2021版高考理科数学(北师大版)一轮复习：第四章 第1讲 任意角和弧度制及任意角的三角函数

[基础题组练]1．若角α的终边经过点P (1，3)，则cos α＋tan α的值为( ) A.1＋232B ．－1＋32C.1＋32D ．－1＋232解析：选A.因为角α的终边经过点P (1，3)，则x ＝1，y ＝3，r ＝|OP |＝2，所以cosα＝x r ＝12，tan α＝yx ＝3，那么cos α＋tan α＝1＋232，故选A. 2．若角α与β的终边关于x 轴对称，则有( ) A ．α＋β＝90°B ．α＋β＝90°＋k ·360°，k ∈ZC ．α＋β＝2k ·180°，k ∈ZD ．α＋β＝180°＋k ·360°，k ∈Z解析：选C.因为α与β的终边关于x 轴对称，所以β＝2k ·180°－α，k ∈Z ，所以α＋β＝2k ·180°，k ∈Z .3．已知点P (tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：选B.由题意知tan α<0，cos α<0，故sin α>0，根据三角函数值的符号规律可知，角α的终边在第二象限．故选B.4．已知点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，则x 的可能区间是( ) A.⎝⎛⎭⎫π2，π B ．⎝⎛⎭⎫－π4，3π4 C.⎝⎛⎭⎫－π2，π2 D ．⎝⎛⎭⎫－3π4，π4 解析：选D.由点P (sin x －cos x ，－3)在第三象限，可得sin x －cos x <0，即sin x <cos x ，所以－3π4＋2k π<x <π4＋2k π，k ∈Z .当k ＝0时，x 所在的一个区间是⎝⎛⎭⎫－3π4，π4. 5．已知角α＝2k π－π5(k ∈Z )，若角θ与角α的终边相同，则y ＝sin θ|sin θ|＋cos θ|cos θ|＋tan θ|tan θ|的值为( )A ．1B ．－1C ．3D ．－3解析：选B.由α＝2k π－π5(k ∈Z )及终边相同的角的概念知，角α的终边在第四象限，又角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sin θ<0，cos θ>0，tan θ<0.所以y ＝－1＋1－1＝－1.6．已知α是第二象限角，P (x ，5)为其终边上一点，且cos α＝24x ，则x ＝________． 解析：因为cos α＝x x 2＋5＝24x ，所以x ＝0或x ＝3或x ＝－3，又α是第二象限角，所以x ＝－ 3.答案：－ 37．若圆弧长度等于该圆内接正方形的边长，则其圆心角的弧度数是________． 解析：设圆半径为r ，则圆内接正方形的对角线长为2r ，所以正方形边长为2r ，所以圆心角的弧度数是2rr＝ 2. 答案： 28．已知点P (sin θ，cos θ)是角α终边上的一点，其中θ＝2π3，则与角α终边相同的最小正角为________．解析：因为θ＝2π3，故P ⎝⎛⎭⎫32，－12，故α为第四象限角且cos α＝32，所以α＝2k π＋11π6，k ∈Z ，所以与角α终边相同的最小正角为11π6. 答案：11π69．已知1|sin α|＝－1sin α，且lg(cos α)有意义．(1)试判断角α所在的象限；(2)若角α的终边上一点M ⎝⎛⎭⎫35，m ，且|OM |＝1(O 为坐标原点)，求m 的值及sin α的值． 解：(1)由1|sin α|＝－1sin α，得sin α<0，由lg(cos α)有意义，可知cos α>0， 所以α是第四象限角．(2)因为|OM |＝1，所以⎝⎛⎭⎫352＋m 2＝1，解得m ＝±45. 又α为第四象限角，故m <0，从而m ＝－45，sin α＝y r ＝m |OM |＝－451＝－45.10．若角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)． (1)求sin θ＋cos θ的值；(2)试判断cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号． 解：(1)因为角θ的终边过点P (－4a ，3a )(a ≠0)， 所以x ＝－4a ，y ＝3a ，r ＝5|a |，当a ＞0时，r ＝5a ，sin θ＋cos θ＝－15.当a ＜0时，r ＝－5a ，sin θ＋cos θ＝15.(2)当a ＞0时，sin θ＝35∈⎝⎛⎭⎫0，π2， cos θ＝－45∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， 则cos(sin θ)·sin(cos θ) ＝cos 35·sin ⎝⎛⎭⎫－45＜0；当a ＜0时，sin θ＝－35∈⎝⎛⎭⎫－π2，0， cos θ＝45∈⎝⎛⎭⎫0，π2， 则cos(sin θ)·sin(cos θ)＝cos ⎝⎛⎭⎫－35·sin 45＞0. 综上，当a ＞0时，cos(sin θ)·sin(cos θ)的符号为负； 当a ＜0时，cos(sin θ)·sin (cos θ)的符号为正．[综合题组练]1．(2020·河北唐山第二次模拟)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上一点A (2sin α，3)(sin α≠0)，则cos α＝( )A.12 B ．－12C.32D ．－32解析：选A.由三角函数定义得tan α＝32sin α，即sin αcos α＝32sin α，得3cos α＝2sin 2α＝2(1－cos 2α)，解得cos α＝12或cos α＝－2(舍去)．故选A.2．已知sin α>sin β，那么下列命题成立的是( ) A ．若α，β是第一象限的角，则cos α>cos βB ．若α，β是第二象限的角，则tan α>tan βC ．若α，β是第三象限的角，则cos α>cos βD ．若α，β是第四象限的角，则tan α>tan β 解析：选D.由三角函数线可知选D.3．如图，在Rt △PBO 中，∠PBO ＝90°，以O 为圆心、OB 为半径作圆弧交OP 于A 点．若圆弧AB 等分△POB 的面积，且∠AOB ＝α弧度，则αtan α＝________．解析：设扇形的半径为r ，则扇形的面积为12αr 2，在Rt △POB 中，PB ＝r tan α，则△POB的面积为12r ·r tan α，由题意得12r ·r tan α＝2×12αr 2，所以tan α＝2α，所以αtan α＝12.答案：124．已知圆O 与直线l 相切于点A ，点P ，Q 同时从A 点出发，P 沿着直线l 向右运动，Q 沿着圆周按逆时针以相同的速度运动，当Q 运动到点A 时，点P 也停止运动，连接OQ ，OP (如图)，则阴影部分面积S 1，S 2的大小关系是________．解析：设运动速度为m ，运动时间为t ，圆O 的半径为r ， 则AQ ︵＝AP ＝tm ，根据切线的性质知OA ⊥AP ， 所以S 1＝12tm ·r －S 扇形AOB ，S 2＝12tm ·r －S 扇形AOB ，所以S 1＝S 2恒成立． 答案：S 1＝S 25．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角α的始边与x 轴的非负半轴重合且与单位圆相交于A 点，它的终边与单位圆相交于x 轴上方一点B ，始边不动，终边在运动．(1)若点B 的横坐标为－45，求tan α的值；(2)若△AOB 为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合； (3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，请写出弓形AB 的面积S 与α的函数关系式． 解：(1)由题意可得B ⎝⎛⎭⎫－45，35， 根据三角函数的定义得tan α＝y x ＝－34.(2)若△AOB 为等边三角形，则∠AOB ＝π3，故与角α终边相同的角β的集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝π3＋2k π，k ∈Z .(3)若α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3，则S 扇形＝12αr 2＝12α， 而S △AOB ＝12×1×1×sin α＝12sin α，故弓形的面积S ＝S 扇形－S △AOB ＝12α－12sin α，α∈⎝⎛⎦⎤0，2π3. 6．已知sin α<0，tan α>0. (1)求角α的集合； (2)求α2终边所在的象限；(3)试判断tan α2sin α2cos α2的符号．解：(1)因为sin α<0且tan α>0， 所以α是第三象限角，故角α的集合为 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z .(2)由(1)知2k π＋π<α<2k π＋3π2，k ∈Z ， 故k π＋π2<α2<k π＋3π4，k ∈Z ，当k ＝2n (n ∈Z )时，2n π＋π2<α2<2n π＋3π4，n ∈Z ，即α2是第二象限角．当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，2n π＋3π2<α2<2n π＋74π，n ∈Z ，即α2是第四象限角，综上，α2的终边在第二或第四象限．(3)法一：当α2是第二象限角时，tan α2<0，sin α2>0，cos α2<0，故tan α2sin α2cos α2>0，当α2是第四象限角时， tan α2<0，sin α2<0，cos α2>0，故tan α2sin α2cos α2>0.法二：tan α2sin α2cos α2＝sinα2cosα2·sin α2cos α2＝sin 2 α2.由于α2是第二象限角或第四象限角，所以sin 2 α2＞0，综上，tan α2sin α2cos α2取正号．快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。