matlab实验报告
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-0.8029
-0.9770
-1.1151
-1.2280
-1.3223
-1.4024
-1.4715
-1.5316
n =
200
SOR迭代法wenku.baidu.com（ω=1.5）
>> H=[x,n]=SOR(H,b,x0,1.5)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
0.9977
1.0191
0.9711
1.0367
0 0 0 0 0.2424 0
0 0 0 0 0 1.6189
由计算结果可知，矩阵H6的六个特征值为0.0000，0.0000，0.0006，0.0163，0.2424，1.6189.
-0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209
L =
0.0102 0 0 0
0 0.8431 0 0
0 0 3.8581 0
0 0 0 30.2887
c =
2.9841e+003
由结果可知，det(A)=1，A的四个特征值为0.0102，0.8431，3.8581，30.2887。cond(A)2=2.9841e+003。
y1=interp1(x,y,'pchip');
y2=interp1(x,y,'spline');
plot(x,y1,'o',x,y1,'-',x,y2,'*',x,y2,'-.'),grid
legend('样本点','三次插值','三次样条插值')legend('样本点','三次插值','三次样条插值')
回车得出：
由结果可见，用两种方法画出的曲线在样本点之间取值并无太大差异，曲线亦基本上一致。
2、对于给定函数 在区间[-1,1]上取 ,试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程。
解：在matlab命令窗口中键入：
>>x=-1:0.2:1;y=1./(25*x.^2+1);
p=polyfit(x,y,3)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
0.9982
1.0124
1.0177
0.8680
1.1630
0.8808
1.1393
0.9211
n =
200
由结果可见，SOR法所给出的解为x=[0.9982,1.0124,1.0177,0.8680,1.1630,0.8808,1.1393,0.8211]’,误差比jacobi迭代法要小得多。
MATLAB实验报告
1、在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组选中节点对龙格函数 作多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f(x)的图形.
解：
n=10
在matlab命令窗口中键入：
>>x=-1:0.2:1;
y=1./(1+25*x.^2);
y1=interp1(x,y,'pchip');
-0.6898 0.4415 -0.0470 0.3627 0.3882 0.2115
0.2716 -0.4591 -0.5407 0.5028 0.3707 0.1814
L =
0.0000 0 0 0 0 0
0 0.0000 0 0 0 0
0 0 0.0006 0 0 0
0 0 0 0.0163 0 0
n=10
>> H=hilb(10);
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=H*x0
回车得出
b =
2.9290
2.0199
1.6032
1.3468
1.1682
1.0349
0.9307
0.8467
0.7773
0.7188
jacobi迭代法：
在matlab窗口中键入：
>> H=hilb(10);
0 0 0 30.2887
由计算结果可知，矩阵A的四个特征值为0.0102，0.8431，3.8581，30.2887.
矩阵B
在MATLAB命令窗口中输入：
>> B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0];
>> [V,L]=eig(B)
>>A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];
det(A)
[V,L]=eig(A)
c=cond(A)
回车得出：
ans =
1
V =
0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286
-0.8304 0.0933 0.3963 0.3803
0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520
n =
200
由结果可见，SOR法所给出的解为x=[0.9991,0.9958,1.0392,0.9383,1.0265,1.0001]’,误差比jacobi迭代法要小得多。
n=8
在matlab命令窗口中键入：
>> H=hilb(8);
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=H*x0
回车得出：
0.0178 -0.0385 0.0776 -0.1723 0.6776
L =
13.1724 0 0 0 0
0 6.5519 0 0 0
0 0 1.5957 0 0
0 0 0 -0.3908 0
0 0 0 0 -0.9291
由计算结果可知，矩阵B的五个特征值为13.1724，6.5519，1.5957，-0.3908，-0.9291.
b=[8 5.900001 5 1]';
[L,U]=lu(A)
x=U\(L\b)
回车得出：
L =
1.0000 0 0 0
-0.3000 -0.0000 1.0000 0
0.5000 1.0000 0 0
0.2000 0.9600 -0.8000 1.0000
U =
10.0000 -7.0000 0 1.0000
0.8891
1.1433
0.7735
1.2451
1.0809
0.8423
n =
200
由结果可见，SOR法所给出的解为x=[0.9977,1.0191,0.9711,1.0367,0.8891,1.1433,0.7735,1.2451,1.0809,0.8423]’,误差比jacobi迭代法要小得多。
0 2.5000 5.0000 -1.5000
0 0 6.0000 2.3000
0 0 0 5.0800
x =
0.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
即解向量x=[0 -1 1 1]’
键入：
>>det(A)
回车得出：
ans =
-762.0001
即行列式det(A)=-762.0001.
列主元高斯消去法
回车得出：
V =
0.4801 0.4841 0.2507 0.4050 -0.2057
0.6623 0.7574 0.5992 -0.7475 0.2129
0.5252 0.3562 -0.7461 0.4928 -0.2385
0.2340 -0.2525 0.1239 0.0673 -0.6295
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=[2.9290 2.0199 1.6032 1.3468 1.1682 1.0349 0.9307 0.8467 0.7773 0.7188]';
[x,n]=jacobi(H,b,x0)
回车得出：
x =
1.0e+173 *
-0.2452
-0.5736
y2=interp1(x,y,'spline');
plot(x,y1,'o',x,y1,'-',x,y2,'*',x,y2,'-.'),grid
legend('样本点','三次插值','三次样条插值')
回车得出：
n=20
在matlab命令窗口中键入：
>>x=-1:0.1:1;
y=1./(1+25*x.^2);
x =
1.0e+122 *
0.3290
0.7099
0.9462
1.1118
1.2354
1.3317
n =
200
SOR迭代法：（ω=1）
>> [x,n]=SOR(H,b,x0,1)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
0.9991
0.9958
1.0392
0.9383
1.0265
1.0001
键入：
>> det(A)
回车得出：
ans =
-762.0001
即行列式det(A)=-762.0001.
由结果可见，用LU分解法与列主元消去法所得到的结果一致。
4、线性方程组Ax=b的A及b为
， ，
则解 用MATLAB内部函数求detA及A的所有特征值和cond(A)2.
解：在matlab命令窗口中键入：
6、已知矩阵
（1）用MATLAB函数“eig”求矩阵全部特征值.
（2）用基本QR算法求全部特征值（可用MATLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）.
解：(1)
矩阵A
在MATLAB命令窗口中输入：
>> A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];
>> [V,L]=eig(A)
5、给出线性方程组 ,其中系数矩阵 为希尔伯特矩阵：
， ，
假设 ，若取n=6，8，10，分别用雅可比迭代法及SOR迭代(ω=1，1.25，1.5)求解.比较计算结果.
解：n=6
在matlab命令窗口中键入：
>>H=hilb(6);
x0=[1 1 1 1 1 1]';
b=H*x0
回车得出：
b =
2.4500
[x,n]=jacobi(H,b,x0)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
1.0e+151 *
-0.8233
-1.8632
-2.5551
-3.0629
-3.4556
-3.7700
-4.0281
-4.2441
n =
200
SOR迭代法：（ω=1.25）
>>[x,n]=SOR(H,b,x0,1.25)
3、用LU分解及列主元高斯消去法解线性方程组
.
输入Ax=b中系数A=LU分解的矩阵L及U,解向量x及detA;列主元法的行交换次序，解向量x及detA;比较两种方法所得结果。
解：LU分解法
在matlab命令窗口中键入：
>>A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];
在matlab命令窗口中键入：
>>A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];
b=[8 5.900001 5 1]';
x=gauss(A,b)
回车得出：
x =
0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000
即解向量x=[0 -1 1 1]’
1.5929
1.2179
0.9956
0.8456
0.7365
jacobi迭代法：
>>H=hilb(6);
b=[2.4500 1.5929 1.2179 0.9956 0.8456 0.7365]';
x0=[1 1 1 1 1 1]';
[x,n]=jacobi(H,b,x0)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
矩阵H6
在MATLAB命令窗口中输入：
>> H6=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6;1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7;1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8;1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10;1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11];
[V,L]=eig(H6)
V =
-0.0012 -0.0111 0.0622 0.2403 -0.6145 0.7487
0.0356 0.1797 -0.4908 -0.6977 0.2111 0.4407
-0.2407 -0.6042 0.5355 -0.2314 0.3659 0.3207
0.6255 0.4436 0.4170 0.1329 0.3947 0.2543
回车得出：
p =
-0.0000 -0.5752 0.0000 0.4841
即拟合的多项式为：
键入：
x1=-1:0.1:1;y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*',x1,y1),grid
legend('样本点','拟合曲线p3(x)')
回车得出：
由结果可看到，拟合曲线并未通过所有的样本点，它冲出了一些随机误差，更能真实地反映出两组量间关系变化的趋势。
b =
2.7179
1.8290
1.4290
1.1865
1.0199
0.8968
0.8016
0.7254
jacobi迭代法：
>> H=hilb(8);
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=[2.7179 1.8290 1.4290 1.1865 1.0199 0.8968 0.8016 0.7254]';
回车得出：
V =
0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286
-0.8304 0.0933 0.3963 0.3803
0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520
-0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209
L =
0.0102 0 0 0
0 0.8431 0 0
0 0 3.8581 0
-0.9770
-1.1151
-1.2280
-1.3223
-1.4024
-1.4715
-1.5316
n =
200
SOR迭代法wenku.baidu.com（ω=1.5）
>> H=[x,n]=SOR(H,b,x0,1.5)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
0.9977
1.0191
0.9711
1.0367
0 0 0 0 0.2424 0
0 0 0 0 0 1.6189
由计算结果可知，矩阵H6的六个特征值为0.0000，0.0000，0.0006，0.0163，0.2424，1.6189.
-0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209
L =
0.0102 0 0 0
0 0.8431 0 0
0 0 3.8581 0
0 0 0 30.2887
c =
2.9841e+003
由结果可知，det(A)=1，A的四个特征值为0.0102，0.8431，3.8581，30.2887。cond(A)2=2.9841e+003。
y1=interp1(x,y,'pchip');
y2=interp1(x,y,'spline');
plot(x,y1,'o',x,y1,'-',x,y2,'*',x,y2,'-.'),grid
legend('样本点','三次插值','三次样条插值')legend('样本点','三次插值','三次样条插值')
回车得出：
由结果可见，用两种方法画出的曲线在样本点之间取值并无太大差异，曲线亦基本上一致。
2、对于给定函数 在区间[-1,1]上取 ,试求3次曲线拟合，试画出拟合曲线并打印出方程。
解：在matlab命令窗口中键入：
>>x=-1:0.2:1;y=1./(25*x.^2+1);
p=polyfit(x,y,3)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
0.9982
1.0124
1.0177
0.8680
1.1630
0.8808
1.1393
0.9211
n =
200
由结果可见，SOR法所给出的解为x=[0.9982,1.0124,1.0177,0.8680,1.1630,0.8808,1.1393,0.8211]’,误差比jacobi迭代法要小得多。
MATLAB实验报告
1、在区间[-1,1]上分别取n=10、20用两组选中节点对龙格函数 作多项式插值及三次样条插值，对每个n值，分别画出插值函数及f(x)的图形.
解：
n=10
在matlab命令窗口中键入：
>>x=-1:0.2:1;
y=1./(1+25*x.^2);
y1=interp1(x,y,'pchip');
-0.6898 0.4415 -0.0470 0.3627 0.3882 0.2115
0.2716 -0.4591 -0.5407 0.5028 0.3707 0.1814
L =
0.0000 0 0 0 0 0
0 0.0000 0 0 0 0
0 0 0.0006 0 0 0
0 0 0 0.0163 0 0
n=10
>> H=hilb(10);
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=H*x0
回车得出
b =
2.9290
2.0199
1.6032
1.3468
1.1682
1.0349
0.9307
0.8467
0.7773
0.7188
jacobi迭代法：
在matlab窗口中键入：
>> H=hilb(10);
0 0 0 30.2887
由计算结果可知，矩阵A的四个特征值为0.0102，0.8431，3.8581，30.2887.
矩阵B
在MATLAB命令窗口中输入：
>> B=[2 3 4 5 6;4 4 5 6 7;0 3 6 7 8;0 0 2 8 9;0 0 0 1 0];
>> [V,L]=eig(B)
>>A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];
det(A)
[V,L]=eig(A)
c=cond(A)
回车得出：
ans =
1
V =
0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286
-0.8304 0.0933 0.3963 0.3803
0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520
n =
200
由结果可见，SOR法所给出的解为x=[0.9991,0.9958,1.0392,0.9383,1.0265,1.0001]’,误差比jacobi迭代法要小得多。
n=8
在matlab命令窗口中键入：
>> H=hilb(8);
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=H*x0
回车得出：
0.0178 -0.0385 0.0776 -0.1723 0.6776
L =
13.1724 0 0 0 0
0 6.5519 0 0 0
0 0 1.5957 0 0
0 0 0 -0.3908 0
0 0 0 0 -0.9291
由计算结果可知，矩阵B的五个特征值为13.1724，6.5519，1.5957，-0.3908，-0.9291.
b=[8 5.900001 5 1]';
[L,U]=lu(A)
x=U\(L\b)
回车得出：
L =
1.0000 0 0 0
-0.3000 -0.0000 1.0000 0
0.5000 1.0000 0 0
0.2000 0.9600 -0.8000 1.0000
U =
10.0000 -7.0000 0 1.0000
0.8891
1.1433
0.7735
1.2451
1.0809
0.8423
n =
200
由结果可见，SOR法所给出的解为x=[0.9977,1.0191,0.9711,1.0367,0.8891,1.1433,0.7735,1.2451,1.0809,0.8423]’,误差比jacobi迭代法要小得多。
0 2.5000 5.0000 -1.5000
0 0 6.0000 2.3000
0 0 0 5.0800
x =
0.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
即解向量x=[0 -1 1 1]’
键入：
>>det(A)
回车得出：
ans =
-762.0001
即行列式det(A)=-762.0001.
列主元高斯消去法
回车得出：
V =
0.4801 0.4841 0.2507 0.4050 -0.2057
0.6623 0.7574 0.5992 -0.7475 0.2129
0.5252 0.3562 -0.7461 0.4928 -0.2385
0.2340 -0.2525 0.1239 0.0673 -0.6295
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=[2.9290 2.0199 1.6032 1.3468 1.1682 1.0349 0.9307 0.8467 0.7773 0.7188]';
[x,n]=jacobi(H,b,x0)
回车得出：
x =
1.0e+173 *
-0.2452
-0.5736
y2=interp1(x,y,'spline');
plot(x,y1,'o',x,y1,'-',x,y2,'*',x,y2,'-.'),grid
legend('样本点','三次插值','三次样条插值')
回车得出：
n=20
在matlab命令窗口中键入：
>>x=-1:0.1:1;
y=1./(1+25*x.^2);
x =
1.0e+122 *
0.3290
0.7099
0.9462
1.1118
1.2354
1.3317
n =
200
SOR迭代法：（ω=1）
>> [x,n]=SOR(H,b,x0,1)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
0.9991
0.9958
1.0392
0.9383
1.0265
1.0001
键入：
>> det(A)
回车得出：
ans =
-762.0001
即行列式det(A)=-762.0001.
由结果可见，用LU分解法与列主元消去法所得到的结果一致。
4、线性方程组Ax=b的A及b为
， ，
则解 用MATLAB内部函数求detA及A的所有特征值和cond(A)2.
解：在matlab命令窗口中键入：
6、已知矩阵
（1）用MATLAB函数“eig”求矩阵全部特征值.
（2）用基本QR算法求全部特征值（可用MATLAB函数“qr”实现矩阵的QR分解）.
解：(1)
矩阵A
在MATLAB命令窗口中输入：
>> A=[10 7 8 7;7 5 6 5;8 6 10 9;7 5 9 10];
>> [V,L]=eig(A)
5、给出线性方程组 ,其中系数矩阵 为希尔伯特矩阵：
， ，
假设 ，若取n=6，8，10，分别用雅可比迭代法及SOR迭代(ω=1，1.25，1.5)求解.比较计算结果.
解：n=6
在matlab命令窗口中键入：
>>H=hilb(6);
x0=[1 1 1 1 1 1]';
b=H*x0
回车得出：
b =
2.4500
[x,n]=jacobi(H,b,x0)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
x =
1.0e+151 *
-0.8233
-1.8632
-2.5551
-3.0629
-3.4556
-3.7700
-4.0281
-4.2441
n =
200
SOR迭代法：（ω=1.25）
>>[x,n]=SOR(H,b,x0,1.25)
3、用LU分解及列主元高斯消去法解线性方程组
.
输入Ax=b中系数A=LU分解的矩阵L及U,解向量x及detA;列主元法的行交换次序，解向量x及detA;比较两种方法所得结果。
解：LU分解法
在matlab命令窗口中键入：
>>A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];
在matlab命令窗口中键入：
>>A=[10 -7 0 1;-3 2.099999 6 2;5 -1 5 -1;2 1 0 2];
b=[8 5.900001 5 1]';
x=gauss(A,b)
回车得出：
x =
0.0000 -1.0000 1.0000 1.0000
即解向量x=[0 -1 1 1]’
1.5929
1.2179
0.9956
0.8456
0.7365
jacobi迭代法：
>>H=hilb(6);
b=[2.4500 1.5929 1.2179 0.9956 0.8456 0.7365]';
x0=[1 1 1 1 1 1]';
[x,n]=jacobi(H,b,x0)
回车得出：
Warning:迭代次数太多，可能不收敛！
矩阵H6
在MATLAB命令窗口中输入：
>> H6=[1 1/2 1/3 1/4 1/5 1/6;1/2 1/3 1/4 1/5 1/6 1/7;1/3 1/4 1/5 1/6 1/7 1/8;1/4 1/5 1/6 1/7 1/8 1/9;1/5 1/6 1/7 1/8 1/9 1/10;1/6 1/7 1/8 1/9 1/10 1/11];
[V,L]=eig(H6)
V =
-0.0012 -0.0111 0.0622 0.2403 -0.6145 0.7487
0.0356 0.1797 -0.4908 -0.6977 0.2111 0.4407
-0.2407 -0.6042 0.5355 -0.2314 0.3659 0.3207
0.6255 0.4436 0.4170 0.1329 0.3947 0.2543
回车得出：
p =
-0.0000 -0.5752 0.0000 0.4841
即拟合的多项式为：
键入：
x1=-1:0.1:1;y1=polyval(p,x1);
plot(x,y,'*',x1,y1),grid
legend('样本点','拟合曲线p3(x)')
回车得出：
由结果可看到，拟合曲线并未通过所有的样本点，它冲出了一些随机误差，更能真实地反映出两组量间关系变化的趋势。
b =
2.7179
1.8290
1.4290
1.1865
1.0199
0.8968
0.8016
0.7254
jacobi迭代法：
>> H=hilb(8);
x0=[1 1 1 1 1 1 1 1]';
b=[2.7179 1.8290 1.4290 1.1865 1.0199 0.8968 0.8016 0.7254]';
回车得出：
V =
0.5016 -0.3017 0.6149 0.5286
-0.8304 0.0933 0.3963 0.3803
0.2086 0.7603 -0.2716 0.5520
-0.1237 -0.5676 -0.6254 0.5209
L =
0.0102 0 0 0
0 0.8431 0 0
0 0 3.8581 0