第三章一元函数积分学

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高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

y
y | x |
由此可知，函数 y | x | 在 x=0 处不可导.
O
x
图 2-8
13
二、导数的定义
练习
1.求函数 y 2x 在 (1, 2) 的导数.
第三章一元函数微分学及其应用
2.求函数 y x2 在点 x 1处的导数.
3. 已知函数 y | sin x |, 讨论函数在点 x 0 处的导数.
15
二、导数的定义
第三章一元函数微分学及其应用
如果 y f x 在 a,b 内的每一点处均可导，则称 y f x 在 a,b
内可导. 这时 a,b 内的每一点都对应一个导数值，由函数的定义就可以得到一
个新函数，则称这个函数为原来函数的导函数，简称为导数，记作 f x， y，
dy 或 df (x) ，即有 dx dx
则割线 MN 的斜率为
tan y y0 f (x) f (x0 )
x x0
x x0
导数的几何意义
y
C
O
y f x
N Δy
M
Δx
x0
xx
图 3-6
6
一、割线与切线
第三章一元函数微分学及其应用
当 N M，即 x→x0 时，如果割线趋于一极限位置，我们就把此极限
位置上的直线MT 称为曲线在M点处的切线.

高数强化第三章《一元函数积分学》(思维导图)

第三章

一元函数微分学

不定积分

基本概念

原函数

不定积分

原函数的存在性

连续函数一定有原函数

区间上有第一类间断点，在该区间没有原函数

存在第二类间断点，可能有，可能无

不定积分的性质基本积分公式

三种主要积分法

第一类换元法（凑微分法）

第二类换元法

分部积分法

三种常见可积函数积分

有理函数积分

三角有理式积分①万能代换（一般法）

②三角变形，换元，分部（特殊法）

简单无理函数积分

令根号下的一堆=t

反常积分（广义积分）

无穷区间上的反常积分

定义

定理

1)比较判别法

2）比较法的极限形式3）P积分

无界函数的反常积分

定义

定理

1)比较判别法

2）比较法的极限形式3）P积分

定积分应用几何应用

平面图形的面积

直角坐标系极坐标系

空间体体积

旋转体体积

二重积分、元素

横截面面积的体积

常用曲线：双纽线摆线星形线

心形线（数三）

经济学中的应用常见函数

边际函数、边际分析弹性函数、弹性分析

注意需求价格弹性的正负！

定积分

概念

分匀合精

几何意义

一重：线与坐标轴围成的面积

二重：线与线围成的面积

有正负

可积性（存在）

充分条件

函数在[a,b]连续，积分存在

在[a,b]有界，且只有有限个间断点，积分存在在[a,b]上只有有限个第一类间断点，积分存在

必要条件积分存在，函数在[a,b]有界

计算（值）

牛顿莱布尼茨公式

换元积分

分部积分

利用奇偶性、周期性公式

点火公式

∫(0,π)xf（sinx）dx＝π/2∫(0,π)f（sinx）dx

变上限积分

定积分性质

不等式

积分中值定理

积分中值定理、广义积分中值定理

常见题型

不定积分

计算不定积分

不定积分杂例多做，积累题型

定积分

概念、性质、存在准则

第三章一元函数积分学

24
sin
2t
2sin
t
cos t
2
x a
a2 x2 a
a2 arcsin x 1 x a2 x2 C
2
a2
小结
三角代换常有下列规律
(1) a2 x2 可令 x = a sin t
(2) a2 x2 可令 x = a tan t (3) x2 a2 可令 x = a sect
注意：三角代换的目的是化掉根式。
f [ ( x)] ( x)dx [ f (u)du]u( x) F[(x)] C
第一类换元公式（凑微分法）
设 f (u)有原函数F(u), u ( x)可导,
则有换元公式
f [(x)](x)dx f [(x)]d(x) (x) u f (u)d u F(u) C
u (x) F[(x)] C
法和技巧。下面介绍不定积分的两大积分方法:换元积分法与分部积分法
3.2.1 换元积分法
一、第一类换元积分法（凑微分法）
有一些不定积分，将积分变量进行一定的变换后，积分表达式由于引进中间变量而变为新的形式，而新的积分表达式和新的积分变量可直接由基本积分公式求出不定积分来。
例如 cos(2x)dx ?
注意使用此公式的关键在于将
f [( x)] ( x)dx f (( x))d( x) F(( x)) C

D第三章一元函数积分学

x
(4) axdx ax C; l na
当 ae时 , exd xexC ;
(5) coxd sxsix nC； (6) six ndxcoxsC ； (7) se2x cdxtaxnC ； (8) cs2x cdxcoxtC ； (9) sextcaxd n xsexc C ； ( 1)0cs xcco x d x tcs x cC ；
2x
2c oxs4x5 2C.
ln2
5
其中 C = C1- 2C2 + 2C3，即各积分常数可以合并.
因此，求代数和的不定积分时，只需在最后写出一
个积分常数 C 即可.
例 6 求
(1 x)3 dx. x2
解
(1 x)3 dx x2
13x3x2x3dx x2

二、不定积分的基本性质
(1) f ( x ) d x f ( x ) 或 d f ( x ) d x f ( x ) d x .
(2) f(x)dxf(x)C
或
d f(x ) f(x )d (x ) f(x ) C .
基本积分表
(1) kdxkx C (k为常 ); 数 ( 2 )x d x1 1x 1 C , ( 1 ); (3) 1dxln| x|C;
令 3x + 2 = u 则

一元函数积分学

一元函数积分学是高等数学中的一个重要分支，它研究了一个实

数变量的函数的积分。在我们日常生活中，积分被广泛应用于各个领域，如经济学、物理学、工程学等等。在微积分中，积分是求解面积、体积、概率、质量等量的重要工具之一。

一元函数积分学的主要内容包括定积分、不定积分、变限积分、

换元积分、分部积分等。其中，定积分是一种重要的积分，它求解的

是在一定区间内的函数曲线下方的面积。不定积分则不限制求解的区间，可以得到一个函数的原函数。变限积分和换元积分是定积分的推

广和扩展，能够更加灵活地求解积分问题。分部积分则是一种将积分

转化为乘积的方法，对于某些复杂的积分问题可以起到关键作用。

在学习一元函数积分学时，我们需要掌握函数积分的基本性质、

定理和方法，并能够熟练地运用它们求解各种积分问题。此外，我们

还需要了解积分的应用，以便将它们运用到实际问题中解决实际问题。

总的来说，一元函数积分学是高等数学学习中非常重要的一个分支，它具有广泛的应用价值，是我们学习数学的必备知识点之一。

(整理)第三章一元函数的积分学

第三章一元函数的积分学

§1 不定积分

【考试要求】

1．理解原函数与不定积分的概念，掌握不定

积分的基本性质和基本积分公式.

2．掌握不定积分的换元积分法和分部积分

法.

3．会求有理函数、三角函数有理式的积分和

简单无理函数的积分.

一、基本概念

1．原函数与不定积分定义

若()()F x f x '=，(,)x a b ∈，则称()F x 是()

f x 在(,)a b 内的一个原函数.（一般地，“在区间(,)a b 内”几个字常省略）.

若()F x 是()f x 的一个原函数，则()F x C +也

是()f x 的原函数（其中C 为任意常数），()f x 的全体原函数称为()f x 的不定积分，记作()d f x x ⎰.

若()F x 是()f x 的一个原函数，则

()d ()f x x F x C =+⎰.

2．不定积分与原函数的关系

（1）不定积分与原函数是两个不同的概念，

前者是个集合，后者是该集合中的一个元素，因此

()d ()f x x F x ≠⎰.

（2）设()F x ，()G x 是()f x 的任意两个原函

数，则()()F x G x C =+（(,)x a b ∈）.

（3）原函数的几何意义：称()y F x C =+为

()f x 的积分曲线，其上横坐标为x 处的切线互相

平行.

3．原函数存在定理

设()f x 在(,)a b 内连续，则在(,)a b 内必有原函

数.

4．不定积分的基本性质

（1）()d ()d kf x x k f x x =⎰⎰ (k 为常数)；

（2）[()()]d ()d ()d f x g x x f x x g x x ±=±⎰⎰⎰；

2014年数学一大纲解析第三章：一元函数积分学

f ( x) 在 [0,+∞) 上连续且满足 ∫
x 2 ( x +1)
0
f (t )dt = x ，求 f (2) .
f ′(e x ) = sin x ，则 f ( x ) =
.
f ( x)
且反函数为 g ( x ) ，如果 ∫ f ( x) 在 [0,+∞) 上可导， f (0) = 0 ，
0
x →0
F ( x) 1 = f ′(0) . x2n 2n
【答案与提示 2】
x sin(lnx) − x cos(lnx) +C ； 2 1 2 3 4. ∫ x f ′( x)dx = x ⋅ cos x − 4x sin x − 6 cos x + C ； 5. ； 5 x sin(ln x) − x cos(ln x) 6. f ( x ) = + C ； 7. f ( x) = ( x + 1)e x − 1 ； 2
历年真题链接 1+∞
1.（2013 年）
∫
1
lnx dx = (1 + x ) 2
kπ
2
.
2.（2012 年）设 I k （A） I1 （C） I 2
= ∫ e x sin xdx （ k = 1,2,3 ），则有（
0
）
< I2 < I3 < I 3 < I1

一元函数积分学

.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 13 / 36
旋转体的体积
.
旋. 转体的体积
设立体 Ω 是由图形：
{(x, y) : a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
绕 x− 轴旋转一周得到，称为旋转体。它的体积：
∫b
V = π f2(x)dx
.
a
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 14 / 36
旋转体的体积
.
例.
求椭圆
x2 y2 a2 + b2 = 1
绕. 着 x− 轴旋转一周所围的立体体积。
.
.
.
.
.
.
()
一元函数积分学
November 14, 2019 15 / 36
目录
1. 定积分的应用面积问题面积问题（极坐标下的区域）已知平行截面面积求体积旋转体的体积曲线的弧长旋转曲面的面积由分布密度求质量动态过程的积累效应
面积问题
.
例.
.计算心脏线 r = a(1 + cos θ)(|θ| ≤ π) 围城的图形的面积。
.
.
.

第3章一元函数积分学10-11(定积分的物理应用)

q 大小为 F k 2（k 是常数），当这个单位正电荷在电场中从 r = a 处沿 r r 轴移动到 r = b 处时，计算电场力 F 对它所作的功．
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
例3 (1)半球形贮水池，贮满水，从池中把水抽出，问作多少功？ (2)若半球形贮水池平底在下，问作多少功？例4 半径为R，比重为(大于1)的球沉入深为H(>2R)的水池底，现将其从水中取出，问需作多少功？例5 用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击时将铁钉击入1厘米，若每次锤击所作的功相等，问第 n 次锤击时又将铁钉击入多少？
习例解答
例 2 一圆柱形蓄水池高为 5 米，底半径为 3 米，池内盛满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少功？
o
x
x dx
5
点击图片任意处播放\暂停
x
取 x 为积分变量，
解
建立坐标系如图
x [ 0 ,5 ]
取任一小区间[ x , x dx ] ,
习例解答
这一薄层水的重力为
液体压力
由物理学知道，在水深为 h 处的压强为是水的比重．如果有一面积为 A 的 p h ，这里平板水平地放置在水深为 h 处，那么，平板一侧所受的水压力为 P p A ．

2019考研数学复习高等数学第三章一元函数积分学共36页

第三章一元函数积分学

2013考试内容

原函数和不定积分的概念不定积分的基本性质基本积分公式定积分的概念和基本性质定积分中值定理积分上限的函数及其导数牛顿－莱布尼茨（Newton –Leibniz ）公式不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分反常（广义）积分定积分的应用 2013考试要求

1. 理解原函数的概念，理解不定积分和定积分的概念。

掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理，掌握换元积分与分部积分法。

3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数的积分。

4. 理解积分上限的函数，会求它的导数，掌握牛顿－莱布尼茨公式。

了解反常积分的概念，会计算反常积分。

掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等）及函数的平均值。

第一节一元函数积分学之一（原函数）

一、原函数的概念及其等价描述

1．概念：设有函数()f x 和可导函数()F x ，如果对区间[], a b 上的任何一点x ，都有

()()F x f x '=，

则称()F x 为()f x 在区间[], a b 上的一个原函数。()F x c +构成()f x 的全体原函数，叫做()f x 的不定积分，记为：()()f x dx F x c =+⎰。

2．原函数的性质：

● ()()()()

0lim

x F x x F x F x f x x

第三章一元函数积分学习题及解答

第三章 -一元函数积分学习题解答

一、选择填空题

1、已知)(x f 的一个原函数是x sin ，则=')(x f （ B ）。

A 、x sin

B 、x sin -

C 、x cos

D 、x cos - 2、设)(x f 的一个原函数为x e 2，则⎰

'dx x f x )(= （ C ）。

A 、C e x

+221 B 、C xe x +22 C 、C e xe x

x +-222

1 D 、C e xe x x +-222

3、若

⎰+=c x F dx x f )()(，则⎰dx x f )2(等于（ B ）

A 、c x F +)2(

B 、c x F +)2(2

C 、

c x F +)(2

D 、c x F +)(2 4、下式中积分值为零的有（ B ）。 A 、

⎰

-dx e x x 21

B 、⎰-dx x x 11

C 、⎰-dx x 31

1 D 、⎰+-dx x

141 5、广义积分

x xe dx +∞

-⎰

的值为………………………………………………（ B ）

A 、2

B 、

C 、0

D 、1

二、填空题

6、填上恰当的不等号：

dx x ⎰10

> dx x ⎰+1

)1ln(

7、设x cos 是)(x f 的一个原函数，则⎰

dx x xf )(=C x x x +-sin cos 。

8、设⎰=2

cos )(x tdt x f ，则=')(x f 2cos 2x x 。

、

43-=⎰

0 .

10、

⎰∞

+∞-+dx x 211

= π_。三、计算及证明

11、求3

sin lim

x dt t x

数学强化班(武忠祥)-高数第三章一元函数积分学

第三章一元函数积分学

第一节不定积分

1．两个概念: 1）原函数： )()(x f x F =' 2）不定积分：⎰+=C x F x x f )(d )( 2．基本积分公式： 1) .arcsin d 22C a x x a x +=-⎰

2)⎰+±+=±C a x x a

x x ||ln d 2

222

.arctan 1d 22C a

x a x a x +=+⎰ 4) ⎰+-+=-.||ln 21d 22C x a x

a a x a x 5) .|tan sec |ln d sec ⎰++=C x x x x 6) ⎰++-=.|cot csc |ln d csc C x x x x 3．三种主要积分法

1）第一类换元法（凑微分法）

若C x F x x x f C u F u u f +='+=⎰⎰))((d )())((则,)(d )(ϕϕϕ 2）第二类换元法：

C x F C t F dt t t f t x x x f +=+='=-⎰⎰))(()()())(()(d )(1

ϕϕϕ

t a x a x t a x x a t a t a x x a sec ,iii)tan ,ii))cos (sin ,i)

222222=-=+=-

3）分部积分法 ⎰⎰-=vdu uv udv “适用两类不同函数相乘”

⎰⎰⎰⎰x x e x x x x x x e x x

n n x

n d sin ,cos )(p ,

d sin )(p ,d )(p βαααα， ⎰⎰⎰⎰x x x x x x x x x x x

第3章一元函数积分学方法归纳及习题

2
u u2 u3
2
u 2u 2
x x 1 x(1 x) 1 ln( x 1 x) C
2
2
2
●
设
f
(ln
x)
1, x,
解：令t ln x
0 x 1 且 f (0) 0，求 f (x) 。
x 1
则
f
(t)
1 et
t0 t 0
f
(x)dx
x C1 ex C2
x0 x0
由
lim
x0
x
t
t
2
3
1
,
y
t
2
t
, 1
而
dx
t 2 (t (t 2
2
3) 1) 2
d
t
原式
t
t3 2
1 1
t
3t 2
1
t 2 (t (t 2
2
3) 1) 2
dt
1 2
ln
(x
y)2
1
C
目录上页下页返回结束
ex
● x (1 x ln x)dx
原式
ex x
dx
ex
ln
xdx
exd
ln
4
4
4
4
1 x sec4 x 1 tan x 1 tan3 x C

高等数学一元函数积分学

(2) F (x)dx F(x) c 或 dF(x) F(x) c
定理2 kf ( x)dx k f ( x)dx （k 是常数，k 0)
定理3 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx
推论
n
n
fi (x)dx fi (x)dx
i 1
i 1
（二）不定积分的基本积分公式
x
上任
取一点
，
i
以 [ xi1, xi ]为底，f (i ) 为高的小矩形面积为
Ai f (i )xi
3. 求和
曲边梯形面积的近似值为
n
A f (i )xi
i 1
4. 取极限
当分割无限加细, 即小区间的最大长度
max{x1, x2 ,Lxn } 趋近于零( 0) 时，
n
曲边梯形面积为
(7) sin xdx cos x C;
（二）不定积分的基本积分公式
(8) sec2 xdx tan x C;
(9) csc2 xdx cot x C;
基本
(10)
sec x tan xdx sec x C;
积 (11) csc x cot xdx csc x C;
A lim 0 i1
f (i )xi
定义设函数 f ( x)在[a, b]上有界，在[a, b]中任意插入

高等数学第三章一元函数积分学

第三章一元函数积分学

§3.1 不定积分

甲内容要点

一．基本概念与性质

1．原函数与不定积分的概念

设函数()x f 和()x F 在区间I 上有定义，若()()x f x F ='在区间I 上成立，则称()x F 为()x f 在区间I 上的原函数，()x f 在区间I 中的全体原函数称为()x f 在区间I 的不定积分，记以()⎰dx x f 。其中⎰

称为积分号，x 称为积分

变量，()x f 称为被积函数，()dx x f 称为被积表达式。 2．不定积分的性质设

()()C x F dx x f +=⎰，其中()x F 为()x f 的一个原函数，C 为任意常数。

则（1）()()C x F dx x F +='⎰

或 ()()⎰+=C x F x dF

（2）

()[]()x f dx x f ='

⎰ 或 ()[]()dx x f dx x f d =⎰

（3）()()⎰

⎰=dx x f k dx x kf （4）

()()[]()()⎰⎰⎰±=±dx x g dx x f dx x g x f

3．原函数的存在性

设()x f 在区间I 上连续，则()x f 在区间I 上原函数一定存在，但初等函数的原函数不一定是初等函数。例如

()⎰dx x 2sin ，()

⎰dx x 2

cos ，⎰

dx x x sin ，⎰dx x x cos ，⎰x

dx ln ，dx e x ⎰-2

等。被积函数有原函数，但不能用初等函数表示，故这些不定积分均称为积不出来。

二．基本积分公式

1．C x dx x ++=⎰+1

高等数学：一元函数积分学习题含答案

第三章

一元函数积分学

一、选择题

1．由定积分的几何意义，可知

=-⎰

x x a 0

22d （

）.

A．2

πB．2

πC．

221a πD．

1a π2．若)()(x f x F ='，则（

）成立．

A．⎰+='C x f x x F )(d )(B．

⎰+=C x F x x f )(d )(C．⎰

+=C

x f x x F )(d )(D．

⎰+='C

x F x x f )(d )(3．已知)(x F 是)(x f 的一个原函数，则（

）.

A．⎰=)(d )(x F x x f B．)()(x F x f ='C．

x F x x f +=⎰)(d )(D．C

x f x F +=')()(4．下列四式中正确的是（

）.

A．)(d )(x f x x f b

a ='⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎰B．0d )(='⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎰b

a x x f C．

)

()(d )(a f b f x x f b

-=⎰

D．

)

(d )(x f x x f ='⎰5．若x x 2sin +是)(x f 的一个原函数，则

[]=-⎰x x f d 1)(（

）.

A．

C x x x +-+2cos 2

212B．

C x x x +--2cos 21

212C．C

x +2sin D．C

x +2sin 2

16．若函数)(x f 的导数是x

a ，则)(x f 的一个原函数是（

）.

A．Cx

a x

+2ln B．x

a a x

+2ln C．C

a x

+2ln D．2

ln 2

+a a x

7．函数2

)(x xe x f =的一个原函数=)(x F （

）.

第三章一元函数积分学

高等数学 第三章 一元函数微积分学及其应用

高数强化第三章《一元函数积分学》(思维导图)

第三章 一元函数积分学

D第三章一元函数积分学

一元函数积分学

(整理)第三章一元函数的积分学

2014年数学一 大纲解析 第三章：一元函数积分学

一元函数积分学

第3章一元函数积分学10-11(定积分的物理应用)

2019考研数学复习高等数学第三章一元函数积分学共36页

第三章一元函数积分学习题及解答

数学强化班(武忠祥)-高数第三章 一元函数积分学

第3章 一元函数积分学 方法归纳 及习题

高等数学一元函数积分学

高等数学第三章 一元函数积分学

高等数学：一元函数积分学习题含答案

高等数学第三章一元函数微积分学及其应用

第三章一元函数积分学

2014年数学一大纲解析第三章：一元函数积分学

数学强化班(武忠祥)-高数第三章一元函数积分学

第3章一元函数积分学方法归纳及习题

高等数学第三章一元函数积分学