，B(0,4)，M是圆C：x2+y2−4x=0上一个动点，则△MAB的面积的最小值为()A. 4B. 5C. 10D. 1510.如图所示，隔河可以看到对岸两目标A，B，但不能到达，现在岸边取相距4km的C，D两点，测得∠ACB=75°，∠BCD=45°，∠ADC=30°，∠ADB=45°(A,B，C，D在同一平面内)，则两目标A，B间的距离为()km．A. 8√53B. 4√153C. 2√153D. 2√511.如图，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，∠DAB=60°，侧面PAD为正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，则下列说法正确的是()A. 平面PAB⊥平面PBCB. 异面直线AD与PB所成的角为60°C. 二面角P−BC−A的大小为60°D. 在棱AD上存在点M使得AD⊥平面PMB12.如图，M、N分别是边长为1的正方形ABCD的边BC、CD的中点，将正方形沿对角线AC折起，使点D不在平面ABC内，则在翻折过程中，有以下结论：①异面直线AC与BD所成的角为定值；②存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直；③存在某个位置，使得直线MN与平面ABC所成的角为45°；④三棱锥M−ACN体积的最大值为√2．48以上所有正确结论的有()个．A. 1B. 2C. 3D. 4二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元．设购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，则A，B的大小关系是______．)的直线l与圆交于A、B两点，圆14.已知圆的方程为x2+(y−1)2=4，若过点P(1,12心为C，则圆∠ACB最小时，直线l的方程为______．15.已知球O是正三棱锥(底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心)A−BCD的外接球，BC=3,AB=2√3，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是．16.圆C：x2+y2=16，过点M(2,0)的直线与圆C交于A，B两点(A在x轴上方)，在x轴正半轴上存在定点N，使得x轴平分∠ANB，求出点N的坐标______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知直线l在y轴上的截距为−2，且垂直于直线x−2y−1=0．(1)求直线l的方程；(2)设直线l与两坐标轴分别交于A、B两点，△OAB内接于圆C，求圆C的一般方程．18.已知在数列{a n}中，S n为其前n项和，且S n=n2(n∈N+)，数列{b n}为等比数列，公比q>1，b1=a1，且2b2，b4，3b3成等差数列．(1)求{a n}与{b n}的通项公式；(2)令c n=a n，求{c n}的前项和T n．b n19.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且√3bsinA−acosB−2a=0．(Ⅰ)求B的大小；(Ⅱ)若b=√7，△ABC的面积为√3，求a+c的值．220.如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA=AB=√3，AD=1，点F是PB的中点，点E在边BC上移动．(Ⅰ)当点E为BC的中点时，证明EF//平面PAC；(Ⅱ)求三棱锥E−PAD的体积；(Ⅲ)证明：无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF．21.如图，在Rt△ABC中，AB=BC=4，点E在线段AB上，过点E作EF//BC交AC于点F，将△AEF沿EF折起到△PEF的位置(点A与P重合)，使得∠PEB=60°．(1)求证：平面CBEF⊥平面PBE；(2)试问：当点E在何处时，四棱锥P−EFCB的侧面PEB的面积最大？并求此时四棱锥P−EFCB的体积及直线PC与平面EFCB所成角的正切值．22.已知圆C：(x−3)2+(y−4)2=4，直线l1过定点A(1,0)．(1)若l1与圆相切，求l1的方程；(2)若l1与圆相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，又l1与l2：x+2y+2=0的交点为N，判断AM·AN是否为定值，若是，则求出定值；若不是，请说明理由．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵圆C1：(x+2)2+(y−2)2=1的圆心C1(−2,2)，半径r1=1 ，圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16的圆心C2(2,5)，半径r2=4，|C1C2|=√(2+2)2+(5−2)2=5=r1+r2 ，∴圆C1：(x+2)2+(y−2)2=1与圆C2：(x−2)2+(y−5)2=16外切．故选：B．求出两圆的圆心坐标和两圆的半径，由圆心距等半径之和得到两圆外切．本题考查两圆的位置关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．2.【答案】D【解析】根据线面平行的判定方法，可以判断A，C的对错，根据线面垂直的判定方法，可以判断B，D的真假，对四个答案逐一进行分析后，易得到答案．本题考查的知识点是平面与直线之间的关系，熟练掌握空间线与面平行与垂直之间的关系及其转化是解答本题的关键．解：A中，b可能在α内；B中，a可能在β内，也可能与β平行或相交(不垂直)；C中，a可能在α内；D中，a⊥b，a⊥α，则b⊂α或b//α，又b⊥β，∴α⊥β．故选D．3.【答案】C【解析】解：∵直线l1：x+y−1=0，l2：3x+ay+2=0且l1⊥l2，则它们的斜率之积等于−1，=−1．∴−1×−3a解得a=−3，根据两直线垂直的性质可得，两直线垂直斜率之积等于−1，由此求得a 的值． 本题主要考查两直线垂直的性质，两直线垂直斜率之积等于−1，属于基础题．4.【答案】D【解析】解：设(x,y)为函数f(x)上的点，∵(x,y)关于原点对称的点为(−x,−y)在函数y′=3−2x 上∴以−y ，−x 代替函数y′=3−2x 中的y′，x ，得y =f(x)的表达式为y =−2x −3故选：D ．先假设函数f(x)上的点(x,y)，∵(x,y)关于原点对称的点为(−x,−y)在函数y′=3−2x 上代入即可得到答案．本题主要考查根据函数对称性求函数解析式的问题．根据求谁设谁的原则，先假设函数f(x)上的点，根据对称性找关系式即可得到答案．5.【答案】C【解析】解：∵等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 3=7，S 4=20，∴{a 3=a 1+2d =7S 4=4a 1+6d =20， 联立解得a 1=−1，d =4，∴a 10=a 1+9d =−1+36=35，故选：C ．由题意可得首项和公差的方程组，解方程组由通项公式可得．本题考查等差数列的求和公式和通项公式，属基础题．6.【答案】C【解析】解：∵直线ax +by +2c =0与圆x 2+y 2=4相离，∴圆心到直线的距离√a 2+b 2>2，即c 2>a 2+b 2，故△ABC 是钝角三角形，由题意可得，圆心到直线的距离2c√a2+b2>2，即c2>a2+b2，故△ABC是钝角三角形．本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：把正三棱锥A−BCD的侧面展开，两点间的连接线CC′即是截面周长的最小值．正三棱锥A−BCD中，∠BAD=40°，所以AC⊥AC′，AB=2，∴CC′=√22+22−2×2×2×(−12)=2√3，∴截面周长最小值是CC′=2√3．故选：B．首先，展开三棱锥，然后，两点间的连接线CC′即是截面周长的最小值，然后，求解其距离即可．本题重点考查了空间中的距离最值问题，属于中档题．注意等价转化思想的灵活运用．8.【答案】D【解析】解：由图形可知：OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可得：CF=√(a+b2)2+(a−b2)2=√12(a2+b2)，∵CF≥OC，∴√12(a2+b2)≥12(a+b)，(a,b>0)．故选：D．由图形可知OF=12AB=12(a+b)，OC=12(a+b)−b=12(a−b)，在Rt△OCF中，由勾股定理可求CF，结合CF≥OC即可得出．本题考查了圆的性质、勾股定理、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【解析】解：由x2−4x+y2=0，得(x−2)2+y2=4，∴圆的圆心(2,0)，半径为2，过圆心作AB所在直线的垂线，交圆于M，此时△ABM的面积最小．直线AB的方程为4x−3y+12=0，|AB|=5，=4，∴圆心到直线AB的距离为|8+12|5×5×(4−2)=5，∴△MAB的面积的最小值为12故选：B．化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心作AB所在直线的垂线交圆于M，则答案可求．本题考查了圆的方程的综合运用，考查了点到直线的距离公式，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．10.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用问题，也考查了计算求解能力和转化思想，是中档题．在△ACD中由正弦定理可求AD的值，在△BCD中由正弦定理可求BD的值，再在△ABD 中由余弦定理可求AB的值．【解答】解：由已知，△ACD中，∠ADC=30°，∠ACD=120°，可得∠CAD=30°，由正弦定理，得，所以；△BCD中，∠CDB=75°，∠BCD=45°，可得∠CBD=60°，由正弦定理，得，所以；△ABD中，由余弦定理，得AB2=AD2+BD2−2AD⋅BD⋅cos∠ADB=48+323−2×4√3×4√63×√22=803，解得：AB=4√153，则两目标A，B间的距离为4√153km．故选：B．11.【答案】D【解析】解：对于BD.取AD的中点M，连接PM，BM，BD．∵侧面PAD为正三角形，∴PM⊥AD．∵△ABD为等边三角形，AM=MD，∴BM⊥AD．又PM∩BM=M，∴AD⊥平面PMB，∴AD⊥PB．因此D正确，B不正确．对于C.又BC//AD，∴BC⊥BM，又平面PAD⊥平面ABCD，PM⊥交线AD，∴PM⊥平面ABCD，∴BC⊥PB，∴∠PBM是二面角P−BC−A的平面角，大小为45°，因此C不正确．对于A.由C可知：平面PMB⊥平面PBC.可得：平面PAB与平面PBC不可能垂直，否则出现平面PMB//平面PBA矛盾．故选：D．利用空间位置关系的判定与性质定理、等边三角形的性质、空间角的定义与求法即可判断出正误．本题考查了空间位置关系的判定与性质定理、等边三角形的性质、空间角的定义与求法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：对于①：取AC的中点O，连接OB，OD，由正方形的性质，可知AC⊥OB，AC⊥OD，因为OB ∩OD =O ， 所以AC ⊥平面OBD ， 因为BD ⊂平面OBD ， 所以AC ⊥BD ，故①正确； 对于②：若AD ⊥BC ， 因为AB ⊥BC ，AD ∩AB =A ， 所以BC ⊥平面ABD ， 因为BD ⊂平面ABD ， 所以BC ⊥BD ，而BD ⊥AC ，AC ∩BC =C ， 所以BD ⊥平面ABC ，此时△ADC 的面积大于△ABC 的面积，与事实矛盾，故②错误； 对于③：因为正方形ABCD 的边长为1， 所以OB =OD =√22，因为M ，N 分别为线段BC ，CD 的中点， 所以MN//BD ，若直线MN 与平面ABC 所成的角为45°，则BD 与平面ABC 所成的角为45°，即∠OBD =45°， 在△OBD 中，由余弦定理可得：cos∠OBD =OB 2+BD 2−OD 22⋅OB⋅OD，即√22=22⋅√22⋅BD ，解得BD =1，当BD =1时，△BCD 是等边三角形，符合题意，即③正确；对于④：由等体积法可知，三棱锥M −ACN 体积等于三棱锥N −ACM 体积， 当面ADC ⊥面ABC 时，点N 到平面ACM 的距离最大， ℎmax =OD 2=√24， 所以S △ACM =12⋅AC ⋅OB 2=14，所以V N−ACM =13⋅ℎmax ⋅S △ACM =13⋅√24⋅14=√248，故④正确．故选：C ．①：利用线面垂直的判定定理和性质定理，证明AC ⊥BD ，即可判断①是否正确； ②反证法，假设AD ⊥BC ，可推出BC ⊥平面ABD ，进而得出BD ⊥平面ABC ，与实际矛盾；即可判断②是否正确；③反证法，假设直线MN与平面ABC所成的角为45°，结合余弦定理，求出BD=1，复合题意；即可判断是否正确；④等体积及转化，即可判断④是否正确；本题考查了空间中线线，线面的夹角问题，属于中档题．13.【答案】A>B【解析】解：∵购买2支玫瑰花所需费用为A元，购买3支康乃馨所需费用为B元，∴每支玫瑰的价格为A2元，每支康乃馨的价格为B3元，∴{2×A2+B3>84×A2+5×B3<22，即{A+B3>82A+5B3<22，∴16−2B3<2A<22−5B3，∴B<6，A>6，∴A>B．故答案为：A>B．由题可知玫瑰和康乃馨的单价，再列出关于A和B的不等式组，解之即可．本题考查不等式的实际应用，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．14.【答案】4x−2y−3=0【解析】解：圆C：x2+(y−1)2=4的圆心为C(0,1)，当∠ACB最小时，CP和AB垂直，∴AB直线的斜率等于−11−120−1=2，用点斜式写出直线l的方程为y−12=2(x−1)，即4x−2y−3=0，故答案为：4x−2y−3=0．利用当∠ACB最小时，CP和AB垂直，求出AB直线的斜率，用点斜式求得直线l的方程．本题考查用点斜式求直线方程的方法，两直线垂直，斜率之积等于−1.判断当∠ACB最小时，CP和AB垂直是解题的关键．15.【答案】[2π,4π]【解析】【分析】本题考查了正三棱锥与外接球，过球内一点作球的截面面积的取值范围问题，涉及余弦定理，属较难题．画出图形，利用正三棱锥性质及勾股定理建立方程求得外接球半径，进而求得E到球心O的距离，根据过球O内一点E的截面中，与OE垂直的截面面积最小，过球心的截面面积最大即可得解．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则BC=CD=BD=3，AB=AD=AC=2√3，则O1D=3sin60°×23=√3，AO1=√AD2−DO12=3，在Rt△OO1D中，R2=3+(3−R)2，解得R=2，∵BD=3BE，∴DE=2，在△DEO1中，O1E=√3+4−2×√3×2×cos30°=1，∴OE=√O1E2+OO12=√2，过点E作球O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为√22−(√2)2=√2，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π．故答案为[2π,4π]．16.【答案】(8,0)【解析】解：当直线AB ⊥轴时，x 轴平分∠NAB ，此时N 为x 轴正半轴上任一点， 当直线AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y =k(x −2)，(k ≠0)，N(t,0)，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， 联立{x 2+y 2=16y =k(x −2)，得(1+k 2)x 2−4k 2x +4k 2−16=0，则x 1+x 2=4k 21+k2，x 1x 2=4k 2−161+k 2，由题意得，k AN +k BN =0， 即k(x 1−2)x 1−t+k(x 2−2)x 2−t=0，整理得2x 1x 2−(t +2)(x 1+x 2)+4t =0， 即2(4k 2−16)1+k 2−4k 2(t+2)1+k 2+4t =0，解得t =8，即N(8,0)． 故答案为：(8,0)．由题意得，k AN +k BN =0，然后结合直线斜率公式，联立直线与圆方程，结合方程的根与系数关系代入即可求解．本题考查直线与圆的位置关系，考查运算求解能力，体现了分类讨论思想，属于中档题．17.【答案】解：(1)设直线l 的方程为y =kx −2．直线x −2y −1=0的斜率为12，所以k =−2． 直线l 的方程为y =−2x −2．(2)设圆C 的一般方程为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0． 由于△OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12|AB|； 由A(−1,0)，B(0,−2)得C(−12,−1)，|AB|=√5；故{ −D2=−12−E2=−112√D 2+E 2−4F =12√5，解得D =1，E =2，F =0． 圆C 的一般方程为：x 2+y 2+x +2y =0．【解析】(1)设直线l 的方程为y =kx −2，利用两直线垂直斜率相乘为−1来求出另一条直线的斜率即可；(2)由于△OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12|AB|．本题主要考察了直线方程与斜率的关系，以及圆的一般方程等基础知识，属基础题．18.【答案】解：(1)∵a1=S1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1=n2−(n−1)2=2n−1，n=1时上式成立，因此a n=2n−1，∴b1=a1=1，∵2b2，b4，3b3成等差数列，∴2b4=2b2+3b3，即2q3=2q+3q2，即2q2=2+3q，∵q>1，∴q=2．∴b n=2n−1．(2)由(1)得c n=a nb n =2n−12n−1，∴{c n}的前项和T n=1+32+522+⋯…+2n−12n−1，①∴12T n=12+322+523+⋯…+2n−32n−1+2n−12n，②①−②得：12T n=1+2(12+122+⋯…+12n−1)−2n−12n=1+2×12[1−(12)n−1]1−12−2n−12n，∴T n=6−2n+32n−1．【解析】(1)a1=S1=1，n≥2时，a n=S n−S n−1，即可得出a n.b1=a1=1，由2b2，b4，3b3成等差数列，可得2b4=2b2+3b3，即2q3=2q+3q2，q>1，解得q，即可得出b n．(2)由(1)得c n=a nb n =2n−12n−1，利用错位相减法即可得出T n．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.【答案】解：(Ⅰ)由已知及正弦定理得√3sinBsinA−sinAcosB−2sinA=0，因为sinA≠0，所以√3sinB−cosB−2=0，即sin(B−π6)=1，又B∈(0,π)，∴B−π6∈(−π6,5π6)，∴B−π6=π2，∴B=2π3．(Ⅱ)∵B=2π3．∴由已知S△ABC=12acsinB=12ac⋅√32=√32，∴ac=2，∵b=√7，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，即7=(a+c)2−2ac−2ac⋅(−12)，∴7=(a+c)2−ac，又a>0，c>0，∴a+c=3．【解析】(Ⅰ)由已知及正弦定理，两角差的正弦函数公式可得sin(B−π6)=1，结合B的范围可得B−π6∈(−π6,5π6)，即可解得B的值．(Ⅱ)由已知及三角形面积公式可得ac=2，由已知利用平方和公式，余弦定理即可解得a+c的值．本题主要考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，三角形面积公式，平方和公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．20.【答案】(本小题共12分)(Ⅰ)证明：连结AC，EF∵点E、F分别是边BC、PB的中点∴△PBC中，EF//PC，…(2分)又EF不包含于平面PAC，PC⊂平面PAC，…(3分)∴当点E是BC的中点时，EF//平面PAC.…(4分)(Ⅱ)解：∵PA⊥平面ABCD，且AC，AB，BC⊂面ABCD，∴PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，∴Rt△PAD中，PA=√3，AD=1，∴S△PAD=12×AD×PA=√32，…(6分)又四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，又AD和PA是面PAD上两相交直线，∴AB⊥平面PAD，又AD//BC，∴AB就是三棱锥E−PAD的高．…(7分)∴V E−PAD=13×S△PAD×AB=13×√32×√3=12.…(8分)(Ⅲ)证明：∵PA⊥AB，PA=AB=√3，点F是PB的中点，∴等腰△PAB中，AF⊥PB，…(9分)又PA⊥BC，AB⊥BC，且PA和AB是平面PAB上两相交直线，∴BC⊥平面PAB，又AF⊂平面PAB，∴AF⊥BC，…(10分)又PB和BC是平面PBC上两相交直线∴AF⊥面PBC，…(11分)又PE⊂平面PBC，∴AF⊥PE，∴无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF成立．…(12分)【解析】(Ⅰ)连结AC，EF，则EF//PC，由此能证明EF//平面PAC．(Ⅱ)由已知PA⊥AC，PA⊥AB，PA⊥BC，S△PAD=12×AD×PA=√32，AB就是三棱锥E−PAD的高．由此能求出三棱锥E−PAD的体积．(Ⅲ)由已知得等腰△PAB中，AF⊥PB，BC⊥平面PAB，从而AF⊥面PBC，由此能证明无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF成立．本题考查EF//平面PAC的证明，考查三棱锥E−PAD的体积的求法，考查无论点E在边BC的何处，都有PE⊥AF的证明，解题时要注意空间思维能力的培养．21.【答案】解：(1)证明：∵EF//BC且BC⊥AB，∴EF⊥AB，即EF⊥BE，EF⊥PE.又BE∩PE=E，∴EF⊥平面PBE，又EF⊂平面CBEF，平面CBEF⊥平面PBE．(2)设BE=x>0，PE=y>0，则x+y=4．∴S△PEB=12BE⋅PE⋅sin∠PEB=√34xy≤√34(x+y2)2=√3．当且仅当x=y=2时，S△PEB的面积最大，此时，BE=PE=2．由(1)知EF⊥平面PBE，平面EFCB⊥平面PBE．在平面PBE中，作PO⊥BE于O，则PO⊥平面EFCB.即PO为四棱锥P−EFCB的高．又PO =PE ⋅sin60°=2×√32=√3,S EFCB =12×(2+4)×2=6．∴V P−BCFE =13×6×√3=2√3，∵OE =PE ⋅cos60°=2×12=1，∴BO =1，在Rt △OBC 中，OC =√BO 2+BC 2=√1+42=√17． ∵PO ⊥平面EFCB ，∴∠PCO 就是PC 与平面EFCB 所成角． ∴tan∠PCO =PO OC=√3√17=√5117， 故直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值为√5117．【解析】(1)通过EF ⊥平面PBE 来证明平面CBEF ⊥平面PBE ；(2)BE =x ，PE =y ，则S △PEB =√34xy ，借助基本不等式可以求出S △PEB 的最大值，进而确定E 点的位置，作PO ⊥BE 于O ，则PO 为四棱锥P −EFCB 的高，所以∠PCO 就是PC 与平面EFCB 所成角，从而求出四棱锥P −EFCB 的体积和直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值．本题考查面面垂直的证明，考查线面角的求法，考查基本不等式在求最值中的应用，考查直观想象和逻辑推理的核心素养，属于中档题．22.【答案】解：(1)①若直线l 1的斜率不存在，即直线x =1，符合题意．②若直线l 1斜率存在，设直线l 1为y =k(x −1)，即kx −y −k =0． 由题意知，圆心(3,4)到已知直线l 1的距离等于半径2， 即 √k 2+1=2解之得k =34．所求直线方程是x =1，3x −4y −3=0．(2)直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，可设直线方程为kx −y −k =0 由{x +2y +2=0kx −y −k =0得N(2k−22k+1,−3k 2k+1)； 又直线CM 与l 1垂直，{y =kx −k y −4=−1k (x −3)得M(k 2+4k+31+k 2,4k 2+2k1+k 2)．∴AM ⋅AN =2 |2k+1|1+k 2√1+k 2⋅3√1+k 2|2k+1|=6为定值．【解析】(1)由直线l 1与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，求得直线方程，注意分类讨论；(2)分别联立相应方程，求得M，N的坐标，再求AM⋅AN．本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题(解析版)
2019-2020学年福建省莆田第一中学高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．若圆()()221:221C x y ++-=，()()222:2516C x y -+-=，则1C 和2C 的位置关系是（ ） A ．外离 B ．相交C ．内切D ．外切【答案】D【解析】求出两圆的圆心距12C C ，比较12C C 与两圆半径和与差的绝对值的大小，进行可判断出两圆的位置关系. 【详解】可知，圆1C 的圆心为()12,2C -，半径为11r =，圆2C 的圆心()22,5C ，半径为24r =，12125C C r r ===+，因此，圆1C 与圆2C 外切. 故选：D. 【点睛】本题考查两圆位置关系的判断，考查推理能力，属于基础题.2．设,a b 是不同的直线，,αβ是不同的平面，则下列四个命题中正确的是（ ） A ．若,a b a α⊥⊥，则//b α B ．若//,a ααβ⊥，则a β⊥ C ．若,aβαβ，则//a αD ．若,,ab a b αβ，则αβ⊥【答案】D【解析】由空间中直线、平面的位置关系逐一判断即可得解. 【详解】由a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，知： 在A 中，若a b ⊥，a α⊥，则//b α或b α⊂，故A 错误； 在B 中，若//a α，βα⊥，则a 也可能在β内，故B 错误； 在C 中，若a β⊥，αβ⊥，则//a α或a α⊂，故C 错误；在D 中，若a b ⊥，a α⊥，b β⊥，则βα⊥成立，故D 正确； 故选：D ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力，属基础题．3．已知两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥，则a =（ ） A ．3- B ．13-C ．13D ．3【答案】A【解析】先建立方程3110a ⨯+⨯=，再求解a 即可. 【详解】解：因为两条直线1:10l x y +-=，2:320l x ay ++=且12l l ⊥， 所以3110a ⨯+⨯=，解得3a =-， 故选：A. 【点睛】本题考查利用两条直线垂直求参数，是基础题.4．若函数()y f x =的图象与函数32y x =-的图象关于坐标原点对称，则()y f x =的表达式为（ ） A ．23y x =-- B ．23y x =+C ．23y x =-+D ．23y x =-【答案】A【解析】先假设函数()f x 上的点(,)x y ，由(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上代入，即可求解.【详解】设(,)x y 为函数()f x 上的点，则(,)x y 关于原点对称的点为(,)x y --在函数32y x =-上，可得32()y x -=-⨯-，整理得23y x =--， 即函数()y f x =的表达式为23y x =--. 故选：A. 【点睛】本题主要考查根据函数的对称性求函数的解析式问题，其中解答中设函数()f x 上的点，根据对称性找出关系式解答的关键，着重考查推理与运算能力.5．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，37a =，420S =，则10a =（ ） A ．25 B ．32C ．35D ．40【答案】C【解析】利用已知条件求得1,a d ，由此求得10a . 【详解】依题意3141727204620a a d S a d =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩，解得11,4a d =-=，所以101935a a d =+=.故选：C 【点睛】本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.6．已知ABC ∆的三边长为,,a b c ，满足直线20ax by c ++=与圆224x y +=相离，则ABC ∆是（ ） A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．以上情况都有可能 【答案】C【解析】圆心到直线的距离2222c d a b=>+,所以222c a b >+，在ABC ∆中，222cos 02a b c C ab+-=<，所以C ∠为钝角．ABC ∆为钝角三角形．选C7．如图：正三棱锥A BCD -中，40BAD ∠=︒，侧棱2AB =，BD 平行于过点C 的截面α，则平面α与正三棱锥侧面交线的周长的最小值为（ ）A ．2B ．23C ．4D ．3【答案】B【解析】沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内，则CC '即为截面α周长的最小值，利用余弦定理代入求解即可. 【详解】如图所示：沿着侧棱AC 把正三棱锥A BCD -展开在一个平面内， 则CC '即为截面α周长的最小值， 且340120CAC '∠=⨯︒=︒， 在ACC '△中，由余弦定理得：()()222cos120CC AC AC AC AC '''=+-⋅︒，2222222cos12023CC '=+-⨯⨯︒=.故选：B. 【点睛】本题主要考查了利用三棱锥的侧面展开图求解最值问题以及余弦定理.属于较易题. 8．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明、现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF AB ⊥，设AC a =，BC b =，则该图形可以完成的无字证明为（ ）A ．(0)2a bab a b +>> B ．222(0)a b ab a b +>>C ．2(0)ab ab a b a b>>+D ．220)22a b a b a b ++>> 【答案】D【解析】由图形可知11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-，在直角OCF △中，由勾股定理可求CF ，结合CF OF ≥即可得出．【详解】由图形可知：11()22OF AB a b ==+，11()()22OC a b b a b =+-=-， 在直角OCF △中，由勾股定理可得：CF = CF OF ≥，∴1()2a b +，(,0)a b >． 故选：D 【点睛】本题考查的是由几何图形来证明不等式，考查了数形结合的思想，属于中档题. 9．已知A(－3, 0)，B(0, 4)，M 是圆C : x 2+y 2－4x =0上一个动点，则△MAB 的面积的最小值为（ ） A ．4 B ．5 C ．10 D ．15【答案】B 【解析】【详解】由2240x x y -+=，得22(2)4x y -+=， ∴圆的圆心(2,0)，半径为2，直线AB 的方程为4x-3y+12=0，|AB|=5， ∴圆心到直线AB 的距离为81245+=，点M 到直线AB 距离的最小值为2， ∴△MAB 的面积的最小值为12×5×2=5， 故选：B ．10．如图所示，隔河可以看到对岸两目标A ，B ，但不能到达，现在岸边取相距4km 的C ，D 两点，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A，B ，C ，D 在同一平面内)，则两目标A ，B 间的距离为( )km.A 85B ．153C ．153D ．5【答案】B【解析】由已知可求30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理可求AD 的值，在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理可求BD 的值，进而由余弦定理可求AB 的值． 【详解】由已知，ACD ∆中，30CAD ∠=︒，120ACD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD ADCAD ACD =∠∠，所以·sin 4?sin12043sin sin30CD ACD AD CAD ∠︒===∠︒在BCD ∆中，60CBD ∠=︒，由正弦定理，sin sin CD BDCBD BCD =∠∠，所以·sin 4sin4546sin sin603CD BCD BD CBD ∠︒===∠︒， 在ABD ∆中，由余弦定理，222802?·3AB AD BD AD BD ADB =+-∠=，解得：415AB =所以A 与B 的距离4153AB =故选B 【点睛】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了数形结合思想和转化思想，属于中档题．11．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．平面PAB ⊥平面PBCB ．异面直线AD 与PB 所成的角为60︒C ．二面角P BC A --的大小为60︒D ．在棱AD 上存在点M 使得AD ⊥平面PMB【答案】D【解析】根据线面垂直，异面直线所成角的大小以及二面角的求解方法分别进行判断即可． 【详解】解：对于D ，取AD 的中点M ，连PM ，BM ，侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是60DAB ∠=︒的菱形，∴三角形ABD 是等边三角形，AD BM ∴⊥， PMBM M =，PM ⊂平面PBM ，BM ⊂平面PBMAD ∴⊥平面PBM ，故D 正确，对于B ，AD ⊥平面PBM ，AD PB ∴⊥，即异面直线AD 与PB 所成的角为90︒，故B 错误，对于C ，底面ABCD 为菱形，60DAB ∠=︒，平面PAD ⊥平面ABCD ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，BC PB ∴⊥，BC BM ⊥，”则PBM ∠是二面角P BC A --的平面角， 设1AB =，则3BM =3PM =，在直角三角形PBM 中，tan 1PMPBM BM∠==， 即45PBM ∠=︒，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 错误， 对于A ，AD ⊥平面PBM ，//AD BC ，所以BC ⊥平面PBM ，BC ⊂平面PBC ，所以面PBC ⊥平面PBM ，显然平面PAB 与平面PBC 不垂直，故A 错误； 故选：D ．【点睛】本题主要考查空间直线和平面位置关系以及二面角的求解，根据相应的判断和证明方法是解决本题的关键．综合性较强，属于中档题．12．如图，M ､N 分别是边长为1的正方形ABCD 的边BC ､CD 的中点，将正方形沿对角线AC 折起，使点D 不在平面ABC 内，则在翻折过程中，有以下结论：①异面直线AC 与BD 所成的角为定值． ②存在某个位置，使得直线AD 与直线BC 垂直．③存在某个位置，使得直线MN 与平面ABC 所成的角为45°． ④三棱锥M ACN -2． 以上所有正确结论的有( )个． A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】证得AC BD ⊥，由此判断①正确；证得90ADB ∠≠︒，由此判断②错误；当平面ACD 与平面ABC 垂直时，求得直线MN 与平面ABC 所成的角、三棱锥M ACN -体积的最大值，由此判断③④的正确性.【详解】 设ACBD O =，①，折叠前，根据正方形的性质可知,AC OD AC OB ⊥⊥，折叠过程中,AC OD AC OB ⊥⊥成立，而OD OB O ⋂=，所以AC ⊥平面BOD ，所以AC BD ⊥，所以异面直线AC 与BD 所成角为定值90︒，所以①正确.②，折叠前，AD CD ⊥，折叠过程中AD CD ⊥成立，假设AD BC ⊥，而CD BC C ⋂=，所以AD ⊥平面BCD ，所以AD BD ⊥.折叠过程中，在三角形ABD 中，1AB AD ==，所以90ADB ∠≠︒，这与AD BD ⊥矛盾，故假设不成立，所以②错误. ③，在折叠过程中，当平面ACD ⊥平面ABC 时，由于平面ACD平面ABC AC =，AC OD ⊥，根据面面垂直的性质定理可知OD ⊥平面ABC ，所以DBO ∠是直线BD与平面ABC 所成的角，且OD OB ⊥.在Rt BOD 中122OB OD BD ===，所以三角形BOD 是等腰直角三角形，所以45DBO ∠=︒.由于,M N 分别是,BC CD 的中点，所以MN 是三角形BCD 的中位线，所以//MN BD ，所以直线MN 与平面ABC 所成的角和直线BD 与平面ABC 所成的角相等.所以③正确.④，在折叠过程中，三棱锥M ACN -中，三角形ACN 的面积为定值，即1124ACNSCN AD =⨯⨯=.所以当M 到平面ACD 的距离最大时，三棱锥M ACN -的体积取得最大值.当平面ACD ⊥平面ABC 时，M 到平面ACD 的距离最大.此时，过M 作ME AC ⊥交AC 于E ，根据面面垂直的性质定理可知ME ⊥平面ACD .由于45ACB ∠=︒，所以CEM 是等腰直角三角形，所以21222224ME MC =⨯=⨯=. 所以三棱锥M ACN -的体积的最大值为11122334448ACNS ME ⨯⨯=⨯⨯=.所以④正确.综上所述，正确的结论有3个. 故选：C【点睛】本小题主要考查异面直线所成的角、线面角、面面垂直的性质定理，几何体体积的求法，属于中档题.二、填空题13．某学习小组，调查鲜花市场价格得知，购买2支玫瑰与1支康乃馨所需费用之和大于8元，而购买4支玫瑰与5支康乃馨所需费用之和小于22元.设购买2支玫瑰花所需费用为A 元，购买3支康乃馨所需费用为B 元，则A 、B 的大小关系是______________ 【答案】A >B【解析】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元，则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质，联立即可得解. 【详解】设每支支玫瑰x 元，每支康乃馨y 元， 则2,3x A y B ==，由题意可得：284522x y x y +>⎧⎨+<⎩，代入可得：8352223B A B A ⎧+>⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，根据不等式性质可得：6B <， 而83BA >-，可得6A >, 故A B >， 故答案为：A B >. 【点睛】本题考查了利用不等式解决实际问题，考查了不等式性质，同时考查了转化思想和计算能力，属于中档题.14．已知圆的方程为()2214x y +-=，若过点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭的直线l 与此圆交于,A B 两点，圆心为C ，则当ACB ∠最小时，直线l 的一般方程为______________. 【答案】4230--=x y【解析】根据圆的方程得到圆心()0,1C ，半径为2r ，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，以及题中条件，得到点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，进而可求出所求直线的斜率，从而可得直线方程.【详解】由圆的方程()2214x y +-=可得圆心为()0,1C ，半径为2r，取AB 中点为D ，连接CD ，根据圆的性质，CD AB ⊥，且2ACB ACD ∠=∠， 为使ACB ∠最小，只需ACD ∠最小， 又sin 2AD AD ACD CA ∠==，222AD CD r +=，所以当AD 最小时，ACD ∠最小，此时CD 最大；因为,C P 为两定点，且sin CD CP CPD =∠，所以当点D 与点11,2P ⎛⎫⎪⎝⎭重合时，CD 最大，此时CP AB ⊥，因为1AB CP k k ⋅=-，即112101AB k -⋅=--，所以2AB k =，因此直线l 的方程为：()1212y x -=-，即4230--=x y .故答案为：4230--=x y . 【点睛】本题主要考查求圆的弦所在直线方程，解题的关键在于将问题转化为弦长最短，属于常考题型.15．已知球O 是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A-BCD 的外接球，BC=3，23AB =E 在线段BD 上，且BD=3BE ，过点E 作圆O 的截面，则所得截面圆面积的取值范围是__.【答案】[2,4]ππ【解析】设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ，连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，可得R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2，过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小，当截面过球心时，截面面积最大，即可求解． 【详解】如图，设△BDC 的中心为O 1，球O 的半径为R ， 连接oO 1D ，OD ，O 1E ，OE ，则0123sin 6033O D =⨯=AO 1221 3.AD DO =-=在Rt △OO 1D 中，R 2＝3+（3﹣R ）2，解得R ＝2， ∵BD ＝3BE ，∴DE ＝2在△DEO 1中，O 1E 034232cos300.=+-⨯⨯⨯= ∴22112OE O E OO =+=过点E 作圆O 的截面，当截面与OE 垂直时，截面的面积最小， ()22222.-=，最小面积为2π．当截面过球心时，截面面积最大，最大面积为4π． 故答案为[2π，4π] 【点睛】本题考查了球与三棱锥的组合体，考查了空间想象能力，转化思想，解题关键是要确定何时取最值，属于中档题．16．圆C ：x 2＋y 2＝16，过点M (2，0)的直线与圆C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，在x 轴正半轴上存在定点N ，使得x 轴平分∠ANB ，求出点N 的坐标__________. 【答案】(8，0)【解析】先考虑直线AB 斜率不存在情况，然后考虑直线AB 的斜率存在时，设出直线AB 的方程，联立直线与圆的方程，结合方程的根与系数关系，由x 轴平分∠ANB ，可得AN BN k k =-，结合斜率公式代入可求. 【详解】当直线AB ⊥x 轴时，x 轴平分∠ANB ，当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为(2)y k x =-， 假设(,0)(0)N t t >符合题意，又设()()1122,,,A x y B x y ， 由将直线代入圆得()2222144160k x k x k +-+-=，所以 212241k x x k +=+，21221164k x x k -⋅=+若x 轴平分∠ANB ，则AN BN k k =-12120y y x t x t ∴+=-- ，则()()1212220k x k x x t x t--+=--，整理得()12122(2)40x x t x x t -+++=，()2222244(2)416110k kt t k k +-+=++-，解得8t = 所以点N 的坐标为（8，0）. 【点睛】本题考查直线与圆的相交问题，属于中档题.三、解答题17．已知直线l 在y 轴上的截距为2-，且垂直于直线210x y --=． （1）求直线l 的方程；（2）设直线l 与两坐标轴分别交于A 、B 两点，OAB 内接于圆C ，求圆C 的一般方程．【答案】（1）22y x =--；（2）2220x y x y +++=【解析】（1）由垂直关系得直线斜率，从而可得直线的斜截式方程；（2）设出圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=．求出,A B 两点坐标，AB 中点是圆心，AB 是圆的直径由此可求得,,D E F ． 【详解】解：（1）设直线l 的方程为2y kx =-． ∵直线210x y --=的斜率为12，所以直线l 的斜率2k =-． 则直线l 的方程为22y x =--．（2）设圆C 的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=． 由于OAB 是直角三角形，所以圆C 的圆心C 是线段AB 的中点，半径为12AB ； 由(1,0)A -，(0,2)B -得1,12C ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，AB =；故12212DE⎧-=-⎪⎪⎪-=-⎨⎪=，解得1D =，2E =，0F =．则圆C 的一般方程为：2220x y x y +++=． 【点睛】本题考查两直线位置关系，考查求圆的一般方程．求圆的方程可以先确定圆心坐标和半径，利用一般方程与圆心坐标、半径的关系确定方程中的系数．18．已知在数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，且2()n S n n N *=∈，数列{}n b 为等比数列，公比1q >，11b a =，且22b ，4b ，33b 成等差数列． （1）求{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）令nn na cb =，求{}n c 的前项和n T ． 【答案】（1）()*21n a n n =-∈N，()1*2n nbn -=∈N ；（2）12362n n n T -+=-. 【解析】（1）根据n S 与n a 的关系可求n a ，利用等比中项以及等比数列的通项公式即可求解.（2）利用错位相减法即可求解. 【详解】（1）∵111a S ==，221(1)n n S S n n --=--，∴()*212,n a n n n =-≥∈N ，当1n =时，满足上式，()*21n a n n =-∈N234232b b b +=，23232q q q +=，由于1q >，∴2q，∴()1*2n n b n -=∈N（2）由（1）得1212n n n c --=，0121135212222n n n T --=++++，① ∴123111352321222222n n n n n T ---=+++++，② ①-②得1211222212313222222n n n nn n T --+=++++-=-， ∴12362n n n T -+=-. 【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的通项公式、错位相减法求和，考查了考生的计算能力，属于基础题.19．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ，B ，C 的对边，且sin cos 20A a B a --=.（Ⅰ）求B 的大小；（Ⅱ）若b =ABC ∆a c +的值． 【答案】(1) 23B π=;(2) 3a c +=.【解析】试题分析：（1）sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，sin 16B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以23B π=；（2）根据面积公式和余弦定理，得()27a c ac =+-，所以3a c +=. 试题解析：（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin sin cos 2sin 0B A A B A --=，因为sin 0A ≠ cos 20B B --=，即sin 1,6B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭又()50,,,666B B ππππ⎛⎫∈∴-∈- ⎪⎝⎭，62B ππ∴-=，所以23B π=. （Ⅱ）由已知1133sin ,22222ABC S ac B ac ac ∆==⋅=∴=， 由余弦定理得 2222cos b a c ac B =+-，即()217222a c ac ac ⎛⎫=+--⋅- ⎪⎝⎭， 即()27a c ac =+-，又0,0a c >>所以3a c +=.20．如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为矩形，PA =AB =3，AD =1，点F 是PB 的中点，点E 在边BC 上移动．（1）当点E 为BC 的中点时，证明EF //平面PAC ； （2）证明：无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF ． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】（1）通过证明//EF PC 来证得//EF 平面PAC ；（2）通过证明,AF PB AF BC ⊥⊥来证得AF ⊥平面PBC ，由此证得PE AF ⊥，从而证得结论成立. 【详解】（1）连结AC ，EF ， ∵点E 、F 分别是边BC 、PB 的中点∴PBC 中，//EF PC 又EF ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ， ∴当点E 是BC 的中点时，EF //平面P AC .（2）∵PA AB ⊥，P A =AB 3F 是PB 的中点 ∴等腰PAB △中，⊥AF PB ，又P A ⊥平面ABCD ，所以PA BC ⊥，AB BC ⊥且P A 和AB 是平面P AB 上两相交直线. ∴BC ⊥平面P AB . 又AF ⊂平面PAB . ∴AF BC ⊥.又PB 和BC 是平面PBC 上两相交直线.∴AF PBC ⊥面. 又PE ⊂平面PBC ， ∴PE AF ⊥，∴无论点E 在边BC 的何处，都有PE ⊥AF 成立．【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查线线垂直的证明，属于中档题.21．如图，在Rt ABC 中，4AB BC ==，点E 在线段AB 上，过点E 作//EF BC 交AC 于点F ，将AEF 沿EF 折起到PEF 的位置（点A 与P 重合），使得060PEB ∠=．（1）求证：平面CBEF ⊥平面PBE ；（2）试问：当点E 在何处时，四棱锥P EFCB -的侧面PEB 的面积最大？并求此时四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值． 【答案】（1）证明见解析；（2）E 为AB 的中点，2351. 【解析】（1）在三角形ABC 中，由//EF BC 且BC AB ⊥，得EF AB ⊥，进而证明EF ⊥平面PBE ，从而证得；（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=，则3PEB S xy =△，由基本不等式确定当PEB △为等边三角形时，侧面的面积最大，作PO BE ⊥于O ，根据已知条件确定PO ⊥平面EFCB 时，从而得到PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角，通过计算可得四棱锥P EFCB -的体积及直线PC 与平面EFCB 所成角的正切值. 【详解】（1）证明：∵//EF BC 且BC AB ⊥，∴EF AB ⊥，即,EF BE EF PE ⊥⊥．又BE PE E ⋂=，∴EF ⊥平面PBE ，又EF ⊂平面CBEF ，平面CBEF ⊥平面PBE ，（2）设,BE x PE y ==，则4x y +=．∴2133sin ()322PEB x y S BE PE PEB xy +=⋅⋅∠=≤=△ 当且仅当2x y ==时，PEB S △的面积最大，此时，2BE PE ==，此时E 为AB 的中点，由（1）知EF ⊥平面PBE ，平面EFCB ⊥平面PBE ．在平面PBE 中，作PO BE ⊥于O ，则PO ⊥平面EFCB ．即PO 为四棱锥P EFCB -的高．又031sin 6023,(24)262EFCB PO PE S =⋅===⨯+⨯=． ∴163233P BCFE V -=⨯= ∵01cos60212OE PE =⋅=⨯=，∴1BO =，在Rt OBC 中，2221417OC BO BC =++=PO ⊥平面EFCB ，∴PCO ∠就是PC 与平面EFCB 所成角．∴351tan 17PO PCO OC ∠===故直线PC 与平面EFCB所成角的正切值为17. 【点睛】本题考查空间中的垂直关系，直线与平面所成角的计算，棱锥的体积计算，基本不等式的应用，考查了学生的逻辑推理与直观想象能力.22．已知圆C ：22:(3)(4)4C x y -+-=，直线1l 过定点(1,0)A . （1）若1l 与圆相切，求1l 的方程；（2）若1l 与圆相交于,P Q 两点，线段PQ 的中点为M ，又1l 与2:220l x y ++=的交点为N ，判断•AM AN 是否为定值.若是，求出定值；若不是，请说明理由. 【答案】（1）1x =，3430x y --=;（2）AM AN ⋅是定值，且为6． 【解析】【详解】（1）①若直线1l 的斜率不存在，即直线是1x =，符合题意②若直线1l 斜率存在，设直线1l 为(1)y k x =-，即kx y k 0--=． 由题意知，圆心（3，4）到已知直线1l 的距离等于半径22=，解之得34k =．所求直线方程是1x =，3430x y --=． （2）直线与圆相交，斜率必定存在， 且不为0,可设直线方程为kx y k 0--=由220{0x y kx y k ++=--=得223(,)2121k k N k k --++． 又直线CM 与1l 垂直，由{14(3)y kx ky x k=--=--得22224342(,)11k k k kM k k+++++AM AN ⋅=6==为定值． 故AM AN ⋅是定值，且为6．。
【精选3份合集】福建省莆田市2019-2020学年高一数学下学期期末考试试题
2019-2020学年高一下学期期末数学模拟试卷一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{1,2,3,4,5},{1,2,5}U A ==，则U C A =（ ） A ．{1,5}B ．{3,4}C ．{3,5}D ．{1,2,3,4,5}2．过点()1,2A 且与原点距离最大的直线方程是（ ） A ．250x y +-= B ．230x y -+= C ．30x y ++=D ．10x y -+=3．在ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆的面为S ，且()2243S a b c =+-，则sin 4C π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．1B ．22C ．62- D ．62+ 4．已知等比数列{}n a 中，141,8a a =-=，该数列的公比为 A ．2B ．-2C ．2±D ．35．已知函数()sin()(,0)f x x x R ωϕω=+∈>相邻两个零点之间的距离为2π，将()y =f x 的图象向右平移8π个单位长度，所得的函数图象关于y 轴对称，则ϕ的一个值可能是（ ） A ．π B ．2π C ．4π D ．4π-6．在等差数列中，若，则（ ）A ．6B ．7C ．8D ．97．我国古代著名的《周髀算经》中提到：凡八节二十四气，气损益九寸九分六分分之一；冬至晷()gu ǐ长一丈三尺五寸，夏至晷长一尺六寸.意思是：一年有二十四个节气，每相邻两个节气之间的日影长度差为1996分；且“冬至”时日影长度最大，为1350分；“夏至”时日影长度最小，为160分.则“立春”时日影长度为( )A ．19533分B ．110522分 C ．211513分 D ．512506分 8．已知{}n a 是等差数列，1010a =，其前10项和1070S =，则其公差d = A ．23-B ．13-C ．13D ．239．为了得到函数sin 26y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象，可以将函数cos 2y x =的图象（ ） A ．向右平移6π个单位长度 B ．向右平移3π个单位长度 C ．向左平移6π个单位长度 D ．向左平移3π个单位长度10．已知角α的终边经过点()8,6P -，则sin cos αα-的值是（ ） A ．15B ．15-C ．75D ．75-11．棉花的纤维长度是棉花质量的重要指标．在一批棉花中抽测了60根棉花的纤维长度（单位：mm ），将样本数据作成如下的频率分布直方图：下列关于这批棉花质量状况的分析，不合理的是（ ）A ．这批棉花的纤维长度不是特别均匀B ．有一部分棉花的纤维长度比较短C ．有超过一半的棉花纤维长度能达到300mm 以上D ．这批棉花有可能混进了一些次品12．要得到函数y ＝cos 23x π⎛⎫+⎪⎝⎭的图象，只需将函数y ＝cos2x 的图象( ) A ．向左平移3π个单位长度 B ．向左平移6π个单位长度 C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度二、填空题：本题共4小题13．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2,4PA AB AC ===，三棱锥P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为__________. 14．经过点()0,5，且在两坐标轴上的截距之和为2的直线的一般式方程为________. 15．当2a =，5b =时，执行完如图所示的一段程序后，x =______.16．已知数列{}n a 为等差数列，754a a -=，1121a =，若9k S =，则k =________. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期末考试数学试题【含答案】
2022-2023学年福建省莆田市高一下学期期末考试数学试题一、单选题1．设复数11i z i-=+，那么在复平面内复数1z -对应的点位于（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C【解析】先求出z i =-，11z i -=--，即得解.【详解】由题得21(1)21(1)(1)2i i i z i i i i ---====-++-，所以11z i -=--，它对应的点的坐标为(1,1)--，所以在复平面内复数1z -对应的点位于第三象限.故选：C2．给定一组数据：2.1，3.0，3.2，3.4，3.8，4.0，4.2，4.4，5.3，5.6，则这组数据的第25百分位数是（）A ．3.0B ．3.2C ．4.4D ．5.3【答案】B【分析】由百分位数的定义计算．【详解】这组数据从小到大排列，共10个，由10×25%＝2.5，则这组数据的第25百分位数是数据中的第三个数据3.2，故选：B ．3．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，其中2O A ''=，45B A O '''∠= ,//B C O A ''''.则原平面图形的面积为（）A ．32B ．62C ．322D ．34【答案】A 【解析】作出原平面图形，然后求出面积即可．【详解】45B A O '''∠= B O A '''=∠，则O A B '''△是等腰直角三角形，∴2A B OB '''==，又O C C B ''''⊥，45C O B '''∠=︒，∴1B C ''=，在直角坐标系中作出原图形为：梯形OABC ，//OA BC ，2,1OA BC ==，高22OB =，∴其面积为1(21)22322S =+⨯=．故选：A【点睛】方法点睛：本题考查斜二测法画平面图形直观图，求原图形的面积，可能通过还原出原平面图形求得面积，也可以通过直观图到原图形面积的关系求解：直观图面积为S '，原图形面积为S ，则24S S '=．4．如图所示，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N 为其所在棱的中点，则异面直线AB 与MN 所成角的大小为（）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°【答案】C 【解析】由MN 与正方体的面对角线平行，可得异面直线所成的角，此角是正三角形的内角，由此可得．【详解】作如图所示的辅助线，由于M ，N 为其所在棱的中点，所以//MN PQ ，又因为//AC PQ ，所以//AC MN ，所以CAB ∠即为异面直线AB 与MN 所成的角（或补角），易得AB AC BC ==，所以60CAB ∠=︒.故选：C ．5．若()()3a b c b c a bc +++-=，且sin 2sin cos A B C =，那么ABC 是（）A ．直角三角形B ．等边三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形【答案】B 【分析】由给定边的关系式结合余弦定理求出角A ，再由正弦定理角化边，结合边的关系式可得c=b 即可推理作答.【详解】由()()3a b c b c a bc +++-=，得22()3b c a bc +-=，化简得222b c a bc +-=，所以，由余弦定理得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===，因为()0,πA ∈，所以π3A =，因为sin 2sin cos ABC =，所以，由正余弦定理角化边得22222a b c a b ab+-=⋅，化简得22b c =，所以b c =，即ABC 为等边三角形．故选：B6．如图，在下列四个正方体中，A ，B 为正方体的两个顶点，M ，N ，Q 为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB 与平面MNQ 不平行的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】利用线面平行判定定理可知B，C，D均不满足题意，A选项可证明出直线AB与平面MNQ 不平行，从而可得答案.【详解】对于选项B，如图1，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQÌ平面MNQ，所以AB//平面MNQ，B选项不满足题意；对于选项C，如图2，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//MQ，由于AB//CD，所以AB//MQ，因为AB⊄平面MNQ，MQÌ平面MNQ，所以AB//平面MNQ，C选项不满足题意；对于选项D，如图3，连接CD，因为M，N，Q为所在棱的中点，所以CD//NQ，由于AB//CD，所以AB//NQ，因为AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，所以AB//平面MNQ，可知D不满足题意；如图4，取BC的中点D，连接QD，因为Q是AC的中点，所以QD//AB，由于QD与平面MNQ相交，故AB与平面MNQ不平行，A正确.故选：A7．如图，一竖立在地面上的圆锥形物体的母线长为4，一只小虫从圆锥的底面圆上的点P出发，绕圆锥爬行一周后回到点P处，若该小虫爬行的最短路程为43，则这个圆锥的体积为（）.A ．153B ．323527πC ．128281πD ．833【答案】C【分析】作出该圆锥的侧面展开图，该小虫爬行的最短路程为1PP ，由余弦定理求出12π3POP ∠=．求出底面圆的半径r ，从而求出这个圆锥的高，由此能求出这个圆锥的体积．【详解】作出该圆锥的侧面展开图，如图所示：该小虫爬行的最短路程为1PP ，由余弦定理可得22211111cos 22OP OP PP POP OP OP +-∠==-⋅⋅，12π3POP ∴∠=．设底面圆的半径为r ，则有2π2π43r =⨯，解得43r =．∴这个圆锥的高为h =16821693-=，这个圆锥的体积为211116821282πππ3339381V Sh r h ==⨯⨯=⨯⨯=．故选：C ．8．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥底面ABCD ，12AA AB =，M ､N 分别是棱1BB ､1DD 上的动点，且1DN B M =，则下列结论中正确的是（）A ．直线1AC 与直线MN 可能异面B ．三棱锥11AC MN -的体积保持不变C ．直线AC 与直线MN 所成角的大小与点M 的位置有关D ．直线AD 与直线MN 所成角的最大值为π3【答案】B【分析】A 选项，证明出四边形1CNA M 为平行四边形，得到直线1AC 与直线MN 一定相交；B 选项，作出辅助线，将三棱柱11A C MN -体积分为两部分，证明出体积为定值；C 选项，证明出线面垂直，得到线线垂直，确定直线AC 与直线MN 所成角的大小与点M 的位置无关；D 选项，作出辅助线，得到tan HM HNM NH ∠=，其中NH 为定值，求出HM 最大值为5a ，得到直线AD 与直线MN 所成角的最大值不为π3.【详解】连接NC ，MC ，因为四棱柱1111ABCD A B C D -中，1DN B M =，底面ABCD 为正方形，1AA ⊥底面ABCD显然四边形1CNA M 为平行四边形，所以直线1AC 与直线MN 一定相交，A 错误；连接11,NC MC ，取11AC 的中点O ，连接NO ，MO ，因为11NC NA =，11MC MA =，由三线合一可知：11NO AC ⊥，11MO AC ⊥，因为MO NO O ⋂=，所以11A C ⊥平面MON ，1DN B M =，设四边形11DBB D 的面积为S ，则14MON S S = 为定值，故11111113A C MN A OMN C OMN V V V S A C ---=+=⋅为定值，三棱锥11A C MN -的体积保持不变，B 正确；连接BD ，11B D ，因为四边形ABCD 为正方形，所以AC ⊥BD ，又1DD ⊥底面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1DD AC ⊥，因为1BD DD D = ，所以AC ⊥11DBB D ，因为MN ⊂平面11DBB D ，所以AC ⊥MN ，直线AC 与直线MN 所成角的大小与点M 的位置无关，C 错误；过点N 作NH ∥AD 交1AA 于点H ，连接HM ，则HNM ∠为直线AD 与直线MN 的夹角，且90NHM ∠=︒，其中tan HM HNM NH∠=，其中NH 为定值，故要想直线AD 与直线MN 所成角的最大，只需HM 最大，设正方形边长为a ，则HN =a ，显然当N 与点1D 重合，M 与B 重合时，HM 最大，最大值为()2225a a a +=，此时tan 5HM HNM NH∠==，故D 错误.故选：B二、多选题9．(多选题)下列结论正确的是（）A ．直线a ∥平面α，直线b ⊂α，则a ∥bB ．若a ⊂α，b ⊄α，则a ，b 无公共点C ．若a ⊄α，则a ∥α或a 与α相交D ．若a ∩α＝A ，则a ⊄α【答案】CD【分析】根据线面关系，逐项分析判断即可得解.【详解】对A ，a 和b 可以异面，故A 错误；对B ，b ⊄α则b 和α可以相交，故b 和a 可以相交，故B 错误；对C ，直线在面外则直线和面相交或平行，故C 正确；对D ，若a ∩α＝A 说明直线和面只有一个交点，故D 正确.故选：CD10．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，下列命题中正确的有（）A ．若cos cos cos abcA B C ==，则△ABC 一定是等边三角形B ．若22tan tan a B b A =，则△ABC 一定是等腰三角形C ．A B >是sin sin A B >成立的充要条件D ．若2220a b c +->，则△ABC 一定是锐角三角形【答案】AC【分析】根据正选定理和余弦定理在三角形中的应用对四个选项进行判断即可.【详解】根据正弦定理可知，sin sin sin cos cos cos cos cos cos a b c A B CA B C A B C==⇒==，即tan tan tan A B C ==，所以在三角形中A B C ==，△ABC 一定是等边三角形，A 正确；2222sin sin tan tan sin sin sin 2sin 2cos cos B A a B b A A B A B B A=⇒⋅=⋅⇒=，故222π ,Z A B k k =+∈或2π22π ,Z A B k k =-+∈，在三角形中(),,0,πA B A B +∈故22A B A B =⇒=，或π2π22A B A B =-⇒+=，故三角形是等腰三角形或者直角三角形，B 错误；三角形中A B >等价于a b >，根据正弦定理可知sin sin a b A B >⇒>，充分性成立，sin sin A B >根据正弦定理可知sin sin A B a b >⇒>，故A B >，必要性成立，故C 正确；2222220cos 02a b c a b c C ab+-+->⇒=>，可得角C 为锐角，但不可证明A 、B 两角大小，不可判断△ABC 一定是锐角三角形，D 错误.故选：AC.11．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，则下列说法正确的有（）A ．若//l α，//m α，则//l mB ．若//l α，//αβ，l β⊄，则//l βC ．若l α⊥，m β⊥，αβ⊥，则l m ⊥D ．若αβ⊥，m αβ ＝，l m ⊥，则l β⊥【答案】BC【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判断即可．【详解】对于A ，若//l α，//m α，l 和m 可以相交可以异面，故错误；对于B ，若//l α，//αβ，l β⊄，则有//l β，正确；对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或l β⊂，又m β⊥，则l m ⊥正确；对于D ，若αβ⊥，m αβ ＝，l m ⊥，可能l β⊂，故不一定成立．故选：BC ．12．对于给定的ABC ，其外心为O ，重心为G ，垂心为H ，则下列结论正确的是（）A ．212AO AB AB ⋅= B ．OA OB OA OC OB OC⋅=⋅=⋅uur uu u r uur uuu r uu u r uuu rC ．过点G 的直线l 交AB AC 、于E F 、，若AE AB λ= ，AF AC μ= ，则113λμ+=D ．AH 与cos cos AB AC AB B AC C+ 共线【答案】ACD【分析】根据外心在AB 上的射影是AB 的中点，利用向量的数量积的定义可以证明A 正确；利用向量的数量积的运算法则可以OA OB OA OC ⋅=⋅即OA BC ⊥，在一般三角形中易知这是不一定正确的，由此可判定B 错误；利用三角形中线的定义，线性运算和平面向量基本定理中的推论可以证明C 正确；利用向量的数量积运算和向量垂直的条件可以判定cos cos AB AC AB B AC C+ 与BC垂直，从而说明D 正确.【详解】如图，设AB 中点为M,则OM AB ⊥,AO cos OAM AM∴∠=()21·cos cos ·22AB AO AB AO AB OAB AB AO OAB AB AB ∴=∠=∠==,故A 正确；··OA OB OA OC = 等价于()·0OA OB OC -= 等价于·0OACB =,即OA BC ⊥，对于一般三角形而言，O 是外心，OA 不一定与BC 垂直，比如直角三角形ABC 中，若B 为直角顶点，则O 为斜边AC 的中点，OA 与BC 不垂直.故B 错误；设BC 的中点为D ,则()211111133333AG AD AB AC AE AF AE AF λμλμ⎛⎫==+=+=+ ⎪⎝⎭，∵E,F,G 三点共线，11133λμ∴+=，即113λμ+=,故C 正确；cos cos cos cos AB AC AB BC AC BC BC AB B AC C AB B AC C ⎛⎫⋅⋅ ⎪+⋅=+ ⎪⎝⎭()cos cos cos cos AB BC B AC BC C AB B AC C π⋅-⋅=+0BC BC =-+=,∴cos cos AB AC AB B AC C + 与BC 垂直,又AH BC ⊥ ,∴cos cos AB AC AB B AC C+ 与AH 共线，故D 正确.故选：ACD.【点睛】本题考查平面向量线性运算和数量及运算，向量垂直和共线的判定，平面向量分解的基本定理，属综合小题，难度较大，关键是熟练使用向量的线性运算和数量积运算，理解三点共线的充分必要条件，进而逐一作出判定.三、填空题13．如图，在四边形ABCD 中，13DC AB = ，E 为BC 的中点，且AE x AB y AD =+ ，则32xy -=．【答案】1【分析】利用向量共线定理和向量的三角形法则及其多边形法则即可得出．【详解】∵E 为BC 的中点，∴12BE BC =，又1233BC BA AD DC AB AD AB AB AD =++=-++=-+，∴12112332BE AB AD AB AD ⎛-⎫ ⎪⎝+⎭==-+ ，∴11213232AE AB BE AB AB AD AB AD =+=-+=+ ．而AE x AB y AD =+ ，∴23x =，12y =．∴32211x y -=-=．故答案为：1．14．已知()2,1a = 与()1,2b = ，要使a tb +最小，则实数t 的值为.【答案】45-【分析】先求出向量a tb +r r的坐标，然后利用向量的模长公式得出a tb + 关于t 的表达式，利用二次函数的基本性质求出a tb +的最小值以及对应的t 值，可得出结果.【详解】()212a tb t t +=++r r Q ，，()()222212=49555t a tb t t ⎛⎫++ ⎪⎝∴+=++⎭+r r .∴当45t =-时，a tb + 有最小值355，故答案为：45-.【点睛】本题考查向量的坐标运算，同时也考查了向量模长的最值的求解，解题的关键就是将a tb+转化为二次函数求解，考查运算求解能力，属于中等题.15．已知正三棱锥PABC ﹣的顶点都在球O 的球面上，其侧棱与底面所成角为π3，且23PA =，则球O 的表面积为【答案】16π【分析】作出图形判断外接球球心的位置，先求出相关线段的长度，然后利用勾股定理求出外接球半径，代入球的表面积公式即可求解．【详解】如图，正三棱锥PABC ﹣中，设点Q 为ABC 的中心，则PQ ⊥平面ABC ，∴π3PAQ ∠=，∴3AQ =，PQ ＝3．球心O 在直线PQ 上，连接AO ，设球O 的半径为r ，则OA OP r ==，3OQ r =-，在Rt OAQ △中，222OA AQ OQ =+，即()()22233r r =+-，解得2r =，∴球O 的表面积为24π16πr ＝．故答案为：16π.16．如图所示，在棱长为2的正方体1111-ABCD A B C D 中，E ，F ，G 分别为所在棱的中点，P 为平面11BCC B内（包括边界）一动点，且1D P ∥平面EFG ，则P 点的轨迹长度为【答案】2【分析】根据题意可证平面FGE ∥平面11A BCD ，进而可得点P 的轨迹为线段BC ，即可得结果.【详解】因为11A D ∥BC ，则11,,,A B C D 四点共面，连接11,CD A B ，因为E ，F 分别为所在棱的中点，则EF ∥1A B ，且EF ⊂平面FGE ，1A B ⊄平面FGE ，所以1A B ∥平面FGE ，因为F ，G 分别为所在棱的中点，则FG ∥11A D ，且FG ⊂平面FGE ，11A D ⊄平面FGE ，所以11A D ∥平面FGE ，1111A B A D A = ，111,A B A D ⊂平面11A BCD ，所以平面FGE ∥平面11A BCD ，且平面11BCC B 平面11A BCD BC =，可得当且仅当点P 在棱BC 上时，即1D P ⊂平面11A BCD ，满足1D P ∥平面EFG ，所以点P 的轨迹为线段BC ，长度为2.故答案为：2.【点睛】关键点睛：根据题意利用面面平行转化线面平行，再结合平行关系分析求解.四、解答题17．已知向量()2,6a =- ，10b =.（1）若a 与b 共线且方向相反，求向量b的坐标.（2）若a b + 与b 垂直，求向量a ，b夹角θ的大小.【答案】（1）()13b =- ，；（2）23θπ=.【分析】（1）由已知设()2,6b a λλλ==- ，0λ<.再由向量的模的表示可求得答案；（2）根据向量垂直的坐标表示可求得10a b ⋅=-，再由向量的夹角运算求得答案.∴()22101cos 22610a ba bθ⋅-===-⋅+-⨯ . []0,θπ∈，∴23πθ=.【详解】（1） ()2,6a =-，且a 与b共线且方向相反.∴设()2,6b a λλλ==-，0λ<.10= b ，∴2243610λλ+=，∴12λ=-.∴()13b =- ，.（2） a b + 与b 垂直，∴()0a b b +⋅= ，∴20a b b ⋅+=，10a b ⋅=- ，∴()22101cos 22610a ba bθ⋅-===-⋅+-⨯ . []0,θπ∈，∴23πθ=.18．如图，在平面四边形ABCD 中，23D π∠=，6CD =，ACD ∆的面积为332．⑴求AC 的长；⑵若AB AD ⊥，4B π∠=，求BC 的长．【答案】(1)32AC =(2)33BC =【分析】（1）由三角形的面积公式求得6AD =，再由余弦定理即可得到AC 的长；（2）由（1）可得3BAC π∠=，在ABC ∆中，利用正弦定理即可得BC 的长．【详解】⑴∵23D π∠=，6CD =，ACD ∆的面积为332∴11333sin 62222ACD S AD CD D AD ∆=⋅⋅=⨯⨯⨯=∴6AD =∴由余弦定理得22212cos 6626()182AC AD CD AD CD D =+-⋅⋅=+-⨯⨯-=∴32AC =⑵由（1）知ACD ∆中6AD =，6CD =，23D π∠=∴6DAC p Ð=∵AB AD ⊥,∴3BAC π∠=又∵4B π∠=，32AC =∴在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin BC ACBAC B=∠即323222BC=,∴33BC =【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、面积公式在三角形中的综合应用，考查学生的计算能力，属于基础题．19．古人云“民以食为天”，某校为了了解学生食堂服务的整体情况，进一步提高食堂的服务质量，营造和谐的就餐环境，使同学们能够获得更好的饮食服务．为此做了一次全校的问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于40分的整数）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]，得到如表所示的频数分布表．样本分数段[40，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]频数51020a2510(1)求频数分布表中a 的值，并求样本成绩的中位数和平均数；(2)已知落在[50，60）的分数的平均值为56，方差是7；落在[60，70）的分数的平均值为65，方差是4，求两组成绩的总平均数z 和总方差2s ．【答案】(1)30a =，中位数为75，平均数74(2)总平均数是62，总方差是23．【分析】（1）根据题意，由样本容量，求解a 的值，再利用中位数和平均数公式，计算即可；（2）由表可知，分数在[50，60）的问卷为10份，分数在[60，70）的问卷为20份，根据公式计算两组成绩的总平均数z 和总方差s 2即可．【详解】（1）由510202510100a +++++=，解得30a =，前三段的频率之和，510200.350.5100100100++=<，前四段的频率之和，51020300.650.5100100100100+++=>()0.50.050.10.20.15-++=，由成绩在[)70,80段的频率为0.3，所以中位数为7080752+=，51020302510455565758595100100100100100100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯2.25 5.51322.521.259.574=+++++=．（2）由表可知，分数在[50，60）的问卷为10份，分数在[60，70）的问卷为20份，故10566520621020z ⨯+⨯==+，()()2221105662107206562204231020s ⎡⎤=⨯⨯-+⨯+⨯-+⨯⎣⎦+＝．所以两组成绩的总平均数是62，总方差是23．20．如图，在四棱锥P ABCD -中，,AB CD AB ⊥∥平面,24,27,PAD PA AD DC AB PD M =====是PC 的中点.(1)证明：BM 面PAD(2)证明：平面ABM ⊥平面PCD ；(3)求三棱锥M PAB -的体积.【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析(3)7【分析】（1）取PD 中点N ，连接,MN AN ，证BM AN ∥即可；（2）由PA AD =得AN PD ⊥，由AB ⊥平面PAD 得AB PD ⊥，所以PD ⊥平面ABN ，从而得证；（3）∥MN AB ，所以MN 平面PAB ，根据M PAB N PAB B NAP V V V ---==求解．【详解】（1）取PD 中点N ，连接,MN AN ，∵1,2AB DC AB DC =∥,1,2MN DC MN DC =∥,∴,MN AB MN AB =∥,∴ABMN 为平行四边形，则BM AN ∥，∵BM ⊄面PAD ，AN ⊂面PAD ，∴BM 面PAD .（2）因为PA AD =，所以AN PD ⊥，由AB ⊥平面,PAD PD ⊂平面PAD ，所以AB PD ⊥，又由AN AB A = ，且,AN AB ⊂平面ABMN ，所以PD ⊥平面ABMN ，又PD ⊂平面PCD ，所以平面ABMN ⊥平面PCD ，即平面ABM ⊥平面PCD .（3）由（1）可得∥MN AB ，且AB ⊂平面PAB ，MN ⊄平面PAB ，所以MN 平面PAB ，所以M PAB N PAB B NAP V V V ---==，因为AB ⊥平面PAD ，可得13B NAP NAP V S AB -=⨯△，又由4,7,AP PN AN PD ==⊥，所以2137473,7322NAP AN S =-==⨯⨯=，所以1372732B NAP V -=⨯⨯=，即三棱锥M PAB -的体积为7.21．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，向量()()sin sin ,sin sin ,sin sin ,sin m B C A B n B C A =++=- ，且m n ⊥ .（1）求角C 的大小；（2）若3c =，求2a b +的取值范围.【答案】（1）2C 3π=；（2）()323，.【分析】（1）根据向量m n⊥得到22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=，再由正弦定理将边化为角的表达式，结合余弦定理求得角C 的值．（2）利用正弦定理求的△ABC 的外接圆半径，将2a b +表示成A 与B 的三角函数式，利用辅助角公式化为角A 的函数表达式；再由角A 的取值范围求得2a b +的范围．【详解】（1）∵m n ⊥∴0m n ⋅=∴22sin sin (sin sin )sin 0B C A B B -++=∴222c a b ab =++∴1cos 2C =-又()0,C π∈.∴23C π=.（2）∵23C π=，3c =∴△ABC 外接圆直径2R=2∴24sin 2sin a b A B +=+4sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭4sin 3cos sin A A A =+-3sin 3cos A A=+23sin 6A π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭∵0,3A π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭∴,662A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭∴1sin ,162A π⎛⎫⎛⎫+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴2a b +的取值范围是()3,23.【点睛】本题考查了向量垂直的坐标表示，正弦定理、余弦定理的综合应用，辅助角公式化简三角函数表达式，知识点多，较为综合，属于中档题．22．如图1所示，在矩形ABCD 中，4AB =，62BC =，点E 为线段AB 上一点，1AE =，现将BCE 沿CE 折起，将点B 折到点B '位置，使得点B '在平面AECD 上的射影在线段AD 上，得到如图2所示的四棱锥B AECD '-．(1)在图2中，线段B C '上是否存在点F ，使得EF 平面B AD '？若存在，求B FB C''的值，若不存在，请说明理由；(2)在图2中求二面角B EC D '--的大小．【答案】(1)存在，14B F BC '='(2)60︒【分析】（1）在B C '上取点F ，使得14B F BC '='，过F 作CD 的平行线交B D '于M 点，连接EF ，AM ，利用平行线的性质可证明四边形AEFM 为平行四边形，即可得到EF AM ，再利用线面平行的判定定理证明即可；（2）记点B '在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B N '，利用线面垂直的判定定理和性质定理可得CE B N '⊥，从而得到B NO '∠为二面角B CE D '--的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可．【详解】（1）在B C '上取点F ，使得14B F BC '='，过F 作CD 的平行线交B D '于M 点，连接EF ，AM ，因为MF CD ∥且14MF B F CD B C '=='，又AE CD ∥且14AE CD =，所以AE MF ∥且AE MF =，故四边形AEFM 为平行四边形，故EF AM ，又EF ⊄平面B AD '，AM ⊂平面B AD '，所以EF 平面B AD '.（2）如图，记点B '在线段AD 上射影为O ，过点O 作CE 的垂线，垂足为N ，连接B N '，因为CE ON ⊥，CE B O '⊥，ON B O O '= ，ON ，B O '⊂平面B ON '，所以CE ⊥平面B ON '，又B N '⊂平面B ON '，所以CE B N '⊥，则B NO '∠为二面角B EC D '--的平面角，在矩形ABCD 中如图，3BE =，62BC =，则9CE =，22BN =，1EN =，又EBN OBA ∽，所以BN BA BE BO=，可得32BO =，故2ON =，则1cos 2ON B NO B N '∠=='，所以二面角B EC D '--的大小为60︒．。
福建省莆田市田家炳中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题
福建省莆田市田家炳中学2019-2020学年高一数学理下学期期末试题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若函数（其中）的图像关于点成中心对称，则的最小值为（）A. B. C. D.参考答案：A【分析】根据函数图象关于点成中心对称，可知，求出，即可求出.【详解】因为函数（其中）的图像关于点成中心对称，所以，，,当时，的最小值为. 故选A.2. 口袋中有形状和大小完全相同的四个球，球的编号分别为1,2,3,4，若从袋中随机抽取两个球，则取出的两个球的编号之和大于5的概率为（）A． B. C. D.参考答案：C3. 与函数 y=x有相同的图象的函数是（）A．B．C．D．参考答案：D【考点】函数的图象；判断两个函数是否为同一函数．【分析】要使得所求函数与y=x的图象相同，则应与y=x是相同的函数，即函数的定义域、值域、对应法则完全相同，即可【解答】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误B：与y=x的对应法则不一样，故B错误C： =x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确故选D4. 已知是的三条边，成等差数列，也成等差数列，则的形状是▲．参考答案：等边三角形略5. 已知f（x）为R上的减函数，则满足f（||）＜f（1）的实数x的取值范围是（）A．（﹣1，1）B．（0，1）C．（﹣1，0）∪（0，1）D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）参考答案：C【考点】函数单调性的性质．【分析】由函数的单调性可得||与1的大小，转化为解绝对值不等式即可．【解答】解：由已知得解得﹣1＜x＜0或0＜x＜1，故选C6. 化简A. B. C. D.参考答案：B7. 已知三棱锥P-ABC的底面ABC是边长为2的等边三角形，PA⊥平面ABC，且，则该三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】由于球中球心与球的小圆圆心的连线垂直于这个小圆，利用也垂直于这个小圆，即可利用球心与小圆圆心建立起直角三角形，，根据题意可求出是底面三角形的外接圆的半径，利用计算即可，最后即可求出球的表面积。
2019-2020学年福建省莆田市度尾中学高一数学理下学期期末试题含解析
2019-2020学年福建省莆田市度尾中学高一数学理下学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设函数，集合，设，则（）A． B． C． D．参考答案：D略2. 三棱锥三条侧棱两两垂直，PA=a，PB=b，PC=c，三角形ABC的面积为S，则顶点P到底面的距离是（）A. B. C. D.参考答案：C3. 函数y=Asin（ωx+φ）在一个周期内的图象如图，此函数的解析式为（）A．y=2sin（2x+）B．y=2sin（2x+） C．y=2sin（﹣） D．y=2sin（2x﹣）参考答案：A【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．【专题】三角函数的图像与性质．【分析】根据已知中函数y=Asin（ωx+?）在一个周期内的图象经过（﹣，2）和（﹣，2），我们易分析出函数的最大值、最小值、周期，然后可以求出A，ω，φ值后，即可得到函数y=Asin（ωx+?）的解析式．【解答】解：由已知可得函数y=Asin（ωx+?）的图象经过（﹣，2）点和（﹣，2）则A=2，T=π即ω=2则函数的解析式可化为y=2sin（2x+?），将（﹣，2）代入得﹣+?=+2kπ，k∈Z，即φ=+2kπ，k∈Z，当k=0时，φ=此时故选A【点评】本题考查的知识点是由函数y=Asin（ωx+?）的部分图象确定其解析式，其中A=|最大值﹣最小值|，|ω|=，φ=L?ω（L是函数图象在一个周期内的第一点的向左平移量）．4. 如图，三棱柱中，侧棱底面，底面三角形是正三角形，是中点，则下列叙述正确的是A．平面B．与是异面直线C．//D．参考答案：D5. 已知幂函数y=x n的图象经过点（2，8），则此幂函数的解析式是（）A．y=2x B．y=3x C．y=x3 D．y=x﹣1参考答案：C【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】设出幂函数的解析式，带入点的坐标，求出函数的解析式即可．【解答】解：设幂函数为f（x）=xα，因为图象经过点（2，8），∴f（2）=8=23，从而α=﹣3函数的解析式f（x）=x3，故选：C．【点评】本题考查了求幂函数的解析式问题，待定系数法是常用方法之一，本题是一道基础题．6. 在中,,则的值为 ( )A 20BC D参考答案：B解析: 由题意可知,故=.7. （5分）下列几何体中，正视图、侧视图、俯视图都相同的几何体的序号是（）A．（1）（2）B．（2）（3）C．（3）（4）D．（1）（4）参考答案：D考点：简单空间图形的三视图．专题：综合题．分析：根据三视图的作法，判断正方体、圆锥、圆柱、球的三视图中，满足题意的几何体即可．解答：（1）的三视图中正视图、左视图、俯视图都是正方形，满足题意；（2）（3）的左视图、正视图是相同的，俯视图与之不同；（4）的三视图都是圆，满足题意；故选D点评：本题是基础题，考查三视图的作法，注意简单几何体的三视图的特征，常考题型．8. （5分）已知函数f（x）=2x﹣2，则函数y=|f（x）|的图象可能是（）A．B．C．D．参考答案：B考点：指数函数的图像变换．专题：数形结合．分析：因为y=|f（x）|=，故只需作出y=f（x）的图象，将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即可．解答：解：先做出y=2x的图象，在向下平移两个单位，得到y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．故选B点评：本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．9. sin(－600°)的值是（）A. B. C. D.参考答案：C10. 如果，则等于（）A． B. C.D.参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值是_________________。
2020年福建省莆田市钟山中学高一数学文下学期期末试卷含解析
2020年福建省莆田市钟山中学高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知正项数列满足：，设数列的前项的和，则的取值范围为（）A． B． C． D．参考答案：B略2. 下列函数中，定义域为，且在上单调递增的是（）．A． B． C． D．参考答案：C对于．为对数函数，在上递增，则错误；对于．为指数函数，在上递增，则正确；对于．为指数函数，在上递减，则错误．故选．3. .函数的最小正周期为（）A B CD参考答案：4. =（）A．tanx B．sinx C．cosx D．参考答案：D【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：=sinxcosx+===，故选：D．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．5. 下列说法中，正确的是（）A.任何一个集合必有两个子集B.若则中至少有一个为C.任何集合必有一个真子集D. 若为全集，且则参考答案：D略6. 已知集合M={﹣1，1}，，则M∩N=( )A．{﹣1，1} B．{﹣1} C．{0} D．{﹣1，0}参考答案：【考点】交集及其运算．【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求【解答】解：?2﹣1＜2x+1＜22?﹣1＜x+1＜2?﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}又M={﹣1，1}∴M∩N={﹣1}，故选B【点评】本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．7. 某城市2018年12个月的PM2.5平均浓度指数如下图所示，根据图可以判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A. 第一季度B. 第二季度C. 第三季度D. 第四季度参考答案：B方差最小的数据最稳定,所以选B.8. 已知三个平面α、β、γ，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，a，b分别为α，β内的直线，则()A．?a?α，a⊥γ B．?a?α，a∥γC．?b?β，b⊥γ D．?b?β，b∥γ参考答案：B9. 设f（x）是定义在R上的恒不为零的函数，对任意实数x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），若a1=，a n=f（n）（n∈N*），则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是（）A．[，2）B．[，2] C．[，1）D．[，1]参考答案：C【考点】3P：抽象函数及其应用．【分析】根据f（x）?f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，进而可以求得S n，进而S n的取值范围．【解答】解：∵对任意x，y∈R，都有f（x）?f（y）=f（x+y），∴令x=n，y=1，得f（n）?f（1）=f（n+1），即==f（1）=，∴数列{a n}是以为首项，以为等比的等比数列，∴a n=f（n）=（）n，∴S n==1﹣（）n∈[，1）．故选C．10. 正六棱柱的底面边长为1，侧棱长为，则这个棱柱的侧面对角线与所成的角为 ( ）A． B． C．D．参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若两直线2x+y+2=0与ax+4y﹣2=0互相垂直，则实数a= ．参考答案：﹣8【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．【分析】先分别求出两条直线的斜率，再利用两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于﹣1，即可求出答案．【解答】解：∵直线2x+y+2=0的斜率，直线ax+4y﹣2=0的斜率，且两直线2x+y+2=0与ax+4y﹣2=0互相垂直，∴k1k2=﹣1，∴，解得a=﹣8．故答案为﹣8．【点评】理解在两条直线的斜率都存在的条件下，两条直线垂直的充要条件是斜率乘积等于﹣1是解题的关键．12. 已知正数数列{a n}的前n项和为S n，，设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则实数c的取值范围是．参考答案：（﹣∞，2]【考点】8H：数列递推式．【分析】，可得n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为：﹣=1．利用等差数列的通项公式可得S n=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，再利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵，∴n≥2时，S n﹣S n﹣1=﹣1，化为： =S n﹣1＞0，解得﹣=1．n=1时，﹣1，解得a1=1=S1．∴数列是等差数列，公差为1．∴=1+（n﹣1）=n．∴S n=n2．设c为实数，对任意的三个成等差数列的不等的正整数m，k，n，不等式S m+S n＞cS k恒成立，则2k=m+n，（m+1）2+（n+1）2＞c（k+1）2，∵2≥（m+1+n+1）2=（2k+2）2=4（k+1）2．∴（m+1）2+（n+1）2≥2（k+1）2，则实数c的取值范围是c≤2．故答案为：（﹣∞，2]．13. 幂函数f（x）=xα经过点P（2，4），则f（）= ．参考答案：2【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】利用幂函数的性质求解．【解答】解：∵幂函数f（x）=xα经过点P（2，4），∴2a=4，解得a=2，∴f（x）=x2，∴f（）=（）2=2．故答案为：2．14. 设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出下列命题：①若⊥，⊥，则是△的垂心；②若、、两两互相垂直，则是△的垂心；③若∠，是的中点，则；④若，则是△的外心.请把正确命题的序号填在横线上:______________.参考答案：①②③④略15. （5分）直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0交于一点，则k的值是．参考答案：﹣考点：两条直线的交点坐标．专题：计算题．分析：通过解方程组可求得其交点，将交点坐标代入x+ky=0，即可求得k的值．解答：依题意，，解得，∴两直线2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0的交点坐标为（﹣1，﹣2）．∵直线x+ky=0，2x+3y+8=0和x﹣y﹣1=0交于一点，∴﹣1﹣2k=0，∴k=﹣．故答案为：﹣点评：本题考查两条直线的交点坐标，考查方程思想，属于基础题．16. 若向量，则与夹角的大小是————— .参考答案：17. 在中，若则 .参考答案：16略三、解答题：本大题共5小题，共72分。
福建省莆田市2020-2021学年高一下学期期末考试 数学 试题(含答案)
莆田市2020-2021学年下学期期末质量监测高一数学试卷本试卷共6页，22小题，满分150分．考试时间120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数512i z =-，则z 的虚部是A ．2-B ．2i -C ．2D ．2i2.某射击运动员在同一条件下射击的成绩记录如表所示.射击次数501002004001000射中8环以上的次数4478158320800根据表中的数据，估计该射击运动员射击一次射中8环以上的概率为A.0.78B.0.79C.0.80D.0.823.若复数z 满足34i z =-+，则z =A ．34i -B ．43i -C ．34i +D ．43i +4.已知向量a ，b 不共线，且向量λ+a b 与()12λ++a b 共线，则实数λ的值为A ．2-或1-B ．2-或1C ．1-或2D ．1或25.一个不透明的袋子中装有8个红球，2个白球，除颜色外，球的大小、质地完全相同，采用不放回的方式从中摸出3个球．下列事件为不可能事件的是A.3个都是白球B.3个都是红球C.至少1个红球D.至多2个白球6.设m ，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是A.若αβ∥，m α⊂，n β⊂，则m n∥B.若m αβ=I ，n β⊂，m n ⊥，则n α⊥C.若αβ⊥，m α⊂，n β⊂，则m n⊥D.若m α⊥，//m n ，//n β，则αβ⊥7.ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，c =,2π3C =，则sin sin A B =A ．34B ．43C ．13D ．38.古希腊数学家阿基米德一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱内切球的体积是圆柱体积的23，且球的表面积也是圆柱表面积的23．已知表面积为18π的圆柱的轴截面为正方形，则该圆柱内切球表面积与圆柱的体积之比为A ．2B ．2C 3：D ．3：二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分,有选错的得0分.9.某校举行“永远跟党走、唱响青春梦”歌唱比赛．在歌唱比赛中，由9名专业人士和9名观众代表各组成一个评委小组，给参赛选手打分．根据两个评委小组（记为小组A ，小组B ）对同一名选手打分的分值绘制成折线图，如图，则A ．小组A 打分的分值的众数为47B ．小组B 打分的分值第80百分位数为69C ．小组A 更像是由专业人士组成D ．小组B 打分的分值的均值小于小组A 打分的分值的均值10.设A ，B 为两个随机事件，且()0P A >，()0P B >，则下列命题正确的是A ．若()()()P AB P A P B =，则A ，B 相互独立B ．若A 和B 相互独立，则A 和B 一定不互斥C ．若A 和B 互斥，则A 和B 一定相互独立D ．()()P AB P AB AB <+11.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11B D 上的动点，则A ．直线DP 与1BC 是异面直线B ．CP ∥平面1A BDC ．1A P PB +的最小值是2D ．当P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球半径为212.点O ，H 分别为ABC △的外心，垂心，点D ，M 在平面ABC 内，则下列命题正确的是A ．若2AO AB AC =+ ，且2BC AB = ，则向量BA 在向量BC 上的投影向量为12BO B ．若()AB AC AD AB ACλ=+ ，且(1)AD AB AC μμ=+- ，则BD DC = C ．若23MA MB MC ++= 0，则ABC △的面积与AMB △的面积之比为2:1D ．若23HA HB HC ++= 0，则cos 10AHB ∠=-三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.某市有大型超市200家、中型超市400家、小型超市1400家．为了掌握各类超市的营业情况，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个容量为100的样本，应抽取小型超市家．14.已知4件产品中恰有2件一等品，从中任取2件，恰有1件一等品的概率为．15.ABC △中，1AB =，2AC =，60BAC ∠= ，点M ，N 分别在AC ，BC 上，且AM CM =，2BN NC =，AN ，BM 相交于点P ，则cos MPN ∠=．16.如图，一块斜边长为40cm 的直角三角尺，其中一个内角为60 ，把该角立在桌面上，使得斜边所在的直线与桌面所在的平面所成的角为45 ，再绕其斜边旋转，则直角顶点到桌面距离的最大值为cm ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）已知向量a ，b 满足1=a ，=b ，()()221-+= a b a b ．（1）求a 与b 的夹角θ；（2）求2-a b 的值．如图，平面ACEF ⊥平面ABC ，AF AC ⊥，AF CE ∥，23AF CE =，2=BD BE ．（1）求证：DF ∥平面ABC ；（2）求证：DF CE ⊥．19.（本小题满分12分）在①m ()cos cos A B =，，n ()2b c a =-，，且⊥m n ，②()cos cos cos sin a A a B C A C +-=，③22(sin sin )sin sin sin A B C B C -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．问题：ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且．（1）求A 的值；（2）若2a =，求ABC △周长的最大值．20.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为23，乙获胜的概率为13，且各局比赛的胜负互不影响．有两种比赛方案供选择，方案一：三局两胜制（先胜2局者获胜，比赛结束）；方案二：五局三胜制（先胜3局者获胜，比赛结束）．（1）若选择方案一，求甲获胜的概率；（2）用掷硬币的方式决定比赛方案，掷3枚硬币，若恰有2枚正面朝上，则选择方案一，否则选择方案二．判断哪种方案被选择的可能性更大，并说明理由．如图1，Rt ABC △中，90B ∠= ，AB =，2BC =，D ，E 分别是AB ，AC 的中点．把ADE △沿DE 折至△PDE 的位置，∉P 平面BCED ，连接PB ，PC ，F 为线段PB 的中点，如图2．（1）求证：DF ⊥平面PBC ；（2）当三棱锥-P BDE 的体积为12时，求直线BD 与PC 所成角的正切值．为进一步推动防范电信网络诈骗工作，预防和减少电信网络诈骗案件的发生，某市开展防骗知识大宣传活动．该市年龄100岁及以下的居民人口约为300万人，从0岁到100岁的居民年龄频率分布直方图如图所示，其分组区间为：[0,20)，[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]．为了解防骗知识宣传的效果，随机调查了100名该市年龄100岁及以下居民对防骗知识的知晓情况，调查的知晓率（被调查的人群中，知晓的人数和总人数的比率）如表所示．（1）根据频率分布直方图，估计该市年龄100岁及以下居民的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（2）利用样本估计总体的思想，估计该市年龄100岁及以下居民对防骗知识的知晓率；（3）根据《中国电信网络诈骗分析报告》显示，老年人(年龄60岁及以上)为易受骗人群，但调查中发现年龄在[60,100]的人群比年龄在[0,60)的人群对防骗知识的知晓率高．请从统计学的角度分析调查结果与实际情况产生差异的原因（至少写出两点）．莆田市2020-2021学年下学期期末质量监测高一数学试题参考解答及评分标准评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数．单项选择题和单空填空题不给中间分．一、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分40分．1．A 2．C 3．B 4．B 5．A 6．D 7．D 8．B二、选择题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．（本题为多项选择题，每小题中，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9．AC 10．AB11．ABD 12．ACD 三、填空题：本题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分20分．13．7014．2315．1416．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查平面向量的数量积、平面向量夹角与模的运算等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分10分．解：（1）由()()221a b a b -+= ，得222321a a b b +-= ．··································2分又1a =，b =，所以2341a b +-= ，则1a b = ．···························3分所以cos2a b a b θ=== ．···························································5分因为[]0,πθ∈，所以π4θ=．······························································6分（2）因为222244a b a a b b -=-+ ·························································8分1485=-+=，····························································9分所以2a b -=··········································································10分18．本小题主要考查直线与平面平行和垂直的判定与性质、平面与平面平行和垂直的判定与性质等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力等；考查化归与转化思想等；考查直观想象、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．解：证法一：（1）在BC 上取点P ，使2=BP PC ，连接DP ，AP ．································1分因为2=BD DE ，所以∥DP CE ，23=DP CE ．·······································2分又因为∥AF CE ，23=AF CE ，所以∥AF DP ，=AF DP ．·······························································3分所以四边形AFDP 为平行四边形．所以∥DF AP ．·················································································4分又⊂AP 平面ABC ，⊄DF 平面ABC ，所以∥DF 平面ABC ．·······································································6分（2）因为平面ACEF ⊥平面ABC ,⊥AF AC ,平面ACEF 平面ABC =AC ,所以AF ⊥平面ABC ．·······································································8分又⊂AP 平面ABC ，所以⊥AF AP ．··················································10分由（1）知∥DF AP ，∥CE AF ．·······················································11分所以⊥DF CE ．··············································································12分证法二：（1）在CE 上取点Q ，使2=CQ QE ，连接DQ ，FQ ，则=AF CQ ．···························································1分又∥AF CQ ，所以四边形AFQC 为平行四边形．所以∥FQ AC ．·················································································2分因为FQ ⊄平面ABC ，AC ⊂平面ABC ，所以∥FQ 平面ABC ．·······································································3分因为2=BD DE ，2=CQ QE ，所以∥DQ BC .同理，∥DQ 平面ABC ．····································································4分又FQ ，⊂DQ 平面DFQ ，= FQ DQ Q ，所以平面∥DFQ 平面ABC ．·······························································5分因为⊂DF 平面DFQ ，所以∥DF 平面ABC ．······································6分（2）因为平面ACEF ⊥平面ABC ,⊥AF AC ,且平面ACEF 平面ABC =AC ,所以AF ⊥平面ABC ．·······································································8分因为AC ，⊂BC 平面ABC ，所以⊥AF AC ，⊥AF BC ．·····················9分由（1）知∥AF CE ，∥FQ AC ，∥DQ BC ，所以⊥CE FQ ，⊥CE DQ ．······························································10分又= FQ DQ Q ，FQ ，⊂DQ 平面DFQ ，所以⊥CE 平面DFQ ．······································································11分因为⊂DF 平面DFQ ，所以⊥CE DF ．··············································12分19．本小题主要考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式及三角恒等变换等基础知识；考查推理论证能力、运算求解能力等；考查化归与转化思想、函数与方程思想等；考查数学运算、逻辑推理等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．解：（1）解法一：选①m ()cos cos =，A B ，n ()2=-，b c a ，且m n ⊥，由m n ⊥得()2cos cos 0-+=b c A a B ．···············································1分由正弦定理得()sin 2sin cos sin cos 0-+=B C A A B ，····························2分即sin cos cos sin 2cos sin 0+-=A B A B A C ．所以()sin 2cos sin 0+-=A B A C ．·····················································3分又π++=A B C ，所以()sin sin +=A B C ．所以sin 2cos sin 0-=C A C ．显然sin 0≠C ，所以1cos 2=A ．···············5分因为0π＜＜A ，所以π3=A ．·······························································6分解法二：选②()cos cos cos sin +-=a A a B C A C ，因为π++=A B C ，所以()cos cos =-+A B C ．····································1分则()()cos cos cos sin -++-=a B C a B C A C ．由正弦定理得()()sin cos sin cos sin sin --+=A B C A B C A B C ．·······································································································2分即()sin cos cos sin sin cos cos sin sin +-+A B C B C B C B Csin sin =A B C ，所以2sin sin sin sin sin =A B C A B C .········································4分显然sin sin 0≠B C，所以sin =A A，则tan =A .·····················5分因为0π＜＜A ，所以π3=A ．·······························································6分解法三：选③22(sin sin )sin sin sin -=-B C B A C ，由已知得222sin 2sin sin sin sin sin sin -+=-B B C C A B C ，即222sin sin sin sin sin +-=B C A B C ．···············································2分由正弦定理得222+-=b c a bc ．···························································3分由余弦定理得2221cos 222+-===b c a bc A bc bc ．·······································5分因为0π＜＜A ，所以π3=A ．·······························································6分（2）解法一：由余弦定理得2222cos =+-a b c bc A ．···································7分所以22π42cos 3=+-b c bc ，即224=+-b c bc ，则()243=+-b c bc ．····8分显然0＞b ，0＞c ，因为22+⎛⎫ ⎪⎝⎭≤b c bc ，·················································9分所以()()()222243324++⎛⎫=+-+-= ⎪⎝⎭≥b c b c b c bc b c ．·······················10分则()216+≤b c ，4+≤b c ，当且仅当2==b c 时等号成立．···················11分所以6++≤a b c ，即△ABC 周长的最大值为6．···································12分解法二：由正弦定理得sin sin sin ==a b c A B C．·······································7分因为2=a ，π3=A，所以2πsin sin 3sin 3===b c B C ．则sin 3=b B，sin 3=c C ．······················································8分又2πsin sin 3⎛⎫=- ⎪⎝⎭C B ，所以△ABC 周长2πsin 2333⎛⎫++=+-+ ⎪⎝⎭a b c B B ··················9分434331sin sin 22cos 23322⎛⎫=+++=++ ⎪ ⎪⎝⎭B B B B B 31π4sin cos 24sin 2226⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B B B ．·································10分因为2π03＜＜B ，所以ππ5π666+＜＜B ，所以πsin 16⎛⎫+ ⎪⎝⎭≤B ，当且仅当ππ62+=B ，即π3=B 时等号成立．·············11分则6++≤a b c ，即△ABC 周长的最大值为6．······································12分20．本小题主要考查独立事件、互斥事件的概率、古典概型等基础知识；考查运算求解能力、推理论证能力等；考查统计与概率思想、分类与整合思想、化归与转化思想等；考查数学运算、逻辑推理、数学建模、数学抽象等核心素养，体现基础性、应用性．满分12分．解：（1）记“选择方案一，甲获胜”为事件A ，“第i 局甲获胜”为事件i A （1,2,3=i ），则1A ，2A ，3A 两两相互独立，且12123123=++A A A A A A A A A ．················2分因为12A A ，123A A ，123A A 为互斥事件，所以()()()()12123123++=A A A A P A P A P A P A A ··································3分()()()()()()()()12123123=++P A P A A P A A A P P P P P A A ····4分2221212220333333327⎛⎫=+⨯⨯+⨯= ⎪⎝⎭．所以选择方案一，甲获胜的概率为2027．··················································6分（2）记硬币正面朝上为1，反面朝上为0．掷3枚硬币，样本空间为(){}123,,|0,1;1,2,3Ω===ix x x x i ，包含8个等可能的样本点．···································································8分记“掷3枚硬币，恰有2枚正面朝上”为事件B ．则()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1=B ，························································10分所以()3182=<P B ．·········································································11分因此方案二被选择的可能性更大．························································12分21．本小题主要考查直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质、异面直线所成的角、三棱锥的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力等；考查函数与方程思想、化归与转化思想等；考查直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养，体现基础性、综合性．满分12分．解：（1）证明：Rt △ABC 中，=AD DB ，所以=PD DB ．又F 为线段PB 的中点，所以⊥DF PB ．··············································1分在Rt △ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，所以∥DE BC ．因为90∠= B ，所以⊥DE AB ．则⊥DE PD ，⊥DE DB ．又PD ，⊂DB 平面PDB ，= PD DB D ，所以⊥DE 平面PDB ．·······································································2分因为⊂DF 平面PDB ，所以⊥DE DF ．··············································3分因为∥DE BC ，所以⊥DF BC ．·························································4分因为PB ，⊂BC 平面PBC ，= PB BC B ，所以DF ⊥平面PBC ．·······································································5分（2）因为--=P BDE E PBD V V ，·········································································6分又⊥DE 平面PDB ，112==DE BC ，又111sin 332-⎛⎫=⨯=⨯⨯⨯∠⨯ ⎪⎝⎭△E PBD PDB V S DE PD DB PDB DE 111sin 62=⨯∠=∠PDB PDB ，····································7分所以11sin 22∠=PDB ，即sin 1∠=PDB ．所以90∠= PDB ，即⊥BD PD ．·······················································8分又⊥BD DE ，PD ，⊂DE 平面PDE ，= PD DE D ，所以⊥BD 平面PDE ．延长DE 到G ，使得=DG BC ，因为∥DG BC ，所以四边形BDGC 为平行四边形．所以∥BD CG ．················································································9分则∠PCG 为直线BD 与PC 所成角或其补角．········································10分因为⊥BD 平面PDE ，又⊂PG 平面PDE ，所以⊥BD PG ，则⊥CG PG ．·························································11分在Rt △PDG 中，=PD ，2==DG BC ，所以=PG ．。
福建省莆田市蒲坂华侨中学2020年高一数学文下学期期末试卷含解析
福建省莆田市蒲坂华侨中学2020年高一数学文下学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知函数y=的定义域为（）A．（﹣∞，1] B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，﹣）∩（﹣，1] D．（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]参考答案：D【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组得答案．【解答】解：由，解得x≤1且x．∴函数y=的定义域为（﹣∞，﹣）∪（﹣，1]．故选：D．2. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知，，则cos A= ( )A．B．C．D．参考答案：A在△ABC中,∵b?c=a,2sinB=3sinC,利用正弦定理可得2b=3c,求得a=2c,b=c.再由余弦定理可得.本题选择A选项.3. 函数的部分图像如图所示，点是该图像的一个最高点，点是该图像与x轴交点，则（）A．B．C. D．参考答案：C根据题中所给的条件，以及所给的部分图像，可以求得，所以，从而得到，求得，因为P是最高点，所以有，解得，又因为，所以，所以，故选C.4. 已知x0是函数f（x）=3x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（）A．f（x1）＜0，f（x2）＜0 B．f（x1）＜0，f（x2）＞0 C．f（x1）＞0，f（x2）＜0 D．f（x1）＞0，f（x2）＞0参考答案：B【考点】利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．【分析】因为x0是函数f（x）的一个零点可得到f（x0）=0，再由函数f（x）的单调性可得到答案．【解答】解：∵x0是函数f（x）=3x+的一个零点，∴f（x0）=0，又∵f′（x）=3x ln3+＞0，∴f（x）=3x+是单调递增函数，且x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），∴f（x1）＜f（x0）=0＜f（x2）．故选：B5. 已知某扇形的周长是6cm，面积是2cm2，则该扇形的中心角的弧度数为（）A．1 B．4 C．1或4 D．2或4参考答案：C6. 如图是在一次全国少数民族运动会上，七位评委为某民族舞蹈打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（）A．84，4.84 B．84，1.6 C．85，1.6 D．85，4参考答案：C7. 设函数f（x）（x∈R）为奇函数，f（1）=，f（x+2）=f（x）+f（2），则f（5）=（）A．0 B．1 C．D．5参考答案：C【考点】函数奇偶性的性质；函数的值．【分析】利用奇函数的定义、函数满足的性质转化求解函数在特定自变量处的函数值是解决本题的关键．利用函数的性质寻找并建立所求的函数值与已知函数值之间的关系，用到赋值法．【解答】解：由f（1）=，对f（x+2）=f（x）+f（2），令x=﹣1，得f（1）=f（﹣1）+f（2）．又∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1）．于是f（2）=2f（1）=1；令x=1，得f（3）=f（1）+f（2）=，于是f（5）=f（3）+f（2）=．故选：C．8. 已知集合A={﹣1，3，4}，B={0，1，4，5}，则A∩B子集的个数为（）A．0个B．1个C．2个D．3个参考答案：C【考点】交集及其运算．【专题】集合思想；综合法；集合．【分析】先求出A∩B，从而求出其子集的个数．【解答】解：∵集合A={﹣1，3，4}，B={0，1，4，5}，∴A∩B={4}，故其子集的个数为2个，故选：C．【点评】本题考察了交集的运算，考察集合的子集问题，是一道基础题．9. 若sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角参考答案：C【考点】三角函数值的符号．【分析】由正弦和正切的符号确定角的象限，当正弦值小于零时，角在第三四象限，当正切值大于零，角在第一三象限，要同时满足这两个条件，角的位置是第三象限，实际上我们解的是不等式组．【解答】解：sinα＜0，α在三、四象限；tanα＞0，α在一、三象限．故选：C．10. 如果函数在区间上单调递增，那么实数的取值范围是（）A、B、C、D、参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的定义域是____________.参考答案：12. 式子的值为▲．参考答案：略13. 若，则．参考答案：114. 下列幂函数中：①；②y=x﹣2；③；④；其中既是偶函数，又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是．（填相应函数的序号）．参考答案：③【考点】奇偶性与单调性的综合．【专题】方程思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据幂函数的性质进行判断即可．【解答】解：：①的定义域为[0，+∞），为非奇非偶函数，不满足条件．；②y=x﹣2=定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞），f（﹣x）==f（x），则函数是偶函数，在（0，+∞）上单调单调递减，不满足条件．③=，函数的定义域为（﹣∞，+∞），则f（﹣x）=f（x），则函数为偶函数，则（0，+∞）上单调递增，满足条件．；④的定义域为（﹣∞，+∞），函数为奇函数，不满足条件；故答案为：③【点评】本题主要考查幂函数的性质，根据函数奇偶性和单调性的定义进行判断是解决本题的关键．15. 已知，且是第二象限角，则___________．参考答案：∵是第二象限角，∴。