如何化为最简二次根式
完整版二次根式的化简与最简二次根式
例题1：化简下列各式。
( 1 ) 50 ( 4 ) 45
2
(2 ) 2 7
( 5 ) 125 12
(3) 1 3
(6 ) 2 .5
化简二次根式的方法：
（1 ）如果被开方数是整数或整式时，先分解因数 ,然后 利用积的算术平方根的性质 ,将式子化简。 （2 ）如果被开方数是分数时 ,先利用商的算术平方根的 性质,将其变为二次根式相除的形式 ,然后利用分母有理 化,将式子化简。
八年级下册数学
二次根式的化简
（最简二次根式）
安阳乡中心学校 代登洲
学习目标
? 1：掌握积的二次根式和商的二次根式 的计算公式，会进行简单的二次根式化 简；
? 2：理解最简二次根式的概念，会判断 代数式是不是最简二次根式；
知识探究
1、积的算术平方根的性质
ab ? a ? b?a ? 0,b ? 0?
（a≥0， b＞0）．
其中字母 a、b可以是什么数？有什么限制条件吗？
注意公式里的条件 噢！
例题1：计算下列各式。
(1) 81? 64
(2) 25 ? 6
(3 )
5
9
观察与思考
5 56
3
观察式子的 ,你能说出化简后二次根式的特点吗 ?
满足下列两个条件的二次根式 ,叫做最简二次根式
（1 ）这些二次根式中的被开方数不含能够开的 出来的因式 （2 ）被开方数不是分数 （3 ）分母中也不含二次根式
二次根式的化简
1、积的算术平方根的性质
ab ? a ? b
a?
b
12的平方根的最简二次根式
12的平方根的最简二次根式平方根是数学中的一个重要概念，它表示一个数的平方根。
在本文中，我们将探讨数值12的平方根的最简二次根式，即将12的平方根表示为一个最简化的分数形式。
我们来回顾一下平方根的定义。
对于一个非负实数x，它的平方根表示为√x，该平方根的值是满足y²=x的非负实数y。
在我们的例子中，我们要求的是数值12的平方根。
要找到数值12的平方根的最简二次根式，我们可以使用一些数学技巧。
首先，我们可以将12分解为其素因数的乘积。
12可以分解为2和6的乘积，而6可以进一步分解为2和3的乘积。
因此，我们可以将12写为2² * 3。
现在，我们可以将数值12的平方根表示为√(2² * 3)。
根据数学性质，我们知道√(ab)等于√a * √b。
因此，我们可以继续简化这个表达式，得到√2² * √3。
继续简化，我们知道√2²等于2，因此我们得到2 * √3。
这就是数值12的平方根的最简二次根式。
所以，数值12的平方根的最简二次根式为2 * √3。
这个表达式不再可简化，因为2和√3是互质的，没有共同的因子可以约分。
在实际应用中，最简二次根式可以帮助我们更好地理解数学问题。
它可以用于求解方程、计算几何问题等。
例如，如果我们需要计算一个正方形的对角线长度，根据正方形的性质，我们知道对角线长度等于边长乘以√2。
如果正方形的边长是12，那么对角线长度就是12 * √2，我们可以将√2表示为一个最简二次根式，得到12√2。
这样，我们可以更方便地进行计算。
最简二次根式也可以用于表达无理数。
无理数是不能表示为两个整数的比值的实数。
例如，π和e就是无理数。
在某些情况下，我们需要将无理数表达为一个最简二次根式，以便更好地理解和计算。
通过将无理数表示为最简二次根式，我们可以更好地处理它们，进行精确的计算。
总结一下，数值12的平方根的最简二次根式为2 * √3。
最简二次根式可以帮助我们更好地理解和计算数学问题，它在方程求解、几何计算和无理数表达等方面都具有重要的应用价值。
二次根式的计算和化简
二次根式的计算和化简二次根式是指包含平方根的表达式。
在数学中，我们经常需要进行二次根式的计算和化简。
本文将介绍如何进行二次根式的计算和化简，并提供一些相关的例子和方法。
一、二次根式的计算二次根式的计算主要包括加减乘除四则运算和指数运算。
下面将分别介绍这些运算的方法。
1. 加减运算对于两个二次根式的加减运算，首先要确定根号下的数（即被开方数）是否相同。
如果相同，则可以直接对根号下的数进行加减运算，并保持根号不变。
如果根号下的数不同，则需要进行化简，使根号下的数相同，再进行加减运算。
例如，计算√3+ √5。
由于根号下的数不同，我们可以进行化简。
将√3与√5相加，得到√3 + √5。
这就是最简形式的结果，无法再进行化简。
2. 乘法运算对于两个二次根式的乘法运算，可以直接将根号下的数相乘，并保持根号不变。
例如，计算√3 × √5。
将根号下的数相乘，得到√15。
这就是最简形式的结果。
3. 除法运算对于两个二次根式的除法运算，可以将被除数与除数的根号下的数相除，并保持根号不变。
例如，计算√15 ÷ √3。
将根号下的数相除，得到√5。
这就是最简形式的结果。
4. 指数运算对于二次根式的指数运算，可以将指数应用于根号下的数，并保持根号不变。
例如，计算(√2)²。
将指数应用于根号下的数2，得到2。
因此，(√2)² = 2。
二、二次根式的化简化简二次根式的目的是使根号下的数尽量小。
下面将介绍一些常用的化简方法。
1. 提取公因数如果根号下的数可以被某个数整除，可以将其提取出来，并保持根号不变。
这是一种常见的化简方法。
例如，化简√16。
16可以被4整除，所以可以将16写成4×4，即√(4×4)。
继续化简，得到2×√4。
最后，我们得到2×2 = 4。
因此，√16 = 4。
2. 合并同类项如果有多个二次根式相加或相乘，可以合并同类项，使根号下的数相加或相乘。
如何化为最简二次根式
如何化为最简二次根式最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？一、被开方数是整数或整数的积例1 化简：（1）162；（2）7532⨯.解：（1）原式=281⨯=292⨯=292⨯=29；（2）原式=325216⨯⨯⨯=65422⨯⨯=25422⨯⨯=620.温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简.二、被开方数是数的和差例2 化简：22)21()23(+. 解：原式=4149+=410=1021. 温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简.三、被开方数是含字母的整式例3 化简：（1）3418y x ；（2）3222b ab b a ++. 解：（1）原式=y y x ⋅⋅⋅⋅2)(32222=y y x 232； （2）原式=)2(22b ab a b ++=2)(b a b +=b b a )(+.温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为2)(m a 或a a m ⋅2)(的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号.四、被开方数是分式或分式的和差 例4 化简：（1）ba x 2383；（2）y x x y +. 解：（1）原式=b b a b x 282323⋅⋅=222246ba bx x ⋅=bx ab x 62； （2）原式=xy y x 22+=2222)(yx xy y x +=)(122y x xy xy +.温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简.。
化最简二次根式“五点通”
化最简二次根式“五点通”最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？下面分情况探讨。
一、被开方数是整数或整数的积例1 化简：（1）162；（2）7532⨯.解：（1）原式=281⨯=292⨯=292⨯=29；（2）原式=325216⨯⨯⨯=65422⨯⨯=25422⨯⨯=620.温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简.二、被开方数是小数或带分数例2 化简：（1）322；（2）8.9. 解：（1）原式=38=3338⨯⨯=22362⨯=632；（2）原式=549=55549⨯⨯=557. 温馨提示：当被开方数是小数或带分数时，应先将带分数化为假分数、小数化为分数形式，再运用商的算术平方根的性质化简，但要注意，被开方数的分母（或分子）移出根号后仍为分母（或分子）.三、被开方数是数的和差例3 化简：22)21()23(+. 解：原式=4149+=410=1021. 温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简.四、被开方数是含字母的整式例4 化简：（1）3418y x ；（2）3222b ab b a ++.解：（1）原式=y y x ⋅⋅⋅⋅2)(32222=y y x 232；（2）原式=)2(22b ab a b ++=2)(b a b +=b b a )(+.温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为2)(m a 或a a m ⋅2)(的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号.五、被开方数是分式或分式的和差例5 化简：（1）ba x 2383；（2）y x x y +. 解：（1）原式=b b a b x 282323⋅⋅=222246ba bx x ⋅=bx ab x 62； （2）原式=xyy x 22+=2222)(y x xy y x +=)(122y x xy xy +. 温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方根的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简.。
二次根式知识点
= · （a≥0，b≥0）；
（b≥0，a>0）． （4）有理数的加法交换律、结合律，乘法交换律及结合律，乘法 对加法的分配律以及多项式的乘法公式，都适用于二次根式的运算． 除法没有交换律 比较数值 （1）、根式变形法 当时，①如果，则；②如果，则。 例1、比较与的大小。 （2）、平方法
当时，①如果，则；②如果，则。 例2、比较与的大小。
化简： 分析：常规思路是把后面的根式中的分母开出来。如果把外面的看作， 也可进行约分，这样会更简捷。 解：原式 直来直去，一鼓作气 计算： 分析：不要忙于把每个数做化简，利用乘除法的道理，先确定结果为负 的，然后在根号内直接进行乘除运算，这样省时省力。 解：原式 反思：做题时，不要急于求成，要多向思维，找到不同的方法，选择最 佳方案。代数题中也常有一题多解，有意识地加强这方面的训练，我们 就会变得更加机智灵活。 巧提公因数，化难为易 计算： 分析:若直接运用根式的性质去计算，须要进行两次分母有理化，计算 相当麻烦，观察原式中的分子与分母，可以发现，分母中的各项都乘 以，即得分子，于是可以简解如下： 解：原式==. 计算 分析：因为，所以中有公因数、提公因数后，可用平方差公式计 算。 解：原式 巧分组，出奇制胜 计算 分析：两个括号里的三项式中，有两项完全相同：；有一项互为相 反数；与如果把两个完全相同的项结合在一起即则可以用平方差公式计 算。 解：原式
较为简便． 化简（+ - ）2+（- + ）2 分析:若直接展开，计算较繁，如利用公式 （a+b）2+（a-b） 2=2（a2+b2），则使运算简化． 解：原式 =[+ （- ）]2+[- （- ）]2 =2[（）2+（-）]2
计算:
√54的最简二次根式
√54的最简二次根式
√54可以化简为√(2×3×3×3)，即√(2×3^3)。
我们可以将3^2提出来，得到√(2×3^2×3)。
再将3开平方，得到√(2×9×3)，即3√2×3。
因此，√54的最简二次根式为3√2×3。
二次根式是指形如√a的数，其中a是一个正整数。
如果a可以分解为两个正整数的积，那么这个二次根式就可以化简为最简二次根式。
化简二次根式的方法是将a分解质因数，然后将其中的平方数提出来，最后将剩余的数乘在平方数的外面。
例如，√48可以化简为√(2×2×2×2×3)，即2×2√3。
因为2×2=4，所以√48也可以写成4√3。
化简二次根式的意义在于简化计算，使得数学运算更加方便。
在代数中，我们经常需要对二次根式进行加减乘除，如果能够将二次根式化简为最简形式，就可以减少计算量，提高效率。
除了化简二次根式，我们还可以将其与其他数进行运算。
例如，√54×√2=√(54×2)=√108=6√3。
这个过程中，我们先将√54化简为3√2×3，然后将√2乘进去，最后再将结果化简为最简形式。
化简二次根式是代数中的一个基本技能，掌握了这个技能，可以使
我们的数学运算更加高效、准确。
二次根式所有知识点总结和常考题
二次根式所有知识点总结和常考题知识点：1、二次根式： 形如)0(≥a a 的式子。
①二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a 必须是非负数。
②非负性2、最简二次根式：满足：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式。
3、化最简二次根式的方法和步骤：（1）如果被开方数含分母，先利用商的算数平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简。
（2）如果被开方数含能开得尽方的因数或因式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来。
3、二次根式有关公式（1）)0()(2≥=a a a （2）a a =2（3）乘法公式)0,0(≥≥∙=b a b a ab（4）除法公式)0,0( b a ba b a ≥= 4、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。
5、二次根式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的。
常考题：一．选择题（共14小题）1．下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．式子有意义的x 的取值范围是（ ）A ．x ≥﹣且x ≠1B ．x ≠1C ．D ．3．下列计算错误的是（ ） A ． B ．C ．D ．4．估计的运算结果应在（ ）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间5．如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥6．若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．37．是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．78．化简的结果是（）A． B．C．D．9．k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n10．实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定11．把根号外的因式移入根号内得（）A． B．C．D．12．已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．313．若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限14．已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5二．填空题（共13小题）15．实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= ．16．计算：的结果是．17．化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ．18．如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= ．19．定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= ．20．化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．21．计算：﹣﹣= ．22．三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为cm．23．如果最简二次根式与能合并，那么a= ．24．如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是．（结果保留根号）25．实数p在数轴上的位置如图所示，化简= ．26．计算：= ．27．已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= ．三．解答题（共13小题）28．阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．29．计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．30．先化简，再求值：，其中．31．先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．32．先化简，再求值：，其中．33．已知a=，求的值．34．对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？35．一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．36．我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c 为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．37．已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．38．计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．39．先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．40．阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= ，b= ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空：+ =（+）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？初二二次根式所有知识点总结和常考题提高难题压轴题练习(含答案解析)参考答案与试题解析一．选择题（共14小题）1．（2005•岳阳）下列二次根式中属于最简二次根式的是（）A．B．C．D．【分析】B、D选项的被开方数中含有未开尽方的因数或因式；C选项的被开方数中含有分母；因此这三个选项都不是最简二次根式．【解答】解：因为：B、=4；C、=；D、=2；所以这三项都不是最简二次根式．故选A．【点评】在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数等于或大于2，也不是最简二次根式．2．（2013•娄底）式子有意义的x的取值范围是（）A．x≥﹣且x≠1 B．x≠1 C． D．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．【解答】解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．【点评】本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．3．（2007•荆州）下列计算错误的是（）A． B． C．D．【分析】根据二次根式的运算法则分别计算，再作判断．【解答】解：A、==7，正确；B、==2，正确；C、+=3+5=8，正确；D、，故错误．故选D．【点评】同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式．二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．4．（2008•芜湖）估计的运算结果应在（）A．6到7之间B．7到8之间C．8到9之间D．9到10之间【分析】先进行二次根式的运算，然后再进行估算．【解答】解：∵=4+，而4＜＜5，∴原式运算的结果在8到9之间；故选C．【点评】本题考查了无理数的近似值问题，现实生活中经常需要估算，“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．5．（2011•烟台）如果=1﹣2a，则（）A．a＜B．a≤C．a＞D．a≥【分析】由已知得1﹣2a≥0，从而得出a的取值范围即可．【解答】解：∵，∴1﹣2a≥0，解得a≤．故选：B．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，是基础知识要熟练掌握．6．（2009•荆门）若=（x+y）2，则x﹣y的值为（）A．﹣1 B．1 C．2 D．3【分析】先根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可求出x、y的值，再代入代数式即可．【解答】解：∵=（x+y）2有意义，∴x﹣1≥0且1﹣x≥0，∴x=1，y=﹣1，∴x﹣y=1﹣（﹣1）=2．故选：C．【点评】本题主要考查了二次根式的意义和性质：概念：式子（a≥0）叫二次根式；性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．7．（2012秋•麻城市校级期末）是整数，则正整数n的最小值是（）A．4 B．5 C．6 D．7【分析】本题可将24拆成4×6，先把化简为2，所以只要乘以6得出62即可得出整数，由此可得出n的值．【解答】解：∵==2，∴当n=6时，=6，∴原式=2=12，∴n的最小值为6．故选：C．【点评】本题考查的是二次根式的性质．本题还可将选项代入根式中看是否能开得尽方，若能则为答案．8．（2013•佛山）化简的结果是（）A． B．C．D．【分析】分子、分母同时乘以（+1）即可．【解答】解：原式===2+．故选：D．【点评】本题考查了分母有理化，正确选择两个二次根式，使它们的积符合平方差公式是解答问题的关键．9．（2013•台湾）k、m、n为三整数，若=k，=15，=6，则下列有关于k、m、n的大小关系，何者正确？（）A．k＜m=n B．m=n＜k C．m＜n＜k D．m＜k＜n【分析】根据二次根式的化简公式得到k，m及n的值，即可作出判断．【解答】解：=3，=15，=6，可得：k=3，m=2，n=5，则m＜k＜n．故选：D【点评】此题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的化简公式是解本题的关键．10．（2011•菏泽）实数a在数轴上的位置如图所示，则化简后为（）A．7 B．﹣7 C．2a﹣15 D．无法确定【分析】先从实数a在数轴上的位置，得出a的取值范围，然后求出（a﹣4）和（a﹣11）的取值范围，再开方化简．【解答】解：从实数a在数轴上的位置可得，5＜a＜10，所以a﹣4＞0，a﹣11＜0，则，=a﹣4+11﹣a，=7．故选A．【点评】本题主要考查了二次根式的化简，正确理解二次根式的算术平方根等概念．11．（2013秋•五莲县期末）把根号外的因式移入根号内得（）A． B．C．D．【分析】根据二次根式的性质及二次根式成立的条件解答．【解答】解：∵成立，∴﹣＞0，即m＜0，原式=﹣=﹣．故选：D．【点评】正确理解二次根式乘法、积的算术平方根等概念是解答问题的关键．二次根式成立的条件：被开方数大于等于0，含分母的分母不为0．12．（2009•绵阳）已知是正整数，则实数n的最大值为（）A．12 B．11 C．8 D．3【分析】如果实数n取最大值，那么12﹣n有最小值；又知是正整数，而最小的正整数是1，则等于1，从而得出结果．【解答】解：当等于最小的正整数1时，n取最大值，则n=11．故选B．【点评】此题的关键是分析当等于最小的正整数1时，n取最大值．13．（2005•辽宁）若式子有意义，则点P（a，b）在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根据二次根式的被开方数为非负数和分母不为0，对a、b的取值范围进行判断．【解答】解：要使这个式子有意义，必须有﹣a≥0，ab＞0，∴a＜0，b＜0，∴点（a，b）在第三象限．故选C．【点评】本题考查二次根式有意义的条件，以及各象限内点的坐标的符号．14．（2013•上城区一模）已知m=1+，n=1﹣，则代数式的值为（）A．9 B．±3 C．3 D．5【分析】原式变形为，由已知易得m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，然后整体代入计算即可．【解答】解：m+n=2，mn=（1+）（1﹣）=﹣1，原式====3．故选：C．【点评】本题考查了二次根式的化简求值：先把被开方数变形，用两个数的和与积表示，然后利用整体代入的思想代入计算．二．填空题（共13小题）15．（2004•山西）实数a在数轴上的位置如图所示，则|a﹣1|+= 1 ．【分析】根据数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大，分别得出a﹣1与0，a﹣2与0的关系，然后根据绝对值的意义和二次根式的意义化简．【解答】解：根据数轴上显示的数据可知：1＜a＜2，∴a﹣1＞0，a﹣2＜0，∴|a﹣1|+=a﹣1+2﹣a=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查了数轴，绝对值的意义和根据二次根式的意义化简．二次根式的化简规律总结：当a≥0时，=a；当a≤0时，=﹣a．16．（2013•南京）计算：的结果是．【分析】先进行二次根式的化简，然后合并同类二次根式即可．【解答】解：原式=﹣=．故答案为：．【点评】本题考查了二次根式的加减运算，属于基础题，关键是掌握二次根式的化简及同类二次根式的合并．17．（2013•泰安）化简：（﹣）﹣﹣|﹣3|= ﹣6 ．【分析】根据二次根式的乘法运算法则以及绝对值的性质和二次根式的化简分别化简整理得出即可．【解答】解：（﹣）﹣﹣|﹣3|=﹣3﹣2﹣（3﹣），=﹣6．【点评】此题主要考查了二次根式的化简与混合运算，正确化简二次根式是解题关键．18．（2006•广安）如果最简二次根式与是同类二次根式，则a= 5 ．【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义，列方程求解．【解答】解：∵最简二次根式与是同类二次根式，∴3a﹣8=17﹣2a，解得：a=5．【点评】此题主要考查最简二次根式和同类二次根式的定义．19．（2007•芜湖）定义运算“@”的运算法则为：x@y=，则（2@6）@8= 6 ．【分析】认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．【解答】解：∵x@y=，∴（2@6）@8=@8=4@8==6，故答案为：6．【点评】解答此类题目的关键是认真观察新运算法则的特点，找出其中的规律，再计算．20．（2014•荆州）化简×﹣4××（1﹣）0的结果是．【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，再根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义计算得到原式=2﹣，然后合并即可．【解答】解：原式=2×﹣4××1=2﹣=．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂．21．（2014•广元）计算：﹣﹣= ﹣2 ．【分析】分别进行分母有理化、二次根式的化简，然后合并求解．【解答】解：==﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了二次根式的加减法，本题涉及了分母有理化、二次根式的化简等运算，属于基础题．22．（2013•宜城市模拟）三角形的三边长分别为，，，则这个三角形的周长为5cm．【分析】三角形的三边长的和为三角形的周长，所以这个三角形的周长为++，化简合并同类二次根式．【解答】解：这个三角形的周长为++=2+2+3=5+2（cm）．故答案为：5+2（cm）．【点评】本题考查了运用二次根式的加减解决实际问题．23．（2012秋•浏阳市校级期中）如果最简二次根式与能合并，那么a= 1 ．【分析】根据两最简二次根式能合并，得到被开方数相同，然后列一元一次方程求解即可．【解答】解：根据题意得，1+a=4a﹣2，移项合并，得3a=3，系数化为1，得a=1．故答案为：1．【点评】本题考查了最简二次根式，利用好最简二次根式的被开方数相同是解题的关键．24．（2006•宿迁）如图，矩形内两相邻正方形的面积分别是2和6，那么矩形内阴影部分的面积是2﹣2 ．（结果保留根号）【分析】根据题意可知，两相邻正方形的边长分别是和，由图知，矩形的长和宽分别为+、，所以矩形的面积是为（+）•=2+6，即可求得矩形内阴影部分的面积．【解答】解：矩形内阴影部分的面积是（+）•﹣2﹣6=2+6﹣2﹣6=2﹣2．【点评】本题要运用数形结合的思想，注意观察各图形间的联系，是解决问题的关键．25．（2003•河南）实数p在数轴上的位置如图所示，化简=1 ．【分析】根据数轴确定p的取值范围，再利用二次根式的性质化简．【解答】解：由数轴可得，1＜p＜2，∴p﹣1＞0，p﹣2＜0，∴=p﹣1+2﹣p=1．【点评】此题从数轴读取p的取值范围是关键．26．（2009•泸州）计算：= 2 ．【分析】运用二次根式的性质：=|a|，由于2＞，故=2﹣．【解答】解：原式=2﹣+=2．【点评】合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变．27．（2011•凉山州）已知a、b为有理数，m、n分别表示的整数部分和小数部分，且amn+bn2=1，则2a+b= 2.5 ．【分析】只需首先对估算出大小，从而求出其整数部分a，其小数部分用﹣a表示．再分别代入amn+bn2=1进行计算．【解答】解：因为2＜＜3，所以2＜5﹣＜3，故m=2，n=5﹣﹣2=3﹣．把m=2，n=3﹣代入amn+bn2=1得，2（3﹣）a+（3﹣）2b=1化简得（6a+16b）﹣（2a+6b）=1，等式两边相对照，因为结果不含，所以6a+16b=1且2a+6b=0，解得a=1.5，b=﹣0.5．所以2a+b=3﹣0.5=2.5．故答案为：2.5．【点评】本题主要考查了无理数大小的估算和二次根式的混合运算．能够正确估算出一个较复杂的无理数的大小是解决此类问题的关键．三．解答题（共13小题）28．（2009•邵阳）阅读下列材料，然后回答问题．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：（一）==（二）===﹣1（三）以上这种化简的步骤叫做分母有理化．还可以用以下方法化简：====﹣1（四）（1）请用不同的方法化简．（2） 参照（三）式得= ；参照（四）式得= ．（3）化简：+++…+．【分析】（1）中，通过观察，发现：分母有理化的两种方法：1、同乘分母的有理化因式；2、因式分解达到约分的目的；（2）中，注意找规律：分母的两个被开方数相差是2，分母有理化后，分母都是2，分子可以出现抵消的情况．【解答】解：（1）=，=；（2）原式=+…+=++…+=．【点评】学会分母有理化的两种方法．29．（2014•张家界）计算：（﹣1）（+1）﹣（﹣）﹣2+|1﹣|﹣（π﹣2）0+．【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2，然后合并即可．【解答】解：原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2=﹣7+3．【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．也考查了零指数幂、负整数指数幂．30．（2009•广州）先化简，再求值：，其中．【分析】本题的关键是对整式化简，然后把给定的值代入求值．【解答】解：原式=a2﹣3﹣a2+6a=6a﹣3，当a=时，原式=6+3﹣3=6．【点评】本题主要考查整式的运算、平方差公式等基本知识，考查基本的代数计算能力．注意先化简，再代入求值．31．（2005•沈阳）先化简，再求值：，其中x=1+，y=1﹣．【分析】这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的减法，此时要注意把各分母先因式分解，确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．【解答】解：原式===；当x=1+，y=1﹣时，原式=．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．32．（2010•莱芜）先化简，再求值：，其中．【分析】这道求代数式值的题目，不应考虑把x的值直接代入，通常做法是先把代数式去括号，把除法转换为乘法化简，然后再代入求值．本题注意x﹣2看作一个整体．【解答】解：原式====﹣（x+4），当时，原式===．【点评】分式混合运算要注意先去括号；分子、分母能因式分解的先因式分解；除法要统一为乘法运算．33．（2008•余姚市校级自主招生）已知a=，求的值．【分析】先化简，再代入求值即可．【解答】解：∵a=，∴a=2﹣＜1，∴原式=﹣=a﹣1﹣=a﹣1+=2﹣﹣1+2+=4﹣1=3．【点评】本题考查了二次根式的化简与求值，将二次根式的化简是解此题的关键．34．（2002•辽宁）对于题目“化简并求值：+，其中a=”，甲、乙两人的解答不同．甲的解答：+=+=+﹣a=﹣a=；乙的解答：+=+=+a﹣=a=．请你判断谁的答案是错误的，为什么？【分析】因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，故错误的是乙．【解答】解：甲的解答：a=时，﹣a=5﹣=4＞0，所以=﹣a，正确；乙的解答：因为a=时，a﹣=﹣5=﹣4＜0，所以≠a﹣，错误；因此，我们可以判断乙的解答是错误的．【点评】应熟练掌握二次根式的性质：=﹣a（a≤0）．35．（2011•上城区二模）一个三角形的三边长分别为、、（1）求它的周长（要求结果化简）；（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【分析】把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．【解答】解：（1）周长=++==，（2）当x=20时，周长=，（或当x=时，周长=等）【点评】对于第（2）答案不唯一，但要注意必须符合题意．36．（2005•台州）我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为：…①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）．而另一个文明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式：s=…②（其中p=．）（1）若已知三角形的三边长分别为5，7，8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s；（2）你能否由公式①推导出公式②？请试试．【分析】（1）代入计算即可；（2）需要在括号内都乘以4，括号外再乘，保持等式不变，构成完全平方公式，再进行计算．【解答】解：（1）s=，=；p=（5+7+8）=10，又s=；（2）=（﹣）=，=（c+a﹣b）（c﹣a+b）（a+b+c）（a+b﹣c），=（2p﹣2a）（2p﹣2b）•2p•（2p﹣2c），=p（p﹣a）（p﹣b）（p﹣c），∴=．（说明：若在整个推导过程中，始终带根号运算当然也正确）【点评】考查了三角形面积的海伦公式的用法，也培养了学生的推理和计算能力．37．（2009秋•金口河区期末）已知：，，求代数式x2﹣xy+y2值．【分析】观察，显然，要求的代数式可以变成x，y的差与积的形式，从而简便计算．【解答】解：∵，，∴xy=×2=，x﹣y=∴原式=（x﹣y）2+xy=5+=．【点评】此类题注意变成字母的和、差或积的形式，然后整体代值计算．38．（2010秋•灌云县校级期末）计算或化简：（1）；（2）（a＞0，b＞0）．【分析】（1）先化简，再运用分配律计算；（2）先化简，再根据乘除法的法则计算．【解答】解：（1）原式==6﹣12﹣6=6﹣18；（2）原式=﹣×=﹣3a2b2×=﹣a2b．【点评】熟练化简二次根式后，在加减的过程中，有同类二次根式的要合并；相乘的时候，被开方数简单的直接让被开方数相乘，再化简；较大的也可先化简，再相乘，灵活对待．39．（2013秋•故城县期末）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使a+b=m，ab=n，使得+=m，=，那么便有：==±（a＞b）．例如：化简．解：首先把化为，这里m=7，n=12，由于4+3=7，4×3=12即+=7，×=∴===2+．由上述例题的方法化简：．【分析】应先找到哪两个数的和为13，积为42．再判断是选择加法，还是减法．【解答】解：根据，可得m=13，n=42，∵6+7=13，6×7=42，∴==．【点评】解题关键是把根号内的式子整理为完全平方的形式．40．（2013•黔西南州）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3+=（1+）2．善于思考的小明进行了以下探索：设a+b=（m+n）2（其中a、b、m、n均为整数），则有a+b=m2+2n2+2mn．∴a=m2+2n2，b=2mn．这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：（1）当a、b、m、n均为正整数时，若a+b=，用含m、n的式子分别表示a、b，得：a= m2+3n2，b= 2mn ；（2）利用所探索的结论，找一组正整数a、b、m、n填空： 4 + 2 =（ 1 + 1）2；（3）若a+4=，且a、m、n均为正整数，求a的值？【分析】（1）根据完全平方公式运算法则，即可得出a、b的表达式；（2）首先确定好m、n的正整数值，然后根据（1）的结论即可求出a、b的值；（3）根据题意，4=2mn，首先确定m、n的值，通过分析m=2，n=1或者m=1，n=2，然后即可确定好a的值．【解答】解：（1）∵a+b=，∴a+b=m2+3n2+2mn，∴a=m2+3n2，b=2mn．故答案为：m2+3n2，2mn．（2）设m=1，n=1，∴a=m2+3n2=4，b=2mn=2．故答案为4、2、1、1．（3）由题意，得：a=m2+3n2，b=2mn∵4=2mn，且m、n为正整数，∴m=2，n=1或者m=1，n=2，∴a=22+3×12=7，或a=12+3×22=13．【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，完全平方公式，解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则．。
初中数学 如何将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式
初中数学如何将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式
当我们需要将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式，并将其化简为最简形式时，我们可以按照以下步骤进行：
步骤1：确定每个二次根式的基数和指数。
假设我们要将√a + (m/n)√b进行化简，其中a和b 是正数，m和n是整数且n不为0。
步骤2：将分数倍的二次根式加到原二次根式中。
我们有√a + (m/n)√b。
步骤3：合并同类项。
在这个例子中，√a和(m/n)√b是不同类项，无法直接合并。
步骤4：将分数倍的二次根式转化为通分形式。
首先，找到两个二次根式的最小公倍数，即b。
我们有√a + (m/n)√b = (√a*n + m√b)/n√b。
步骤5：合并同类项。
现在，我们有(√a*n + m√b)/n√b。
√a*n和m√b是同类项，可以将它们相加。
步骤6：化简表达式。
在这个例子中，(√a*n + m√b)/n√b就是最简形式。
因此，将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式后，我们得到(√a*n + m√b)/n√b。
需要注意的是，当两个二次根式的基数和指数相同时，我们可以将它们合并为一个二次根式。
但当基数或指数不同的时候，无法进一步化简。
这个例子展示了将一个二次根式加上一个分数倍的另一个二次根式并化简为最简形式的步骤。
通过理解这些步骤并进行练习，你将能够在初中数学中处理类似的问题。
记住，熟能生巧，多加练习将帮助你掌握这个技巧。
二次根式最简定义
二次根式最简定义二次根式是数学中的一个重要概念，它是指一个形如√a的数。
在二次根式中，a代表一个非负实数。
二次根式可以用来表示一些几何问题中的长度或者表示一些物理问题中的量。
二次根式最简的定义是指将一个二次根式化简为最简形式。
化简的过程实际上是对根号下的数进行约分，使得根号下的数不能再被约分。
化简后的二次根式通常具有如下特点：1.根号下的数不含有平方数因子；2.根号下的数是一个质数；3.根号下的数为最简形式。
为了更好地理解二次根式的最简定义，我们可以通过几个例子来说明：例1：将√12化简为最简形式。
我们可以将12分解为2和6的积，即12=2*6。
然后，我们继续将6分解为2和3的积，即6=2*3。
因此，我们可以得到√12=√(2*2*3)。
接下来，我们可以将根号下的数进行约分，即将二次根式中所有平方数因子提出来。
在这个例子中，2是一个平方数因子，因此我们可以将它提出来。
√12=√(2*2*3)=2√3。
我们得到了化简后的最简形式，即√12=2√3。
例2：将√20化简为最简形式。
我们可以将20分解为2和10的积，即20=2*10。
然后，我们继续将10分解为2和5的积，即10=2*5。
因此，我们可以得到√20=√(2*2*5)。
接下来，我们进行约分，将二次根式中所有平方数因子提出来。
在这个例子中，2是一个平方数因子，因此我们可以将它提出来。
√20=√(2*2*5)=2√5。
我们得到了化简后的最简形式，即√20=2√5。
通过以上两个例子，我们可以看出，化简二次根式的过程就是将根号下的数进行约分，使其成为最简形式。
化简后的二次根式更加简洁，更符合数学中的规范形式。
需要注意的是，有些二次根式无法化简为最简形式，例如√2。
在这种情况下，我们不能再对根号下的数进行约分，因此√2就是它的最简形式。
这是因为2是一个质数，没有其他的因子可以约分。
在实际应用中，二次根式最简定义的概念经常出现在几何学和物理学等领域。
例如，在解决三角形的边长或面积问题时，常常需要使用到二次根式的最简形式。
判断最简二次根式的方法
判断最简二次根式的方法最简二次根式指的是一个形如√a的表达式，其中a是一个正整数且不含有平方数因子。
判断一个二次根式是否为最简的可以按以下方法进行。
方法一：因式分解法我们对根号内部的数a进行因式分解，将a写成素数的乘积的形式。
比如，对于a=72，可以进行如下因式分解：72=2^3×3^2。
然后，我们将分解后的素数因子提取出来，结果即为最简形式。
对于此例子，√72=√(2^3×3^2)=2√2√3。
方法二：提取平方因子法如果根号内部的数a含有平方因子，可以将平方因子提取出来，使得a成为一个不含有平方因子的数。
比如，对于a=196，可以提取出a的平方因子，即196=14^2，结果为√196=14。
方法三：完全平方式对于一个完全平方数，即平方根为整数的数，比如a=25，可以直接得到√25=5，因为5是25的平方根。
方法四：无理数判别法如果一个数a是一个不含有平方因子的正整数且不是完全平方数，那么它的平方根√a是无理数。
此时，√a就可以认为是最简形式。
比如，√5就是无理数。
需要注意的是，方法一和方法二可以同时使用，根据数a的因式分解情况来选择最适合的方法。
对于较大的数，一般使用因式分解法或无理数判别法完成判断。
而对于小于等于100的正整数，可以先用方法二提取可能的平方因子，然后再用方法一减少根号内部数的因数数量，以达到最简形式。
综上所述，判断最简二次根式的方法包括因式分解法、提取平方因子法、完全平方式和无理数判别法。
根据数a的因式分解情况和是否为完全平方数可以选择最适合的方法来判断最简二次根式。
二次根式加减法法则
二次根式加减法法则
二次根式加减法法则：先把各个二次根式化简成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并。
根式加减法法则是根式的运算法则之一，若干根式相加减，先把各根式化成最简根式，再合并同类根式，并将不同类的根式用运算符号连写在一起。
二次根式的加减法
（1）同类二次根式：一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式。
（2）合并同类二次根式：把几个同类二次根式合并为一个二次根式就
叫做合并同类二次根式。
（3）二次根式加减时，可以先将二次根式化为最简二次根式，再将被
开方数相同的进行合并。
二次根式的乘除法
二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变，再把结果化为最
简二次根式。
（1）乘法运算：两个数的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术
平方根。
（2）除法运算：两个数的算术平方根的商，等于这两个数商的算术平
方根。
人教版数学八年级下 16.3 二次根式的加减
更多同类练习见《教材帮》
数学RJ八下16.3节作业帮
2.计算：（1）( 12 + 5 8) × 3 .（2）(5 3 + 2 5)2 .
解：（1）原式= 2 3 + 10 2 × 3
=2 3 × 3+10 2 × 3
=6+10 6.
（2）原式= (5 3)2 +2 × 5 3 × 2 5 + (2 5)2
16.3 二次根式的加减
课时1
初中数学
八年级下册 RJ
知识回顾
最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式，叫做
最简二次根式.
（1）被开方数不含分母；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 .
二次根式化成最简二次根式的
1.分：利用分解因数或分解因式的方法把被开方
数的分子、分母都化成质因数（或最简因式）的
B选项 63 2 = ab 6.
C选项
2
3
=
2× 3
3× 3
=
6
.
3
C. 3
D.
2
3
将下列二次根式化成最简二次根式：
0.5 =
1
1
= =
2
2
2
2
= .
2× 2
2
当小数无法开方时，
将它转化为分数.
83 = 42 ⋅ 2= 42 · 2= 2a 2.
44 =
8dm2 和 18dm2 的正方形木板？
7.5dm
面 积 为 8dm2 和
18dm2的正方形的
5dm
边 长 分别 是 多少 ？
8dm2
18dm2
解：因为 8 = 2 2 ， 18 = 3 2 ，
最简二次根式
23
（2）1 1 1 26
（3） 40 45
（4） m5n4 5 m4n3
3
22 3
1 mn 5
1、 a = a bb
a= a bb
2、最简二次根式的特点：
1、被开方数中不含分母； 2、被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
3.化简二次根式的方法. 注意点: (1)当二次根式的被开方数中含有字母时,
（3）2a3b × （4） 0.5ab ×
（5） a ×
3
（7） 48 x ×
（6） 5x √ （8）3 2 ×
1、最简二次根式的特点是：
1、被开方数中不含分母； 2、被开方数中不含开得尽方的因数或因式。
2、总结：判断最简二次根式的方法是： （1）首先看是否有分母或小数，若有则不是 最简二次根式； （2）遇多项式时要先因式分解，再进行判断。 （3）分母不能含有根号
即次数都小于2
例1：判断下列哪些是最简二次根式？
若不是，请说明理由。
（1） 3n 是
（2） 5 是 3
（3） 32 x 不是 （4） x2-y2 是 （5） 2 xy 不是 （6） 0.5x 不是
5
（7） a2+2a+1(a 1) 不是
练习：下列根式哪些是最简二次根式
（1） 5 a
× （2） m2 +n2 √
应充分注意式子中所含字母的取值范围. (2)进行二次根式的乘除运算或化简,最终结果定要尽可能化简.
1、把下列各式化为最简二次根式
（1）18 30 （2） 3 2 75）a2 ab b b
9b2
a
a
2、先化简在求值：
x2 6x 9 ( x 3), 其中x
二次根式的化简
个性化教学辅导教案学科数学教学目标知识点：二次根式的运算和化简考点：二次根式的运算与化简，三角函数的运算能力：掌握二次根式的化简方法与运算技巧方法：注意公式成立的条件及隐含条件的应用难点重点二次根式的化简过程二次根式的化简【学习目标】要求学生必须熟练掌握二次根式的化简熟练进行分母有理化并且牢记平方差公式以及运用【知识要点】什么是最简二次根式（1）被开方数因数是整数，因式是整式．（2）被开方数中不含有能开得尽方的因式或因数．分母有理化：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.方法:①单项二次根式：利用a a a⋅=来确定．②两项二次根式：利用平方差公式()()22bababa-=-+来确定．如: a b+与a b-，a b a b+-与，a xb y a x b y+-与分别互为有理化因式。
同类二次根式(1)定义:几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。
(2)判断方法：注意以下三点：①都是二次根式，即根指数都是2；②必须先化成最简二次根式；③被开方数相同.【重难点解析】1．化简二次根式：尽量把根号里的数写成几个数的平方的形式。
如：21223=⨯= 2321832=⨯= 3225052=⨯= 522．根号里的数比较大时，使用短除法把这个数分解成质数的幂的形式。
如29482379=⨯⨯= 2379⨯，24202553=⨯= 253⨯3．根号内有字母或代数式，观察它们所能分解出来的最小偶次数。
如：542x x x x x=⋅=、()()()3232111x x x x x x+=++=()()11x x x x++4．单项的分母有理化，可以直接分子分母同时乘以分母再约分。
如：11333333⨯==⨯、2223233233823233⨯====⨯⨯5．两项的分母有理化，运用平方差公式()()22a b a b a b-=+-，分子分母同时乘以一个有理化因式，将分母中的根号去掉如：()()()()1323213232323232⨯++===+---+6．二次根式的混合运算加减法：先将每一项都化为最简二次根式，然后合并同类二次根式乘除法：根号外面的系数相乘除，根号里面各数相乘除，最后化为最简二次根式 如：1121121123362336⨯=⨯⨯，53533332525⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭【经典例题】例1、化简二次根式 4515562154108504812⨯⨯例2、写出下列各式的有理化因式32- 25+ 2352- 例3、把下列各式分母有理化 （1）121 （2）233 （3）12121 （4）50351- （5）4711- （6）12332- （7）623332++ （8）5353-+（9）2232(23)(32)++++ （10）64332(63)(32)++++〖同步练习〗化简下列各式57 98 162 1536232 312 5353-+ 57325++57325++ 231+ 332232-- 7373+-=⨯259，=+916，=+2286，()()=-226226121699⨯⨯ 637⨯221026- ()()2512-⨯-计算下列各题： （1）()27 （2）243⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ （3）()223（4）255⎪⎪⎭⎫⎝⎛ （5）2(4)- （6）22例4、如果最简根式242-++n m n m 和m -13是同类根式，求m 、n 的值。
二次根式的化简方法
二次根式的化简方法二次根式是指含有平方根的代数表达式，通常写为√n的形式，其中n为一个非负实数。
化简二次根式是将其转化为最简形式的过程，使其不再包含平方根。
本文将介绍几种常用的二次根式化简方法。
一、将根式中含有平方数的因子提出当根式中含有平方数的因子时，可以将其提出，从而简化根式。
例如，要化简√12，可以将12拆解为2的因子：√12=√(2×2×3)。
然后，将2的平方数因子2提到根号外面：√12=2√3。
这样，根式被化简为了最简形式。
二、合并同类项当二次根式中含有相同的根号内数字时，可以进行合并操作，简化根式。
例如，要化简√6+√6，可以合并这两个根式：√6+√6=2√6。
同理，对于含有3个或更多相同根号内数字的根式，也可以使用合并同类项的方法进行化简。
三、有理化分母当二次根式的分母含有根号时，可以通过有理化分母的方法进行化简。
有理化分母的基本思想是，将分母有理化，即使其不再包含根号。
具体操作是，将分母乘以其共轭形式的分子和分母，这样可以使分子和分母都为有理数。
例如，要化简1/(√2+1)，可以先将分母乘以其共轭形式的分子和分母：1/(√2+1)×(√2-1)/(√2-1)。
进行乘法运算后，分母变为有理数，分子为1×(√2-1)=√2-1，所以化简后的结果为√2-1。
四、使用平方根的性质使用平方根的性质可以帮助化简二次根式。
以下是几个常用的平方根性质：1. 平方根的乘法性质：√(a×b) = √a × √b，其中a和b为非负实数。
2. 平方根的除法性质：√(a/b) = (√a)/(√b)，其中a和b为非负实数，且b不等于0。
3. 平方根的加法性质：√a+√b≠√(a+b)，这个性质无法直接运用于化简，但可以用来判断是否可以继续化简。
通过运用这些性质，可以将二次根式转化为最简形式。
综上所述，二次根式的化简方法包括将含有平方数的因子提出、合并同类项、有理化分母和使用平方根的性质。
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如何化为最简二次根式
最简二次根式是特殊的二次根式，他需要满足：（1）被开方数的因数是整数，字母因式是整式；（2）被开方数中不含能开的尽方的因数或因式.那么如何将一个二次根式化为最简二次根式呢？
一、被开方数是整数或整数的积
例1 化简：（1）162；（2）7532⨯.
解：（1）原式=281⨯=292⨯=292⨯=29；
（2）原式=325216⨯⨯⨯=65422⨯⨯=25422⨯⨯=620.
温馨提示：当被开方数是整数或整数的积时，一般是先分解因数，再运用积的算术平方根的性质进行化简.
二、被开方数是数的和差
例2 化简：2
2)21
()23
(+. 解：原式=4149+=410=102
1. 温馨提示：当被开方数是数的和差时，应先求出这个和差的结果再化简.
三、被开方数是含字母的整式
例3 化简：（1）3
418y x ；（2）3222b ab b a ++. 解：（1）原式=y y x ⋅⋅⋅⋅2)(32
222=y y x 232； （2）原式=)2(22b ab a b ++=2)(b a b +=b b a )(+.
温馨提示：当被开方数是单项式时，应先把指数大于2的因式化为2)(m a 或a a m ⋅2
)(的形式再化简；当被开方数是多项式时，应先把多项式分解因式再化简，但需注意，被移出根号的因式是多项式的需加括号.
四、被开方数是分式或分式的和差 例4 化简：（1）b
a x 2383；（2）y x x y +. 解：（1）原式=
b b a b x 282323⋅⋅=222246b
a bx x ⋅=bx a
b x 62； （2）原式=xy y x 2
2+=2222)(y
x xy y x +=)(122y x xy xy +. 温馨提示：当被开方数是分式时，应先把分母化为平方的形式，再运用商的算术平方根
的性质化简；当被开方数是分式的和差时，要先通分，再化简.。