复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用

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复数的模的两个主要性质及在高考解题中的应用

酒泉市实验中学 冯德福

一．复数模的两个主要性质

性质1. 2121z z z z = 性质 2.)0(22

121≠=z z z z z 即：两个复数乘积的模等于它们的模的乘积，两个复数商的模等于它们的模的商。 证明：性质1.设bi a z +=1，di c z +=2，则

1222

2222222222222222()()

()()()()22z z a bi c di ac bd ad bc i

ac bd ad bc a c abcd b d a d abcd b c a c b d a d b c =++=-++=-++=

-++++=

+++ 又 2

22222222222222221))((c b d a d b c a d c b a d c b a z z +++=++=++=

所以 2121z z z z =

2.由性质1易得，

上述证明用的是高中数学的方法，如果使用复数的三角形式或者指数形式证明就更简单了。有兴趣的同学可以自学大学数学中《复变函数》这部分内容，提前感受大学数学的魅力。

二．在高考解题中的应用

例1.设复数z 满足

（i 是虚数单位），则z 的模为_______. 解：5543432

22=⇒=⇒+=⇒+=z z i z i z ，故填5 点评：这道题目一般做法是先根据复数的乘方求出复数z ，再由模的公式求出z 的模，而直接使用性质1就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模，省去了乘方运算。

例2. 若复数z 满足z(1＋i)＝2i(i 为虚数单位)，|z|=( )

212221222121

z z z z z z z z z z z z ===

2

A ．1

B ．2 C.2 D.3 解：222212)1(2)1(=⇒=⇒=+⇒=+⇒=+z z i z i i z i i z ，故选

C 点评：这道题目一般做法是先根据复数的除法求出复数z ，再根据模的公式求出|z|，而直接使用性质1就不需要进行复数的除法，直接求出复数的模了。

例3.已知复数512i z i =

+ (是虚数单位),则|z|= 解: 55

5215215215==+=+=⇒+=i i i i z i i z ,故填 5 点评：这道题目一般做法是先进行复数的除法求出复数z ，再根据模的公式求出|z|，而直接使用性质2就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模。

例4.复数)()2(2

为虚数单位i i

i z -= ,则|z|=（ ） A ．25 B ．41 C ．5 D ． 5 解：51

)5(12)2()2()2(2

2222==-=-=-=⇒-=i i i i i z i i z ，故选C 点评: 这道题目一般做法是先进行复数的乘方和除法求出复数z ，然后由模的公式求出|z|，而直接使用性质2就不需要求出复数z,直接可以求出复数的模。

例5.设复数z 满足11z z

+- =i ，则|z|=( ) （A ）1 （B ）

（C

（D ）2 解：由11z i z +=- 得，11i z i -+=+ ，故12211==++-=i i z ，故选A.

点评: 这道题目一般做法是先根据复数的乘除法求出复数z ，然后由模的公式求出|z|，而直接使用性质2只需要求出复数z,不需要进行复数的除法,直接就可以求出复数的模。

复数是高考的一个必考点，考试内容是复数的概念，几何意义，加减乘除运四则运算以及模的计算，题目多以选择填空小题为主，在高考中主要考查对概念的理解和运算方法的掌握，尤其是运算速度。对于一些题目，诸如复数模的计算，如果掌握上述性质，则运算简单方便，快捷高效。

三．强化练习

1．复数1z 1i =

-的模为（ ）

3

A ． 12

B ．22

C ．2

D ．2 2. |

|=（ ） A ．22 B ．2 C 2 D ．1 3.设z ＝1

1＋i ＋i ，则|z|＝( )

A. 1

2 B. 2

2 C. 3

2 D ．2

4.已知复数 在z 满足i z i +=+1)31( ，则z 等于（ ）

A. 22

B. 2-

C. 2

D.2

5．若()34i x yi i +=+,,x y R ∈ ,则复数 x yi +的模是（

） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

答案：1.B 2.C 3.B 4.A 5.D