直线和投影面夹角表示法
两条空间直线夹角计算公式
两条空间直线夹角计算公式一、引言在三维空间中，直线是常见的几何形状之一。
当我们研究两条直线之间的关系时，一个重要的概念就是夹角。
本文将介绍两条空间直线夹角的计算公式，并讨论其应用。
二、夹角的定义在平面几何中，夹角是由两条直线在同一平面内的交点和两条直线上的一对相对的射线所围成的角度。
而在三维空间中，夹角的定义相似，但需要考虑两条直线所在的不同平面。
三、两条空间直线夹角的计算公式1. 同向直线的夹角当两条直线的方向向量平行时，它们被认为是同向直线。
此时，可以通过计算两个方向向量的夹角来求得两条直线之间的夹角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：cosθ = |a·b| / (|a|·|b|)其中，·表示向量的点积，|a|表示向量a的模长。
2. 反向直线的夹角反向直线是指两条直线的方向向量相反，即平行但方向相反的直线。
在计算反向直线的夹角时，我们可以使用同向直线夹角的计算公式，然后取其补角。
假设两条直线分别为L1和L2，其方向向量分别为a和b。
则两条直线夹角θ的计算公式为：θ = π - arccos(|a·b| / (|a|·|b|))其中，arccos表示反余弦函数，π表示圆周率。
3. 任意两条直线的夹角当两条直线既不是同向直线也不是反向直线时，我们需要进一步考虑两条直线所在的平面。
首先，我们可以通过计算两个方向向量的夹角来确定两条直线在其所在平面内的夹角。
然后，我们可以利用这个夹角和两个方向向量与其所在平面的夹角来计算最终的夹角。
具体计算步骤如下：1) 计算两个方向向量a和b的夹角α：cosα = |a·b| / (|a|·|b|)2) 计算两个方向向量a和b与其所在平面的夹角β和γ：cosβ = |a·n| / (|a|·|n|)cosγ = |b·n| / (|b|·|n|)其中，n为平面的法向量。
线面夹角公式空间向量
线面夹角公式空间向量在空间几何中，线面夹角是指直线与平面之间的夹角。
它是一个重要的概念，在不同的应用领域中都有着广泛的运用。
线面夹角的计算方法主要是利用向量的运算，下面将详细介绍线面夹角的公式和计算方法。
首先，需要了解向量的概念。
向量是指空间中有大小和方向的量，它可以用一组有序的数表示。
向量可以表示为一个有向线段，它的起点和终点分别表示向量的起点和终点。
向量具有一些特殊的性质，其中重要的一条是向量的长度表示向量大小，向量的方向表示向量的方向，这些都能够直接应用到线面夹角的计算中。
接下来，我们来看一下线面夹角的定义。
线面夹角是指一个直线与一个平面的夹角，该角度是由平面法线向量与直线向量之间的夹角决定的。
如果直线向量与平面法线向量是非零向量且不垂直，则可以使用向量积来计算线面夹角，具体公式为：cosθ = |n·a| / (|n||a|)其中θ表示线面夹角的大小，n表示平面的法线向量，a表示直线的向量。
当然，在实际应用中，有时候我们并不总是能够直接获得向量的大小和方向，这时候就需要利用向量运算方法来计算。
具体方法如下：1.求出平面的法向量n对于平面的法向量，我们可以通过两个点得到一条直线，再得到直线的向量，最后使用叉乘积求得法向量。
2.求出直线的向量a直线的向量可以通过直线上的两个点求解，直接连接两点即可得到直线的向量。
3.求解向量点积和向量模长使用向量运算法则，求出向量a和向量n的点积和模长。
4.求出角度cosθ通过向量点积和向量模长的值带入公式，求解出角度cosθ。
最后，需要注意的是，在计算线面夹角时，需要格外注意平面法向量和直线向量是否同向。
如果两者同向，则角度为0，如果垂直则角度为90度，如果其它情况则可以通过公式计算。
总体来看，线面夹角是一个重要的几何概念。
了解线面夹角的计算方法，不仅可以帮助我们更好地理解空间几何，还能够帮助我们在各种应用领域中更好地应用这个概念。
希望本文的介绍能够帮助大家更好地理解和应用线面夹角的公式和计算方法。
平面向量与平面直角坐标系中的夹角与投影
平面向量与平面直角坐标系中的夹角与投影平面向量和平面直角坐标系是数学中重要的概念，它们在解决平面几何和物理问题时起着至关重要的作用。
其中，夹角和投影是平面向量和平面直角坐标系的两个重要概念。
本文将就这两个概念展开论述，并探讨它们在实际问题中的应用。
一、平面向量的夹角在平面内，当有两个非零向量a和b时，我们可以定义它们之间的夹角θ。
夹角θ的大小可以通过向量的数量积来计算。
设向量a的模为|a|，向量b的模为|b|，向量a和b的数量积为a·b。
则夹角θ的余弦可以表示为：cosθ = (a·b) / (|a||b|)夹角θ的余弦值也可以通过向量的坐标来计算。
设向量a的坐标为(a1, a2)，向量b的坐标为(b1, b2)，则夹角θ的余弦可以表示为：cosθ = (a1b1 + a2b2) / (√(a1^2 + a2^2)√(b1^2 + b2^2))夹角θ的值范围在0°到180°之间。
当夹角θ为0°时，表示向量a和b方向相同；当夹角θ为180°时，表示向量a和b方向相反；当夹角θ为90°时，表示向量a和b互相垂直。
夹角的概念在几何学和物理学中有广泛应用。
例如，在力学中，我们可以用夹角来表示力的方向和大小；在平面几何中，夹角可以用于判断线段的相对位置和交叉关系。
二、平面向量的投影在平面直角坐标系中，我们可以定义平面向量a在平面直角坐标系的x轴上的投影a₁和y轴上的投影a₂。
投影的计算方法如下：a₁ = a·i / |i|a₂ = a·j / |j|其中，i是x轴正方向的单位向量，j是y轴正方向的单位向量。
投影的概念在解决实际问题时非常有用。
例如，在物理学中，我们可以用投影来表示物体在平面上的运动；在计算机图形学中，我们可以用投影来实现三维图形在二维屏幕上的显示。
总结：平面向量和平面直角坐标系中的夹角和投影是数学中的重要概念。
直线与投影面角的表示法
a
d
C A
K
B D
X
a
O
d
ck
b
H
交点是两直 线的共有点
b c k
a
d
a
d
ck
b
若空间两直线相交，则其同名投影必
相交，且交点的投影必符合空间一点的投
影特性。
例1：过C点作水平线CD与AB相交。
c●
k
a
b d
a
d
k c●
b
先作正面投影
例2：判断直线AB、CD的相对位置。
c′ b′
斜投影法
平行投影法
正投影法
画工程图样 及正轴测图
2.2 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线
● a
与投影面P的交点即为点A A●
在P面上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
P
B1
B2 ●
B3 ●
● b
●
解决办法？
采用多面投影。
投影面垂直面
特殊位置平面
平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面
投影面平行面
正垂面 侧垂面 铅垂面
正平面 侧平面 水平面
与三个投影面都倾斜 一般位置平面
⑴ 投影面垂直面
类似性
b
b
类似性
c c
a
a
积聚性
βc
b
aγ
铅垂面
投影特性： 在它垂直的是平投为什面影什么？面么位上置？的的投影积聚成直
线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。
例2：已知AC为正平线，补全平行四边形
平面向量的夹角与投影
平面向量的夹角与投影平面向量是在平面内进行运算和描述的一种数学工具。
在平面向量的求和、减法以及乘法等运算中，夹角和投影是两个重要的概念。
本文将详细阐述平面向量的夹角和投影的相关知识，并且给出一些具体的例子，以帮助读者更好地理解和应用这些概念。
1. 夹角的定义和计算方法夹角是两个向量之间的角度，它的大小可以通过向量之间的数量关系来计算。
假设有两个平面向量a和a，它们的夹角可以用如下公式计算：a = arccos(a·a / (|a|*|a|))其中，a·a表示向量a和a的点积，|a|和|a|分别表示向量a和a的模或长度。
通过这个公式，我们可以得到两个向量之间的夹角大小。
2. 夹角的性质与意义夹角的大小可以告诉我们两个向量之间的关系。
若夹角为0度，则表示两个向量完全重合；若夹角为90度，则表示两个向量垂直；若夹角大于90度，则表示两个向量之间的夹角是一个钝角；若夹角小于90度，则表示两个向量之间的夹角是一个锐角。
夹角还可以用来判断两个向量之间的相似性和平行性。
3. 向量投影的定义和计算方法向量投影是将一个向量投影到另一个向量上的过程。
假设有一个向量a和一个非零向量a，我们可以计算出向量a在向量a上的投影，即a在a上的投影aaaa。
投影的计算公式为：aaaa = (a·a) / |a|其中，a·a表示向量a和a的点积，|a|表示向量a的模或长度。
通过这个公式，我们可以得到向量a在向量a上的投影长度。
4. 投影的意义与应用向量投影在几何学和物理学中都有着广泛的应用。
它可以用来求解两个向量之间的夹角，或者求解向量在某个方向上的投影。
在物理学中，投影也被广泛应用于力的分解以及对运动轨迹的描述等方面。
5. 夹角和投影的实际应用示例为了更好地理解夹角和投影的概念，我们举一个实际的应用示例。
假设有一台斜坡，其倾斜角度为30度。
我们可以将斜坡的倾斜角度表示为一个向量a，而一个人在斜坡上行走的路径可以表示为向量a。
第二讲 直线的投影
投影面垂直面
铅垂面
相仿性
a b Z c c β b a o c b
相仿性
a YW
投影面 垂直面的投 影特性是：
X
积聚性
γ
1)在其所垂直的投影面上，投影为斜直 线，有积聚性；该斜直线与投影轴的夹角反映 该平面对相应投影面的倾角； 2)如用平面图形表示平面，则在另外两 个投影面上的投影不是实形，但有相仿性。
作业
• 2－10，2-11，2-12，2-14，2-15
例1 试根据各种位置直线的投影特性判断三棱锥上六 条 棱边为什么位置的直线。 AB为 水平线 SB为 侧平线
V
；BC为 水平线 ； AC为 侧垂线 ； ；SA为一般位置直线 ； SC为 一般位置直线 。
Z
s'
Z
s"
S a'
X
b'
s b
A B
投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面） 垂直于某一投影面
铅垂线（垂直于Ｈ面）
一般位置直线
与三个投影面都倾斜的直线
2.1 一般位置直线
直线与H、V 和W 三投影面的夹角分别用 α、β、γ表示。 投影长分别是： a b = AB cosα
ab = AB cosβ ab=AB cosγ
一般位置直线投影特性
YH
名称 铅垂面 （H）
立体图
投影图
投影特性
1)H投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、 大小 2)V、W投影不是 实形，但有相仿 性。 1)V投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、W投影不是 实形，但有相仿 性。
正垂面 （V）
侧垂面
（W）
1)W投影为斜直线， 有积聚性，且反 映、大小 2)H、V投影不是 实形，但有相仿 性。
画法几何与机械制图-第1章-投影法和点、线、面的投影-1.3 直线的投影
B
●
A
●
●
b
a●
a′● ′
●
●
a″ ″
●
b′ ′
b″ ″
a● b
●
1.3 直线的投影 3. 直线对一个投影面的投影特性
B A M B
● ● ●
B
A
●
●
α
A
● ●
●
b
●
a
●
●
b
a≡b≡m
a
●
平行于投影面 垂直于投影面 投影反映线段 投影重合为一点 实长 ab=AB
积聚性
倾斜于投影面 投影比空间线段 ab=AB·cos cosα 短ab=AB cosα
定比定理： 2. 定比定理： 点的投影将所在线段的同名投影分割成与 空间线段相同的比例。 空间线段相同的比例。 c′ c″ 即： AC:CB=ac:cb= a′c′ : c′b′= a″c ″: c″b″
例1：判断点C是否在线段AB上。 判断点C是否在线段AB上 AB
① a′ ′ c′ ′
●
b′ ′
②
a″ ″ d″ ″
AB与CD不平行。 AB与CD不平行。 不平行
投影面垂直线判断方法
投影面垂直线判断方法
投影面垂直线判断方法是指在三维空间中，通过已知点和向量的信息来判断一个线段是否垂直于投影面的方法。
该方法适用于计算机图形学、建筑学等领域。
首先，我们需要确定投影面的法向量，可以通过已知平面上三个点的坐标来求解。
然后，计算线段的向量和投影面的法向量的内积，如果结果为0，则表示线段垂直于投影面。
另一种方法是通过线段的两个端点和投影面上一点的坐标来计
算线段和投影面的夹角，如果夹角为90度，则表示线段垂直于投影面。
以上两种方法均可用于判断线段是否垂直于投影面，具体使用哪种方法取决于具体的应用场景和数据结构。
- 1 -。
平面与直线的夹角公式
平面与直线的夹角公式
平面与直线的夹角公式是一个重要的几何公式，用于计算一个平面和一条直线之间的夹角。
这个公式可以帮助我们解决许多几何问题，特别是在三维空间中的问题。
在平面几何中，我们知道两条直线的夹角可以通过它们的斜率来计算。
但是，当一个直线和一个平面相交时，我们需要用到另一种方法来计算夹角。
这时，我们可以利用向量的概念来求解。
设一个平面 P 的法向量为 n，一条直线 L 的方向向量为 d，则平面 P 和直线 L 的夹角θ可以通过以下公式计算：
cosθ = |n·d| / |n|·|d|
其中，|n·d| 表示 n 和 d 的点积的绝对值，|n| 和 |d| 分别表示 n 和 d 的模长。
点积的结果是两个向量的长度乘以它们夹角的余弦值，因此上述公式可以简化为：
cosθ = (n·d) / |n|·|d|
当我们求出夹角的余弦值后，可以通过反余弦函数来计算出夹角的度数值。
如果我们需要求出弧度值，则可以直接使用余弦值。
总之，平面与直线的夹角公式是一个重要的几何公式，它可以帮助我们解决许多实际问题。
在计算时，我们应该注意向量的方向和模长的正负。
- 1 -。
工程制图---点、直线和平面的投影
W
az
a
●
V a
az
●
A
O
Y X ax
●
ay
●a
O
W
ay
a●
ay
Y
H
Y
向下翻
返回本章目录
a● X ax
Z az
a
●
O
Y
ay
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a●
Y ay
点的投影规律:
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离） aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离） aax= aay =z =Aa （A到H面的距离）
X
O
Y
aβ
γ
实长 b Y
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距离反映直线与它所 平行的投影面之间的 距离。
判断下列直线是什么位置的直线？
正平线
侧平线
实长 a
a
a
γ
b
b
b
a 实长
β
b
a
b
a
b
直线与投影面夹角的表示法：
与H面的夹角: 与V面的角:β
与W面的夹角:γ
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⑵ 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a c(d) d c e f e(f)
【学习目标】了解投影法的基本知识，熟 悉点的投影、直线的投影和平面的投影。
【能力目标】通过本章的学习，掌握点、 直线和平面的投影特性，两点的相对位置及 重影点；直线上点的投影，平面上的直线和 点投影，一般位置直线求实长和对投影面的 倾角，两直线的相对位置。
直线与平面所成角定义
直线与平面所成角定义直线与平面所成角定义直线和平面是几何学中最基础的概念之一。
它们是构成几何学的基础，因为所有其他形状都可以由它们组成。
在几何学中，直线和平面的相互作用产生了许多有趣的现象，其中一个是直线与平面所成角。
一、定义当一条直线穿过一个平面时，它会与该平面形成一个角度。
这个角度被称为直线与平面所成角。
简单来说，直线与平面所成角就是一个由一条直线和一个相交的平面所形成的角度。
二、特点1. 直线与平面所成角是非负数。
2. 直线与平面所成角可以是锐角、直角或钝角。
3. 如果一条直线垂直于一个平面，那么它与该平面所成的角度为90度，也就是一个直角。
4. 如果一条直线倾斜于一个平面，并且不垂直于该平面，则它与该平面所形成的角度可以大于90度或小于90度。
5. 如果一条直线在一个平面上运动，并且保持相同的方向，则它将沿着该平面移动而不改变其与该平面所成的角度。
6. 如果一个平面在空间中旋转，并且一条直线保持相同的方向，则它将绕着该直线旋转而不改变其与该直线所成的角度。
三、计算方法计算直线与平面所成角的方法有很多种。
以下是其中两种常见的方法：1. 余弦法余弦法是计算直线与平面所成角最常用的方法之一。
假设一条直线为L，一个平面为P，那么它们之间的夹角可以通过以下公式计算：cosθ = (L·n) / (|L|·|n|)其中，θ表示L和P之间的夹角；n表示P的法向量；“·”表示点积运算；“| |”表示向量长度。
2. 叉积法叉积法也是计算直线与平面所成角的常用方法之一。
假设一条直线为L，一个平面为P，那么它们之间的夹角可以通过以下公式计算：sinθ = |(L×n)| / (|L|·|n|)其中，θ表示L和P之间的夹角；n表示P的法向量；“×”表示叉积运算；“| |”表示向量长度。
四、应用1. 直线与平面所成角在物理学中有广泛应用。
例如，在机械工程中，当一条轴线穿过一个平面时，它会与该平面形成一个角度，这个角度可以影响机械设备的性能。
直线段的实长和对投影面的倾角
计算方法
通过测量直线段在投影面上的投影长 度和实际长度，利用三角函数计算得 出倾角。
不同投影面对倾角影响
水平投影面对倾角的影响
当直线段与水平投影面平行时，倾角为0度；当直线段与水平投影面垂直时，倾角为90度 ；其他情况下，倾角介于0度和90度之间。
正立投影面对倾角的影响
投影性质
投影保持了直线段的某些性质，如直线性、连续性等。
投影长度
直线段在投影面上的投影长度一般小于或等于原直线段的 长度，当且仅当直线段与投影面垂直时，投影长度等于原 长度。
倾角定义
直线段与投影面之间的夹角称为倾角，其取值范围为[0°, 90°]。当倾角为0°时，表示直线段与投影面平行；当倾角为 90°时，表示直线段与投影面垂直。
多学科交叉融合研究的加强
直线段实长和投影面倾角的研究涉及数学、计算机图形学、机械工程等多个学科领域，未来有望通过多学科交叉融合 研究，推动相关领域的创新和发展。
拓展应用领域的探索
除了在计算机图形学、机械工程等领域的应用外，未来还可以探索直线段实长和投影面倾角在建筑设计、 地理信息系统等领域的应用潜力，拓展其应用范围。
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感谢您的观看
由于观测者的感官鉴别能力、 技术水平或工作态度等因素引 起的误差。
环境误差
由于测量时的温度、湿度、气 压等环境因素变化引起的误差 。
方法误差
由于测量方法本身不完善或采 用近似公式等引起的误差。
误差传播规律ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
误差传播定律
阐述了测量误差在数据处理过程中的传播规律，即误差会随着测 量数据的处理而逐级传递。
解析几何法
建立坐标系
空间几何的平面与直线的夹角计算
空间几何的平面与直线的夹角计算在空间几何中，平面和直线是两个基本的几何元素。
计算平面与直线之间的夹角是解决许多几何问题的关键。
本文将介绍如何计算空间几何中平面与直线的夹角，并给出具体的计算方法和示例。
一、平面与直线的夹角定义在空间几何中，当一个直线与一个平面相交时，它们之间的夹角称为平面与直线的夹角。
夹角的大小可以用角度来表示，也可以用弧度来表示。
二、计算方法计算平面与直线的夹角需要用到向量和点的知识。
下面以向量法为例，介绍如何计算平面与直线的夹角。
1. 建立坐标系首先，我们需要建立一个三维坐标系来描述空间中的点、向量和几何元素。
选择一个平面作为基准面，并选择一个单位向量作为基准向量。
2. 求解平面的法向量对于给定的平面，我们需要求解它的法向量。
法向量垂直于平面，可以通过向量积或者法向量的定义来求解。
3. 求解直线的方向向量对于给定的直线，我们需要求解它的方向向量。
直线的方向向量可以通过两个点的坐标差来表示。
4. 计算夹角通过计算法向量和方向向量的夹角，即可得到平面与直线的夹角。
夹角的计算可以使用向量内积的性质，公式为：cosθ = (法向量·方向向量) / (法向量的模 ×方向向量的模)其中，θ为夹角，·表示向量的内积，模表示向量的模长。
5. 转换为角度或弧度根据需求，将夹角转换为角度或弧度表示。
三、示例为了更好地理解平面与直线的夹角计算方法，下面以一个具体的示例进行说明。
设平面的一般方程为：ax + by + cz + d = 0，直线的参数方程为：\[\begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \\ z = z_0 + ct \end{cases}\]1. 求解平面的法向量根据平面的一般方程，法向量为(n1, n2, n3) = (a, b, c)。
2. 求解直线的方向向量根据直线的参数方程，方向向量为(m1, m2, m3) = (a, b, c)。
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平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜
正平线（平行于Ｖ面）
投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）
水平线（平行于Ｈ面）
统称特殊位置直线
正垂线（垂直于Ｖ面）
垂直于某一投影面 投影面垂直线 侧垂线（垂直于Ｗ面）
铅垂线（垂直于Ｈ面）
与三个投影面都倾斜的直线
直线和投影面夹角表示法
一般位置直线
⑴ 投影面平行线
水平线
直线和投影面夹角表示法
定比定理
例1：判断点C是否在线段AB上。
①
c
a
●
b
② a c●
在
不在
b
a
c
●
③ a
c ● b
a c●
b
ac
●
b
a
不在
●
c b
另一判断法?
应用定比定理
b 直线和投影面夹角表示法
例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。
解法一： （应用第三投影）
解法二： （应用定比定理）
投射中心 物体
投影面
中心投影法
投射线 投影
物体位置改 变，投影大 小也改变。
投影特性
投射中心、物体、投影面三者之间的相 对距离对投影的大小有影响。
度量性较差。 直线和投影面夹角表示法
平行投影法
投影特性 投影大小与物体和投影面之间的距离无关。 度量性较好。 工程图样多数采用正投影法绘制。
直线和投影面夹角表示法
Z
O
W
H
Y
三个投影面 互相垂直
空间点A在三个投影面上的投影
Z
a 点A的正面投影 V a●
a 点A的水平投影 X
a 点A的侧面投影
A
●
● a
O
W
a●
注意：
H
Y
空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。
直线和投影面夹角表示法
投影面展开
V a
●
X ax
a● H
Z
W
az
a
●
不动 V a
●
Z 向右翻 az
a ●
● a
c●
● c
●
a (c)
被挡住的投 影加( )
A、C为哪个投 影面的重影点 呢？
直线和投影面夹角表示法
继续？
结束？
直线和投影面夹角表示法
2.3 直线的投影
两点确定一条直线，将
a● b
两点的同名投影用直线连接， ●
● a ● b
就得到直线的同名投影。
一、直线的投影特性
⒈ 直线对一个投影面的投影特性
画透视图
中心投影法
画斜轴测图
投影法
斜投影法
平行投影法
正投影法
画工程图样 及正轴测图
直线和投影面夹角表示法
继续？
结束？
直线和投影面夹角表示法
2.2 点的投影
一、点在一个投影面上的投影
P
过空间点A的投射线
与投影面P的交点即为点A A●
● a
在P面上的投影。
点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。
aax=
aay
=z =Aa （A到H面的距离）
直线和投影面夹角表示法
例：已知点的两个投影，求第三投影。
解法一:
a●
ax
az ●a
通过作45°线 使aaz=aax
a●
解法二:
用圆规直接量 取aaz=aax
a● ax
a●
az
a
●
直线和投影面夹角表示法
三、两点的相对位置
两点的相对位置指两 a●
Z ●a
c
ef
投影特性:
① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。
② 另外两个投影，反映线段实长，且垂直 于相应的投影轴。
直线和投影面夹角表示法
⑶ 一般位置直线
V
b
B b
a
βγ
W
a
X
Ab
a
aH
a
投影特性
b Zห้องสมุดไป่ตู้b
a
O
Y
b
Y
三个投影都倾斜于投影轴，其与投影轴的夹角 并不反映空间线段与三个投影面夹角的大小。三个 投影的长度均比空间线段短，即都不反映空间线段 的实长。
第 2 章 点、直线、平面的投影
2.1 投影法及其分类 2.2 点的投影 2.3 直线的投影 2.4 平面的投影 2.5 直线与平面及两平面的
本章小结
直线和投影面夹角表示法
结束放映
投影法
物体 投影面
2.1 投影法及其分类
投射中心 投射线
投影
斜投影法
正投影法
中心投影法
平行投影法
投射线通过物体，向选定的平面进行投射，并在 该面上得到图形的直方线和法投影—面夹—角表投示法影法。
O ay
ay
A
Y X ax
●
a●
●a
O
W
ay
Y
H
Y
向下翻
直线和投影面夹角表示法
a●
Z az a ●
X ax
O
Y
ay
a●
Y ay
点的投影规律:
V a
●
X ax
Z
az
A
●
O
●a W
a● H
ay Y
① aa⊥OX轴 aa⊥OZ轴
② aax= aaz=y =Aa（A到V面的距离）
aay= aaz =x =Aa（A到W面的距离）
点在空间的上下、前后、 b ●
● b
左右位置关系。
X
o
Y
判断方法：
▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前 ▲ z 坐标大的在上
a●
●
b
Y
B点在A点之前、 之右、之下。
直线和投影面夹角表示法
重影点：
空间两点在某 一投影面上的投影 重合为一点时，则 称此两点为该投影 面的重影点。
A、C为H 面的重影点
直线和投影面夹角表示法
判断下列直线是什么位置的直线？
正平线
侧平线
实长 a
a
a
γ
b
b
b
a 实长
β
b
a
b
a
b
直线与投影面夹角的表示法：
与H面的夹角: 与V面的角:β
与W面的夹角:γ 直线和投影面夹角表示法
⑵ 投影面垂直线
铅垂线
正垂线
侧垂线
a
a c(d) d c e f e(f)
●
●
b
b
d
●
a(b)
投影特性：
V a ′ b′ Aβ γ
a βγ
a″ B b″W
① 在其平行的那个投影 面上的投影反映实长， 并反映直线与另两投 影面倾角的实大。
Hb
② 另两个投影面上的投
a ′ b ′ Za ″ b″
影平行于相应的投影 轴，其到相应投影轴
X
O
a βγ
实长 b Y
距离反映直线与它所
Y
平行的投影面之间的
距离。
直线和投影面夹角表示法
二、直线与点的相对位置
V
b′
c′ B
a′
C
Ac b aH
b″ c″W
a″
b′ Z c′ a′
X
O
b
c
a
Y
b″ c″ a″
Y
◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投
影上。
◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线
段相同的比例。即：
AC:CB=ac:cb= ac : cb= ac : cb
A● M● B●
a≡●b≡m
直线垂直于投影面 投影重合为一点
积聚性
B
●
A●
●b a● 直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB
a●
b●
●B
A●
●b a●
直线倾斜于投影面 投影比空间线段短
ab=AB.cos
直线和投影面夹角表示法
⒉ 直线在三个投影面中的投影特性
其投影特性取决于直线与三个投影 面间的相对位置
P
B1
B2 ●
B3 ●
●
● b
解决办法？
采用多面投影。
直线和投影面夹角表示法
二、点的三面投影
投影面
◆正面投影面（简称正 V
面或V面） ◆水平投影面（简称水 X
平面或H面）
◆侧面投影面（简称侧
面或W面）
投影轴
OX轴 OY轴
OZ轴
V面与H面的交线 H面与W面的交线
V面与W面的交线
直线和投影面夹角表示法