历年高考数学试题(极坐标与参数方程)

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极坐标与参数方程高考真题58题(学生) (1)

极坐标与参数方程高考真题58题(学生) (1)

极坐标与参数方程高考真题1、(2018北京理10)在极坐标系中,直线cos sin a ρθρθ+=(0a >)与圆2cos ρθ=相切,则_______a =.2、(2018江苏21C )在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.3、(2018新课标Ⅰ理22)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. (1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.4、(2018新课标Ⅱ理22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos 4sin x θy θ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩(t 为参数). (1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.5、(2018新课标Ⅲ理22)在平面直角坐标系xOy 中,O ⊙的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O ⊙交于A B ,两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.6、(2018天津理12)已知圆2220x y x +-=的圆心为C ,直线1232x y t ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数)与该圆相交于A ,B 两点,则ABC ∆的面积为_______.7、(2017新课标Ⅰ理22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(1)若1a =-,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到la .8、(2017新课标Ⅱ理22)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,)3π,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值.9、(2017新课标Ⅲ理22)在直角坐标系xOy 中,直线l 1的参数方程为2+,,x t y kt =⎧⎨=⎩(t 为参数),直线l 2的参数方程为2,,x m m my k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(为参数).设l 1与l 2的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C . (1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cosθ+sinθ),M 为l 3与C 的交点,求M 的极径.10、(2017北京理11)在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为(1,0),则|AP|的最小值为___________.11、(2017江苏21C )在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为x 82t ty ⎧=-+⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C的参数方程为2x 2s ,y ⎧=⎪⎨⎪=⎩(s 为参数)。

高考专题全国卷真题2011至2018-极坐标与参数方程

高考专题全国卷真题2011至2018-极坐标与参数方程

4—4.坐标系与参数方程【高考真题】4.4-1(2011全国-23)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),是上的动点,点满足,点的轨迹为曲线。

(Ⅰ)当求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.4.4-2(2012全国-23)已知曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程是。

正方形ABCD 的顶点都在上, 且A ,B ,C ,D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为(2,)。

(1)求点A ,B ,C ,D 的直角坐标;(2)设为上任意一点,求的取值范围。

4.4-3(2013全国Ⅰ-23)已知曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =4+5costy =5+5sint(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ。

(Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π)4.4-4(2013全国Ⅱ-23)已知动点P ,Q 都在曲线C : 上,对应参数分别为β=α与α=2π为(0<α<2π)M 为PQ 的中点。

(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为a 的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点。

xOy 1C 2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩αM 1C P 2OP OM =P 2C 2C O x 3πθ=1C A 2C B ||AB 1C ⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x ϕx 2C 2=ρ2C 3πP 1C 2222||||||||PD PC PB PA +++()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数4.4-5(2014全国Ⅰ-23)已知曲线:,直线:(为 参数). (Ⅰ)写出曲线的参数方程,直线的普通方程;(Ⅱ)过曲线上任一点作与夹角为的直线,交于点,求的最大值与最小值.4.4-6(2014全国Ⅱ-23)在直角坐标系xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为,.(Ⅰ)求C 的参数方程;(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.4.4-7(2015全国Ⅰ-23)在直角坐标系中,直线:=2,圆:,以坐标原点为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系解答题1.已知曲线C:+=1,直线l:(t为参数)(Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程.(Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值.解答:解:(Ⅰ)对于曲线C:+=1,可令x=2cosθ、y=3sinθ,故曲线C的参数方程为,(θ为参数).对于直线l:,由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0;(Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ).P到直线l的距离为.则,其中α为锐角.当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.2.已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处,极轴与x轴的正半轴重合,直线l的极坐标方程为:,曲线C的参数方程为:(α为参数).(I)写出直线l的直角坐标方程;(Ⅱ)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值.解答:解:(1)∵直线l的极坐标方程为:,∴ρ(sinθ﹣cosθ)=,∴,∴x﹣y+1=0.(2)根据曲线C的参数方程为:(α为参数).得(x﹣2)2+y2=4,它表示一个以(2,0)为圆心,以2为半径的圆,圆心到直线的距离为:d=,∴曲线C上的点到直线l的距离的最大值=.3.已知曲线C1:(t为参数),C2:(θ为参数).(1)化C1,C2的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线;(2)若C1上的点P对应的参数为t=,Q为C2上的动点,求PQ中点M到直线C3:(t为参数)距离的最小值.解答:解:(1)把曲线C1:(t为参数)化为普通方程得:(x+4)2+(y﹣3)2=1,所以此曲线表示的曲线为圆心(﹣4,3),半径1的圆;把C2:(θ为参数)化为普通方程得:+=1,所以此曲线方程表述的曲线为中心是坐标原点,焦点在x轴上,长半轴为8,短半轴为3的椭圆;(2)把t=代入到曲线C1的参数方程得:P(﹣4,4),把直线C3:(t为参数)化为普通方程得:x﹣2y﹣7=0,设Q的坐标为Q(8cosθ,3sinθ),故M(﹣2+4cosθ,2+sinθ)所以M到直线的距离d==,(其中sinα=,cosα=)从而当cosθ=,sinθ=﹣时,d取得最小值.4.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立直角坐标系,圆C的极坐标方程为,直线l的参数方程为(t为参数),直线l和圆C交于A,B两点,P是圆C上不同于A,B的任意一点.(Ⅰ)求圆心的极坐标;(Ⅱ)求△PAB面积的最大值.解答:解:(Ⅰ)由圆C的极坐标方程为,化为ρ2=,把代入可得:圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0,即(x﹣1)2+(y+1)2=2.∴圆心坐标为(1,﹣1),∴圆心极坐标为;(Ⅱ)由直线l的参数方程(t为参数),把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程:,∴圆心到直线l的距离,∴|AB|=2==,点P直线AB距离的最大值为,.5.在平面直角坐标系xoy中,椭圆的参数方程为为参数).以o为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值.解答:解:将化为普通方程为(4分)点到直线的距离(6分)所以椭圆上点到直线距离的最大值为,最小值为.(10分)6.在直角坐标系xoy中,直线I的参数方程为(t为参数),若以O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρ=cos(θ+).(1)求直线I被曲线C所截得的弦长;(2)若M(x,y)是曲线C上的动点,求x+y的最大值.解答:解:(1)直线I的参数方程为(t为参数),消去t,可得,3x+4y+1=0;由于ρ=cos(θ+)=(),即有ρ2=ρcosθ﹣ρsinθ,则有x2+y2﹣x+y=0,其圆心为(,﹣),半径为r=,圆心到直线的距离d==,故弦长为2=2=;(2)可设圆的参数方程为:(θ为参数),则设M(,),则x+y==sin(),由于θ∈R,则x+y的最大值为1.7.选修4﹣4:参数方程选讲已知平面直角坐标系xOy,以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,P点的极坐标为,曲线C的极坐标方程为.(Ⅰ)写出点P的直角坐标及曲线C的普通方程;(Ⅱ)若Q为C上的动点,求PQ中点M到直线l:(t为参数)距离的最小值.解解(1)∵P点的极坐标为,答:∴=3,=.∴点P的直角坐标把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入可得,即∴曲线C的直角坐标方程为.(2)曲线C的参数方程为(θ为参数),直线l的普通方程为x﹣2y﹣7=0设,则线段PQ的中点.那么点M到直线l的距离.,∴点M到直线l的最小距离为.8.在直角坐标系xOy中,圆C的参数方程(φ为参数).以O为极点,x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求圆C的极坐标方程;(Ⅱ)直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=与圆C的交点为O,P,与直线l的交点为Q,求线段PQ的长.解答:解:(I)圆C的参数方程(φ为参数).消去参数可得:(x﹣1)2+y2=1.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入化简得:ρ=2cosθ,即为此圆的极坐标方程.(II)如图所示,由直线l的极坐标方程是ρ(sinθ+)=3,射线OM:θ=.可得普通方程:直线l,射线OM.联立,解得,即Q.联立,解得或.∴P.∴|PQ|==2.9.在直角坐标系xoy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin(θ+)=4.(1)求曲线C1的普通方程与曲线C2的直角坐标方程;(2)设P为曲线C1上的动点,求点P到C2上点的距离的最小值,并求此时点P的坐标.解答:解:(1)由曲线C1:,可得,两式两边平方相加得:,即曲线C1的普通方程为:.由曲线C2:得:,即ρsinθ+ρcosθ=8,所以x+y﹣8=0,即曲线C2的直角坐标方程为:x+y﹣8=0.(2)由(1)知椭圆C1与直线C2无公共点,椭圆上的点到直线x+y﹣8=0的距离为,∴当时,d的最小值为,此时点P的坐标为.10.已知直线l的参数方程是(t为参数),圆C的极坐标方程为ρ=2cos(θ+).(Ⅰ)求圆心C的直角坐标;(Ⅱ)由直线l上的点向圆C引切线,求切线长的最小值.解答:解:(I)∵,∴,∴圆C的直角坐标方程为,即,∴圆心直角坐标为.(5分)(II)∵直线l的普通方程为,圆心C到直线l距离是,∴直线l上的点向圆C引的切线长的最小值是(10分)11.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的参数方程为,(t为参数),曲线C1的方程为ρ(ρ﹣4sinθ)=12,定点A(6,0),点P是曲线C1上的动点,Q为AP的中点.(1)求点Q的轨迹C2的直角坐标方程;(2)直线l与直线C2交于A,B两点,若|AB|≥2,求实数a的取值范围.解答:解:(1)根据题意,得曲线C1的直角坐标方程为:x2+y2﹣4y=12,设点P(x′,y′),Q(x,y),根据中点坐标公式,得,代入x2+y2﹣4y=12,得点Q的轨迹C2的直角坐标方程为:(x﹣3)2+(y﹣1)2=4,(2)直线l的普通方程为:y=ax,根据题意,得,解得实数a的取值范围为:[0,].12.在直角坐标系xoy中以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1,直线C2的极坐标方程分别为ρ=4sinθ,ρcos ()=2.(Ⅰ)求C1与C2交点的极坐标;(Ⅱ)设P为C1的圆心,Q为C1与C2交点连线的中点,已知直线PQ的参数方程为(t∈R为参数),求a,b的值.解答:解:(I)圆C1,直线C2的直角坐标方程分别为x2+(y﹣2)2=4,x+y﹣4=0,解得或,∴C1与C2交点的极坐标为(4,).(2,).(II)由(I)得,P与Q点的坐标分别为(0,2),(1,3),故直线PQ的直角坐标方程为x﹣y+2=0,由参数方程可得y=x﹣+1,∴,解得a=﹣1,b=2.13.在直角坐标系xOy中,l是过定点P(4,2)且倾斜角为α的直线;在极坐标系(以坐标原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,取相同单位长度)中,曲线C的极坐标方程为ρ=4cosθ(Ⅰ)写出直线l的参数方程,并将曲线C的方程化为直角坐标方程;(Ⅱ)若曲线C与直线相交于不同的两点M、N,求|PM|+|PN|的取值范围.解答:解:(I)直线l的参数方程为(t为参数).曲线C的极坐标方程ρ=4cosθ可化为ρ2=4ρcosθ.把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入曲线C的极坐标方程可得x2+y2=4x,即(x﹣2)2+y2=4.(II)把直线l的参数方程为(t为参数)代入圆的方程可得:t2+4(sinα+cosα)t+4=0.∵曲线C与直线相交于不同的两点M、N,∴△=16(sinα+cosα)2﹣16>0,∴sinαcosα>0,又α∈[0,π),∴.又t1+t2=﹣4(sinα+cosα),t1t2=4.∴|PM|+|PN|=|t1|+|t2|=|t1+t2|=4|sinα+cosα|=,∵,∴,∴.∴|PM|+|PN|的取值范围是.14.在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.(Ⅰ)写出⊙C的直角坐标方程;(Ⅱ)P为直线l上一动点,当P到圆心C的距离最小时,求P的直角坐标.解答:解:(I)由⊙C的极坐标方程为ρ=2sinθ.∴ρ2=2,化为x2+y2=,配方为=3.(II)设P,又C.∴|PC|==≥2,因此当t=0时,|PC|取得最小值2.此时P(3,0).15.已知曲线C1的极坐标方程为ρ=6cosθ,曲线C2的极坐标方程为θ=(p∈R),曲线C1,C2相交于A,B两点.(Ⅰ)把曲线C1,C2的极坐标方程转化为直角坐标方程;(Ⅱ)求弦AB的长度.解答:解:(Ⅰ)曲线C2:(p∈R)表示直线y=x,曲线C1:ρ=6cosθ,即ρ2=6ρcosθ所以x2+y2=6x即(x﹣3)2+y2=9(Ⅱ)∵圆心(3,0)到直线的距离,r=3所以弦长AB==.∴弦AB的长度.16.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴正半轴为极轴建立坐标系,直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=,圆C的参数方程为,(θ为参数,r>0)(Ⅰ)求圆心C的极坐标;(Ⅱ)当r为何值时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.解答:解:(1)由ρsin(θ+)=,得ρ(cosθ+sinθ)=1,∴直线l:x+y﹣1=0.由得C:圆心(﹣,﹣).∴圆心C的极坐标(1,).(2)在圆C:的圆心到直线l的距离为:∵圆C上的点到直线l的最大距离为3,∴.r=2﹣∴当r=2﹣时,圆C上的点到直线l的最大距离为3.17.选修4﹣4:坐标系与参数方程在直角坐标xOy中,圆C1:x2+y2=4,圆C2:(x﹣2)2+y2=4.(Ⅰ)在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,分别写出圆C1,C2的极坐标方程,并求出圆C1,C2的交点坐标(用极坐标表示);(Ⅱ)求圆C1与C2的公共弦的参数方程.解答:解:(I)由,x2+y2=ρ2,可知圆,的极坐标方程为ρ=2,圆,即的极坐标方程为ρ=4cosθ,解得:ρ=2,,故圆C1,C2的交点坐标(2,),(2,).(II)解法一:由得圆C1,C2的交点的直角坐标(1,),(1,).故圆C1,C2的公共弦的参数方程为(或圆C1,C2的公共弦的参数方程为)(解法二)将x=1代入得ρcosθ=1从而于是圆C1,C2的公共弦的参数方程为.。

极坐标与参数方程历年高考题

极坐标与参数方程历年高考题

4-4极坐标与参数方程历年高考题(一)一、选择题、1、(北京理3)在极坐标系中,圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标系是( )A 、(1,)2πB 、(1,)2π- C 、(1,0) D 、(1,π)2、(2003全国)圆锥曲线θθρ2cos sin 8=的准线方程是( ) (A)2cos -=θρ (B)2cos =θρ (C) 2sin -=θρ (D) 2sin =θρ3、(2011年高考安徽卷理科5)在极坐标系中,点 (,)π23 到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为( )(A ) (4、(2001年广东、河南)极坐标方程ρ2cos2θ=1所表示的曲线是( ) (A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线 5、(2003北京)极坐标方程1cos 22cos 2=-θρθρ表示的曲线是( )(A)圆(B)椭圆(C)抛物线 (D)双曲线6、(2011年高考北京卷理科3)在极坐标系中,圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是( )A 、(1,)2π B 、(1,)2π- C 、(1,0) D 、(1,)π7、(2000年京皖春)直线θ=α和直线ρsin(θ-α)=1的位置关系( ) (A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合8、(2010年高考北京卷理科5)极坐标方程(p-1)(θπ-)=(p ≥0)表示的图形是( ) (A )两个圆 (B )两条直线 (C )一个圆和一条射线 (D )一条直线和一条射线9、(安徽理5)在极坐标系中,点θρπcos 2)3,2(=到圆的圆心的距离为( )(A )2 (B )942π+(C )912π+(D )310、(2004北京春)在极坐标系中,圆心在(),2π且过极点的圆的方程为( ) (A) θρcos 22= (B)θρcos 22-= (C)θρsin 22=(D)θρsin 22-=二、填空(每题5分,共20分)11、(2008广东文理数)(坐标系与参数方程选做题)已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2πρθρθρθ==≥≤<,则曲线1C 2C 交点的极坐标为 ________12、(2010·广东高考理科15)在极坐标系(ρ,θ)(02θπ≤≤)中,曲线ρ=2sin θ与cos 1ρθ=- 的交点的极坐标为 。

2014--2018年高考数学极坐标与参数方程及答案解析汇编

2014--2018年高考数学极坐标与参数方程及答案解析汇编

2014--2018年全国高考试题极坐标与参数方程汇总1、(2014年高考数学全国卷I )已知曲线C :x ²4+y ²9=1,直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+ty =2-2t (t 为参数)⑴写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;⑵过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|PA |的最大值与最小值。

【解析】:⑴曲线C 的参数方程为:2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),直线l 的普通方程为:260x y +-=⑵在曲线C 上任意取一点P (2cos θ,3sin θ)到l 的距离为3sin 6d θθ=+-,则()0||6sin 30d PA θα==+-,其中α为锐角.且4tan 3α=.当()sin 1θα+=-时,||PA当()sin 1θα+=时,||PA 2、(2015年高考数学全国卷I )在直角坐标系xOy 中.直线C 1:x =-2,圆C 2:(x -1)2+(y -2)2=1,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. ⑴求C 1,C 2的极坐标方程; ⑵若直线C 3的极坐标方程为θ=π4(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积。

解:⑴因为cos x ρθ=,sin y ρθ=,所以1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

⑵将4πθ=代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得240ρ-+=,解得1ρ=,2ρ=12ρρ-=MN =由于2C 的半径为1,所以2C MN ∆的面积为12。

3、(2016年高考数学全国卷I )在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x =acos t ,y =1+asin t(t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cosθ.(1)说明C 1是哪一种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(2)直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a 。

高考2014-2019全国卷理数极坐标与参数方程真题

高考2014-2019全国卷理数极坐标与参数方程真题

⎩ ( 为 参数).⎨y = t s in α,⎨ 22014-2019 全国卷高考极坐标与参数方程真题(含答案)x 2+y =⎧ x = 2 + t(2014 年 1 卷)已知曲线C : 491,直线l :⎨ y = 2 - 2 t t (Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点 P 作与l 夹角为30o的直线,交l 于点 A ,求| PA | 的最大值与最小值.(2014 年 2 卷)(本小题满分 10)选修 4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴 ρ= 2 cos θ θ ∈ ⎡ 0 , π ⎤为极轴建立极坐标系,半圆 C 的极坐标方程为,⎢⎣2 ⎥⎦ .(Ⅰ)求 C 的参数方程;(Ⅱ)设点 D 在 C 上,C 在 D 处的切线与直线l : y = 得到的参数方程,确定 D 的坐标.3x + 2 垂直,根据(Ⅰ)中你(2015 年 1 卷)在直角坐标系 xOy 中,直线C : x = - 2,圆C :(x -1)2+ ( y - 2)2= 1,以坐标原点为极点, x 12轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求C 1 , C 2 的极坐标方程;π(Ⅱ)若直线C 3 的极坐标方程为θ=(ρ∈ R ) ,设C 2 与C 3 的交点为 M , N ,求 ∆C 2 MN 的面积.4(2015 年 2 卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 1 : ⎧ x = t c o s α, ⎩ (t 为参数,且 t≠0),其中 0≤α<π,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ=2sin θ,C 3:ρ=2cos θ.(1)求 C 2 与 C 3 交点的直角坐标.(2)若 C 1 与 C 2 相交于点 A,C 1 与 C 3 相交于点 B,求|AB|的最大值.(2016 年 1 卷)在直线坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎧x⎩y = acost,= 1 + asint(t 为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C 2:ρ=4cosθ. (1)说明 C 1 是哪一种曲线,并将 C 1 的方程化为极坐标方程.(2)直线 C 3 的极坐标方程为θ=α0,其中α0 满足 tanα0=2,若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上,求 a.C10 22 ⎨y = t sin α⎨ θ + ⎨y = sin θ⎨ y = 1 - t⎩ (2016 年 2 卷)在直线坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为( x + 6)2+ y 2 = 25 .(I ) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求 C 的极坐标方程; (II ) 直线 l 的参数方程是 ⎧ x = t co s α (t 为参数),l 与 C 交于 A 、B 两点, AB = ,求 l 的斜率.⎩(2016 年 3 卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 1 的参数方程为 ⎧⎪x =3cosα (α为参数),以坐标原点为极点,⎪⎩y = sinα以 x 轴的正半轴为极轴,,建立极坐标系,曲线 C 2 的极坐标方程为ρsin ⎛π ⎫ =2. 4 ⎪ ⎝ ⎭(1) 写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程.(2) 设点 P 在 C 1 上,点 Q 在 C 2 上,求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.(2017 年 1 卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ⎧ x = 3 cos θ(θ 为参数),直线 l 的参数方程为⎩ ⎧ x = a + 4 t ( t 为参数 ) . ⎩ (1) 若 a = -1 ,求C 与l 的交点坐标;(2)(2)若C 上的点到l 的距离的最大值为,求 a .(2107 年 2 卷)在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 1 的极坐标方程为ρcos θ= 4 .(1)M 为曲线C 1 上的动点,点 P 在线段OM 上,且满足 OM ⋅ OP = 16 ,求点 P 的轨迹C 2 的直角坐标方程;(2) 设点 A 的极坐标为⎛ 2 , π ⎫ ,点 B 在曲线C 2 上,求△OAB 面积的最大值.3 ⎪ ⎝ ⎭(2017 年 3 卷)在平面直角坐标系 xOy 中,直线l 的参数方程为⎧ x = 2+t ( t 为参数),直线l 的参数方程为⎧ x = -2 + m1⎨y = kt2⎪ ⎨ y = m ⎩ k (m 为参数).设l 1 与l 2 的交点为 P ,当 k 变化时, P 的轨迹为曲线C . (1) 写出C 的普通方程;(2) 以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设l 3:ρ(cos θ+ sin θ) -= 0 , M 为l 3 与C 的交点,求 M 的极径.17 ⎪⎩ xOy ⊙O(2018年1卷)在直角坐标系中,曲线的方程为.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极 坐标方程为. ⑴求的直角坐标方程;⑵若与有且仅有三个公共点,求的方程.(2018年2卷)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数).(1) 求和的直角坐标方程;(2) 若曲线截直线所得线段的中点坐标为,求的斜率.⎧ x = cos θ,(2018年3卷)在平面直角坐标系 中, 的参数方程为 ⎨ y = sin θ(θ为参数),过点(0 ,- 2 ) 且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于 A ,B 两点.(1) 求α的取值范围;(2) 求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程.⎧ 1- t 2x = ,⎪ 1+ t 2 (2019 年 1 卷)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ⎨ ⎪ y = ⎩ 4t1+ t 2(t 为参数).以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ+3ρsin θ+11 = 0 .(1) 求 C 和 l 的直角坐标方程;(2) 求 C 上的点到 l 距离的最小值.(2019 年 2 卷)在极坐标系中,O 为极点,点 M (ρ0 ,θ0 )(ρ0 > 0) 在曲线C :ρ= 4 sin θ上,直线 l 过点 A (4, 0) 且与OM 垂直,垂足为 P .(1)当θ = π时,求ρ 及 l 的极坐标方程;3(2)当 M 在 C 上运动且 P 在线段 OM 上时,求 P 点轨迹的极坐标方程.3 552⎩y = s i n t ,(2019 年 3 卷)如图,在极坐标系 Ox 中,A (2, 0) ,B ( 2, π) ,C ( 2, 3π) , D (2, π) ,弧 AB ,B C , 44C D 所在圆的圆心分别是(1, 0) ,(1, π) ,(1, π) ,曲线 M 1 是弧 AB ,曲线 M 2 是弧 B C ,曲线 M 3 是弧C D . (1) 分别写出 M 1 , M 2 , M 3 的极坐标方程;(2) 曲线 M 由 M 1 , M 2 , M 3 构成,若点 P 在M 上,且| OP |= ,求P 的极坐标.【参考答案】(2014 年 1 卷)⎧ x = 2 cos θ.( I ) 曲线C 的参数方程为⎨ y = 3 sin θ. (θ为参数).直线l 的普通方程为2x + y - 6 = 0.( I I ) 曲 线 C 上 任 意 一 点 P ( 2 co s θ. 3 sin θ) 到 l 的 距 离 为d =4 co s θ + 3 sin θ - 6 .则 P A =d= sin 3 0 ︒ 5 sin (θ + α) - 6 , 其 中 α为 锐 角 , 且 tan α = 4.3当 sin (θ+α) = - 1 时 ,P A 取 得 最 大 值 , 最 大 值 为 2 2 5.5 当 sin (θ + α) = 1时 ,P A 取 得 最 小 值 , 最 小 值 为 2 5.5(2014 年 2 卷)解析:(I )C 的普通方程为(x -1)2 + y 2= 1(0 ≤ y ≤ 1) . 可得 C 的参数方程为⎧ x = 1 + c o s t ,⎨⎩ (t 为参数,0 ≤ t ≤ x ) (Ⅱ)设 D (1 + cos t , sin t ) .由(I )知 C 是以 G (1,0)为圆心,1 为半径的上半圆。

专题26 极坐标与参数方程丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共27页)

专题26  极坐标与参数方程丨十年(2014-2023)高考数学真题分项汇编(解析版)(共27页)

加油!有志者事竟成答卷时应注意事项1、拿到试卷,要认真仔细的先填好自己的考生信息。

2、拿到试卷不要提笔就写,先大致的浏览一遍,有多少大题,每个大题里有几个小题,有什么题型,哪些容易,哪些难,做到心里有底;3、审题,每个题目都要多读几遍,不仅要读大题,还要读小题,不放过每一个字,遇到暂时弄不懂题意的题目,手指点读,多读几遍题目,就能理解题意了;容易混乱的地方也应该多读几遍,比如从小到大,从左到右这样的题;4、每个题目做完了以后,把自己的手从试卷上完全移开,好好的看看有没有被自己的手臂挡住而遗漏的题;试卷第1页和第2页上下衔接的地方一定要注意,仔细看看有没有遗漏的小题;5、中途遇到真的解决不了的难题,注意安排好时间,先把后面会做的做完,再来重新读题,结合平时课堂上所学的知识,解答难题;一定要镇定,不能因此慌了手脚,影响下面的答题;6、卷面要清洁,字迹要清工整,非常重要;7、做完的试卷要检查,这样可以发现刚才可能留下的错误或是可以检查是否有漏题,检查的时候,用手指点读题目,不要管自己的答案,重新分析题意,所有计算题重新计算,判断题重新判断,填空题重新填空,之后把检查的结果与先前做的结果进行对比分析。

亲爱的小朋友,你们好! 经过两个月的学习,你们一定有不小的收获吧,用你的自信和智慧,认真答题,相信你一定会闯关成功。

相信你是最棒的!1十年(2014-2023)年高考真题分项汇编—极坐标与参数方程目录题型一:极坐标与普通方程互化...........................................................1题型二:极坐标方程的应用...................................................................3题型三:参数方程与普通方程互化......................................................11题型四:参数方程的应用.....................................................................13题型五:极坐标与参数方程的综合应用. (21)题型一:极坐标与普通方程互化1.(2023年全国甲卷理科·第22题)已知点(2,1)P ,直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),α为l 的倾斜角,l 与x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于A ,B 两点,且||||4PA PB ⋅=.(1)求α;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求l 的极坐标方程.【答案】(1)3π4(2)cos sin 30ρθρθ+-=解析:(1)因为l 与x 轴,y 轴正半轴交于,A B 两点,所以ππ2α<<,令0x =,12cos t α=-,令0y =,21sin t α=-,所以21244sin cos sin 2PA PB t t ααα====,所以sin 21α=±,即π2π2k α=+,解得π1π,42k k α=+∈Z ,因为ππ2α<<,所以3π4α=.(2)由(1)可知,直线l 的斜率为tan 1α=-,且过点()2,1,所以直线l 的普通方程为:()12y x -=--,即30x y +-=,由cos ,sin x y ρθρθ==可得直线l 的极坐标方程为cos sin 30ρθρθ+-=.2.(2021年高考全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρθ=.(1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A 的直角坐标为()1,0,M 为C 上的动点,点P 满足AP =,写出Р的轨迹1C 的参数方程,并判断C 与1C 是否有公共点.【答案】(1)(222x y -+=;(2)P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),C与1C 没有公共点.解析:(1)由曲线C 的极坐标方程ρθ=可得2cos ρθ=,将cos ,sin x y ρθρθ==代入可得22x y +=,即(222x y -+=,即曲线C 的直角坐标方程为(222x y +=;(2)设(),P x y ,设)MθθAP =,())()1,1,22cos 2sin x y θθθθ∴-=-=+-,则122cos 2sin x y θθ⎧-=+-⎪⎨=⎪⎩32cos 2sin x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩,故P 的轨迹1C 的参数方程为32cos 2sin x y θθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩(θ为参数)曲线C 的圆心为),曲线1C 的圆心为()3,半径为2,则圆心距为3-32-< ,∴两圆内含,故曲线C 与1C 没有公共点.3.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)[选修4–4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.(1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.【答案】解析:(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点.综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+.4.(2015高考数学江苏文理·第23题)已知圆C 的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径.【答案】(C 分析:先根据222,sin ,cos x y y x ρρθρθ=+==将圆C 的极坐标方程化成直角坐标方程,再根据圆的标准方程得到其半径.解析:以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系x y O .圆C 的极坐标方程为2cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪⎪⎝⎭,化简,得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=.则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=,即()()22116x y -++=,所以圆C .题型二:极坐标方程的应用1.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第22题)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为22sin x t y t⎧=⎪⎨=⎪⎩,(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=.(1)写出l 的直角坐标方程;(2)若l 与C 有公共点,求m 的取值范围.【答案】(120++=y m (2)195122-≤≤m 解析:【小问1详解】因为l :sin 03m πρθ⎛⎫ ⎪⎝+⎭+=,所以1sin cos 022ρθρθ⋅+⋅+=m ,又因为sin ,cos y x ρθρθ⋅=⋅=,所以化简为13022++=y x m ,整理得l 20++=y m 【小问2详解】联立l 与C 的方程,即将2=x t ,2sin y t =代入20++=y m中,可得3cos 22sin 20++=t t m ,所以23(12sin )2sin 20-++=t t m ,化简为26sin 2sin 320-+++=t t m ,要使l 与C 有公共点,则226sin 2sin 3=--m t t 有解,令sin =t a ,则[]1,1a ∈-,令2()623=--f a a a ,(11)a -≤≤,对称轴为16a =,开口向上,所以(1)623()5=-=+-=max f f a ,min 11219(())36666==--=-f f a ,所以19256-≤≤m m 的取值范围为195122-≤≤m .2.(2020江苏高考·第22题)在极坐标系中,已知点1π(,3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上,点2π(,)6B ρ在圆:4sin C ρθ=上(其中0ρ≥,02θπ≤<).(1)求1ρ,2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【答案】(1)1242ρρ==,(2))4π【解析】(1)以极点为原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,11cos2,43πρρ=∴= ,因为点B 为直线6πθ=上,故其直角坐标方程为y x =,又4sin ρθ=对应的圆的直角坐标方程为:2240x y y +-=,由22340y x x y y ⎧=⎪⎨⎪+-=⎩解得00x y ==⎧⎨⎩或1x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩,对应的点为())0,0,,故对应的极径为20ρ=或22ρ=.(2)cos 2,4sin ,4sin cos 2,sin 21ρθρθθθθ==∴=∴= ,5[0,2),,44ππθπθ∈∴=,当4πθ=时ρ=当54πθ=时0ρ=-<,舍;即所求交点坐标为当),4π3.(2019·全国Ⅲ·理·第22题)如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A,4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧 AB , BC, CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧 AB ,曲线2M 是弧 BC,曲线3M 是弧 CD.(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M上,且||OP =P 的极坐标.【答案】(1)12cos (04M πρθθ=:≤≤,232sin (44M ππρθθ=:≤≤,332cos ()4M πρθθπ=-:≤≤;(2))6π或3π或2)3π或56π【官方解析】(1)由题设可得, ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ,2sin ,2cos ρθρθρθ===-.所以1M 的极坐标方程为2cos (04πρθθ=≤≤,2M 的极坐标方程为32sin ()44ππρθθ=≤≤,3M 的极坐标方程为32cos ()4πρθθπ=-≤≤.(2)设(,)P ρθ,由题设及(1)知若04πθ,则2cos θ=,解得6πθ=;若344ππθ,则2sin θ=,解得3πθ=或23πθ=;若34πθπ,则2cos θ-=56πθ=.综上P 的极坐标为)6π或3π或23π或5)6π.【点评】此题考查了极坐标中过极点的圆的方程,思考量不高,运算量不大,属于中档题.4.(2019·全国Ⅱ·理·第22题)在极坐标系中,O 为极点,点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:C 4sin ρθ=上,直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P .()1当03πθ=时,求0ρ及l 的极坐标方程;()2当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.【答案】()10ρ=l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭;()24cos ρθ=42ππθ⎛⎫ ⎪⎝⎭≤≤.【官方解析】()1因为()00,M ρθ在C 上,当03θπ=时,04sin 3ρπ==.由已知得||||cos23OP OA π==.设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos 23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,经检验,点2,3P π⎛⎫ ⎪⎝⎭在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上.所以,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.()2设(,)P ρθ,在Rt OAP △中,cos 4cos OPOA θθ==,即 4cos ρθ=.因为P 在线段OM 上,且AP OM ⊥,故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以,P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.【分析】()1先由题意,将03πθ=代入4sin ρθ=即可求出0ρ;根据题意求出直线l 的直角坐标方程,再化为极坐标方程即可;()2先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程,再化为极坐标方程即可,要注意变量的取值范围.【解析】()1因为点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:4sin C ρθ=上,所以004sin 4sin3πρθ===;即3M π⎛⎫ ⎪⎝⎭,所以tan 3OM k π==因为直线l 过点()4,0A 且与OM 垂直,所以直线l 的直角坐标方程为()43y x =--,即40x -=;因此,其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=,即l 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭;()2设(),P x y ,则OP y k x =,4AP y k x =-,由题意,OP AP ⊥,所以1OP AP k k ⋅=-,故2214y x x=--,整理得2240x y x +-=,因为P 在线段OM 上,M 在C 上运动,所以02x ≤≤,24y ≤≤,所以,P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=,即4cos 42ππρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭≤≤.【点评】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化,熟记公式即可,属于常考题型.5.(2019·江苏·第22题)在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求,A B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离.【答案】见解析【解析】(1)设极点为O .在OAB △中,4(3,)A π,)2B π,由余弦定理,得AB =.(2)因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=,则直线l 过点)2π,倾斜角为34π.又2B π,所以点B 到直线l的距离为3sin()242ππ⨯-=.6.(2018年高考数学江苏卷·第23题)[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.【答案】直线l 被曲线C截得的弦长为.解析:因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ,所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=,则直线l 过A (4,0),倾斜角为π6,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ,则∠OAB =π6.连结OB ,因为OA 为直径,从而∠OBA =π2,所以π4cos6AB ==.因此,直线l 被曲线C截得的弦长为.7.(2015高考数学新课标2理科·第2310分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,曲线3:C ρθ=.(Ⅰ).求2C 与1C 交点的直角坐标;(Ⅱ).若2C 与1C 相交于点A ,3C 与1C 相交于点B ,求AB 的最大值.【答案】(Ⅰ)(0,0)和3(,)22;(Ⅱ)4.解析:(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C 的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,)22.(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0απ≤<.因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα,B的极坐标为,)αα.所以2sin AB αα=-4in()3s πα=-,当56πα=时,AB 取得最大值,最大值为4.8.(2015高考数学新课标1理科·第23题)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中。

历年(2014-2023)全国高考数学真题分项(极坐标与参数方程)好题汇编(附答案)

历年(2014-2023)全国高考数学真题分项(极坐标与参数方程)好题汇编(附答案)

历年(2014-2023)全国高考数学真题分项(极坐标与参数方程)好题汇编题型一:极坐标与普通方程互化1.(2023年全国甲卷理科·第22题)已知点(2,1)P ,直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),α为l 的倾斜角,l 与x 轴正半轴,y 轴正半轴分别交于A ,B 两点,且||||4PA PB ⋅=. (1)求α;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求l 的极坐标方程.2.(2021年高考全国甲卷理科·第22题)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为ρθ=. (1)将C 的极坐标方程化为直角坐标方程;(2)设点A 直角坐标为()1,0,M 为C 上的动点,点P满足AP =,写出Р的轨迹1C 的参数方程,并判断C 与1C 是否有公共点.3.(2018年高考数学课标卷Ⅰ(理)·第22题)[选修4–4:坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=. (1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.4.(2015高考数学江苏文理·第23题)已知圆C的极坐标方程为2sin()404πρθ+--=,求圆C 的半径.题型二:极坐标方程的应用1.(2022年高考全国乙卷数学(理)·第22题)在直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为22sin x ty t⎧=⎪⎨=⎪⎩,(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,已知直线l 的极坐标方程为sin 03m πρθ⎛⎫⎪⎝+⎭+=. (1)写出l 的直角坐标方程;(2)若l 与C 有公共点,求m 的取值范围.的2.(2020江苏高考·第22题)在极坐标系中,已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上,点2π(,6B ρ在圆:4sin C ρθ=上(其中0ρ≥,02θπ≤<).(1)求1ρ,2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标.3.(2019·全国Ⅲ·理·第22题)如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A,4B π,)4C 3π,(2,)D π,弧 AB , BC , CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧 AB ,曲线2M 是弧 BC ,曲线3M 是弧 CD.(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M上,且||OP =P 的极坐标.4.(2019·全国Ⅱ·理·第22题)在极坐标系中,O 为极点,点()00,M ρθ()00ρ>在曲线:C 4sin ρθ=上,直线l 过点且与OM 垂直,垂足为P .()1当03πθ=时,求0ρ及l 的极坐标方程;()2当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.5.(2019·江苏·第22题)在极坐标系中,已知两点3,,42A B ππ⎛⎫⎫ ⎪⎪⎝⎭⎭,直线l 的方程为sin 34ρθπ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.(1)求,A B 两点间的距离;(2)求点B 到直线l 的距离. 6.(2018年高考数学江苏卷·第23题)(本小题满分10分)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.7.(2015高考数学新课标2理科·第23题)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:sin ,x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2:2sin C ρθ=,曲线3:C ρθ=. (Ⅰ).求2C 与1C 交点的直角坐标;(Ⅱ).若2C 与1C 相交于点A ,3C 与1C 相交于点B ,求AB 的最大值.8.(2015高考数学新课标1理科·第23题)(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程(4,0)A在直角坐标系xOy 中。

全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考极坐标与参数方程真题归类分析(含答案)
(1)写出 的普通方程;
(2)以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设 , 为 与 的交点,求 的极径.
6.解析⑴将参数方程转化为一般方程 ①

,消 可得 ,即点 的轨迹方程为 .
⑵将极坐标方程转化为一般方程 ,联立 ,解得 .
由 ,解得 ,即 的极半径是 .
【解析】(1)由 得 +y2=1.因为ρsin = ρsinθ+ ρcosθ=2 ,
所以x+y=4.所以C1的普通方程为 +y2=1,C2的直角坐标方程为x+y=4.
(2)由题意,可设点P的直角坐标为 ,因为C2是直线,所以 的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,d(α)= .
当且仅当α=2kπ+ (k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为 ,此时P的直角坐标为
∴x2+y2=4x.即(x-2)2+y2=4.②
C3:化为普通方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共方程所在直线即为C3.
①-②得:4x-2y+1-a2=0,即为C3,所以1-a2=0,所以a=1.
(2016年2卷)在直线坐标系xOy中,圆C的方程为 .
(I)以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C的极坐标方程;
∴ 的极坐标方程为 , 的极坐标方程为 .……5分
(Ⅱ)将 代入 ,得 ,解得 = , = ,|MN|= - = ,
因为 的半径为1,则 的面积 = .
1.(2015年2卷)在直角坐标系xOy中,曲线 (t为参数,且t≠0),其中0≤α<π,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=2sin θ,C3:ρ=2 cos θ.
因此A的极坐标为(2sin α,α),B的极坐标为(2 cos α,α).

高考数学十年真题专题解析—极坐标系与参数方程

高考数学十年真题专题解析—极坐标系与参数方程

极坐标系与参数方程考点116平面直角坐标系中的伸缩变换考点117极坐标和直角坐标的互化1.(2020全国Ⅱ文理21)已知曲线12,C C 的参数方程分别为2124cos ,:4sin x C y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩(θ为参数),21,:1x t tC y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(t 为参数).(1)将12,C C 的参数方程化为普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.设12,C C 的交点为P ,求圆心在极轴上,且经过极点和P 的圆的极坐标方程.【解析】(1)由22cos sin 1θθ+=得1C 的普通方程为:4x y +=,由11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩得:2222221212x t t y t t ⎧=++⎪⎪⎨⎪=+-⎪⎩,两式作差可得2C 的普通方程为:224x y -=.(2)由2244x y x y +=⎧⎨-=⎩得:5232x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,即53,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭.设所求圆圆心的直角坐标为(),0a ,其中0a >,则22253022a a ⎛⎫⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,解得:1710a =,∴所求圆的半径1710r =,∴所求圆的直角坐标方程为:22217171010x y ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,即22175x y x +=,∴所求圆的极坐标方程为17cos 5ρθ=.2.(2020全国Ⅲ文理22)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为222,23x t t y t t⎧=--⎪⎨=-+⎪⎩(t 为参数且1t ≠),C 与坐标轴交于,A B 两点.(1)求AB ;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求直线AB 的极坐标方程.【解析】(1)令0x =,则220t t +-=,解得2t =-或1t =(舍),则26412y =++=,即(0,12)A .令0y =,则2320t t -+=,解得2t =或1t =(舍),则2244x =--=-,即(4,0)B -.AB ∴==.(2)由(1)可知12030(4)AB k -==--,则直线AB 的方程为3(4)y x =+,即3120x y -+=.由cos ,sin x y ρθρθ==可得,直线AB 的极坐标方程为3cos sin 120ρθρθ-+=.3.(2020江苏22)在极坐标系中,已知点1π(,)3A ρ在直线:cos 2l ρθ=上,点2π(,6B ρ在圆:4sinC ρθ=上(其中0ρ≥,02θπ≤<).(1)求1ρ,2ρ的值(2)求出直线l 与圆C 的公共点的极坐标.【解析】(1)1122cos24;4sin 236ππρρρρ=∴==∴=Q Q .(2)5cos 2,4sin 4sin cos 2,sin 21[0,2),44ππρθρθθθθθπθ==∴=∴=∈∴=Q Q ,当4πθ=时ρ=;当54πθ=时0ρ=-<(舍);即所求交点坐标为当)4π.4.(2019全国II 文理22)在极坐标系中,O 为极点,点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上,直线l过点(4,0)A 且与OM 垂直,垂足为P .(1)当0=3θπ时,求0ρ及l 的极坐标方程;(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时,求P 点轨迹的极坐标方程.【解析】(1)因为()00,M ρθ在C 上,当03θπ=时,04sin 3ρπ==由已知得||||cos23OP OA π==.设(,)Q ρθ为l 上除P 的任意一点.在Rt OPQ △中cos ||23OP ρθπ⎛⎫-== ⎪⎝⎭,经检验,点(2,)3P π在曲线cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭上.所以,l 的极坐标方程为cos 23ρθπ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(2)设(,)P ρθ,在Rt OAP △中,||||cos 4cos ,OP OA θθ==即 4cos ρθ=..因为P 在线段OM 上,且AP OM ⊥,故θ的取值范围是,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦.所以,P 点轨迹的极坐标方程为4cos ,,42ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦π.5.(2019全国III 文理22)如图,在极坐标系Ox 中,(2,0)A ,)4B π,4C 3π,(2,)D π,弧 AB , BC , CD 所在圆的圆心分别是(1,0),(1,)2π,(1,)π,曲线1M 是弧 AB ,曲线2M 是弧 BC ,曲线3M 是弧 CD.(1)分别写出1M ,2M ,3M 的极坐标方程;(2)曲线M 由1M ,2M ,3M 构成,若点P 在M 上,且||OP =P 的极坐标.【解析】(1)由题设可得,弧 ,,AB BCCD 所在圆的极坐标方程分别为2cos ρθ=,2sin ρθ=,2cos ρθ=-,所以1M 的极坐标方程为π2cos 04ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,2M 的极坐标方程为π3π2sin 44ρθθ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,3M 的极坐标方程为3π2cos π4ρθθ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(2)设(,)P ρθ,由题设及(1)知若π04θ,则2cos θ=,解得π6θ=;若π3π44θ ,则2sin θ=π3θ=或2π3θ=;若3ππ4θ ,则2cos θ-=,解得5π6θ=.综上,P 的极坐标为π6⎫⎪⎭或π3⎫⎪⎭或2π3⎫⎪⎭或5π6⎫⎪⎭.考点118参数方程与普通方程的互化6.(2020上海14)已知直线方程3410x y ++=的一个参数方程可以是()A .1314x ty t=+⎧⎨=-+⎩B .1413x t y t=-⎧⎨=--⎩C .1314x t y t=-⎧⎨=-+⎩D .1413x t y t=+⎧⎨=--⎩【答案】D【解析】A .参数方程可化简为4370x y --=,故A 不正确;B .参数方程可化简为3470x y --=,故B 不正确;C .参数方程可化简为4310x y +-=,故C 不正确;D .参数方程可化简为3410x y ++=,故D 正确.故选D .7.(2018全国Ⅲ)[选修4—4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与O 交于A ,B 两点.(1)求α的取值范围;(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程.【解析】(1)O 的直角坐标方程为221x y +=.当2απ=时,l 与O 交于两点.当2απ≠时,记tan k α=,则l 的方程为y kx =-.l 与O 交于两点当且仅当1<,解得1k <-或1k >,即(,)42αππ∈或(,)24απ3π∈.综上,α的取值范围是(,44π3π.(2)l的参数方程为cos ,(sin x t t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩为参数,44απ3π<<).设A ,B ,P 对应的参数分别为A t ,B t ,P t ,则2A BP t t t +=,且A t ,B t满足2sin 10t α-+=.于是A B t t α+=,P t α=.又点P 的坐标(,)x y满足cos ,sin .P P x t y t αα=⎧⎪⎨=+⎪⎩所以点P的轨迹的参数方程是22,2cos 222x y αα⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩(α为参数,44απ3π<<).考点119极坐标方程与参数方程的综合应用8.(2018北京文理)在极坐标系中,直线cos sin (0)a a ρθρθ+=>与圆=2cos ρθ相切,则a =___.【答案】1【解析】利用cos x ρθ=,sin y ρθ=,可得直线的方程为0x y a +-=,圆的方程为22(1)1x y -+=,所以圆心(1,0),半径1r =,由于直线与圆相切,故圆心到直线的距离等于半径,即1=,∴1a =或1,又0a >,∴1a =+.9.(2017北京文理)在极坐标系中,点A 在圆22cos 4sin 40ρρθρθ--+=上,点P 的坐标为(1,0)),则||AP 的最小值为___________.【答案】1【解析】圆的普通方程为222440x y x y +--+=,即22(1)(2)1x y -+-=.设圆心为(1,2)C ,所以min ||||211AP PC r =-=-=.10.(2017天津文理)在极坐标系中,直线4cos(106ρθπ-+=与圆2sin ρθ=的公共点的个数为_____.【答案】2【解析】直线的普通方程为210y ++=,圆的普通方程为22(1)1x y +-=,因为圆心到直线的距离314d =<,所以有两个交点.11.(2016北京文理)在极坐标系中,直线cos sin 10ρθθ-=与圆2cos ρθ=交于,A B 两点,则||AB =.【答案】2【解析】将cos sin 10ρθθ-=化为直角坐标方程为10x --=,将ρ=2cos θ化为直角坐标方程为22(1)1x y -+=,圆心坐标为(1,0),半径r=1,又(1,0)在直线10x -=上,所以|AB|=2r=2.12.(2015广东文理)已知直线l 的极坐标方程为2sin()24πρθ-=,点Α的极坐标为722,)4πA (,则点Α到直线l 的距离为.【答案】522【解析】由2sin()24πρθ-=得22(sin cos )22ρθθ´-=,所以1y x -=,故直线l 的直角坐标方程为10x y -+=,而点7(22,)4A π对应的直角坐标为(2,2)A -,所以点(2,2)A -到直线l :10x y -+=的距离为|221|5222++=.13.(2015安徽文理)在极坐标系中,圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是.【答案】6【解析】圆8sin ρθ=即28sin ρρθ=,化为直角坐标方程为22(4)16x y +-=,直线3πθ=,则tan 3θ=,化为直角坐标方程为30x y -=,圆心(0,4)到直线的距离为|4|24-=,所以圆上的点到直线距离的最大值为6.14.(2020全国Ⅰ文理21)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos ,sin k kx t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为4cos 16sin 30ρθρθ-+=.(1)当1k =时,1C 是什么曲线?(2)当4k =时,求1C 与2C 的公共点的直角坐标.【解析】(1)当1k =时,曲线1C 的参数方程为cos ,sin x t y t=⎧⎨=⎩(t 为参数),两式平方相加得221x y +=,∴曲线1C 表示以坐标原点为圆心,半径为1的圆.(2)当4k =时,曲线1C 的参数方程为44cos ,sin x t y t⎧=⎨=⎩(t 为参数),∴0,0x y ≥≥,曲线1C 的参数方程化为22cos (sin x tt y t==为参数),两式相加得曲线1C 方程为1x y +=,得1y x =-,平方得1,01,01y x x y=-+≤≤≤≤,曲线2C的极坐标方程为4cos16sin30ρθρθ-+=,曲线2C直角坐标方程为41630x y-+=,联立12,C C方程1,41630y xx y⎧=-+⎪⎨-+=⎪⎩,整理得12130x-=12=136=(舍去),11,44x y∴==,12,C C∴公共点的直角坐标为11(,)44.15.(2019全国1文理22)在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为2221141txttyt⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩,(t为参数),以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2cos sin110ρθθ+=.(1)求C和l的直角坐标方程;(2)求C上的点到l距离的最小值.【解析】(1)因为221111tt--<≤+,且()22222222141211y t txt t⎛⎫-⎛⎫+=+=⎪⎪+⎝⎭⎝⎭+,所以C的直角坐标方程为221(1)4yx x+=≠-.l的直角坐标方程为2110x++=.(2)由(1)可设C的参数方程为cos,2sinxyαα=⎧⎨=⎩(α为参数,ππα-<<).C上的点到lπ4cos113α⎛⎫-+⎪=.当2π3α=-时,π4cos113α⎛⎫-+⎪⎝⎭取得最小值7,故C上的点到l.16.(2018全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy中,曲线1C的方程为||2y k x=+.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C的极坐标方程为22cos30ρρθ+-=.(1)求2C的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.【解析】(1)由cos x ρθ=,sin y ρθ=得2C 的直角坐标方程为22(1)4x y ++=.(2)由(1)知2C 是圆心为(1,0)A -,半径为2的圆.由题设知,1C 是过点(0,2)B 且关于y 轴对称的两条射线.记y 轴右边的射线为1l ,y 轴左边的射线为2l .由于B 在圆2C 的外面,故1C 与2C 有且仅有三个公共点等价于1l 与2C 只有一个公共点且2l 与2C 有两个公共点,或2l 与2C 只有一个公共点且1l 与2C 有两个公共点.当1l 与2C 只有一个公共点时,A 到1l 所在直线的距离为22=,故43k =-或0k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =-时,1l 与2C 只有一个公共点,2l 与2C 有两个公共点.当2l 与2C 只有一个公共点时,A 到2l 所在直线的距离为22=,故0k =或43k =.经检验,当0k =时,1l 与2C 没有公共点;当43k =时,2l 与2C 没有公共点.综上,所求1C 的方程为4||23y x =-+.17.(2018全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为2cos ,4sin ,=⎧⎨=⎩x θy θ(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin =+⎧⎨=+⎩x t αy t α(t 为参数).(1)求C 和l 的直角坐标方程;(2)若曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2),求l 的斜率.【解析】(1)曲线C 的直角坐标方程为221416+=x y .当cos 0α≠时,l 的直角坐标方程为tan 2tan αα=⋅+-y x ;当cos 0α=时,l 的直角坐标方程为1=x .(2)将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程,整理得关于t 的方程22(13cos )4(2cos sin )80ααα+++-=t t .①因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内,所以①有两个解,设为1t ,2t ,则120+=t t .又由①得1224(2cos sin )13cos ααα++=-+t t ,故2cos sin 0αα+=,于是直线l 的斜率tan 2α==-k .18.(2018江苏)在极坐标系中,直线l 的方程为πsin()26ρθ-=,曲线C 的方程为4cos ρθ=,求直线l 被曲线C 截得的弦长.【解析】因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ,所以曲线C 的圆心为(2,0),直径为4的圆.因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=,则直线l 过(4,0)A ,倾斜角为π6,所以A 为直线l 与圆C 的一个交点.设另一个交点为B ,则∠OAB=π6,连结OB ,因为OA 为直径,从而∠OBA=π2,所以π4cos 6AB ==.因此,直线l 被曲线C截得的弦长为.19.(2017全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为41x a ty t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(1)若1a =-,求C 与l 的交点坐标;(2)若C 上的点到l,求a .【解析】(1)曲线C 的普通方程为2219x y +=.当1a =-时,直线l 的普通方程为430x y +-=.由2243019x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩解得30x y =⎧⎨=⎩或21252425x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,从而C 与l 的交点坐标为(3,0),2124(,2525-.(2)直线l 的普通方程为440x y a +--=,故C 上的点(3cos ,sin )θθ到l的距离为d =.当4a -≥时,d=,所以8a =;当4a <-时,d=16a =-.综上,8a =或16a =-.20.(2017全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线1C 的极坐标方程为cos 4ρθ=.(1)M 为曲线1C 上的动点,点P 在线段OM 上,且满足||||16OM OP ⋅=,求点P 的轨迹2C 的直角坐标方程;(2)设点A 的极坐标为(2,3π,点B 在曲线2C 上,求OAB ∆面积的最大值.【解析】(1)设P 的极坐标为(,)ρθ(0)ρ>,M 的极坐标为1(,)ρθ1(0)ρ>.由椭圆知||OP ρ=,14||cos OM ρθ==.由||||16OM OP ⋅=得2C 的极坐标方程4cos ρθ=(0)ρ>,因此2C 的直角坐标方程为22(2)4(0)x y x -+=≠.(2)设点B 的极坐标为(,)B ρα(0)B ρ>.由题设知||2OA =,4cos B ρα=,于是OAB ∆面积1||sin 2B S OA AOB ρ=⋅⋅∠4cos |sin()|3παα=-32|sin(2|32πα=--2+≤当12πα=-时,S取得最大值2+OAB ∆面积的最大值为2+.21.(2017全国Ⅲ文理)在直角坐标系xOy 中,直线1l 的参数方程为2x ty kt =+⎧⎨=⎩(t 为参数),直线2l 的参数方程为2x mm y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(m 为参数).设1l 与2l 的交点为P ,当k 变化时,P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程;(2)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设3l :(cos sin )ρθθ+-0=,M 为3l 与C 的交点,求M 的极径.【解析】(1)消去参数t 得1l 的普通方程():l y k x =-12,消去参数m 得2l 的普通方程():l y x k=+212.设(,)P x y ,由题设得()()y k x y x k ⎧=-⎪⎨=+⎪⎩212,消去k 得()x y y -=≠2240,所以C 的普通方程为()x y y -=≠2240.(2)C 的极坐标方程为()cos sin ρθθ-=2224(),θπθπ≠0<<2,联立()()cos sin cos sin ρθθρθθ⎧-=⎪⎨⎪⎩2224+得()cos sin cos sin θθθθ-=2+,故tan θ=-13,从而cos sin θθ2291=,=1010,代入()cos sin ρθθ222-=4得ρ2=5,所以交点M22.(2017江苏)在平面坐标系中xOy 中,已知直线l 的参考方程为82x tty =-+⎧⎪⎨=⎪⎩(t 为参数),曲线C 的参数方程为22x s y ⎧=⎪⎨=⎪⎩(s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为280x y -+=.因为点P 在曲线C上,设2(2,)P s ,从而点P 到直线l的的距离22d ==s =min 455d =.因此当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l的距离取到最小值5.23.(2016全国I 文理)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,a >0).在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :4cos ρθ=.(I)说明1C 是哪种曲线,并将1C 的方程化为极坐标方程;(II)直线3C 的极坐标方程为0=a θ,其中0a 满足0tan =2a ,若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上,求a .【解析】(1)cos 1sin x a t y a t=⎧⎨=+⎩(t 均为参数),∴()2221x y a +-=①∴1C 为以()01,为圆心,a 为半径的圆.方程为222210x y y a +-+-=.∵222sin x y y ρρθ+==,,∴222sin 10a ρρθ-+-=,即为1C 的极坐标方程.(2)24cos C ρθ=:,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθρρθ==+= ,,224x y x ∴+=,即()2224x y -+=②3C :化为普通方程为2y x =,由题意:1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得:24210x y a -+-=,即为3C ,∴210a -=,∴1a =.24.(2016全国II 文理)在直角坐标系xOy 中,圆C 的方程为()22625x y ++=.(I)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求C 的极坐标方程;(II)直线l 的参数方程是cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数),l 与C 交于A 、B 两点,10AB =,求l 的斜率.【解析】(Ⅰ)整理圆的方程得2212110x y +++=,由222cos sin x y x y ρρθρθ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩可知圆C 的极坐标方程为212cos 110ρρθ++=.(Ⅱ)记直线的斜率为k ,则直线的方程为0kx y -=,由垂径定理及点到直线距离公式知:226102521kk ⎛⎫-=- ⎪ ⎪+⎝⎭,即22369014k k =+,整理得253k =,则153k =±.25.(2016全国III 文理)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为3cos sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩(α为参数),以坐标原点为极点,以x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为sin()224ρθπ+=.(Ⅰ)写出1C 的普通方程和2C 的直角坐标方程;(Ⅱ)设点P 在1C 上,点Q 在2C 上,求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标.【解析】(Ⅰ)1C 的普通方程为2213x y +=,2C 的直角坐标方程为40x y +-=.(Ⅱ)由题意,可设点P 的直角坐标为3,sin )αα,因为2C 是直线,所以||PQ 的最小值,即为P 到2C的距离()d α的最小值,|3cos sin 4|()2|sin()2|32d ααπαα+-==+-.当且仅当2()6k k Z παπ=+∈时,()d α2,此时P 的直角坐标为31(,)22.26.(2016江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为()11,23,2x t t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩为参数,椭圆C 的参数方程为()cos ,2sin ,x y θθθ=⎧⎨=⎩为参数,设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点,求线段AB 的长.【解析】椭圆C 的普通方程为2214y x +=,将直线l 的参数方程11232x t y t⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩,代入2214y x +=,得223()12(1)124t ++=,即27160t t +=,解得10t =,2167t =-,所以1216||7AB t t =-=.27.(2015全国Ⅰ文理)在直角坐标系xOy 中,直线1C :2x =-,圆2C :22(1)(2)1x y -+-=,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(Ⅰ)求1C ,2C 的极坐标方程;(Ⅱ)若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN ∆的面积.【解析】(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==,∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=.(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得23240ρρ-+=,解得1ρ=222ρ2,|MN|=1ρ-2ρ2,因为2C 的半径为1,则2C MN 的面积o121sin 452⨯=12.28.(2015全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中,曲线1C :cos ,sin ,x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数,t ≠0)其中0απ<≤,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2C :2sin ρθ=,3C :23ρθ=.(Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标;(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A ,1C 与3C 相交于点B ,求||AB 的最大值.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=,曲线3C的直角坐标方程为220x y +-=.联立222220,0,x y y x y ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0,x y =⎧⎨=⎩或3,23,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33,22.(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠,其中0απ≤<.因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα,B的极坐标为,)αα.所以2sin AB αα=-4in(3s πα=-,当56πα=时,AB 取得最大值,最大值为4.29.(2015江苏)已知圆C的极坐标方程为2sin(404πρθ+--=,求圆C 的半径.【解析】以极坐标系的极点为平面直角坐标系的原点O ,以极轴为x 轴的正半轴,建立直角坐标系xoy .圆C的极坐标方程为2sin cos 4022ρθθ⎛⎫+--= ⎪ ⎪⎝⎭,化简,得22sin 2cos 40ρρθρθ+--=.则圆C 的直角坐标方程为222240x y x y +-+-=,即()()22116x y -++=,所以圆C.30.(2015陕西文理)在直角坐标系xOy 中,直线l 的参数方程为13232x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数).以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,⊙C的极坐标方程为ρθ=.(Ⅰ)写出⊙C 的直角坐标方程;(Ⅱ)P 为直线l 上一动点,当P 到圆心C 的距离最小时,求P 的直角坐标.【解析】(Ⅰ)由2,sin ρθρθ==得,从而有(2222+,+3x y x y =-=所以.(Ⅱ)设13(3t,t),22P +又,则|PC |==,故当t =0时,|PC |取最小值,此时P 点的直角坐标为(3,0).31.(2014全国Ⅰ文理)已知曲线C :22149x y +=,直线l :222x t y t=+⎧⎨=-⎩(t 为参数).(Ⅰ)写出曲线C 的参数方程,直线l 的普通方程;(Ⅱ)过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o30的直线,交l 于点A ,求||PA 的最大值与最小值.【解析】2cos .().3sin .x y θθθ=⎧⎨=⎩(I)曲线C的参数方程为为参数60.l x y +-=直线的普通方程为2……5分(Ⅱ)cos sin l θθ曲线C上任意一点P(2.3)到的距离为3sin 6.d θθ=+-4)6,tan .sin 303d PA θααα==+-=︒则其中为锐角,且sin 5PA θα当(+)=-1时,取得最大值,最大值为25sin()1.5PA θα+=当时,取得最小值,最小值为32.(2014全国Ⅱ文理)在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=,0,2πθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.(Ⅰ)求C 的参数方程;(Ⅱ)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线:2l y =+垂直,根据(Ⅰ)中你得到的参数方程,确定D 的坐标.【解析】(I)C 的普通方程为22(1)1(01)x y y -+=≤≤,可得C 的参数方程为1cos ,sin ,x t y t =+⎧⎨=⎩(t 为参数,0t x ≤≤).(Ⅱ)设D (1cos ,sin )t t +.由(I)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.因为C 在点D 处的切线与t 垂直,所以直线GD 与t 的斜率相同,tan 3t t π==.故D 的直角坐标为(1cos,sin 33ππ+,即33(,22.33.(2013全国Ⅰ文理)已知曲线1C 的参数方程为45cos 55sin x ty t=+⎧⎨=+⎩(t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为2sin ρθ=.(Ⅰ)把1C 的参数方程化为极坐标方程;(Ⅱ)求1C 与2C 交点的极坐标(0ρ≥,02θπ≤≤).【解析】将45cos 55sin x t y t =+⎧⎨=+⎩消去参数t ,化为普通方程22(4)(5)25x y -+-=,即1C :22810160x y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩代入22810160x y x y +--+=得,28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,∴1C 的极坐标方程为28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.(Ⅱ)2C 的普通方程为2220x y y +-=,由222281016020x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩,∴1C 与2C 的交点的极坐标分别为4π),(2,2π.34.(2013全国Ⅱ文理)已知动点P ,Q 都在曲线C :()2cos 2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数上,对应参数分别为βα=与2βα=(02απ<<)M 为PQ 的中点.(Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.【解析】(Ⅰ)由题意有()()2cos ,2sin ,2cos 2,2sin 2,P Q αααα因此()cos cos 2,sin sin 2M αααα++,M 的轨迹的参数方程为cos cos 2,sin sin 2,x y αααα=+⎧⎨=+⎩(02απ<<).(Ⅱ)M 点到坐标原点的距离d ==(02απ<<),当απ=时,0d =,故M 的轨迹过坐标原点.35.(2012全国文理)已知曲线1C 的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (ϕ为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程是2=ρ.正方形ABCD 的顶点都在2C 上,且A 、B 、C 、D 依逆时针次序排列,点A 的极坐标为)3,2(π.(Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标;(Ⅱ)设P 为1C 上任意一点,求2222||||||||PD PC PB P A +++的取值范围.【解析】(1)点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2,)3636ππππ,点,,,A B C D 的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)----.(2)设00(,)P x y ;则002cos ()3sin x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数,222222004416t PA PB PC PD x y =+++=++23220sin [32,52]ϕ=+∈.36.(2011全国文理)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),M 是1C 上的动点,P 点满足2OP OM =uuu v uuuv,P 点的轨迹为曲线2C (Ⅰ)求2C 的方程(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ,与2C 的异于极点的交点为B ,求AB .【解析】(I)设(,)P x y ,则由条件知M(,22x y).由于M 点在1C 上,所以2cos 222sin 2xy αα⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩,即4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩,从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),(Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=,曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=.射线3πθ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3πρ=,射线3πθ=与2C 的交点B 的极径为28sin 3πρ=.所以21||||23AB ρρ-==。

极坐标与参数方程高考真题

极坐标与参数方程高考真题

极坐标1、 定义设M 是平面内一点,极点O 与点M 的距离||OM 叫作点M 的极径,记为ρ,以极轴Ox 为始边,射线OM 为终边的角叫作点M 的极角,记为θ,有序实数对(,)ρθ叫作点M 的极坐标,记为(,)M ρθ(1) 当M 在极点时,它的极坐标为(0,)θ(R θ∈)(2) 一般地,如果规定0,02ρθπ>≤<,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)ρθ表示,同时极坐标(,)ρθ表示的点也是唯一的 2、 极坐标与平面直角坐标的转化设点M 直角坐标为()x y ,,极坐标为(,)ρθ(0ρ≥),则有cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩或者tan y xρθ==⎪⎩(0x ≠)参数方程1、 概念一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点P 的坐标x y 、都是某个变数t 的函数:()()x f t y g t =⎧⎨=⎩,并且对于t 的每一个允许的取值,由方程组确定的点(,)x y 都在这条曲线上,那么这个方程就叫做曲线的参数方程,变数t 叫作变参数,简称参数。

相对而言,直接给出点的横纵坐标之间的关系的方程叫普通方程 3、 圆与椭圆参数方程圆222x y r +=的参数方程为cos sin x r y r θθ=⎧⎨=⎩;(θ为参数)圆22200()()x x y y r −+−=的参数方程00cos sin x x r y y r θθ=+⎧⎨=+⎩(θ为参数)椭圆22221x y a b +=的参数方程cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数)4、 直线参数方程过点000(,)P x y 、倾斜角为θ的直线l 的参数方程为00cos [0,)sin x x t y y t θθπθ=+⎧∈⎨=+⎩,其中t 表示点(,)P x y 与0P 之间的有向线段的数量(有正负)。

当0PP 与(cos ,sin )θθ方向一致时,t 为正;方向相反时,t 为负当已知直线的方向向量为(,)a b 时,直线的参数方程也可以写成00x x aty y bt =+⎧⎨=+⎩,此时t 的正负由0PP 与(,)a b向量的方向相同还是相反决定,且有0|||PP t = 已知直线y kx b =+,则此直线的一个方向向量为(1,)k ;已知直线0ax by c ++=,则此直线的一个方向向量为(,)b a −,法向量为(,)a b极坐标与参数方程高考真题1、 (2018全国1)在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的方程为||2y k x =+,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+−=. (1)求2C 的直角坐标方程;(2)若1C 与2C 有且仅有三个公共点,求1C 的方程.2、 (2018全国2)在直角坐标系xOy 中,曲线C 的方程为2cos 4sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩,(t 为参数) (1) 求C 和l 的直角坐标方程(2) 若曲线C 截直线l 所得线段中点坐标为(1,2),求直线l 的斜率3、 (2018全国3)在平面直角坐标系xOy 中,圆O 的参数方程为cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩,(θ为参数),过点(0,且倾斜角为α的直线l 与圆O 交于A B 、两点 (1) 求α的取值范围(2) 求AB 的中点P 的轨迹的参数方程4、 (2016全国1)在平面直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为cos 1sin x a ty a t =⎧⎨=+⎩(t 为参数,0a >)。

高考数学 极坐标与参数方程

高考数学 极坐标与参数方程

2.(2020 春•江西月考)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为
⺁ ܿ (α为参数)直 ⺁‫ݏ‬
线 l 过点(﹣1,0),且斜率为 ,以原点为极点,x 轴正半轴为轴建立极坐标系,直线 OM,ON 的极
坐标方程分别为θ
∈ 䱘,
(ρ∈R).
(1)求曲线 C 和直线的极坐标方程; th
(2)已知直线 OM 与直线 l 的交点为 P,直线 ON 与由线 C 的交点为 O,Q,求 t 的值.
15.(2020•邯郸模拟)在平面直角坐标系中,点 P 是曲线 C:
ܿ ⺁
‫ ݏ‬,(t 为参数)上的动点,以
坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,以极点 O 为中心,将线段 OP 顺时针旋转
90°得到 OQ,设点 Q 的轨迹为曲线 C2.
(1)求曲线 C1,C2 的极坐标方程;
(2)当 t< t< 时,若射线 l 与曲线 C1 和圆 C2 分别交于异于点 O 的 M、N 两点,且|ON|=2|OM|,
求△MC2N 的面积.
8.(2020•丹东二模)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为
(t 为参数).以 O ⺁
为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程ρ2(1+sin2θ)=2.
点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ‫ ⺁ ݏ‬䱘

(1)求曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程;
(2)设直线
∈ 䱘与直线 l 交于点 M,与曲线 C 交于 P,Q 两点,求|OM|•|OP|•|OQ|的值.
18.(2020•鼓楼区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为

三年高考(2014-2016)数学(文) 极坐标与参数方程

三年高考(2014-2016)数学(文) 极坐标与参数方程

三年高考(2014-2016)数学(文)试题极坐标与参数方程二、填空题1. 【 2014湖南文12】在平面直角坐标系中,曲线错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

为参数)的普通方程为___________.2.【2015高考湖南,文12】在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若曲线C的极坐标方程为错误!未找到引用源。

,则曲线C的直角坐标方程为_____.3.【2014高考陕西版文第15题】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,点错误!未找到引用源。

到直线错误!未找到引用源。

的距离是_______.4. 【2014高考广东卷.文.14】(坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,曲线错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

的方程分别为错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

,以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为错误!未找到引用源。

轴正半轴,建立平面直角坐标系,则曲线错误!未找到引用源。

和错误!未找到引用源。

交点的直角坐标为_________.5.【2015高考广东,文14】(坐标系与参数方程选做题)在平面直角坐标系错误!未找到引用源。

中,以原点错误!未找到引用源。

为极点,错误!未找到引用源。

轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线错误!未找到引用源。

的极坐标方程为错误!未找到引用源。

,曲线错误!未找到引用源。

的参数方程为错误!未找到引用源。

(错误!未找到引用源。

为参数),则错误!未找到引用源。

与错误!未找到引用源。

交点的直角坐标为.6.【2015高考陕西,文23】选修4-4:坐标系与参数方程源。

为参数),以原点为极点,错误!未找到引用源。

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,错误!未找到引用源。

的极坐标方程为错误!未找到引用源。

.(I)写出错误!未找到引用源。

的直角坐标方程;(II)错误!未找到引用源。

为直线错误!未找到引用源。

上一动点,当错误!未找到引用源。

到圆心错误!未找到引用源。

专题十三:极坐标与参数方程2013-2016高考数学全国卷(理)

专题十三:极坐标与参数方程2013-2016高考数学全国卷(理)

1、(2016全国I 卷23题)(本小题满分10分)选修44:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为(t 为参数,a >0)。

在以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 2:ρ=4cos θ.(I )说明C 1是哪种曲线,并将C 1的方程化为极坐标方程;(II )直线C 3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tan α0=2,若曲线C 1与C 2的公共点都在C 3上,求a 。

【答案】(I)圆,222sin 10a ρρθ-+-=(II)1考点:参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用2、(2015全国I 卷23题)(本小题满分10分)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线1C :x =-2,圆2C :()()22121x y -+-=,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

(I ) 求1C ,2C 的极坐标方程; (II ) 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈,设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积【答案】(Ⅰ)cos 2ρθ=-,22cos 4sin 40ρρθρθ--+=(Ⅱ)12【解析】试题分析:(Ⅰ)用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得1C ,2C 的极坐标方程;(Ⅱ)将将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=即可求出|MN|,利用三角形面积公式即可求出2C MN 的面积。

试题解析:(Ⅰ)因为cos ,sin x y ρθρθ==, ∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-,2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=。

……5分(Ⅱ)将=4πθ代入22cos 4sin 40ρρθρθ--+=,得23240ρρ-+=,解得1ρ=22,2ρ=2,|MN |=1ρ-2ρ=2,因为2C 的半径为1,则2C MN 的面积o 121sin 452⨯⨯⨯=12。

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历年高考数学试题极坐标、参数方程与不等式选讲1.(直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,设点A,B 分别在曲线⎩⎨⎧=+=θθsin cos 3:1y x C(θ为参数)和曲线1:2=ρC 上,则AB 的最小值为________.2.若不等式a x x ≥-++21对任意R x ∈恒成立,则a 的取值范围是___。

3.如图,,,90B D AE BC ACD ∠=∠⊥∠=,且6,4,12AB AC AD ===,则BE =42。

4.在直角坐标系xOy 中,曲线1C 的参数方程为2cos (3sin x y ααα=⎧⎪⎨=⎪⎩为参数).在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为(cos sin )10,ρθθ-+=则1C 与2C 的交点个数为 .5.已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧==θθχsin cos 5y (0θ≤<π)和⎪⎩⎪⎨⎧==ty tx 245(t R ∈),它们的交点坐标为 。

6.如图3,AB,CD 是半径为a 的圆O 的两条弦,他们相交于与AB 的中点P ,PD=23a,30OAP ∠=°,则CP= 。

7.在极坐标系(ρ,θ)(02θπ≤≤)中,曲线ρ=2sin θ与cos 1ρθ=-的交点的极坐标为 。

8.如图4,在梯形ABCD 中,AB ∥CD ,AB=4,CD=2.E,F 分别为AD ,BC 上点,且EF=3,EF ∥AB ,则梯形ABFE 与梯形EFCD 的面积比为 。

9.已知抛物线C 的参数方程为28,8.x t y t ⎧=⎨=⎩(t 为参数)若斜率为1的直线经过抛物线C 的焦点,且与圆()2224(0)x y r r -+=>相切,则r =________.10.在极坐标系中,直线(2cos sin )2ρθθ+=与直线cos 1ρθ=的夹角大小为 。

11.若关于x 的不等式12a x x ≥++-存在实数解,则实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-⋃+∞ 。

12.直角坐标系xoy 中,以原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,设点A ,B 分别在曲线(θ为参数)和曲线2:1C ρ=上,则AB 的最小值为 3 。

13.在直角坐标系xoy 中,曲线C 1的参数方程为cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)在极坐标系(与直角坐标系xoy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,曲线2C 的方程为()cos sin 10ρθθ-+=,则1C 与2C 的交点个数为 。

14.设,x y R ∈,则222211()(4)x y y x++的最小值为 。

16.如图2,,A E 是半圆周上的两个三等分点,直径4BC =,AD BC ⊥,垂足为D, BE 与AD 相交与点F ,则AF 的长为 。

17.已知两面线参数方程分别为5cos (0)sin x y θθπθ⎧=⎪≤<⎨=⎪⎩ 和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩,它们的交点坐标为___________.18.如图4,过圆O 外一点p 分别作圆的切线和割线交圆于A ,B ,且PB =7,C 是圆上一点使得BC =5,∠BAC =∠APB , 则AB = 。

19.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x (ϕ为参数),曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (0>>b a ,ϕ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=2π时,这两个交点重合. (I )分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值; (II )设当α=4π时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=4π-时,l 与C 1,C 2的交点为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.20.已知函数)(x f =|x -2||-x -5|. (I )证明:3-≤)(x f ≤3;(II )求不等式)(x f ≥x 28-x +15的解集.21.如图,D ,E 分别为ABC ∆的边AB ,AC 上的点,且不与ABC ∆的顶点重合。

已知AE 的长为n ,AD ,AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根。

(Ⅰ)证明:C ,B ,D ,E 四点共圆;(Ⅱ)若90A ∠=︒,且4,6m n ==,求C ,B ,D ,E 所在圆的半径。

22.在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数),M 是C 1上的动点,P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ,与C 2的异于极点的交点为B ,求AB .23.设函数()3f x x a x =-+,其中0a >。

(Ⅰ)当1a =时,求不等式()32f x x ≥+的解集 (Ⅱ)若不等式()0f x ≤的解集为{}|1x x ≤-,求a 的值。

24.如图,A ,B ,C ,D 四点在同一圆上,AD 的延长线与BC 的延长线交于E 点,且EC =ED .(I )证明:CD //AB ;(II )延长CD 到F ,延长DC 到G ,使得EF =EG ,证明:A ,B ,G ,F 四点共圆.25.在平面直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x (ϕ为参数),曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x (0>>b a ,ϕ为参数),在以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线l :θ=α与C 1,C 2各有一个交点.当α=0时,这两个交点间的距离为2,当α=2π时,这两个交点重合. (I )分别说明C 1,C 2是什么曲线,并求出a 与b 的值; (II )设当α=4π时,l 与C 1,C 2的交点分别为A 1,B 1,当α=4π-时,l 与C 1,C 2的交点为A 2,B 2,求四边形A 1A 2B 2B 1的面积.26.若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=,以极点为原点,极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系,则改曲线的直角坐标方程为 .27.对于实数x ,y ,若11≤-x ,12≤-y ,则12+-y x 的最大值为 . 28.设矩阵 00a M b ⎛⎫=⎪⎝⎭(其中a >0,b >0). (I )若a=2,b=3,求矩阵M 的逆矩阵M -1;(II )若曲线C :x 2+y 2=1在矩阵M 所对应的线性变换作用下得到曲线C ’:1y 4x22=+,求a ,b 的值. 29.在直接坐标系xOy 中,直线l 的方程为x-y+4=0,曲线C的参数方程为sin x ay a⎧=⎪⎨=⎪⎩.(I )已知在极坐标(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x 轴正半轴为极轴)中,点P 的极坐标为(4,2π),判断点P 与直线l 的位置关系; (II )设点Q 是曲线C 上的一个动点,求它到直线l 的距离的最小值. 30.设不等式11-x 2<的解集为M.(I )求集合M ;(II )若a ,b ∈M ,试比较ab+1与a+b 的大小.31.如图:已知圆上的弧AC BD =,过C 点的圆的切线与BA 的延长线交于 E 点,证明: (Ⅰ)ACE ∠=BCD ∠。

(Ⅱ)2BC =BE x CD 。

32.已知直线1C :{ {t 为参数}。

图2C :{ {θ为参数} (Ⅰ)当a=3π时,求1C 与2C 的交点坐标: (Ⅱ)过坐标原点O 做1C 的垂线,垂足为A 、P 为OA 的中点,当a 变化时,求P 点轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。

33.设函数142)(+-=x x f 。

y=tsina X=cos θ y=sin θ(Ⅰ)画出函数)(x f y =的图像:(Ⅱ)若不等式ax x f ≤)(的解集非空,求n 的取值范围34.不等式213x -<的解集为 .35.如图,已知Rt △ABC 的两条直角边AC ,BC 的长分别为3cm ,4cm ,以AC 为直径的圆与AB 交于点D ,则BD = cm.36.参数方程cos ,1sin x y αα=⎧⎨=+⎩(α为参数)化成普通方程为 .37.已知P 为半圆cos :sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数,0θπ≤≤)上的点,点A 的坐标为(10),,O 为坐标原点,点M在射线OP 上,线段OM 与C 的弧的长度均为3π。

(Ⅰ)以O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,求点M 的坐标; (Ⅱ)求直线AM 的参数方程(38.已知a b c 、、均为正数,证明:2222111()63a b c a b c+++++≥,并确定a b c 、、为何值时,等号成立。

39.AB 是圆O 的直径,D 为圆O 上一点,过D 作圆O 的切线交AB 延长线于点C ,若DA=DC ,求证:AB=2BC 。

40.在平面直角坐标系xOy 中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1)。

设k 为非零实数,矩阵M=⎥⎦⎤⎢⎣⎡100k ,N=⎥⎦⎤⎢⎣⎡0110,点A 、B 、C 在矩阵MN 对应的变换下得到点分别为A 1、B 1、C 1,△A 1B 1C 1的面积是△ABC 面积的2倍,求k 的值。

41.在极坐标系中,已知圆ρ=2cos θ与直线3ρcos θ+4ρsin θ+a=0相切,求实数a 的值。

42.设a 、b 是非负实数,求证:3322()a b ab a b +≥+。

43.如图,已经圆上的弧,过C 点的圆切线与BA 的延长线交于E 点,证明:(Ⅰ)∠ACE =∠BCD ; (Ⅱ)BC 2=BF ×CD 。

44.已知直线C 1x 1t cos sin y t αα=+⎧⎨=⎩(t 为参数),C 2x cos sin y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数),(Ⅰ)当α=3π时,求C 1与C 2的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点O 做C 1的垂线,垂足为,P 为OA 中点,当α变化时,求P 点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线。

45.不等式x 323x +--≥的解集为{}1x x ≥46.如图,已知Rt △ABC 的两条直角边AC,BC 的长分别为3cm,4cm ,以AC 为直径的圆与AB 交于点D ,则BD DA =16947.已知圆C 的参数方程为cos 1sin x y αα⎧=⎨=+⎩(a 为参数)以原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线l 的极坐标方程为sin 1ρθ=,则直线l 与圆C 的交点的直角坐标系为__(-1,1).(1,1)_____48.如图,ABC ∆的角平分线AD 的延长线交它的外接圆于点E (I )证明:ABE ∆ADC ∆ (II )若ABC ∆的面积AE AD S ⋅=21,求BAC ∠的大小。

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