“用正多边形拼地板”问题的初等代数研究

边 形 拼 地 板 ” 课本 第 ７ — ７ （ １ ３页 ） ：
１ ．用相 同 的 正 多 边 形 拼 地 板 ； ． 用 多 种 正 多 边 形 拼 ２
地板 。
则有 ： 兰 堕
整理得 ： 一
． 一３ ０ ｘ ６
按 照 学 生 容 易 理 解 和 接 受 的 方 法 ， 实 际 教 学 中有 两 种 在 常用的方法 ： １ ．实 践 法 ： 师 要 求 学 生 准 备 边 长 相 同 的 正 ｎ ｎ一３， ５ 教 （ ４，
【 图分 类 号］ ２ ． 中 Ｇ６ ３ ５ 【 献 标 识 码】 文 Ｂ 【 章 编 号］ Ｏ ｌ １ ８ ２ １ ） ８ ０ １ ３ 文 １ Ｏ 一４ ２ （ ０ ０ ０ —０ ４ —０
问题背景 ： 东师大 版初 中一 年级 （ ） 华 下 ：§ ９ ３ 用 正 多 ．“
设 用 Ｘ 正 ｎ 形 可 在 同 一 顶 点 处 铺 满 地 板 ， 中 ， 、 个 边 其 Ｘｎ 都 是 正 整数 ， ｎ ３ 且 。
知 半 解 、 强 认 同 （ 本 上 的 结 论 ） 而 少 数 学 力 强 的 学 生 则 勉 课 ， 为 解 决 学 生 中 普 遍 存 在 的 疑 问 ， 别 是 针 对 基 础 较 好 且 特
的问 题 。
． ．
ｎ一 ３， ５， ４， ６
（ ） 管 是 实 践 法 还 是 验 证 法 ， 不 能 对 所 有 的正 ｎ边 形 ２不 都 进 行 拼 图 实 践 和 计算 验证 — — 因 为 ｎ是 无 穷 的 啊 ！
将 ｎ ３ ４ ５ ６代 入 一 ，，，
逐个检验 ， ｘ 正整数 ， ｎ 因 为 当 一
可 以。
再 作 进 一 步 延 伸 。 这 样 一 来 ， 多 的教 师 也 就 止 步 于此 ， 未 ” 更 并 针 对 学 生 的疑 问 给 出有 针 对 性 的 解 决 方 案 ， 使 大 多 数 同 学 致
一
２ 用 两 种不 同的正 多边 形 拼 地 板
设 在 同 一顶 点处 有 正 ｍ（ ｍ≥ ３ 边 形 Ｘ个 ， ｎ ｎ ３ 边 ） 正 （ ） 形 Ｙ个 ， ｘ ｙ ｎ 、 且 、 、 ｌｎ均 为 正 整 数 ， 为 ， ｍ 边 形 和 正 ｎ边 形 因 正
能 够 保 证 原 本 能 拼 的 因误 差 的 原 因 又 不 能 拼 了 呢 ？基 础 较 好
解得 ｎ ６ － ＜
又 ‘ｎ ３ ． ＞ －
。
．
．
３ ＜
－
ｎ ６ 且 ｎ为正 整 数 ，
★也 即为 ： 同 一顶 点处 的正 多 边 形 的 个 数 最 少 为 ３ ， 在 个
‘
和 探 究 氛 围 较好 的 班 级 常 会 临 时 生 成 这 样 一 些 老 师 未 曾 预 设 最 多 为 ６个 。
． ．
一
。
行验 证 ， 出 结 论 。 得
即： ｎ＞３ ＿－
ｎ一
然 而 ， 样 便 会 出 现两 个不 好 解 释 又 不能 回避 的 问题 ： 这 （ ） 生 制 作 的正 多边 形 不 可避 免 地 存 在 误 差 ， 至 误 差 １学 甚 较 大 ， 能保 证 原 本 不 能 拼 的 ， 为 误 差 后 刚 好 又 合 适 、 又 谁 因 谁
配 套 的《 师 用 书 》 对 教 师 的建 议 是 ： 只 要 求 学 生 理 解 教 材 教 上 “ 给 出 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ几 种 情 况 下 多 种 正 多 边 形 能 够 铺 满 地 面 的 理 由 ， 要 不
而 经 计 算 检 验 ｎ ３ ４ ６均符 合题 意 一 ，，
所 以 ， 相 同 的 正 多 边 形 拼 地 板 只 有 正 ３ 正 ４、 ６ 用 、 正
…
可得：一＿ ｎ ｘ 芝 ＿
ｎ —
。 ．
） 形 若 干 ， 小 组 通 过 拼 图 实 践 ， 行 探 究 — — 用 同 一 种 边 分 进 ２ ．验 证 法 ： 根据 课 本 介 绍 的 铺 满 平 面 的必 要 条 件 （ 用 使
。 多 边 形 的每 个 内 角 ａ １ ０ 正 ＜ ８。
．
正 多 边形 、 多 种 正 多 边 形 拼 地 板 ， 出探 究 结 论 。 用 得
‘ ．
２ ＜ ３６ 。 ａ ０
ｘ三３ 在 同一 顶 点 处 至 少 有 三个 正 ｎ边 形 的 内角 ， 起 三＝ （ 加 给定 的某 种 正 多 边 形 ， 围 绕 一 点 拼 在 一 起 的 几 个 内 角 加 在 来 才 能 等 于 ３ ０ ） 当 ６ 。 起 恰 好 组 成 一 个 周 角 时 ， 可 以 拼 成 一 个 平 面 图 形 ） 别 进 就 分
２１ ０ ０年 ８月
新 教 师 教 学
Ｎ ｅ Ｔｅ ｃ ｒＴｅ ｃ ｎｇ ｗ ａ ｈｅ ａ ｈｉ
Ａ ｕｇ， ０１ ２ ０
第 ８期
Ｎｏ． ８
‘ 正 多边形 拼 地 板 ＂ ‘ 用 问题 的 初 等 代 数 研 究
牵 军
（ 川 省 绵 竹 市 汉 旺 中 学 ， 川 ， 竹 ， １ ２ １ 四 四 绵 ６８ ０ ）
这样 ， 生并不能够情愿认可课本上得 出的简单结论 ， 学 他 ５时 ， 一 ， 符合 不
们 脑 子 里还 有很 多 疑 问 和 不 认 同 ， 种 “ 蜓 点 水 ” 的探 究 这 蜻 式
． ｎ≠ ５ ． Ｉ
过 程 ， 于 他 们来 说 真 有 一 种 “ 靴 搔 痒 ” 感 受 ， 过 来 ， 对 隔 的 反 也 就 大大 降低 了他 们 对 探 究 结 论 的理 解 和 认 可 程 度 。而 与 课 本
【 要】 东 师大 版 初 中 一年 级 （ ） § ９ ３ 用 正 多边 形 拼 地 板 ” 摘 华 下 ： ．“ 的探 究 过 程 和 呈 现 形 式过 于 简 略 ， 建 议 教 师 不 作 “ 一 并 进
步延 伸 ” 致 使 学 生 的疑 问不 能得 到较 好 的解 决 。本 文 用 学 生 较 易 理 解 和 接 受的 初 等 代 数 方 法 进行 了分 析 和 探 究 ， 果 良好 。 ， 效 【 键 词】 多边 形 ； 地 板 ； 等代 数 ； 究 关 正 拼 初 研