利用MATLAB进行根轨迹分析
利用MATLAB进行根轨迹分析
利用MATLAB进行根轨迹分析根轨迹分析是一种用于研究系统稳定性和动态特性的方法，通过研究系统的传递函数来绘制系统极点随参数变化的轨迹。
MATLAB提供了强大的工具和函数来进行根轨迹分析。
根轨迹是由系统的极点随参数变化所形成的轨迹，它可以反映系统的稳定性、阻尼比、上升时间、超调量等动态性能指标。
根轨迹的绘制通常包括以下步骤：1.定义系统传递函数：首先，需要根据具体的控制系统问题定义系统的传递函数。
传递函数是描述输入与输出间关系的数学模型，通常用分子多项式和分母多项式的比值来表示。
2. 极点位置确定：根据系统传递函数的分母多项式，可以求解系统的极点位置。
MATLAB提供了roots函数来计算多项式的根。
3. 绘制根轨迹：通过参数变化，将系统的极点位置代入传递函数的分子多项式中，可以计算得出系统的零点。
然后，使用MATLAB的plot函数将所有极点和零点绘制在复平面上。
4.判断稳定性：通过观察根轨迹的形状，可以判断系统的稳定性。
如果所有极点都位于左半平面，系统是稳定的。
如果存在极点位于右半平面，系统是不稳定的。
5.分析动态特性：根轨迹的形状可以提供许多关于系统动态特性的信息。
例如，阻尼比可以通过根轨迹上极点到原点的距离和纵坐标之比来估计；超调量可以通过根轨迹的形状和最大振幅来估计。
MATLAB提供了许多用于根轨迹分析的函数和工具箱，包括rlocus函数、nyquist函数和bode函数等。
这些函数可以方便地绘制根轨迹、Nyquist图和Bode图，从而帮助工程师分析系统稳定性以及设计和调整控制器。
根轨迹分析在控制系统设计和调优中具有重要作用。
通过根轨迹的绘制和分析，工程师可以深入了解控制系统的动态特性，并根据需要调整系统参数来达到设计要求。
同时，根轨迹分析也是控制系统教学和研究中常用的方法和工具。
总之，MATLAB是进行根轨迹分析的强大工具，通过绘制根轨迹和分析根轨迹的形状和特性，可以帮助工程师深入了解控制系统的稳定性和动态特性，从而有效地设计和调整控制器。
利用Matlab绘制系统的根轨迹
利用Matlab绘制系统的根轨迹本章前面的内容介绍了控制系统根轨迹的绘制以及利用系统大致的根轨迹图分析系统性能的方法，若要由根轨迹获得系统在某一特定参数下准确的性能指标或者准确的闭环极点，需要依据幅值条件精确地作图。
如果利用MATLAB工具箱中函数，则可方便、准确地作出根轨迹图，并利用图对系统进行分析。
MATLAB工具箱中，求系统根轨迹的几个常用函数有rlocus, rlocfind, sgrid，下面通过具体的例子来说明这些函数的应用。
例4-13 控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=绘制系统的根轨迹图。
解利用函数rlocus函数可直接作出系统的根轨迹图，程序如下：% example4-13 %num=[1,5];dun=[1,6,11,6,0]; rlocus(num,dun)执行该程序后，可得到如图4-20所示的根轨迹。
图4-20 例4-13题根轨迹图利用函数rolcus可画出系统的根轨迹图后，可用rlocfind函数在根轨迹上选择任意极点，得到相应的开环增益和其它闭环极点。
例4-14 控制系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图，并确定根轨迹的分离点及相应的开环增益。
解将开环传递函数写为Matlab程序如下：% example4-14 %num=[1];den=[0.0002,0.03,1,0]; rlocus(num,den)title(‘Root Locus’) [k,p]=rlocfind(num,den) 程序执行过程中，先绘出系统的根轨迹，并在图形窗口中出现十字光标，提示用户在根轨迹上选择一点，这时，将十字光标移到所选择的地方，可得到该处对应的系统开环增益及其它闭环极点。
此例中，将十字光标移至根轨迹的分离点处，可得到k =9.6115p =-107.7277-21.9341-20.3383 若光标能准确定位在分离点处，则应有两个重极点，即相等。
程序执行后，得到的根轨迹图如图4-21所示。
参数根轨迹的matlab绘制原理
参数根轨迹的matlab绘制原理参数根轨迹是控制系统分析和设计中非常重要的概念，可以帮助我们分析控制系统的稳定性和动态响应特性。
在Matlab中，可以通过一些简单的指令实现参数根轨迹的绘制，从而更好地理解控制系统的行为。
本文将简要介绍参数根轨迹的概念和Matlab中绘制参数根轨迹的原理，以及具体的绘制方法。
一、什么是参数根轨迹？我们知道，在控制系统中，控制器的传递函数通常是由若干个参数构成的，例如比例控制器的传递函数为$K_p$，积分控制器的传递函数为$\frac{K_i}{s}$等。
参数根轨迹是指控制器参数变化时，系统极点和极点轨迹的变化关系。
在某些情况下，通过控制器参数的设计和调节，我们可以使得系统的极点轨迹穿过我们所期望的点（通常是一条直线），从而使系统的性能和稳定性得到改善。
参数根轨迹的绘制是一种基于控制理论的分析方法，它可以用来分析控制系统的动态响应特性，包括稳态误差、阻尼比、过渡过程时间等。
参数根轨迹的概念适用于各种类型的控制系统，包括比例控制、积分控制、微分控制、比例积分控制、比例微分控制等。
二、参数根轨迹的Matlab绘制原理Matlab提供了许多用于控制系统分析和设计的工具箱，包括控制系统工具箱、优化工具箱等。
在控制系统工具箱中，可以使用“rlocus”指令绘制参数根轨迹。
rlocus指令的使用形式为：```rlocus(num,den,k)```num和den是控制器的分子和分母系数向量，k是控制器参数的范围，通常选择在0到一个较大的数之间。
对于一个比例控制器，可以使用以下代码绘制参数根轨迹：```num=[1];den=[1 10];k=0:0.1:10;rlocus(num,den,k)```这个代码将绘制一个比例控制器$G(s)=k$的参数根轨迹，其中控制器的分母为$s+10$。
在绘制出来的图像中，可以看到参数$k$的变化对系统极点轨迹的影响。
通常我们会选择一个合适的$k$值，使得系统极点轨迹经过我们期望的稳定位置。
matlab中根轨迹
matlab中根轨迹M a t l a b中的根轨迹是一种用于分析和设计控制系统的有力工具。
根轨迹图能够帮助我们直观地了解系统的稳定性、动态特性和控制参数对系统性能的影响。
在本文中，我们将一步一步地回答关于M a t l a b中根轨迹的一些常见问题。
1.什么是根轨迹？根轨迹是指系统传递函数零极点在复平面上随参数变化时所形成的轨迹。
这些轨迹是系统的特征线，可以帮助我们分析和预测系统的动态行为。
根轨迹图通常以虚轴为对称轴，用于研究连续时间域系统的稳定性和相应的频率响应。
2.如何在M a t l a b中绘制根轨迹？在M a t l a b中，绘制根轨迹有多种方法，其中最常用的是使用"r l o c u s"函数。
这个函数的基本语法为r l o c u s(s y s)或r l o c u s(s y s K)或r l o c u s(s y s,K)，其中s y s是控制系统的传递函数，K是增益。
通过改变K的值，可以生成不同增益对应的根轨迹图。
3.如何选择适当的增益K？选择适当的增益K是非常重要的，因为它直接决定了系统的稳定性和性能。
通常情况下，我们可以通过观察根轨迹来判断系统是否稳定，并选择合适的增益K。
当系统的根轨迹趋近于虚线的无穷远处时，该系统是稳定的。
此时，我们可以选择一个适当的增益K，以实现所需的动态性能。
4.如何分析根轨迹图？根轨迹图提供了丰富的信息，可以帮助我们分析系统的动态行为。
首先，我们可以根据根轨迹的形状判断系统的稳定性。
如果所有的根轨迹都位于左半平面，则系统是稳定的；如果有根轨迹位于右半平面，则系统是不稳定的。
其次，我们还可以通过根轨迹图估计系统的动态特性，如振荡频率、过渡时间和超调量。
振荡频率可以通过根轨迹的旋转速度和半径来估计，而过渡时间和超调量可以通过根轨迹到达虚线和实轴的位置来估计。
此外，根轨迹图还可以帮助我们选择合适的控制器增益。
根据根轨迹的位置，我们可以调整增益的大小，以达到所需的系统性能。
根轨迹分析的MATLAB实现
函数命令调用格式：
[k,poles]=rlocfind(sys) [k,poles]=rlocfind(sys,p)
函数命令使用说明：
rlocfind（）函数命令可计算出与根轨迹上极点（位 置为poles）相对应的根轨迹增益（k）。rlocfind（）函 数既适用于连续时间系统，也适用于离散时间系统。
pzmap(a,b,c,d)函数可以在复平面内绘制用状态空间 模型描述系统的零极点图，对于MIMO系统，可绘制所有 输入到输出间的传递零点。
pzmap(sys)函数可以在复平面里绘制以传递函数模 型sys表示开环系统的零极点。传递函数模型sys即 G(s)=num(s)/den(s)。
pzmap(p,z)函数可在复平面里绘制零极点图，其中 行矢量p为极点位置，列矢量z为零点位置。这个函数命令 用于直接绘制给定的零极点图。
[k,poles]=rlocfind(sys,p)函数可对指定根计算对应 的增益与根矢量p。
[k,poles]=rlocfind(sys)函数输入参量sys可以是由函 数tf（）、zpk（）、ss（）中任何一个建立的LTI对象模 型。函数命令执行后，可在根轨迹图形窗口中显示十字形 光标，当用户选择根轨迹上一点时，其相应的增益由k记 录，与增益相关的所有极点记录在poles中。
2．求系统根轨迹的函数rlocus()
函数命令调用格式：
[r,k]=rlocus(a,b,c,d) [r,k]=rlocus(sys) [r,k]=rlocus(a,b,c,d,k) [r,k]=rlocus(num,den,k)
函数命令使用说明：
rlocus()函数命令用来绘制SISO系统的根轨迹图。 rlocus()函数既可适用于连续时间系统，也适用于离散时 间系统。
利用MATLAB绘制系统根轨迹
第4章 利用MATLAB 绘制系统根轨迹一、 利用MATLAB 绘制系统根轨迹相关知识假设闭环系统中的开环传递函数可以表示为：)()())(()())(()(021********s KG p s p s p s z s z s z s K den numK a s a s a s b b s b s K s G n m nn n n m m m m k =+⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=---- 则闭环特征方程为： 01=+dennumK特征方程的根随参数K 的变化而变化，即为闭环根轨迹。
控制系统工具箱中提供了rlocus()函数，可以用来绘制给定系统的根轨迹，它的调用格式有以下几种：rlocus(num ，den) rlocus(num ，den ，K) 或者 rlocus(G) rlocus(G ，K)以上给定命令可以在屏幕上画出根轨迹图，其中G 为开环系统G 0(s)的对象模型,K 为用户自己选择的增益向量。
如果用户不给出K 向量，则该命令函数会自动选择K 向量。
如果在函数调用中需要返回参数，则调用格式将引入左端变量。
如[R ，K]=rlocus(G)此时屏幕上不显示图形，而生成变量R 和K 。
R 为根轨迹各分支线上的点构成的复数矩阵，K 向量的每一个元素对应于R 矩阵中的一行。
若需要画出根轨迹，则需要采用以下命令：plot(R ，¹¹)plot()函数里引号内的部分用于选择所绘制曲线的类型，详细内容见表1。
控制系统工具箱中还有一个rlocfind()函数，该函数允许用户求取根轨迹上指定点处的开环增益值，并将该增益下所有的闭环极点显示出来。
这个函数的调用格式为：[K ，P]=rlocfind(G)这个函数运行后，图形窗口中会出现要求用户使用鼠标定位的提示，用户可以用鼠标左键点击所关心的根轨迹上的点。
这样将返回一个K 变量，该变量为所选择点对应的开环增益，同时返回的P 变量则为该增益下所有的闭环极点位置。
实验三利用MATLAB进行根轨迹分析
实验三利用MATLAB进行根轨迹分析实验三利用MATLAB进行根轨迹分析一、实验目的1、熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2、利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。
3、掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
二、实验原理1、绘制系统的根轨迹rlocus()2、确定闭环根位置对应增益值K的函数rlocfind()该函数的调用格式为：[k,r]=rlocfind(num,den)三、实验内容请绘制下面系统的根轨迹曲线①、G(s)=k/s*(s^2+2*s+2)*(s^2+6*s+13)K:从0到无穷大时的根轨迹，x轴、y轴和标题。
②、G(s)=k*(s+12)/(s+1)*(s^2+12*s+100)*(s+10)K:从0到1000时的根轨迹曲线。
③、G(s)=k*(0.05+1)/s*(0.0714+1)*(0.012*s^2+0.1*s+1) K:从0到无穷大时的根轨迹曲线，图形窗口任选一点，确定系统稳定性。
程序：①num=[1];>> den=conv(conv([1,0],[1,2,2]),[1,6,13]);>> tf(num,den)Transfer function:1------------------------------------s^5 + 8 s^4 + 27 s^3 + 38 s^2 + 26 s>> num=[0,0,1];>> den=[1,8,27,38,26];>> rlocus(num,den)>> grid>> xlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')>> title('Root Locus')②num=[1,12];den=conv(conv([1,1],[1,12,100]),[1,10]); >> tf(num,den) Transfer function:s + 12--------------------------------------s^4 + 23 s^3 + 242 s^2 + 1220 s + 1000 >> num=[1,12]; >> den=[1,23,242,1220,1000];>> k=1:0.5:1000;>> rlocus(num,den)>> grid③num=[0.05 1];den=conv(conv([1,0],[0.0714 1]),[0.012 0.1 1]); rlocus(num,den)r=rlocus(num,den)[r,k]=rlocus(num,den)G=tf(num,den);rlocus(G);[k,r]=rlocfind(G)G_c=feedback(G,1);step(G_c)gridxlabel('Real Axis'),ylabel('Imaginary Axis')title('Root Locus')从k的取值可以知道系统是稳定的。
MATLAB的根轨迹分析
Real AXiS QFXA W^nPaay-8 -2基于MATLAB 的根轨迹分析一. 实验目的：1. 学习利用MATLAB 的语言绘制控制系统根轨迹的方法。
2. 学习利用根轨迹分析系统的稳定性及动态特性。
二. 实验内容：1. 应用MATLAB 语句画出控制系统的根轨迹。
2. 求出系统稳定时，增益k 的范围。
3. 分析系统开环零点和极点对系统稳定性的影响。
三. 实验步骤1. 给定某系统的开环传递函数 G(S)H(S)=k∕s(s*s+4s+16)用MATLAB 与语言绘出 该系统的根轨迹。
程序如下：num=[1];den=[1,4,16,0];G=tf(nu m,de n)GI=ZPk(G)Z=tzero(G)P=pole(G)pzmap( nu m,de n);title('pole-zero MaP')rlocus( nu m,de n)根轨迹如图Root Locus864O-6-82-2结论：由上图可知增益k的取值范围：0<k<642. 将系统的开环传递函数改为：G(S)H(S)=k∕s(s*s+4s+5)绘出该系统根轨迹图，观察增加了开环零点后根轨迹图的变化情况。
程序如下：num=[1,1];den=[1,4,5,0];G=tf(nu m,de n)GI=ZPk(G)Z=tzero(G)P=pole(G)pzmap( nu m,de n);title('pole-zero MaP')rlocus( nu m,de n)根轨迹如图结论：增加了开环零点后根轨迹的变化-2.5-2 -1.5 -1Real AXiS-0.5 0Root Locus43 2OCFXA VyanLya PI I I II I I I3. 将系统的开环传递函数改为：G(S)H(S)=k∕s(s-1)(s*s+4s+5)绘出该系统的根轨迹图，观察增加了开环零点后根轨迹的变化情况。
利用Matlab绘制系统的根轨迹
利用Matlab绘制系统的根轨迹本章前面的内容介绍了控制系统根轨迹的绘制以及利用系统大致的根轨迹图分析系统性能的方法，若要由根轨迹获得系统在某一特定参数下准确的性能指标或者准确的闭环极点，需要依据幅值条件精确地作图。
如果利用MATLAB工具箱中函数，则可方便、准确地作出根轨迹图，并利用图对系统进行分析。
MATLAB工具箱中，求系统根轨迹的几个常用函数有rlocus,rlocfind,sgrid，下面通过具体的例子来说明这些函数的应用。
例4-13控制系统的开环传递函数为G(s)H(s)=绘制系统的根轨迹图。
解利用函数rlocus函数可直接作出系统的根轨迹图，程序如下：%example4-13%num=[1,5];dun=[1,6,11,6,0];rlocus(num,dun)执行该程序后，可得到如图4-20所示的根轨迹。
图4-20例4-13题根轨迹图利用函数rolcus可画出系统的根轨迹图后，可用rlocfind函数在根轨迹上选择任意极点，得到相应的开环增益和其它闭环极点。
例4-14控制系统的开环传递函数为绘制系统的根轨迹图，并确定根轨迹的分离点及相应的开环增益。
解将开环传递函数写为Matlab程序如下：%example4-14%num=[1];den=[0.0002,0.03,1,0];rlocus(num,den)title(‘Root Locus’)[k,p]=rlocfind(num,den)程序执行过程中，先绘出系统的根轨迹，并在图形窗口中出现十字光标，提示用户在根轨迹上选择一点，这时，将十字光标移到所选择的地方，可得到该处对应的系统开环增益及其它闭环极点。
此例中，将十字光标移至根轨迹的分离点处，可得到k=9.6115p=-107.7277-21.9341-20.3383若光标能准确定位在分离点处，则应有两个重极点，即相等。
程序执行后，得到的根轨迹图如图4-21所示。
图4-21例4-14系统的根轨迹例4-15开环系统的传递函数为绘制系统的根轨迹，并分析系统的稳定性。
matlab零度根轨迹
在MATLAB中绘制零度根轨迹，您需要使用控制系统工具箱中的rootlocus函数。
以下是一个简单的示例，说明如何绘制零度根轨迹：
matlab
定义系统参数
num = [1]; 分子
den = [1 2 3]; 分母
定义根轨迹参数
rlocus(num, den);
添加额外的参数
ax = gca;
ax.GridLineStyle = 'on';
ax.GridAlpha = 0.2;
ax.GridColor = 'k';
ax.XGridOn = 'on';
ax.YGridOn = 'on';
ax.XAxisLocation = 'left';
ax.YAxisLocation = 'below';
ax.XAxisTickMode = 'auto';
ax.YAxisTickMode = 'auto';
ax.XLim([-5 5]);
ax.YLim([-5 5]);
ax.XGridLineLocation = 'major';
ax.YGridLineLocation = 'major';
ax.XGridLineWidth = 0.5;
ax.YGridLineWidth = 0.5;
在这个示例中，我们定义了一个传递函数num/den，其中分子为1，分母为2和3。
然后，我们使用rlocus函数绘制了该系统的零度根轨迹。
最后，我们添加了一些额外的参数，以改进图形的外观和可读性。
第五章 ——MATLAB跟轨迹分析
K ( s + 5) ( s + 1)( s + 3)( s + 12) ，
绘制系统的跟轨迹,并在跟轨迹上任选一点 并在跟轨迹上任选一点， 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹 并在跟轨迹上任选一点， 计算该点的增益 K 及其所有极点的位置
4. 已知单位负反馈系统， 已知单位负反馈系统， 系统的开环传递函数为
第五章
5.1 5.2 5. 3 5. 4
MATLAB跟轨迹分析 MATLAB跟轨迹分析
根轨迹法基础 MATLAB根轨迹相关指令 MATLAB根轨迹相关指令 根轨迹分析与设计工具rltool 根轨迹分析与设计工具rltool 用根轨迹分析系统性能
5.1
跟轨迹法基础
一、根轨迹方程 二、基本条件
根轨迹的相角条件 根轨迹的幅值条件
已知单位负反馈系统， 2. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
GH ( s ) = K ( s + 1) ， s (0.5s + 1)(4 s + 1)
绘制系统的跟轨迹。 试使用 MATLAB 绘制系统的跟轨迹。
已知单位负反馈系统， 3. 已知单位负反馈系统，系统的开环传递函数为
G ( s) =
阻尼比间隔0 阻尼比间隔0.1，范围：0-1； 范围： 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0 pi/10 自然振荡角频率间隔为pi/10，范围0-pi
（3）zgrid（z，wn） zgrid（ wn）
可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn 可以指定阻尼比系数z与自然振荡角频率wn。 wn。
5. 3
例5-2：绘制如下系统的根轨迹图
0.05s + 0.045 G(s) = 2 ( s − 1.8s + 0.9)( s 2 + 5s + 6)
实验三 MATLAB用于根轨迹分析
实验三 MATLAB用于根轨迹分析
一、实验目的
通过使用MATLAB完成根轨迹绘制、部分分式展开以及根轨迹分析等工作。
二、实验原理
绘制根轨迹可用函数rlocus(num,den)或rlocus(num,den,k)。
其中num,den分别对应系统开环传递函数的分子系数和分母系数构成的数组。
如果参数k是指定的，将按照给定的参数绘制根轨迹图，否则k是自动确定的，k的变化范围为0到∞。
三、实验内容
用MATLAB绘制系统的根轨迹图。
四、实验代码
1、
num=[1];
den=[1 3 2 0];
rlocus(num,den)
2、
Gc=tf(1,[1 5]);
Go=tf([1 1],[1 8 0]);
H=tf(1,[1 2]);
rlocus(Gc*Go*H);
v=[-10 10 -10 13];
axis(v);
grid on
五、实验结果
1、
2、
六、实验总结
本次实验通过MATLAB实现了由系统结构图绘制根轨迹图。
七、实验心得
本次实验相对于前两次实验来说比较简单、较为容易实现，但是需要结合其它相关的函数比如说Gain、Pole、Damping等函数来加以理解。
Matlab实验三 绘制根轨迹
③测量出根轨迹增益和对应闭环极点坐标， 测量出根轨迹增益和对应闭环极点坐标， * 在窗口显示 K ( s + 1)
Gk ( s ) =
( s + 2)( s + 3)
[k,poles] = rlocfind(sys) [k,poles] = rlocfind(sys,p) P为已知的要研究的闭环极点。
Matlab
for
Principles of Automatic Control
实验三 绘制根轨迹 1：绘制根轨迹 2：参量分析
① 绘制根轨迹 rlocus(sys)
K ( s + 1) Gk ( s ) = ( s + 2)( s + 3)
*
rlocus(num，den) ， rlocus(sys,k)
②参量分析（根轨迹图上一顿乱点即可） 参量分析（根轨迹图上一顿乱点即可） 图上一顿乱点即可 r=rlocus(sys)
K ( s + 1) Gk ( s ) = ( s + 2)( s + 3)
*
r=rlocus(num，den) ， [r,k]=rlocus(sys) [r,k]=rlocus(num，den) ，
(s − σ a )
K1
n− m
= −1
根轨迹渐进线的方程是新的根轨迹方程。 根轨迹渐进线的方程是新的根轨迹方程。
• 例：绘制根轨迹及其渐近线
K1 G( s讨论增加零点对根轨迹的影响 试试-2至 之间的零点 试试 至-4之间的零点
K1 G( s) = s( s + 1)( s + 2)
④绘制零、极点以及在窗口显示零极点 绘制零、 pzmap(sys)
控制系统的根轨迹分析(matlab)
用户可以 通过 Control Architec ture窗口 进行系统 模型的修 改，如图 13.10。
图13.10 rltool工具Control Architecture窗口
也可通过 System Data窗口 为不同环 节导入已 有模型， 如图 13.11。
图13.11 rltool工具System Data窗口
1
0.8
Amplitude
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
6
Time (sec)
图13.8 例4当时系统的单位阶跃响应曲 线
13.2图形化根轨迹法分析与设计
图形化根轨迹法分析与设计工 具rltool
• MATLAB图形化根轨迹法分析与设计工具rltool 是对SISO系统进行分析设计的。既可以分析 系统根轨迹，又能对系统进行设计。其方便 性在于设计零极点过程中，能够不断观察系 统的响应曲线，看其是否满足控制性能要求， 以此来达到提高系统控制性能的目的。
%鼠标确定文本的左下角位置
gtext('x')
Imaginary Axis
Root Locus
8
8
6
6
4
4
2
2
0
0
x
xx
-2
-2
-4
-4
-6
-6
-8
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
-8 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
Real Axis
(a) 直接绘制根轨迹
第九章根轨迹法MATLAB
15
例9-1
100s 2 已知系统的开环传递函数为： G s ss TLAB命令如下： z=[-2]; p=[0 -1 -2]; pzmap(p,z)
2
二、绘制系统根轨迹图
MATLAB用函数命令rlocus ( )来绘制根轨迹图，其调用格式为： rlocus (sys)：sys为闭环系统的开环传递函数G(s)H(s)，此函数在 当前窗口中绘制出闭环系统特征方程1+k G(s)H(s)=0的根轨迹图。
可以用于连续系统，也可用于离散系统；
例9-2
k s 3 已知系统的开环传递函数为： G s ss 1s 2
试绘制该系统的根轨迹图。
其MATLAB命令如下： z=[-3];p=[0 -1 -2];k=1; sys=zpk(z,p,k);
rlocus(sys)
3
rlocus (sys, k)：此命令可用指定的反馈增益向量k来绘制根轨迹图；
6
k= 0.4984
poles =
-2.0664 -0.0918 + 0.3349i -0.0918 - 0.3349i
7
例9-4
设系统结构如图所示，试绘制反馈系数Ta从 0→∞变动时闭环系统的根轨迹图，并计算其零极 点。
R(s) E(s)
5
1 Ta s
1 s5 s 1
C(s)
5Ta s 1 解： (1)由系统结构图知系统的开环传递函数为：Gk s s5 s 1
[k, poles]=rlocfind (sys, p) ：对于给定根计算对应的增益和闭环极点 poles。
4
例9-3
已知一单位负反馈系统的开环传递函数为：
k G s s0.5 s 14 s 1
MATLAB线性系统的根轨迹实验
MATLAB线性系统的根轨迹实验实验报告实验名称线性系统的根轨迹一、实验目的1.熟悉MATLAB用于控制系统中的一些基本编程语句和格式。
2.利用MATLAB语句绘制系统的根轨迹。
3.掌握用根轨迹分析系统性能的图解方法。
4.掌握系统参数变化对特征根位置的影响。
二、实验内容1．请绘制下面系统的根轨迹曲线G(s)?K 22s(s?2s?2)(s?6s?13)G(s)?K(s?12)(s?1)(s2?12s?100)(s?10)G(s)?K(0.05s?1) 2s(0.0714s?1)(0.012s?0.1s?1)同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。
2. 在系统设计工具rltool界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。
三、实验结果及分析1．请绘制下面系统的根轨迹曲线G(s)?Ks(s2?2s?2)(s2?6s?13)G(s)?K(s?12) 2(s?1)(s?12s?100)(s?10)G(s)?K(0.05s?1)2s(0.0714s?1)(0.012s?0.1s?1)同时得出在单位阶跃负反馈下使得闭环系统稳定的K值的范围。
（1）>> num=[0 0 1];>> den=[conv([1,2,2],[1,6,13]),0]; >> rlocus (num,den)>> [k,r]=rlocfind(num,den)Select a point in the graphics windowselected_point =0.0071 + 1.0248i k =31.4829 r =-2.8088 + 2.1856i -2.8088 - 2.1856i -2.4150 0.0163 +1.0144i 0.0163 - 1.0144i使得闭环系统稳定K的范围为K?(0,31.4)（2） num=[0 1 12];den=[conv(conv([1,1],[1,12,100]),[1,10])]; rlocus (num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)Select a point in the graphics windowselected_point =0.0355 +10.4037i k =1.1953e+003 r =0.1898 +10.2777i 0.1898 -10.2777i -11.6898 + 2.9253i -11.6898-2.9253i e?003) 使得闭环系统稳定K的范围为K?(0,1.1953（3） num=[0.05,1];>> den=[conv([0.0714,1],[0.012,0.1,1]),0]; >> rlocus (num,den)[k,r]=rlocfind(num,den)Select a point in the graphics windowselected_point =0.0711 + 8.3851i k =7.8321 r =-0.0336 + 8.5173i -0.0336 - 8.5173i -11.1359 + 1.4131i -11.1359 -1.4131i使得闭环系统稳定K的范围为K?(0,7.8)2. 在系统设计工具rltool界面中，通过添加零点和极点方法，试凑出上述系统，并观察增加极、零点对系统的影响。
用MATLAB用于根轨迹分析
根轨迹图相同
Root Locus 1.5 0.91 0.84 0.74 0.6 0.42 0.22
1
0.96
0.5 0.99 Imaginary Axis
5
-0.5 0.99
-1
0.96
-1.5
0.91 -3 -2.5
0.84 -2
0.74 -1.5
0.6 -1
0.42
0.22 0 0.5
例4.2.6的根轨迹
k k G (s) = = 4 2 s ( s + 2.73)( s + 2 s + 2) s + 4.73s 3 + 7.46 s 2 + 5.46 s rlocus ( [ 1 ] , [1 4.73 7.46 5.46 0] )
零点的作用
k G ( s) H ( s) = 2 s ( s + 3)
用MATLAB用于根轨迹分析 MATLAB用于根轨迹分析
绘制根轨迹可用函数 rlocus(num,den) num,den分别对应系统开环传递函数分子多项式和 分母多项式系数构成的数组。
k k 若 G(s) = = 3 s( s + 1)( s + 2) s + 3s 2 + 2s 在MATLAB环境下键入 num = [1]; den = [1,3, 2, 0]; rlocus (num, den)
根轨迹相同的两个系统响应却不同
k (0.8s + 1) k (0.8s + 1) , H1 ( s ) = 1 , G1 ( s ) H1 ( s ) = s (5s + 1) s (5s + 1) k k (0.8s + 1) G1 ( s ) = , H1 ( s ) = (0.8s + 1) , G2 ( s ) H 2 ( s ) = s (5s + 1) s (5s + 1) G1 ( s ) = 开环传递函数相同， 1 ( s ) H1 ( s ) = G2 ( s ) H 2 ( s ) G 开环零、极点相同， 1 = 0 , p2 = −0.2 , z1 = −1.25 p 闭环传递函数不同： k (0.8s + 1) Φ1(s)= 2 5s + (1 + 0.8k ) s + k k , Φ 2(s)= 2 5s + (1 + 0.8k ) s + k
实验六 用MATLAB进行根轨迹分析
rlocus(G);
axis([-8 5 -5 5])
hold on
disp(‘press any key to continue.’)
pause
end
clear
clc
Wn=2;
Xita=.5;
b=[1,3,5];
主导极点法：在全部闭环极点中，选留最靠近虚轴而又不十分靠近闭环零点的一个或几个闭环极点作为主导极点，略去不十分接近原点的偶极子，以及比主导极点距离远6倍以上（在许多实际运用中，常取2～3倍）的闭环零极点。选留的主导零点数不要超过主导极点数。
主导极点法常用于估算高阶系统的性能。用主导极点代替全部闭环极点绘制系统时间响应曲线时，形状误差仅出现在曲线的起始段，而主要决定性能指标的曲线中、后段，其形状基本不变。
for i=1:3
G=tf(Wn^2*[1,b(i)]/b(i),[1,2*xita*Wn,0]);
rlocus(G);
disp(‘press any key to continue.’)
pause
hold on
end
四、实验方法、步骤：
1）MATLAB参考程序(1)如下：
2）MATLAB参考程序(2)如下：
五、实验现象、实验数据记录：
六、实验现象、实验数据的分析：
七、实验结论：
指导教师评语和成绩评定：
实验报告成绩：
指导教师签字：
年 月 日
clear
clc
Wn=2;
xita=0.5;
a=[1,3,5];
for i=1:length(a)
闭环实数主导极点对系统性能的影响：相当于增大系统的阻尼，使峰值时间滞后，超调量下降。如果实数极点比复数极点更接近坐标原点，动态过程可以变成非振荡过程。
应用MATLAB绘制根轨迹
运行结果如图1-27所示。
图1-27 例1-18系统根轨迹
自动控制原理
[r,K] = rlocus(num,den,K) 则 r 向量中元素为给定 K 值闭环极点的位置。如果不
指定Ｋ，即
[r,K] = rlocus(num,den)
利用MATLAB绘制根轨迹的步骤为： （1）求得系统的特征方程。 （2）调用rlocus函数绘制根轨迹。
例1-14 已知控制系统的开环传递函数为
图1-25 例1-17系统根轨迹
若增加sgrid命令，则可得到如图1-26所示的 根轨迹图。
图1-26 带栅格的系统根轨迹
例1-18 系统的开环传递函数为
G(s)H (s)
K (s2 4s 16) s(s 4)(s2 2s 2)
试应用MATLAB绘制系统的根轨迹。 解 MATLAB程序如下： a = [1,4,0]； b = [1,2,2]；
所得系统的根轨迹如图1-23所示。
图1-23 例1-15系统根轨迹
在根轨迹图上直接获得的系统的主要性能指标有：单位阶 跃的超调量；无阻尼自由振荡角频率；进一步可计算得到 系统的调节时间。
例1-16 已知连续系统的开环传递函数为
G(s)H (s) K (2s2 5s 1) s2 2s 3
自动控制原理
应用MATLAB绘制根轨迹
MATLAB绘制根轨迹的本命令是rlocus()。sgrid和zgrid分 别是在连续和离散系统根轨迹图上绘制等阻尼系数和等自 然角频率的栅格，其他有关命令及其应用可查阅MATLAB 的帮助文件help。
在应用MATLAB绘制根轨迹时，首先要将系统的开环传递函 数写成如下形式：
试确定系统开环零、极点的位置。
解 在MATLAB命令窗口键入 num = [2,5,1]； den = [1,2,3]； pzmap(num,den)； 执行后得到如图1-24所示的零、极点图。
MATLAB跟轨迹分析
MATLAB跟轨迹分析MATLAB是一种高级技术计算环境和编程语言，广泛应用于各个领域中的科学与工程计算。
它提供了丰富的函数库和工具箱，可以用于数据处理、可视化、模拟和分析等任务。
其中一项常见的应用是轨迹分析，即对物体或者系统在时间和空间上的运动进行分析和模拟。
轨迹分析在多个领域中起着重要的作用，比如物理学、生物学、机械工程等。
对于轨迹数据的分析可以帮助解释和理解物体的运动规律，优化运动轨迹，以及预测未来的运动状态。
在MATLAB中，可以使用多种方法对轨迹数据进行分析，包括统计分析、插值、回归分析、滤波和模拟等。
以下是一些常见的轨迹分析方法：1.数据导入和可视化：可以使用MATLAB的文件读取和数据处理工具将轨迹数据导入到MATLAB环境中，然后通过绘图函数进行可视化。
可以使用散点图、曲线图、等高线图等形式展示轨迹数据，以便更直观地观察和分析。
2.轨迹插值：在轨迹数据中可能存在缺失值或者噪声，可以使用MATLAB的插值函数对轨迹数据进行平滑处理。
常见的插值方法包括线性插值、样条插值、拉格朗日插值等。
3.轨迹分段和切割：在实际应用中，轨迹数据可能会因为不同的运动行为而分段。
可以使用MATLAB的函数对轨迹数据进行分段，然后对每个段进行单独的分析。
4.轨迹拟合和回归分析：可以使用MATLAB的拟合工具箱对轨迹数据进行拟合，并使用回归分析方法评估拟合的精度。
拟合和回归分析可以帮助确定轨迹的运动模型和参数。
5.轨迹滤波：在实际应用中，轨迹数据可能会受到测量误差、噪声和干扰的影响。
可以使用MATLAB的滤波器设计工具箱对轨迹数据进行滤波，以去除噪声和干扰。
6.轨迹模拟和预测：可以使用MATLAB的仿真和模型建立工具箱对轨迹进行模拟和预测。
通过建立合适的数学模型和运动方程，可以预测未来的轨迹运动状态。
除了上述方法，MATLAB还提供了丰富的图形绘制、数据分析和统计工具，可以用于更深入的轨迹分析。
此外，MATLAB还支持与其他软件和工具集成，可以方便地进行数据的导入和导出。
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实验二 利用MATLAB 进行根轨迹分析
一 实验目的
1 掌握利用MA TLAB 绘制控制系统根轨迹图形等方法。
2 掌握利用绘制的根轨迹图形进行线性系统分析的方法
二 实验内容
1 初步掌握MA TLAB 根轨迹绘制以及分析中的基本命令；
2 绘制系统的根轨迹图并进行性能分析
三 实验步骤
1 初步掌握MA TLAB 根轨迹绘制中的基本命令；
可利用pzmap 函数绘制连续系统的零、极点图，也可以利用tf2zp 函数求出系统的零、极点。
如考虑函数
432543232546()34276
s s s s G s s s s s s ++++=+++++ 的零、极点及增益，并绘制其零、极点图。
执行如下程序：
num=[3 2 5 4 6];
den=[1 3 4 2 7 2];
[Z,P,K]=tf2zp(num,den)
pzmap(num,den)
Title(‘Pole-Zore Map ’)
或者
num=[3 2 5 4 6];
den=[1 3 4 2 7 2];
sys1=tf(num,den)
pzmap(sys1)
Title(‘Pole-Zore Map ’)
绘制结果如下：
2 绘制系统的根轨迹
考虑如下开环传递函数
*
2()()(3)(22)
K G s H s s s s s =+++ 试绘制根轨迹
执行如下命令：
num=[0 0 0 0 1];
den=[1 5 8 6 0];
rlocus(num,den)
grid
绘制结果如下：
四 作业
1 设单位反馈系统的开环传递函数为(0.011)(0.021)
K s s s ++，要求：（1）画出根轨迹；（2）从图中确定系统的临界稳定开环增益c K ；（3）从图中确定与系统临界阻尼比相应的开环增益K 。
2 设单位负反馈系统的开环传递函数(4)()(2)
K s G s s s +=+，试绘制根轨迹图，并从图中找出系统具有最小阻尼比时的闭环极点和对应的增益K 。