知本求源 出奇制胜

48 福建中学数学 2018年第5期
知本求源 出奇制胜
郭 磊 江苏省启东市大江中学（226215）
最近在微信朋友圈看到一篇短文：大爷买西红
柿挑了3个到秤盘，摊主秤了下：“一斤半3块7．”
大爷：“做汤不用那么多．”去掉了最大的西红柿．摊
主，“一斤二两，3块．”正当我想提醒大爷注意秤子
时，大爷从容地掏出了七毛钱，拿起刚刚去掉的那
个大的西红柿，扭头就走．摊主当场无风凌乱．当
大家都朝着一个固定的思维方向思考问题时，而你却独自朝相反的方向思索，这样的思维方式就叫逆
向思维也叫求异思维． 数学教学中逆向思维是解题常见方法之一，逆向思维方式对于提高学生数学能力以及今后成长过
程具有举足轻重的作用，所以在平时教学中要对学
生点点滴滴逐渐渗透，培养学生综合运用知识、能力，开拓学生思路．培养创造性学习是非常必要的． 1 “围魏救赵”式 围魏救赵是三十六计中相当精彩的一种智谋，它的精彩之处在于，以逆向思维的方式，绕开问题的表面现象，从事物的本源上去解决问题，从而取得一招致胜的神奇效果． 例1 计算23456789111111111222222222++++++++
1012
+． 该题如果采用正向思维计算比较繁琐，但是如
果我们绕开问题的表面现象，借助图形，将面积为1
的正方形进行分割，第一次将正方形分割成面积相等的两部分，第二次将其中再分割成面积相等的两部分，以此类推……每次分割后剩下的空白的面积就是1
2
n （如图1）． 我们计算23456789111111111
222222222
++++++++
1012+的值可参照图1，根据图形逆向分析，实际就是用整个正方形面积1减去空白部分面积，所以
23456789101011111111111
122222222222
+++++++++=−．
换种思路，逆向思考，问题就变得简单易懂．
2 “曹冲称象”式
聪明的曹冲知道大象的体重不能直接去称，就
把称大象的重量转化为称石头的重量．转换型逆向思维是指在研究一问题时，由于解决该问题的手段受阻，而转换成另一种手段，或转换思考角度思考，以使问题顺利解决的思维方法． 例2 从2，5，6，8这四个数中任选三个数，能够构成三角形的有几组？ 解决该问题如果从正面去思考，任选三个数情
况较为复杂．于是我们反过来思考，将问题在四个数中任选三个数转化为每次有一个数不选，学生一
下反应出来只有四种情况，结果就很清晰明了．如
历史上被传为佳话的司马光砸缸救落水儿童的故事，实质上就是一个用转换型逆向思维法的例子． 3 “声东击西”式 声东击西在现实生活中被提及的频率非常高，
它以假动作欺敌，掩护主力在第一时间击其要害．声言出东，其实击西．其实在数学解题过程中，同样是存在声言出东，其实击西的的情况． 比如，甲乙两人相距22.5km ，分别以2.5km/h ，5km/h 的速度相向而行，同时甲所带的小狗以
7.5km/h 的速度奔向乙，小狗遇到乙后立即掉头奔向
甲，遇到甲后又奔向乙，小狗遇到乙后立即奔向
甲……直到甲，乙相遇，求小狗所走的路程． 在这个问题中小狗来回的跑，如果从正面分析
小狗的行程会使得问题变得复杂而难于解决，该题
实质是采用了声东击西的战法，小狗来回跑动的时
间较为复杂，实质上该题是只要求两人相遇的时间．你如果采用逆向思维，小狗的运动时间实质为人的行程时间，再抓住路程=速度×时间这一概念本质，那问题就变得简单了，学生很容易得出问题的
答案为22.5(2.55)7.522.57.57.522.5÷+×÷×千米．
4 “由果索因”式 平日在解题时，人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法．一般都是由所给条件直接向结论逼近．但有些问题，需要改变思考的角度，从反面去考虑，从结论往回推，以获得简
捷的解题方法． 例3 在t ABC ∆R 中，CD 是AB 边上的高，垂足
为点D ，求证：222
111
AC BC CD +=． 学生见到此题感觉无从下手，因为学生习惯了
图1
1
2 212 312 4
12
2018年第5期 福建中学数学 49 从题目条件出发去思考问题．其实，采取逆向思维，根据题目结论去倒推，问题便迎刃而解．先将结论
的左边进行通分得2222
2
1
AC BC AC BC CD =+，因为ABC ∆是直角三角形，根据勾股定理得2
22
AB AC BC
=21CD ．再将等式对角相乘得2222AC BC AB CD =，因为AC BC ，，
AB CD ，都是正数，所以AC BC AB CD ⋅=⋅，最后根据ABC ∆的面积11
22AC BC AB CD ⋅=⋅，便可得到
AC BC AB CD
⋅=⋅（如图2），以此我们再倒推出结论．
5 “溯本求源”式
溯本即追寻根本，求源即探求起源．
例4 计算2482048(21)(21)(21)(21)(21)+++++ ． 此题按运算顺序直接计算很繁，若能观察到题
目的特点，该题是要考察学生对平方差公式的运用，
但是平方差公式是22()()a b a b a b −=−+，该题缺少了起始的21−，所以采用逆向思维，把1看作2减1，
则能很快计算出结果．
解 原式2482048(21)(21)(21)(21)(21)(21)=−+++++
22482048(21)(21)(21)(21)(21)=−++++ 4096(21)==− ．
逆向思维，它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式．将逆向思维应用于数学教学中，敢于“反其道而思之”，可以有效地帮助学生理解相关基础知识、拓展学生的想象空间、克服学生的思维迟钝现象进而发现新的解题思路．因此，在教学中，应加强逆向思维训练，有意识地引导和培养学生的逆向思维的意识和习惯，帮助学生从正向思维过渡到正、逆双向思维，进而提高学生分析问题和解决问题的能力．
2017年斯洛文尼亚奥赛不等式试题的推广
何 灯
1
田芳松2 1福建省福清市第三中学（350315） 2福建省南平市光泽县第二中学（354100）
原题 已知0a b c >，，且1abc =，求证：2
2
a
a b ++ 22
322b c a b c b c c a +++≤++． 本文从元数、系数、次数三个方面对上述不等式作推广． 推广1 已知120(3)n a a a n >≥ ，，，，且12n a a a 1=，0k ≥，则122212123n n a a a a a k a a a k −+++++
122
121n n n n a a a a k a a a k −+++≤++ ． 证明 11
22121(1)n n a ka a k a a a k −+−++ 121
11(1)n n a ka k k a a +−++1121(1)n n n
a ka a a a ka k +−++ 2
121()(1)()n n k a a k a ka −=++0≥， 从而11
22
121(1)
n
n a ka a a a a k k −+≤++ ， 同理得2122223(1)n a a ka a a a k k +≤++ ， ， 122
12(1)n n n
n n a a ka a a a k k −−+≤++ ， 将上述所得n 个不等式左右分别相加，即得
12
2221212312n n n n n a a a a a a k a a a k a a a k −−++++++ 121n
a a a k +++≤+ ．
推广2 已知120(3)n a a a n λ>≥ ，，，，，且12a a
n n a =λ，k t R ∈，，0k ≥，则12121
t t t t nt n a a a a k λ−++ 122222312
(1)t t t t t n n t t t nt t t t nt nt n n n a a a a a a a a k a a a k k λλλ−+++++≤+++． 证明 在推广1中，
令11()t a a λ=，22
()t a a λ=， ，()t n n a a λ
=， 即可得推广2． A
C
B D
图2。