2014年高考数学新课标2卷(理科)word版

2014年普通高等学校招生全国统一考试新课标Ⅱ理科一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设集合{}0,1,2M =，{}2320x x x N -+=…，则M N = （ ）.A.{}1B.{}2C.{}0,1D. {}1,22.设复数1z ，2z 在复平面内的对应点关于虚轴对称， 12i z =+，则12z z =（ ）. A.5- B.5 C.4i -+ D. 4i --3.设向量,a b 满足10+=a b ，6-=a b ，则⋅=a b （ ）.A.1B.2C.3D.5 4.钝角三角形ABC 的面积是12，1AB =，2BC = ，则AC =（ ）. A.5 B.5 C.2 D. 15.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）. A.0.8 B.0.75 C.0.6 D.0.456.如图所示，网格纸上正方形小格的边长为1（表示1cm ），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3cm ，高为6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为（ ）.A.1727 B.59 C.1027 D.137. 执行如图所示程序框图如果输入的,x t 均为2，则输出的S =（ ）.A.4B.5C.6D.78.设曲线()ln 1y ax x =-+在点()0,0处的切线方程为2y x =，则a =（ ）. A.0 B.1 C.2 D. 39.设,x y 满足约束条件70310350x y x y x y +-⎧⎪-+⎨⎪--⎩………，则2z x y =-的最大值为（ ）.A.10B.8C.3D. 210.设F 为抛物线2:3C y x =的焦点，过F 且倾斜角为30的直线交于C 于,A B 两点，O 为坐标原点，则OAB △的面积为（ ）. A.334 B. 938C.6332D.9411.直三棱柱111ABC A B C -中，90BCA ∠=︒，M N ，分别是11A B ，11AC 的中点，1BC CA CC ==，则BM 与AN 所成角的余弦值为（ ）. A.110 B.25 C.3010 D. 2212.设函数()3sinx f x mπ=.若存在()f x 的极值点0x 满足()22200x f x m +<⎡⎤⎣⎦，则m 的取值范围是（ ）.A.()(),66,-∞-+∞B.()(),44,-∞-+∞C.()(),22,-∞-+∞D.()(),11,-∞-+∞开始 =1=3M S ，k t ≤输入x ，t结束否是 1k =输出S M M x k=S M S =+ 1k k =+二、填空题13.()10x a +的展开式中，7x 的系数为15，则a = .（用数字填写答案） 14.函数()()()sin 22sin cos f x x x ϕϕϕ=+-+的最大值为 .15.已知偶函数()f x 在[)0,+∞单调递减，()20f =.若()10f x ->，则x 的取值范围是 . 16.设点()0,1M x ，若在圆O ：221x y +=上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是 .三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，131n n a a +=+. （1）证明12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求{}n a 的通项公式； （2）证明：1211132n a a a ++<…+. 18. （本小题满分12分）如图所示，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点. （1）证明：//PB 平面AEC ；（2）设二面角D AE C --为60︒，1AP =，3AD =，求三棱锥E ACD -的体积.19. （本小题满分12分）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表：年份2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y2.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：()()()121niii ni i t t y y bt t ==--=-∑∑ ，ˆˆay bt =-. APEDCB20. （本小题满分12分）设12,F F 分别是椭圆2222:1x y C a b+=()0a b >>的左，右焦点，M 是C 上一点且2MF 与x 轴垂直.直线1MF 与C 的另一个交点为N . （1）若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率； （2）若直线MN 在y 轴上的截距为2，且15MN F N =，求,a b . 21. （本小题满分12分）已知函数()e e 2x x f x x -=--. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设()()()24g x f x bf x =-，当0x >时，()0g x >，求b 的最大值； （3）已知1.41422 1.4143<<，估计ln 2的近似值（精确到0.001）.请考生在第22、23、24题中任选一题做答如果多做同按所做的第一题计分做答时请写清题号 22.（本小题满分10）选修4—1：几何证明选讲 如图P 是O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与O 相交于点B ，C ，2PC PA =，D 为PC 的中点，AD 的延长线交O 于点E .证明：（1）BE EC =；（2）2·2AD DE PB =.23.（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=，0,2θπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. （1）求C 的参数方程；（2）设点D 在C 上，C 在D 处的切线与直线:32l y x =+垂直，根据（1）中你得到的参数方程，确定D 的坐标24.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 设函数()1f x x x a a=++-()0a >. （1）证明：()2f x …；（2）若()35f <，求a 的取值范围.AD ECBPO2014年普通高等学校招生全国统一考试 （新课标II 卷）理科数学试题答案与解析1. 解析 由已知得{}12N x x=剟，因为{}0,1,2M =，所以{}1,2M N = ，故选D.2. 解析 由题意得22z i =-+，()()12225z z i i =+--=-，故选A.3. 解析 由10a b +=得22210a b a b ++⋅=， ①由6a b -=得2226a b a b +-⋅=， ②-①②得44a b ⋅=，所以1a b ⋅=，故选A.4. 解析 111s i n 12s i n 222ABC S AB BC B B =⋅=⨯⨯=△，所以2sin 2B =，若45B ∠=，则由余弦定理得1AC =，所以ABC △为直角三角形，不符合题意，因此0135B ∠=，由余弦定理得22222cos 1221252AC AB BC AB BC B ⎛⎫=+-⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，所以5AC =，故选B. 5. 解析 由条件概率可得所求概率为0.60.80.75=，故选A. 6. 解析 由三视图知该零件是两个圆柱的组合体.一个圆柱的底面半径为2cm ，高是4cm ；另一个圆柱的底面半径为3cm ，高为2cm .设零件的体积()2231π24π3234πV cm =⨯⨯+⨯⨯=.而毛坯的体积()23π3654πV cm =⨯⨯=，因此切削掉部分的体积()32154π34π20πV V V cm =-=-=，所以220π1054π27V V ==.故选C. 评注 本题考查了三视图和圆柱的体积，考查了空间想象能力和运算求解能力，正确得到零件的直观图是求解的关键.7． 解析 1k =，1222351M S =⋅==+=；2k =，2222572M S =⋅==+=；3,k =3t >，所以7S =，故选D.8. 解析 11y a x '=-+，0x =时，12y a '=-=， 所以3a =，故选D.9. 解析 由约束条件得可行域如图阴影部分所示.由70,310x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得，()5,2A .当直线2x y z -=过点A 时，2z x y =-取最大值.其最大值为2528⨯-=.故选B.O7-15313-57x+y -7=0x-3y +1=03x-y -5=0yx10. 解析 易知直线AB 的方程为3334y x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，与23y x =联立并消去x 得2412390y y --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1233y y +=，1294y y =-. ()212121211339427922484AB S OF y y y y y y =⋅-=⨯+-=+=△O .故选D.评注 本题考查了直线与抛物线的位置关系，考查了数形结合和运算求解的能力.利用根与系数的关系进行整体运算是求解的关键.11. 解析 解法一：取BC 的中点Q ，连接QN ，AQ ，易知//BM QN ，则ANQ ∠即为所求，设12BC CA CC ===，则5,5,6AQ AN QN ===，所以222565630cos 210256230AN NQ AQ ANQ AN NQ +-+-∠====⋅⨯，故选C. C 1B 1A 1QN MCBA解法二：以1C 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设12BC CA CC ===，则()2,0,2A ，()1,0,0N ，()1,1,0M ，()0,2,2B ，所以()1,0,2AN =-- ，()1,1,2BM =--，所以14330cos ,105630AN BM AN BM AN BM⋅-+====⨯，故选C.z yxABCMN A 1B 1C 112. 解析 ()3ππcos x f x m m'=，所以()f x 得极值点为0x ，所以()0f x '=，所以 0π3πcos 0x m m =，所以0πππ,2x k k m =+∈Z ，所以0m ,2x mk k =+∈Z ，又因为 ()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，所以222m π3sin π22mk k m ⎡⎤⎛⎫⎛⎫+++< ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ,k ∈Z ，即222132m k m ⎛⎫++< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，因为0m ≠，所以222132m k m -⎛⎫+< ⎪⎝⎭,k ∈Z ，又因为存在0x 满足()02220x f x m +⎡⎤<⎣⎦，即存在k ∈Z 满足上式，所以222min312m k m ⎡⎤-⎛⎫>+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，所以222312m m -⎛⎫> ⎪⎝⎭，所以2234m m ->，所以24m >，所以2m >或2m <-，故选C.评注 本题考查了函数的极值问题，三角函数求值、恒成立等问题.考查分析问题、解决问题的能力.13. 解析 10110C r r r r T x a -+=，令107r -=，得3r =，所以3310C 15a =，即3109815321a ⨯⨯=⨯⨯，所以318a =，所以12a =. 14. 解析 ()()()s i n 2s i nc o s fx x x ϕϕϕϕ=⎡++⎤-+⎣⎦=()()()sin cos cos sin 2sin cos x x x ϕϕϕϕϕϕ+++-+=()()sin cos sin cos x x ϕϕϕϕ+-+= ()sin sin x x ϕϕ+-=，所以()f x 的最大值为1.15. 解析 因为()20f =，()10f x ->，所以()()12f x f ->，又因为()f x 是偶函数且在[)0,+∞上单调递减，所以()()12f x f ->，所以12x -<，所以212x -<-<，所以 13x -<<，所以()1,3x ∈-.评注 本题考查了偶函数的性质，利用()()f x f x =是求解的关键.16. 解析 解法一：当00x =时，()0,1M ，由圆的几何性质得在圆上存在点()1,0N -或()1,0N ，使045OMN ∠=.当00x ≠时，过M 作圆的两条切线，切点为A ，B .若在圆上存在N ，使得045OMN ∠=，应有045OMB OMN ∠∠=…，所以090AMB ∠…，所以010x -<…或001x <….综上，011x -剟.-11NM BA O -11y x解法二：过O 作OP MN ⊥，P 为垂足，0sin 451OP OM =⋅…，所以01sin 45OM …，所以22OM …，所以2012x +…，所以201x …，所以011x -剟.xP 450y 1-1O MN1-1评注 本题考查了数形结合思想及分析问题、解决问题的能力. 17. 解析 （I ）由131n n a a +=+得111322n n a a +⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭.又11322a +=，所以12n a ⎧⎫+⎨⎬⎩⎭是首项为32，公比为3的等比数列. 1322n n a +=，因此{}n a 的通项公式为312n n a -=.（II ）由（I ）知1231n n a =-.因为当1n …时，13123n n --⨯…，所以1113123n n --⨯….于是112111113131133232n n n a a a -⎛⎫++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅+=-< ⎪⎝⎭….所以1211132n a a a ++⋅⋅⋅+<. 评注 本题考查了等比数列的定义、数列求和等问题，放缩求和是本题的难点.18. 解析 （I ）连接BD 交AC 于点O ，连接EO .因为ABCD 为矩形，所以O 为BD 的中点.又E 为PD的中点，所以//EO PB .又EO ⊂ //PB ，PB ⊄平面AEC ，所以 //PB 平面AEC .（II ）因为PA ⊥平面ABCD ，ABCD 为矩形，所以AB ，AD ，AP 两两垂直.如图，以A 为坐标原点，AB的方向为x 轴的正方向，AP 为单位长，建立空间直角坐标系A xyz -，则()0,3,0D ，310,,22E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，310,,22AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭.设()(),0,00B m m >，则(),3,0C m ，(),3,0AC m =.设()1,,x y z =n 为平面ACE 的法向量，则110,0,AC AE ⎧=⎪⎨=⎪⎩n n即30,310,22mx y y z ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩可取13,1,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭n .又()21,0,0=n 为平面DAE 的法向量，由题设121cos ,2=n n ，即231342m =+，解得32m =.因为E 为PD 的中点，所以三角锥E ACD -的高为12.三角锥E ACD -的体积11313332228V =⨯⨯⨯⨯=.EPODCB Az yx评注 本题考查线面平行的判定，利用空间向量解二面角问题，考查了学生的空间想象能力. 19. 解析 （I ）由所给数据计算得()1123456747t =⨯++++++=，()12.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y =⨯++++++=，()271941014928i i t t =-=++++++=∑，()()()()()()()()71=3 1.42110.7+00.1+10.5+20.9+3 1.6ii i tty y =---⨯-+-⨯-+--⨯⨯⨯⨯∑=14，()()()7127114ˆ0.528ii i ii tt y y btt ==--===-∑∑，ˆˆ 4.30.54 2.3ay bt =-=-⨯=，所求回归方程为ˆ0.5 2.3y t =+. （II ）由（I ）知，ˆ0.50b=>，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号9t =代入（I ）中的回归方程，得ˆ0.59 2.3 6.8y=⨯+=千元，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.评注 本题考查了回归直线方程的求解，注意回归直线恒过点(),t y 是关键，考查了回归系数ˆb的几何意义.考查了学生的计算求解能力.20. 解析 （I ）根据22c a b =-及题设知2,b M c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，223b ac =.将222b a c =-代入223b ac =，解得12c a =或c a =2-（舍去）.故C 的离心率为12. （II ）由题意，得原点O 为12F F 的中点，2//MF y 轴，所以直线1MF 与y 轴的交点()0,2D 是线段1MF 的中点，故24b a=，即24b a =. ① 由15MN F N =得112DF F N =.设()11,N x y ，由题意知10y <，则()112,22,c x c y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩即113,21.x c y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩代入C 的方程，得2229114c a b +=. ②将①及22c a b =-代入②得()22941144a a a a-+=. 解得7a =，2428b a ==，故7a =，27b =.评注 本题考查了椭圆的几何性质，考查用代数方法研究圆锥曲线问题及向量的运算等基础知识. 21. 解析 （I ）()e e 20x x f x -'=+-…,等号仅当0x =时成立.所以()f x 在(),-∞+∞上单调递增. （II ）（()()()()()2224e -e 4e -e 84x x x x g x f x bf x b b x --=-=-+-，()()()222e +e 2e +e 42x x x xg x b b --⎡⎤'=-+-⎣⎦()()2e +e 2e +e 22x x x x b --=--+. （i ）当2b …时，()0g x '…，等号仅当0x =时成立.所以()g x 在(),-∞+∞上单调递增. 而()g x =0，所以对任意0x >，()0g x >.（ii ）当2b >时，若x 满足2e +e 22x x b -<<-，即()20ln 12x b b b <<-+-时，()0g x '<.而()00g =，因此当()20ln 12x b b b <<-+-时，()0g x <.综上，b 的最大值为2. （III ）由（ii ）知，()()3ln 222221ln 22g b b =-+-. 当2b =时，()3ln 2426ln202g =-+>，823ln 20.692812->>； 当3214b =+时，()2ln 12ln 2b b b -+-=，()()3ln 222322ln202g =--++<，182n 20.693428+<<. 所以ln2的近似值为0.693.评注 本题考查了导数的应用，同时考查了分类讨论思想和运算能力.22. 解析 （I ）连接AB ，AC ，由题设知PA PD =，故PAD PDA ∠=∠.因为PDA DAC DCA ∠=∠+∠，PAD BAD PAB ∠=∠+∠，DCA PAB ∠=∠，所以DAC BAD ∠=∠，从而 BEEC =.因此BE EC =. OE P DCB A（ii ）由切割线定理得2PA PB PC =⋅.因为PA PD DC ==，所以2DC PB =，BD PB =，由相交弦定理得AD DE BD DC ⋅=⋅，所以AD DE ⋅=22PB .评注 本题考查了圆的切割线定理，相交弦定理，考查了推理论证能力.23. 解析（I ）C 的普通方程为()()221101x y y -+=剟.可得C 的参数方程为1cos ,sin x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数，)0πt 剟.（II ）设()1cos ,sin D t t +.由（I ）知C 是以C ()1,0为圆心，1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与l 垂直，所以直线GD 与l 的斜率相同，tan 3t =，π3t =.故D 的直角坐标为ππ1cos ,sin 33⎛⎫+ ⎪⎝⎭，即33,22⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 评注 本题考查了极坐标化平面直角坐标，普通方程化参数方程的方法，考查了数形结合思想.24. 解析（I ）由0a >，得()()1112f x x x a x x a a a a a =++-+--=+厖.所以()2f x ….（II ）()1333f a a =++-.当3a >时，()13f a a=+，由()35f <得52132a +<<. 当03a <…时()136f a a=-+，由()35f <得1532a +<…. 综上，a 的取值范围是15521,22⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭. 评注 本题考查了含绝对值不等式的解法，考查了分类讨论思想.。