函数的表示方法与分段函数

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6函数的表示法与分段函数

函数的表示法与分段函数制作人：赵成审稿：黄国栋三维目标：1. 知识与技能牢固掌握函数的表示法；了解函数不同表示法的优、缺点；理解分段函数及其表示法；提高识图、用图的能力.2. 过程与方法独立思考，合作探究，学会数形结合及分类讨论思想.3. 情感、态度与价值观培养良好的思维习惯，养成积极探索的良好品质.教学重难点：重点：函数的三种表示法及其相互转化；分段函数及其表示法.难点：表示法的适当选择；分段函数及其表示法.一、相关知识1. 函数的定义及其三要素是什么？2. 请同学们回忆一下初中所学的函数有哪些表示法？二、教材助读1. 如何理解图像上任一点的坐标与函数y = f(x)的对应关系？2. 如何检验一个图形是不是一个函数的图像？3. 怎样理解分段函数？4. 画分段函数的图象时应注意什么问题？三、预习自测学习建议：自测题体现一定的基础性，又有一定的思维含量，只有“细心才对，思考才会”. 1. 下列式子或表格： ①2y x =，其中{0,1,2,3}x ∈，{0,2,4}y ∈；②221x y +=；③221x y +=(0)y ≥；④表格：其中表示y 是x 的函数的是（）A ．①②③④ B. ①②④ C. ②③ D. ③④ 2. 函数1()1f x x=+的图像是图1中的（）3. 以下叙述正确的有（）（1）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集；（2）分段函数在定义域的不同部分有不同的对应关系，但它是一个函数；（3）若D 1，D 2分别是分段函数的两个不同对应关系的值域，则12D D =∅ 也可能成立.A 、1个B 、2个C 、3个D 、0个我的疑惑：请你将预习中未能解决的问题和有疑惑的问题写下来，待课堂上与老师和同学探究解决.探究案一学始于疑——我思考、我收获1. 函数的三种表示法各存在哪些优点与不足？2. 分段函数是如何表示的？它的图像有何特点？定义域、值域如何确定？二质疑探究——质疑解疑、合作探究（1）基础知识探究函数的三种表示法请同学们探究下面的问题，并在横线上填出正确答案.1. 函数常用的表示法有三种：分别是___________、______________、______________.2. 通过________________来表示两个变量之间的对应关系的方法叫做列表法，用___________来表示两个变量之间的对应关系叫做图像法。

函数的表示法知识点

函数的表示法1.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法2.分段函数：在自变量的不同变化范围中，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数。

3.映射：一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个映射。

记作“f ：A →B ”给定一个集合A 到B 的映射，如果a ∈A,b ∈B.且元素a 和元素b 对应，那么，我们把元素b 叫做元素a 的象，b=f （a ），元素a 叫做元素b 的原象.说明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

注意：(1)函数一定是映射，映射不一定是函数；(2)函数三要素：定义域、值域、对应法则；(3)B 中的元素未必有原象，即使有原象，也未必唯一；(4)原象集合=定义域，值域=象集合.4.常用的函数表示法及各自的优点：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据；2 解析法：必须注明函数的定义域；3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式；观察函数的特征；4 列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征．注意：解析法：便于算出函数值。

列表法：便于查出函数值。

图象法：便于量出函数值5.分段函数：在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。

在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式。

函数的表示方法及分段函数

5 25
小明带了25元钱，去买某种笔记本的单价是 5元，买x个笔记本需要y元.试用解析法和列表法表示y与x的函数关系.
图像法欣赏
y（元）
25
20 15 10 5 0 1
2
3
4
5 x（本）
分段函数
国内跨省市之间邮寄平信,每封信的重量 x 和对应的邮资 y 如下表:
信函质量(x)/g 邮资(y)/元
优点：能形象直观显示数据的变化规律
y
6 5 4 3 2 1 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x -1 -2 函数可以用图像法来表 -3 -4 示，但并不是形如图像 -5 的变量关系，都是函数 -6
关系。
注意
函数的三种表示方法
解析法列表法图象法
函数的三种表示方法，各有优缺点。解析法表示简洁，列表法数值清晰，图像法变化直观。但是，解析法不能表示所有的函数，列表法只能反映局部的函数关系，图像法又不够精确。现实生活中常常根据实际问题的需要选择函数的表示方法。
探究二：分段函数求值
例2：已知函数
5 (1) 求f(－5)，f(－3)，f[f(－ )]的值； 2
(2) 若f(a)＝3，求实数a的值。
解
(1)、f(－5)＝－5＋1＝－4，
f(－ 3)＝(－ 3)2＋2(－ 3)＝3－2 3.
5 5 3 3 － ∵f 2 ＝－＋1＝－，而－2<－ <2， 2 2 2 3 5 3 ∴f[f(－ )]＝f－2＝－ . 2 4
设票价为y，里程为x，则根据题意，如果某空解：调汽车运行路线中设21个汽车站，那么汽车行驶的里程约为20公里，所以自变量x的取值范围是（0，20]。由空调汽车票价的规定，可得到以下函数解析式： 2, 0<x ≤ 5 3, 5 < x ≤ 10 4, 10 < x ≤ 15 y= 5, 15 < x≤20

函数的表示法及分段函数

1.2.3 函数的表示法及分段函数【学习目标】１.能举例说明解析法、图象法、列表法的含义及各自的优缺点；2.会选择恰当的方式正确表达函数；3.能举例说明分段函数的意义，会求一些实际问题的分段函数的解析式，会依据分段函数解析式画出图象、求出函数值【学习重点】会选择恰当的方式正确表达函数，理解分段函数的意义【难点提示】恰当选择方法表示不同的函数、写出较为复杂的分段函数的表达式【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材1516P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.【学习过程】一、学习准备在初中我们已经接触过函数的三种表示法是：、、，为了进一步研究函数的表示方法，请先思考下面的问题：１.什么叫函数解析式、函数的图象；什么叫函数的列举法；举一个用列表法的函数（链接1）2.（1）函数11111x y x x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩１，当，当，当的表达式有什么特点？你能做出它的图像吗？（2）11111x y x x >⎧⎪=-≤≤⎨⎪-<-⎩１，当0，当，当的表达式有什么特点？你能做出它的图像吗？（3）函数1,0,R x Q y x Q∈⎧=⎨∈⎩ð的表达式有什么特点？你能做出它的图像吗？二、学习探究1.阅读思考：请同学们阅读教材1922P -的内容，请思考：（1）你感觉从教材的例3、4、5、6学到什么？3、4、6是什么题型，求解它应分几步完成？关键点在哪里？（2）函数的三种表示法各自的特点是什么？（3）所有的函数均能用这三方法表示吗？（4）三种表示法表示函数需要注意一些什么问题？（5）函数的图象一定是连续的光滑的曲线或直线吗？2.观察思考：根据学习准备 “2”中三个函数及教材的例5、6的函数有哪些共同的特点，请给它取个名字并给出一般的定义 .解答有关分段函数问题的策略是什么？易错点在哪里？（链接2）三、典例赏析例１. 矩形的面积为10，如果矩形的长为x ，宽为y ，对角线为d ，周长为l ，那么你能获得关于这些量的哪些函数？能确定相应的定义域吗？思路启迪：根据矩形的相关性质来分析五个量之间存在的等量关系，由此得到函数关系．解：解后反思解答该题的关键在哪？解答该题应注意一些什么问题？变式练习将长度为a 的铁丝折成矩形，求矩形面积y 关于一边长x 的函数关系式，并求出定义域、值域、作出图象.解：例2.某市出租车资费规定如下：（1）3公里以内（含3公里）9元；（2）3公里以上，每增加1公里，资费增加24元（不足1公里按1公里计算）．某线路总里程为6公里，请根据题意写出资费与里程之间函数的解析表达式，并画出函数的图象．解：解后反思解答该题的关键在哪？解答该题应注意一些什么问题？变式练习某公司研制出了一种新产品,试制了一批样品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售情况不断进行调整，结果40天内全部销完公司对销售及销售利润进行了调研,结果如图所示，其中图①（一条折线）、图②（一条抛物线段）分别是国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系、图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系．① 分别写出国外市场的日销售量)(t f 与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量)(t g 与上市时间t 的关系；② 写出每件样品的销售利润)(t h 与上市时间t 的关系为．解：例3.设函数⎩⎨⎧<+≥+-=0,60,64)(2x x x x x x f ，则(3)f = ；若()3f x =，则x = ．●解后反思分段函数求值应注意什么问题？●变式练习已知符号函数求不等式(1)sgn 2x x +>的解集．思路启迪：从分段的符号函数入手，分类讨论求解.解：四、学习反思1.本节课我们学习了哪些数学知识、数学思想方法，实现了我们的学习目标吗？如：、函数有哪三种表示法？三种表示法各自的优缺点是什么？分段函数的含义是什么？求分段函数解析式步骤是怎样的？由分段函数解析式画图象、求函数值应注意什么问题？2.对本节课你还有独特的见解吗？本节课的数学知识与生活有怎样的联系？感受到本节课数学知识与方法的美在哪里？（链接3）五、学习评价１.汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是（）2.某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合学生走法的是（）A B C D ３.一个圆柱形容器的底部直径是d cm ，高是h cm ，现在以3vcm /s 的速度向容器内注入液体，求容器液体的高度x cm 关于注入液体的时间t s 的函数解析式，并写出函数的定义域． A ． B ． C ．D ． 1,0,sgn 0,0,1,0,x x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩4.课本P23练习2、P24 A 组第9题、P25B 组P25习题2、4题．5.某摩托车生产企业，上年度生产摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为1 000辆本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成本若每辆车投入成本增加的比例为x (0<x <1)，则出厂价相应提高的比例为0．75x , 同时预计年销售量增加的比例为0．6x 已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量．写出本年度预计的年利润y 与投入成本增加的比例x 的关系式．解：6.已知求使()1f x ≥-成立的x 的取值范围．解：◆承前启后我们函数的本质就是两个数集之间的对应关系，生活中还有其它对应吗？六、学习链接链接1.函数的解析式：用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做函数的解析式；函数的图像：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.函数的列表式：就是用表格来表示函数两个变量之间的对应关系.链接2. 教材中的例3、4、6均是应用问题，解答应用问题的步骤是：审题、建模、化简、计算、下结论；其中审题、建模是关键；解析法的特点：简明、全面地概括了变量的搞演习关系，可以解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值，便于用解析式来研究函数的性质，还有利于求函数的值域；图像法的特点：直观、形象地表示自变量的变化关系，易看出相应的函数值变化的趋势，也有利于通过图象研究函数的性质，图象法在生产和生活中有许多应用，如企业生产图，股票指数走势图等．列表法的特点：不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值，简洁明了．列表法在实际生产和生活中也有广泛应用，如成绩表、银行的利率表等．分段函数;对于自变量x 的不同的取值范围，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数.它是一个函数,而不是几个函数:分段函数的定义域是各段函数定义域的并集,值域也是各段函数值域的并集.解答分段函数问题的策略是：分段进行、逐一完成；易错点在于：分界点上的相关问题. 链接3. 函数的表示法体现完美性，分段函数体现了和谐、对称美.211,0,()2(1),0,x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪-->⎩。

专题05 函数的概念及其表示、分段函数(重难点突破)原卷版

专题05 函数的概念及其表示、分段函数一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理【基础知识梳理】一、函数的概念1．函数与映射的相关概念(1)函数与映射的概念注意：判断一个对应关系是否是函数关系，就看这个对应关系是否满足函数定义中“定义域内的任意一个自变量的值都有唯一确定的函数值”这个核心点．(2)函数的定义域、值域在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(3)构成函数的三要素函数的三要素为定义域、值域、对应关系.(4)函数的表示方法函数的表示方法有三种：解析法、列表法、图象法.解析法：一般情况下，必须注明函数的定义域；列表法：选取的自变量要有代表性，应能反映定义域的特征；图象法：注意定义域对图象的影响.二、函数的三要素1．函数的定义域函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围，常见基本初等函数定义域的要求为：(1)分式函数中分母不等于零.(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.(3)一次函数、二次函数的定义域均为R.(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}.2．函数的解析式(1)函数的解析式是表示函数的一种方式，对于不是y＝f(x)的形式，可根据题目的条件转化为该形式.(2)求函数的解析式时，一定要注意函数定义域的变化，特别是利用换元法(或配凑法)求出的解析式，不注明定义域往往导致错误.3．函数的值域函数的值域就是函数值构成的集合，熟练掌握以下四种常见初等函数的值域：(1)一次函数y＝kx＋b(k为常数且k≠0)的值域为R.(2)反比例函数kyx=(k为常数且k≠0)的值域为(−∞，0)∪(0，＋∞)．(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数且a≠0)，当a>0时，二次函数的值域为24[,)4ac ba-+∞；当a<0时，二次函数的值域为24(,]4ac ba--∞.求二次函数的值域时，应掌握配方法：2 224()24b ac b y ax bx c a xa a-=++=++.三、分段函数分段函数的概念若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，则这种函数称为分段函数．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．【知识拓展】1．(1)相等函数—如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数相等．①两个函数是否是相等函数，取决于它们的定义域和对应关系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同时，才表示相等函数．②函数的自变量习惯上用x表示，但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x−1，g(t)＝2t−1，h(m)＝2m−1均表示相等函数.(2)映射的个数若集合A中有m个元素，集合B中有n个元素，则从集合A到集合B的映射共有mn个．2．分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集．三、重难点题型突破(一)、判断对应关系（图像）是否为函数. 1．判断对应关系是否为函数的2个条件 (1)A ，B 必须是非空实数集．(2)A 中任意一元素在B 中有且只有一个元素与之对应．对应关系是“一对一”或“多对一”的是函数关系，“一对多”的不是函数关系．例1．（2020·全国高一课时练习）下列对应或关系式中是A 到B 的函数的序号为________. ①，∈∈A R B R ，221x y +=；②A ＝{1，2，3，4}，B ＝{0，1}，对应关系如图：③，==A R B R ，1:2→=-f x y x ；④，==A Z B Z ，:→=f x y .【变式训练1】（2019·广东禅城佛山一中高一月考）（多选题）下列四个图形中可能是函数y ＝f （x ）图象的是（）A ．B ．C ．D ．【变式训练2】下列四个图象中，是函数图象的是( )① ① ① ① A ．①B ．①①①C ．①①①D ．①①【变式训练3】．（2012·全国高一课时练习）设集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②(二)、求函数的定义域.1．求函数定义域的三种常考类型及求解策略(1)已知函数的解析式：构建使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则复合函数f (g (x ))的定义域由a ≤g (x )≤b 求出． ②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域． (3)实际问题：既要使构建的函数解析式有意义，又要考虑实际问题的要求． 2．求函数定义域的注意点(1)不要对解析式进行化简变形，以免定义域变化．(2)当一个函数由有限个基本初等函数的和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集．(3)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，若用区间表示，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接.例2．（1）（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）下列函数中，与函数y=有相同定义域的是（）A ．()f xx=B ．1()f x x=C ．()||f x x =D ．()f x =（2）（2019秋•金山区校级期末）下列各组函数中表示同一函数的是（） A ．y ＝20与yB ．y ＝±1与yC ．y 与yD ．y ＝x +1与y【变式训练1】求下列函数的定义域．（1）()34f x x =-；（2）2()347f x x x =+-；（3）5()32xf x x =-；（4）()1f x ；（5）()f x =例3．（2019·哈尔滨市第一中学校高三开学考试（文））已知()f x 的定义域为(1,0)-，则函数(21)f x +的定义域为（） A ．(1,1)-B ．1(1,)2--C ．(1,0)-D ．1(,1)2【变式训练1】（1）已知()f x 的定义域为[2-，1]，求函数(31)f x -的定义域；（2）已知(25)f x +的定义域为[1-，4]，求函数()f x 的定义域．（3）已知函数()y f x =的定义域为[1-，2]，求函数2(1)y f x =-的定义域．（4）已知函数(23)y f x =-的定义域为(2-，1]，求函数()y f x =的定义域．(三)、判断函数为同一（相等）函数判断函数相等的方法(1)先看定义域，若定义域不同，则不相等；(2)若定义域相同，再化简函数的解析式，看对应关系是否相同．例4．（2020·江苏省响水中学高一月考）下列选项中，表示的是同一函数的是（）A ．()()2f xg x ==B ．()()()22,2f x x g x x ==-C ．()(),0,,0x x f x g t t x x ≥⎧==⎨-<⎩D ．()()f x g x =【变式训练1】.（2019·江苏姑苏苏州中学高一期中）（多选题）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）A ．()||f x x =与()g xB ．()1f x x =+与21()1x g x x -=-C ．||()x f x x =与1,0()1,0x g x x >⎧=⎨-<⎩ D ．()f x =()g x =(四)、求函数的解析式求函数解析式常用的方法 1．换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； 2．配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的表达式； 3．待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法； 4．方程组法：已知关于f (x )与1()f x或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f (x ).例5．（2020·全国高一）设函数()(0)f x kx b k =+>，满足(())165f f x x =+，则()f x =（）A ．543x --B ．543x -C ．41xD ．41x +【变式训练1】.（2020·河北衡水中学调研）已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求f (x )的解析式．例6．（2017·全国高一课时练习）已知111f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则()f x 的解析式为（） A ．()11f x x =+ B ．()1xf x x+=C ．()1f x x x=+ D ．()1f x x =+【变式训练1】．已知函数()f x 是一次函数，且()23f f x x ⎡⎤⎣⎦-=恒成立，则()3f =( ) A ．1 B ．3 C ．5D ．7例7．（2020·全国高一）若函数()f x 满足1()23f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则(2)f =___________．【变式训练1】．（2020·全国高一）对的所有实数，函数满足，求的解析式．【变式训练2】.（2019秋•武汉期末）（1）已知，求；（2）已知，求f （x ）的解析式．1x ≠±x ()f x 122111x x f f x x x +⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪++-⎝⎭⎝⎭()f x(五)、求函数值域求函数值域的基本方法 1．观察法：通过对函数解析式的简单变形，利用熟知的基本函数的值域，或利用函数图象的“最高点”和“最低点”，观察求得函数的值域． 2．利用常见函数的值域：一次函数的值域为R ；反比例函数的值域为{|0}y y ≠；指数函数的值域为(0,)+∞；对数函数的值域为R ；正、余弦函数的值域为[1,1]-；正切函数的值域为R . 3．分离常数法：将形如cx dy ax b +=+(a ≠0)的函数分离常数，变形过程为： ()c bc bc ax b d d cx d c a a a ax b ax b a ax b ++--+==++++，再结合x 的取值范围确定bc d a ax b-+的取值范围，从而确定函数的值域. 4．换元法：对某些无理函数或其他函数，通过适当的换元，把它们化为我们熟悉的函数，再用有关方法求值域．如：函数()0)f x ax b ac =++≠，可以令0)t t =≥，得到2t d x c -=，函数()f x ax=0)b ac ++≠可以化为2()a t d y tb c-=++(t ≥0)，接下来求解关于t 的二次函数的值域问题，求解过程中要注意t 的取值范围的限制． 5．配方法：对二次函数型的解析式可以先进行配方，在充分注意到自变量取值范围的情况下，利用求二次函数的值域的方法求函数的值域． 6．数形结合法：作出函数图象，找出自变量对应的范围或分析条件的几何意义，在图上找出值域． 7．单调性法：函数单调性的变化是求最值和值域的依据，根据函数的单调区间判断其单调性，进而求函数的最值和值域． 8．判别式法：将函数转化为二次方程：若函数y ＝f (x )可以化成一个系数含有y 的关于x 的二次方程a (y )x 2＋b (y )x ＋c (y )＝0，则在a (y )≠0时，由于x ，y 为实数，故必须有Δ＝b 2(y )－4a (y )·c (y )≥0，由此确定函数的值域．利用判别式求函数值的范围，常用于一些“分式”函数、“无理”函数等，使用此法要特别注意自变量的取值范围.例8．（2019·东台创新高级中学高三月考）函数y =的值域是 _____.例9．求下列函数的值域：（1）243,[1,1]y x x x =-+∈-；（2）y x =- （3）2(1)1x y x x =>-.【变式训练1】．求下列函数的值域（1）2()41f x x x =-+，(2x ∈-，3]；（2）()1)f x x x =-．（3）232y x x =-+，[1x ∈，3]；（4）y x =+（5）y =（6）y x =-（7）2223x y x -=+．【变式训练2】．（2020·全国高一课时练习）（多选题）已知函数()22,1,12x x f x x x +≤-⎧=⎨-<<⎩，关于函数()f x 的结论正确的是（）A ．()f x 的定义域为RB ．()f x 的值域为(),4-∞C ．()13f =D ．若()3f x =，则xE.()1f x <的解集为()1,1-(六)、分段函数求值分段函数是一类重要的函数，常作为考查函数知识的最佳载体，以其考查函数知识容量大而成为高考的命题热点，多以选择题或填空题的形式呈现，重点考查求值、解方程、零点、解不等式、函数图象及性质等问题，难度一般不大，多为容易题或中档题. 分段函数问题的常见类型及解题策略： 1．求函数值：弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算． 2．求函数最值：分别求出每个区间上的最值，然后比较大小． 3．求参数：“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程或不等式． 4．解不等式：根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提．例10．（2019·浙江南湖嘉兴一中高一月考）已知()()()21020x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若()()10f f a =，则a =______________.例11．（2020·全国高一课时练习）已知()1,00,0x f x x ≥⎧=⎨<⎩则不等式()2xf x x +≤的解集是________.【变式训练1】．（1）已知函数21,02,0x x y x x ⎧+≤=⎨->⎩，若()10f x =，则x=___________（2）．（2020·四川省成都市郫都区第四中学高一期末）设函数221,1()22,1x x f x x x x +≥⎧=⎨--<⎩，若f （x 0）＞1，则x 0的取值范围是（）A ．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）B ．（﹣∞，﹣1）∪[1，+∞）C ．（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，﹣3）∪[1，+∞）四、定时训练【基础巩固】1．（2012·全国高一课时练习）设集合{|02}M x x =≤≤，{|02}N y y =≤≤，那么下面的4个图形中，能表示集合M 到集合N 的函数关系的有（）A ．①②③④B ．①②③C ．②③D ．②2．（2020·安徽省高三其他（文））已知函数y =A ，则A R（）A ．{0}{1}xx x x ≤⋃≥∣∣ B ．{0}{1}xx x x <⋃>∣∣ C ．{01}xx ≤≤∣ D ．{01}xx <<∣ 3.若函数()y f x =的定义域是[0，4]，则函数(2)()1f xg x x =-的定义域是（） A ．[]0,8 B ．[]0,1)(1,8⋃C ．[]0,1)(1,2⋃D ．[]0,24．函数()()1ln 2f x x =+ ）A ．[)(]3113---，,B ．[)(]2113---，，C ．()(]2113---，，D ．(]23-，5．（2020春•历下区校级期中）（多选题）数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转化、对称统一的和谐美．如果能够将圆的周长和面积同时平分的函数称为这个圆的“优美函数”，下列说法正确的是（）A ．对于任意一个圆，其“优美函数”有无数个B ．f （x ）＝x 3可以是某个圆的“优美函数”C ．正弦函数y ＝sin x 可以同时是无数个圆的“优美函数”D ．函数y ＝f （x ）是“优美函数”的充要条件为函数y ＝f （x ）的图象是中心对称图形 6．函数22y x x =-的定义域为{}0,1,2,3，那么其值域为（） A.{}1,0,3-B.{}1,0,2,3-C.[]1,3-D.[]2,3-7．（2020·全国高一）已知函数(21)43(R)f x x x -=+∈，若()15f a =，则实数a 之值为（） A ．2B ．3C ．4D ．58．（2020·山东潍坊一中高二月考）（多选题）对于定义域为D 的函数f （x ），若存在区间[m ，n ]⊆D ，同时满足下列条件：①f （x ）在[m ，n ]上是单调的；②当定义域是[m ，n ]时，f （x ）的值域也是[m ，n ]，则称[m ，n ]为该函数的“和谐区间”.下列函数存在“和谐区间”的有（）A ．()321f x x =+B ．()2f x x=C ．()-2xf x e =D ．()ln 1f x x =+9．（2020·全国高三专题练习（理））已知函数()221,1,1x x f x x x +<⎧=⎨≥⎩，则12f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______；若()1f a =，则a =______.10．（2017·全国高一课时练习）已知函数f(x)＝61x - (1)求函数f(x)的定义域； (2)求f(－1), f(12)的值．【能力提升】11．（2020·全国高一）函数2232y x x =--的定义域为( )A ．(],1-∞-B ．[]1,1-C ．[)()1,22,⋃+∞D ．111,,122⎡⎫⎛⎤---⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦12．（2020·全国高一）函数y x =+ ） A ．(－∞，1]B ．(－∞，－1]C ．RD ．［1，+∞13．（多选题）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km 按起步价付费)；超过3 km 但不超过8 km 时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km 时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是( ) A ．出租车行驶4 km ，乘客需付费9.6元 B ．出租车行驶10 km ，乘客需付费25.45元C ．某人乘出租车行驶5 km 两次的费用超过他乘出租车行驶10 km 一次的费用D ．某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9 km14.设函数，，为常数。

1.2.3 函数的表示方法及分段函数

解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
函数的表示方法数形结合
解析法图像法2
3
解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系.图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系.
列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系.
函数的表示方法
画函数草图
列表法
x-2-1012 f(x)52125
分段函数：在定义域内，对于自变量 x 取值的不同区间，有着不同的对应关系.分段函数
例9 画出函数 y = |x| 的图象。

解：由绝对值的概念，我们有所以，函数的图象如右图所示.
-3 -2 -1 0 1 2 3
32
1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
4321
-1-2
例10 已知函数 f(x) = ，画出函数的草图，
求 f ( f ( 2 ) ).
-3 -2 -1 0
1 2 3 4
4321
-1-2例10 已知函数 f(x) = ，画出函数的草图，
求 f ( f ( 2 ) ).
⎪⎩⎪⎨⎧>-≤++=0
,0,22)(22x x x x x x f 2))((=a f f 例11. 设函数，，求 a .
解：（1）若 a ≤0，则 f(a) =a 2+2a+2=(a+1)2+1＞0所以 f(f(a))=﹣(a 2+2a+2)2＜0 与题意不符.
（2）若 a ＞0，则 f(a) =﹣a 2 ≤ 0所以 f(f(a)) = (﹣a 2)2-2a 2+2 = (a 2)2-2a 2
+2 =2。

分段函数知识点总结整理

分段函数知识点总结整理分段函数是一种函数表达式，其定义域被分为几个部分，在每个部分，函数的表达式都是不同的。

分段函数在实际问题中有着广泛的应用，而对于学习者而言，掌握分段函数的知识是非常重要的。

本文将通过总结和整理分段函数的知识点，帮助读者更好地理解和掌握这一部分的数学知识。

1.分段函数的基本概念分段函数是由若干个部分组成的函数，每个部分都有自己的定义域和函数表达式。

通常来说，一般形式的分段函数可以表示为：\[ f(x) = \begin{cases} f_1(x), & a_1 \leq x < b_1 \\ f_2(x), & a_2 \leq x < b_2 \\ \vdots \\f_n(x), & a_n \leq x < b_n \\ \end{cases} \]其中，\[ f_1(x), f_2(x), \cdots, f_n(x) \] 分别为不同的函数表达式，\[ a_1, b_1, a_2, b_2,\cdots, a_n, b_n \] 分别为定义域的分割点。

在每个分段区间，函数的表达式可能不同，也可能相同。

2. 分段函数的图像分段函数的图像通常是由若干个部分的图像组成的。

在每个分段区间内，函数的图像可能是一条直线、一个曲线或者其他形式。

需要注意的是，不同分段区间之间可能存在间断点，这些间断点通常需要特别关注。

3. 分段函数的定义域和值域在讨论分段函数的定义域和值域时，需要分别对每个函数表达式的定义域和值域进行分析。

需要注意的是，整个分段函数的定义域和值域需要考虑到每个部分的定义域和值域的并集或交集。

4. 分段函数的性质分段函数的性质通常是由其各个部分的函数表达式决定的。

当各个函数表达式的性质不同的时候，在整体上，分段函数可能具有一些特殊的性质。

例如，分段函数可能是一个单调递增的函数、单调递减的函数或者是非单调的函数。

5. 分段函数的应用分段函数在实际问题中有着广泛的应用。

函数的表示图像分段函数

将x轴下方的图象翻到x轴上方
2、左翻
保留f(x)在y轴右边的图象，
y=f(x)的图象
y=f( x ) 的图象
将y轴右边的图象翻到y轴左边
f (x) x2 2x 3, f ( x ) x 2 2 x 3
例5.请画出下列函数的图像：y 1 , y x 1, y 1 , y x . x x x 1 x 1
1.2.2 函数的表示阅读课本第21页例5与例6. 一.分断函数的定义：
一个函数在自变量的不同取值范围内的对应法则有所不同（解析式不同）.
分段函数不能认为是几个函数的合并.
例题巩固
例1.已知函数f
(
x)

x, x2
x 0, , x 0,
试求f
(2)与f
(
f
(2))的值.
f (2) 2, f ( f (2)) 4.
(x)

1
x2x2，xx 2，x≤1，则f
1，

f
1 (2)
的值为（）
Ａ.15 Ｂ.－27 Ｃ.8 Ｄ18
16
16
9
例4.设函数f
(x)

1

2 1
x
x 1, x , x 0,

0, 若f
(a)

a, 则实数a的取值范围是
15%
…
…
…
9
超过10000元部分
45%
(1)若应纳税额为f(x)，试用分段函数表示 1～3级纳税额f(x)的计算公式；
(2)某人2007年10月份总收入3800元，试
3.某人某月交纳此项税款为26.78元，那么他此月的薪金

1函数的表示法3种表示法和分段函数

此五物之间，岂不为六一乎？”写作背景：宋仁宗庆历五年(1045年)，参知政事范仲淹等人遭谗离职，欧阳修上书替他们分辩，被贬到滁州做了两年知州。到任以后，他内心抑郁，但还能发挥“宽简而不扰”的作风，取得了某些政绩。《醉翁亭记》就是在这个时期写就的。目标导学二：朗读文章，通文
会员免费下载顺字1．初读文章，结合工具书梳理文章字词。2．朗读文章，划分文章节奏，标出节奏划分有疑难的语句。节奏划分示例
三种表示方法举例：
(1).解析法: y kx (k 0) , h 1 gt2
2
(2).列表法:
国内生产总值（单位：亿元）
年份
1990
1991
1992 1993
生产总值 18598.4 21662.5 26651.9 34560.5
(3).图象法:
我国人口出生率变化曲线Fra bibliotek例2．下表是某校高一（1）班三位同学在高一学年度几次数学测试的成绩及班级平均分表：
(1)求f{f[f(－2)]} ;
(2)当f (x)=－7时,求x ;
解（1） f{f[f(－2)]} = f{f[-1]}
= f{1} =0 (2)若x＜－1 , 2x+3 ＜1，与
f (x)=－7相符，由
2x+3 =－7得x=-5
易知其他二段均不符合f (x)=－7 。
故 x=-5
思考
x+2, (x≤－1)
120
100
80 王伟
60
张城
赵磊
班平均分 40
（2）请你对这三位同学在高一学年度
20 的数学学习情况做一个分析，
0 第一次第二次第三次第四次第五次第六次
例3 . 画出函数y | x | 的图象.

函数的表示法及分段函数

－2)．
(1)求f(－1)，f(2.5)的值；
(2)写出f(x)在[－3,3]上的表达式．
[解] (1)f(－1)＝kf(1)＝k(1－2)＝－k.
∵f(0.5)＝kf(2.5)， 1 1 3 ∴f(2.5)＝ f(0.5)＝ 0.5×(0.5－2)＝－ . k k 4k
(2)∵对任意实数 x，f(x)＝kf(x＋2)， 1 ∴f(x－2)＝kf(x)，∴f(x)＝kf(x－2)，当－3≤x＜－2 时，1≤x＋4＜2， f(x)＝kf(x＋2)＝k2f(x＋4)＝k2(x＋4)(x＋2) 当－2≤x＜0 时，0≤x＋2＜2， f(x)＝kf(x＋2)＝kx(x＋2)；当 2≤x≤3 时，0≤x－2≤1， 1 1 f(x)＝ kf(x－2)＝k(x－2)(x－4)．
f(x－1)＝(x－1)[1＋(x－1)]＝x(x－1)
∵f(x)的周期是1，∴－1也是f(x)的周期．
∴f(x)＝f(x－1)＝x(x－1)． ∴当x∈[0,1]时，f(x)＝x(x－1)．
(2010·广东)已知函数f(x)对任意实数x均有f(x)＝kf(x
＋2)，其中常数k为负数，且f(x)在区间[0,2]上有表达式f(x)＝x(x
[解] ∵f(0)＝0，∴c＝0.
1 1 ∵对于任意 x∈R 都有 f(－2＋x)＝f(－2－x)，
1 b 1 ∴函数 f(x)的对称轴为 x＝－，即－＝－，得 a＝b. 2 2a 2 又 f(x)≥x，即 ax2＋(b－1)x≥0 对于任意 x∈R 都成立， ∴a＞0，且 Δ＝(b－1)2≤0. ∵(b－1)2≥0，∴b＝1，a＝1. ∴f(x)＝x2＋x.
x＋2 x≤－1 2 在函数 y＝x －1＜x＜2 2x x≥2 ( ) A．1 B．－1

函数的表示法及分段函数

下降。
02 分段函数的概念与性质
分段函数的定义与表示方法
分段函数的定义
分段函数是一种在自变量的不同取值范围内，对应不同的函数表达式的函数。
分段函数的表示方法
通常使用大括号将各段的函数表达式括起来，并在每一段前面标明自变量的取值范围。
分段函数的性质
分段连续性
01
分段函数在其定义域内的每一段上都是连续的，但在某些点处
分段函数的单调性
01
分段函数的单调性需要分别考虑其各段的单调性。
02
如果分段函数在某一段内单调增加（或减少），则该函数在该段内为增函数（或减函数）。
03
如果分段函数在其整个定义域内都是单调的，则该函数为全局单调函数。
分段函数的奇偶性
分段函数的奇偶性需要分别考虑其各段的奇偶性。
如果分段函数在其定义域内关于y轴对称，则该函数为偶函数。
税收制度
税收制度中的累进税率就是一种典型的分段函数。根据不同的收入区间，税率会有所不同，从而形成了一个分段函数。
需求与供给
在经济学中，需求和供给曲线可以表示为分段函数。这些曲线描述了在不同价格水平下，消费者和生产者的行为变化。
分段函数在工程学中的应用
控制系统
在控制工程中，分段函数常被用来描述系统的非线性特性。例如，饱和环节、死区环节等都可以通过分段函数来表示。
现实世界中的许多系统都具有复杂性和非线性特点，如生态系统、社会经济系统等。未来，分段函数将在复杂系统的建模和分析中发挥更大作用，需要发展更为精细和高效的方法。
函数表示法与计算机科学的结合
随着计算机科学的不断进步，函数表示法将与计算机科学更加紧密地结合，如自动微分、符号计算等技术的发展将为函数表示法提供新的思路和方法。

函数的表示方法2-分段函数全解

命题方向1：分段函数的图象与解析式
|x| 例 1 (1)作 f(x)＝x＋ x 的图象． (2)如图，根据函数 y＝f(x)的图象，写出它的解析式．
解
x＋1x＞0， (1)f(x)＝ x－1x＜0，
图象如图．
命题方向1：分段函数的图象与解析式
|x| 例 1 (1)作 f(x)＝x＋ x 的图象． (2)如图，根据函数 y＝f(x)的图象，写出它的解析式．
x∈I ， 1 f(x)＞a⇔ f1x＞a， x∈I ， 2 或 f2x＞a.
例 3 已知函数
2 x ＋1x≥0， f(x)＝－2xx＜0，
(1)若 f(x)＝10，则 x＝________. (2)若 f(x)＜10，则 x＝________.
⇔0≤x＜3 或－5＜x＜0 ⇔－5＜x＜3.
变式训练 3 已知函数
x＋1，x≤－2， 2 f(x)＝x ＋2x，－2<x<2， 2x－1，x≥2.
5 (1)求 f(－5)，f(－ 3)，f(f(－2))的值； (2)若 f(a)＝3，求实数 a 的值； (3)若 f(m)>m(m≤－2，或 m≥2)，求实数 m 的取值范围．
m≤－2， (3)f(m)>m⇔ m＋1>m，
m≥2，或 2m－1>m
m≥2， ⇔m≤－2，或 ⇔m≤－2，或 m≥2. m>1
所以，所求 m 的取值范围是(－∞，－2]∪[2，＋∞)．
命题方向4：分段函数的应用
例 4 如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 的边上有一点 P，沿折线 BCDA 由点 B(起点)向点 A(终点) 运动，设点 P 运动的路程为 x，△APB 的面积为 y. (1)求 y 关于 x 的函数关系式 y＝f(x)； (2)画出 y＝f(x)的图象； (3)若△APB 的面积不小于 2，求 x 的取值范围．

分段函数的知识点总结

分段函数的知识点总结一、分段函数的定义1.1 分段函数的基本形式分段函数的基本形式可以表示为：\[ f(x)=\begin{cases}f_{1}(x), & x\in D_{1}\\f_{2}(x), & x\in D_{2}\\… \\f_{n}(x), & x\in D_{n}\\\end{cases} \]其中，\( D_{1}, D_{2},..., D_{n} \)表示函数的定义域的不相交区间，\( f_{1}(x), f_{2}(x),...,f_{n}(x) \)分别表示在不同区间内的函数表达式。

1.2 分段函数的定义域和值域分段函数的定义域由各个子函数的定义域合并而成，而值域则由各个子函数的值域的并集组成。

1.3 分段函数的解析性质对于分段函数，通常要考虑其在各个定义域内的解析表达式。

在定义分段函数时，要考虑到各个分段的连续性、一致性等性质，以确保分段函数在各个区间内的函数表达式具有良好的连续性和可导性。

1.4 分段函数的特殊形式分段函数的特殊形式包括绝对值函数、符号函数、取整函数、阶梯函数等。

这些特殊形式的分段函数在实际问题中具有广泛的应用，例如在信号处理、控制系统等领域中均有重要的作用。

二、分段函数的性质2.1 分段函数的奇偶性对于分段函数，其奇偶性通常由各个子函数的奇偶性来确定。

如果各个子函数均为偶函数，则分段函数也为偶函数；若各个子函数均为奇函数，则分段函数也为奇函数；若各个子函数均为非奇非偶函数，则分段函数既不是奇函数也不是偶函数。

2.2 分段函数的周期性对于分段函数，其周期性通常由各个子函数的周期性来确定。

如果各个子函数均具有相同的周期，则分段函数也具有这一周期；若各个子函数的周期不同，则分段函数通常不具有周期性。

2.3 分段函数的单调性对于分段函数，其单调性通常由各个子函数的单调性来确定。

如果各个子函数均为单调递增或单调递减函数，则分段函数也为单调递增或单调递减函数；若各个子函数既不是单调递增也不是单调递减函数，则分段函数通常不具有单调性。

人教高中数学必修一B版《函数及其表示方法》函数的概念与性质说课复习(分段函数)

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栏目导引
第三章函数
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(变问法)本例条件不变，若 f(a)＝3，求实数 a 的值．
解：①当 a≤－2 时，f(a)＝a＋1，所以 a＋1＝3，所以 a＝2>－2 不合题意，舍去． ②当－2<a<2 时，a2＋2a＝3，即 a2＋2a－3＝0，
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取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费 y(元)
关于用电量 x(度)的函数图像是一条折线(如图所示)，根据图像
解下列问题：
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第三章函数
(1)求 y 关于 x 的函数关系式；
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问题导学预习教材 P90－P92 的内容，思考以下问题： 1．什么是分段函数？ 2．分段函数是一个函数还是多个函数？
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第三章函数
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第3章-3.1.2-表示函数的方法-3.1.3-简单的分段函数高中数学必修第一册湘教版

≠ −1 ，得 =
≠ −1 ．故选C．
1−
1+
= ,则 =( C
1−
1+
C.
1−
，即
1+
≠ −1
=
1−
，
1+
)
2
+1
D.
≠ −1
例7 (2024·广东省佛山市月考)
（1）已知函数满足 + 2
1

1

【解析】在已知等式中，将换成，得
第3章函数的概念与性质
3.1 函数
3.1.2 表示函数的方法&3.1.3 简单的分段函数
教材帮丨必备知识解读
知识点1 函数的表示法
例1-1 ［情境题］某大学生应聘到一家企业工作，合同期限为一年，经协商该企业
给这名大学生支付工资的方式是：第一个月3 000 元，以后每个月比上一个月多100
元.若该大学生工作后的第个月的工资为元，则是的函数，分别用解析法、列表
2
2
1,1 ≤ < 2.
图3.1.2-7
【学会了吗丨变式题】
3.根据图3.1.2-8所示的函数的图象，写出函数的解析式.
图3.1.2-8
【答案】当 ≤ 时，设 = + , ≠ , ≤ .
+ = ,
= −,
将 , , , 代入，得ቊ
法和图象法表示该函数.
【解析】依题意知，以后每个月比上一个月多100元，则可得第个月的工资比第一
个月多100 − 1 元，
又第一个月工资是3 000元，故用解析法表示该函数为
= 3 000 + 100 − 1 = 100 + 2 900， ∈ N+ ，且 < 13.（必须注明函数的定义

3.1.2 第2课时分段函数

第2课时分段函数学习目标1．会用解析法及图象法表示分段函数.2.给出分段函数，能研究有关性质.3.能用分段函数解决生活中的一些简单问题．知识点一分段函数(1)定义：像y ＝⎩⎨⎧－x ，x <0，x ，x ≥0这样的函数称为分段函数．(2)实质：函数f (x )，x ∈A ，自变量x 在A 中□1不同的取值范围内，有着不同的□2对应关系．知识点二分段函数的性质(1)定义域：各段自变量取值范围的□3并集，注意各段自变量取值范围的□4交集为空集，这是由函数定义中的唯一性决定的．(2)值域：各段函数在相应区间上函数取值集合的□5并集． (3)图象：根据不同定义域上的解析式分别作出，再将它们组合在一起得到整个分段函数的图象．[微练1] (多选题)下列给出的函数是分段函数的是( ) A ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，1≤x ≤5，2x ，x <1B ．f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4C ．f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1D ．f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋3，x <0，x －1，x ≥5解析：AD B 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥4，x 2，x ≤4中，当x ＝4时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；C 中的函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ＋3，1≤x ≤5，x 2，x ≤1中，当x ＝1时，有两个值与之对应，不满足函数的定义，不是分段函数；只有A 、D中的函数满足分段函数的定义，是分段函数．故选AD ．[微练2] 已知函数f (x )＝⎩⎨⎧1x ＋1，x <－1，x －1，x >1，则f (2)＝( )A ．0B ．13C ．1D ．2解析：C ∵2＞1，∴f (2)＝2－1＝1.题型一分段函数求值(范围)问题已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1<x <2，x 22，x ≥2.(1)求f (－3)，f (f (32))的值； (2)若f (a )＝2，求a 的值． [解] (1)因为－3<－1，所以f (－3)＝－3＋2＝－1. 因为－1<32<2，所以f (32)＝2×32＝3. 又3>2，所以f (f (32))＝f (3)＝92.(2)当a ≤－1时，由f (a )＝2，得a ＋2＝2，a ＝0，舍去；当－1<a <2时，由f (a )＝2，得2a ＝2，a ＝1；当a ≥2时，由f (a )＝2，得a 22＝2，a ＝2或a ＝－2(舍去)．综上所述，a 的值为1或2. [发散思维]若本例函数f (x )不变，求满足f (x )>2x 的x 的取值范围．解：当x ≤－1时，有x ＋2>2x .解得x <2，∴x ≤－1，当－1<x <2时，2x >2x ，x 无解，当x ≥2时，x 22>2x .解得x >4， ∴x >4，综上，x 的取值范围为(－∞，－1]∪(4，＋∞)．1．分段函数求函数值的方法(1)确定要求值的自变量属于哪一段区间；(2)代入该段的解析式求值，直到求出值为止．当出现f (f (x 0))的形式时，应从内到外依次求值．2．已知函数值或不等式求范围的步骤(1)先将参数分情况代入解析式，列出方程(不等式)；(2)解方程(不等式)求参数的值(范围)，并检验是否符合参数的取值范围； (3)符合题意的所有值(范围的并集)即为所求．1．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，则f (－43)＋f (43)等于( )A ．－2B ．4C ．2D ．－4解析：B ∵f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f （x ＋1），x ≤0，∴f (－43)＝f (－43＋1)＝f (－13)＝f (－13＋1)＝f (23)＝23×2＝43，f (43)＝2×43＝83， ∴f (－43)＋f (43)＝43＋83＝4.2．已知f (x )＝⎩⎨⎧1，x ≥0，0，x <0，则不等式xf (x )＋x ≤2的解集为( )A ．[0，1]B ．[0，2]C ．(－∞，1]D ．(－∞，2]解析：C 当x ≥0时，x ×1＋x ≤2，解得0≤x ≤1；当x <0时，x ≤2，所以x <0.所以不等式xf (x )＋x ≤2的解集为(－∞，1]．故选C ．3．设函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ，x ≤0，x 2，x >0，若f (α)＝9，则α＝________．解析：由题意得⎩⎨⎧α≤0，－α＝9或⎩⎨⎧α>0，α2＝9.∴α＝－9或α＝3. 答案：－9或3题型二分段函数的图象及应用角度1 分段函数的图象(1)(2023·许昌市高一六校联考)函数y ＝|x |x ＋x 的大致图象是( )(2)作出下列函数的图象： f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x ≤－1，x 2－x －2，－1<x ≤2，x －2，x >2.(1)[解析] 法一：易得函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，排除A ，B ；当x ＝－1时，y ＝－2，选项D 中的图象不符合，排除D ．故选C ．法二：函数y ＝|x |x ＋x 的定义域为{x |x ≠0}，依据绝对值的概念可得y ＝⎩⎨⎧1＋x ，x >0，－1＋x ，x <0，易知选项C 对应的图象正确． [答案] C(2)[解] 画出一次函数y ＝－x －1的图象，取(－∞，－1]上的一段；画出二次函数y ＝x 2－x －2的图象，取(－1，2]上的一段；画出一次函数y ＝x －2的图象，取(2，＋∞)上的一段，如图所示．角度2 分段函数图象的应用(链接教材P 68例6)已知函数f (x )＝－x 2＋2，g (x )＝x ，令φ(x )＝min{f (x )，g (x )}(即f (x )和g (x )中的较小者)．(1)分别用图象法和解析式表示φ(x )； (2)求函数φ(x )的定义域，值域．[解] (1)在同一个坐标系中画出函数f (x )，g (x )的图象如图①.由图①中函数取值的情况，结合函数φ(x )的定义，可得函数φ(x )的图象如图②.令－x 2＋2＝x ，得x ＝－2或x ＝1.结合图②，得出φ(x )的解析式为φ(x )＝⎩⎨⎧－x 2＋2，x ≤－2，x ，－2<x <1，－x 2＋2，x ≥1.(2)由图②知，φ(x )的定义域为R ，φ(1)＝1， ∴φ(x )的值域为(－∞，1]．1．分段函数图象的画法作分段函数的图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象，再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏．2．根据分段函数图象求解析式(1)首先从图象上看分段点及各段定义域．(2)其次看各段图象所代表的函数，用待定系数法求解析式，最后写成分段函数．4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x ≤0，x 2＋1，0<x ≤1，则函数f (x )的图象是( )答案：A5．已知函数f (x )的图象如图所示，求f (x )的解析式．解：当－1≤x <0时，设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，将(－1，0)，(0，1)代入解析式，则⎩⎨⎧－a ＋b ＝0，b ＝1.∴⎩⎨⎧a ＝1，b ＝1.∴f (x )＝x ＋1. 当0≤x ≤1时，设f (x )＝kx (k ≠0)，将(1，－1)代入，则k ＝－1.∴f (x )＝－x . 即f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，－1≤x <0，－x ，0≤x ≤1.题型三分段函数在实际问题中的应用某市“招手即停”公共汽车的票价按下列规则制定： (1)5 km 以内(含5 km)，票价2元；(2)5 km 以上，每增加5 km ，票价增加1元(不足5 km 的按5 km 计算)．如果某条线路的总里程为20 km ，请根据题意，写出票价与里程之间的函数解析式，并画出函数的图象．[解] 设票价为y 元，里程为x km.由题意可知，自变量x 的取值范围是(0，20]．由“招手即停”公共汽车票价的制定规则，可得到以下函数解析式：y ＝⎩⎨⎧2，0<x ≤5，3，5<x ≤10，4，10<x ≤15，5，15<x ≤20.函数图象如图．分段函数应用问题的两个关注点(1)应用情境日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等，都是最简单的分段函数．(2)注意问题求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”，一定要分得合理．6．(2022·滨州高一检测)某同学设想用“高个子系数k ”来刻画成年男子的高个子的程度，他认为，成年男子身高160 cm 及其以下不算高个子，其高个子系数k 应为0；身高190 cm 及其以上的是理所当然的高个子，其高个子系数k 应为1，请给出一个符合该同学想法、合理的成年男子高个子系数k 关于身高x (cm)的函数关系式________．解析：设身高为x cm ，k (x )＝ax ＋b (a ＞0)，x ∈[160，190]，由⎩⎨⎧160a ＋b ＝0，190a ＋b ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝130，b ＝－163.k (x )＝130x －163.故k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190.答案：k ＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0<x ≤160，130（x －160）， 160<x <190，1， x ≥190特别提醒(1)分段函数是一个函数，而不是几个函数，整体及各段符合函数的定义． (2)分段函数的定义域是各段自变量的并集，值域是各段值域的并集． (3)求解分段函数问题的原则是分段讨论．课时规范训练 A 基础巩固练1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x －2，x <2，f （x －1），x ≥2，则f (2)等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．2解析：A f (2)＝f (2－1)＝f (1)＝1－2＝－1.2．著名的Dirichlet 函数D (x )＝⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则D (D (x ))等于( )A ．0B ．1C ．⎩⎨⎧1，x 为无理数，0，x 为有理数D ．⎩⎨⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数解析：B ∵D (x )∈{0，1}，∴D (x )为有理数， ∴D (D (x ))＝1.3．一列货运火车从某站出发，匀加速行驶一段时间后开始匀速行驶，过了一段时间，火车到达下一站停车，装完货以后，火车又匀加速行驶，一段时间后再次匀速行驶，下列图象可以近似地刻画出这列火车的速度变化情况的是( )A B C D解析：B 根据题意，知这列火车从静止开始匀加速行驶，所以排除A ，D ．然后匀速行驶一段时间后又停止了一段时间，排除C ．故选B ．4．设f (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），若f (x )＝9，则x ＝()A ．－12B ．±3C ．－12或±3D ．－12或3解析：Df (x )＝⎩⎨⎧－x －3（x ≤－1），x 2（－1<x <2），3x （x ≥2），f (x )＝9，当x ≤－1时，－x －3＝9，解得x ＝－12；当－1<x <2时，x 2＝9，解得x ＝±3，不成立；当x ≥2时，3x ＝9，解得x ＝3，所以x ＝－12或x ＝3.故选D ．5.(多选题)函数f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式是( )A ．f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x >0，x ＋1，x ≤0B ．f (x )＝⎩⎨⎧－x －1，x >0，x ＋1，x ≤0C ．f (x )＝－|x |＋1D ．f (x )＝|x ＋1|解析：AC 由题中图象知当x ≤0时，f (x )＝x ＋1，当x >0时，f (x )＝－x ＋1，故选AC ．6．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧3x ＋2，x <1，x 2－ax ，x ≥1，若f (f (0))＝a ，则实数a ＝________．解析：依题意知f (0)＝3×0＋2＝2，则f (f (0))＝f (2)＝22－2a ＝a ，得a ＝43. 答案：437．某市出租汽车收费标准如下：在3 km 以内(含3 km)路程按起步价9元收费，超过3 km 的路程按2.4元/km 收费．收费额(单位：元)关于路程(单位：km)的函数解析式为________．解析：设路程为x km 时，收费额为y 元，则由题意得：当x ≤3时，y ＝9；当x >3时，按2.4元/km 所收费用为2.4×(x －3)，那么有y ＝9＋2.4×(x －3)．于是，收费额关于路程的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，9＋2.4×（x －3），x >3，即y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >3.答案：y ＝⎩⎨⎧9，0<x ≤3，2.4x ＋1.8，x >38．函数f (x )的图象如图所示，求函数f (x )的解析式．解：当x <－1时，设f (x )＝ax ＋b ，则⎩⎨⎧－a ＋b ＝1，－2a ＋b ＝0，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝2，所以f (x )＝x ＋2；当－1≤x ≤2时，设f (x )＝kx 2，由4＝k ·22得k ＝1，所以f (x )＝x 2；当x >2时，设f (x )＝cx ＋d ，则⎩⎨⎧2c ＋d ＝4，3c ＋d ＝6，解得⎩⎨⎧c ＝2，d ＝0，所以f (x )＝2x ，所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x <－1，x 2，－1≤x ≤2，2x ，x >2.B 能力进阶练9．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎨⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0，则函数f (x )＝|x |sgn x 的图象大致是( )A B C D解析：C由题意知f (x )＝⎩⎨⎧x ，x >0，0，x ＝0，x ，x <0，则f (x )＝x ，则f (x )的图象为C 中图象所示．10．(多选题)已知函数f (x )的图象由如图所示的两条线段组成，则( )A ．f (f (1))＝3B ．f (2)>f (0)C ．f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]D ．∃a >0，不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]解析：AC 因为f (1)＝0，f (0)＝3，所以f (f (1))＝3，A 正确；f (0)＝3，0<f (2)<3，所以f (2)<f (0)，B 错误；由题图得，当x ∈[0，1]时，设解析式为y ＝k 1x ＋b 1(k 1≠0)，图象经过(1，0)，(0，3)，所以⎩⎨⎧k 1＋b 1＝0，b 1＝3，解得⎩⎨⎧k 1＝－3，b 1＝3，所以y ＝3－3x ； x ∈[1，4]时，设解析式为y ＝k 2x ＋b 2(k 2≠0)，图象经过(1，0)，(4，3)，所以⎩⎨⎧k 2＋b 2＝0，4k 2＋b 2＝3，解得⎩⎨⎧k 2＝1，b 2＝－1，所以解析式为y ＝x －1；即f (x )＝－x ＋1＋2|x －1|，x ∈[0，4]，C 正确；由C 得f (2)＝2－1＝1，f (12)＝3－32＝32，如图，所以不存在大于零的a ，使得不等式f (x )≤a 的解集为[12，2]，故D 错误．11．(多选题)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1<x <2，关于函数f (x )的结论正确的是( )A ．f (x )的定义域为RB ．f (x )的值域为(－∞，4)C ．若f (x )＝3，则x 的值是 3D ．f (x )<1的解集为(－1，1)解析：BC 由题意知函数f (x )的定义域为(－∞，2)，故A 错误；当x ≤－1时，f (x )的取值范围是(－∞，1]．当－1<x <2时，f (x )的取值范围是[0，4)，因此f (x )的值域为(－∞，4)，故B 正确；当x ≤－1时，x ＋2＝3，解得x ＝1(舍去)，当－1<x <2时，x 2＝3，解得x ＝3或x ＝－3(舍去)，故C 正确；当x ≤－1时，x ＋2<1，解得x <－1，当－1<x <2时，x 2<1，解得－1<x <1，因此f (x )<1的解集为(－∞，－1)∪(－1，1)，故D 错误．故选BC ．12．设函数f (x )＝⎩⎨⎧x ，0<x <1，2（x －1），x ≥1.若f (a )＝f (a ＋1)，则f (1a )＝________．解析：若0<a <1，由f (a )＝f (a ＋1)得a ＝2(a ＋1－1)，所以a ＝14，所以f (1a )＝f (4)＝2×(4－1)＝6.若a ≥1，由f (a )＝f (a ＋1)得2(a －1)＝2(a ＋1－1)，无解．综上，f (1a )＝6.答案：613．如图，该曲线表示一人骑自行车离家的距离与时间的关系．骑车者9时离开家，15时回家．根据这个曲线图，请你回答下列问题：(1)最初到达离家最远的地方是什么时间？离家多远？(2)何时开始第一次休息？休息多长时间？(3)第一次休息时，离家多远？(4)11：00到12：00他骑了多少千米？(5)他在9：00～10：00和10：00～10：30的平均速度分别是多少？(6)他在哪段时间里停止前进并休息用午餐？解：(1)最初到达离家最远的地方的时间是12时，离家30千米．(2)10：30开始第一次休息，休息了半小时．(3)第一次休息时，离家17千米．(4)11：00至12：00他骑了13千米．(5)9：00～10：00的平均速度是10千米/时；10：00～10：30的平均速度是14千米/时．(6)从12时到13时停止前进，并休息用午餐较为符合实际情形.。