现代通信系统-3---4

T = X +W
例: 假定 p = 10-3, n = 8, 则有 X = 1.008 ， X 2 = 1.08
λ (分组/单位时间) W(单位分组时间) 0.5 0.54 0.8 2.23 0.9 5.24 0.95 11.29
当 λ 接近系统容量时，W 急剧上升。为保证系统的时延性能， 应限制分组的到达率。
W=
ρ µ (1 − ρ )
（即为 M/M/1 系统的结果）
2 2 X = 1 / µ , X = 1 / µ 2）若服务时间是常量，即 ，则有
W =
ρ
2µ (1 ρ )
（3-80）
上式即为 M/D/1 系统的结果， 可见 M/D/1 系统的平均等待 时间是 M/M/1 系统的一半。 （在均值相同的分布中，确定性分 布的 X 2 最小，因此，M/D/1 系统的参数是 M/G/1 系统相应参 数的下限。
2 i M (t ) L( t ) 2 V ∑ i
（3-93）
15
单位时间内用户所占比例为 ρ = λ / µ ，休假期占 (1 − ρ ) ， 休假期到达率为 (1 − ρ ) / V 。 根据式(3-93)，并令 t → ∞ ，得系统的平均剩余服务时间 为
1 1 (1 − ρ ) 2 2 R= λX + ⋅ ⋅V 2 2 V
1 t 1 M (t ) 1 2 Rt = ∫0 r (τ )dτ = ∑ X i t t i =1 2
式中，M(t)表示［0, t］区间内已服务的用户数。
M (t )
上式可以写成
Rt =
1 M ( t ) i =1 ⋅ ⋅ 2 t M (t )
∑
X i2
式中，第二项为平均到达率，第三项为 X i 的二阶矩。
14
令 M ( t )和L( t ) 分别为 ［0, t］ 内到达的用户数和服务员休假 的次数。平均剩余服务时间为
1 t 1 M ( t ) 1 2 1 L( t ) 1 2 Rt = ∫0 r (τ )dτ = ∑ X i + ∑ Vi t t i =1 2 t i =1 2
1 M (t ) ∑ 1 L( t ) i =1 i =1 = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ 2 t M (t ) 2 t L( t ) X
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服务员有休假的 M/G/1 系统
指在每一个忙周期后，服务员需要休假，在休假期内到达 的用户要等服务员休假结束后才能被服务。若休假期满还 没有用户到达，服务员将进入另一个休假期，如图 3 -10。
分组到达
X1
X2
忙周期
X3
X4
V1
V2
V3 X5
V4
X6
休假期
时间
图 3-10 服务员有休假的 M/G/1 排队系统的分组传输
¾ 三种系统的总时延分别为 λm TFDM = m + 2(1 − λ )
TSFDM = TFDM
TTDM
m + 2
m m =1+ = TFDM − − 1 2(1 − λ ) 2
¾ TDM 系统的平均时延最小
21
不同服务规则的 M/G/1 排队系统
¾ 采用预约方式的 M/G/1 排队系统
为 FDM 中的 1/m （TDM 有 m 个时隙片， FDM 分组在 m 个单位时间传输）
9TDM 每个分组在一幀中仅占一个固定的时隙片 9时隙片开始时刻用户无分组到达,信道休假一幀(m TS )
m = 2(1 − λ )
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每个用户的平均等待时间: WTDM = W SFDM
FDM、SFDM 和 TDM 的性能比较
（3-94）
将上式代入式(3-83b)得平均等待时间为
R λX2 1 V2 W= = + ⋅ 1 − ρ 2(1 − ρ ) 2 V
（3-95）
可见，服务员有休假时，平均等待时间多了第二项(由于 服务员休假造成的额外等待时间)。
16
时隙 FDM 和 TDM 的性能比较(例 3.8)
¾ 基本的频分复用（FDM）系统
Yi = V( l +1) mod m + " + V( l + j ) mod m , j ≥ 1
X = E{ X } = 1 / µ
X 2 = E{ X 2 }
D{ X } = σ 2 = X 2 − (1 / µ ) 2
2
P-K(Pollaczek-Khinchin)公式
¾ M/G/1 排队系统的稳态平均参量 平均等待时间:
λX2 W= 2(1 − ρ )
（3-75）
λX2 系统的平均时延： T = X + W = X + 2(1 − ρ )
ρ
（3-96）
17
¾ SFDM 系统(时隙 FDM 系统)
• 时隙宽度τ 为 m 个单位 • m 个信道分组都在时隙的起点开始传输 • 时隙的起点没有分组到达时，信道将空闲一个时隙(相
当于服务员休假一次)，它被称为 SFDM 系统
• 是服务员有休假的 M/D/1 系统，利用式(3-96)，且
V = m, V 2 = m 2
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服务员有休假的 M/G/1 系统性能
¾ 服务员的休假期为 V1 , V2 ,", Vi （i.i.d.） ，且与到达时间间隔 相互独立，其均值为V 。 ¾ 用户的到达是 λ （Poisson） ，平均服务时间为 1 / µ 。
一个新用户到达时可能遇到两种情况： 1) 有一个用户正在接受服务(剩余服务时间 R 与标准的 M/G/1 相同) 2) 服务员正在休假（R 为服务员休假的剩余服务时间） 由图 3-11 可见，阴影部分表示用户的剩余服务时间，其余 部分是服务员休假期的剩余服务时间。
E {W i } = E { Ri } + 1
µ
E { N i } + E {Vl ( i ) }
当 i → ∞ ，有
W =R+
W=
λ W + V = R + ρW + V , 经整理得 µ
R V + 1− ρ 1− ρ
式中，R 的取值与服务员有休假的 M/G/1 系统相同。
25
单用户闸门型系统性能(续)
式(3-94)代入上式, 得 单用户闸门型系统的平均等待时间为
V λX2 1 V2 W= + ⋅ + 2(1 − ρ ) 2 V 1 − ρ
2 2 V V 如果预约分组的长度为常量 A， （ =A， =A ） ，
则有
λX2 A 3− ρ + ⋅ W = 2(1 − ρ ) 2 1 − ρ
26
多用户预约排队系统
一旦有少量用户服务时间很长时，排队队列会很长。
9
返回 n-ARQ 系统的时延分析(例 3.7)
¾ 返回 n-ARQ 系统：分组(顾客)到达率为 λ (Poisson) ¾ 分组长度相同( 1 个单位) ¾ 等待重传的最长间隔为(n-1)个单位
10
返回 n-ARQ 系统的时延分析(续 1)
¾ 可用 M/G/1 模型进行分析
《现代通信系统》
—相关理论与新技术
第三章 网络的时延模型（2） （M/G/1 排队系统）
CESL of Dept. EEIS 2006.2
1
3.4 M/G/1 排队系统(非 Markov 型)
该系统的基本假设是：
¾系统的输入过程是参数为λ的泊松过程 ¾服务时间为一般性的独立同分布随机变量序列 ¾服务时间与到达间隔相互独立，只有一个服务员 ¾第 i 个用户的服务时间为 X i 令 X = { X 1 , X 2 , " } ，则 平均服务时间 服务时间的二阶矩 服务时间的方差
W SFDM = W FDM
1 V2 λm 1 m + ⋅ = + m= 2 V 2(1 − λ ) 2 2(1 − λ ) （3-97）
18
SFDM 系统平均等待时间比 FDM 系统多半个时隙
时隙 FDM 和 TDM 系统
19
¾ 时分复用（TDM）系统
• 一幀(长度为τ = mT S ), 由 m 个时隙片( TS )组成 • 每个分组的传输时间为一个 TS (一个单位时间) • TDM 中信道速率提高了 m 倍，分组的传输时间降
6
µ µ 式中， R = lim E{ Ri }, N Q = E{ N i }, ρ = λ / µ
i →∞
W = R + X NQ = R +
1
NQ = R +
1
λW = R + ρW
整理上式得
W=
R 1− ρ
（3-83b）
7
P-K 公式的证明(续 2)
假定系统有稳态解，且具有各态历经性，则剩余服务 时间 r (τ ) 可用图 3-8 来表示。 为方便起见， 取 t 为 r (t ) = 0 的 时刻，则［0, t］区间的平均剩余服务时间为
平均排队队列长度：
λ2 X 2 N Q = λW = 2(1 − ρ )
λ2 X 2 系统中的平均用户数： N = λT = λ X + 2(1 − ρ )
式中， ρ = λ / µ = λ X 。
3
两 种 特 例
1）若 G =
2 2 X = 2 / µ M(负指数分布)，则有 ，由式(3-75)
假设采用周期性预约方式。每个分组均有预约期和传 输期（总称预约传输期） 。在预约传输期中到达的新分组 有三种不同的处理方式： ・闸门型系统，仅传送预约分组传输前到达的新分组 ・耗尽型系统，将内存中所有到达的分组都传送完毕 ・部分闸门型系统，仅传送预约分组传输结束前到达的 所有分组
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采用预约方式的 M/G/1 排队系统