第5章数字滤波及数字滤波器设计

第5章 数字滤波及数字滤波器设计
第1节 数字滤波基础 第2节 数字滤波器设计
2012年 2012年4月4日星期三
第5章 第1节 数字滤波基础
一、离散系统基本概念 离散时间系统，简称离散系统， 离散时间系统，简称离散系统，此类系统的输入信号是离散 信号，输出也是离散信号。 信号，输出也是离散信号。从众所周知的计算机到单片机再到 DSP（Digital Signal Processing）芯片，其直接能处理的是数 DSP（ Processing）芯片， 字信号，它们都是典型的离散系统。 字信号，它们都是典型的离散系统。 离散信号与系统的关系如图所示： 离散信号与系统的关系如图所示：
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第5章 第1节 数字滤波基础
二、离散系统时域分析 1、离散系统输出响应的计算 、 （1）递推解法 ）
例：求 y( n) − ay ( n − 1) = x ( n)的输出响应序列 y( n)。 已知系统初始条件为： 已知系统初始条件为： n < 0, y( n) = 0, 且 x ( n) = δ ( n)。 解： n = 0, y( 0 ) = x ( 0 ) + ay ( −1) = 1 + a ⋅ 0 = 1 n = 1, y(1) = x (1) + ay ( 0 ) = 0 + a ⋅ 1 = a n = 2, y( 2) = x ( 2 ) + ay (1) = 0 + a ⋅ a = a 2 M M 由此可得输出序列应为 ： y( n) = a n u( n)
dy( t ) 1 1 y( t ) = x( t ) + x (t ) dt RC RC 以差分代替微分， 以差分代替微分，可得 ： y( nT ) − y[( n − 1)T ] RC + y( nT ) = x ( nT ) T 引入序列概念， 差分方程为： 引入序列概念，即可得 差分方程为： b0 y( n) + b1 y( n − 1) = a0 x ( n)
k
3
f1 (k ) 2 1 0 1 2 3 2
f 2 (− k ) 3 2 1
k k
置换
0
1
2
-2 -1
反褶
0
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第5章 第1节 数字滤波基础
二、离散系统时域分析 1、离散系统输出响应的计算 、 （2）离散卷积解法 ）离散卷积解法——图解 图解
y (n)
11
10
结果
n= −∞
∑ h( n) < ∞
∞
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第5章 第1节 数字滤波基础
三、离散系统频域分析——Z域分析 离散系统频域分析 Z 1、系统函数 、系统函数H(z) 由离散系统的时域分析可知，离散系统的零状态响应为： 由离散系统的时域分析可知n)
稳定条件：由 ∑ h( n) < ∞可得 稳定条件：
n = −∞ ∞
当 z = 1时，上式等价于
n = −∞
h( n) z − n < ∞ ∑
∞
即系统稳定的条件是 H( z )的收敛域必须包括单位 圆， 且极点必须在单位圆内 。
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第5章 第1节 数字滤波基础
三、离散系统频域分析——Z域分析 离散系统频域分析 Z 4、离散系统的频率响应 、 若离散系统的系统函数H(z)的极点全部在单位圆内 ， 则 的极点全部在单位圆内， 若离散系统的系统函数 的极点全部在单位圆内 H(ejω)称为离散系统的频率响应或频率特性。H(ejω)为 称为离散系统的频率响应或频率特性。 称为离散系统的频率响应或频率特性 为
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第5章 第1节 数字滤波基础
二、离散系统时域分析 1、离散系统输出响应的计算 、 （2）离散卷积解法 ）
A 、输入序列分解 x(n) =
m = −∞
∑ x ( m )δ ( n − m )
δ ( n ) → h( n )
单位抽样响应
∞
B 、各分量单独作用下系 统的响应
y(n)
x(n)
L
0
1
2
3
n
L
0 时不变系统
1
2
3
4
5
6
n
y(n − k )
x(n − k )
L
0
k k +1 k + 2 k + 3
n
L
0
k k +1 k + 2 k + 3 k + 4 k + 5 k + 6
n
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第5章 第1节 数字滤波基础
一、离散系统基本概念 离散系统的数学模型——差分方程 离散系统的数学模型 差分方程 连续系统完成的功能也可以用数字系统来近似实现， 连续系统完成的功能也可以用数字系统来近似实现，以一 阶连续系统为例来获得一阶离散系统的数学模型。 阶连续系统为例来获得一阶离散系统的数学模型。如图所示的 R 电路，根据电路理论有： 电路，根据电路理论有：
x(n)
离散系统
y (n)
表示为： 表示为： y ( n ) = T[ x ( n )]
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第5章 第1节 数字滤波基础
一、离散系统基本概念 离散系统的基本特性： 离散系统的基本特性：
线性特性： 线性特性： T[ a1 x 1 ( n ) + a 2 x 2 ( n )] = a1 y1 ( n ) + a 2 y2 ( n ) 时不变特性： 时不变特性： T[ x ( n − N )] = y ( n − N )
2 0 1
7 5 1 2 3 4 5 n
3
f 2 (n − k ) 2 2 1 0 1 2
f1 ( k )
f 2 (− k )
3 2 1 3 k 1 -2 -1 0 2 1 1 2
3 f1 ( k ) 1 1
k
f 2 (1 − k ) 2 2
f1 (k )
3 2 1
k
f 2 (2 − k ) 2 1 f1 (k )
∑ b y( n − k ) = ∑ a x ( n − r )
k r k =0 r =0
N
M
上式中， 为方程中各项系数。 上式中，ar , bk为方程中各项系数。
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第5章 第1节 数字滤波基础
二、离散系统时域分析 1、离散系统输出响应的计算 通常将n<0，y(n)=0时的 、离散系统输出响应的计算——通常将 通常将 ， 时的 系统响应，称为系统的零状态响应。 系统响应，称为系统的零状态响应。 （1）递推解法 ） 递推解法的物理意义是指N阶离散系统某一时刻的输出 递推解法的物理意义是指 阶离散系统某一时刻的输出 y(n)，可以由当时的输入 以及前M个时刻的输入 ，可以由当时的输入x(n)以及前 个时刻的输入 以及前 个时刻的输入x(n-1)至 至 x(n-M)和前 个时刻的输出值 和前N个时刻的输出值 来求出， 和前 个时刻的输出值y(n-1)至y(n-N)来求出，即它们之 至 来求出 间存在着递推或迭代关系， 间存在着递推或迭代关系，因此采用递推方法就可以求解差分 方程。 方程。
k
2
1 n − 2 n −1 n
1 1 2 3
1 0
2
3
-1 0
1
2
3
移位、相乘、 移位、相乘、相加
f 2 (3 − k )
1
3 2 1 3 4
k
2
f1 ( k ) f 2 (5 − k ) 3 2 1 0 1 2 3 2 1 4 5
k f1 (k )
3
f 2 (n − k ) 3 2 1 1 2 3 n − 2 n −1 n
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n = −∞
h( n ) z − n ∑
∞
这表明： 这表明：系统函数 H ( z )与系统单位抽样响应 h( n )
第5章 第1节 数字滤波基础
三、离散系统频域分析——Z域分析 离散系统频域分析 Z 3、因果稳定离散系统的 域条件 、因果稳定离散系统的Z域条件 因果条件： 并包含无穷远点。 因果条件： H ( z )的收敛域应是一个圆外 域，并包含无穷远点。
1 h( n) + h( n − 1) = δ ( n − 1) 2
jω
1 jω H ( e ) + e H ( e jω ) = e jω 2
三、离散系统频域分析——Z域分析 离散系统频域分析 Z 4、离散系统的频率响应 、 例： 已知离散系统的差分方程为
1 y( n) + y( n − 1) = x ( n − 1) 2 2π π , 若输入正弦序列 x ( n) = 10 cos n + 3 2
求该系统的稳态响应y(n)。 解：
H ( z ) z = e jω = H ( e j ω ) H ( e jω ) = H ( e jω ) e jφ ( ω ) 式中， H 式中， (e jω ) 称为离散系统的幅频响 应， 称为相频响应。 φ (ω )称为相频响应。
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第5章 第1节 数字滤波基础
h( n) = 0 或 h( n) = h( n)u( n) 因此， 因此，也将 x ( n) = 0 的序列称为因果序列。 的序列称为因果序列。
( n < 0)
( n < 0)
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第5章 第1节 数字滤波基础
二、离散系统时域分析 2、离散系统为因果稳定系统的时域条件 、 （2）稳定系统 ） 稳定系统是指只要输入有界，输出必有界的系统。 稳定系统是指只要输入有界，输出必有界的系统。 线性非移变系统满足稳定系统的充要条件是单位抽样响应 绝对可和， 绝对可和，即：