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高二数学专题讲座：排列、组合和概率基本原理和排列复习内容两个基本原理、排列、排列数公式复习要求1．掌握分类计数原理（又称加法原理）和分步计数原理（又称乘法原理），并能运用这两两个基本原理分析和解决一些简单的应用问题.2．理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.典型题例 例1．（1）有红、黄、白色旗子各n 面（n ＞3），取其中一面、二面、三面组成纵列信号：可以有多少不同的信号？（2）有1元、5元、10元的钞票各一张，取其中一张或几张，能组成多少种不同的币值？（1）解 因为纵列信号有上、下顺序关系，所以是一个排列问题，信号分一面、二面、三面三种情况（三类），各类之间是互斥的，所以用加法原理：①升一面旗：共有3种信号；②升二面旗：要分两步，连续完成每一步，信号方告完成，而每步又是独立的事件，故用乘法原理，因同色旗子可重复使用，故共有3×3种信号；③升三面旗：有N =3×3×3种信号，所以共有39种信号.（2）解法1 计算币值与顺序无关，所以是一个组合问题，有取一张、二张、三张、四张四种情况，它们彼此互斥的，用加法原理，因此，不同币值有N =14C +24C +34C +44C =15（种）评析 1.加法原理和乘法原理这两个基本原理，不仅是推导排列数、组合数公式的基础，而且可以直接运用它们去解决某些问题，两个原理的区别在于前者与分类有关，后者与分步有关.运用加法原理的关键在于恰当地分类（分情况），故称之分类计数原理，运用时应注意使所分类别既不遗漏，也不重复；运用乘法原理的关键在于分步，故称之分步计数原理，运用时应注意正确设计分步的程序，使每步之间既相互联系，又彼此独立.2理”的说法.例2颜色排列不同的伞面种数？解 排列，但如图所示的1～6题意的答案是21×7×66A =2520种例3 4位学生与2一起；（3（1）解法1 i) 教师先坐中间，有22A 种方法：ii) 学生再坐其余位置，有44A 种方法. ∴共有22A ·44A = 48种坐法. 解法2 排斥法：从位置着眼，把受限制的元素予先排斥掉. i) 学生坐中间以外的位置：44A ； ii) 教师坐中间位置：22A .解法3 插空法：从元素着眼，让不受限制的元素先排好（无条件），再让受限制元素按题意插入到允许的位置上.i) 学生并坐照相有44A 种坐法； ii ) 教师插入中间：22A .解法4 淘汰法（间接解法）：先求无条件限制的排法总数，再求不满足限制条件的排法数，然后作差.即“A=全体－非A ”.i) 6人并坐合影有66A 种坐法；ii)两位教师都不坐中间：24A (先固定法)·44A ；iii) 两位教师中仅一人坐中间；12A （甲坐中间）·14A （再固定乙不坐中间）·44A ·2（甲、乙互换）； iv) 作差：66A —（24A ·44A +212A ·14A ·44A ）.解法5 等机率法：如果每一元素被排入，被选入的机会是均等的，就可以利用等机率法来解. 将教师看作1人（捆绑法），问题变成5 并坐照相，共有A 55种坐法，而每个人坐中间位置的机会是均等的，应占所有坐法的51，即教师1人坐中间的坐法有5155A ·22A 即5255A 种. （2）将教师看作1人，问题变成5人坐照相.解法1 从位置着眼，排斥元素——教师.先从4位学生中选2人坐两端位置：24A ；其他人再坐余下的3个位置：33A ；教师内部又有24A 种坐法.∴共有24A ·23A ·22A =144种坐法解法2 从元素着眼，固定位置先将教师定位：13A ·22A ；再排学生：44A . ∴共有13A ·44A ·22A 种坐法.（3）解 插空法：（先排学生）44A ·23A （教师插空）.评析1. “在与不在”、“邻与不邻”是带限制条件的排列应用题的两种重要题型，处理这类问题的基本思路，有“直接”、“间接”之分.2．对“在与不在”问题，优先考虑受限制的特殊元素或特殊位置的思想方法，是解题 的基本策略；而处理“邻与不邻”问题，使用捆绑和插空法是十分有效的.3．关于“元素和问题”的认识，是排列、组合概念中的一个重要问题，解题总是从元素或位置出发，要注意即使在同一问题中，把什么看作元素（或位置）并不是一成不变的.例4 用0，1，2，3，4，5六个数字，可以组成多少个没有重复数字的：（1）首数是奇数的五位偶数？（2）五位奇数？（3）五位偶数？解 用○××□表示四个位数.（1）按题意，○位上只能排1，3，5三个数字，□位上能排0，2，4三个数字.这两个条件是相离的（如图1），故用分步骤法，且可不考虑满足这两个了限制条件的顺序. 如：先排○位：13A ；次排□位：13A 最后排×位：34A .∴共有13A ·13A ·34A =216（个）.（2）○位上要求排1—5个数字；□位上要求排1，3，5两个数字，这两个条件是内含的（如图2）.用分步骤法，顺序是先考虑被含条件：先排□位：13A ；次排○位：14A ；最后排×位：34A （包括零在内）.∴ 符合题意的解为12A ·14A ·34A + 45A =312（个）.评析 带有两个以上限制条件的排列应用题，必须具体分析限制条件的内在联系，坚持先分步后分类的办法求解.一、选择题1种，允许同一颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，那么不同的涂色方法种数为（ ）A ．180B ． 120C ．96D ．602．(x －m )(x －m －1)…(x －9) （x 、m ∈N *且x ＞m ）用排列数表示是（ ）A ．9--x m x AB ．m m x A --10C ．m m x A --9D ．mm x A --83．5人排成一排照像，若其中甲、乙两人必须排在一起，而丙、丁两人不愿排在一起，则不同的排法共有（ ）A ．12种B ．20种C ．24种D ．48种4． 某停车场有一排相连的12个停车位，今有不同型号的8辆车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ）A ．812A 种B ．288A 44A 种 C ．888A 种 D ．988A 种 5．由数字1，2，3，4，5，6等六个数字组成没有重复数字的四位数，按人小到大的顺序排列起来，第119个数是（ ）A ．1653B ．2653C ．4653D ．26546．5名男生和2名女生排成一排照相，若男生甲必须站在左端或右端，两名女生必须站在一起，则所有可能的排法种数为（ ）A ．480B ．360C ．240D ．120二、选择填空用A 表示加法原理；B 表示乘法原理；C 表示既要用加法原理，又要用乘法原理；D 表示既不能用加法原理，又不能用乘法原理. 试在7-11题题后的括号内填上适当的字母：7．事件P 导致事件Q 发生，若P 发生的方式有m 种，Q 发生的方式有n 种，则计算事件P 、Q 相继发生的种数（ ）8．高二年级的数学小组有15人，无线电小组有12个，航模小组有10人. （1）由这三个小组任选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？（ ） （2）由这三个小组各选1人参加夏令营，有多少种不同的选法？（ ） 9．M 、N 为有限集合，且M ∩N ≠φ，则计算M ∪N 中元素个数（ ）；计算M ∩N 中的元素个数（ ） 10．用0至9十个整数，能组成多少个小于1000，没有重复数字且能被3整除的数（ ） 11．用1克、2克、3克、4克砝码各一个，可以秤多少种不同的重量（ ）12．将3封信投入4个不同的邮筒，有________种不同的投法；4名学生从3个不同的楼梯下楼，有________种不同的下法.13．某办公大数有东、西、南三个大门，从一楼到四数，每两层间各有两个楼道，某人从外到四楼办事，再从四楼下来出办公楼，共有____种不同的走法;若下楼返回时不经过进去时所走的门和楼梯，则共有____种不同的走法.14．4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，有_______种不同的排法.15．4位学生和2位教师并坐一排合影留念，若教师不能坐在两端，且要坐在一起，有_________种坐法；若教师不能坐两端，且不能相邻，有_________种坐法.16．将5列火车停在5条不同的轨道上，其中a 列车不停在第一道上，b 列车不停在第二道上，则共有________种不同的停车方法.17．在一块并列10垄的田地中，选择2垄分别种植A 、B 两种作物，每种作物种植一垄，为有利于作物生长，要求A 、B 两种作物的间隔不小于6垄，则不同的种植方法有_________种（用数字作答）.四、解答题18．同室四人各写一张贺年片，先集中起来，然后每人从中得一张别人送出的贺年片，则共有多少种不同的分配方法？19．给出0，1，2，3四个数字，试问： （1）可组成多少个自然数？（2）可组成多少人数字不重复的自然数？ （3）可组成多少个数字不重复的四位数？ （4）可级成多少个数字不重复的四位偶数？ 20．计算（1）1111------⋅m m n m nm n m A A A （m ，n ∈N *，且m ＞n ）； （2）解方程：412+x A =1403x A ; （3）证明：n m A +n 1-n m A =n m A 1+.21．从0，1，2，3，4，4，5六个数字中任取其中四个组成四位数.（1）能组成多少个四位数？（2）能组成多个四位偶数？（3）能组成多少个是25的倍数的四位数？（4）有多少个比1234大的四位数？22．有一排相连的6个座位，现有3人就座，问恰有两个空位相邻的不同坐法有多少种？23．有8名儿童分成两排，每排4人，面对面地坐下，其中有两名儿童既不能面对面，又不能相邻，问共有几种不同的坐法？答案与提示【答案】一、 1．A 2．B 3．C 4．D 5．B 6．A 二、7．B 8．（1）A ；（2）B 9．D 10．C 11．A三、12．43；34 13．576，48 14．2880 15．144；144 16．78 17．12 四、18．9 19．（1）196；（2）49； （3）18； （4）4 20．（1）1；（2）x =3 21．（1）300； （2）156； （3）21； （4）283 22．36 23．25920 【提示】5．以1为首的四位数有35A =60个，同样地，以2，3，4，5，6为首的四位数也各有60个；故按从小到大顺序排列起来的第120个数是2654，故第119个数是2653.14．将4名女生看成一个元素与4名男生先排列，再考虑4名女生之间的顺序可以调换，故有55A ·44A ，或44A （男生先排）·15A15．44A （先排学生）·13A （将2位教师当作一个元素插入A 22教师间上换位置）；44A （先排学生）·23A （教师插入）18．甲、乙、丙、丁四人贺年分别记作甲、乙、丙、丁.甲先取，只能从乙、丙、丁三张中任取一张，共有3种取法；若甲抽到的是乙，则再由乙再从剩下的三张中取一张，共有3种取法 ；此时剩下两张丙、丁只有一种取法.故共有3×3=9种取法.19．（1）一位，两位，三位，四位数分别有4，3×4，3×4×4，3×4×4×4个，（2）一位，二位，三位，四位数分别有14A ，13A 13A ，13A ·23A ，13A ·33A 个；（3）13A ·33A ；（4）个位数为“0”的四位数有33A 个，个位数为“2”的有12A ·22A20．左边=)!(!n m m -+n ·)!1(!+-n m m =)!(!n m m -（1+1+-n m n ）=)!(!n m m -·1)!1(+-+n m m =)!1()!1(+-+n m m =nm A 1+=右边21．（1）15A ·35A ；（2）i) 个数为“0”：35A ；ii) 个数为“2”或“4”：14A ·12A ·24A ；（3） i) 以“50”结尾的有24A 个，ii) 以“25”结尾的有13A ·13A 个；（4）i) 以2，3，4，5为首位数的有14A ·35A =240上，ii) 以13起头的数有24A 个，同理以14，15起头的数也分别有=240个，iii)前三位数为124，或125的各有13A 个，iv)比1234大的还有1235，∴共有14A ·35A +324A +213A +1=283个.22．三个人的全排列有A3种，三人排好后离有5个空档，将两个空住看作一个元素，另一个单独的空2314A · 14A ·复习要求1．理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数的性质。