青岛版2020九年级数学上册第四章一元二次方程自主学习培优测试卷A(附答案详解)

青岛版2020九年级数学上册第四章一元二次方程自主学习培优测试卷A （附答案详解） 1．若方程2(2009)x a -=有解，则a 的取值范围是（ ） A ．a≥0B ．a≤0C ．a>0D ．无法确定2．方程2(x +3)(x -4)=x 2-10化成一般形式a x 2+b x +c=0后，a+b+c 的值为 （ ） A ．15B ．17C ．-11D ．-153．一元二次方程21x =要确定一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式．的二次项系数，一次项系数，常数项分别是（ ） A ．a=l ，b=0，c=-1 B ．a=0，b=0，c=1 C ．a=0，b=0，c=-1D ．a=1，b=0，c=14．方程()21230m x x -++=是关于x 的一元二次方程，则（ ）A ． m ≠一1B ．1m ≠C ．.2m ≠D ． 3m ≠5．某广场绿化工程中有一块长2千米，宽1千米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间既周边留有宽度相等的人行通道（如图），并在这些人行通道铺上瓷砖，要求铺瓷砖的面积是矩形空地面积的12， 设人行通道的宽度为x 千米，则下列方程正确的是（ ）A ．（2﹣3x ）（1﹣2x ）=1B ．12（2﹣3x ）（1﹣2x ）=1 C ．12（2﹣3x ）（1﹣2x ）=1 D ．12（2﹣3x ）（1﹣2x ）=2 6．设x 1、x 2是一元二次方程2x 2﹣4x ﹣1=0的两实数根，则x 12+x 22的值是（ ） A ．2B ．4C ．5D ．67．已知等腰三角形的三边长为 a 、b 、c ，且a c =，若关于x 的一元二次方程2ax 20bx c += 2，则等腰三角形的一个底角是( )A ．15°B ．30°C ．45°D ．60°8．一元二次方程2320x x +-=的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根9．一元二次方程220x x +=的根是（ ） A ．0x =B ．2x =-C ．0x =或2x =-D ．0x =或2x =10．若关于x 的一元二次方程x 2﹣3x+p=0（p≠0）的两个不相等的实数根分别为a 和b ，且a 2﹣ab+b 2=18，则a bb a+的值是（ ） A ．3B ．﹣3C ．5D ．﹣511．如图，现有32m 长的篱笆，要围一个面积为2130m 的花圃，花圃的一边靠墙（墙长16m ），并在与墙平行的一边AB 另外安装一道1m 宽的木门，那么花圃AB 边的长为________m ．12．若1x =是一元二次方程230x x m ++=的一个根，则m =______． 13．将x 2+6x+3配方成（x+m ）2+n 的形式，则n=______．14．定义新运算“*”如下：当a b ≥时，*a b ab b =+，当a b <时，*a b ab a =-，若()()21*20x x -+=，则x =________． 15．一元二次方程2x 3x 10--=的解是________．16．若方程x 2﹣2x ﹣1＝0的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 2﹣x 1x 2的值为_____． 17．已知()()222223x y xy +-+=，则22x y +=________．18．已知x=4是一元二次方程x 2－x+m=0的一个根，则m=________．19．已知1x ，2x 是方程23x 2x 40--=的两个实根，则2123x 2x +=________． 20．已知1x 、2x 为方程2310x x ++=的两实根，则212820x x ++=________．21．某市创建“绿色发展模范城市”，针对境内长江段两种主要污染源：生活污水和沿江工厂污染物排放，分别用“生活污水集中处理”（下称甲方案）和“沿江工厂转型升级”（下称乙方案）进行治理，若江水污染指数记为Q ，沿江工厂用乙方案进行一次性治理（当年完工），从当年开始，所治理的每家工厂一年降低的Q 值都以平均值n 计算．第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12．经过三年治理，境内长江水质明显改善．（1）求n 的值；（2）从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家，求m 的值，并计算第二年用乙方案新治理的工厂数量；（3）该市生活污水用甲方案治理，从第二年起，每年因此降低的Q值比上一年都增加个相同的数值a．在（2）的情况下，第二年，用乙方案所治理的工厂合计降低的Q值与当年因甲方案治理降低的Q值相等，第三年，用甲方案使Q值降低了39.5．求第一年用甲方案治理降低的Q值及a的值．22．为丰富学生的学习生活，某班组织学生参观某爱国主义教育基地，所联系的旅行社收费标准如下：活动结束后，该班共支付给该旅行社活动费用5600元，该班共有多少人参加这次活动？23．已知关于x的一元二次方程（x﹣2）2=3m﹣1有两个不相等的实数根，求m的取值范围．24．求解与计算：（1）解方程（2x+1）2﹣2x﹣1=0；（2）计算sin45°•cos45°﹣tan30°•tan60°25．某商场销售的某型号冰箱，每台进价为2500元，当售价为3500元时，平均每天能售出8台．经调查，电冰箱的售价每降低100元，平均每天能多售出2台．为了使销售这种电冰箱每天的利润增加12.5%，每台电冰箱的优惠价应定为多少元．26．家乐福超市在我市开业时，玩具专柜新到一种儿童益智玩具，购进时的成本是20元/件，当超市的销售单价是30元/件时，月销售量是720件，试销后分析发现：销售单价每上涨1元，月销售量就减少30件．()1求月销售利润y（元）与每件玩具的上涨价格x（元）之间的函数关系式；()2每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？()3按照物价部门的规定，每件玩具的售价不能高于35元，如果专柜想要月销售利润在8400元以上，直接写出上涨价格x（元）的取值范围．27．某粮食大户2005年产粮30万kg，计划在2007年产粮达到36.3万kg，若每年粮食增长的百分数相同，求平均每年增长的百分数．28．某蔬菜有限公司一年四季都有大量新鲜蔬菜销往全国各地，近年来它的蔬菜产值不断增加，2014年蔬菜的产值是640万元，2016年产值达到1000万元.（1）求2015年、2016年蔬菜产值的平均增长率是多少？（2）若2017年蔬菜产值继续稳定增长（即年增长率与前两年的年增长率相同），那么请你估计2017年该公司的蔬菜产值达到多少万元？参考答案1．A【解析】【分析】直接利用开平方法，根据方程有解可以得出：a为非负数.【详解】∵方程（x-2009）2=a有解，∴a≥0，故选：A．【点睛】考查了一个数的平方为非负数，方程若有解，a一定为非负数，即a≥0．2．D【解析】2(x+3)(x−4)=x2−10化成一般形式，∴x2−2x−14=0，∴a=1，b=−2，c=−14，∴a+b+c=−15故选：D3．A【解析】【分析】先要把方程化成一般形式，再确定一次项系数和常数项．【详解】由原方程，得x2-1=0，∵该方程的不含一次项，∴一次项系数为b=0，常数项为c=-1，二次项系数是1；故选：A．【点睛】考查了一元二次方程的定义：一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0）特别要注意a≠0的条件．在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．4．B【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0，解不等式即可．【详解】∵方程（m-1）x2+2x+3=0是关于x的一元二次方程，∴m-1≠0，∴m≠1．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程叫一元二次方程．5．A【解析】人行通道的宽度为x千米，则矩形绿地的长为：12（2﹣3x）千米，宽为（1﹣2x）千米，由题意可列方程：2×12（2﹣3x）（1﹣2x）=12×2×1，即：（2﹣3x）（1﹣2x）=1，故选A．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，正确分析，根据题意找到等量关系列出方程是解题的关键.6．C【解析】【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=2，x1•x2=-12，把2212x x2化成(x1+x2)2-2x1x2代入进行求出即可.【详解】∵x1、x2是一元二次方程2x2﹣4x﹣1=0的两实数根，∴x 1+x 2=2，x 1x 2=﹣12， ∴x 12+x 22=（x 1+x 2）2﹣2x 1x 2=22﹣2×（﹣12）=5， 故选C ．【点睛】本题考查了根与系数的关系的应用，关键是把所求的代数式化成含有x 1+x 2和x 1•x 2的形式．7．B 【解析】分析：根据一元二次方程的根与系数的关系得到，两根之和与两根之积，把两根之差变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，得到a 、b 的关系后，再根据特殊角的三角函数值求得底角的度数．详解：由根与系数的关系可知：1212c x x x x a a+==，，又知12x x - 则()2122x x -=， 即()2121242x x x x +-=，∴22242b c a a⨯-⨯=，解得：， ∴底角的余弦cosC=122bb a a ==， ∴底角为30度． 故本题选B ．点睛：本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，特殊角的三角函数值．将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 8．C 【解析】 【分析】由a =1，b =3，c =-2，直接计算△=b 2-4ac =32-4×1×（-2）=17，得到△＞0，由此判断方程根的情况． 【详解】解：∵a =1，b =3，c = -2， ∴△=b 2-4ac =32-4×1×（-2）=17， ∵17＞0，∴△＞0．∴原方程有两个不相等的实数根． 故选C ． 【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0，a ，b ，c 为常数）根的判别式△=b 2-4ac ．当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根． 9．C 【解析】 【分析】根据因式分解法解出一元二次方程即可. 【详解】方程220x x +=变形得：x （x+2）=0，可得x=0或x+2=0，解得：x1=0，x2=-2． 故答案选C ． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-因式分解法，熟练的掌握一元二次方程的运算法则是解本题的关键． 10．D 【解析】试题解析：∵a 、b 为方程230xx p -+=（p ≠0）的两个不相等的实数根，∴a +b =3，ab =p ，∵2218a ab b -+=，∴2()318a b ab +-=，∴p =﹣3． 当p =﹣3时，△=9﹣4p =9+12=21＞0，∴p =﹣3符合题意． a b b a +=22a b ab +=2()2a b ab ab+-=232(3)3-⨯--=﹣5．故选D ． 11．13 【解析】 【分析】设花圃垂直于墙的一边长为x ，而与墙平行的一边开一道1m 宽的门，现有能围成32m 长的木板，那么平行于墙的一边长为（32-2x+1），而花圃的面积为130m 2，由此即可列出方程，解方程就可以解决问题．【详解】设AD=x，则AB=32-2x+1，依题意得（32-2x+1）x=130，2x2-33x+130=0，（x-10）（2x-13）=0，∴x1=10或x2=6.5，当x1=10时，32-2x+1=13＜16；当x2=6.5时，32-2x+1=20＞16，不合题意舍去．答：花圃的长和宽分别为13m，10m．故答案为13．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，此题和实际生活结合比较紧密，正确理解题意，找出题目的数量关系，准确列出方程是解题的关键．此外还要注意判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．12．﹣4【解析】把x=1代入一元二次方程x2+3x+m=0，得1+3+m=0，解得m=﹣4．故答案为m=﹣4．13．-6【解析】【分析】根据配方法即可求出答案．【详解】原式=（x2+6x）+3=（x2+6x+9-9）+3=（x+3）2-6，∴n=-6故答案为-6【点睛】本题考查配方法的应用，解题的关键是熟练运用配方法，本题属于基础题型． 14．1-、12【解析】 【分析】根据题中所给出的新运算法则，分2x -1≥x +2即x ≥3时和2x -1＜x +2即x ＜3时两种情况把对应的数值代入对应的式子计算即可． 【详解】①2x -1≥x +2即x ≥3时，（2x -1）*（x +2）=（2x -1）（x +2）+x +2=0， 解得：x =0或x =-2， ∵x ≥3,∴x =0或x =-2均舍去； ②2x -1＜x +2即x ＜3时，（2x -1）*（x +2）=（2x -1）（x +2）-（2x -1）=0， 解得：x =-1或x =12． 故答案为-1、12． 【点睛】本题主要考查的是一元二次方程的应用及一元一次不等式的知识，解决本题的关键是正确的对两种情况进行讨论．15．1x =，2x =【解析】 【分析】利用公式法解方程求得方程的解即可. 【详解】2x 3x 10--=，a=1，b=-3，c=-1， △=9+4=13，，∴13x 2+=，23x 2=.故答案为13x 2=，23x 2-=. 【点睛】本题考查了一元二次方程的解法——公式法，利用公式法解一元二次方程的条件是240b ac -≥.16．3【解析】根据题意得x 1+x 2=2，x 1x 2=﹣1，所以x 1+x 2﹣x 1x 2=2﹣（﹣1）=3．故答案为3．17．3【解析】【分析】设22t x y =+，则原方程转换为()23t t -=，解方程即可. 【详解】解：设22t x y =+，则原方程转换为()23t t -=， 配方，得：()214t -=，则：12t -=或12t -=-，解得：3t =或1t =-(舍去)，故223x y +=，故答案为：3.【点睛】本题考查换元法解一元二次方程.解题关键是将题干或问题中的某些代数式看作一个整体，用一个字母表示，将复杂的式子转换为一元二次方程求解即可.【解析】【分析】根据一元二次方程根的定义，把x=4代入原方程得到关于m的方程，解方程即可得.【详解】把x=4代入方程x2－x+m=0得，16-4+m=0，解得：m=-12，故答案为-12.【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义，比较简单，是一个基础的题目.19．16 3【解析】【分析】根据x1是方程的根可知3x12=2x1+4，根据根与系数的关系即可得答案．【详解】解：∵x1、x2是方程3x2-2x-4=0的两个实根，∴x1+x2=23， 3x12-2x1-4=0，∴3x12=2x1+4，∴3x12+2x2=2x1+4+2x2=2（x1+x2）+4=2×23+4=163，故答案为16 3【点睛】本题考查一元二次方程的根的含义及根与系数的关系，x1+x2=-ba，x1x2=ca，熟练掌握根与系数的关系是解题关键．20【解析】【分析】设x12+8x2+20=a，由根与系数关系，得x1+x2=-3，x1•x2=1，由已知，得x12+3x1+1=0，即x12=-3x1-1，将x12+8x2+20=a的左边降次，与x1+x2=-3联立求x1，x2，代入x1•x2=1中，求a【详解】由已知,得x 1+x 2=−3,x 1⋅x 2=1，又∵x 12+3x 1+1=0,即x 12=−3x 1−1，∴x 12+8x 2+20=−3x 1+8x 2+19(设为a)，与x 1+x 2=−3联立,得x 1=511a +-,x 2=2811a -， 代入x 1⋅x 2=1中,得511a +-⋅2811a -=1， 整理,得a 2−23a−19=0，解得a=232±.故答案为：232±. 【点睛】此题考查了根与系数的关系, 解一元二次方程-公式法，熟练掌握这些知识点是借此题的关键.21．（1）0.3；（2）60家；（3）Q=20.5；a=9.5.【解析】分析：（1）直接利用第一年有40家工厂用乙方案治理，共使Q 值降低了12，得出等式求出答案；（2）利用从第二年起，每年用乙方案新治理的工厂数量比上一年都增加相同的百分数m ，三年来用乙方案治理的工厂数量共190家得出等式求出答案；（3）利用n 的值即可得出关于a 的等式求出答案．详解：（1）由题意可得：40n=12，解得：n=0.3；（2）由题意可得：40+40（1+m ）+40（1+m ）2=190，解得：m 1=12，m 2=﹣72（舍去）， ∴第二年用乙方案新治理的工厂数量为：40（1+m ）=40（1+50%）=60（家），（3）设第一年用乙方案治理降低了100n=100×0.3=30，则（30﹣a ）+2a=39.5，解得：a=9.5，则Q=20.5．设第一年用甲方案整理降低的Q 值为x ，第二年Q 值因乙方案治理降低了100n=100×0.3=30， 解法一：（30﹣a ）+2a=39.5a=9.5x=20.5点睛：考查了一元二次方程和一元一次方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．22．35【解析】【分析】判断得到这次春游活动的人数超过25人，设人数为x 名，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果．【详解】设该班有x 人参加这次活动，25×200=5000＜5600，经判断x ＞25，根据题意得：x[200﹣4（x ﹣25）]=5600，且200﹣4（x ﹣25）≥150，即x≤37.5，去括号得：x （200﹣4x+100）=5600，即4x 2﹣300x+5600=0，整理得：x 2﹣75x+1400=0，解得：x 1=40（舍去），x 2=35，答：该班参加这次春游活动的人数为35名．【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 23．m ＞13【解析】试题分析：方程有两个不相等的实数根，则0,∆>即可求出m 得取值范围.试题解析：原方程可变形为24530x x m -+-=．∵关于x 的一元二次方程()2231x m -=-有两个不相等的实数根，()()244531240m m ∴=--⨯-=->，解得：13m >．∴m 的取值范围为13m >．点睛： 一元二次方程有两个不相等的实数根, 0.∆>24．（1）﹣12或0；（2）﹣12 【解析】【分析】（1）设y =2x +1，则原方程为y 2﹣y =0，利用因式分解法解方程即可；（2）将特殊值代入计算．【详解】解：（1）设y =2x +1，则原方程为y 2﹣y =0，y （y ﹣1）=0，所以y =0或y =1．当y =0时，2x +1=0，解得x =﹣12． 当y =1时，2x +1=1， 解得x =0．综上所述，x 的值是﹣12或0；（2）原式=22- =12﹣1 =﹣12． 【点睛】考查了换元法和因式分解法解方程，以及特殊角的三角函数值．换元的实质是转化，关键是构造元和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理．25．每台优惠价应定为3000元．【解析】【分析】根据数量关系：售价-进价=利润，设出定价，求得每一台的利润，进一步求总利润，建立方程即可解答．【详解】解：设每台的价格应定为x 元，每一台的利润为()x 2500-元，依题意列方程得()()()3500x x 250082350025008112.5%100-⎡⎤-+⨯=-⨯⨯+⎢⎥⎣⎦， 整理得2x 6400x 102000000-+=，解得1x 3000=，2x 3400=，为了多销售电冰箱，故x 3400=元，不合题意，舍去，答：每台优惠价应定为3000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握销售中的一个基本的数量关系：售价-进价=利润．注意由多销售电冰箱应舍去不合题意的答案．26．（1）见解析；（2）每件玩具的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是8670元；（3）45x <≤．【解析】【分析】（1）根据题意可以求得月销售利润y （元）与每件玩具的上涨价格x （元）之间的函数关系式；（2）根据（1）中的函数解析式，将它化为顶点式，即可解答本题；（3）根据题意可以得到相应的不等式组，从而可以解答本题．【详解】（1）由题意可得，y=（30+x-20）（720-30x ）=-30x 2+420x+7200，即月销售利润y （元）与每件玩具的上涨价格x （元）之间的函数关系式是y=-30x 2+420x+7200；（2）∵y=-30x 2+420x+7200=-30（x-7）2+8670，∴当x=7时，y 取得最大值，此时y=8670，∴x+30=37，答：每件玩具的售价定为37元时，可使月销售利润最大，最大的月利润是8670元； ()3由题意可得，230353042072008400x x x +≤⎧⎨-++>⎩， 解得，45x <≤，答：上涨价格x （元）的取值范围是45x <≤．【点睛】本题考查二次函数的应用、不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的函数解析式，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．27．平均每年的增长率为10%．【解析】【分析】设每年增长的百分数为x ，则2006年的产量为30×(1+x)万kg ，2007年是以2006年产量为基础而增长的，故产量30×(1+x)×(1+x)，据此列出方程：30(1+x)2=36.3 【详解】设平均每年增长的百分数为x ，根据题意得30（1+x ）2=36.3，解得x 1=0.1，x 2=－2.1（不符合题意，舍去）．故平均每年的增长率为10%．【点睛】本题中，理解2007年的增长是以2006年为基础，这是关键点.28．（1）2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％；（2）2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元.【解析】试题分析：对于（1），设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为x ，则2015年的产值是640(1+x)万元，2016年的产值是640(1+x)2万元，结合2016年产值达到1000万元列方程求解；对于（2），根据（1）求解的结果，进一步列式1000×(1+25%)，计算即可确定答案．解：（1）设2015年、2016年蔬菜产值的年平均增长率为x ，则有()264011000x +=， 解得：194x =-（舍去），214x =， ∴2015、2016年蔬菜产值的年平均增长率为25％.（2）1000×（1+25％）=1250(万元)∴2017年该公司的蔬菜产值将达到1250万元点睛：本题考查了一元一次方程的应用---增长率问题；本题的关键是掌握增长率问题中的一般公式为a (1+x )n =b ，其中n 为共增长了几年，a 为第一年的原始数据，b 是增长后的数据，x 是增长率．。