内蒙古自治区通辽市霍林郭勒市初中联盟校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题

内蒙古自治区通辽市霍林郭勒市初中联盟校2020-2021学年九年级上学期期末数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．观察下列图案，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列事件中，是随机事件的是（）A．射击运动员射击一次，命中靶心B．任意画一个三角形，其内角和是360°C．掷一次骰子，向上一面的点数大于6 D．通常加热到100℃，水沸腾OC=，3．如图，O的直径AB垂直于弦CD，垂足是点E，22.5∠=，6CAO则CD的长为( )A．B．C．6 D．124．如图，已知⊙O是△ABD的外接圆，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=58°，则∠BCD等于（）A．116°B．32°C．58°D．64°5．如图，PA、PB分别切圆O于A、B两点，C为劣弧AB上一点，∠APB=40°，则∠ACB=（）．A．70°B．80°C．110°D．140°6．若关于x 的一元二次方程2(21)10kx k x k -++-=有两个不相等实数根，那么k 的取值范围是（ ）A ．k ＞－14且k ≠0 B ．k ＞－18且k ≠0 C ．k ≥－18且k ≠0 D ．k ＜－18且k ≠0 7．如图，O 与正方形ABCD 的两边AB ，AD 相切，且DE 与O 相切于点E ．若O 的半径为5，且11AB =，则DE 的长度为（ ）A ．5B ．6CD ．1128．在不透明的袋子中有黑棋子10枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出10枚记下颜色后放回，这样连续做了10次，记录了如下的数据：根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为（ ）A ．60枚B ．50枚C ．40枚D ．30枚9．下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆．其中错误的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．如图， 抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A （-1,0），顶点坐标（1，n ）与y 轴的交点在（0,2），（0,3）之间（包 含端点），则下列结论：①30a b +<；②213a -≤≤-；③对于任意实数m ，a+b≥am 2+bm 总成立；④关于x 的方程21ax bx c n ++=-有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为( )A ．1 个B ．2 个C ．3 个D ．4 个二、填空题 11．在平面直角坐标系中，若点A （x +1，2y +1）与点A '（y ﹣2，x ）关于原点O 对称，则代数式x 2﹣y 2的值为_____．12．有一个边长为12cm 的正六边形，若要剪一张圆形纸片完全盖住这个六边形，则这个圆形纸片的半径最小是_______cm ；13．已知在直角坐标平面内，以点P （1，2）为圆心，r 为半径画圆，⊙P 与坐标轴恰好有三个交点，那么r 的取值是_____．14．2018﹣2019赛季中国男子篮球职业联赛（CBA ），继续采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），总比赛场数为380场．求有多少支队伍参加比赛？设参赛队伍有x 支，则可列方程为_____．15．如图，点B ，A ，C ，D 在⊙O 上，OA ⊥BC ，∠AOB=50°，则∠ADC= ．16．将抛物线2y ax bx c =++先向左平移2个单位，再向下平移5个单位，得到抛物线241y x x =+-，那么原抛物线的解析式是_____；17．如图，在菱形ABCD 中，以AB 为直径画弧分别交BC 于点F ，交对角线AC 于点E ，若AB=4，F 为BC 的中点，则图中阴影部分的面积为 ________；18．如图，∆ABC 是一块绿化带，阴影部分是∆ABC 的内切圆，将阴影部分修建为花圃，已知AB =15，AC =9，BC =12，一只自由飞翔的小鸟将随机落在这块绿化带上，则小鸟落在花圃上的概率为_______.19．如图，在平面直角坐标系中，将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45︒后得到正方形111OA B C ，依此方式，绕点O 连续旋转2019次得到正方形201920192019OA B C ，如果点A 的坐标为（1，0），那么点2019B 的坐标为________．三、解答题20．解方程（1）2-280y y -=（2）22-760x x +=21．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是A(﹣3，2)，B(﹣1，4)，C(0，2)．(1)请画出△ABC 关于点O 的对称图形△A 1B 1C 1；(2)将△ABC 绕原点O 逆时针旋转90°后得到△A 2B 2C 2，请画出△A 2B 2C 2并求出在旋转过程中点B 所经过的圆弧长．22．有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3，B 布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．（1）若用（m，n）表示小明取球时m与n 的对应值，用列表法(或画树状图)表示出（m，n）的所有取值；（2）求关于x的一元二次方程210 2x mx n-+=有实数根的概率．23．某服装店在服装销售中发现：进货价每件60元，销售价每件100元的某服装每天可售出20件，为了迎接新春佳节，服装店决定采取适当的促销措施，扩大销售量，增加盈利．经调查发现：如果每件服装降价1元，那么每天就可多售出2件．（1）如果服装店想每天销售这种服装盈利1050元，同时又要使顾客得到更多的实惠，那么每件服装应降价多少元？（2）每件服装降价多少元时，服装店每天可获得最大利润？最大利润是多少元？24．如图，△ABC内接与⊙O，AB是直径，⊙O的切线PC交BA的延长线于点P，OF∥BC交AC于AC点E，交PC于点F，连接AF（1）判断AF与⊙O的位置关系并说明理由；（2）若⊙O的半径为4，AF=3，求AC的长．25．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，以OA为半径的⊙O与BC切于点D，与AC交于点E，连接AD.(1)求证：AD平分∠BAC；(2)若∠BAC=60∘，OA=4，求阴影部分的面积(结果保留π).26．如图1，抛物线y＝﹣x2+mx+n交x轴于点A(﹣2，0)和点B，交y轴于点C(0，2)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)若点M在抛物线上，且S△AOM＝2S△BOC，求点M的坐标；(3)如图2，设点N是线段AC上的一动点，作DN⊥x轴，交抛物线于点D，求线段DN 长度的最大值．参考答案1．C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意，故本选项错误；B、即不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意，故本选项错误．故选C．【点睛】本题考查轴对称图形及中心对称图形的知识，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180 度后与原图形重合．2．A【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念可判断它们分别属于那一种类别．根据实际情况即可解答．【详解】解：A. 射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，故正确；B. 任意画一个三角形，其内角和是360°，是不可能事件，故错误；C. 掷一次骰子，向上一面的点数大于6，是不可能事件，故错误；D. 通常加热到100℃，水沸腾，是必然事件，故错误.故选A.【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．3．A【分析】先根据垂径定理得到CE DE =，再根据圆周角定理得到245BOC A ∠=∠=，可得OCE ∆为等腰直角三角形，所以CE ==CD 的长． 【详解】∵CD AB ⊥，AB 为直径，∴CE DE =， ∵∠BOC 和∠A 分别为BC 所对的圆心角和圆周角，∠A=22.5°，∴2222.545BOC A ∠=∠=⨯=，∴OCE ∆为等腰直角三角形，∵OC=6，∴622CE ===∴2CD CE ==故选A ．【点睛】本题考查了垂径定理及圆周角定理，在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；垂直于弦的直径，平分这条弦且平分这条弦所对的两条弧． 4．B【解析】试题分析：由AB 是⊙O 的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ADB=90°，∵∠ABD=58°，继而求得∠A=90°-∠ABD=32°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，∴∠BCD=∠A=32°．故选B ．考点：圆周角定理．5．C【分析】如图，连接AO ，OB ，PA 、PB 分别切圆O 于A 、B 两点，可以知道∠PAO=∠PBO=90°，由此可以求出∠AOB的度数；设点E是优弧AB上一点，由圆周角定理知，∠E=70°，由圆内接四边形的对角互补即可求出∠ACB的度数．【详解】如图，连接AO，OB，∵PA、PB分别切圆O于A、B两点，∴∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=180°-∠APB=140°，设点E是优弧AB上一点，由圆周角定理知，∠E=70°，由圆内接四边形的对角互补知，∠ACB=180°-∠E=110°．故选：C．【点睛】此题考查切线的性质，四边形的内角和为360度，圆周角定理，圆内接四边形的性质，解题关键在于作辅助线．6．B【分析】根据一元二次方程的定义可得k≠0，再由根的判别式列出不等式即可求出答案．【详解】解：根据题意知[-（2k+1）]2-4k（k-1）＞0且k≠0，解得：k＞－18且k≠0故选：B【点睛】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），则有b2-4ac≥0⇔方程有两实根，b2-4ac＞0⇔方程有两不等实根，b2-4ac=0⇔方程有两相等实根，b2-4ac＜0⇔方程没有实根．7．B【分析】连接OE，OF，OG，根据切线性质证四边形ABCD为正方形，根据正方形性质和切线长性质可得DE=DF.【详解】连接OE，OF，OG，∵AB，AD，DE都与圆O相切，∴DE⊥OE，OG⊥AB，OF⊥AD，DF=DE，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=11，∠A=90°，∴∠A=∠AGO=∠AFO=90°，∵OF=OG=5，∴四边形AFOG为正方形，则DE=DF=11-5=6，故选：B【点睛】考核知识点：切线和切线长定理.作辅助线，利用切线长性质求解是关键.8．C【分析】利用已知提供的数据求出黑棋子的比例，进而假设出白棋子个数，列出方程，解方程即可得出白棋子个数．【详解】解：根据试验提供的数据得出：黑棋子的比例为：（1+3+0+2+3+4+2+1+1+3）÷100＝20%，所以白棋子比例为：1﹣20%＝80%，设白棋子有x 枚，由题意， 得10x x ＝80%， x ＝0.8（x +10），x ＝0.8x +8，0.2x ＝8，所以x ＝40，经检验，x ＝40是原方程的解，即袋中的白棋子数量约40颗．故选：C ．【点睛】考查了利用频率估计概率，根据试验次数得出黑棋子的比例，从而得出白棋子个数是解决问题的关键．9．C【分析】根据确定圆的条件、垂径定理、三角形的外心的概念等知识点一一判断即可.【详解】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆； ②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；④三角形的外心到它的三顶点的距离相等，此选项正确；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确.故选C.【点睛】本题考查的是命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．10．D【解析】【分析】利用抛物线开口方向得到a＜0，再由抛物线的对称轴方程得到b=-2a，则3a+b=a，于是可对①进行判断；利用2≤c≤3和c=-3a可对②进行判断；利用二次函数的性质可对③进行判断；根据抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点可对④进行判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a＜0，而抛物线的对称轴为直线x=-b2a=1，即b=-2a，∴3a+b=3a-2a=a＜0，所以①正确；∵2≤c≤3，而c=-3a，∴2≤-3a≤3，∴-1≤a≤-23，所以②正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴x=1时，二次函数值有最大值n，∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，所以③正确；∵抛物线的顶点坐标（1，n），∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，所以④正确．故选D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时，对称轴在y轴左；当a与b异号时，对称轴在y 轴右．常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）．抛物线与x轴交点个数由判别式确定：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x 轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．11．5【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．【详解】解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，∴12=0 21=0x yy x++-⎧⎨++⎩，解得：=3=2xy⎧⎨-⎩，故x2﹣y2＝9﹣4＝5．故答案为5．【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出x，y的值是解题关键．12．12【分析】根据题意画出图形，再根据正多边形圆心角的求法求出∠AOB的度数，最后根据等腰三角形及直角三角形的性质解答即可．【详解】解：如图所示，正六边形的边长为12cm，OG⊥BC，∵六边形ABCDEF是正六边形，∴∠BOC=°3606=60°，∵OB=OC，OG⊥BC，∴∠BOG=∠COG=12×60°=30°，∵OG⊥BC，OB=OC，BC=12cm，∴BG=12BC=12×12=6cm，∴OB=61sin 2BG BOG =∠=12cm ，故答案为：12cm ．【点睛】本题考查的是正多边形和圆，根据题意画出图形，利用直角三角形的性质及正六边形的性质解答是解答此题的关键．13．2【解析】试题解析：∵以点P (1,2)为圆心，r 为半径画圆，与坐标轴恰好有三个交点，∴⊙P 与x 轴相切(如图1)或⊙P 过原点(如图2)，当⊙P 与x 轴相切时，r =2；当⊙P过原点时，r OP ==∴r =2故答案为214．x （x ﹣1）＝380【解析】【分析】设参赛队伍有x 支，根据参加篮球职业联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【详解】设参赛队伍有x 支，根据题意得：x （x ﹣1）=380故答案为x （x ﹣1）=380．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，关键是根据总比赛场数做为等量关系列方程求解．15．25°【解析】解：∵OA ⊥BC ，∴ =AB AC ，∴∠ADC=12∠AOB=12×50°=25° 16．y=x 2【分析】由()224125y x x x =+-=+-，则可241y x x =+-先向上平移5个单位，再向右平移2个单位可得原抛物线解析式．【详解】解：由题意可知：即将241y x x =+-先向上平移5个单位，再向右平移2个单位， ∴()222-25+5=y x x =+-，故答案是：y=x 2．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点坐标． 17．23π 【分析】如图，取AB 的中点O ，连接AF ，OFAF ，OF ，BE ．证明△ABC 是等边三角形与△CEF ≅△BOF ，把问题转化为S 阴=S 扇形OBF ，由此即可解决问题．【详解】解：如图，取AB 的中点O ，连接AF ，OF ，BE ．∵AB是直径，∴∠AFB=90°，∴AF⊥BF，∵F为BC的中点∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC∴BF=12 AB∴∠BAF=30°，∠B =60°∴∠BAD=120°∴∠BAC=60°∴△ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°∵AB是直径，∴∠AEB=90°，∴AE=12 AB∴E为AC的中点∴AE=EC=AO=OB，∴△CEF和△BOF是等边三角形∴△CEF≅△BOF∴S阴=S扇形OBF=26022 3603ππ⋅⋅=，故答案为：23π．【点睛】本题考查扇形的面积，菱形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用转化 的思想思考问题，属于中考常考题型．18．6π 【解析】【分析】分别求出△ABC 与圆的面积，再根据概率公式进行计算即可.【详解】S △ABC =119125422AC BC ⨯=⨯⨯= ∵1()542△=AC BC AB r S ABC ++= 内切圆的半径r 为3∴S 圆=29r ππ=故P （小鸟落在花圃上）=954圆△=ABC S S π=6π 【点睛】此题主要考查概率的计算，解题的关键是熟知概率计算的方法.19．(【分析】根据图形可知：点B 在以O 为圆心,以OB 为半径的圆上运动,由旋转可知：将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1,相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘，可得对应点B 的坐标，根据规律发现是8次一循环，可得结论.【详解】 ∵四边形OABC 是正方形，且OA=1，∴B(1,1),连接OB ， 由勾股定理得：由旋转得：OB=OB 1=OB 2=OB 3=…，∵将正方形OABC 绕点O 逆时针旋转45∘后得到正方形OA 1B 1C 1，相当于将线段OB 绕点O 逆时针旋转45∘,依次得到∠AOB=∠BOB 1=∠B 1OB 2=…=45∘，∴B 1),B 2(−1,1),B 3,0)，…，发现是8次一循环，所以2019÷8=252…3，∴点B 2019的坐标为,0)【点睛】本题考查了旋转的性质，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连接线段的夹角等于旋转角，也考查了坐标与图形的变化、规律型、点的坐标等知识，解题的关键是学会从特殊到一般的探究规律的方法.20．（1）122,4y y =-=；（2）1232,2x x ==【分析】（1）先进行因式分解然后求值即可；（2）先进行因式分解然后求值即可.【详解】解：(1) 因式分解得：（y-4）（y+2）=0 40,20y y ∴-=+=解得：1-2y =，24y =(2) 因式分解得()()2320x x --=230,20x x ∴-=-= 解得：1232,2x x ==【点睛】本题主要考查了利用因式分解解一元二次方程，学会因式分解是解题的关键.21．(1)画图见解析；(2)画图见解析，旋转过程中点B π． 【分析】（1）根据网格结构找出点A ，B ，C 关于点O 对称的对应点A 1B 1C 1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据旋转的性质作出图形再利用勾股定理求出OB，然后利用弧长公式进行计算即可；【详解】(1)如图，△A1B1C1为所作；(2)如图，△A2B2C2为所求，OB所以旋转过程中点B．【点睛】此题考查轴对称变换，旋转变换，勾股定理，熟练掌握网格结构以及再得出的性质，准确找出对应点的位置是解题的关键．22．（1）（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），见解析；（2）2 3【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，（2）利用m，n的值确定△≥0时的个数，根据概率公式求出该事件的概率．【详解】解：（1）画树状图得：则（m，n）的所有取值为：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）；（2）∵关于x 的一元二次方程2102x mx n -+=有实数根， ∴△＝m 2﹣2n≥0，∴关于x 的一元二次方程2102x mx n -+=有实数根的有：（0，0），（1，0），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）∴关于x 的一元二次方程2102x mx n -+=有实数根的概率为：812＝23 【点睛】本题主要考查了画树状图法求概率，解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．23．（1）服装店应该降价25元；（2）每件服装降价15元服装店可获得最大利润，最大利润是1250元【分析】（1）设每件服装降价x 元，利用童装平均每天售出的件数×每件盈利=每天销售这种服装利润列出方程解答即可；（2）设每件服装降价a 元，可获利W 元，利用上面的关系列出函数，利用配方法解决问题．【详解】解：（1）设每件服装降价x 元,根据题意,得(100−60−x)(20+2x)=1050，解得：125,25.x x ==∵要使顾客得到较多的实惠，∴ x=25，答：服装店应该降价25元．（2）设每件服装降价a 元，可获利W 元，根据题意，得(10060)(202)W a a =--+化简得：2-260800W a a =++∴ 2-2-151250W a =+（）答：每件服装降价15元服装店可获得最大利润，最大利润是1250元【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用和二次函数实际中的应用，此题找到关键描述语，找到等量关系准确的列出方程或函数关系式是解决问题的关键．最后要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．24．解：（1）AF 与圆O 的相切．理由为：如图，连接OC ，∵PC 为圆O 切线，∴CP ⊥OC ．∴∠OCP=90°．∵OF ∥BC ，∴∠AOF=∠B ，∠COF=∠OCB ．∵OC=OB ，∴∠OCB=∠B ．∴∠AOF=∠COF ．∵在△AOF 和△COF 中，OA=OC ，∠AOF=∠COF ，OF=OF ，∴△AOF ≌△COF （SAS ）．∴∠OAF=∠OCF=90°．∴AF 为圆O 的切线，即AF 与⊙O 的位置关系是相切．（2）∵△AOF ≌△COF ，∴∠AOF=∠COF ．∵OA=OC ，∴E 为AC 中点，即AE=CE=12AC ，OE ⊥AC ． ∵OA ⊥AF ，∴在Rt △AOF 中，OA=4，AF=3，根据勾股定理得：OF=5．∵S △AOF =12•OA•AF=12•OF•AE ，∴AE=245． ∴AC=2AE=． 【解析】试题分析：（1）连接OC ，先证出∠3=∠2，由SAS 证明△OAF ≌△OCF ，得对应角相等∠OAF=∠OCF ，再根据切线的性质得出∠OCF=90°，证出∠OAF=90°，即可得出结论；（2）先由勾股定理求出OF ，再由三角形的面积求出AE ，根据垂径定理得出AC=2AE ． 试题解析：（1）连接OC ，如图所示：∵AB 是⊙O 直径，∴∠BCA=90°，∵OF ∥BC ，∴∠AEO=90°，∠1=∠2，∠B=∠3，∴OF ⊥AC ，∵OC=OA ，∴∠B=∠1，∴∠3=∠2，在△OAF 和△OCF 中，{32OA OCOF OF=∠=∠=，∴△OAF ≌△OCF （SAS ），∴∠OAF=∠OCF ，∵PC 是⊙O 的切线，∴∠OCF=90°，∴∠OAF=90°，∴FA ⊥OA ，∴AF 是⊙O 的切线；（2）∵⊙O 的半径为4，AF=3，∠OAF=90°，∴=∵FA ⊥OA ，OF ⊥AC ，∴AC=2AE ，△OAF 的面积=12AF•OA=12OF•AE ，∴3×4=5×AE，解得：AE=125，∴AC=2AE=245．考点：1.切线的判定与性质；2.勾股定理；3.相似三角形的判定与性质．25．（1）见解析；（2）8 3【解析】试题分析：（1）连接OD，则由已知易证OD∥AC，从而可得∠CAD=∠ODA，结合∠ODA=∠OAD，即可得到∠CAD=∠OAD，从而得到AD平分∠BAC；（2）连接OE、DE，由已知易证△AOE是等边三角形，由此可得∠ADE=12∠AOE=30°，由AD平分∠BAC可得∠OAD=30°，从而可得∠ADE=∠OAD，由此可得DE∥AO，从而可得S阴影=S扇形ODE，这样只需根据已知条件求出扇形ODE的面积即可.试题解析：（1）连接OD.∵BC是⊙O的切线，D为切点，∴OD⊥BC.又∵AC⊥BC，∴OD∥AC，∴∠ADO=∠CAD.又∵OD=OA，∴∠ADO=∠OAD，∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC.（2）连接OE，ED.∵∠BAC=60°，OE=OA，∴△OAE为等边三角形，∴∠AOE=60°，∴∠ADE=30°. 又∵1302OAD BAC ∠=∠=， ∴∠ADE=∠OAD ，∴ED ∥AO ，∴S △AED ＝S △OED ，∴阴影部分的面积 = S 扇形ODE = 601683603ππ⨯⨯=.26．（1）y =﹣x 2﹣x +2； （2）（0，2）或（﹣1，2）或（12-，﹣2）或，﹣2）；（3）1. 【解析】（1）把点A 、C 的坐标分别代入函数解析式，列出关于系数的方程组，通过解方程组求得系数的值；（2）设M 点坐标为（m ，n ），根据S △AOM =2S △BOC 列出关于m 的方程，解方程求出m 的值，进而得到点P 的坐标；（3）先运用待定系数法求出直线AC 的解析式为y =x +2，再设N 点坐标为（x ，x +2），则D 点坐标为（x ，-x 2-x +2），然后用含x 的代数式表示ND ，根据二次函数的性质即可求出线段ND 长度的最大值．解：（1）A （﹣2，0），C （0，2）代入抛物线的解析式y =﹣x 2+mx +n ，得4202m n n --+=⎧⎨=⎩，解得12m n =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣x +2．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y =﹣x 2﹣x +2，则易得B （1，0），设M （m ，n ）然后依据S △AOM =2S △BOC 列方程可得：12•AO ×|n |=2×12×OB ×OC ， ∴12×2×|﹣m 2﹣m +2|=2， ∴m 2+m =0或m 2+m ﹣4=0，解得m =0或﹣1或12-，∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（12-+，﹣2）或，﹣2）． （3）设直线AC 的解析式为y =kx +b ，将A （﹣2，0），C （0，2）代入得到202k b b -+=⎧⎨=⎩，解得12k b =⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为y =x +2，设N （x ，x +2）（﹣2≤x ≤0），则D （x ，﹣x 2﹣x +2），ND =（﹣x 2﹣x +2）﹣（x +2）=﹣x 2﹣2x =﹣（x +1）2+1，∵﹣1＜0，∴x =﹣1时，ND 有最大值1．∴ND 的最大值为1．点睛：本题考查二次函数的图象和性质.根据二次函数的性质并结合已知条件及图象进行分析是解题的关键.。