实特征值多步Runge,Kutta法及其并行计算
龙格-库塔方法(Runge-Kutta)
龙格-库塔方法〔Runge-Kutta〕3.2 Runge-Kutta法3.2.1 显式Runge-Kutta法的一般形式上节已给出与初值问题(1.2.1)等价的积分形式(3.2.1)只要对右端积分用不同的数值求积公式近似就可得到不同的求解初值问题(1.2.1)的数值方法，假设用显式单步法(3.2.2)当，即数值求积用左矩形公式，它就是Euler法(3.1.2)，方法只有一阶精度，假设取(3.2.3)就是改良Euler法，这时数值求积公式是梯形公式的一种近似，计算时要用二个右端函数f的值，但方法是二阶精度的.假设要得到更高阶的公式，则求积分时必须用更多的f值，根据数值积分公式，可将(3.2.1)右端积分表示为注意，右端f中还不能直接得到，需要像改良Euler法(3.1.11)一样，用前面已算得的f值表示为(3.2.3)，一般情况可将(3.2.2)的 表示为(3.2.4)其中这里均为待定常数，公式(3.2.2)，(3.2.4)称为r级的显式Runge-Kutta法，简称R-K方法.它每步计算r个f值(即由前面(i-1)个已算出的表示，故公式是显式的.例)，而ki如当r=2时，公式可表示为(3.2.5) 其中.改良Euler 法(3.1.11)就是一个二级显式R-K 方法.参数取不同的值，可得到不同公式.3.2.2 二、三级显式R-K 方法对r=2的显式R-K 方法(3.2.5)，要求选择参数，使公式的精度阶p 尽量高，由局部截断误差定义11122211()()[(,())(,)]n n n n n n n T y x y x h c f x y x c f x a h y b hk ++=--+++ (3.2.6)令，对(3.2.6)式在处按Taylor 公式展开，由于将上述结果代入(3.2.6)得要使公式(3.2.5)具有的阶p=2,即，必须(3.2.7)即由此三式求的解不唯一.因r=2，由〔3.2.5〕式可知，于是有解(3.2.8)它说明使(3.2.5)具有二阶的方法很多，只要都可得到二阶精度R-K方法.假设取，则，则得改良Euler法(3.1.11)，假设取，则得，此时(3.2.5)为(3.2.9)其中称为中点公式.改良的Euler法(3.1.11)及中点公式(3.2.9)是两个常用的二级R-K方法，注意二级R-K方法只能到达二阶，而不可能到达三阶.因为r=2只有4个参数，要到达p=3则在(3.2.6)的展开式中要增加3项，即增加三个方程,加上(3.2.7)的三个方程，共计六个方程求4个待定参数，验证得出是无解的.当然r=2,p=2的R-K方法(3.2.5)当取其他数时，也可得到其他公式，但系数较复杂，一般不再给出.对r=3的情形，要计算三个k值，即其中将按二元函数在处按Taylor公式展开，然后代入局部截断误差表达式，可得可得三阶方法，其系数共有8个，所应满足的方程为(3.2.10)这是8个未知数6个方程的方程组，解也是不唯一的，通常.一种常见的三级三阶R-K方法是下面的三级Kutta方法：(3.2.11)附：R-K 的三级Kutta 方法程序如下function y = DELGKT3_kuta(f, h,a,b,y0,varvec) format long; N = (b-a)/h;y = zeros(N+1,1); y(1) = y0; x = a:h:b;var = findsym(f); for i=2:N+1K1 = Funval(f,varvec,[x(i-1) y(i-1)]);K2 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h/2 y(i-1)+K1*h/2]); K3 = Funval(f,varvec,[x(i-1)+h y(i-1)-h*K1+K2*2*h]);y(i) = y(i-1)+h*(K1+4*K2+K3)/6; %满足c1+c2+c3=1,(1/6 4/6 1/6)endformat short; 3.2.3 四阶R-K 方法及步长的自动选择利用二元函数Taylor 展开式可以确定(3.2.4)中r=4,p=4的R-K 方法，其迭代公式为111223344()n n y y h c k c k c k c k +=++++其中1(,)n n k f x y =，2221(,(,))n n n n k f x a h y b hf x y =++，而33311322(,)n n k f x a h y b hk b hk =+++ 44411422433(,)n n k f x a h y b hk b hk b hk =++++共计13个参数待定，Taylor 展开分析局部截断误差，使得精度到达四阶，即误差为5()O h 。
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程 runge-kutta
非线性薛定谔方程，即非线性常微分方程，是用于描述物理系统的状
态变化的重要方程，可用于描述各种物理系统的动力学和稳定性问题。
Runge-Kutta方法是一种常用的数值解决非线性薛定谔方程的方法。
Runge-Kutta方法可以求解一阶非线性薛定谔方程，也可以求解多阶非线性薛定谔方程，不需要求解方程的精确解，而是对方程的近似解。
它的基本思想是：将时间区间[t0,t1]划分为若干小的时间步长，将每
次步长的解看作是一个函数，再用多项式拟合这个函数，从而得到方
程的近似解。
Runge-Kutta方法的特点是求解精度高，计算量少，但它也有一定的局限性，即要求解的方程必须是可以求导的，对于非线性或不可导的方程，Runge-Kutta方法就不能使用了。
另外，Runge-Kutta方法只能求
解单变量的非线性薛定谔方程，而多变量的非线性薛定谔方程则无能
为力。
总之，Runge-Kutta方法是一种有效的解决非线性薛定谔方程的方法，它的优点是求解精度高，计算量少，但也有一定的限制，不能解决某
些复杂的问题。
matlab龙格库塔方法求解二元二阶常微分方程组
matlab龙格库塔方法求解二元二阶常微分方程组文章标题：深入探讨matlab中的龙格库塔方法及其在求解二元二阶常微分方程组中的应用摘要：在科学与工程领域，常常需要求解复杂的微分方程组，而matlab作为一种强大的数学工具，提供了许多求解微分方程组的方法。
本文将深入探讨matlab中的龙格库塔方法及其在求解二元二阶常微分方程组中的应用，以便读者全面理解该方法并能灵活应用于实际问题中。
正文：一、介绍龙格库塔方法龙格-库塔法（Runge-Kutta methods）是一种数值求解常微分方程的方法，通过将微分方程的解进行离散化，将微分方程转化为差分方程，从而进行数值求解。
龙格库塔方法通过迭代计算，能够得到微分方程的数值解，广泛应用于科学计算和工程技术领域。
二、matlab中的龙格库塔方法在matlab中，龙格库塔方法通过ode45函数实现，该函数能够对一阶或高阶常微分方程进行数值求解。
用户可以通过设定初始条件、微分方程表达式，以及积分区间等参数，快速得到微分方程的数值解。
ode45函数采用自适应步长的方式进行求解，能够有效解决微分方程解的数值稳定性和精确度问题。
三、龙格库塔方法在求解二元二阶常微分方程组中的应用考虑如下形式的二元二阶常微分方程组：$$\begin{cases}y_1' = f_1(t, y_1, y_2) \\y_2' = f_2(t, y_1, y_2)\end{cases}$$其中，$y_1(t)$和$y_2(t)$是未知函数，$f_1(t, y_1, y_2)$和$f_2(t,y_1, y_2)$分别表示其对应的函数表达式。
通过matlab中的ode45函数，可以将该二元二阶常微分方程组转化为一阶常微分方程组的形式，然后利用龙格库塔方法进行数值求解。
设定初始条件$y_1(0) = y1_0, y_2(0) = y2_0$，对应的一阶方程组为：$$\begin{cases}u_1' = u_3 \\u_2' = u_4 \\u_3' = f_1(t, u_1, u_2) \\u_4' = f_2(t, u_1, u_2)\end{cases}$$其中，$u_1(t) = y_1(t), u_2(t) = y_2(t), u_3(t) = y_1'(t), u_4(t) =y_2'(t)$，通过ode45函数求解该一阶常微分方程组即可得到原二元二阶常微分方程组的数值解。
龙格-库塔(Runge-Kutta)法
龙格-库塔（Runge-Kutta）法 1.1 龙格-库塔(Runge-Kutta)法的基本思想
Euler公式可改写成
yi1 yi hK1 K1 f ( xi , yi )
则yi+1的表达式y(xi+1)与的Taylor展开式的前两项 完全相同,即局部截断误差为 O(h 2 ) 。
为了进一步提高精度，设除 xi p 外再增加一点
xiq xi qh ( p q 1)
并用三个点 xi ,xi p , xiq 的斜率k1,k2,k3加权平均
得出平均斜率k*的近似值，这时计算格式具有形式:
yi1 yi h(1 )k1 k2 k3
k1 f (xi , yi ) k2 f (xi ph, yi phk1 )
格式。
若取 1 0 ,则 2 法的计算公式为
1,
p
1 2
，此时二阶龙格-库塔
ky1i
1
f
yi hk2 ( xi , yi )
k
2
h
f
(
x
i
1
,
yi
2
2 k1 )
i 0,1,2, n 1
此计算公式称为变形的二阶龙格—库塔法。式中
x 1 i 2
为区间
xi , xi1
的中点。
1.3 三阶龙格-库塔法
拉法,将 xi p 视为 xi1，即可得
k2 f (xi ph, yi phk1 ) 对常微分方程初值问题(7.1)式的解 y=y(x),根据微 分中值定理，存在点 (xi , xi1 ) ，使得
也即
y(xi1 ) y(xi ) y( )( xi1 xi )
y( xi1 ) y( xi ) hK
matlab经典的4级4阶runge kutta法
MATLAB是一种用于算法开发、数据分析、可视化和数值计算的高级技术计算语言和交互式环境。
作为一个强大的工具，MATLAB提供了许多数值计算方法，其中4级4阶Runge-Kutta方法就是其中之一。
1. Runge-Kutta方法简介Runge-Kutta方法是求解常微分方程（ODE）的数值方法之一。
在MATLAB中，用户可以使用内置的ode45函数来调用4级4阶Runge-Kutta方法。
具体来说，4级4阶Runge-Kutta方法是一种单步迭代方法，通过在每个步骤中计算斜率来逐步逼近解析解。
它的优点是数值稳定性好，适用于多种类型的微分方程。
2. Runge-Kutta方法的公式4级4阶Runge-Kutta方法的一般形式如下：$$k_1 = hf(t_n, y_n)$$$$k_2 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_1)$$$$k_3 = hf(t_n + \frac{1}{2}h, y_n + \frac{1}{2}k_2)$$$$k_4 = hf(t_n + h, y_n + k_3)$$$$y_{n+1} = y_n + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$$其中，$t_n$是当前的独立变量值，$y_n$是当前的解向量，h是步长，$f(t_n, y_n)$是给定点$(t_n, y_n)$处的斜率。
通过不断迭代上述公式，可以逐步求解微分方程的数值解。
3. MATLAB中的4级4阶Runge-Kutta方法的应用在MATLAB中，用户可以使用ode45函数调用4级4阶Runge-Kutta方法来求解常微分方程。
使用ode45函数的基本语法如下：```matlab[t, y] = ode45(odefun, tspan, y0)```其中，odefun是用户定义的ODE函数句柄，tspan指定了求解的时间范围，y0是初始条件。
§5.3 Runge-Kutta方法ppt课件
k1
f ( xi , yi )
k2
f ( xi
ph, yi
phk1 )
yi1 yi h (1 )k1 k2 k3
k1 f ( xi , yi ) k2 f ( xi ph, yi phk1 )
为了预报点 xi的q 斜率值k3,在区间 xi内, x有iq两
h 6
(K1
2K2
2K3
K4)
K1 f ( xi, yi )
K2
f
( xi
h 2
,
yi
h 2
K1)
K3
f
( xi
h 2
,
yi
h 2
K2)
K4 f ( xi h, yi hK3 )
四阶经典的龙格-库塔格式
例 用标准4阶R-K公式求：
y( x) x y( x) 0 x 1
在y((xxi i,y1i))点y作i1TayOlo(rh展3)开fx (
x,
y)
f y ( x,
y)
f
(x,
y)
K2 f ( xi ph, yi phK1 ) f ( xi , yi ) phfx ( xi , yi ) phK1 f y ( xi , yi ) O(h2 ) y( xi ) phy( xi ) O(h2 )
5.3.2 Runge-Kutta方法的基本思想
单步递推法的基本思想是从 ( xi , yi ) 点出发，以 某一斜率沿直线达到 ( xi+1 , yi+1 ) 点。欧拉法及 其各种变形所能达到的最高精度为2阶。
常微分方程的数值解算法
常微分方程的数值解算法常微分方程的数值解算法是一种对常微分方程进行数值计算的方法，这可以帮助我们更好地理解和研究自然现象和工程问题。
在本文中，我们将介绍一些常用的数值解算法，探讨它们的优缺点和适用范围。
常微分方程（ODE）是描述自然现象和工程问题的重要数学工具。
然而，对于许多ODE解析解是无法求出的，因此我们需要通过数值方法对其进行求解。
常微分方程可以写作：y' = f(t, y)其中，y是函数，f是给定的函数，表示y随t的变化率。
这个方程可以写成初始值问题（IVP）的形式：y'(t) = f(t,y(t))，y(t0) = y0其中，y（t0）=y0是方程的初始条件。
解决IVP问题的典型方法是数值方法。
欧拉方法欧拉方法是最简单的一阶数值方法。
在欧拉方法中，我们从初始条件开始，并在t = t0到t = tn的时间内，用以下公式逐步递推求解：y n+1 = y n + hf (t n, y n)其中，f（t n，y n）是点（t n，y n）处的导数， h = tn - tn-1是时间间隔。
欧拉方法的优点是简单易懂，容易实现。
然而，它的缺点是在整个时间段上的精度不一致。
程度取决于使用的时间间隔。
改进的欧拉方法如果我们使用欧拉方法中每个时间段的中间点而不是起始点来估计下一个时间点，精度就会有所提高。
这个方法叫做改进的欧拉方法（或Heun方法）。
公式为：y n+1 = y n + h½[f(t n, y n)+f(tn+1, yn + h f (tn, yn))]这是一个二阶方法，精度比欧拉方法高，但计算量也大一些。
对于易受噪声干扰的问题，改进的欧拉方法是个很好的选择。
Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是ODE计算的最常用的二阶和高阶数值方法之一。
这个方法对定义域内的每个点都计算一个导数。
显式四阶Runge-Kutta方法（RK4）是最常用的Runge-Kutta方法之一，并已得到大量实践的验证。
Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现
Matlab中龙格-库塔(Runge-Kutta)方法原理及实现龙格-库塔(Runge-Kutta)方法是一种在工程上应用广泛的高精度单步算法。
由于此算法精度高，采取措施对误差进行抑制，所以其实现原理也较复杂。
该算法是构建在数学支持的基础之上的。
龙格库塔方法的理论基础来源于泰勒公式和使用斜率近似表达微分，它在积分区间多预计算出几个点的斜率，然后进行加权平均，用做下一点的依据，从而构造出了精度更高的数值积分计算方法。
如果预先求两个点的斜率就是二阶龙格库塔法，如果预先取四个点就是四阶龙格库塔法。
一阶常微分方程可以写作：y'=f(x,y),使用差分概念。
(Yn+1-Yn)/h= f(Xn,Yn)推出（近似等于，极限为Yn'）Yn+1=Yn+h*f(Xn,Yn)另外根据微分中值定理，存在0<t<1,使得Yn+1=Yn+h*f(Xn+th,Y(Xn+th))这里K＝f(Xn+th,Y(Xn+th))称为平均斜率，龙格库塔方法就是求得K的一种算法。
利用这样的原理，经过复杂的数学推导（过于繁琐省略），可以得出截断误差为O(h^5)的四阶龙格库塔公式：K1＝f(Xn,Yn);K2=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K1);K3=f(Xn+h/2,Yn+(h/2)*K2);K4=f(Xn+h,Yn+h*K3);Yn+1=Yn+h*(K1+2K2+2K3+K4)*(1/6);所以，为了更好更准确地把握时间关系，应自己在理解龙格库塔原理的基础上，编写定步长的龙格库塔函数，经过学习其原理，已经完成了一维的龙格库塔函数。
仔细思考之后，发现其实如果是需要解多个微分方程组，可以想象成多个微分方程并行进行求解，时间，步长都是共同的，首先把预定的初始值给每个微分方程的第一步，然后每走一步，对多个微分方程共同求解。
想通之后发现，整个过程其实很直观，只是不停的逼近计算罢了。
编写的定步长的龙格库塔计算函数：function [x,y]=runge_kutta1(ufunc,y0,h,a,b,Vg)%参数表顺序依次是微分方程组的函数名称，初始值向量，步长，时间起点，时间终点,发酵罐体积（参数形式参考了ode45函数）n=floor((b-a)/h);%求步数x(1)=a;%时间起点y(:,1)=y0;%赋初值，可以是向量，但是要注意维数for ii=1:nx(ii+1)=x(ii)+h;k1=ufunc(x(ii),y(:,ii),Vg);k2=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k1/2,Vg);k3=ufunc(x(ii)+h/2,y(:,ii)+h*k2/2,Vg);k4=ufunc(x(ii)+h,y(:,ii)+h*k3,Vg);y(:,ii+1)=y(:,ii)+h*(k1+2*k2+2*k3+k4)/6;%按照龙格库塔方法进行数值求解end调用的子函数以及其调用语句：function dy=test_fun(x,y)dy = zeros(3,1);%初始化列向量dy(1) = y(2) * y(3);dy(2) = -y(1) + y(3);dy(3) = -0.51 * y(1) * y(2);对该微分方程组用ode45和自编的龙格库塔函数进行比较，调用如下：[T,F] = ode45(@test_fun,[0 15],[1 1 3]);subplot(121)plot(T,F)%Matlab自带的ode45函数效果title('ode45函数效果')[T1,F1]=runge_kutta1(@test_fun,[1 1 3],0.25,0,15);%测试时改变test_fun的函数维数，别忘记改变初始值的维数subplot(122)plot(T1,F1)%自编的龙格库塔函数效果title('自编的龙格库塔函数')运行结果如下：。
矩阵特征值与特征向量的计算-Rung-Kutta方法
每步须算Ki 的个数 2 3
4
5
6
可达到的最高精度 O(h2 ) O(h3 ) O(h4 ) O(h4 ) O(h5 )
7
O(h6 )
n8
O(hn−2 )
由于龙格-库塔法的导出基于泰勒展开，故精度主要受
解函数的光滑性影响。对于光滑性不太好的解，最好 采用低阶算法而将步长h 取小。
R − K方法的主要优缺点
二级R-K方法
二级R-K方法的形式为
其局部截断误差为 将 中的各项作Taylor展开
Taylor展开有 可得 令
二级R-K能达到的 最高阶数是二阶
常用的二级二阶R-K方法
取
，得
该方法称为改进的Euler公式（梯形公式的预估校正格式）
取
，得
该方法称为中点公式
取
，得
该方法称为Heun(休恩)方法
当 为实数时，得Euler法的绝对稳定区间是
二级R-K方法的绝对稳定区间
二阶二级R-K方法的计算公式为
由此可知，二阶二级R-K方法的绝对稳定区间是 当 为实数时，得绝对稳定区间是
一些常用方法的绝对稳定区间
R-K法的绝对稳定区域
k = 4 • 3. k =3
• 2. k=2 k = 1 • 1.
题相容的充分必要条件是该单步法至少是一阶方
法。
我们本章讨论的数值方法都是与原初值问题相容的！
收敛性
定义：对任意固定的 步法产生的解 ，均有
, 若初值问题的单
则称该方法是收敛的。
我们本章讨论的数值方法都是收敛的！
收敛性判别
定理7.3：设增量函数
在区域
上连续，并对变量y和h满足Lipschitz条件。如果单步 法与微分方程初值问题相容，则单步法收敛。
四阶龙格库塔法(Runge-Kutta)求解微分方程
四阶龙格库塔法（Runge-Kutta ）求解微分方程张晓颖（天津大学 材料学院 学号：1012208027）1 引言计算传热学中通常需要求解常微分方程。
这类问题的简单形式如下：{),(')(00y x f y y x y == （1）虽然求解常微分方程有各种各样的解析方法，但解析方法只能用来求解一些特殊类型的方程，实际问题中的多数微分方程需要采用数值解法求解。
初值问题（1）的数值解法有个基本特点，它们采取“步进式”，即求解过程顺着节点排序一步一步向前推进。
这类算法是要给出用已知信息y n 、 y n −i ……计算y n +1的递推公式即可。
2 龙格库塔法（Runge-Kutta ）介绍假设对于初值问题（1）有解 y = y (x ) ，用 Taylor 展开有：......)(!3)(!2)()()(321+'''+''+'+=+n n n n n x y h x y h x y h x y x y （2） 龙格库塔法（Runge-Kutta ）实质上是间接的使用 Taylor 级数法的一种方法。
对于差商hx y x y n n )()(1-+，根据微分中值定理，存在 0 < θ < 1 ，使得：)()()(1h x y hx y x y n n θ+'=-+ （3）于是对于 y = y (x ) ，可得到：))(,()()(1h x y h x hf x y x y n n n n θθ+++=+ （4）设))(,(*h x y h x f K n n θθ++=，为区间 [x n , x n +1 ] 上的平均斜率。
四阶龙格库塔格式中的*K 由下式计算得到：⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧++=++=++==++++=+),()2,2()2,2(),()22(6342312143211hK y h x f K K h y h x f K K h y h x f K y x f K K K K K h y y n n n n nn n n n n （5） 四阶龙格库塔法（Runge-Kutta ）的每一步需要四次计算函数值f ，其截断误差更低，计算的精度更高。
4阶runge-kutta原理
4阶Runge-Kutta方法是一种数值求解常微分方程的方法，它通过迭代的方式逐步逼近微分方程的解。
本文将从原理、推导以及应用等方面对4阶Runge-Kutta方法进行详细解读。
1. 原理4阶Runge-Kutta方法是数值分析中常用的数值解常微分方程的方法之一。
它的核心思想是利用哈密顿显式中点法求解微分方程。
该方法通过将微分方程的解离散化，然后通过计算每一步的斜率来逐步逼近方程的解，最终得到数值解。
2. 推导假设我们要求解如下的一阶常微分方程初值问题：$\frac{dy}{dx} = f(x, y)$$y(x_0) = y_0$其中$f(x, y)$是关于$x$和$y$的函数，$y_0$是初值，$x_0$是初始点。
现在我们希望通过4阶Runge-Kutta方法来求解上述方程。
我们将自变量$x$进行离散化，即将其分成$n$个小区间，每个小区间长度为$h$，即$x_i = x_0 + ih$，$i=0,1,2,...,n$。
然后我们利用下面的迭代公式来计算每一步的$y$的近似值：$k_1 = h f(x_i, y_i)$$k_2 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_1}{2})$$k_3 = h f(x_i + \frac{h}{2}, y_i + \frac{k_2}{2})$$k_4 = h f(x_i + h, y_i + k_3)$$y_{i+1} = y_i + \frac{1}{6}(k_1 + 2k_2 + 2k_3 + k_4)$式中，$k_1$、$k_2$、$k_3$、$k_4$分别表示斜率的四个近似值，$y_{i+1}$表示下一个点的近似值。
3. 应用4阶Runge-Kutta方法在实际工程问题中有着广泛的应用。
它不仅可以用来解决一阶常微分方程，还可以推广到高阶微分方程、常微分方程组以及偏微分方程等更复杂的问题。
由于该方法的高精度和稳定性，它也被广泛应用于科学计算领域，例如物理学、工程学、生物学和经济学等各个领域。
Runge-Kutta法
3½×RK· ¨
1.422
¸ ĽøEuler· ¨
1.42
1.418 0.2965 0.297 0.2975 0.298 0.2985 0.299 0.2995 0.3 0.3005 17
§ 7.2 Runge-Kutta法
龙格-库塔(Runge-Kutta)方法简称R-K法，是一种应用较广的 高精度的单步法。
所谓单步法就是在计算yi时只用到前一步信息yi-1的方法。
本节介绍R-K法的构造原理、常用公式。
1
一、Runge-Kutta方法的构造原理 对于常微分方程的初值问题
y f ( x , y ) y( a ) y0 a xb
另一方面
h2 y( xi 1 ) y( xi ) hy( xi ) y( xi ) o(h3 ) 2
9
式（6）的局部截断误差:
en (h) y ( xi 1 ) yi 1 1 h 1 (1 2 ) y( xi ) h2 22 y( xi ) o(h3 ) 2
1 2 1 1 2 2 2
有无穷多组解，从而可以得到许多具体的二阶R -K公式 如：
1 2 1，2 1
1 1 0， 2 1， 2 2
10
用类似的方法也可以构造三阶R-K公式
h yi yi 1 ( K1 4 K2 K3 ) 6 K1 f ( xi 1, yi 1 ) h h K 2 f ( xi 1 , yi 1 K1 ) 2 2 K3 f ( xi 1 h, yi 1 h(2 K2 K1 ))
因而方法(8)有4阶精度
12
例1. 使用高阶R-K方法计算初值问题
Runge-Kutta积分方法(共24张PPT)
0.8 2.014457 1.914603 2.014459 1.68E-6 9.99E-2
0.9 2.150395 2.021086 2.150397 1.96E-6 1.29E-1
1.0 2.281716 2.117800 2.281718 2.32E-6 1.64E-1
第十二页，共二十四页。
结果(jiē 及 guǒ) 比较
将展开式代入,得到局部截断误差：
dn1 (1 c1 c2 )hFn
1 2
c22
h
2
Ft(tn
,
Yn
)
1 2
c2 21
h2
FY
(t
n
, Yn
)Fn
O(h3 ).
要使得(shǐ de)方法是二阶的，则局部截断误差应该为三阶小量，即：
1 c1 c2 0;
1 2
c22
0;
1 2
c2 21
分别用二阶四阶步长都取为四阶二阶四阶误差二阶误差0010000001000000100000000000000000001110482911024501104829160e7238e302121859712115071218597340e7709e303134014113257661340141548e7144e204146817514436711468175769e7245e205160127815635061601279995e7378e206173788016833741737881120e6545e207187624618011791876247142e6751e208201445719146032014459168e6999e209215039520210862150397196e6129e110228171621178002281718232e6164e1结果及比较结果及比较10451060101040时误差为而二阶公式相对误差仅为仍然是相当精确的结果时误差为时误差为对四阶公式rungekuttarungekuttarungekutta类似前面的推导可以导出更高阶的公式
rungekutta方法求解常微分
rungekutta方法求解常微分嘿，朋友们！今天咱来聊聊这个神奇的 Runge-Kutta 方法求解常微分。
你说这常微分方程啊，就像是生活中的一个个小难题，有时候还真让人有点头疼呢！那这 Runge-Kutta 方法呢，就像是一把神奇的钥匙，能帮我们解开这些难题。
想象一下，常微分方程就像是一条弯弯曲曲的小路，我们要找到通过这条小路的最佳路径。
而 Runge-Kutta 方法呢，就像是一个经验丰富的向导，带着我们一步一步地往前走，每一步都走得稳稳当当。
它可不是随随便便就出手的哦！它会仔细地分析问题，然后给出精确的计算步骤。
就好像我们做菜一样，要精确地掌握各种调料的用量，才能做出美味的菜肴。
Runge-Kutta 方法里有好多不同的形式呢，就像不同口味的糖果，各有各的特点。
有时候我们要根据具体的问题来选择合适的那种形式，这可得有点眼力见儿呢！比如说，有些问题比较简单，那可能用简单一点的 Runge-Kutta 形式就够了。
但要是遇到复杂的大难题，那就得派出厉害一点的形式啦！这就好比对付小怪兽用普通武器就行，要是遇到大怪兽，那可得拿出厉害的法宝了。
在使用 Runge-Kutta 方法的时候，可不能马虎大意哦！每一个步骤都要认真对待，就像我们走路一样，一步一个脚印，踏踏实实地走。
要是有一步走错了，那可就麻烦啦，可能就找不到正确的答案了。
而且啊，这个方法还很灵活呢！它可以适应各种不同的情况，就像一个全能选手，不管遇到什么挑战都能应对自如。
那我们怎么才能用好这个神奇的 Runge-Kutta 方法呢？这就需要我们多练习啦！就像学骑自行车一样，刚开始可能会摔倒，但多练几次就熟练了。
我们要不断地去尝试，去探索，去发现它的奥秘。
总之呢，Runge-Kutta 方法是我们求解常微分方程的好帮手，只要我们用心去学，用心去用，就一定能在数学的海洋里畅游无阻！它就像是一盏明灯，照亮我们在常微分方程世界里前进的道路。
大家可别小瞧了它哦，赶紧去试试吧！。
龙格库塔法
2020/4/25
10
令 y(xi1) yi1 对应项的系数相等，得到
c1 c2 1 ,
a2c2
1 2
,
b21c2
1 2
这里有 4 个未知 数，3 个方程。
存在无穷多个解。所有满足上式的格式统称为2阶龙格 - 库塔格式。
2020/4/25
• 1.在运动流体的整个空间，可绘出一系列的流线，称为流 线簇。流线簇的疏密程度反映了该时刻流场中速度的不同。 2.当为非定常流时，流线的形状随时间改变：对于定常流， 流线的形状和位置不随时间而变化。 3.定常流的流线和迹线重合。 4.一般情况下，流线不能相交，不能折转，只能是一条光 滑曲线。
龙格库塔法
2020/4/25
5
引入记号
y(xi1) y(xi ) K
K hy(i) hf i, y(i)
yi1 yi K
K可以认为是y y(x)在区间[xi , xi1]上的平均斜率
y
只要使用适当的方法求 出y(x)在区
y y(x)
间[xi , xi1]上平均斜率的近似值 K
K
就可得到相应的Runge-Kutta方法
2!
3!
4!
2020/4/25
20
龙格—库塔方法的推导基于Taylor展开方法，因而它要求所求的解具有
较好的光滑性。如果解的光滑性差，那么，使用四阶龙格—库塔方法求得的数 值解，其精度可能反而不如改进的欧拉方法。在实际计算时，应当针对问题的 具体特点选择合适的算法。对于光滑性不太好的解，最好采用低阶算法而将步 长h 取小。
23 4 5 6
runge-kutta方法
runge-kutta方法Runge-Kutta方法是求解常微分方程组的一种常用数值方法，它是由德国数学家卡尔·龙格和马丁·库塔（Martin Kutta）发明的。
该方法是一种高阶精度的方法，可以求解一阶或高阶的常微分方程组。
$$ y_{n+1} = y_n + \sum_{i=1}^s b_i k_i $$$y_n$表示第$n$个步骤中的输出，$y_{n+1}$是下一个步骤的输出。
$k_i$表示第$i$个中间变量，$b_i$是权值，它们是根据所采用的方法计算得出的。
我们将在下文中详细介绍这些变量和权值的计算方法。
在数值计算中，我们通常采用自适应步长的方法，这需要我们给出一个误差容限值$\epsilon$，根据误差限定步长大小。
如果当前步长不满足误差要求，我们会将步长缩小再进行计算，或者选择更高阶的方法进行计算，以提高精度。
接下来我们将详细介绍如何使用Runge-Kutta方法求解常微分方程组。
1. Runge-Kutta方法的中间变量$k_i$的计算我们需要计算中间变量$k_i$的值。
它们的计算公式如下：$$ k_1 = hf(t_n, y_n) $$$$ k_2 = hf(t_n + c_2 h, y_n + a_{21}k_1) $$$$ ... $$$$ k_s = hf(t_n + c_s h, y_n + \sum_{j=1}^{s-1}a_{sj}k_j) $$$h$表示步长大小，$t_n$和$y_n$分别表示当前时间和状态，$c_i$和$a_{ij}$是与所采用的方法相关的常数。
$$ c_2 = \frac{1}{2} , a_{21} = \frac{1}{2}$$- 改进的Runge-Kutta方法（RK4）：根据具体选择的方法，我们可以计算出$k_i$的值。
$b_{ij}$也是与所采用的方法相关的常数，对于不同的方法而言，它们的计算公式不同。
根据计算出的中间变量$k_i$和权值$b_i$，我们可以进行Runge-Kutta方法的迭代，求解常微分方程组。
四元数微分方程 runge kutta
四元数微分方程 Runge-Kutta一、概述四元数微分方程是描述四元数随时间变化的数学模型，它在多个领域中都有着重要的应用。
在数值计算中，为了求解四元数微分方程的数值解，常常需要使用Runge-Kutta方法。
本文将探讨四元数微分方程和Runge-Kutta方法的理论基础和应用。
二、四元数微分方程1.四元数的定义四元数是由一个实部和三个虚部组成的超复数。
一般地，四元数可以表示为q=w+xi+yj+zk，其中w、x、y、z分别代表实部和三个虚部的系数，i、j、k分别是四元数单位虚数，并满足以下性质：i^2=j^2=k^2=ijk=-12.四元数微分方程的一般形式四元数微分方程的一般形式可以表示为：dq/dt=f(q,t)其中q表示四元数，t表示时间，f(q,t)表示四元数随时间t的变化率。
求解四元数微分方程通常需要利用数值方法。
三、Runge-Kutta方法Runge-Kutta方法是一种常用的数值求解微分方程的方法，它通过递推的方式来逼近微分方程的解。
对于四元数微分方程，在使用Runge-Kutta方法时，需要考虑四元数的乘法和加法运算。
1.四阶经典Runge-Kutta方法四阶经典Runge-Kutta方法是最常用的一种Runge-Kutta方法，其递推公式为：k1=h*f(q_n,t_n)k2=h*f(q_n+0.5*k1,t_n+0.5*h)k3=h*f(q_n+0.5*k2,t_n+0.5*h)k4=h*f(q_n+k3,t_n+h)q_{n+1}=q_n+1/6*(k1+2*k2+2*k3+k4)其中h为步长，f(q_n,t_n)为四元数在时刻t_n处的变化率。
2.四元数的乘法和加法运算在使用Runge-Kutta方法时，需要考虑四元数的乘法和加法运算。
四元数的乘法运算满足结合律和分配律，但不满足交换律。
在计算k1、k2、k3和k4时，需要考虑四元数乘法的性质。
四、应用实例为了说明四元数微分方程和Runge-Kutta方法的应用，我们可以考虑一个具体的实例，比如飞行器姿态控制系统中的四元数微分方程。
Runge-Kutta积分方法
微分方程
Runge-Kutta方法基于微分方程，用 于求解未知函数的导数或偏导数。
数值近似
通过在离散点上取值来近似连续函数 的积分，Runge-Kutta方法提供了一
种数值求解微分方程的方法。
线性插值
Runge-Kutta方法在离散点之间进行 线性插值，以估计函数在未知点的值。
方法的实现步骤
初始条件
为求解微分方程，需要提供初始条件，即函数在某一点的取值。
离散化
将微分方程的求解区间离散化，将连续的时间或空间划分为若干个离散点。
参数选择
根据微分方程的性质和精度要求，选择合适的Runge-Kutta方法参数。
迭代计算
根据离散点和参数，进行迭代计算，逐步逼近微分方程的解。
方法的收敛性与稳定性
收敛性
Runge-Kutta方法的收敛性是指 随着离散点数增加，数值解逐渐 接近真实解。
自适应步长Runge-Kutta方法
总结词
自适应步长Runge-Kutta方法是一种结合了 变步长策略的数值积分方法，通过自动调整 步长以适应解的性质，提高数值积分的精度 和稳定性。
详细描述
自适应步长Runge-Kutta方法在每一步计算 后，根据解的局部误差估计自动调整步长。 这种方法能够更好地处理解的局部变化，避 免因固定步长而产生的数值振荡或误差累积
改进方向
优化算法
通过改进Runge-Kutta方法的算法，减少计算量，提 高计算效率。
引入并行计算
利用并行计算技术，加快Runge-Kutta方法的计算速 度。
改进步长选择策略
通过改进步长选择策略，提高数值解的精度和稳定性。
05
Runge-Kutta方法的实例分 析
多步runge—kutta方法的收敛性与稳定性
多步runge—kutta方法的收敛性与稳定性
多步runge—kutta方法是一种常用的求解微分方程的数值计算方法。
它
的收敛性和稳定性是数值计算的重要指标。
1、Runge—Kutta方法的收敛性：Runge-Kutta方法的收敛性主要取决
于方法的精度。
Runge–Kutta法的收敛性由其误差估计步骤中的定义式
给出，这些误差估计步骤对最大步长有一定限制，即要实现给定精度，Runge–Kutta方法必须使用小步长。
这样，Runge—Kutta方法具有较高
的收敛率。
2、Runge—Kutta方法的稳定性：Runge—Kutta法的稳定性也取决于方
法的精度，其收敛步长是和误差估计步骤有关的。
Runge—Kutta法可
以实现给定的精度，但它的稳定性可能因此受到影响。
因此，在使用Runge—Kutta法前，需要检查它的稳定性，也就是在某一特定问题中，Runge—Kutta法能否满足给定的精度要求。
Runge—Kutta方法的收敛性和稳定性是数值计算领域的重要指标。
一
般来说，Runge—Kutta方法在实际应用中具有很高的收敛性和稳定性，因此在很多实际计算中，广泛应用Runge—Kutta方法。
但是，要获得
更好的数值精度，也要求收敛性和稳定性得到改善，这就要求具备较
高的数值算法精度和计算机实现能力，使其能够使收敛性和稳定性达
到更高的水平。
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于向 微分 式 （ Ｆ及 性计算的 常用 ・ 后 公 Ｂ ）刚 Ｄ 其他 算法 但另一 面， 述。 隐多 方 当上 级全 步Ｒｎ － ｔ 法 于求 间Ｒ｀ 的 ｕ ｅ ｕ、 用 解空 ＂ 刚性常 分方 初值 题时， 一 算步 要 ｇＫ ｔ 中 微 程 问 每 计 需
用简化牛顿迭代程序求解由 。 个非线性方程联立的方程组，当 二和 ！ ， 较大时， 在串 行计算机上的计算量将大得惊人，使人难以接受、十分巨 大的计算量使这些本来十分 优秀的高稳定高梢度算法失去实用价值， 诚然是一件令人非常遗憾的事， 然而随着近年高性能并行计算机的飞速发展， 情况有了实质变化， 事实上， 藉助于
（ ，Ｊ 司 ） 一 ｋ一（ Ｃ ） Ｉ Ｆ （ ］ ｉ １， ） Ｙ ）， ＝ ， ‘一ａ ） ‘ 对 ） ［（ １０ｍ （ ｋ． ，Ａ ＝ 、ｈＴ ， ） ２ （ ７ ）
参考文献
川Ｂｒｇ，， ｒ ｒ ｂａａ ｓｂ ｍ ｌｓ Ｒｎｅ ｕ ａ ｈ ｓ Ｉ Ｊ ｕ ｅ ｉ ｏ ｅａｅｒｃ ｙ ｌ ｕ ｉ ｐ ｇＫ ｔ ｍ ｔ ｄ Ｓ Ｍ Ｎｍｒ ｕａ Ｋ Ｈ ｈ ｌ ｉｌ ｔ ｅ ｔｔ ｕ － ｔ ｅ ｏ ， ． ． ｒｅ ． ｇ ｄ ｇ ａ ｅ Ａ
实特征值多步 Ｒ ｎｅ ｔ 法及其并行计算 ｕ ｇ－ ｔ Ｋｕ ａ
李寿佛
（潭太 湘 学计算 应用数 与 学研究 湘 ，４ １ 所， 潭市 １０ １５ 继 Ｂｒｇ 川 构造 Ｇｕ 型多步 Ｒｎ －ｕ。 ｕａ ｒｅ ａｓ ｓ ｕｇＫｔ 法之后，本文作者 〔４全面深入地 ｅ ｔ ２｝ － 研究了多步 Ｒｎｅ ｕ ａ ｕｇ Ｋｔ 法的代数稳定性与 Ｂ 收敛性，并构造了另外五类全隐多步 － ｔ 一 Ｒｎ －ｕａ ｕｇ Ｋｔ 法．以上六类方法都是高阶代数稳定且 Ｂ 收敛的， ｅ ｔ 一 从这方面来说远远优
的系数，仅以 ￣个 与求解刚性初值问题
＝ 刀 ，
完全一致 ． 由此可见我们构造的可并行实 ． 大量数值试验亦巳证 实这一结论．可以 的并行常微分方程软件包不久将会诞生， 于统治地位且应用最广的向后微分 公式及
ｍｅｈ ｄ ． ｃｎｃｌ ｐ ｒ ＮＭ－ ６６ ＣＷＩ Ａｍｓｅｄｍ， ６ ｅ ｏｔ Ｒ９１ ， ， ｔｒａ １ ９ ． ｔｏ ｓ Ｔ ｈ ｉａ Ｒ ｅ ９
Ｂｔｅ变 参 ｕｈ 换（ 见阁 可 把简 牛顿 程序中 解的、 阶线 代数 组 裂 ｃｒ ） 以 化 迭代 欲求 性 方程 分 成 个。阶 代数 组， 处 若干 线性 方程 在多 理机上 行求 并 解・ １５ ９ 年，Ｈｉ 和Ｗｎ ９ ａｒ ａｅ ｒ ｅ ｎ
（一 ） ａａ １ １ ｕｇＫｔ 法，成功地 － ｔ 同 将这一技巧用于 Ａ稳定和 Ａａ 稳定的 Ｒｄｕ Ａ型多步 Ｒｎｅ ｕａ － ｏｗｎ ｗｒ ｔ 研制了 微 程软件 ＲＤＵ． 年，Ｈｕｅ 和 Ｓａ 川 作了类似研究 然而 常 分方 包 Ａ Ａ５１ ６ ９ ９ 导致所求解的某些 。阶线性方程组是复 Ｒｄｕ 型方法的系数矩阵具有复特征值， ａａ Ａ人
ｌ ． ２ ｙ 二Ｙ ，
相 应的２ ． 第Ｉ 特征 级３ Ｉ 阶 类实 值多步Ｒｔ － ｔ 法 ｕｇＫ ｔ ｅ ｕａ
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｝一２３１－（一，）ｔ．， Ｙ１．＋ｙ －２ｔＹ３ｔＹ ２１ ＋一 ｈ！ ，ｆ ｈ） ２一ｙ＋（ “＋ｆ＋） － ３ “ｆ Ｙ （ ２ ｙ “Ｉ“ 一， ３ ， 。 一 ）． Ｙ ＋２ ］ ［ 一１－ ８１ （ “ ＋（ “ ， 命ｙ 。 １ ，
Ｃ｛ ＿ ｌ 乓３ ｌ － 一 １ ２ ４ ５
具 特 值 Ａ： ７ 士 １， 可找 特征矢 有实 征 ｌ二１ ， （ １相应 到 ９ ） 量
一１３ ， 击一１Ｚ ４ ２１Ｔ １＋ １ （ ，） ，一、３ １１ ／２ １ － （２ Ｔ ） ，
ｒ
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ｅ ｌ ｌ Ｊ
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｛） ｙ Ｙ ， （ ａ ｔ
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ａ＜亡
‘ 刀 七 ｔ， 且 ｌ
Ｇ ‘
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｝ｎ１＋ ＋， （ Ｙ，ｆ３ ， ２ １＋ ，－ｚ Ｉ ＾ｉ， ） ＝ １） ， ＝２， １） ｙ３＋－ ｈ ，５ｉｆ， ．ｆ （Ｙ －（， Ｙ １ ，． ２ ｑ ＋ ｔＹｎ） ． ） ＋ ， ｆ １ － ｔ ，
Ｏ ） 一ｈ（ＣＩ０ ） Ｖ ＝Ｉ （ Ｉ Ｍ Ｔ ）
九（。 ， ｔ 一ｈＹ） ， ３
０
０
几（ 十ｈ玖） ｔ 。 ，
。Ｉ ｈ ＣＩ－） Ｊ 一 Ａ Ｊ 一 （ Ｉ ＇。 二Ｉ ｈ ． ， Ｔ Ｔ
这 是。 ｘ 。 矩阵，Ｊ 以ｔＹ， 解方 里Ｉ 。 。 单位 ＝ ．． 求 程阁 的 ．） ， 简化牛 迭 程序 为 顿 代 可写
０
Ｔ ｘ，〕 ＝１ ２一 １ ２，
一 ７ ７ １ｉａ１ １ ＋ １、 １ １ ｓ １ － － ｌ ７ Ｆ ．
（ ４ ）
则有
Ｔ １－二 ， Ｃ１ １ Ａ Ｔ
ＴＣｕ 二 Ａ ＝ 丁
｝＋１ ｘ ＿０ １ －９ １ １Ｚ军 ｚｕ ｎ １ ７ ７ － ２； ｝ １
ａ １３为了 上述并 法的 ｝ 将 行算 计算量 步缩 进一 减到 ＢＦ 水 国 多学 作了 Ｄ 的 平， 外许 者 努
力，但没有成功．上述并行算法的另一个缺点是只考虑了方法的线性稳定 性和经典相
容阶， 于５ 且高 阶的方 仅 法 仅是Ａ ） 的， 而 强 性刚 题及高 （一 ａ 稳定 因 对于 非线 性问 振荡间
（） ６
其中
ｙ （ １ ）ｋ （２ ‘ ，一． （二Ｔ ０ＲＺ） Ｃ 。 ）” ） ｋ － Ｉ （＋ １ ） ， 〔‘
由于 ２ 方程组 ６ （ 可分裂为两个互相独立的 。阶方程组 ｍ阶 ） 它们可用两个处理器并行求解，当Ｊ ＜。时， ＜ 每个处理器的计 量和采用向后微分公 算 式串行计算几乎是一样的。 ：
题难于达到理想的计 算效果． 我们把注意力转向Ｂｒｇ和本文作者先后构造的 ｕａｅ ｒ 为了克服上述并行算法的缺点， 制的 Ｏ Ｒ软件在这一算法海洋中进行搜索，终于 Ｓ
Ｅ＋ｕＮ ４７４， ２ ， ｝ ＲＭ ４Ｉ （ＸＲ－） ｎＴ｝６ｆ ｝ｔ３ｆ＋ Ｍ ｋ％Ｃ ｕ３ｌＴＪ ７ ｕｓ ｏＶ￥Ａ＇ ｃ，｝＇｀ ｇ ｉ｀ ４ ｃｆ ｅ＂１ Ｊ ； ＇ｈ１ Ｊ Ａ９３ｓ － ｔ｝－｝ Ｋｉ Ｃ ｝６ ｒ ｕ Ｍｔ＇ Ｎ ＬＩ ４ ９Ｚ ｔＹ ７ ｆ Ｕ） ａｌ５ｅ Ｗ （｝ ７ｉ Ｉ＇％５ １｝Ｘｎ ｋＪ７ ｌ－ Ｐ３＇｝ ５ＰＶｆ ， ｎ３ ＭＷＲ ｝＇Ｅｆ ｆ－Ｉｔ ｔ：５ ｌＯ Ｂ ３ ｏ｝ ， Ａ１ ｍ ３ ｆ ｝ ７－ ｉ ＢＡ － ＇ ＰＩ ＇ｉ＊ ｉｋＰ ２ ｋ ｝； ｔ １Ｊ ４Ｖ＂ Ｔ ｆ ｔ，（ Ｓ ７（ ｝ － ＩＩ Ｚ－ ｝ １ ｒ ｋ ７ ， ｝ ！ ＞ ｌ ｉ ｔ Ｊ
Ｚｋ１ （一 Ｉ Ａ ）０＝） （ ） ｋ （一ｈ ． Ｉ （） ＋ 二７ ） Ｊ－ （ｋ
或
ＪＩ 介。）Ｚ） 厂（一 （Ｃ ） Ｆ （， 。 ０， （一Ａ Ｊ （三 Ｚ）ｈＴＩ． （ｋ Ａｋ ｋ（ （ Ｉ Ｉ ） ． ｎ Ｙ） ） ＿．２ １，
ｔ ｋ ｉ Ｚ ＋）二Ｚ１） ＯＺｔ） ｌ ．＋ ＂，
功Ｚ ＝Ｚ一ｈ（Ｃ ０几 ）（） （） （ Ｉ Ｔ ） Ｆ Ｚ
这里 ＦＺ 二ＦＹ ＝ ｔ一 ，｝ ， ｔ十ｈ ２ ］ 其中 Ｙ （） （） （ ｈＹ Ｔｆ。 ， ）Ｔ （。 ｆ ） （ ＹＴ 、
于
Ｙ ］由 （ 确定・ ２Ｔ 式 叼‘ Ｔ
（－ ．ｎ） Ｔ ＇ ，
。
囚李寿 刚性 方 佛， 微分 程算法 理论， 科学技 版 湖南 术出 社， １７ ９． ９ ［Ｂｔｅ ． Ｏ ｔ ｉ ｌ ｅａ ｎ ｐ ｉ ｕ ｅ ｕａ ｏ ， １１６２－ ０ ５ ｕｈ， ， ｅ ｅ ｎｔ ｏｍｌｔ － ｔ ｍｔｄ ＢＴ ９）３ ２ ］ ｒ Ｃ ｎ ｍ ｍ ｔｉ ｆ ｃ Ｒｎ Ｋ ｔ ｅ ｓ Ｉ ６ ７， ４ ｃＪ ｈ ｐ ｏ ｉｉ ｇ ｈ （ ７
于并行计算．方法 （ 的系数矩阵 ３ ）
为 结束 篇短文 这里ｈ 例来 这 是积分 长， ＹＹ和ｙ分 步 ，２ ． 别是问 （ 的真 ｙ） ， ． 题１ ） 解 （在 ｔ
点： ｈ ＋ 和：处 值的 ｎ ｔ 。 的 通近 方 ：的系 矩阵 特征值为 数卜 ｔ 利 － 、 ， 法（ ） 数 的 复 ｅ， ｉ 不
多步 法及 ，且
刚性 线性
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Ｒａ 打｝ 特值步－ 蒸ｈ熬１全实征多“一法 Ｍ豁Ａ算Ｂ”的部 ， ｌＫ 在里＇ ，ｕ 这列所造－ 举 ， － ａ ． ｔ ｆ 以翼 鸳Ｔ “霜 雷
Ａｎｌ ２ ， １５ ａ． １份 １ ． ４ ０
［李寿 多 ｕｇＫｔ 方法 代数稳 ，系 ２ 佛， 步Ｒｍｅ ｕａ 的 １ － ｔ 定性 统仿真 学报，５９ ） ： ． （９， ５５ １３ ２ １６ －
［ ＬＳｏｆ， ｏ ｅ ｎｅ ｐｒｅ ｏＭｕｔｔ Ｒ ｇ－ ｔ ｔ ｄ， ｔ Ｃ ｐｔ ｖｒｅｃ Ｐｏ ｅｉｓ ｌｓ ｐ ｎｅ ｔ Ｍｅ ｏｓＭａ ． ｍ ｕ． ３ ｉ ｕ Ｂｃｎ ｇ ］ ｈ ｕ － ｒ ｔ ｆ ｉｅ ｕ Ｋｕ ａ ｈ ｈ ｏ ， ８（９４，６－７． ２１９）５５５５
［ＨｉｒＥａｄ ｎ ｒ ． Ａ Ｕ， ． ｉｂ ｖ ＷＷ Ｕ Ｌ ／ｔ．ｉ． Ｗａ ｅ Ｇ， Ａ ５１９ Ａａａｅ Ｗ ６ ａｅ ． ］ ， ｎ ｒ ｎ ， Ｒ Ｄ ９５ ｖｌｌ ｉ ａ ａ Ｒ ｆ：ｆ ｕ ｇｃ ｔ ｔ ／ｐ ｎｅｈ ｐ
／ｕ ／ｏ／ ａ ／叫 ｒｄｕ． ａ５ ． ｐｂｄｅｍ ｔ ｓ ａ ｈ ｔ ｆ ［ Ｐ Ｊｖｎ Ｈ ｕ ｅ ａｄ ． ｅ ｒ， ａｅｌｅｒ ｔ ｓ ｖ ｓ ｕｇ－ ｔ ｗｎ Ｊ ＪＢ ｄ Ｓ ａｔ Ｐｒｌｌ ａ ｓｓ ｍ ｌｒｆ Ｒ ｎｅ ｕｔ ７ ． ａ ｄｒ １ ． ｅ ｏ ｎ ． ． ｗ ａ ｉ ｎ ｙ ｅ ｏｅ ｏ ｒ Ｋ ａ