2020年高三数学模拟(山东卷)
【精品高考数学】2020年高三数学(山东专用)-第10练-计数原理、概率、随机变量及其分布列+答案
第10练-计数原理、概率、随机变量及其分布列一、单选题1．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A ．3600种B ．1440种C ．4820种D ．4800种2．从集合{A ，B ，C ，D ，E ，F }和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C 和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（ ）A ．85B ．95C ．2040D ．2280 3．()()4121x x ++的展开式中3x 的系数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．204．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．320 6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A ．1415B ．115C ．29D ．7．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=p i ，P （i ξ=0）=1—p i ，i =1，2.若0<p 1<p 2<12，则（ ） A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（ ）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小二、多选题9．设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7 10．对于二项式()3*1n x n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.11．下列对各事件发生的概率判断正确的是（ ）A ．某学生在上学的路上要经过4个路口，假设在各路口是否遇到红灯是相互独立的，遇到红灯的概率都是13，那么该生在上学路上到第3个路口首次遇到红灯的概率为427 B ．三人独立地破译一份密码，他们能单独译出的概率分别为15，13，14，假设他们破译密码是彼此独立的，则此密码被破译的概率为25C ．甲袋中有8个白球，4个红球，乙袋中有6个白球，6个红球，从每袋中各任取一个球，则取到同色球的概率为12D ．设两个独立事件A 和B 都不发生的概率为19，A 发生B 不发生的概率与B 发生A 不发生的概率相同，则事件A 发生的概率是2912．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的男女生人数相同，男生喜欢抖音的人数占男生人数的45，女生喜欢抖音的人数占女生人数35，若有95%的把握认为是否喜欢抖音和性别有关则调查人数中男生可能有（ ）人附表：附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++ A ．25B ．45C ．60D ．75三、填空题13．在2n x ⎫⎪⎭的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则该二项展开式中的常数项等于_____. 14．安排,,,,,A B C D E F 六名义工照顾甲、乙、丙三位老人，每两位义工照顾一位老人．考虑到义工与老人住址距离问题，义工A 不安排照顾老人甲，义工B 不安排照顾老人乙，安排方法共有___________． 15．若有一个不透明的袋子内装有大小、质量相同的6个小球，其中红球有2个，白球有4个，每次取两个，取后放回，连续取三次，设随机变量ξ表示取出后都是白球的次数，则()E ξ=______ ．16．设2018220180122018(1)ax x a x a a x a -=++++L ，若12320182320182018a a a a a +++⋯+=()0a ≠，则实数a =________.四、解答题17．武汉又称江城，是湖北省省会城市，被誉为中部地区中心城市，它不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着众多名胜古迹与旅游景点，每年来武汉参观旅游的人数不胜数，其中黄鹤楼与东湖被称为两张名片为合理配置旅游资源，现对已游览黄鹤楼景点的游客进行随机问卷调查，若不游玩东湖记1分，若继续游玩东湖记2分，每位游客选择是否游览东湖景点的概率均为12，游客之间选择意愿相互独立.（1）从游客中随机抽取3人，记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）（i）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为m A，求数列{}m A的前10项和；（ⅱ）在对所有游客进行随机问卷调查过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为n B，探讨n B与1n B-之间的关系，并求数列{}n B的通项公式.18．某游戏棋盘上标有第0、1、2、L、100站，棋子开始位于第0站，选手抛掷均匀硬币进行游戏，若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站或第100站时，游戏结束.设游戏过程中棋子出现在第n 站的概率为n P .（1）当游戏开始时，若抛掷均匀硬币3次后，求棋子所走站数之和X 的分布列与数学期望；（2）证明：()()1111982n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）若最终棋子落在第99站，则记选手落败，若最终棋子落在第100站，则记选手获胜.请分析这个游戏是否公平.第10练-计数原理、概率、随机变量及其分布列一、单选题1．七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是( )A．3600种B．1440种C．4820种D．4800种【答案】A【解析】【分析】不相邻问题用插空法，先将除甲乙外的其他5人全排列，再将甲乙2人插入6个空中，即可. 【详解】第一步，先将除甲乙外的其他5人全排列，5554321120A=⨯⨯⨯⨯=种第二步，将甲乙2人插入6个空中，266530A=⨯=种则不同的排法种数是5256120303600A A=⨯=g种故选：A【点睛】本题考查排列问题，插空法是解决本题的关键.属于较易题.2．从集合{A，B，C，D，E，F}和{1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任取2个元素排成一排（字母和数字均不能重复）．则每排中字母C和数字4，7至少出现两个的不同排法种数为（）A．85 B．95 C．2040 D．2280【答案】C【解析】【分析】根据题意，分2步进行分析：先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，再将选出的4个元素全排列，即得解.【详解】根据题意，分2步进行分析：①，先在两个集合中选出4个元素，要求字母C和数字4，7至少出现两个，若字母C和数字4，7都出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，有5种选法，若字母C和数字4出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若字母C和数字7出现，需要在字母A，B，D，E，F中选出1个字母，在1、2、3、5、6、8、9中选出1个数字，有5×7＝35种选法，若数字4、7出现，需要在字母A ，B ，D ，E ，F 中选出2个字母，有C 52＝10种选法，则有5+35+35+10＝85种选法，②，将选出的4个元素全排列，有A 44＝24种情况，则一共有85×24＝2040种不同排法； 故选：C ．【点睛】本题考查了排列组合综合，考查了学生综合分析，转化化归，分类讨论的能力，属于中档题.3．()()4121x x ++的展开式中3x 的系数为（ ）A ．12B ．14C ．16D ．20【答案】C【解析】【分析】将代数式变形为()()()()444121121x x x x x ++=+++，求出展开式的通项，利用x 的指数为3，求出参数值，然后代入展开式通项可求得3x 的系数.【详解】 ()()()()444121121x x x x x ++=+++Q ，展开式通项为1,444422r r k k r r k k r k T C x xC x C x C x +=+=+，令13r k =+=，得3r =，2k =，则展开式中3x 的系数为3244242616C C +=+⨯=.故选：C.【点睛】本题考查了二项展开式中指定项的系数问题，考查计算能力，是基础题．4．某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形ABCD （边长为2个单位）的顶点A 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为(1,2,,6)i i =⋅⋅⋅，则棋子就按逆时针方向行走i 个单位，一直循环下去.则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的所有不同走法共有（ ）A ．22种B ．24种C ．25种D ．27种【答案】D【解析】分析：抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的125;134;116;224;233;466;556，共有7种组合，利用分类计数原理能得到结果. 详解：由题意知正方形ABCD （边长为2个单位）的周长是8，抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点A 处的表示三次骰子的点数之和是8,16，列举出在点数中三个数字能够使得和为8,16的有125;134;116;224;233;466;556，共有7种组合，前2种组合125;134，每种情况可以排列出336A =种结果，共有3322612A =⨯=种结果；116;224;233;466;556各有3种结果，共有5315⨯=种结果，根据分类计数原理知共有121527+=种结果，故选D.点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.5．吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15B ．815C ．35D ．320【答案】D【解析】【分析】“口香糖吃完时还剩2支香烟”即第四次取到的是口香糖且前三次有两次口香糖一次香烟，根据古典概型计算出其概率即可.【详解】由题：“口香糖吃完时还剩2支香烟”说明：第四次取到的是口香糖，前三次中恰有两次口香糖一次香烟，记香烟为123,,A A A ，口香糖为123,,B B B ，进行四次取物，基本事件总数为：6543360⨯⨯⨯=种事件“口香糖吃完时还剩2支香烟”前四次取物顺序分为以下三种情况：烟、糖、糖、糖：332118⨯⨯⨯=种糖、烟、糖、糖： 332118⨯⨯⨯=种糖、糖、烟、糖：323118⨯⨯⨯=种包含的基本事件个数为：54，所以，其概率为54336020= 故选：D【点睛】此题考查古典概型，解题关键在于弄清基本事件总数，和某一事件包含的基本事件个数，其本质在于计数原理的应用.6．我国古代有着辉煌的数学研究成果．《周牌算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、……《缉古算经》等10部专著，有着十分丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这l0部专著中有7部产生于魏晋南北朝时期．某中学拟从这10部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著的概率为（ ）．A ．1415B ．115C ．29D ． 【答案】A【解析】【分析】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ，可以求()P A ,运用公式()1()P A P A =-，求出()P A .【详解】设所选2部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A ， 所以232101()=15C P A C =，因此114()1()=11515P A P A =--=,故本题选A. 【点睛】本题考查了求对立事件的概率问题，考查了运算能力.7．已知随机变量i ξ满足P （i ξ=1）=pi ，P （i ξ=0）=1—pi ，i=1，2.若0<p1<p2<12，则 A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξ B ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A【解析】∵1122(),()E p E p ξξ==，∴12()()E E ξξ<，∵111222()(1),()(1)D p p D p p ξξ=-=-，∴121212()()()(1)0D D p p p p ξξ-=---<，故选A ．【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布数学期望与方差的公式可得A 正确．8．有甲、乙两个盒子，甲盒子里有1个红球，乙盒子里有3个红球和3个黑球，现从乙盒子里随机取出()*16,n n n N ≤≤∈个球放入甲盒子后，再从甲盒子里随机取一球，记取到的红球个数为ξ个，则随着()*16,n n n N ≤≤∈的增加，下列说法正确的是（ ）A ．E ξ增加，D ξ增加B ．E ξ增加，D ξ减小C ．E ξ减小，D ξ增加D ．E ξ减小，D ξ减小 【答案】C【解析】 【分析】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n :，可得出2n EX =，再从甲盒子里随机取一球，则ξ服从两点分布，所以()111222E P n ξξ===++，()1111222D P n ξξ=-==-+，从而可判断出E ξ和D ξ的增减性.【详解】由题意可知，从乙盒子里随机取出n 个球，含有红球个数X 服从超几何分布，即()6,3,X H n :，其中()336k n k nC C P X k C -==，其中k ∈N ，3k ≤且k n ≤，362n nEX ==. 故从甲盒中取球，相当于从含有12n+个红球的1n +个球中取一球，取到红球个数为ξ. 故()111211222n P n n ξ+===+++， 随机变量ξ服从两点分布，所以()111211222n E P n n ξξ+====+++，随着n 的增大，E ξ减小； ()1111222D P n ξξ=-==-+，随着n 的增大，D ξ增大.故选：C. 【点睛】本题考查超几何分布、两点分布，分布列与数学期望，考查推理能力与计算能力，属于难题.二、多选题9．设集合{2,3,4}M =，{1,2,3,4}N =，分别从集合M 和N 中随机取一个元素m 与n .记“点(,)P m n 落在直线x y k +=上”为事件()*38,k A k k N ≤≤∈，若事件k A 的概率最大，则k 的取值可能是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】BC 【解析】 【分析】先计算出基本事件的总数，再分别求出事件3A 、事件4A 、事件5A 、事件6A 、事件7A 、事件8A 所包含基本事件的个数及相应的概率即可. 【详解】由题意，点(,)P m n 的所有可能情况为(2,1)、(2,2)、(2,3)、(2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)，共12个基本事件，则事件3A ：点(,)P m n 落在直线3x y +=包含其中(2,1)共1个基本事件，所以()3112P A =；事件4A ：点(,)P m n 落在直线4x y +=包含其中(2,2)、(3,1)共2个基本事件，所以()416P A =；事件5A ：点(,)P m n 落在直线5x y +=包含其中(2,3)、(3,2)、(4,1)共3个基本事件，所以()514P A =；事件6A ：点(,)P m n 落在直线6x y +=包含其中(2,4)、(3,3)、(4,2)共3个基本事件，所以()614P A =；事件7A ：点(,)P m n 落在直线7x y +=包含其中(3,4)、(4,3)共2个基本事件，所以()716P A =；事件8A ：点(,)P m n 落在直线8x y +=包含其中(4,4)共1个基本事件，所以()8112P A =.综上可得，当5k =或6时，()()()56max 14k P A P A P A ===.故选：BC. 【点睛】本题主要考查古典概型的概率计算问题，关键是要分情况讨论，属中等难度题.10．对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（ ）A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项；B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项；C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项；D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用展开式的通项公式依次对选项进行分析，得到答案。
2020年山东省新高考数学模拟试卷(十二)(含答案)
2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知全集U＝R，集合A＝{x||x﹣2|≥2}，B＝{x|x≤2}，则（∁U A）∩B＝（）A．{x|0≤x≤2}B．{x|0＜x≤2}C．{x|﹣2≤x≤2}D．{x|﹣2＜x≤2}2．设a，b均为不等于1的正实数，则“a＞b＞1”是“log b2＞log a2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件3．元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（）A．1升B ．升C ．升D ．升4．已知函数f（x）＝x﹣4+，x∈（0，4），当x＝a时，f（x）取得最小值b，则函数g（x）＝a|x+b|的图象为（）A ．B ．C ．D ．5．如图，在下列四个正方体中，P，R，Q，M，N，G，H为所在棱的中点，则在这四个正方体中，阴影平面与PRQ所在平面平行的是（）A ．B ．C ．D ．6．如图，棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E、F分别为AB、A1B1的中点，则三棱锥F ﹣ECD的外接球体积为（）A ．B ．C ．D ．7．已知双曲线，过原点的直线与双曲线交于A，B两点，以AB为直径的圆恰好过双曲线的右焦点C，若△ABC的面积为2a2，则双曲线的渐近线方程为（）A ．B ．C ．D ．8．已知函数，，则方程f（g（x））＝a的实根个数最多为（）A．6B．7C．8D．9二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．（5分）已知a，b均为正实数，若log a b+log b a ＝，a b＝b a ，则＝（）A ．B ．C ．D．210．（5分）对于定义域为D的函数f（x），若存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：①f（x）在[m，n]上是单调的：②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]，则称[m，n]为该函数的“和谐区间”．下列函数存在“和谐区间”的是（）A．f（x）＝x3B．f（x）＝3C．f（x）＝e x﹣1D．f（x）＝lnx+211．（5分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，则（）A．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝B．若2cos C（a cos B+b cos A）＝c，则C ＝C．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝D．若边BC 上的高为a ，则当+取得最大值时，A ＝12．（5分）已知数列{a n}是等差数列，前n项和为S n，满足a1+5a3＝S8，下列选项正确的有（）A．a10＝0B．S10最小C．S7＝S12 D．S20＝0三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）（2x+y）（x﹣2y）5展开式中x3y3的系数为．14．（5分）已知x＞0，y＞0，是2x 与4y 的等比中项，则的最小值．15．（5分）已知圆x2+y2+4x﹣5＝0的弦AB的中点为（﹣1，1），直线AB交x轴于点P，则的值为．16．（5分）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，若P（﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝，n＝tan（θ+），则m＝，n＝．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）＝cos x（sin x﹣cos x）+，将f（x）的图象向左平移个单位得到函数y＝g（x）的图象，且g（）＝，c＝．（1）求C；（2）若3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，求cos（A﹣C）．18．（12分）设数列{a n}的前n项和为S n，若．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n＝（n+3）a n，求数列{b n}的前n项和T n．19．（12分）已知五边形ABECD由一个直角梯形ABCD与一个等边三角形BCE构成，如图1所示，AB⊥BC，AB∥CD，且AB＝2CD．将梯形ABCD沿着BC折起，如图2所示，且AB⊥平面BEC．（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ADE；（Ⅱ）若AB＝BC，求二面角A﹣DE﹣B的余弦值．20．（12分）抛物线C：y＝x2，直线l的斜率为2．（Ⅰ）若l与C相切，求直线l的方程；（Ⅱ）若l与C相交于A，B，线段AB的中垂线交C于P，Q ，求的取值范围．21．（12分）某读书协会共有1200人，现收集了该协会20名成员每周的课外阅读时间（分钟），其中某一周的数据记录如下：75 60 35 100 90 50 85 170 65 70 125 75 70 85 155 110 75 130 80 100对这20个数据按组距30进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：阅读时间分组统计表（设阅读时间为x分钟）组别时间分组频数男性人数女性人数A30≤x＜60211B60≤x＜901046C90≤x＜120m a1D120≤x＜150211E150≤x＜180n2b（I）写出m，n的值，请估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长，以及该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数；（II）该读书协会拟发展新成员5人，记新成员中每周阅读时长在[60，90）之间的人数为ξ，以上述统计数据为参考，求ξ的分布列和数学期望；（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，并回答能否有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”？每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男女合计附：K2＝P（K20.1500.100 0.0500.0250.010 0.005 0.001≥k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 22．（12分）已知函数f（x）＝x﹣alnx+a﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）若x∈[e a，+∞）时，f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．2020年山东省新高考数学模拟试卷（十二）参考答案与试题解析一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】可以求出集合A，然后进行交集和补集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|x≤0或x≥4}，B＝{x|x≤2}，U＝R，∴∁U A＝{x|0＜x＜4}，（∁U A）∩B＝{x|0＜x≤2}．故选：B．【点评】本题考查了描述法的定义，绝对值不等式的解法，交集和补集的运算，全集的定义，考查了计算能力，属于基础题．2．【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的解法进行判断即可．【解答】解：a，b均为不等于1的正实数，①若“a＞b＞1”时由对数函数的性质可得：一象限底大图低，相同自变量为2时，底大函数值小，可得log b2＞log a2成立．②若：“log b2＞log a2”有①若a，b均大于1，由log b2＞log a2，知必有a＞b＞1；②若a，b均大于0小于1，依题意，必有0＜b＜a＜1；③若log a2＜log b2＜0，则必有0＜b＜a＜1；故：“log b2＞log a2”不能推出a＞b＞1；综上所述由充要条件的定义知，A正确．故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的解法是解决本题的关键．3．【分析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量．【解答】解：设竹子自下而上的各节容米量分别为a1，a2，…，a7，由题意得a1+a2+a6+a7＝6，由等差数列的性质得：a1+a7＝2a4＝6，解得第四节竹子的装米量为a4＝（升）．故选：B．【点评】本题考查第四节竹子的装米量的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．【分析】先根据基本不等式求出a，b的值，再结合指数函数的性质及函数的图象的平移可求【解答】解：∵x∈（0，4），∴x+1＞1∴f（x）＝x﹣4+＝x +1+﹣5≥2﹣5＝1，当且仅当x＝2时取等号，此时函数有最小值1∴a＝2，b＝1，此时g（x）＝2|x+1|＝，此函数可以看成函数y ＝的图象向左平移1个单位结合指数函数的图象及选项可知A正确故选：A．【点评】本题主要考察了基本不等式在求解函数的最值中的应用，指数函数的图象及函数的平移的应用是解答本题的关键5．【分析】利用平面的基本性质作出经过P、Q、R三点的平面，然后判断选项的正误即可．【解答】解：由题意可知经过P、Q、R三点的平面如图：红色线的图形，可知N在经过P、Q、R三点的平面上，所以B、C错误；MC1与QE是相交直线，所以A不正确；故选：D．【点评】本题考查平面与平面平行的判断定理的应用，平面的基本性质的应用，是基本知识的考查．6．【分析】首先确定球心的位置，进一步利用勾股定理的应用求出求的半径，进一步求出球的体积．【解答】解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接FC1，FD1，三棱锥F﹣ECD的外接球即为三棱柱FC1D1﹣ECD的外接球，在△ECD中，取CD中点H，连接EH，则EH为边CD的垂直平分线，所以△ECD的外心在EH上，设为点M，同理可得△FC1D1的外心N，连接MN，则三棱柱外接球的球心为MN的中点设为点O，由图可得，EM2＝CM2＝CH2+MH2，又MH＝2﹣EM，CH＝1，如右图所示：，可得，所以，解得，所以．故选：D．【点评】本题考查的知识要点：锥体与球的关系的应用，球的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．7．【分析】设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，可得四边形AFBC为矩形，由双曲线的定义和勾股定理，以及三角形的面积公式，化简整理可得a，b的关系，即可得到所求双曲线的渐近线方程．【解答】解：设双曲线的左焦点为F，连接AF，BF，由题意可得AC⊥BC，可得四边形F ABC为矩形，即有|AF|＝|BC|，设|AC|＝m，|BC|＝n，可得n﹣m＝2a，n2+m2＝4c2，mn＝2a2，即有4c2﹣8a2＝4a2，即有c ＝a，b ＝＝a，可得双曲线的渐近线方程为y ＝±x．故选：B．【点评】本题考查双曲线的定义和方程、性质，考查矩形的定义和勾股定理的运用，考查运算能力，属于基础题．8．【分析】由方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系得：方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，再结合函数图象观察可得解．【解答】解：设t＝g（x），则f（t）＝a，则方程f（g（x））＝a的实根个数为函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和，要方程f（g（x））＝a的实根个数最多，则需f（t）＝a的解如图所示，由图（2）可知，函数t＝g（x）的图象与直线t＝t1，t＝t2，t＝t3，t＝t4的交点个数之和为8，故选：C．【点评】本题考查了方程的解的个数与函数图象的交点的个数的关系及作图能力，属难度较大的题型．二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分）9．【分析】设t＝log a b，代入化解求出t的值，得到a的b关系式，由a b＝b a可求出a，b的值．【解答】解：令t＝log a b，则t +＝，∴2t2﹣5t+2＝0，（2t﹣1）（t﹣2）＝0，∴t ＝或t＝2，∴log a b ＝或log a b＝2∴a＝b2，或a2＝b∵a b＝b a，代入得∴2b＝a＝b2或b＝2a＝a2∴b＝2，a＝4，或a＝2．b＝4∴．或故选：AD．【点评】本题考查对数的运算及性质，换元法的应用，属于基础题．10．【分析】由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，逐项判断即可．【解答】解：由题意，函数在“和谐区间”上单调递增，且满足f（x）＝x至少有两个解，对于A选项，函数f（x）＝x3在定义域R上单调递增，且x3＝x有解﹣1，0，1，满足条件，故正确；对于B选项，函数f（x）＝3在（0，+∞）上单调递增，且有解1，2，满足条件，故正确；对于C选项，函数f（x）＝e x﹣1在定义域上单调递增，但e x﹣1＝x只有一个解0，不满足条件，故错误；对于D选项，函数f（x）＝lnx+2在（0，+∞）上单调递增，显然函数f（x）＝lnx+2与函数y ＝x在（0，+∞）上有两个交点，即lnx+2＝x有两个解，满足条件，故正确．故选：ABD．【点评】本题以新定义问题为载体，考查了函数的单调性、零点及函数图象等基础知识点，属于基础题．解题的关键是理解“和谐区间”的定义．11．【分析】对于选项A，B，由正弦定理，两角和的正弦函数公式可求2cos C sin C＝sin C，结合sin C ≠0，可得cos C ＝，结合范围C∈（0，π），可求C的值；对于选项C，D，由三角形的面积公式可求a2＝2bc sin A ，利用余弦定理，两角和的正弦函数公式可求+＝4sin（A +），结合已知利用正弦函数的性质即可求解．【解答】解：∵2cos C（a cos B+b cos A）＝c，∴由正弦定理可得2cos C（sin A cos B+sin B cos A）＝sin C，∴2cos C sin（A+B）＝2cos C sin C＝sin C，∵sin C≠0，∴可得cos C ＝，∵C∈（0，π），∴C ＝，可得A正确，B错误．∵边BC 上的高为a，∴bc sin A ＝•a •，∴a2＝2bc sin A，∵cos A ＝，∴b2+c2＝a2+2bc cos A＝2bc sin A+2bc cos A，∴+＝＝2sin A+2cos A＝4sin（A +）≤4，当A +＝时等号成立，此时A ＝，故C正确，D错误．故选：AC．【点评】本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式，余弦定理，正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．12．【分析】根据题意，结合等差数列的前n项和公式以及通项公式，依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，数列{a n}是等差数列，若a1+5a3＝S8，即a1+5a1+10d＝8a1+28d，变形可得a1＝﹣9d，又由a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣10）d，则有a10＝0，故A一定正确，不能确定a1和d的符号，不能确定S10最小，故B不正确；又由S n＝na1+＝﹣9nd +＝×（n2﹣19n），则有S7＝S12，故C一定正确，则S20＝20a1+d＝﹣180d+190d＝﹣10d，S20≠0，则D不正确，故选：AC．【点评】本题考查等差数列的性质以及前n项和公式，关键是掌握与等差数列有关的公式，属于基础题．三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13．【分析】根据题意，结合二项式定理把（x+2y）5按照二项式定理展开，由多项式乘法的性质分析可得答案．【解答】解：根据题意，（x﹣2y）5＝x5﹣10x4y+40x3y2﹣80x2y3+80xy4﹣32y5，则（2x+y）（x+2y）5展开式中x3y3的系数为2×（﹣80）+1×40＝﹣160+40＝﹣120，故答案为：﹣120．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键是掌握二项式定理的形式，属于基础题．14．【分析】由等比数列可得x+2y＝1，则＝+＝1++，由基本不等式可得．【解答】解：x＞0，y＞0，是2x与4y的等比中项，则2x•4y＝2，∴x+2y＝1，∴＝+＝1++≥1+2＝1+2，当且仅当＝时，即x ＝﹣1，y ＝取等号，故答案为：2+1【点评】本题考查基本不等式，涉及等比数列的性质，属基础题．15．【分析】由已知先求k MC，然后根据圆的性质可求k AB，写出AB所在直线方程，联立方程可求A，B，然后根据向量数量积的坐标表示即可求解．【解答】解：设M（﹣1，1）圆心C（﹣2，0），∵k MC ＝＝1，根据圆的性质可知，k AB＝﹣1，∴AB所在直线方程为y﹣1＝﹣（x+1），即x+y＝0，联立方程可得，2x2+4x﹣5＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2＝﹣，令y＝0可得P（0，0），＝x1x2+y1y2＝2x1x2＝﹣5，故答案为：﹣5．【点评】本题主要考查了向量的数量积的坐标表示及直线与圆相交性质的简单应用．16．【分析】由题意利用任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，求得m、n的值．【解答】解：若P （﹣，m）是角θ终边上的一点，且sinθ＝＝，∴m ＝．∵tanθ＝＝﹣1，n＝tan（θ+）＝＝0，故答案为：；0．【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和的正切公式，属于基础题．四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（1）先利用三角恒等变换将f（x）化简成y＝A sin（ωx+θ）的形式，再利用图象平移变换方法得到g（x），根据g （）＝，可求得角C．（2）利用正弦定理将给的式子化边，利用余弦定理可求得cos A ，结合，问题可解．【解答】解：（1）f（x）＝cos x（sin x ﹣cos x）+＝＝，∴g（x）＝f（x）＝sin（2x ﹣），∵g （）＝，∴，∴，∴，故C ＝．（2）∵3（sin B﹣sin C）2＝3sin2A﹣8sin B sin C，由正弦定理得：3（b﹣c）2＝3a2﹣8bc，∴，∴，∴，∴cos（A﹣C ）＝，＝．【点评】本题通过考查三角函数的恒等变换和图象变换以及正余弦定理的应用，考查了学生的数学运算、逻辑推理等数学核心素养．属于中档题．18．【分析】（1）通过，说明数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，求解通项公式．（2）由（1）得，，利用错位相减法求解数列的和即可．【解答】解：（1）因为，①当n＝1时，2a1﹣S1＝2a1﹣a1＝2，所以a1＝2．当n≥2时，2a n﹣1﹣S n﹣1＝2，②①﹣②得2a n﹣S n﹣（2a n﹣1﹣S n﹣1）＝0，即a n＝2a n﹣1．因为a1＝2≠0，所以a n≠0，所以（n∈N*，且n≥2），所以数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以．（2）由（1）得，，所以，③，④③﹣④得，＝6+（21+22+23+…+2n）﹣（n+3）×2n+1＝＝6+2n+1﹣2﹣（n+3）×2n﹣1＝4﹣（n+2）2n+1，所以．【点评】本题考查数列的递推关系式的应用，数列求和，考查计算能力．19．【分析】（I）取BE的中点F，AE的中点G，证明CF⊥平面ABE，通过证明四边形CDGF是平形四边形得出CF∥DG，故DG⊥平面ABE，于是平面ABE⊥平面ADE；（II）建立空间坐标系，计算平面ADE和平面BDE的法向量，通过计算法向量的夹角得出二面角的大小．【解答】（Ⅰ）证明：取BE的中点F，AE的中点G，连接FG、GD、CF，则GF AB．∵DC AB，∴CD GF，∴四边形CFGD为平行四边形，∴CF∥DG．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥CF．∵CF⊥BE，AB∩BE＝B，∴CF⊥平面ABE．∵CF∥DG，∴DG⊥平面ABE．∵DG⊂平面ADE，∴平面ABE⊥平面ADE．（Ⅱ）解：过E作EO⊥BC于O．∵AB⊥平面BEC，∴AB⊥EO．∵AB∩BC＝B，∴EO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，OE、BC所在的直线分别为x轴、y轴，过O且平行于AB的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．设AB＝BC＝4，则A（0，﹣2，4），B（0，﹣2，0），D（0，2，2），E（2，0，0），∴＝（﹣2，2，2），＝（﹣2，﹣2，4），＝（﹣2，﹣2，0）．设平面EAD 的法向量为＝（x1，y1，z1），则有，即，取z1＝2得x1＝，y1＝1，则＝（，1，2），设平面BDE 的法向量为＝（x2，y2，z2），则，即，取x2＝1，得y2＝﹣，z2＝2，则＝（1，﹣，2）．∴cos ＜＞＝＝＝．又由图可知，二面角ADEB的平面角为锐角，∴二面角A﹣DE﹣B 的余弦值为．【点评】本题考查了面面垂直的判定，空间向量与二面角的计算，属于中档题．20．【分析】（1）设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l与抛物线C的方程联立，利用△＝0求出b 的值，从而得出直线l的方程；（2）设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），设直线l的方程为y＝2x+b，将直线l的方程与抛物线C的方程联立，由△＞0得出b的范围，并列出韦达定理，求出|AB|并求出线段AB的中点坐标，然后得出线段AB中垂线的方程PQ，将直线PQ的方程与抛物线C的方程联立，列出韦达定理并求出|PQ|，然后得出的表达式，结合不等式的性质求出这个代数式的取值范围．【解答】解：（1）设直线l的方程为y＝2x+b，联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＝0，所以，b＝﹣1，因此，直线l的方程为y＝2x﹣1；（2）设直线l的方程为y＝2x+b，设点A（x1，y1）、B（x2，y2）、P（x3，y3）、Q（x4，y4），联立直线l与抛物线C 的方程，得x2﹣2x﹣b＝0，△＝4+4b＞0，所以，b＞﹣1．由韦达定理得x1+x2＝2，x1x2＝﹣b．所以，，因为线段AB的中点为（1，2+b），所以，直线PQ 的方程为，由，得2x2+x﹣5﹣2b＝0，由韦达定理得，，所以，，所以，，所以，的取值范围是．【点评】本题考查抛物线的综合问题，考查韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，考查计算能力，属于中等题．21．【分析】（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．由此能估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长和该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），由此能求出ξ的分布列和数学期望．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表，求出k0≈0.808，从而没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【解答】解：（Ⅰ）由阅读时间分组统计表，得到m＝4，n＝2．估计该读书小组中人均每周的课外阅读时长为：＝93分钟．该读书小组中一周阅读时长不少于90分钟的人数为：1200×＝480人．（Ⅱ）估计新成员每周阅读时长在[60，90）之间的概率为，依题意ξ～B（5，），共分布列为：P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，P（ξ＝4）＝＝，P（ξ＝5）＝＝，∴ξ的分布列为：ξ012345P∴E（ξ）＝5×＝．（Ⅲ）完成下面的2x2列联表：每周阅读时间不少于120分钟每周阅读时间少于120分钟合计男3811女189合计41620k0＝≈0.808，∴没有90%的把握认为“每周至少阅读120分钟与性别有关”．【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查独立检验的应用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．22．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）通过讨论a的范围，结合函数的单调性求出函数的最小值，从而确定a的范围即可．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）的定义域是（0，+∞），f′（x）＝1﹣＝，①当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，②当a＞0时，由f′（x）＝0，解得：x＝a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，综上，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）递增，当a＞0时，f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；（Ⅱ）①当a＝0时，∵x≥1，∴f（x）＝x﹣1≥0恒成立，故a＝0符合题意，②当a＜0时，e a＜0，∵f（1）＝a＜0，故f（x）≥0不恒成立，舍，③当a＞0时，由（Ⅰ）知f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，下面先证明：e a＞a（a＞0），设p（a）＝e a﹣a，∵p′（a）＝e a﹣1＞0，∴p（a）在（0，+∞）递增，p（a）≥p（0）＝1＞0，故e a＞a，故f（x）在[e a，+∞）递增，故f（x）min＝f（e a）＝e a﹣a2+a﹣1，设q（a）＝e a﹣a2+a﹣1（a＞0），则q′（a）＝e a﹣2a+1，q″（a）＝e a﹣2，由q″（a）＞0，解得：a＞ln2，由q″（a）＜0，解得：0＜a＜ln2，故q′（a）在（0，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，故q′（a）≥q′（ln2）＝3﹣2ln2＞0，故q（a）在（0，+∞）递增，故q（a）＞q（0）＝0，故f（x）min＞0，故f（x）≥0恒成立，故a＞0符合题意，综上，a的范围是[0，+∞）．【点评】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．。
2020年山东省高考数学模拟试卷
2020年山东省高考数学模拟试卷学校:________ 班级:________ 姓名:________ 学号:________一、单选题（共8小题）1.设集合A＝{（x，y）|x+y＝2}，B＝{（x，y）|y＝x2}，则A∩B＝（）A．{（1，1）} B．{（﹣2，4）}C．{（1，1），（﹣2，4）} D．∅2.已知a+bi（a，b∈R）是的共轭复数，则a+b＝（）A．﹣1 B．﹣C．D．13.设向量＝（1，1），＝（﹣1，3），＝（2，1），且（﹣λ）⊥，则λ＝（）A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣34.（﹣x）10的展开式中x4的系数是（）A．﹣210 B．﹣120 C．120 D．2105.已知三棱锥S﹣ABC中，∠SAB＝∠ABC＝，SB＝4，SC＝2，AB＝2，BC＝6，则三棱锥S﹣ABC的体积是（）A．4 B．6 C．4D．66.已知点A为曲线y＝x+（x＞0）上的动点，B为圆（x﹣2）2+y2＝1上的动点，则|AB|的最小值是（）A．3 B．4 C．3D．47.设命题p：所有正方形都是平行四边形，则￢p为（）A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形8.若a＞b＞c＞1且ac＜b2，则（）A．log a b＞log b c＞log c a B．log c b＞log b a＞log a cC．log b c＞log a b＞log c a D．log b a＞log c b＞log a c二、多选题（共4小题）9.如图为某地区2006年～2018年地方财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额折线图．根据该折线图可知，该地区2006年～2018年（）A．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势B．财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额的逐年增长速度相同C．财政预算内收入年平均增长量高于城乡居民储蓄年末余额年平均增长量D．城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大10.已知双曲线C过点（3，）且渐近线为y＝±x，则下列结论正确的是（）A．C的方程为﹣y2＝1B．C的离心率为C．曲线y＝e x﹣2﹣1经过C的一个焦点D．直线x﹣﹣1＝0与C有两个公共点11.正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点．则（）A．直线D1D与直线AF垂直B．直线A1G与平面AEF平行C．平面AEF截正方体所得的截面面积为D．点C与点G到平面AEF的距离相等12.函数f（x）的定义域为R，且f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，则（）A．f（x）为奇函数B．f（x）为周期函数C．f（x+3）为奇函数D．f（x+4）为偶函数三、填空题（共4小题）13.某元宵灯谜竞猜节目，有6名守擂选手和6名复活选手，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有种．14.已知cos（α+）﹣sinα＝，则sin（α+）＝﹣．15.直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0），且与C交于A，B两点，则p＝，+＝．16.半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，则△ABC，△ACD与△ADB面积之和的最大值为．四、解答题（共6小题）17.在①b1+b3＝a2，②a4＝b4，③S5＝﹣25这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的k存在，求k的值；若k不存在，说明理由．设等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是等比数列，，b1＝a5，b2＝3，b5＝﹣81，是否存在k，使得S k＞S k+1且S k+1＜S k+2？18.在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC．（1）若D为BC的中点，且△CDF的面积等于△ABC的面积，求∠ABC；（2）若∠ABC＝45°，且BD＝3CD，求cos∠CFB．19.如图，四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，E，F分别为AD，SC的中点，EF与平面ABCD所成的角为45°．（1）证明：EF为异面直线AD与SC的公垂线；（2）若EF＝BC，求二面角B﹣SC﹣D的余弦值．20.下面给出了根据我国2012年～2018年水果人均占有量y（单位：kg）和年份代码x绘制的散点图和线性回归方程的残差图（2012年～2018年的年份代码x分别为1～7）．（1）根据散点图分析y与x之间的相关关系；（2）根据散点图相应数据计算得y i＝1074，x i y i＝4517，求y关于x的线性回归方程；（3）根据线性回归方程的残差图，分析线性回归方程的拟合效果（精确到0.01）附：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．21.设中心在原点，焦点在x轴上的椭圆E过点（1，），且离心率为，F为E的右焦点，P为E上一点，PF⊥x轴，⊙F的半径为PF．（1）求E和⊙F的方程；（2）若直线1：y＝k（x﹣）（k＞0）与⊙F交于A，B两点，与E交于C，D两点，其中A，C在第一象限，是否存在k使|AC|＝|BD|？若存在，求l的方程：若不存在，说明理由．22.函数f（x）＝（x＞0），曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线在y轴上的截距为．（1）求a；（2）讨论g（x）＝x（f（x））2的单调性；（3）设a1＝1，a n+1＝f（a n），证明：2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1．2020年山东省高考数学模拟试卷参考答案一、单选题（共8小题）1.【分析】可以选择代入选项中的元素．【解答】解：将（1，1）代入A，B成立，则（1，1）为A∩B中的元素．将（﹣2，4）代入A，B成立，则（﹣2，4）为A∩B中的元素．故选：C．【知识点】交集及其运算2.【分析】先利用复数的除法运算法则求出的值，再利用共轭复数的定义求出a+bi，从而确定a，b的值，求出a+b．【解答】解：＝＝＝﹣i，∴a+bi＝﹣（﹣i）＝i，∴a＝0，b＝1，∴a+b＝1，故选：D．【知识点】复数代数形式的乘除运算3.【分析】利用（﹣λ）⊥，列出含λ的方程即可．【解答】解：因为﹣λ＝（1+λ，1﹣3λ），又因为（﹣λ）⊥，所以（1+λ，1﹣3λ）•（2，1）＝2+2λ+1﹣3λ＝0，解得λ＝3，故选：A．【知识点】平面向量的坐标运算4.【分析】由二项式展开式通项公式可得：二项式（﹣x）10的展开式的通项为T r+1＝，再令2r﹣10＝4求解即可．【解答】解：由二项式（﹣x）10的展开式的通项T r+1＝得，令2r﹣10＝4，得r＝7，即展开式中x4的系数是，故选：B．【知识点】二项式定理5.【分析】根据条件可以计算出AC，进而判断出SA⊥AC，所以SA⊥平面ABC，则三棱锥体积可表示为•SA•S△ABC，计算出结果即可．【解答】解：如图，因为∠ABC＝，所以AC＝＝2，则SA2+AC2＝40+12＝52＝SC2，所以SA⊥AC，又因为∠SAB＝，即SA⊥AB，AB∩AC＝A，SA⊄平面ABC，所以SA⊥平面ABC，所以V S﹣ABC＝•SA•S△ABC＝＝4，故选：C．【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积6.【分析】作出对勾函数的图象，利用圆的性质，判断当A，B，C三点共线时，|AB|最小，然后进行求解即可．【解答】解：作出对勾函数y＝x+（x＞0）的图象如图：由图象知函数的最低点坐标为A（2，4），圆心坐标C（2，0），半径R＝1，则由图象知当A，B，C三点共线时，|AB|最小，此时最小值为4﹣1＝3，即|AB|的最小值是3，故选：A．【知识点】直线与圆的位置关系7.【分析】找出条件和结论，否定条件和结论．【解答】解：命题的否定为否定量词，否定结论．故￢p，有的正方形不是平行四边形．故选：C．【知识点】命题的否定8.【分析】通过和1比较大小判断，特殊值代入排除选项．【解答】解：因为a＞b＞c＞1，令a＝16，b＝8，c＝2，则log c a＞1＞log a b所以A，C错，则故D错，B对．故选：B．【知识点】对数值大小的比较二、多选题（共4小题）9.【分析】根据图分析每一个结论．【解答】解：由图知财政预算内收入、城乡居民储蓄年末余额均呈增长趋势，A对．由图知城乡居民储蓄年末余额的年增长速度高于财政预算内收入的年增长速度，B错．由图知财政预算内收入年平均增长量低于城乡居民储蓄年末余额年平均增长，C错．由图知城乡居民储蓄年末余额与财政预算内收入的差额逐年增大，D对．故选：AD．【知识点】进行简单的合情推理10.【分析】根据条件可求出双曲线C的方程，再逐一排除即可．【解答】解：设双曲线C的方程为，根据条件可知＝，所以方程可化为，将点（3，）代入得b2＝1，所以a2＝3，所以双曲线C的方程为，故A对；离心率e＝＝＝＝，故B错；双曲线C的焦点为（2，0），（﹣2，0），将x＝2代入得y＝e0﹣1＝0，所以C对；联立，整理得y2﹣2y+2＝0，则△＝8﹣8＝0，故只有一个公共点，故D错，故选：AC．【知识点】双曲线的简单性质11.【分析】取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，由AM与DD1不垂直，可得AF与DD1不垂直；取B1C1中点N，连接A1N，GN，得平面A1GN∥平面AEF，再由面面平行的性质判断B；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积判断C；利用反证法证明D错误．【解答】解：取DD1中点M，则AM为AF在平面AA1D1D上的射影，∵AM与DD1不垂直，∴AF与DD1不垂直，故A错；取B1C1中点N，连接A1N，GN，可得平面A1GN∥平面AEF，故B正确；把截面AEF补形为四边形AEFD1，由等腰梯形计算其面积S＝，故C正确；假设C与G到平面AEF的距离相等，即平面AEF将CG平分，则平面AEF必过CG的中点，连接CG交EF于H，而H不是CG中点，则假设不成立，故D错．故选：BC．【知识点】直线与平面平行的判定12.【分析】利用已知条件推导出f（x）的周期，再利用周期即可得出f（x）与f（x+3）都为奇函数．【解答】解：∵f（x+1）与f（x+2）都为奇函数，∴f（﹣x+1）＝﹣f（x+1）①，f（﹣x+2）＝﹣f（x+2）②，∴由①可得f[﹣（x+1）+1]＝﹣f（x+1+1），即f（﹣x）＝﹣f（x+2）③，∴由②③得f（﹣x）＝f（﹣x+2），所以f（x）的周期为2，∴f（x）＝f（x+2），则f（x）为奇函数，∴f（x+1）＝f（x+3），则f（x+3）为奇函数，故选：ABC．【知识点】函数的周期性、函数奇偶性的判断三、填空题（共4小题）13.【分析】先阅读题意，再结合排列组合中的分步原理计算即可得解．【解答】解：由排列组合中的分步原理，从复活选手中挑选1名选手为攻擂者，共＝6种选法，从守擂选手中挑选1名选手为守擂者，共＝6种选法，则攻擂者、守擂者的不同构成方式共有6×6＝36种选法，即攻擂者、守擂者的不同构成方式共有36种，故答案为：36．【知识点】排列、组合及简单计数问题14.【分析】由条件利用两角和差的三角公式求得cos（α+）的值，再利用诱导公式求得sin（α+）的值．【解答】解：∵cos（α+）﹣sinα＝cosα﹣sinα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝cos（α+）＝，∴cos（α+）＝．则sin（α+）＝sin（α﹣）＝﹣cos（α﹣+）＝﹣cos（α+）＝﹣，故答案为：﹣．【知识点】两角和与差的余弦函数15.【分析】本题先根据抛物线焦点坐标可得p的值，然后根据抛物线的定义和准线，可知|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1．再根据直线斜率存在与不存在两种情况进行分类讨论，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理最终可得结果．【解答】解：由题意，抛物线C的焦点F（1，0），∴＝1，故p＝2．∴抛物线C的方程为：y2＝4x．则可设A（x1，y1），B（x2，y2）．由抛物线的定义，可知：|AF|＝x1+1，|BF|＝x2+1．①当斜率不存在时，x1＝x2＝1．∴＝+＝+＝1．②当斜率存在时，设直线l斜率为k（k≠0），则直线方程为：y＝k（x﹣1）．联立，整理，得k2x2﹣2（k2+2）x+k2＝0，∴．∴＝+＝＝＝1．综合①②，可知：＝1．故答案为：2；1．【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题16.【分析】首先求出长方体的外接球的半径，进一步利用三角形的面积和基本不等式的应用求出结果．【解答】解：半径为2的球面上有A，B，C，D四点，且AB，AC，AD两两垂直，如图所示则设四面体ABCD置于长方体模型中，外接球的半径为2，故x2+y2+z2＝16，S＝S△ABC+S△ACD+S△ABD＝，由于2（x2+y2+z2）﹣4S＝（x﹣y）2+（y﹣z）2+（x﹣z）2≥0，所以4S≤2•16＝32，故S≤8，故答案为：8．【知识点】球内接多面体四、解答题（共6小题）17.【分析】利用等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，先求出，等比数列{b n}的通项公式，再分别结合三个条件一一算出等差数列{a n}的通项公式，并判断是否存在符合条件的k．【解答】解：∵{b n}是等比数列，b2＝3，b5＝﹣81，∴，解得，∴b n＝﹣（﹣3）n﹣1，∴a5＝b1＝﹣1，若S k＞S k+1，即S k＞S k+a k+1，则只需a k+1＜0，同理，若S k+1＜S k+2，则只需a k+2＞0，若选①：b1+b3＝a2时，a2＝﹣1+（﹣9）＝﹣10，又a5＝﹣1，∴a n＝3n﹣16，∴当k＝4时，a5＜0，a6＞0，符合题意，若选②：a4＝b4时，a4＝b4＝27，又a5＝﹣1，∴d＝﹣28，∴等差数列{a n}为递减数列，故不存在k，使得a k+1＜0，a k+2＞0，若选③：S5＝﹣25时，S5＝＝＝5a3＝﹣25，∴a3＝﹣5，又a5＝﹣1，∴a n＝2n﹣11，∴当k＝4时，a5＜0，a6＞0，符合题意，综上所求：①，③符合题意．故答案为：①，③．【知识点】等差数列的前n项和、等比数列18.【分析】（1）直接利用三角形的面积公式的应用建立等量关系，进一步求出∠ABC．（2）利用三角形的边的关系式的应用和余弦定理的应用求出cos∠CFB．【解答】解：（1）如图所示在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上．在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF＝AC，所以，，且△CDF的面积等于△ABC的面积，由于DF＝AC，所以CD＝AB，D为BC的中点，故BC＝2AC，所以∠ABC＝60°．（2）如图所示：设AB＝k，由于∠A＝90°，∠ABC＝45°，BD＝3DC，DF＝AC，所以AC＝k，CB＝k，BD＝，DF＝k，由于DF⊥BC，所以CF2＝CD2+DF2，则．且BF2＝BD2+DF2，解得，在△CBF中，利用余弦定理＝＝．【知识点】余弦定理19.【分析】（1）根据异面直线共垂线的定义进行证明即可．（2）建立空间直角坐标系，求出点的坐标，利用向量法求出平面的法向量，利用向量法进行转化求解即可．【解答】解：（1）取SD的中点H，连EH，FH，则EH∥SA，则EH⊥平面ABCD，∴EH⊥AD，∵FH∥CD，CD⊥AD，∴FH⊥AD，∴AD⊥平面EFH，∴AD⊥EF设BC＝2，∴EF＝1，EM＝FM＝，∴CD＝AB＝，SA＝，建立如图的空间直角坐标系，则E（0，1，0），F（，1，），S（0，0，），C（，2，0），则＝（，0，），＝（，2，﹣），则＝1﹣1＝0，即EF⊥SC，即EF为异面直线AD与SC的公垂线．（2）若EF＝BC，设BC＝2，则EF＝1，则EM＝FM＝，CD＝AB＝，SA＝，D（0，2，0），B（，0，0），则＝（，2，﹣），＝（0，2，0），＝（﹣，0，0），设面BCS的法向量为＝（a，b，c），则，则，取a＝c＝1，则＝（1，0，1）设面SCD的法向量为＝（x，y，z），则，则，取z＝，则y＝1，则＝（0，1，），则cosθ＝＝＝，∴余弦值为．【知识点】与二面角有关的立体几何综合题20.【分析】（1）根据散点图可以看出，散点均匀的分布在一条直线附近，故y与x成线性相关；（2）根据给出信息，分别计算出x，y的平均值，代入最小二乘法估计公式，即可得到回归方程；（3）根据所给残差图分别区域的宽度分析即可．【解答】解：（1）根据散点图可知，散点均匀的分布在一条直线附近，且随着x的增大，y增大，故y 与x成线性相关，且为正相关；（2）依题意，＝（1+2+3+4+5+6+7）＝4，＝y i＝1074≈153.43，＝＝＝≈7.89，＝﹣＝154.43﹣7.89×4＝121.87，所以y关于x的线性回归方程为：＝7.89x+121.87；（3）由残差图可以看出，残差对应点分布在水平带状区域内，且宽度较窄，说明拟合效果较好，回归方程的预报精度较高．【知识点】线性回归方程21.【分析】（1）根据离心率可得，代入a2＝b2+c2得a＝2b，再代点即可得出E的方程，再求出点F、P的坐标，从而求出圆F的方程；（2）设出C、D的坐标，求出|CF|、|DF|，根据条件得到|AB|＝|CD|＝1，利用韦达定理代入即可得到结论．【解答】解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为，∵椭圆的离心率e＝，∴，∵a2＝b2+c2，∴a＝2b，将点（1，）代入椭圆的方程得：，联立a＝2b解得：，∴椭圆E的方程为：，∴F（），∵PF⊥x轴，∴P（），∴⊙F的方程为：；（2）由A、B再圆上得|AF|＝|BF|＝|PF|＝r＝，设C（x1，y1），D（x2，y2），|CF|＝1同理：，若|AC|＝|BD|，则|AB|＝|CD|＝1，∴4﹣，由得，∴∴4﹣＝1得12k2＝12k2+3，无解，故不存在．【知识点】直线与椭圆的位置关系22.【分析】（1）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，以及切线方程，代入（0，），解方程可得a；（2）求得g（x）的解析式和导数，分解因式可得导数的符号，进而判断单调性；（3）运用分析法证明，结合f（x）和g（x）的单调性，以及a n+1＝f（a n），等比数列的性质，对a n与的大小关系讨论，即可得证．【解答】解：（1）函数f（x）＝（x＞0）的导数为f′（x）＝，曲线y＝f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为，切点为（1，），切线方程为y﹣＝（x﹣1），代入（0，）可得﹣＝（0﹣1），解得a＝7；（2）g（x）＝x（f（x））2＝x•（）2＝，g′（x）＝，当x＞0时，g′（x）＞0，可得g（x）在（0，+∞）递增；（3）要证2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1，只需证|lna n﹣ln7|＜，即为|ln|＜，只要证|ln|＜|ln|，由f（x）在（0，+∞）递减，a n＞0，若a n＞，a n+1＝f（a n）＜f（）＝，此时＜1＜，只要证ln＜ln（），即为＜（），即a n a n+12＞7，此时a n＞，由（2）知a n a n+12＝g（a n）＞g（）＝7；若a n＜，a n+1＝f（a n）＞f（）＝，此时＜1＜，只要证ln＜ln（），即为＜（），即a n a n+12＜7，此时a n＜，由（2）知a n a n+12＝g（a n）＜g（）＝7；若a n＝，不等式显然成立．综上可得|ln|＜|ln|，（n≥1，n∈N*）成立，则|ln|＜•|ln|＝•ln7，由ln7＜lne2＝1，可得|ln|＜，则2n﹣2|2lna n﹣ln7|＜1成立．【知识点】利用导数研究函数的单调性。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题05 三角函数与解三角形(原卷版)
专题5 三角函数与解三角形1.近几年高考在对三角恒等变换考查的同时，对三角函数图象与性质的考查力度有所加强，往往将三角恒等变换与三角函数的图象和性质结合考查，先利用三角公式进行化简，然后进一步研究三角函数的性质.其中三角函数的定义域值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性以及图象变换是主要考查对象，难度以中档以下为主.2.高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等．预测2020年将突出考查恒等变换与三角函数图象和性质的结合、恒等变换与正弦定理和余弦定理的结合.一、单选题1．（2020届山东省潍坊市高三上期中）sin 225︒= （ ）A ．12-B ．2-C ．D ．1-2．（2020届山东省泰安市高三上期末）“1a <-”是“0x ∃∈R ，0sin 10+<a x ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知345sin πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则cos α=（ ）A ．10B ．10C ．2 D ．104．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =( )A ．2B ．-2C ．2019D ．-20195．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知函数()cos()(0)f x x ωϕω=+>的最小正周期为π，且对x ∈R ，()3f x f π⎛⎫⎪⎝⎭…恒成立，若函数()y f x =在[0,]a 上单调递减，则a 的最大值是（ ） A ．π6 B ．π3C ．2π3D ．5π66．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）若π1sin 34α⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则πcos 23α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）．A ．78-B ．14-C ．14 D ．787．（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数()sin cos f x x x =+，则（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．()y f x =图象的一条对称轴方程为4x π=C ．()f x 的最小值为2-D ．()f x 的0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上为增函数8．（2020届山东省九校高三上学期联考）如图是一个近似扇形的鱼塘，其中OA OB r ==，弧AB 长为l （l r <）.为方便投放饲料，欲在如图位置修建简易廊桥CD ，其中34OC OA =，34OD OB =.已知1(0,)2x ∈时，3sin 3!x x x ≈-，则廊桥CD 的长度大约为（ ）A ．323432r r l - B ．323432l l r - C ．32324l l r-D ．32324r r l-9．（2020·武邑县教育局教研室高三上期末（理））已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（） A ．-7B ．7C ．1D ．-110．（2020届山东师范大学附中高三月考）为了得函数23y sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，只需把函数2y sin x =的图象（ ） A ．向左平移6π个单位 B ．向左平移3π单位 C ．向右平移6π个单位 D ．向右平移3π个单位11．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）将曲线()cos 2y f x x =上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移4π个单位长度，得到曲线cos 2y x =，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．-1C D ．12．（2020届山东省济宁市高三上期末）在ABC ∆中,1,3,1AB AC AB AC ==⋅=-u u u r u u u r,则ABC ∆的面积为( )A ．12B ．1CD ．213．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）将函数()πsin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像向右平移()0a a >个单位得到函数()πcos 24g x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图像，则a 的值可以为（ ）A ．5π12B ．7π12C ．19π24D ．41π2414．（2020届山东省临沂市高三上期末）已知函数2()2cos 12f x x πω⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0)>ω的图象关于直线4x π=对称，则ω的最小值为（ ） A ．13B ．16C ．43D ．5615．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2cos cos cos b B a C c A =+，2b =，则△ABC 面积的最大值是A ．1B C ．2D ．416．（2020届山东省烟台市高三上期末）若x α=时，函数()3sin 4cos f x x x =+取得最小值，则sin α=（ ）A ．35B ．35-C ．45D ．45-17．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC △中，若 13,3,120AB BC C ==∠=o ，则AC =（ ） A ．1B ．2C ．3D ．418．（2020届山东实验中学高三上期中）已知()cos 2cos 2παπα⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，且()1tan 3αβ+=，则tan β的值为（ ） A ．-7B ．7C ．1D ．-119．（2020届山东省济宁市高三上期末）函数22cos cos 1y x x =-++，,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．20．（2020届山东师范大学附中高三月考）泉城广场上矗立着的“泉标”，成为泉城济南的标志和象征．为了测量“泉标”高度，某同学在“泉标”的正西方向的点A 处测得“泉标”顶端的仰角为45︒，沿点A 向北偏东30︒前进100 m 到达点B ，在点B 处测得“泉标”顶端的仰角为30︒，则“泉标”的高度为（ ） A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m21．（2020届山东实验中学高三上期中）已知函数()sin 23f x a x x =的图象关于直线12x π=-对称，若()()124f x f x ⋅=-，则12a x x -的最小值为（ ） A ．4πB ．2π C ．πD ．2π22．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知函数()2sin(2)f x x ϕ=+的图象过点,26A π⎛⎫⎪⎝⎭，则( ) A ．把()y f x =的图象向右平移6π个单位得到函数2sin 2y x =的图象B ．函数()f x 在区间,02π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减C ．函数()f x 在区间[]0,2π内有五个零点D ．函数()f x 在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为1 二、多选题23．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设函数()sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则下列结论正确的是（ ） A ．π-是()f x 的一个周期 B ．()f x 的图像可由sin 2y x =的图像向右平移3π得到 C ．()f x π+的一个零点为6x π=D ．()y f x =的图像关于直线1712x π=对称 24．（2020届山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+25．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）关于函数()22cos cos(2)12f x x x π=-+-的描述正确的是（ ）A ．其图象可由2y x =的图象向左平移8π个单位得到 B ．()f x 在(0,)2π单调递增C ．()f x 在[]0,π有2个零点D ．()f x 在[,0]2π-的最小值为26．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知函数()sin cos f x x x =-，()g x 是()f x 的导函数，则下列结论中正确的是（ ）A ．函数()f x 的值域与()g x 的值域不相同B ．把函数()f x 的图象向右平移2π个单位长度，就可以得到函数()g x 的图象 C ．函数()f x 和()g x 在区间,44ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上都是增函数 D ．若0x 是函数()f x 的极值点，则0x 是函数()g x 的零点27．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）将函数()sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移2π个单位长度得到()g x 图象，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()g x 在区间,122ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()g x 图象关于直线712x π=对称 C ．函数()g x 在区间,63ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减 D ．函数()g x 图象关于点,03π⎛⎫⎪⎝⎭对称28．（2020届山东省潍坊市高三上期末）已知()()22210f x cos x x ωωω=->的最小正周期为π，则下列说法正确的有（ ） A ．2ω= B ．函数()f x 在[0,]6π上为增函数C ．直线3x π=是函数()y f x =图象的一条对称轴D ．5π,012骣琪琪桫是函数()y f x =图象的一个对称中心29．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在ABC V 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan A ，1tan B ，1tan C依次成等差数列，则下列结论中不一定成立．．．．．的是（ ） A ．a ，b ，c 依次成等差数列B C ．2a ，2b ，2c 依次成等差数列 D ．3a ，3b ，3c 依次成等差数列30．（2020届山东省济宁市高三上期末）将函数()sin 2f x x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象,则函数()g x 具有性质( )A ．在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,为偶函数 B ．最大值为1,图象关于直线32x π=-对称 C ．在3,88ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增,为奇函数 D ．周期为π,图象关于点3,04π⎛⎫⎪⎝⎭对称 31．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()()()sin 0,023f x x f x ππωϕωϕ⎛⎫=+><<- ⎪⎝⎭，为的一个零点，6x π=为()f x 图象的一条对称轴，且()()0f x π在，上有且仅有7个零点，下述结论正确．．的是（ ） A ．=6πϕB ．=5ωC ．()()0f x π在，上有且仅有4个极大值点D ．()042f x π⎛⎫⎪⎝⎭在，上单调递增32．（2019·山东师范大学附中高三月考）在平面直角坐标系xOy 中，角α顶点在原点O ，以x 正半轴为始边，终边经过点()()1,0P m m <，则下列各式的值恒大于0的是（ ） A ．sin tan ααB ．cos sin αα-C ．sin cos ααD ．sin cos αα+33．（2020届山东省烟台市高三上期末）已知函数()()sin 322f x x ππϕϕ⎛⎫=+-<< ⎪⎝⎭的图象关于直线4x π=对称，则（ ） A ．函数12f x π⎛⎫+⎪⎝⎭为奇函数 B ．函数()f x 在,123ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．若()()122f x f x -=，则12x x -的最小值为3πD ．函数()f x 的图象向右平移4π个单位长度得到函数cos3y x =-的图象 三、填空题34．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin 2x =______. 35．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知tan 3α=，则sin cos sin cos αααα-+的值为______.36．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知1tan 3α=，则2sin 2sin 1cos 2ααα-+的值为________．37．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）在平面直角坐标系xOy 中，角α的顶点是O ，始边是x 轴的非负半轴，02απ<<，点1tan,1tan1212P ππ⎛⎫+- ⎪⎝⎭是α终边上一点，则α的值是________. 38．（2020·全国高三专题练习（文））已知sin cos 11cos 2ααα=-，1tan()3αβ-=，则tan β=________.39．（2020届山东实验中学高三上期中）在ABC ∆中，,,a b c 分别为内角,,A B C 的对边，若32sin sin sin ,cos 5B AC B =+=，且6ABC S ∆=，则b =__________． 40．（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知函数()9sin 26f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭，当[]0,10x π∈时，把函数()()6F x f x =-的所有零点依次记为123,,,,n x x x x ⋅⋅⋅，且123n x x x x <<<⋅⋅⋅<，记数列{}n x 的前n 项和为n S ，则()12n n S x x -+=______.41．（2020届山东省德州市高三上期末）已知函数()()sin f x A x =+ωϕ0,0,||2A πωϕ⎛⎫>><⎪⎝⎭的最大值2π，且()f x 的图象关于直线3x π=-对称，则当,66x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 的最小值为______.42．（2020届山东省泰安市高三上期末）在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos sin A B C a b c +=，22265b c a bc +-=，则tan B =______． 四、解答题43．（2020届山东省临沂市高三上期末）在①3cos 5A =，cos C =，②sin sin sin c C A b B =+，60B =o，③2c =，1cos 8A =三个条件中任选一个补充在下面问题中，并加以解答. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若3a =，______，求ABC V 的面积S . 44．（2020届山东省泰安市高三上期末）在①函数()()1sin 20,22f x x πωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象向右平移12π个单位长度得到()g x 的图象，()g x图象关于原点对称；②向量),cos 2m x x ωω=u r，()11cos ,,0,24n x f x m n ωω⎛⎫=>=⋅ ⎪⎝⎭r u r r ；③函数()1cos sin 64f x x x πωω⎛⎫=+- ⎪⎝⎭()0ω>这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知_________，函数()f x 的图象相邻两条对称轴之间的距离为2π． （1）若02πθ<<，且sin θ=()f θ的值； （2）求函数()f x 在[]0,2π上的单调递减区间．45．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos 0a c B b A ++=.（I ）求B ；（II ）若3,b ABC =∆的周长为3ABC +∆的面积.46．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知函数()sin()f x A x ωϕ=+，其中0A >，0>ω，(0,)ϕπ∈，x ∈R ，且()f x 的最小值为-2，()f x 的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，()f x 的图象过点,03π⎛-⎫ ⎪⎝⎭.（1）求函数()f x 的解析式和单调递增区间； （2）若[0,2]x πÎ函数()f x 的最大值和最小值.47．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知10a b +=，5c =，sin 2sin 0B B +=．（1）求a ，b 的值： （2）求sin C 的值．48．（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①()(sin sin )()sin a b A B c b C +-=-，②sin cos()6a Bb A π=+，③sinsin 2B Cb a B +=中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答. 在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a bc ，6b c +=，a =， . 求ABC ∆的面积.49．（2020届山东省泰安市高三上期末）如图所示，有一块等腰直角三角形地块ABC ，90A ∠=o ，BC 长2千米，现对这块地进行绿化改造，计划从BC 的中点D 引出两条成45°的线段DE 和DF ，与AB 和AC 围成四边形区域AEDF ，在该区域内种植花卉，其余区域种植草坪；设BDE α∠=，试求花卉种植面积()S α的取值范围．50．（2020届山东省日照市高三上期末联考）在①ABC ∆面积2ABC S ∆=，②6ADC π∠=这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求AC . 如图，在平面四边形ABCD 中，34ABC π∠=，BAC DAC ∠=∠，______，24CD AB ==，求AC .51．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，23sin 2cos02A CB +-=. （1）求角B 的大小；（2）若2sin 2sin sin B A C =，且ABC ∆的面积为3ABC ∆的周长.52．（2020届山东省德州市高三上期末）已知a ，b ，c 分别为ABC ∆内角A ，B ，C 的对边，若ABC ∆同时满足下列四个条件中的三个：①2633()b a ac c a b -+=+；②2cos 22cos 12A A +=；③6a =④2b =（1）满足有解三角形的序号组合有哪些？（2）在（1）所有组合中任选一组，并求对应ABC ∆的面积. （若所选条件出现多种可能，则按计算的第一种可能计分）53．（20203(cos )sin b C a c B -=；②22cos a c b C +=；③sin 3sin2A Cb A a += 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.在ABC ∆中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足________________，23,b =4a c +=，求ABC ∆的面积.54．（2020届山东师范大学附中高三月考）ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足cos cos 2c A a C a +=．（1）求a b的值； （2）若1a =，7c =，求ABC V 的面积． 55．（2020·蒙阴县实验中学高三期末）在非直角ABC ∆中，a ，b ，c 分别是A ，B ，C 的对边.已知4a =，5AB AC ⋅=u u u r u u u r ，求：（1）tan tan tan tan A A B C+的值； （2）BC 边上的中线AD 的长.56．（2020届山东师范大学附中高三月考）设函数5()2cos()cos 2sin()cos 122f x x x x x ππ=++++. （1）设方程()10f x -=在(0,)π内有两个零点12,x x ，求12x x +的值；（2）若把函数()y f x =的图象向左平移6π个单位，再向下平移2个单位，得函数()g x 图象，求函数()g x 在[,]33ππ-上的最值. 57.（2020届山东省潍坊市高三上期末）在①34asinC ccosA =;②252B C bsinasinB +=这两个条件中任选-一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题.在ABC V 中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知 ，32a =.(1)求sinA ;(2)如图，M 为边AC 上一点，,2MC MB ABM π=∠=，求ABC V 的面积58．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知4cos cos cos a A c B b C =+.（1）若4a =，ABC ∆的面积为15，求b ，c 的值； （2）若()sin sin 0B k C k =>，且角C 为钝角，求实数k 的取值范围.59．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）已知函数()()23sin cos sin 10f x x x x ωωωω=-+>图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π.（1）求ω的值及函数()f x 的单调递减区间；（2）如图，在锐角三角形ABC 中有()1f B =，若在线段BC 上存在一点D 使得2AD =，且6AC =，31CD =-，求三角形ABC 的面积.60．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知()()23sin sin cos 2f x x x x ππ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭. (1)若1210f α⎛⎫= ⎪⎝⎭,求2cos 23πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对应的边分别,,a b c ,若有()2cos cos a c B b C -=,求角B 的大小以及()f A 的取值范围.61．（2020届山东省济宁市高三上期末）如图,某市三地A ,B ,C 有直道互通.现甲交警沿路线AB ､乙交警沿路线ACB 同时从A 地出发,匀速前往B 地进行巡逻,并在B 地会合后再去执行其他任务.已知AB =10km ,AC =6km ,BC =8km ,甲的巡逻速度为5km /h ,乙的巡逻速度为10km /h .(1)求乙到达C 地这一时刻的甲､乙两交警之间的距离;(2)已知交警的对讲机的有效通话距离不大于3km ,从乙到达C 地这一时刻算起,求经过多长时间,甲､乙方可通过对讲机取得联系.62．（2020·全国高三专题练习（文））在ABC V 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，且满()(sin sin )(3sin sin )b a B A c B C -+=-.（1）求A 的大小；（2）再在①2a =，②4B π=，③3=c b 这三个条件中，选出两个使ABC V 唯一确定的条件补充在下面的问题中，并解答问题.若________，________，求ABC V 的面积.63．（2020届山东实验中学高三上期中）己知函数()23sin cos sin 244f x x x x a ππ⎛⎫⎛⎫=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的最大值为1.（1）求实数a 的值；（2）若将()f x 的图象向左平移6π个单位，得到函数()g x 的图象，求函数()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值.64．（2020届山东实验中学高三上期中）“我将来要当一名麦田里的守望者，有那么一群孩子在一块麦田里玩，几千万的小孩子，附近没有一个大人，我是说……除了我”《麦田里的守望者》中的主人公霍尔顿将自己的精神生活寄托于那广阔无垠的麦田.假设霍尔顿在一块成凸四边形ABCD 的麦田里成为守望者，如图所示，为了分割麦田，他将BD 连接，设ABD ∆中边BD 所对的角为A ，BCD ∆中边BD 所对的角为C ，经测量已知2AB BC CD ===，23AD =.（1）霍尔顿发现无论BD 3cos A C -为一个定值，请你验证霍尔顿的结论，并求出这个定值；（2）霍尔顿发现麦田的生长于土地面积的平方呈正相关，记ABD ∆与BCD ∆的面积分别为1S 和2S ，为了更好地规划麦田，请你帮助霍尔顿求出2212S S +的最大值.。
2020年山东德州高三二模数学试卷-学生用卷
2020年山东德州高三二模数学试卷-学生用卷一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1、【来源】 2020年山东德州高三二模第1题5分若全集U={1,2,3,4,5,6}，M={1,3,4}，N={2,3,4}，则集合∁U M∪∁U N等于（）．A. {5,6}B. {1,5,6}C. {2,5,6}D. {1,2,5,6}2、【来源】 2020年山东德州高三二模第2题5分已知实数x，y满足x>1，y>0，则“x<y”是“log x y>1”的（）．A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3、【来源】 2020年山东德州高三二模第3题5分欧拉公式e iθ=cosθ+isinθ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cosθ和sinθ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(e iπ−z)⋅i=1+i，则|z|=（）．A. √5B. √2C. 2√2D. 34、【来源】 2020年山东德州高三二模第4题5分设a→=(−1,3)，b→=(1,1)，c→=a→+kb→．若b→⊥c→，则a→与c→的夹角余弦值为（）．A. √55B. 2√55C. √23D. 2√235、【来源】 2020年山东德州高三二模第5题5分已知α终边与单位圆的交点P(x,−35)，且sinα⋅cosα>0，则√1−sin2α+√2+2cos2α的值等于（）．A. 95B. 75C. 65D. 36、【来源】 2020年山东德州高三二模第6题5分某中学共有1000人，其中男生700人，女生300人，为了了解该校学生每周平均体育锻炼时间的情况以及经常进行体育锻炼的学生是否与性别有关（经常进行体育锻炼是指：周平均体育锻炼时间超过4小时），现在根据性别用分层抽样的方法从中收集200位学生每周平均体育锻炼时间的样本数据（单位：小时）．其频率分布直方图如图．已知在样本数据中，有40位女生的每周平均体育锻炼时间超过4小时，根据独立性检验原理（）．附：K2=n(ad−bc)2(a+c)(b+d)(a+b)(d+c)，其中n=a+b+c+d．A. 有95%的把握认为”该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”B. 有90%的把握认为”该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”C. 有90%的把握认为”该校学生每周平均体育锻炼时间与性别无关”D. 有95%的把握认为”该校学生每周平均体育锻炼时间与性别有关”7、【来源】 2020年山东德州高三二模第7题5分(x2−x−a)5的展开式的各项系数和为−32，则该展开式中含x9项的系数是（）．A. −15B. −5C. 5D. 158、【来源】 2020年山东德州高三二模第8题5分已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)+1<f′(x)，f(0)=2，则不等式f(x)+1>3e x解集为（）．A. (1,+∞)B. (−∞,1)C. (0,+∞)D. (−∞,0)二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）9、【来源】 2020年山东德州高三二模第9题5分2020~2021学年9月山西晋中榆次区山西现代双语学校高一上学期月考第9题5分2020~2021学年浙江嘉兴秀洲区嘉兴高级中学高一上学期期中第12题5分2020~2021学年10月江苏苏州高新区吴县中学高一上学期月考第11题5分2020~2021学年10月重庆沙坪坝区重庆市第八中学高一上学期月考第11题5分若正实数a，b满足a+b=1，则下列说法正确的是（）．A. ab有最大值14B. √a+√b有最大值√2C. 1a +1b有最小值2D. a2+b2有最大值1210、【来源】 2020年山东德州高三二模第10题5分直线y=kx−1与圆C:(x+3)2+(y−3)2=36相交于A、B两点，则AB长度为（）．A. 6B. 8C. 12D. 1611、【来源】 2020年山东德州高三二模第11题5分CPI是居民消费价格指数（consumerpriceinder）的简称．居民消费价格指数是一个反映居民家庭一般所购买的消费品价格水平变动情况的宏观经济指标．如图是根据国家统计局发布的2019年4月——2020年4月我国CPI涨跌幅数据绘制的折线图（注：2019年6月与2018年6月相比较，叫同比；2019年6月与2019年5月相比较，叫环比），根据该折线图，则下列结论正确的是（）．A. 2019年4月至2020年4月各月与去年同期比较，CPI有涨有跌B. 2019年4月居民消费价格同比涨幅最小，2020年1月同比涨幅最大C. 2020年1月至2020年4月CPI只跌不涨D. 2019年4月至2019年6月CPI涨跌波动不大，变化比较平稳12、【来源】 2020年山东德州高三二模第12题5分2020~2021学年12月广东广州越秀区广州市执信中学高二上学期月考（七校联考）第11题5分抛物线C：x2=4y的焦点为F，P为其上一动点，设直线l与抛物线C相交于A，B两点，点M(2,2)，下列结论正确的是（）．A. |PM|+|PF|的最小值为3B. 抛物线C上的动点到点H(0,3)的距离最小值为3C. 存在直线l，使得A，B两点关于x+y−3=0对称D. 若过A、B的抛物线的两条切线交准线于点T，则A、B两点的纵坐标之和最小值为2三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13、【来源】 2020年山东德州高三二模第13题5分已知双曲线C过点(2√3,−1)，且与双曲线x 212−y26=1有相同的渐近线，则双曲线C的标准方程为．14、【来源】 2020年山东德州高三二模第14题5分已知f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)=ex3+2e−x，则曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程是．15、【来源】 2020年山东德州高三二模第15题5分声音是由物体振动产生的声波，其中纯音的数学模型是函数y=Asinωt，已知函数f(x)=2cos(2x+φ)（−π⩽φ⩽π）的图象向右平移π3个单位后，与纯音的数学模型函数y=2sin2x图象重合，则φ=，若函数f(x)在[−a,a]是减函数，则a的最大值是．16、【来源】 2020年山东德州高三二模第16题5分2019~2020学年6月山东枣庄滕州市滕州市第一中学高一下学期月考第16题《九章算术》中记载：将底面为直角三角形的直三棱柱称为堑堵，将一堑堵沿其一顶点与相对的棱剖开，得到一个阳马（底面是长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥）和一个鳖臑（四个面均为直角三角形的四面体）．在如图所示的堑堵ABC−A1B1C1中，BB1=BC=2√3，AB=2，AC=4，且有鳖臑C1−ABB1和鳖臑C1−ABC，现将鳖臑C1−ABC沿线BC1翻折，使点C与点B1重合，则鳖臑C1−ABC经翻折后，与鳖臑C1−ABB1拼接成的几何体的外接球的表面积是．四、解答题（本大题共6小题，共70分）17、【来源】 2020年山东德州高三二模第17题10分2020~2021学年山东青岛市南区青岛第三十九中学高三上学期期中第19题12分已知D是△ABC边AC上的一点，△ABD面积是△BCD面积的3倍，∠ABD=2∠CBD=2θ．(1) 若∠ABC=π2，求sin Asin C的值．(2) 若BC=√2，AB=3，求边AC的长．18、【来源】 2020年山东德州高三二模第18题12分给出以下三个条件：①数列{a n}是首项为2，满足S n+1=4S n+2的数列；②数列{a n}是首项为2，满足3S n=22n+1+λ(λ∈R)的数列；③数列{a n}是首项为2，满足3S n=a n+1−2的数列．请从这三个条件中任选一个将下面的题目补充完整，并求解．设数列{a n}的前n项和为S n，a n与S n满足．记数列b n=log2a1+log2a2+⋯+log2a n，c n=n 2+nb n b n+1，求数列{c n}的前n项和T n．（注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）19、【来源】 2020年山东德州高三二模第19题12分如图，已知平面BCE⊥平面ABC，直线DA⊥平面ABC，且DA=AB=AC．(1) 求证：DA//平面EBC．(2) 若∠BAC=π3，DE⊥平面BCE，求二面角A−BD−E的余弦值．20、【来源】 2020年山东德州高三二模第20题12分已知椭圆C:x 2a2+y2b2=1(a>b>0)与圆x2+y2=43b2相交于M，N，P，Q四点，四边形MNPQ为正方形，△PF1F2的周长为2(√2+1)．(1) 求椭圆C的方程．(2) 设直线l与椭圆C相交于A、B两点，D(0,−1)，若直线AD与直线BD的斜率之积为16，证明：直线l恒过定点．21、【来源】 2020年山东德州高三二模第21题12分已知函数f(x)=14x2−ax+aln2x(a≠0)．(1) 若a<0时，f(x)在[1,e]上的最小值是54−ln2，求a．(2) 若a⩾e，且x1，x2是f(x)的两个极值点，证明：f(x1)+f(x2)<12(x12+x22)−2e（其中e为自然对数的底数，e≈2.71⋯⋯）．22、【来源】 2020年山东德州高三二模第22题12分新能源汽车已经走进我们的生活，逐渐为大家所青睐，现在有某品牌的新能源汽车在甲市进行预售，预售场面异常火爆，故该经销商采用竞价策略，基本规则是：①竞价者都是网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期汽车配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额，某人拟参加2020年6月份的汽车竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数（如下表）(1) 由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型拟合竞价人数y （万人）与月份编号t 之间的相关关系，请用最小二乘法求y 关于t 的线性回归方程：y ^=b ^t +a ^，并预测2020年6月份（月份编号为6）参与竞价的人数；(2) 某市场调研机构对200位拟参加2020年6月份汽车竞价人员的报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：① 求这200位竞价人员报价的平均值x 和样本方差s 2（同一区间的报价用该价格区间的中点值代替）；② 假设所有参与竞价人员的报价X 可视为服从正态分布N (μ,σ2)，且μ与σ2可分别由①中所示的样本平均数x 及s 2估计，若2020年6月份计划提供的新能源车辆数为3174，根据市场调研，最低成交价高于样本平均数x ，请你预测（需说明理由）最低成交价．参考公式及数据：①回归方程y ^=b ^x +a ^，其中b ^=∑x i n i=1y i −nxy ∑x i 2n i=1−nx 2，a ^=y −b ^x ， ②∑t i 25i=1=55，∑t i 5i=1y i =18.8，√6.8≈2.6；③若随机变量X 服从正态分布N (μ,σ2)，则P (μ−σ<X <μ+σ)=0.6826，P (μ−2σ<X <μ+2σ)=0.9544，P (μ−3σ<X <μ+3σ)=0.9974．1 、【答案】 A;2 、【答案】 C;3 、【答案】 A;4 、【答案】 B;5 、【答案】 A;6 、【答案】 B;7 、【答案】 B;8 、【答案】 C;9 、【答案】 A;B;10 、【答案】 B;C;11 、【答案】 B;D;12 、【答案】 A;D;13 、【答案】x210−y25=1;14 、【答案】y=ex−2e;15 、【答案】π6;5π12;16 、【答案】100π3;17 、【答案】 (1) √33．;(2) AC=√17．;18 、【答案】①，nn+1．;19 、【答案】 (1) 证明见解析．;(2) −√155．;20 、【答案】 (1) x22+y2=1．;(2) 证明见解析．;21 、【答案】 (1) a=−1．;(2) 证明见解析．;22 、【答案】 (1) 2万人．;(2)①x=11（万元）；s2=6.8．②13.6万元，证明见解析．;。
2020年山东高考数学试卷(详细解析版)
2020年普通高等学校招生全国统一考试新高考全国一卷（山东卷）数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设集合{|13}A x x =≤≤，{|24}B x x =<<，则A B =A ．{|23}x x <≤B ．{|23}x x ≤≤C ．{|14}x x ≤<D ．{|14}x x <<答案：C解析：利用并集的定义可得{|14}A B x x =≤< ，故选C.2．2i 12i -=+A ．1B ．−1C ．iD ．−i 答案：D 解析：222i (2i)(12i)(22)(41)i i 12i 125----+--===-++，故选D3．6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有A ．120种B ．90种C ．60种D ．30种答案：C解析：不同的安排方法有123653C C C 60⋅⋅=4．日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来测定时间．把地球看成一个球(球心记为O )，地球上一点A 的纬度是指OA 与地球赤道所在平面所成角，点A 处的水平面是指过点A 且与OA 垂直的平面.在点A 处放置一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A 处的纬度为北纬40°，则晷针与点A 处的水平面所成角为A ．20°B ．40°C ．50°D ．90°答案：B 解析：因为晷面与赤道所在平面平行，晷针垂直晷面，所以晷针垂直赤道所在平面，如图所示，设AB 表示晷针所在直线，且AB OB ⊥，AC 为AB 在点A 处的水平面上的射影，则晷针与点A 处的水平面所成角为BAC ∠，因为OA AC ⊥，AB OB ⊥，所以BAC AOB ∠=∠，由已知40AOB ∠=︒，所以40BAC ∠=︒，故选B5．某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A ．62%B ．56%C ．46%D ．42%答案：C解析：既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例=60%+82%－96%=46%，故选C6．基本再生数R 0与世代间隔T 是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷含解析
山东省实验中学2020届高三第一次模拟考试数学（理）试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在直角坐标平面内，已知A（-2,0）,3（2,0）以及动点。
是AABC的三个顶点，且sin Asin B-2cosC=0,则动点C的轨迹曲线「的离心率是()\/2a/3A.2B.2 c.扬 D.右2.若函数f(x)=l+\x\+x\贝0/(lg2)+/flg|k/(lg5)+/flg^=()A.2b.4 C.6 D.83.在AA3C中，CA_CA AB.则sinA:sin3:sinC=（）543A.9:7:8b.c.6:8:7D何.3：由4.如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（）种A.120B.260C.340D.4205.已知直线y=kx-1与抛物线J=8y相切，则双曲线x2-k2y2=l的离心率为（）73A.打B.右C.D.26.已知数列｛%｝的前〃项和S"满足S"+a"=2n(nwN*),则％=()1_127321385A.3b.64 c.32d.64x+y>l,7.设x，y满足约束条件\x-y>-l,若目标函数z=ax+3y仅在点（1,0）处取得最小值，则。
的取值范围2x-y<2,为()A.(—6,3)B.(-6,-3)C.(。
，3)D.(-6,0]8.已知集合M=(x|y=log2(-4x-x2)},2V=(x|(-)x>4},则肱N=()A.d-2]b.[-2,0) c.(-4,2]D(-co,-4)9.如图，已知等腰梯形A3CD中，AB=2DC=4,AD=BC=^5,E是OC的中点，P是线段BC±的动点，则的最小值是（）_9_4A.5B.0C.5D.110.已知^A={x\a-l<x<a+2},B=(x|3<x<5},则能使A^B成立的实数。
2020-2021学年山东师大附中高三(上)第一次模拟数学试卷
2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（1）y，则xy的最大值为（）4A.2B. 98C. 32D. 944.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}5.（单选题，5分）设f0（x）=sinx，f1（x）=f0'（x），f2（x）=f1'（x），…，f n+1（x）=f n'（x），n∈N，则f2020（x）等于（）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.187.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小AB=2，E为AB中12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√213.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx数k的取值范围为 ___ ．17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i −x )2n i=1 ， a ̂ = y - b ̂ x ．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ．（1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X的分布列和数学期望E（X）和方差D（X）．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．的单调区间；（1）求函数g(x)=f(x)x＜1，求实数a的取值范围．（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x221.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，点D，E分别在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2，M为棱A1B1的中点．（Ⅰ）求证：C1M⊥B1D；（Ⅱ）求二面角B-B1E-D的正弦值；（Ⅲ）求直线AB与平面DB1E所成角的正弦值．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．直线y= e2（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．2020-2021学年山东师大附中高三（上）第一次模拟数学试卷参考答案与试题解析试题数：22，总分：1501.（单选题，5分）已知复数z满足（2-i）z=i+i2，则z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【正确答案】：C【解析】：把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，进一步求出z的坐标得答案．【解答】：解：由（2-i）z=i+i2，得z=i+i22−i =(−1+i)(2+i)(2−i)(2+i)=−35+15i，∴ z=−35−15i，∴ z在复平面内对应的点的坐标为（−35，−15），位于第三象限角．故选：C．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.（单选题，5分）已知集合A={x|y=2x-1}，集合B={y|y=x2}，则集合A∩B=（）A.（1，1）B.{（1，1）}C.{1}D.[0，+∞）【正确答案】：D【解析】：先分别求出集合A，集合B，由此能求出集合A∩B．【解答】：解：∵集合A={x|y=2x-1}=R，集合B={y|y=x2}={y|y≥0}，∴集合A∩B={y|y≥0}=[0，+∞）．故选：D．【点评】：本题考查交集的求法，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.（单选题，5分）已知x，y∈（0，+∞），2x-4=（14）y，则xy的最大值为（）A.2B. 98C. 32D. 94【正确答案】：A【解析】：由已知结合指数的运算性质可得x+2y=4，然后结合基本不等式即可求解．【解答】：解：因为x，y∈（0，+∞），2x−4=(14)y=（12）2y，所以x-4=-2y即x+2y=4，由基本不等式可得，4=x+2y ≥2√2xy，当且仅当x=2y时取等号，解可得xy≤2，故选：A．【点评】：本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础试题．4.（单选题，5分）若不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|-1＜x＜2}，则不等式a（x2+1）+b （x-1）+c＜2ax的解集为（）A.{x|-2＜x＜1}B.{x|x＜-2或x＞1}C.{x|x＜0或x＞3}D.{x|0＜x＜3}【正确答案】：C【解析】：由已知结合二次方程与不等式的关系可得a，b，c的关系，然后结合二次不等式的求法即可求解．【解答】：解：由ax 2+bx+c ＞0的解集为{x|-1＜x ＜2}可得x=-1，x=2是ax 2+bx+c=0的解，由方程的根与系数关系可得， { −1+2=−b a −1×2=c a a ＜0， ∴b=-a ，c=-2a ，a ＜0，则不等式a （x 2+1）+b （x-1）+c ＜2ax 可得ax 2+a-ax+a-2a ＜2ax ，整理可得，x 2-3x ＞0，解可得x ＞3或x ＜0．故选：C ．【点评】：本题主要考查了一元二次不等式与二次方程的关系的相互转化，还考查了二次不等式的求解，体现了转化思想的应用．5.（单选题，5分）设f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，则f 2020（x ）等于（ ）A.sinxB.-sinxC.cosxD.-cosx【正确答案】：A【解析】：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以列举出各项发现周期为4，即可得到答案．【解答】：解：由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=f 0'（x ），f 2（x ）=f 1'（x ），…，f n+1（x ）=f n '（x ），n∈N ，所以由题意知f 0（x ）=sinx ，f 1（x ）=cosx ，f 2（x ）=-sinx ，f 3（x ）=-cosx ，f 4（x ）=sinx ，所以发现f n （x ）周期为4，所以2021÷4=505••1，所以f 2020（x ）=f 0（x ）=sinx ，故选：A．【点评】：本题考查了导数公式以及函数的周期性，属于简单题．6.（单选题，5分）某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有（）A.72B.36C.24D.18【正确答案】：B【解析】：根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【解答】：解：2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，若甲村分1名外科，2名护士，则由C31C32 =3×3=9若甲村分2名外科医生和1名护士，C32C31 =3×3=9，则分组方法有2×（9+9）=36，故选：B．【点评】：本题主要考查排列组合的应用，根据条件进行分类讨论是解决本题的关键．7.（单选题，5分）若幂函数f（x）的图象过点(√22，12)，则函数g(x)=f(x)e x的递增区间为（）A.（0，2）B.（-∞，0）∪（2，+∞）C.（-2，0）D.（-∞，-2）∪（0，+∞）【正确答案】：A【解析】：先求幂函数f（x），再利用导数判定函数g（x）的单调递增区间．【解答】：解：设幂函数f（x）=xα，它的图象过点（√22，12），∴（√22）α= 12，∴α=2；∴f（x）=x2；∴g（x）= x2e x ，g′（x）= x(2−x)e x，令g′（x）＞0，即2-x＞0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递增，故选：A．【点评】：本题考查了幂函数的定义以及利用导数判定函数的单调区间问题，是中档题．8.（单选题，5分）设函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则实数m的取值范围是（）A.（3，+∞）B. (−∞，37)C.（-∞，3）D. (37，+∞)【正确答案】：A【解析】：由题意可得m＞3x2−x+1在x∈[1，3]恒成立，即m＞（3x2−x+1）max，运用y=3x2−x+1在[1，3]递减，即可得到所求范围．【解答】：解：函数f（x）=mx2-mx-1，若对于x∈[1，3]，f（x）＞-m+2恒成立，则mx2-mx-1＞-m+2恒成立，即m＞3x2−x+1恒成立，由y= 3x2−x+1在[1，3]递减，可得x=1时，y取得最大值3，可得m＞3，即m的取值范围是（3，+∞）．故选：A．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查转化思想和运算能力，属于中档题．9.（多选题，5分）若复数z= 21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z的虚部为-1B.|z|= √2C.z2为纯虚数D.z的共轭复数为-1-i【正确答案】：ABC【解析】：利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案．【解答】：解：∵z= 21+i = 2(1−i)(1+i)(1−i)=1-i，∴z的虚部为-1，|z|= √2，z2=（1-i）2=-2i为纯虚数，z的共轭复数为1+i．∴正确的选项为：ABC．故选：ABC．【点评】：本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．10.（多选题，5分）下列命题正确的是（）A.“a＞1”是“ 1a＜1”的必要不充分条件B.命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”C.若a，b∈R，则ba +ab≥2√ba•ab=2D.设a∈R，“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件【正确答案】：BD【解析】：对于A：直接利用不等式的解法求出解集，进一步利用充分条件和必要条件的应用求出结果．对于B：直接利用命题的否定的应用判定结果；对于C：直接利用基本不等式的应用和不等式的成立的条件的应用判定结果；对于D：直接利用奇函数的性质的应用判定结果．【解答】：解：对于选项A：1a ＜1，整理得1−aa＜0，即a（a-1）＞0，解得a＞1或a＜0，所以“a＞1”是“ 1a＜1”的充分不必要条件，故A错误；对于B：命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0-1”的否定是“∀x∈（0，+∞），lnx≠x-1”故B正确；对于C：当ab＞0时，ba +ab≥2√ba•ab=2，故C错误．对于D：设a∈R，“a=1”时“函数f(x)=a−e x1+ae x =1−e x1+e x在定义域上是奇函数”，当函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数，利用f（-x）=-f（x），则a=±1，故“a=1”，是“函数f(x)=a−e x1+ae x在定义域上是奇函数”的充分不必要条件，故D正确．故选：BD．【点评】：本题考查的知识要点：不等式的解法和应用，命题的否定，基本不等式，函数的奇偶性，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．11.（多选题，5分）关于（a-b）11的说法，正确的是（）A.展开式中的二项式系数之和为2048B.展开式中只有第6项的二项式系数最大C.展开式中第6项和第7项的二项式系数最大D.展开式中第6项的系数最小【正确答案】：ACD【解析】：对于A，B，C选项，分别利用赋值法，二项式系数的性质即可解决；对于选项D，先根据通项写出其系数的表达式，构造不等式即可．【解答】：解：对于A：二项式系数之和为211=2048，故A正确；对于B、C：展开式共12项，中间第6、7项的二项式系数最大，故B错误，C正确；对于D：展开式中各项的系数为C k+1=(−1)k C11k，k=0，1，……，11，（注：用C k+1表示展开式中第k+1项的系数．）易知当k=5时，该项的系数最小．故D正确．故选：ACD．【点评】：本题考查了二项式展开式二项式系数的性质、以及系数与二项式系数的关系，需要熟记公式才能解决问题．同时考查了学生的计算能力和逻辑推理能力．12.（多选题，5分）如图直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．则（）A.平面PED⊥平面EBCDB.PC⊥EDC.二面角P-DC-B的大小为π4D.PC与平面PED所成角的正切值为√2【正确答案】：AC【解析】：在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，推导出PE⊥DE，PE⊥CE，从而PE⊥平面EBCD，进而平面PED⊥平面EBCD；在B中，由DE || BC，BC⊥PB，得BC与PC 不垂直，从而PC与ED不垂直；在C中，推导出BE⊥平面PDE，BE || CD，从而CD⊥平面PDE，进而∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，进而求出二面角P-DC-B的大小为π4；在D中，PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22．【解答】：解：直角梯形ABCD，AB || CD，AB⊥BC，BC=CD= 12AB=2，E为AB中点，以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点P的位置，且PC=2 √3．在A中，四边形EBCD是边长为2的正方形，PE=2，∴PE⊥DE，CE= √22+22 =2 √2，∴PE2+CE2=PC2，∴PE⊥CE，∵DE∩CE=E，∴PE⊥平面EBCD，∵PE⊂平面PED，∴平面PED⊥平面EBCD，故A正确；在B中，∵DE || BC，BC⊥PB，∴BC与PC不垂直，∴PC与ED不垂直，故B错误；在C中，∵BE⊥PE，BE⊥DE，PE∩DE=E，∴BE⊥平面PDE，∵BE || CD，∴CD⊥平面PDE，∴∠PDE是二面角P-DC-B的平面角，∵PE⊥平面BCD，PE=DE，∴∠PDE= π4，∴二面角P-DC-B的大小为π4，故C正确；在D中，∵CD⊥平面PDE，∴∠CPD是PC与平面PED所成角，PD= √PC2−CD2 = √(2√3)2−22 =2 √2，∴PC与平面PED所成角的正切值为tan∠CPD= CDPD =2√2=√22，故D错误．故选：AC．【点评】：本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．13.（填空题，5分）从某班6名学生（其中男生4人，女生2人）中任选3人参加学校组织的社会实践活动，设所选三人中男生人数为ξ，则数学期望E（ξ）=___ ．【正确答案】：[1]2【解析】：随机变量随机ξ的所有可能的取值为1，2，3．分别求出其对应的概率，列出分布列，求期望即可．【解答】：解：随机变量ξ的所有可能的取值为1，2，3．P（ξ=1）= C41C22C63 = 15．P（ξ=2）= C42C21C63 = 35．P（ξ=3）= C43C63 = 15．所有随机变量ξ的分布列为：ξ 1 2 3P 153515所以ξ的期望E（ξ）=1× 15 +2× 35+3× 15=2．故答案为：2．【点评】：本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．14.（填空题，5分）如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，BB'的中点为M，CD的中点为N，异面直线AM与D'N所成的角是___ ．【正确答案】：[1]90°【解析】：取CC′中点M′，连接DM′，利用三角形全等证明DM′⊥D′N即可得出答案．【解答】：解：取CC′中点M′，连接DM′，则AM || DM′，由△DCM′≌△D′DC可知∠CDM′=∠DD′N，∴∠CDM′+∠D′ND=∠DD′N+∠D′ND=90°，∴DM′⊥D′N，∴AM⊥D'N，∴异面直线AM与D'N所成的角为90°．故答案为：90°．【点评】：本题考查了异面直线所成角的计算，属于基础题．15.（填空题，5分）在（1-2x）5（2+x）展开式中，x4的系数为___ ．【正确答案】：[1]80【解析】：从展开式中求出含有x4的项，找出对应的系数，即可求解．【解答】：解：由已知可得：含有x4的项为C 54(−2x)4×2+C53(−2x)3×x =160x4-80x4=80x4，所以x4的系数为80，故答案为：80．【点评】：本题考查了二项式定理的展开式的系数问题，属于基础题．16.（填空题，5分）关于x的方程kx−lnxx−1=0在（0，e]上有两个不相等的实根，则实数k的取值范围为 ___ ．【正确答案】：[1] [e+1e2，1)【解析】：把kx−lnxx −1=0变形为k= lnxx2+1x，先利用导数研究函数f（x）=f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]的单调性与极值，结合题意得答案．【解答】：解：kx−lnxx −1=0可变形为：k= lnxx2+1x，设f（x）= lnxx2+1x，x∈（0，e]f′（x）= 1−2lnx−xx3，设g（x）=1-2lnx-x，x∈（0，e]g′（x）= −2x−1＜0，即y=g（x）为减函数，又g（1）=0，即0＜x＜1时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，1＜x ＜e 时，g （x ）＜0，f′（x ）＜0，即y=f （x ）在（0，1）为增函数，在（1，e ）为减函数， 又x→0+时，f （x ）→-∞， f （1）=1，f （e ）= e+1e 2 ． 关于x 的方程 kx −lnx x −1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，等价于y=f （x ）的图象与直线y=k 的交点个数有两个，由上可知，当 e+1e 2 ≤k ＜1时，关于x 的方程 kx −lnx x−1=0 在区间（0，e]上有两个不相等的实根，故答案为： [e+1e 2，1) ．【点评】：本题考查了导数的综合应用，利用导数研究函数的大致图象，属中档题． 17.（问答题，10分）据某市地产数据研究显示，2016年该市新建住宅销售均价走势如图所示，3月至7月房价上涨过快，为抑制房价过快上涨，政府从8月开始采用宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．（1）地产数据研究院发现，3月至7月的各月均价y （万元/平方米）与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程；（2）若政府不调控，依此相关关系预测第12月份该市新建住宅销售均价．参考数据： ∑5i=1 x i =25， ∑5i=1 y i =5.36， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64；回归方程 y ̂ = b ̂ x+ a ̂ 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ̂ = i −x )ni=1i −y )∑(x −x)2n ， a ̂ = y - b ̂ x ．【正确答案】：【解析】：（1）由题意，计算 x 、 y ，求出回归系数 b ̂ 、 a ̂ ，即可写出回归方程； （2）利用（1）中回归方程，计算x=12时 y ̂ 的值即可．【解答】：解：（1）由题意，得出下表；月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算 x = 15 × ∑5i=1 x i =5， y = 15 × ∑5i=1 y i =1.072， ∑5i=1 （x i - x ）（y i - y ）=0.64， ∴ b ̂ = ∑(x i −x )ni=1(y i −y )∑(x i−x )2n i=1= 0.64(3−5)2+(4−5)2+(5−5)2+(6−5)2+(7−5)2 =0.064， a ̂ = y - b̂ x =1.072-0.064×5=0.752， ∴从3月到6月，y 关于x 的回归方程为 y ̂ =0.064x+0.752；（2）利用（1）中回归方程，计算x=12时， y ̂ =0.064×12+0.752=1.52； 即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.52万元/平方米．【点评】：本题考查了回归直线方程的求法与应用问题，正确计算是解题的关键．18.（问答题，12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是矩形，四边形ABEF 为等腰梯形，且AB || EF ，AF=2，EF=2AB=4AD=4 √2 ，平面ABCD⊥平面ABEF ． （1）求证：BE⊥DF ；（2）求三棱锥C-AEF 的体积V ．【正确答案】：【解析】：（1）取EF 的中点G ，连结AG ，推导出四边形ABEG 为平行四边形，AG || BE ，且AG=BE=AF=2，再求出AG⊥AF ，AD⊥AB ，从而AD⊥平面ABEF ，AD⊥AG ，进而AG⊥平面ADF ，再由AG || BE ，得BE⊥平面ADF ，由此能证明BE⊥DF ；（2）首先证明CD || 平面ABEF ，可得V C-AEF =V D-AEF ，由（1）得DA⊥平面ABEF ，再求出三角形AEF的面积，代入棱锥体积公式得答案．【解答】：（1）证明：取EF的中点G，连结AG，∵EF=2AB，∴AB=EG，又AB || EG，∴四边形ABEG为平行四边形，∴AG || BE，且AG=BE=AF=2，在△AGF中，GF= 12EF=2 √2，AG=AF=2，∴AG2+AF2=GF2，∴AG⊥AF，∵四边形ABCD是矩形，∴AD⊥AB，又平面ABCD⊥平面ABEF，且平面ABCD∩平面ABEF=AB，∴AD⊥平面ABEF，又AG⊂平面ABEF，∴AD⊥AG，∵AD∩AF=A，∴AG⊥平面ADF，∵AG || BE，∴BE⊥平面ADF，∵DF⊂平面ADF，∴BE⊥DF；（2）解：∵CD || AB且CD⊄平面ABEF，BA⊂平面ABEF，∴CD || 平面ABEF，∴V C-AEF=V D-AEF，由（1）得，DA⊥平面ABEF，∵ S△AEF=12×4√2×√2=4，∴V C-AEF=V D-AEF= 13×4×√2=4√23．【点评】：本题考查线线垂直的证明，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题．19.（问答题，12分）某新建公司规定，招聘的职工须参加不小于80小时的某种技能培训才能上班．公司人事部门在招聘的职工中随机抽取200名参加这种技能培训的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的200名职工中，参加这种技能培训服务时间不少于90小时的人数，并估计从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率；（Ⅱ）从招聘职工（人数很多）中任意选取3人，记X 为这3名职工中参加这种技能培训时间不少于90小时的人数．试求X 的分布列和数学期望E （X ）和方差D （X ）．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为60，在时间段[95，100）小时的职工人数为20，由此能求出从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X 的分布列、数学期望与方差．【解答】：解：（Ⅰ）依题意，参加这种技能培训时间在时间段[90，95）小时的职工人数为：200×0.04×5=40，在时间段[95，100）小时的职工人数为200×0.02×5=20，∴抽取的200位职工中，参加这种技能培训时间不少于90小时的职工人数为60， ∴从招聘职工中任意选取一人，其参加这种技能培训时间不少于90小时的概率估计为： p= 60200 = 310 ．（Ⅱ）依题意，随机变量X 的可能取值为0，1，2，3，P （X=0）= C 30(35)3 = 27125 ， P （X=1）= C 31(25)(35)2 = 54125 ，P（X=2）= C32(25)2(35) = 36125，P（X=3）= C33(25)3=8125，∴随机变量X的分布列为：∵X～B（3，5），EX= 3×5=5，DX=3×5×5=25．【点评】：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．20.（问答题，12分）设f（x）=ax3+xlnx．（1）求函数g(x)=f(x)x的单调区间；（2）若∀x1，x2∈（0，+∞），且x1＞x2，f(x1)−f(x2)x1−x2＜1，求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；（2）问题转化为a≤−lnx3x2，设ℎ(x)=−lnx3x2，根据函数的单调性求出a的范围即可．【解答】：解：（1）g（x）=ax2+lnx（x＞0），g′(x)=2ax+1x =2ax2+1x(x＞0)，① 当a≥0时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上单调递增；② 当a＜0时，若x∈(0，√−12a )，则g'（x）＞0，若x∈(√−12a，+∞)，则g'（x）＜0，所以g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．综上，当a≥0时，函数g（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，函数g（x）在(0，√−12a )上单调递增，在(√−12a，+∞)上单调递减．（2）因为x1＞x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜x1-x2，即f（x1）-x1＜f（x2）-x2恒成立，设F（x）=f（x）-x在（0，+∞）上为减函数，即F'（x）≤0恒成立．所以F'（x ）=3ax 2+lnx≤0，即 a ≤−lnx3x 2，设 ℎ(x )=−lnx3x 2， ℎ′(x )=−3+6lnx9x 3(x ＞0) ， 当 x ∈(0，√e) ，h'（x ）＜0，h （x ）单减，当 x ∈(√e ，+∞) ，h'（x ）＞0，h （x ）单增， ℎ(x )≥ℎ(√e)=−16e ，所以 a ≤−16e ．【点评】：本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题．21.（问答题，12分）如图，在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ，AC⊥BC ，AC=BC=2，CC 1=3，点D ，E 分别在棱AA 1和棱CC 1上，且AD=1，CE=2，M 为棱A 1B 1的中点． （Ⅰ）求证：C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）求二面角B-B 1E-D 的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）方法一：根据线面垂直的性质定理和判定定理即可证明； 方法二：建立空间坐标系，根据向量的数量积等于0，即可证明；（Ⅱ）先平面DB 1E 的法向量 n ⃗ ，再根据向量的夹角公式，求出二面角B-B 1E-D 的正弦值； （Ⅱ）求出cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞值，即可求出直线AB 与平面DB 1E 所成角的正弦值．【解答】：解：（Ⅰ）在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，CC 1⊥平面ABC ， 则该三棱柱是个直三棱柱（各侧棱均垂直底面，各侧面均与底面垂直） ∵C 1A 1=C 1B 1=2，M 为 M 为棱A 1B 1的中点， ∴C 1M⊥A 1B 1，又平面C 1A 1B 1⊥平面A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥平面A 1B 1BA ， ∵B 1D⊂A 1B 1BA ， ∴C 1M⊥B 1D ； 方法二：（Ⅰ）以C 为原点， CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， CC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示，则C （0，0，0），A （2，0，0），B （0，2，0），C 1（0，0，3），A 1（2，0，3），B 1（0，2，3），D （2，0，1），E （0，0，2），M （1，1，3）， ∴C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（1，1，0）， B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，-2，-2）， ∴ C 1M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ • B 1D ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2-2+0=0，∴C 1M⊥B 1D ；（Ⅱ）依题意， CA⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，0）是平面BB 1E 的一个法向量， EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =（0，2，1）， ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =（2，0，-1）， 设 n ⃗ =（x ，y ，z ）为平面DB 1E 的法向量， 则 {n ⃗ •EB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ •ED ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即 {2y +z =02x −z =0 ，不妨设x=1，则 n ⃗ =（1，-1，2）， ∴cos ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= CA ⃗⃗⃗⃗⃗ •n ⃗ |CA ⃗⃗⃗⃗⃗|•|n⃗ | = √66 ， ∴sin ＜ CA ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= √1−16 = √306 ，∴二面角B-B 1E-D 的正弦值√306； （Ⅲ）依题意， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-2，2，0），由（Ⅱ）知， n ⃗ =（1，-1，2）为平面DB 1E 的一个法向量，∴cos ＜ AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， n ⃗ ＞= AB ⃗⃗⃗⃗⃗•n ⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |•|n ⃗ | =- √33，∴直线AB与平面DB1E所成角的正弦值为√33．【点评】：本题考查了空间向量在几何中的应用，线线平行和二面角和线面角的求法，考查了运算求解能力，转化与化归能力，逻辑推理能力，属于中档题．22.（问答题，12分）已知函数f（x）=e x（lnx-ax+a+b）（e为自然对数的底数），a，b∈R，直线y= e2x是曲线y=f（x）在x=1处的切线．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）是否存在k∈Z，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）求得f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，解方程可得所求值；（Ⅱ）求得f（x）的导数，设g（x）=lnx-x+ 1x + 12，求得导数，判断单调性，求得g（1），g（2）的符号，判断g（x）的零点范围，可得f（x）的零点范围，即可得到所求k的值．【解答】：解：（Ⅰ）f（x）=e x（lnx-ax+a+b）的导数为f′（x）=e x（lnx-ax+ 1x+b），由已知，有f（1）=eb= e2，f′（1）=e（b-a+1）= e2，解得a=1，b= 12；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=e x（lnx-x+ 32），则f′（x）=e x（lnx-x+ 1x + 12），令g（x）=lnx-x+ 1x + 12，则g′（x）=- x2−x+1x2＜0恒成立，所以g（x）在（0，+∞）上单调递减，又因为g（1）= 12＞0，g（2）=ln2-1＜0，所以存在唯一的x0∈（1，2），使得g（x0）=0，且当x∈（0，x0）时，g（x）＞0，即f′（x）＞0，当x∈（x0，+∞）时，g（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）在（0，x0）上单调递增，在（x0，+∞）上单调递减．又因为当x→0时，f（x）＜0，f（1）= e2＞0，f（2）=e2（ln2- 12）＞0，f（e）=e e（52-e）＜0，所以存在k=0或2，使得y=f（x）在（k，k+1）上有唯一零点．【点评】：本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性，考查函数零点存在定理和构造函数法，考查化简运算能力，属于中档题．。
2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题(解析版)
2020届山东省滕州市第一中学高三3月线上模拟考试数学试题一、单选题1．已知集合{|{|2,}A x N y B x x n n Z =∈===∈,则A B =I （ ）A ．[0,4]B ．{0,2,4}C ．{2,4}D ．[2,4]【答案】B【解析】计算{}0,1,2,3,4A =，再计算交集得到答案 【详解】{}{|0,1,2,3,4A x N y =∈==,{|2,}B x x n n Z ==∈表示偶数，故{0,2,4}A B =I . 故选：B . 【点睛】本题考查了集合的交集，意在考查学生的计算能力.2．欧拉公式为cos sin ix e x i x =+,(i 虚数单位)是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”．根据欧拉公式可知，3i e π表示的复数位于复平面中的（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限【答案】A【解析】计算31cossin 332πππ=+=i e i ，得到答案. 【详解】根据题意cos sin ixe x i x =+，故31cossin 3322πππ=+=+i e i i ，表示的复数在第一象限. 故选：A . 【点睛】本题考查了复数的计算， 意在考查学生的计算能力和理解能力.3．已知不重合的平面,,αβγ 和直线l ，则“//αβ ”的充分不必要条件是（ ） A ．α内有无数条直线与β平行 B ．l α⊥ 且l β⊥C ．αγ⊥ 且γβ⊥D ．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案. 【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. l α⊥ 且l β⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到l α⊥ 且l β⊥，满足；C. αγ⊥ 且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除. 故选：B . 【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力.4．已知角α的终边经过点P(00sin 47,cos 47)，则sin(013α-)=A ．12BC ．12-D． 【答案】A 【解析】【详解】由题意可得三角函数的定义可知：22cos 47sin cos 47sin 47cos 47α==+o o o o ，22sin 47cos sin 47sin 47cos 47α==+o oo o，则： ()()sin 13sin cos13cos sin13cos 47cos13sin 47sin131cos 4713cos 60.2ααα-=-=-=+==o o o o o o o o o o本题选择A 选项.5．已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2x b =，ln x c e =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．c b a >> B ．b c a >> C ．a b c >> D ．b a c >> 【答案】B【解析】试题分析：∵1(,1)x e -∈，∴ln (1,0)x ∈- ∴(1,0)a ∈-，(1,2)b ∈，1(,1)c e -∈∴b c a >>. 选B .【考点】利用函数图像比较大小. 6．函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则其图象向左平移6π个单位长度后得到的函数的一条对称轴是（ ） A ．4x π=B ．3x π=C ．56x π=D ．1912x π=【答案】D【解析】由三角函数的周期可得23πω=，由函数图像的变换可得， 平移后得到函数解析式为244sin 39y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，再求其对称轴方程即可. 【详解】解：函数()4sin (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期是3π，则函数2()4sin 33f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，经过平移后得到函数解析式为2244sin 4sin 36339y x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，由24()392x k k πππ+=+∈Z ， 得3()212x k k ππ=+∈Z ，当1k =时，1912x π=. 故选D. 【点睛】本题考查了正弦函数图像的性质及函数图像的平移变换，属基础题. 7．函数()()()2sin xx ee xf x x eππ-+=-≤≤的图象大致为( )A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由函数的解析式可得：()()f x f x -=-，则函数()f x 的图像关于坐标原点对称，据此可排除B 选项，考查函数()xxg x e e -=+，则()()21'x x x xe g x e e e--=-=，当0x >时，()g x 单调递增，则344g g ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，据此有：344f f ππ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 据此可排除C 选项； 当0πx <<时，0,sin 0xxe e x -+>>，则()0f x >，据此可排除D 选项；本题选择A 选项.点睛：函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8．设双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点是F ，左､右顶点分别是12,A A ，过F 作x轴的垂线与双曲线交于,B C 两点，若12A B A C ⊥，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．23C 5D 5【答案】A【解析】先求出,B C 的坐标，再求出12,A B A C 的斜率，最后根据12A B A C ⊥得到,,a b c满足的等式关系，可从该关系式求得双曲线的离心率. 【详解】设双曲线的半焦距为c ，令x c =，则2by a =±，不妨设22,,,b b C c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故()()12222200,A BA C b b b b a a kk a c a a c a c a a c +-==-==---+--， 因为12A B A C ⊥，故()()221b b a a c a a c ⎡⎤-⨯-=-⎢⎥+-⎣⎦，整理得到a b =，故离心率e ==. 故选：A. 【点睛】本题考查双曲线离心率的计算，可根据题设条件构建,,a b c 的等量关系即可求出离心率，本题属于基础题.二、多选题9．（多选题）下列说法中，正确的命题是（ ） A ．已知随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，则()240.16P ξ<<=．B ．以模型kx y ce =去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设ln z y =，将其变换后得到线性方程0.34z x =+，则c ，k 的值分别是4e 和0.3．C ．已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为y a bx =+，若2b =，1x =，3y =，则1a =．D ．若样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，则数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为16． 【答案】BC【解析】根据正态分布性质求()24P ξ<<即可判断A;根据方程变形即可确定c ，k 的值，再判断B; 根据回归直线方程过样本中心，即可判断C;根据数据变化与方差变化关系判断D. 【详解】因为随机变量ξ服从正态分布()22,N δ，()40.84P ξ<=，所以()()2440.50.840.50.340.16P P ξξ<<=<-=-=≠，即A 错；ln ln()ln ln kx kx y ce y ce y kx c =∴=∴=+Q ，0.34ln 0.34z x y x =+∴=+Q ，从而40.3,ln 40.3,k c k c e ==∴==，即B 正确；y a bx =+Q 过(,)x y ， 321a b b a =+=∴=Q ，即C 正确；因为样本数据1x ，2x ，…，10x 的方差为2，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的方差为222=8⨯，即D 错误； 故选：BC 【点睛】本题考查正态分布、方差性质以及线性回归方程及其性质，考查基本分析求解能力，属基础题.10．甲、乙、丙三人在政治、历史、地理、物理、化学、生物、技术7门学科中任选3门．若同学甲必选物理，则下列说法正确的是（ ） A ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件 B ．甲的不同的选法种数为15C ．已知乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是16D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是949【答案】BD【解析】根据对立事件的概念可判断A ；直接根据组合的意义可判断B ；乙同学选技术的概率是13可判断 C ；根据相互独立事件同时发生的概率可判断D . 【详解】甲、乙、丙三人至少一人选化学与全不选化学是对立事件，故A 错误；由于甲必选物理，故只需从剩下6门课中选两门即可，即2615C =种选法，故B 正确；由于乙同学选了物理，乙同学选技术的概率是2163=，故C 错误； 乙、丙两名同学各自选物理的概率均为37，故乙、丙两名同学都选物理的概率是3397749⨯=，故D 正确； 故选BD .【点睛】本题主要考查了对立事件的概念，事件概率的求法以及相互独立事件同时发生的概率，属于基础题.11．设定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x x -+=，且当0x ≤时，()f x x '<.己知存在()()()220111122x x f x x f x x ⎧⎫∈-≥---⎨⎬⎩⎭，且0x 为函数()x g x e a =-(,a R e ∈为自然对数的底数)的一个零点，则实数a 的取值可能是（ ）A ．12B C ．2e D【答案】BCD【解析】先构造函数，判断函数的奇偶性，求函数的导数，研究函数的单调性，结合函数零点的性质建立不等式关系进行求解即可． 【详解】解：Q 令函数21()()2T x f x x =-，因为2()()f x f x x -+=，22211()()()()()()()022T x T x f x x f x x f x f x x ∴+-=-+---=+--=，()T x ∴为奇函数，当0x „时，()()0T x f x x '='-<， ()T x ∴在(],0-∞上单调递减， ()T x ∴在R 上单调递减．Q 存在0{|()(1)}x x T x T x ∈-…，∴得00()(1)T x T x -…，001x x -„，即012x „，()x g x e a =-Q ；1()2x „， 0x Q 为函数()y g x =的一个零点； Q当12x „时，()0x g x e '=-„， ∴函数()g x 在12x „时单调递减，由选项知0a >，取12x =<，又0g e⎛=> ⎝Q ，∴要使()g x 在12x „时有一个零点，只需使102g a ⎛⎫=-⎪⎝⎭„，解得a ，a ∴的取值范围为2⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭， 故选：BCD ． 【点睛】本题主要考查函数与方程的应用，根据条件构造函数，研究函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，属于中档题． 12．已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】计算得到2211ln 2a b a b -=--，A 错误，化简()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，B 正确，1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确，1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++，D 正确，得到答案. 【详解】因为1112,2lnn n n n n n n a a b b a b n +++=+=++，所以1131ln n n n n n a b a b n+++-=--， 当1n =时, 2211ln 2a b a b -=--,所以2211-<-a b a b ，所以A 错误；11313()lnn n n n n a b a b n++++=++，11ln(1)3(ln )n n n n a b n a b n +++-+=--， 所以{ln }n n a b n +-是等比数列，()1113ln -+=+⋅+n n n a b a b n ，所以B 正确；11112ln ()3n n n n n a a b a n a b -+=+=+++，故1111ln ()30n n n a a n a b -+-=++>，C 正确；因为131lnn n n n n b b a b n++=+++，所以1111ln(1)2ln ()3n n n b b n n a b -+-=+-++， 根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以D 正确. 故选：BCD . 【点睛】本题考查了数列的单调性，意在考查学生对于数列性质的综合应用.三、填空题13．已知函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，则()2log 3f =________．【答案】34【解析】根据分段函数2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，和2log 30>，利用()()2f x f x =-转化为()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭求解. 【详解】因为2,0()(2),0x x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩，2log 30>，所以()()2223log 3log 32log 4f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 又223log log 104<=，所以()23log 42233log 3log 244f f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭． 故答案为：34. 【点睛】本题主要考查分段函数的求值，还考查了转化问题求解的能力，属于基础题.14．已知向量(1,1)a x =+v，(,2)b x =v ，若满足a b v v P ，且方向相同，则x =__________．【答案】1【解析】由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同． 【详解】∵a b r rP ，∴(1)20x x +-=，解得1x =或2x =-，1x =时，(1,2),(1,2)a b ==r r满足题意，2x =-时，(1,1),(2,2)a b =-=-r r，方向相反，不合题意，舍去．∴1x =． 故答案为：1． 【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错． 15．设a ∈Z ，且0≤a ＜13，若512012＋a 能被13整除，则a ＝__________． 【答案】12【解析】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a ，按二项式定理展开，根据题意可得()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12．【详解】由于512012+a ＝（52﹣1）2012+a()()()()()1232011201202012120112201032009201112012201220122012201220122012525215215215211C C C C C C =⋅+⋅⋅-+⋅⋅-+⋅⋅-++⋅⋅-+⋅-+L a ，除最后两项外，其余各项都有13的倍数52，故由题意可得 ()2012201220121C ⋅-+a 能被13整除，再由0≤a ＜13，可得 a ＝12，故答案为12． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于中档题．16．已知正三棱锥P-ABC ，Q 为BC 中点，PA =2AB =，则正三棱锥P-ABC的外接球的半径为________；过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为________．3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正三棱锥P ABC -，PB PC PA ===2AC BC AB ===，有222PB PA AB +=，即PB PA ⊥，同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，则此正三棱锥P-ABC为正方体的一角，根据球的直径为正方体的体对角线的长求解.根据当截面过球心时，截面面积最大，当球心与Q 的连线垂直截面时，截面面积最小求截面的面积范围.【详解】因为正三棱锥P ABC -，2PB PC PA ===，2AC BC AB ===，所以222PB PA AB +=，即PB PA ⊥， 同理PB PC ⊥，PC PA ⊥，因此正三棱锥P-ABC 可看作正方体的一角，如图，记正方体的体对角线的中点为O ，由正方体结构特征可得，O 点即是正方体的外接球球心，所以点O 也是正三棱锥P-ABC 外接球的球心， 记外接球半径为R ，则1622222R =++=， 因为球的最大截面圆为过球心的圆，所以过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积最大为2max 32S R ππ==； 又Q 为BC 中点，由正方体结构特征可得1222OQ PA ==； 由球的结构特征可知，当OQ 垂直于过Q 的截面时， 截面圆半径最小为221r R OQ =-=，所以2min S r ππ==．因此，过Q 的平面截三棱锥P-ABC 的外接球所得截面的面积范围为3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦．故答案为：(1). 6(2). 3,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【点睛】本题主要考查组合体问题以及球的截面的性质，还考查了空间想象和理解问题的能力，属于中档题.四、解答题17．在①()2223163c S b a+=-；②5cos 45b C c a +=，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目．在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设ABC V 的面积为S ，已知________． （1）求tan B 的值；（2）若42,S =10a =，求b 的值．【答案】（1）34；（2） 【解析】（1）若选择条件①．()2223163c S b a+=-，由正弦定理得()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ，整理得：()2228sin 3ac B a c b =+-，再利用余弦定理有3cos 4sin 4sin B B B -=求解.若选择条件②．因为5cos 45b C c a +=，根据正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，即sin (45cos )0C B -=求解.（2）由（1）知3tan 4B =，再根据42,S =10a =，利用正弦定理1acsin 2S B =解得14c =，再将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-求解.【详解】（1）选择条件①．()2223163c S b a +=-，所以()2221316sin 32⨯+=-c ac B b a ， 整理得：()2228sin 3ac B a c b=+-．即2224sin 32a c b B ac+-=⋅. 整理可得3cos 4sin B B =，又sin 0B >．所以cos 0B >，所以sin 3tan cos 4B B B ==. 选择条件②．因为5cos 45bC c a +=，由正弦定理得，5sin cos 4sin 5sin B C C A +=，5sin cos 4sin 5sin()B C C B C +=+，即sin (45cos )0C B -=， 在ABC V 中，sin 0C ≠，所以cos 45B =，3sin 5B ==，所以3tan 4B =. （2）由3tan 4B =，得3sin 5B =，又42,S =10a =， 则113acsin 1042225S B c ==⨯⨯=，解得14c =. 将42,S =10,a =14c =代入()222261636c S c a =++-中，得()2222614164231410b ⨯=⨯++-，解得b =【点睛】本题主要考查正弦定理，余弦定理和两角和与差的三角函数的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++L ，证明：34n T <. 【答案】（1）21n a n =+；（2）证明见解析. 【解析】【详解】分析：（1）由题意可求得等差数列{}n a 的公差123d a ==，，从而可得21n a n =+．（2）由（1）可得()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，然后根据裂项相消法得到31114212n T n n ⎛⎫=-+ ⎪++⎝⎭，由此可得结论成立． 详解：（Ⅰ）∵数列{}n a 为等差数列，且2822a a +=，()5281112a a a ∴=+=． ∵4712,,a a a 成等比数列，∴27412a a a =⋅，即()()()211211117d d d +=-⋅+，又0,d ≠ ∴2d =，∴111423a =-⨯=，∴()()32121*n a n n n N =+-=+∈. （2）证明：由（1）得()()122n n n a a S n n +==+， ∴()11111222n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭． ∴12111n nT S S S =+++L 11111111111232435112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 111112212n n ⎛⎫=+-- ⎪++⎝⎭ 3111342124n n ⎛⎫=-+< ⎪++⎝⎭． ∴34n T <． 点睛：对于通项公式是分式型的数列求和时一般用裂项法，解题时注意以下两点： （1）裂项时，一般是前边裂几项，后边就裂几项直到发现被消去项的规律为止；（2）消项的规律为：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项，即剩余的项具有对称性．19．如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥底面ABCD ，ABCD 为直角梯形，AD BC ∥，AD AB ⊥，132AB BC AP AD ====，AC BD O =I ，过O 点作平面α平行于平面PAB ，平面α与棱BC ，AD ，PD ，PC 分别相交于点E ，F ，G ，H .(1)求GH 的长度；(2)求二面角B FH E --的余弦值.【答案】(1)5；(2)32929. 【解析】试题分析：（1）【法一】（Ⅰ）由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ， 则BOC ∆∽DOA ∆，由相似三角形的性质计算可得5GH =【法二】由面面平行的性质定理可得//EF AB ，//,//EH BP FG AP ， 则BOC ∆∽DOA ∆，由题意结合余弦定理可得5GH =.（2）建立空间直角坐标系，由题意可得平面BFH 的法向量为31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ,平面EFGH 的法向量()0,1,0m =v则二面角B FH E --的余弦值329,m n cosm n m n v vv v v v ⋅==.试题解析：（1）【法一】（Ⅰ）因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ， 因为BC ∥,6,3AD AD BC ==，所以BOC ∆∽DOA ∆，且12BC CO AD AO ==， 所以12EO OF =，11,23CE CB BE AF ====， 同理13CH EH CO PC PB CA ===， 连接HO ，则有HO ∥PA ， 所以HO EO ⊥，1HO =，所以123EH PB ==223FG PA ==， 过点H 作HN ∥EF 交FG 于N ，则225GH HN GN =+【法二】因为//α平面PAB ，平面α⋂平面ABCD EF =，O EF ∈, 平面PAB ⋂平面ABCD AB =，根据面面平行的性质定理，所以//EF AB ，同理//,//EH BP FG AP ，因为//,2BC AD AD BC =,所以BOC DOA ∆∆∽，且12BC CO AD OA ==, 又因为COE ∆∽AOF ∆，AF BE =,所以2BE EC =， 同理2AF FD =,2PG GD =，123,2,233EF AB EH PB FG AP ======如图：作//,,//,HN BC HN PB N GM AD GM PA M ⋂=⋂=, 所以//,HN GM HN GM =，故四边形GMNH 为矩形，即GH MN =,在PMN ∆中,所以81222455MN cos ︒=+-⨯⨯=5GH =. （2）建立如图所示空间直角坐标系()()()()3,0,0,0,2,0,3,2,0,2,2,1B F E H ,()()1,2,1,2,0,1BH FH u u u v u u u v =-=,设平面BFH 的法向量为(),,n x y z =v, 2020n BH x y z n FH x z ⎧⋅=-++=⎨⋅=+=⎩u u u v v u u u v v ,令2z =-，得31,,22n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭v ,因为平面//EFGH 平面PAB ，所以平面EFGH 的法向量()0,1,0m =v33292,9144m n cosm n m n⋅===++v vv v v v ，二面角B FH E --329 20．随着经济模式的改变，微商和电商已成为当今城乡一种新型的购销平台．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，没售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品，现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（Ⅰ）视x 分布在各区间内的频率为相应的概率，求()120P x ≥； （Ⅱ）将T 表示为x 的函数，求出该函数表达式；（Ⅲ）在频率分布直方图的市场需求量分组中，以各组的区间中点值（组中值）代表该组的各个值，并以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量取该组中值的概率（例如[)100,110x ∈，则取105x =的概率等于市场需求量落入[)100,110的频率），求T 的分布列及数学期望()E T ．【答案】（Ⅰ）0.7；（Ⅱ）0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩；（Ⅲ）59.4.【解析】分析：（Ⅰ）根据频率分布直方图和互斥事件的概率公式求解．（Ⅱ）结合题意用分段函数的形式表示T 与x 的关系．（Ⅲ）先确定T 的所有可能取值为45,53,61,65，然后分别求出相应的概率，进而可得分布列，最后求出期望． 详解：（Ⅰ）根据频率分布直方图及互斥事件的概率公式可得：()()()()120120130130140140150P x P x P x P x ≥=≤<+≤<+≤≤0.030100.025100.01510=⨯+⨯+⨯ 0.7=．（Ⅱ）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-， 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=． 所以0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩（Ⅲ）由题意及（Ⅱ）可得：当[)100,110x ∈时，0.81053945T =⨯-=，()450.010100.1P T ==⨯=； 当[)110,120x ∈时，0.81153953T =⨯-=，()530.020100.2P T ==⨯=； 当[)120,130x ∈时，0.81253961T =⨯-=，()610.030100.3P T ==⨯=； 当[]130,150x ∈时，65T =，()()650.0250.015100.4P T ==+⨯=．所以T 的分布列为：∴()450.1530.2610.3650.459.4E T =⨯+⨯+⨯+⨯=万元． 点睛：（1）求随机变量及其分布列的一般步骤①明确随机变量的所有可能取值以及取每个值所表示的意义；②利用相应的概率求出随机变量取每个可能值的概率；③按规范形式写出随机变量的分布列，并用分布列的性质验证．（2）解答此类问题的关键是读懂题意，合理选择合适的概率公式求解．21．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>，椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，点D 是椭圆C 上的点，O 是坐标原点，若OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v，判定四边形OADB 的面积是否为定值？若为定值，求出定值；如果不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）22142x y +=（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）根据椭圆C 截直线1y =所得的线段的长度为)，结合离心率即可求得椭圆方程；（Ⅱ）分类讨论：当直线l 的斜率不存在时，四边形OADB ； 当直线l 的斜率存在时，设出直线方程，与椭圆方程联立，由,OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v得2242,1212D D km m x y k k-==++ ，代入曲线C ，整理出k ，m 的等量关系式，再根据OADB S AB d = 写出面积的表达式整理即可得到定值．【详解】(Ⅰ)由22222211c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得2,a b c ===得椭圆C 的方程为22142x y +=.（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线AB 的方程为1x =-或1x =， 此时四边形OADB．当直线l 的斜率存在时，设直线l 方程是y kx m =+，联立椭圆方程22142y kx mx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ()222124240k x kmx m ⇒+++-= ()228420k m∆=+->，2121222424,1212km m x x x x k k --+==++ ()121222212m y y k x x m k+=++=+AB =点O 到直线AB的距离是d =由,OA OB OD +=u u u v u u u v u u u v得2242,1212D Dkm mx y k k -==++ 因为点D 在曲线C 上，所以有2222421212142km m k k -⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭+=整理得22122k m +=由题意四边形OADB 为平行四边形，所以四边形OADB 的面积为OADBS AB d === 由22122k m +=得OADB S 故四边形OADB． 【点睛】本题考查了直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、点到直线距离公式、面积计算公式、向量数量积的关系等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，考查了分析问题和解决问题的能力，属于难题． 22．已知()ln f x x =，()()2102g x ax bx a =+≠，()()()h x f x g x =-. （Ⅰ）若3,2a b ==，求()h x 的极值；（Ⅱ）若函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，记1202x x x +=，证明：()00h x '<．【答案】（Ⅰ）极大值为5ln 36--，无极小值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】分析：（Ⅰ）先判断函数()h x 在()0,+∞上的单调性，然后可得当13x =时，()h x 有极大值，无极小值．（Ⅱ）不妨设120x x <<，由题意可得()()()()2212121212ln ln 02a h x h x x x x xb x x -=-----=，即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-，又由条件得()1201222x x h x a b x x +⎛⎫=-+ +⎝'⎪⎭，构造()()()121211*********212ln 21x x x x x x x h x x x a b x x x x x ⎛⎫- ⎪⎛⎫+⎝⎭-=---=- ⎪+⎝⎭+'，令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+，利用导数可得()()10r t r >=，故得()()1200x x h x '->，又120x x -<，所以()00h x '<． 详解：（Ⅰ）()()23ln 2,0,2h x x x x x Q =--∈+∞， ()()()2311132132x x x x h x x x x x--+--+='∴=--=， 由()()()3110x x h x x--+'==得13x =，且当103x <<时，()0h x '>，即()h x 在10,3⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增， 当13x >时，()0h x '<，即()h x 在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减，∴当13x =时，()h x 有极大值，且()15=ln336h x h ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭极大值，无极小值． （Ⅱ）Q 函数()y h x =的两个零点为()1212,x x x x ≠，不妨设120x x <<，()21111ln 02a h x x x bx ∴=--=，()222222ln 02h x x x bx =--=． ()()2212111222ln ln 22a a h x h x x x bx x x bx ∴-=----- ()()22121212ln ln 02a x x x xb x x =-----=， 即()()22121212ln ln 2a x x x xb x x -=-+-， 又()()()()1h x f x g x ax b x ='=-''-+，1202x x x +=， ()1201222x x h x a b x x '+⎛⎫∴=-+ ⎪+⎝⎭， ()()()12120121222x x x x h x x x a b x x ⎛⎫+∴-=--- ⎪+⎝⎭' ()()()1222121212212x x a x x b x x x x -⎡⎤=--+-⎢⎥+⎣⎦ ()()1212122ln ln x x x x x x -=--+12112221ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-+． 令()1201x t t x =<<，则()()()21ln 011t r t t t t ，-=-<<+ ()()()()222141011t r t t t t t --∴=-=<++'， ()r t ∴在()0,1上单调递减，故()()10r t r >=，12112221ln 01x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭∴->+，即()()1200x x h x '->，又120x x -<，()00h x ∴'<．点睛：（1）研究方程根的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大（小）值、函数的变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的大体图象，然后通过数形结合的思想去分析问题，可以使得问题的求解有一个清晰、直观的整体展现．（2）证明不等式时常采取构造函数的方法，然后通过判断函数的单调性，借助函数的最值进行证明．。
山东省济南市2024届高三下学期高考针对性训练(5月模拟)数学试题含答案
绝密★启用并使用完毕前高考针对性训练数学试题本试卷共4页，19题，全卷满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设12i2iz -=+，则z =（）A ．iB ．i-C ．4i 5+D ．4i 5-2．若sin cos αα-=，则tan α=（）A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．()6111x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭展开式中2x 的系数为（）A ．5-B ．5C ．15D ．354．已知{}n a 是等比数列，且27844a a a a =-=-，则3a =（）A ．B ．C ．2-D ．2±5．某单位设置了a ，b ，c 三档工资，已知甲、乙、丙三人工资各不相同，且甲的工资比c 档高，乙的工资比b 档高，丙领取的不是b 档工资，则甲、乙、丙领取的工资档次依次为（）A ．a ，b ，cB ．b ，a ，cC ．a ，c ，bD ．b ，c ，a6．三棱锥S ABC -中，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥．若该三棱锥的最长的棱长为9，最短的棱长为3，则该三棱锥的最大体积为（）A B C ．18D ．367．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P在C 上，且2122PF PF a ⋅= ，PO = ，则C 的离心率为（）A B C ．3D ．28．已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()yf x xf y xy x y -=-，则下列结论一定成立的是（）A ．()11f =B ．()f x 为偶函数C ．()f x 有最小值D ．()f x 在[]0,1上单调递增二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．某同学投篮两次，第一次命中率为23．若第一次命中，则第二次命中率为34；若第一次未命中，则第二次命中率为12．记()1,2i A i =为第i 次命中，X 为命中次数，则（）A ．22()3P A =B ．4()3E X =C ．4()9D X =D ．123(|)4P A A =10．已知ABC △内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，外接圆半径为R ．若1a =，且()sin sin sin A b B c b C -=+，则（）A ．3sin 2A =B ．ABC △面积的最大值为34C ．3R =D ．BC 边上的高的最大值为611．已知函数()sin ln f x x x =⋅，则（）A ．曲线()y f x =在πx =处的切线斜率为ln πB ．方程()2024f x =有无数个实数根C ．曲线()y f x =上任意一点与坐标原点连线的斜率均小于1eD ．2()2x y f x =-在()1,+∞上单调递减三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．数列{}n a 满足22n n a a +-=，若11a =，44a =，则数列{}n a 的前20项的和为______．13．在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，4AB =，16AA =，M ，N 分别是AB ，AD 的中点，则平面1MNC 截该四棱柱所得截面的周长为______．14．已知抛物线22x y =与圆()()22240x y rr +-=>相交于四个不同的点A ，B ，C ，D ，则r 的取值范围为______，四边形ABCD 面积的最大值为______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）近年来，我国众多新能源汽车制造企业迅速崛起．某企业着力推进技术革新，利润稳步提高．统计该企业2019年至2023年的利润（单位：亿元），得到如图所示的散点图．其中2019年至2023年对应的年份代码依次为1，2，3，4，5．（1）根据散点图判断，y a bx =+和2y c dx =+哪一个适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（2）根据（1）中的判断结果，建立y 关于x 的回归方程；（3）根据（2）的结果，估计2024年的企业利润．参考公式及数据；1221ˆni ii ni i x ynx ybx nx==-=-∑∑，ˆˆay bx =-，52155i i x ==∑，541979ii x ==∑，51390i i y ==∑，511221i i i x y ==∑，5214607.9i i i x y ==∑16．（本小题满分15分）如图，在三棱台ABC DEF -中，平面ABC ⊥平面BCFE ，AF DE ⊥，45ABC CBF ∠=∠=︒，1AC AB >=．（1）求三棱台ABC DEF -的高；（2）若直线AC 与平面ABF 所成角的正弦值为155，求BC ．17．（本小题满分15分）已知函数()22xxf x a =+-，其中0a >且1a ≠．（1）若()f x 是偶函数，求a 的值；（2）若0x >时，()0f x >，求a 的取值范围．18．（本小题满分17分）已知点21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上，A 到E的两焦点的距离之和为．（1）求E 的方程；（2）过抛物线()2:1C y x m m =->上一动点P ，作E 的两条切线分别交C 于另外两点Q ，R ．（ⅰ）当P 为C 的顶点时，求直线QR 在y 轴上的截距（结果用含有m 的式子表示）；（ⅱ）是否存在m ，使得直线QR 总与E 相切．若存在，求m 的值；若不存在，说明理由．19．（本小题满分17分）高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域．设,y q ∈R ，*n ∈N ，记[]11n n q q-=++⋅⋅⋅+，[][][][]!11n n n =⨯-⨯⋅⋅⋅⨯，并规定[]0!1=．记1(,)()()()()n n q F x n x y x y x qy x q y -=+=++⋅⋅⋅+，并规定()0,0()1q F x x y =+=．定义[][][](,),0(,)11(),1,2,,kqn kq F x n k D F x n n n n k x y k n-=⎧⎪=⎨-⋅⋅⋅-++=⋅⋅⋅⎪⎩（1）若1y q ==，求(),2F x 和1(,2)q D F x ；（2）求[][]!(0,)!k qn k D F n n -；（3）证明：[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑．2024年5月济南市高三模拟考试数学试题参考答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．题号12345678答案ABACBCDC二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．题号91011答案ABDADBCD三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．21013．14．4)；四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．【解析】（1）2y c dx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：52211()115i i x x ===∑，511785i i y y ===∑，52215222221553905()4607.95317.9550.8537455()5()9795ˆ5i ii ii xy x ydx x ==-⨯-⨯⨯====⎛⎫-⨯-⨯ ⎪⎝⎭∑∑，239055()0.8568.655ˆ5ˆcy d x =-⨯=-⨯=，所以，268.65ˆ0.85y x =+．（3）令6x =，268.650.85699.25ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为99.25亿元．另解（此种解法酌情给分）：（1）y a bx =+适宜作为企业利润y （单位：亿元）关于年份代码x 的回归方程类型．（2）由题意得：1234535x ++++==，511785i i y y ===∑，()()515222151221537851 5.13ˆ555105i ii i i x yx ybx x==-⨯-⨯⨯====-⨯-⨯∑∑，()78 5.1362.7ˆˆa y b x =-⨯=-⨯=，所以，7ˆ62. 5.1yx =+．（3）令6x =，62.7 5.1693.3ˆy=+⨯=，估计2024年的企业利润为93.3亿元．16．【解析】解：（1）作FO BC ⊥于点O ，因为平面ABC ⊥平面BCFE ，所以FO ⊥平面ABC ，FO 即为三棱台ABC DEF -的高．又因为AB ⊂平面ABC ，所以FO AB ⊥．连接AO ，因为AB DE ∥，AF DE ⊥，所以AB AF ⊥，FO AF F = ，所以AB ⊥平面AFO ，又AO ⊂平面AFO ，所以AB AO ⊥．45ABC CBF ∠=∠=︒，1AB =．所以1AO =，BO FO ==ABC DEF -．（2）以O 为原点，在面ABC 内，作OG BC ⊥，以OG ，OB ，OF 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则,22A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B，F，,,022AB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，FB =，设平面ABF 的法向量为(),,n x y z =则022n FB n AB x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，可取()1,1,1n = ，设BC BO λ=，则22,022AC ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，设直线AC 与平面ABF 所成角为α，15sin cos ,5AC n α===，化简得281890λλ-+=，解得32λ=或34λ=（舍去，因为AC AB >，所以1λ>），所以BC =．17．【解析】（1）由题意，()()11f f -=，即112222a a +-=+-，解得，12a =或2a =-（舍）又经检验，12a =时，()f x 是偶函数．所以，a 的值为12．（2）当12a =时，0x ∀>，1()22202x xf x ⎛⎫=+->= ⎪⎝⎭成立；当12a >且1a ≠时，0x ∀>，1()22222xx x xf x a ⎛⎫=+->+- ⎪⎝⎭，又12202xx⎛⎫+-> ⎪⎝⎭已证，故此时符合题意；当102a <<时，()ln 2ln 2x xf x a a '=+，易知，此时()f x '在R 上单调递增，且(0)ln(2)0f a =<'．故存在00x >，使得当0(0,)x x ∈时，()0f x '<，从而()f x 单调递减，所以，存在02x >，使得0(0)02x f f ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，故此时不合题意．综上所述，12a ≥且1a ≠．18．【解析】（1）由题意2a =，得a =又21,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭在E 上，得221112a b +=，从而1b =．故E 的方程为2212x y +=．（2）（ⅰ）当P 为C 的顶点时，()0,P m ，不妨设R 在第一象限，直线PR 的方程为y kx m =-，联立E 的方程为2212x y +=可得222(21)4220k x kmx m +-+-=．由22222Δ(4)4(21)(22)8(21)0km k m k m =-+-=-+=可得2221k m +=．联立直线PR 的方程y kx m =-与抛物线2:C y x m =-的方程可得x k =，则R 点的纵坐标为22212122R m m m y k m m ---=-=-=，由对称性知2212Q m m y --=，故直线QR 在y 轴上的截距为2212m m --．（ⅱ）要使（2）中的直线QR 与E 相切，必有22112m m b --==，即2230m m --=，解得3m =或1-（舍去）．设()11,P x y ，()22,Q x y ，()33,R x y ，则2113y x =-，2223y x =-，2333y x =-．直线PQ 的方程为211121()y y y y x x x x --=--，即1212()3y x x x x x =+--．联立椭圆方程2212x y +=可得222121212122()14()(3)2(3)20x x x x x x x x x x ⎡⎤++-++++-=⎣⎦．由[]22212121212Δ4()(3)42()12(3)2x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤=++-+++-⎣⎦⎣⎦22221212128(2228)0x x x x x x =+---=可得222212*********x x x x x x +---=，即121212250x x y y y y ++++=．同理可得131313250x x y y y y ++++=．因为直线1112(1)50x x y y y ++++=同时经过点QR ，所以QR 的直线方程为1112(1)50x x y y y ++++=．联立椭圆方程2212x y +=可得222111118(1)8(5)16480x y x x y x y ⎡⎤++++++=⎣⎦，于是[]2222211111111Δ8(5)48(1)(1648)64(1)(3)0x y x y y y x y ⎡⎤=+-+++=+--=⎣⎦．故直线QR 与椭圆相切，因此3m =符合题意．19．【解析】（1）若1y q ==，222(,2)()()(1)(1)F x x y x qy x q xy y x =++=+++=+，而[]11(,2)2()(1)()2(1)q q D F x x y q x y x =+=++=+．（2）当0k =时，[][](1)2!(0,)(0,)(0,)!n n k n q q n k D F n D F n F n q y n --===．当0k ≠时，由[][][](0,)11(0)kn kq qD F n n n k y -=-⋅⋅⋅++[][][][][]()(1)()(1)/22!11!n k n k n k n k n kn k n n n n k qyqy n k --------=-⋅⋅⋅-+=-，可得[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=．因此[][]()(1)2!(0,)!n k n k k n k q n k D F n q y n -----=，0,1,2,,k n = ．（3）要证[]0(0,)(,)!k nq k k D F n F x n x k ==∑，只需证[][][][][]1()(1)/2(1)/200!!()()()![]!!!nnn n k n k n k kk k n k k k k n n x y x qy x qy q y x q x y n k k n k k -------==++⋅⋅⋅+==--∑∑．令1()()()()nn k k k G y x y x qy x q y a y -==++⋅⋅⋅+=∑，一方面，110101()()()()n nkkk k k n n k k k n k k x y G qy x y a q y xa xq a q a y a q y -+-==+=+=+++∑∑，另一方面，10101()()()()n nnnkn k n n k k k n k k x q y G y x q y a y xa xa q a y a q y +-==+=+=+++∑∑，当1q ≠且0x ≠时，由于()()()()nx y G qy x q y G y +=+，比较两式中ky 的系数可得111k k n k k k k xq a q a xa q a ---+=+，则[]1111(1)[]k n k k kk q n k a q q a x q x k ----+-==-⋅，由0na x =可知[][][](1)1120120!!!k k n k k k k k k n a a a a a q x a a a n k k -----=⋅⋅⋅⋅⋅=-．当1q =时，由[]11n n q qn -=++⋅⋅⋅+=，[]!!n n =可知()[][]00!C ![]!nn nn k k k n k kn k k n x y y x yx n k k --==+==-∑∑，此时命题也成立．当0x =时，[](1)/2(0,)(,)(0,)!k nq n n nk qk D F n F x n qy D F n x k -====∑也成立．综上所述，()()[]00,,!knq k k D F n F x n x k ==∑．。
山东省2020年高考模拟考试数学试题 Word版含答案
山东省2020年普通高等院校统一招生模拟考试高三教学质量检测数学试题2020．02本试卷分第I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，将第I 卷选择题的正确答案选项填涂在答题卡相应位置上，考试结束，将答题卡交回．考试时间120分钟，满分150分． 注意事项：1．答卷前，考生务必将姓名、座号、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．第I 卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共60分)一、选择题：(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知复数2,i z z 在复平面内对应的点分别为()()11221,1,0,1z Z Z z =，则 A ．1i +B ．1i -+C ．1i --D ．1i -2．设a R ∈，则“sin cos αα=”是“sin 21α=”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．向量a b r r ，满足()()1,2a b a b a b ==+⊥-u u r u u r r r r r，则向量a b r r 与的夹角为 A ．45oB ．60oC ．90oD ．120o4．已知数列{}n a 中，372,1a a ==．若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列，则5a = A ．23B ．32C ．43D ．345．已知点()2,4M 在抛物线()2:20C y px p =>上，点M 到抛物线C 的焦点的距离是A ．4B ．3C ．2D ．16．在ABC ∆中，2,20AB AC AD AE DE EB x AB y AC +=+==+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r，若，则 A ．2y x =B ．2y x =-C ．2x y =D ．2x y =-7．已知双曲线()2222:1,0,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为12,F F O ，为坐标原点，P是双曲线在第一象限上的点，()21212=2=2,0,PF PF m m PF PF m >⋅=u u u u r u u u u r u u u r u u u u r ，则双曲线C 的渐近线方程为 A ．12y x =±B ．22y x =±C ．y x =±D ．2y x =±8．已知奇函数()f x 是R 上增函数，()()g x xf x =则A. 233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D. 23323122log 4g g g --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国新高考Ⅰ卷高考数学(山东卷)-含详细解析
A.120种B.90种C.60种D.30种
4.日晷是中国古代用来测定时间的仪器，利用与晷面垂直的晷针投射到晷面的影子来
测定时间.把地球看成一个球(球心记为)，地球上一点A的纬度是指OA与地球赤
道所在平面所成角，点A处的水平面是指过点A且与OA垂直的平面.在点A处放置
2020年全国新高考Ⅰ卷高考数学（山东卷）
副标题
题号
一二三四0.0分）
1.设集合={|1x3}，={|2<<4}，则A=()
A.{|2<3}B.{|2x3}C.{|1<4}D.{|1<<4.}
2.=()
A.1B.−1C.iD.−
3.6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1
一个日晷，若晷面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬，则晷针与点A
处的水平面所成角为()
A.B.C.D.
5.某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学
生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的
学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的
学生数占该校学生总数的比例时()
A.62%
6.基本再生数
出=3.28，=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需
要的时间约为(20.69)()
A.1.2天B.1.8天C.2.5天D.3.5天
7.已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则
的取值范围是()
B.56%C.46%D.42%
与世代间隔T是新冠肺炎流行病学基本参数.基本再生数指一个感染
者传染的平均人数，世代间隔指两代间传染所需的平均时间在新冠肺炎疫情初始
2020年山东新高考数列精选模拟试题(含解析)
专题8 数列数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均有.其中，小题重点考查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系；解答题的难度中等或稍难，将稳定在中等难度.往往在利用方程思想解决数列基本问题后，进一步数列求和，在求和后可与不等式、函数、最值等问题综合.在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法”、“错位相减法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要． 预测2020年将保持稳定，注意主观题与不等式、函数等相结合.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC．D．2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3-B ．1-C ．3D ．13．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路 B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路若存在两项,m n a a32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．955．（2020届山东省青岛市高三上期末）已知数列{}n a 中,32a =,71a =.若1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,则5a =( ) A ．23B ．32C ．43D ．34二、多选题6．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和.若4524a a +=，648S =，则下列正确的是（ ） A ．12a =-B ．12a =C ．4d =D ．4d =-7．（2020·山东曲阜一中高三3月月考）在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关.”则下列说法正确的是（ ） A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第三天走的路程站全程的18C ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里D ．此人后三天共走了42里路8．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）将n 2个数排成n 行n 列的一个数阵，如图：该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以m 为公比的等比数列（其中m ＞0）.已知a 11＝2，a 13＝a 61+1，记这n 2个数的和为S .下列结论正确的有（ ）A ．m ＝3B ．767173a =⨯C ．()1313j ij a i -=-⨯D ．()()131314n S n n =+- 9．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）等差数列{}n a 是递增数列，满足753a a =，前n 项和为n S ，下列选择项正确的是（ ） A ． 0d >B ．10a <C ．当5n =时n S 最小D ．0n S >时n 的最小值为810．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知数列{}{},n n a b 满足1111312,2ln(),0n n n n n n n a a b b a b n N a b n*+++=+=++∈+> 给出下列四个命题，其中的真命题是（ ） A ．数列{}n n a b -单调递增； B ．数列{}n n a b + 单调递增； C ．数{}n a 从某项以后单调递增； D ．数列{}n b 从某项以后单调递增.三、填空题11．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和公式为221n S n n =-+，则数列{}n a 的通项公式为___．12．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏.在某种玩法中，用n a 表示解下()*9,n n n N≤∈个圆环所需移动的最少次数，{}na 满足11a=，且()()112122n n n a n a a n --⎧-⎪=⎨+⎪⎩为偶数为奇数，则解下5个圆环需最少移动________次.四、解答题13．（2020·山东高三模拟）已知各项均不相等的等差数列{}n a 的前4项和为414S =, 且137,,a a a 成等比数列.（1）求数列{}n a 的通项公式; （2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .14．（2020届山东省烟台市高三模拟）已知数列{}n a 的前n 项和238n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式；（Ⅱ）令1(1)(2)n n n nn a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T . 15．（2020届山东省高考模拟）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且12n n S a a =-（*n N ∈），数列{}n b 满足16b =，14n n nb S a =++（*n N ∈）． （Ⅰ）求数列{}n a 通项公式； （Ⅱ）记数列1n b ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：12nT ＜． 16．（2020届山东省济宁市第一中学高三一轮检测）已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =．（1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．17．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知数列{}n a 中，11a =，121n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）求证：数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S .18．（2020·山东滕州市第一中学高三3月模拟）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，其前n 项和为n S ，若2822a a +=，且4712,,a a a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若12111n n T S S S =+++，证明：34n T <. 19．（2020届山东省泰安市肥城市一模）记n S 为公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，已知2219a a =，618S =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S 的最大值及对应n 的大小.20．（2020届山东省济宁市高三3月月考）已知数列{}n a 为公差不为0的等差数列，且139a a a 、、成等比数列，246a a +=.（1）求数列{}n a 的通项n a ； （2）设()21cos3n n n a b a π+=，求数列{}nb 的前2020项的和2020S.21．（2020届山东省菏泽一中高三2月月考）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知11a =,121n n S S +-=,n *∈N . (1)证明:{}1n S +为等比数列,求出{}n a 的通项公式; (2)若n nn b a =,求{}n b 的前n 项和n T ,并判断是否存在正整数n 使得1250n n T n -⋅=+成立?若存在求出所有n 值;若不存在说明理由.22．（2020届山东省潍坊市高三模拟一）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，627S =. （1）求{}n a 的通项公式；（2）设2n an b =，记n T 为数列{}n b 的前n 项和.若124m T =，求m .23．（2020届山东省潍坊市高三模拟二）已知数列{a n }的首项为a 1＝1，且*12(1)()n n a a n N +=+∈.（Ⅰ）证明：数列{a n +2}是等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （Ⅱ）设b n ＝log 2（a n +2）﹣log 23，求数列32n n b a ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n T .24．（2020届山东省六地市部分学校高三3月线考）数列{}n a 满足：123a a a +++()1312nn a +=- （1）求{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足3n na b n a =，求{}n b 的前n 项和n T .25．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知函数()log k f x x =（k 为常数，0k >且1k ≠）． （1）在下列条件中选择一个________使数列{}n a 是等比数列，说明理由； ①数列(){}n f a 是首项为2，公比为2的等比数列； ②数列(){}n f a 是首项为4，公差为2的等差数列；③数列(){}n f a 是首项为2，公差为2的等差数列的前n 项和构成的数列．（2）在（1）的条件下，当k =12241+=-n n n a b n ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 26．（2020届山东济宁市兖州区高三网络模拟考）在①325256a a a b =+=，；②234323b a a b =+=，；③345298S a a b =+=，，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．已知等差数列{}n a 的公差为()1d d >，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ，且11a b d q ==，，____________．（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式． （2）记nn na cb =，求数列{}n c ，的前n 项和n T ．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 27．（2020·山东高三下学期开学）已知数列{}n a 满足123123252525253n n na a a a ++++=----…．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T ，证明：11226n T ≤<． 28．（2020届山东省淄博市高三二模）已知数列{}n a 满足132a =，且()1112,22n n n a a n n *--=+≥∈N .（1）求证：数列{}2nn a 是等差数列，并求出数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .29．（2020届山东省淄博市部分学校高三3月检测）已知数列{}n a 满足11a =，1431n n a a n +=+-，n n b a n =+.（1）证明：数列{}n b 为等比数列； （2）求数列{}n a 的前n 项和.30．（2020·2020届山东省淄博市高三二模）（本小题满分12分）设函数()()22ln 11x f x x x =+++.（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；（Ⅱ）如果对所有的x ≥0，都有()f x ≤ax ，求a 的最小值；（Ⅲ）已知数列{}n a 中， 11a =，且()()1111n n a a +-+=，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，求证：11ln 2n n n na S a a ++>-.一、单选题1．（2020届山东省淄博市高三二模）“十二平均律” 是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ABC． D．【答案】D 【解析】分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为所以1(2,)n n a n n N -+=≥∈， 又1a f =，则7781a a q f === 故选D.2．（2020届山东省潍坊市高三下学期开学考试）已知数列{}n a 中，前n 项和为n S ，且23n n n S a +=，则1n n a a -的最大值为（ ） A ．3- B ．1-C ．3D ．1【答案】C 【解析】当2n ≥ 时，1121,,33n n n n n n S a S a --++== 两式作差可得：11211213311n n n n n a n n n a a a a n n --+++=-⇒==+-- ， 据此可得，当2n = 时，1nn a a -的最大值为33．（2020届山东省济宁市高三3月月考）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关．”则下列说法错误的是（ ）A ．此人第二天走了九十六里路B ．此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里.C ．此人第三天走的路程占全程的18D ．此人后三天共走了42里路【答案】C 【解析】由题意可知，每天走的路程里数构成以12为公比的等比数列，由S 6=378求得首项，再由等比数列的通项公式求第二天的，第三天的，后三天的路程，即可得到答案．4．（2020届山东省济宁市第一中学高三二轮检测）已知正项等比数列{}n a 满足：2853516,20a a a a a =+=，若存在两项,m n a a 32=，则14m n+的最小值为 A ．34B ．910C ．32D ．95【答案】A 【解析】因为数列{}n a 是正项等比数列，28516a a a ，3520a a +=，所以2285516a a a a ，516a =，34a =，所以253a a q =，2q ，451a a q ，11a =，1112n n n a a q --==，32=，所以1110222m n，12m n +=，414114112125n m mnm n mnm n431124520,0n m mnm n ，当且仅当2n m =时“=”成立， 所以14mn的最小值为34，故选A 。
专题04 求函数的定义域、值域(原卷版)
专题04 求函数的定义域、值域【热点聚焦与扩展】函数的定义域作为函数的要素之一，是研究函数的基础，也是高考的热点.函数的值域也是高考中的一个重要考点，并且值域问题通常会渗透在各类题目之中，成为解题过程的一部分.所以在掌握定义域求法的基础上，掌握一些求值域的基本方法，当需要求函数的取值范围时便可抓住解析式的特点，寻找对应的方法从容解决.（一）函数的定义域1.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于1.2.①若的定义域为，则不等式的解集即为函数的定义域； ②若的定义域为，则函数在上的的值域即为函数的定义域．3.对于分段函数知道自变量求函数值或者知道函数值求自变量的问题，应依据已知条件准确找出利用哪一段求解.4.与定义域有关的几类问题第一类是给出函数的解析式，这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围；第二类是实际问题或几何问题，此时除要考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题或几何问题有意义； 第三类是不给出函数的解析式，而由的定义域确定函数的定义域或由的定义域确定函数的定义域．第四类是已知函数的定义域，求参数范围问题，常转化为恒成立问题来解决． （二）函数的值域1.利用函数的单调性:若是上的单调增(减)函数,则,分别是在区间上取得最小(大)值,最大(小)值.2.利用配方法:形如型,用此种方法,注意自变量x 的范围.3.利用三角函数的有界性,如.4.利用“分离常数”法:形如y= 或 (至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法. 一般地，()y f x =(),a b ()a g x b <<()()y f g x =()()y f g x =(),a b ()g x (),a b ()y f x =()f x )]([x g f )]([x g f ()f x )(x f ],[b a )(a f )(b f )(x f ],[b a 2(0)y ax bx c a =++≠sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-ax b cx d ++2ax bx ey cx d++=+c a ,① ：换元→分离常数→反比例函数模型② ：换元→分离常数→模型③ ：同时除以分子：→②的模型 ④ ：分离常数→③的模型共同点：让分式的分子变为常数5.利用换元法: 在高中阶段，与指对数，三角函数相关的常见的复合函数分为两种： ① ：此类问题通常以指对，三角作为主要结构，在求值域时可先确定的范围，再求出函数的范围. ② ：此类函数的解析式会充斥的大量括号里的项，所以可利用换元将解析式转为的形式，然后求值域即可. ③形如,可用此法求其值域. 6.利用基本不等式法:7.导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域8.分段函数的函数值时，应根据所给自变量值的大小选择相应的解析式求解，有时每段交替使用求值．若给出函数值或函数值的范围求自变量值或自变量的取值范围，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量值域范围是否符合相应段的自变量的取值范围．数形结合法也可很方便的计算值域. 9.由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数的定义域，将扩大的部 分剔除.10.数形结合法：即作出函数的图象，通过观察曲线所覆盖函数值的区域确定值域，以下函数常会考虑进行数形结合.（1）的函数值为多个函数中函数值的最大值或最小值，此时需将多个函数作于同一坐标系中，然后确定靠下（或靠上）的部分为该 函数的图象，从而利用图象求得函数的值域.（2）函数的解析式具备一定的几何含义，需作图并与解析几何中的相关知识进行联系，数形结合求得值域，ax by cx d+=+2ax bx cy dx e++=+a y x x =±2dx ey ax bx c+=++21y ax bx c dx e=+++22ax bx cy dx ex f++=++()()(),log ,sin f x a y ay f x y f x ===⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()f x ()()(),log ,sin xay f ay f x y f x ===()y f t =y ax b =+()f x ()f x如：分式→直线的斜率；被开方数为平方和的根式→两点间距离公式.（三）常见函数的值域：在处理常见函数的值域时，通常可以通过数形结合，利用函数图像将值域解出，熟练处理常见函数的值域也便于将复杂的解析式通过变形与换元向常见函数进行化归.（1）一次函数（）：一次函数为单调函数，图像为一条直线，所以可利用边界点来确定值域. （2）二次函数（），给定区间.二次函数的图像为抛物线，通常可进行配方确定函数的对称轴，然后利用图像进行求解.（关键点：①抛物线开口方向，②顶点是否在区间内）. （3）反比例函数：（1）图像关于原点中心对称（2）当 ，当. （4）对勾函数： ① 解析式特点：的系数为1；注：因为此类函数的值域与相关，求的值时要先保证的系数为，再去确定的值 例：，并不能直接确定，而是先要变形为，再求得② 极值点：③ 极值点坐标：y kx b =+2y ax bx c =++1y x=,0x y →+∞→,0x y →-∞→()0ay x a x=+>x 0a>a a x 1a 42y x x =+4a =22y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭2a=x x ==(,-④ 定义域：⑤ 自然定义域下的值域： （5）函数： 注意与对勾函数进行对比① 解析式特点：的系数为1； ② 函数的零点：③ 值域：（5）指数函数（）：其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为（6）对数函数（）其函数图像分为与两种情况，可根据图像求得值域，在自然定义域下的值域为()(),00,-∞+∞(),2,a ⎡-∞-+∞⎣()0ay x a x=->x 0a >x a =±R xy a =1a >01a <<()0,+∞log a y x =1a >01a <<()0,+∞【经典例题】例1.【2020年高考北京卷11】函数1()=ln 1f x x x ++的定义域是__________．例2．【河南省部分重点高中2020届高三三模】函数y =的定义域是（ ）A ．（0，1）∪（1，4]B ．（0，4]C ．（0，1）D ．（0，1）∪[4，+∞）例3．【福建省2020届高三考前冲刺适应性模拟卷】已知函数()f x 的定义域为[0，2]，则()()21f xg x x =-的定义域为（） A ．[)(]0,11,2 B ．[)(]0,11,4 C ．[)0,1 D ．(]1,4 例4．【山东省济宁市第一中学2020届高三三模】函数()1lnxf x x =-的定义域为（ ） A ．[)()0,11,⋃+∞B ．()()0,11,⋃+∞C ．[)0,+∞ D ．()0,+∞例5．【黑龙江省哈尔滨市第一中学校2020届高三三模】已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为 （ ） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2例6．【山东省实验中学2020年高三三模】若函数()f x 的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为（ ） A ．22（﹣，）B ．22∞∞⋃+（﹣，﹣）（，）C ．][22∞∞⋃+（﹣，﹣，）D ．[]22﹣，例7．【山东省泰安市2020届高三6月全真模拟（三模）数学试题】已知函数()f x =()11f x x -+的定义域为（ ）A ．(),1-∞B ．(),1-∞-C ．()(),11,0-∞-- D ．()(),11,1-∞--【精选精练】1．【江西省宜春市宜丰中学2020高三三模】函数()()2log 1f x x =- ） A ．(),1-∞B ．[)1,1-C ．(]1,1-D ．[)-1,+∞2．【2020届北京市东城区高三统练】下列函数中，与函数()15xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的定义域和值域都相同的是（ ）A ．22y x x =+，0x >B ．1y x =+C ．10x y -=D ．1y x x=+3．【吉林省梅河口市第五中学2020届高三第七次模拟考】已知函数()21,0log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，若方程()f x a=有四个不同的解1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则()3122344x x x x x -++的取值范围是（ ） A ．(]6,9B ．()6,9C．()+∞D．)⎡+∞⎣4．【浙江省宁波市镇海中学2020届高三仿真测试数学试题】若函数()f x 满足()()a f x b a b ≤≤<，定义b a -的最小值为()f x 的值域跨度，则下列函数中值域跨度不为2的是（ ）A ．()cos21f x x =+B ．()f x =C ．()1f x x x =--D ．()3232x xx xf x -=+ 5．【2020届湖北省高三高考模拟调研考试】函数y x = ）. A．2⎡⎤-⎣⎦B ．[]0,4C．0,2⎡+⎣D．2⎡-+⎣6．【东北三省三校2020届高三第四次模拟考试】已知函数()2cos 4x x x f x a=+是偶函数，则函数()f x 的最大值为（ ） A ．1B ．2C ．12D ．37．【江西省赣州一中2020年高三三模】已知函数2()32(3)3f x x m x m =-+++的值域为[0,)+∞，则实数m 的取值范围为（ ）A ．{0,3}-B ．[3,0]-C ．(,3][0,)-∞-⋃+∞D ．{0,3}8．【2020届湖南省五岳高三6月联考】函数()26512x x f x -+⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为（ ）A ．(]0,16B ．[)16,+∞C ．10,16⎛⎤⎥⎝⎦D ．1,16⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭9．【2020届百校联考高考考前冲刺必刷卷】函数()284f x x x =-+在[]1,8上的值域为（ ） A ．[]12,3--B ．[]16,4-C ．[]3,4-D ．[]12,4-10．【2020届福建省福州第一中学高三考试数学试题】若函数y (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[0，1]，则log a 56＋log a 485＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．411．【2020届上海市高三高考压轴卷数学试题】函数()lg 2cos 21y x =-的定义域是______. 12．【2020届江苏省淮安市新淮高级中学高三调研数学试题】函数()2134lg x y x x -=--的定义域是____________13．【2020届上海市高考模拟数学试题】对于函数()f x =,其中0b >,若()f x 的定义域与值域相同,则非零实数a 的值为______________.14．【2020届陕西省咸阳市高三高考模拟检测数学试题】如果几个函数的定义域相同、值域也相同，但解析式不同，称这几个函数为“同域函数”. 试写出y =“同域函数”的解析式为____________.15．【浙江省衢州二中2020届高三下学期6月模拟数学试题】已知函数()f x =[)0,+∞，则实数t 的取值范围是__________．16．【2020届江苏省南京市第二十九中高三三模】已知函数()[]11,1,05xf x x ⎛⎫=-∈- ⎪⎝⎭，()22log +3,g x a x a x ⎤=∈⎥⎢⎥⎣⎦，若对任意的0x ⎤∈⎥⎢⎥⎣⎦，总存在[]11,0x ∈-使得()()01g x f x =成立，则实数a的取值范围是__________．。
2020年6月山东省济南市普通高中2020届高三针对性训练(高考三模)数学试题(解析版)
绝密★启用前山东省济南市普通高中2020届高三毕业班下学期针对性训练(高考三模)数学试题(解析版)2020年6月本试卷共4页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名，考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式：13V Sh =（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）―、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}12M x x =-<<，{N x y ==，则MN =（ ） A. {}1x x >- B. {}02x x ≤< C. {}02x x << D. {}12x x ≤< 【答案】D【解析】【分析】先求出集合N ，然后进行交集的运算即可.【详解】由{{}|1N x y x x ===≥,{}12M x x =-<<所以[)1,2MN =故选：D 【点睛】考查描述法的定义,以及交集的运算,是基础题.2.函数()34f x x x =+-的零点所在的区间为（ ）A. 1,0B. 0,1C. 1,2D. ()2,3【答案】C【解析】【分析】直接利用零点存在定理计算得到答案.【详解】3()4f x x x =+-,易知函数单调递增,(0)40f =-<,(1)20f =-<,(2)20f =>,故函数在(1,2)上有唯一零点. 故选：C.【点睛】本题考查了零点存在定理的应用,意在考查学生的计算能力和应用能力.3.已知命题p ,x ∀∈R ,12x x e e +≥,则p ⌝为（ ） A. x ∃∈R ,12x xe e +≥ B. x ∃∈R ,12x x e e +< C. x ∃∈R ,12x x e e +≤ D. x ∀∈R ,12x x e e +≤ 【答案】B【解析】【分析】全称命题:x A ∀∈,()P x 否定,是特称命题:x A ∃∈,()P x ⌝,结合已知中原命题x ∀∈R ,12x x e e+≥,可得到答案． 【详解】 原命题x R ∀∈,12xx e e +≥ ,∴ 命题x ∀∈R ,12x x e e+≥的否定是:x ∃∈R ,12x xe e +<． 故选:B ．。
2020届山东省新高考高三优质数学试卷分项解析 专题02 相等关系与不等关系,计数原理(原卷版)
专题2 相等关系与不等关系高考试题不等式的考查有两类，一是涉及不等式的性质、不等式的解法、绝对值不等式；二是基本不等式及其应用等，一般不独立命题，而是以工具的形式，与充要条件、函数与导数、解析几何、三角函数、数列等综合考查.预测2020年独立考查的内容将是不等式的性质或基本不等式的应用问题，不等式的解法将与集合、函数等其它知识点综合考查.第一部分 相等关系与不等关系一、单选题1．（2020届山东省日照市高三上期末联考）如图，《九章算术》中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子原高一丈（一丈10=尺），现被风折断，尖端落在地上，竹尖与竹根的距离三尺，问折断处离地面的高是（ ）A ．2.55尺B ．4.55尺C ．5.55尺D ．6.55尺2．（2019·山东师范大学附中高三月考）函数()312xf x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的零点所在区间为（ ）A ．()1,0-B ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()1,23．（2020届山东省泰安市高三上期末）若()33log 21log a b ab +=+2+a b 的最小值为（ ）A ．6B ．83C ．3D ．1634．（2020·全国高三专题练习（文））“[]1,2x ∀∈，210ax +≤”为真命题的充分必要条件是（ ）A ．1a ≤-B ．14a -≤ C ．2a ≤- D．0a ≤5．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知a R ∈，则“01a <<”是“,x R ∀∈2210ax ax ++>”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．（2020届山东实验中学高三上期中）若,a b 是任意实数，且a b >，则（ ）A ．22a b >B ．1ba<C ．()10g a b ->D ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020届山东省滨州市高三上期末）已知x ∈R ，则“121x⎛⎫ ⎪⎭>⎝”是“21x -<<-”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式220ax bx ++>的解集为{12}x x -<<，则不等式220x bx a ++>的解集为（ ）A ．{1x <-或1}2x > B ．1{1}2x x -<<C ．{21}x x -<<D ．{2x <-或1}x >9．（2020届山东省济宁市高三上期末）已知奇函数()f x 在R 上单调,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值是( ) A ．1B ．92C ．9D ．1810．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）如图，在△ABC 中，点,D E 是线段BC 上两个动点，且AD AE +u u u r u u u rx AB y AC =+u u u r u u u r ，则14x y+的最小值为（ ）A ．32B ．2C ．52D ．9211．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ）A ．(,1]e -∞-B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-12．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知0a >，0b >，若不等式41ma b a b+≥+恒成立，则m 的最大值为（ ） A ．10B ．12C ．16D ．913．（2020届山东师范大学附中高三月考）若0a >，0b >，()lg lg lg 2a b a b +=+，则2a b +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．7D ．614．（2020届山东实验中学高三上期中）设{}2|8150A x x x =-+=，{}|10B x ax =-=，若A B B =I ，求实数a 组成的集合的子集个数有 A ．2B ．3C ．4D ．815．（2020届山东实验中学高三上期中）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=-，且当2x >时，有()()()()2,11xf x f x f x f ''+>=若，则不等式()12f x x <-的解集是（ ） A ．(2,3) B ．(),1-∞C ．()()1,22,3⋃D ．()(),13,-∞⋃+∞二、多选题16．（2020届山东省泰安市高三上期末）已知a b c d ,,,均为实数，则下列命题正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若0,0ab bc ad >->，则0c da b-> C ．若,,a b c d >>则a d b c ->- D ．若,0,a b c d >>>则a b d c> 17．（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）设11a b >>>-，0b ≠，则下列不等式中恒成立的是（ ） A ．11a b< B ．11a b> C ．2a b > D ．22a b >18．（2020届山东省潍坊市高三上期中）若x y ≥，则下列不等式中正确的是（ ） A ．22x y ≥B ．2x yxy +≥ C ．22x y ≥ D ．222x y xy +≥19．（2020届山东省九校高三上学期联考）下列结论正确的是（ ）A ．x R ∀∈，12x x+≥B ．若0a b <<，则3311a b ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．若()20x x -<，则()2log 0,1x ∈D ．若0a >，0b >，1a b +≤，则104ab <≤20．（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）如图所示，一座小岛距离海岸线上最近的P 点的距离是2km ，从P 点沿海岸正东12km 处有一个城镇.假设一个人驾驶的小船的平均速度为3/km h ，步行的速度为5/km h ，时间t （单位：h ）表示他从小岛到城镇的时间，x （单位：km ）表示此人将船停在海岸处距P 点的距离.设24,u x x =++24v x x =+-，则（ ）A ．函数()v f u =为减函数B ．15432t u v --=C ．当 1.5x =时，此人从小岛到城镇花费的时间最少D ．当4x =时，此人从小岛到城镇花费的时间不超过3h 三、填空题21．（20201x x +x =______. 22．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）函数2245()(1)1x x f x x x -+=>-的最小值是__________.23．（2020届山东省潍坊市高三上期中）“x R ∃∈，220x x a --<” 为假命题，则实数a 的最大值为__________．24．（2020·全国高三专题练习（理））谈祥柏先生是我国著名的数学科普作家，他写的《数学百草园》、《好玩的数学》、《故事中的数学》等书，题材广泛、妙趣横生，深受广大读者喜爱.下面我们一起来看《好玩的数学》中谈老的一篇文章《五分钟内挑出埃及分数》：文章首先告诉我们，古埃及人喜欢使用分子为1的分数（称为埃及分数）.如用两个埃及分数13与115的和表示25等.从11111,,,,,234100101⋅⋅⋅这100个埃及分数中挑出不同的3个，使得它们的和为1，这三个分数是________.（按照从大到小的顺序排列）25．（2020·全国高三专题练习（理））已知圆()()22212x y -+-=关于直线()10,0ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为__________． 26．（2020届山东实验中学高三上期中）设命题21:01x p x -<-，命题()()2:2110q x a x a a -+++≤，若p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____________．27．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）设()()201x a x f x x x x ⎧-≤⎪=⎨+⎪⎩，，＞． （1）当12a =时，f （x ）的最小值是_____； （2）若f （0）是f （x ）的最小值，则a 的取值范围是_____． 四、解答题28．（2020届山东师范大学附中高三月考）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x 件产品的销售收入是21()5004R x x x =-+（元），()P x 为每天生产x 件产品的平均利润（平均利润＝总利润/总产量）.销售商从工厂每件a 元进货后又以每件b 元销售， ()b a c a λ=+-，其中c 为最高限价()a b c <<，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ是由当b a -是c b -，c a -的比例中项时来确定.（1）每天生产量x 为多少时，平均利润()P x 取得最大值？并求()P x 的最大值； （2）求乐观系数λ的值；（3）若600c =，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值.29．（2020届山东省潍坊市高三上期中）在经济学中，函数()f x 的边际函数()Mf x 定义为()()()1Mf x f x f x =+-．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产x 台()x N *∈的收益函数为()2300020R x x x =- （单位：万元），成本函数()5004000C x x =+（单位：万元），该公司每月最多生产100台该医疗器材．（利润函数=收益函数－成本函数）（1）求利润函数()P x 及边际利润函数()MP x ；（2）此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?（精确到0.1） （3）求x 为何值时利润函数()P x 取得最大值，并解释边际利润函数()MP x 的实际意义． 30．（2020届山东省枣庄市高三上学期统考）非空集合()(){}2|312310A x x a x a =-++-<，集合(){}223|220B x x a a x a a =-++++<（Ⅰ）当3a =时，求A B I ；（Ⅱ）命题p ：x A ∈，命题q ：x B ∈，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围.第二部分 计数原理一、单选题1．（2020届山东省烟台市高三上期末）为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为（ ） A ．216B ．480C ．504D ．6242．（2020届山东省九校高三上学期联考）汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A 、B 、C 、D 、E （在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（ ） A ．20 B ．15 C ．10D ．53．（2020·全国高三专题练习（理））已知某超市为顾客提供四种结账方式:现金、支付宝、微信、银联卡.若顾客甲只会用现金结账，顾客乙只会用现金和银联卡结账，顾客丙与甲.乙结账方式不同，丁用哪种结账方式都可以若甲乙丙丁购物后依次结账，那么他们结账方式的组合种数共有（ ） A ．36种B ．30种C ．24种D ．20种4．（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）“总把新桃换旧符”（王安石）、“灯前小草写桃符”（陆游），春节是中华民族的传统节日，在宋代人们用写“桃符”的方式来祈福避祸，而现代人们通过贴“福”字、贴春联、挂灯笼等方式来表达对新年的美好祝愿，某商家在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满50元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有4名顾客都领取一件礼品，则他们中有且仅有2人领取的礼品种类相同的概率是（ ）A ．59B ．49C ．716D ．9165．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）6本不同的书摆放在书架的同一层上,要求甲、乙两本书必须摆放在两端，丙、丁两本书必须相邻，则不同的摆放方法有（ ）种 A ．24B ．36C ．48D ．606．（2020届山东省滨州市高三上期末）展开式中项的系数为（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2020届山东省九校高三上学期联考）吸烟有害健康，小明为了帮助爸爸戒烟，在爸爸包里放一个小盒子，里面随机摆放三支香烟和三支跟香烟外形完全一样的“戒烟口香糖”，并且和爸爸约定，每次想吸烟时，从盒子里任取一支，若取到口香糖则吃一支口香糖，不吸烟；若取到香烟，则吸一支烟，不吃口香糖，假设每次香烟和口香糖被取到的可能性相同，则“口香糖吃完时还剩2支香烟”的概率为（ ）A ．15 B ．815 C ．35D ．3208．（2020届山东省临沂市高三上期末）6324x x ⎛⎝的展开式的中间项为（ ） A ．-40B ．240x -C ．40D ．240x9．（2020届山东省潍坊市高三上期中）(82x 展开式中3x 的系数为（ ）A ．-112B ．28C ．56D ．112二、多选题 三、填空题10．（2020届山东省日照市高三上期末联考）二项式261(2)x x-的展开式中的常数项是_______.（用数字作答）11．（2020届山东省潍坊市高三上学期统考）在32nx x ⎛ ⎝的展开式中，只有第五项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是 ．12．（2020届山东省德州市高三上期末）6212x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项为______；系数最大的项是______. 13．（2020届山东省临沂市高三上期末）现将七本相同的书分给甲、乙、丙三人，每人至少一本，则甲分得的书不少于3本的概率是______.14．（2020·全国高三专题练习（理））在()8x 的展开式中,含44x y 项的系数是_______.。
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数学
（满分：150 分考试时间：120 分钟）
一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符
合题目要求的.
1.已知全集U=R，集合A ={x | 2x <1} ，B ={x | log x <1} ，则(ðU A)
A．{x | 0 ≤x <1} C．{x | 0 <x < 2}B．{x |1 ≤x < 2} D．{x | 0 ≤x < 2}
2.若z =2
+
2
，则z 在复平面内所对应的点位于1 + i i
A．第一象限B．第二象限
C．第三象限D．第四象限
3.已知命题p : ∀x ∈R, ax2+ 2x > 0 ，则⌝p 为
A．∀x ∈R, a x2+ 2x ≤ 0 B．∀x ∈R, a x2+ 2x < 0 C．∃x ∈R, ax2 + 2x ≤ 0 D．∃x ∈R, ax2 + 2x < 0
0 0 0
4.已知角α的终边经过点P(1, -2) ，则cos(α+π
) =
3
0 0 0
A．5 - 2 15
10
C．15 - 2 5
10 B．5 + 2 15
10
D．15 + 2 5
10
5．函数f (x) = lg(102x +1) - (x2 +x) 在[-2, 2] 上的图象大致为B =
2
3
3 3 2
6. 为保障农村偏远地区教育资源的平衡化，根据上级部门精神，某校决定派 A ，B ，C 三位数学教师和 D ， E ，F 三位英语教师去指导甲、乙两地的教育教学工作.现将他们分成两个三人小组，分别派往甲、乙两地，要求两地都要有数学和英语教师，且 A 教师必须去甲地，则教师 B 和 D 同时都去乙地的概率是
A. 1 2
B. 1 3 2 - y 2 =
C. 1 6 F F
D. 1
12 ⋅ < 7. 已知点P 是双曲线C ：x 2
1 的渐近线上的一点， 1 、
2 分别是双曲线C 的左、右焦点，若 F 1P F 2 P 0 ，
则点 P 的横坐标的取值范围是 A ．
(-2, 2) B ． (- 3, 3) C ． (- 2, 2) D ．
(-1,1) 8．已知两定点 A (-2,0), B (1,0) ，如果动点 P 满足| PA |= 2 | PB | ，点 Q 是圆(x - 2)2 + ( y - 3)2 = 3上的动点，则
|PQ |的最大值为
A ． 5 -
B ． 5 +
C ． 3 + 2
D ． 3 - 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全
部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分.
9. 甲、乙两位体育特长生在平时训练中，5 次的成绩如下面的茎叶图所示，则下列说法正确的是
A. 甲同学成绩的极差为 18
B ．乙同学的平均成绩较高
C ．乙同学成绩的中位数是 85
D ．甲同学成绩的方差较小
10. 已知函数 f (x ) = 2 cos 2 x - cos(2x + π
) -1，则
2 A. f (x ) 的图象可由 y = π 2 sin 2x 的图象向左平移 4 个单位长度得到 B. f (x ) 在(0, π) 上单调递增 8
C.
f (x ) 在[0, π] 内有 2 个零点 D. f (x ) 在[- π , 0] 上的最大值为 11. 已知正方体 ABCD - A 1B 1C 1D 1 的棱长为 2，点 P 在线段CB 1 上，且 B 1P = 2PC ，过点 A , P ,C 1 的平面分别 3
2
x 2 交 BC , A 1D 1于点 E , F ，则下列说法正确的是
A. AC 1 ⊥ EF
B. A 1B ∥平面 AC 1F
C. 平面 AEC 1F ⊥平面 AA 1D 1D D ．过点 A , P ,C 1 的截面的面积为2 12. 定义： N { f (x ) ⊗ g (x )} 表示 f (x ) < g (x ) 的解集中整数的个数．若 f (x ) =| log x | ，
g (x ) = a (x -1)2 + 2 ， 则下列说法正确的是
A ．当 a > 0 时， N { f (x ) ⊗ g (x )}=0
B ．当 a = 0 时，不等式 f (x ) < g (x ) 的解集是(1
, 4) 4 C ．当 a = 0 时， N { f (x ) ⊗ g (x )}=3
D ．当 a < 0 时，若 N { f (x ) ⊗ g (x )} =1 ，则实数a 的取值范围是(-∞, -1]
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.
13．已知a = (2,1),b = (1,t ) ，若a ⋅ b = 5 ，则cos a ,b = ．
14．若(3x -
1 )n 展开式的各项系数和为 64，则n = ， x 3 的系数为 ．(本题第一空 2
分，第二空 3 分)
15. 已知函数 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且 f (1- x ) = f (1+ x ) ，当 x ∈(0,1) 时， f (x ) = e ax （其中e 是自
然对数的底数），若 f (2020 - ln 2) = -8 ，则实数a 的值为 ．
16. 在三棱锥 A - BCD 中， AB ⊥ AD ， AB = 2, AD = 2 ，CB = CD = 2 ，当三棱锥 A - BCD 的体积最大
时，三棱锥 A - BCD 外接球的体积与三棱锥 A - BCD 的体积之比为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分 10 分）
在等差数列{a n } 中，已知a 5 = 15, S 3 = 18 ．
（1） 求数列{a n } 的通项公式；
（2） 若 ，求数列{b n } 的前
n 项和 S n ． 9
在①
b n = ，② b = (-1)n a ，③ b = 2a n ⋅ a 这三个条件中任选一个补充在第（2）问中，并对其求 a n a n +1 解．
n n n n 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（本小题满分 12 分）
已知△ABC 的内角 A , B ,C 的对边分别为a ,b ,c ，且满足2sin C cos B = 2sin A -sin B ．
（1） 求角C 的大小；
6
3 2
2 （2） 若△ABC 的面积为
3 3
，求△ABC 的周长的最小值.
2 19．（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P - ABCD 中，PA ⊥底面 ABCD ，BC ∥AD ，AB ⊥BC ， PA = AB = ，
AD = 2BC = 2 ， M 是 PD 的中点．
（1） 求证：CM ∥平面 PAB ；
（2） 求二面角 M - AC - D 的余弦值．
20．（本小题满分 12 分）
已知抛物线C : y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，直线l 交C 于 A , B 两点（异于坐标原点 O ）.
（1） 若点 M 的坐标为(3, 2) ，点 P 为抛物线 C 上一动点，线段 MF 与抛物线 C 无交点，且| PM | + | PF | 的最小值为 5，求抛物线C 的标准方程；
（2） 当OA ⋅ O B = 0 时，判断直线l 是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，说明理由. 21．（本小题满分 12 分）
已知函数 f (x ) = a ln x
+ x ， a ∈ R ． x
（1）若 a =1，求曲线 y = f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程；
（2）若 g (x ) = xf (x ) - 2x 2 + (1- 2a )x ，讨论 g (x ) 的单调性．
22．（本小题满分 12 分）
手工艺是一种生活态度和对传统的坚持，在我国有很多手工艺品制作村落，村民的手工技艺世代相传， 有些村落制造出的手工艺品不仅全国闻名，还大量远销海外.近年来某手工艺品村制作的手工艺品在国外备受欢迎，该村村民成立了手工艺品外销合作社，为严把质量关，合作社对村民制作的每件手工艺品都请 3 位行家进行质量把关，质量把关程序如下：（i ）若一件手工艺品 3 位行家都认为质量过关， 则该手工艺品质量为 A 级；（ii ）若仅有 1 位行家认为质量不过关，再由另外 2 位行家进行第二次质量把关，若第二次质量把关这 2 位行家都认为质量过关，则该手工艺品质量为 B 级，若第二次质量把关
这2 位行家中有1 位或2 位认为质量不过关，则该手工艺品质量为C 级；（iii）若有2 位或3 位行家
认为质量不过关，则该手工艺品质量为D 级.已知每一次质量把关中一件手工艺品被1 位行家认为质量1
不过关的概率为
，且各手工艺品质量是否过关相互独立.
3
（1）求一件手工艺品质量为B 级的概率；
（2）若一件手工艺品质量为A,B,C 级均可外销，且利润分别为900 元、600 元、300 元，质量为D 级不能外销，利润记为100 元.
①求10 件手工艺品中不能外销的手工艺品最有可能是多少件；
②记1 件手工艺品的利润为X 元，求X 的分布列与期望.。