三角函数图像与性质(3)

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三角函数的图像和性质(3)

第一节三角函数的图像和性质一、知识梳理2.函数)sin(ϕω+=x A y 的图像与性质：(1)函数)sin(ϕω+=x A y 和)cos(ϕω+=x A y 的周期都是T=_________ (2)函数)tan(ϕω+=x A y 和)cot(ϕω+=x A y 的周期都是T=_________(3)五点法作)sin(ϕω+=x A y 的简图，设X x ωϕ=+，X 取______________________来求相应x 的值以及对应的y 值再描点作图。

(4)关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换，提倡先平移后伸缩。

切记每一个变换总是对字母 x 而言，即图像变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

二、基础自测1.(2011·大纲全国卷理，5)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图像向右平移π3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于( )A.13 B ．3 C ．6 D ．9 答案:C2、(理)函数y ＝|sin x |的一个单调增区间是( )A.⎝⎛⎭⎫－π4，π4B.⎝⎛⎭⎫π4，3π4C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，2π 答案:C3．已知－π6≤x <π3，cos x ＝m －1m ＋1，则m 的取值范围是( )A ．m <－1B ．3<m ≤7＋4 3C ．m >3D ．3<m <7＋43或m <－1 答案:C4．已知函数y ＝tan ωx 在⎝⎛⎭⎫－π2，π2内是减函数，则( ) A ．0<ω≤1 B ．－1≤ω<0 C ．ω≥1 D ．ω≤－1 答案:B5．(2012·湖洲中学月考)已知函数f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的图像如下图所示，f ⎝⎛⎭⎫π2＝－23，则f (0)＝________.答案:2/36．sin1，sin2，sin3的大小关系为________．答案: sin3< sin1< sin27．求y ＝sin 2x －cos x ＋2的最值．答案:最大值与最小值分别为134与1.三、例题讲解[例1] 求下列函数的定义域：(1)y ＝－2cos 2x ＋3cos x －1＋lg(36－x 2)；(2)y ＝2＋log 12x ＋tan x .[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－2cos2x ＋3cosx －1≥036－x2>0，即⎩⎪⎨⎪⎧2cosx －1cosx －1≤0－6<x<6，也即⎩⎪⎨⎪⎧cosx ≥12－6<x<6.解得⎩⎪⎨⎪⎧－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k πk ∈Z－6<x<6 (*)取k ＝－1,0,1，可分别得到 x ∈⎝⎛⎦⎤－6，－5π3或x ∈⎣⎡⎦⎤－π3，π3或x ∈⎣⎡⎭⎫5π3，6. 即所求的定义域为⎝⎛⎦⎤－6，－5π3∪⎣⎡⎦⎤－π3，π3∪⎣⎡⎭⎫5π3，6.(2)要使函数有意义，只要⎩⎪⎨⎪⎧2＋log 12 x ≥0tanx ≥0 即⎩⎪⎨⎪⎧0<x ≤4k π≤x<k π＋π2k ∈Z即0<x<π2或π≤x ≤4.所以函数的定义域为⎝⎛⎭⎫0，π2∪[π，4]．变式：求下列各函数的定义域：(1)y ＝11－cosx；(2)y ＝sinx ＋1－tanx. [解析] (1)函数y ＝11－cosx有意义时，1－cosx ≠0，即cosx ≠1，所以x ≠2k π(k ∈Z)，所以函数的定义域为{x|x ≠2k π，x ∈R ，k ∈Z}．(2)要使函数有意义，必须⎩⎪⎨⎪⎧sinx ≥0，1－tanx ≥0.由上图知道，函数的定义域为⎣⎡⎦⎤2k π，2k π＋π4∪⎝⎛⎦⎤2k π＋π2，2k π＋π(k ∈Z).[例2] 求下列函数值域：(1)y ＝2cos 2x ＋2cos x ；(2)y ＝3cos x －3sin x ；(3)y ＝sin x ＋cos x ＋sin x cos x . [解析] (1)y ＝2cos2x ＋2cosx ＝2⎝⎛⎭⎫cosx ＋122－12. 当且仅当cosx ＝1时，得ymax ＝4，当且仅当cosx ＝－12时，得ymin ＝－12，故函数值域为⎣⎡⎦⎤－12，4. (2)y ＝3cosx －3sinx ＝23⎝⎛⎭⎫32cosx －12sinx＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.∵⎪⎪⎪⎪cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤1， ∴该函数值域为[－23，23]． (3)y ＝sinxcosx ＋sinx ＋cosx ＝sinx ＋cosx 2－12＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4－12＝⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋222－1，所以当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1时，当sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22时，y 取最小值－1，∴该函数值域为⎣⎡⎦⎤－1，12＋2. 变式：求y ＝sin2x －sinxcosx ＋2的值域． [解析] y ＝sin2x －sinxcosx ＋2＝1－cos2x 2－12sin2x ＋2＝－12(sin2x ＋cos2x)＋52＝－22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋52. 又∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4≤1，∴5－22≤y ≤5＋22.∴函数的值域为[5－22，5＋22]. [例3]判断下列函数的奇偶性（1）sin 2tan y x x =- （2）1sin cos 1sin cos x xy x x +-=++ （3）()cos sin y x =（4）y =答案：(1) 奇 (2) 非奇非偶 (3)偶（4）奇，偶变式：函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4cos ⎝⎛⎭⎫π4－x 是( ) A ．周期为2π的奇函数 B ．周期为π的奇函数 C ．周期为π的偶函数 D ．周期为π的非奇非偶函数 [答案] C[例4] 求函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间． [解析] ∵y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x＝－2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间就是y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的单调减区间．由2k π＋π2≤2x －π3≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得2k π＋5π6≤2x ≤11π6＋2k π.∴k π＋5π12≤x ≤11π12＋k π. ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，11π12＋k π，k ∈Z.变式：(理)已知函数f (x )＝sin 2x ＋2sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R.求：(1)函数f (x )的最大值及取得最大值时自变量x 的集合；(2)函数f (x )的单调增区间． [解析] (1)∵f(x)＝1－cos2x 2＋sin2x ＋31＋cos2x2＝2＋sin2x ＋cos2x ＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，∴当2x ＋π4＝2k π＋π2，即x ＝k π＋π8 (k ∈Z)时，f(x)取得最大值2＋ 2.因此，f(x)取得最大值时自变量x 的集合是 {x|x ＝k π＋π8，k ∈Z}(2)f(x)＝2＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4.由题意得2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2 (k ∈Z)，即k π－3π8≤x ≤k π＋π8(k ∈Z)，因此f(x)的单调增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－38π，k π＋π8(k ∈Z).[例5]求下列函数的最小正周期(1) ()()2sin cos f x x x π=-;(2) ()23tan 1tan x f x x =-;(3) ()1cos 43f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭. 答案：(1)π (2)π (3)2π[例6] 已知向量(sin ,1),(3cos ,cos 2)(0)3Am x n A x x A ==>，函数()f x m n =⋅的最大值为6.（1）求A ；（2）将函数()y f x =的图象向左平移12π个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象.求()g x 在5[0,]24π上的值域. 答案：见暑假作业13题变式：1.已知函数f(x)＝2sin x 4cos x 4－23sin 2x4＋ 3.(1)求函数f (x )的最小正周期及最值；(2)令g (x )＝f (x ＋π3)，判断函数g (x )的奇偶性，并说明理由．[解析] (1)∵f(x)＝sin x 2＋3(1－2sin2x4)＝sin x 2＋3cos x 2＝2sin(x 2＋π3)，∴f(x)的最小正周期T ＝2π12＝4π. 当sin(x 2＋π3)＝－1时，f(x)取得最小值－2；当sin(x 2＋π3)＝1时，f(x)取得最大值2.(2)由(1)知f(x)＝2sin(x 2＋π3)，又g(x)＝f(x ＋π3)∴g(x)＝2sin[12(x ＋π3)＋π3]＝2sin(x 2＋π2)＝2cos x2.∵g(－x)＝2cos(－x 2)＝2cos x2＝g(x)，∴函数g(x)是偶函数．2.(卷一:3) 已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递减.则ω的取值范围是（）()A 15[,]24 ()B 13[,]24 ()C1(0,]2 ()D (0,2] 【答案】A 四、反馈训练反馈训练1 一、选择题1．函数y ＝sin2x ＋sinx －1的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－54，－1]C ．[－54，1]D ．[－1，54][答案] C[解析] 本题考查了换元法，一元二次函数闭区间上的最值问题，通过sinx ＝t 换元转化为t 的二次函数的最值问题，体现了换元思想和转化的思想，令t ＝sinx ∈[－1,1]，y ＝t2＋t －1，(－1≤t ≤1)，显然－54≤y ≤1，选C.2．若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[0，π3]上单调递增，在区间[π3，π2]上单调递减，则ω＝( )A ．3B ．2 C.32 D.23[答案] C[解析] 本题主要考查正弦型函数y ＝sin ωx 的单调性依题意y ＝sin ωx 的周期T ＝4×π3＝43π，又T ＝2πω，∴2πω＝43π，∴ω＝32.故选C(亦利用y ＝sinx 的单调区间来求解)3．对于函数f(x)＝2sinxcosx ，下列选项中正确的是( ) A ．f(x)在(π4，π2)上是递增的B ．f(x)的图像关于原点对称C ．f(x)的最小正周期为2πD ．f(x)的最大值为2 [答案] B[解析] 本题考查三角函数的性质．f(x)＝2sinxcosx ＝sin2x ，周期为π，最大值为1，故C 、D 错；f(－x)＝sin(－2x)＝－2sinx ，为奇函数，其图像关于原点对称，B 正确；函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤k π－π4，k π＋π4，(k ∈Z)排除A.4．函数y ＝sin2x ＋acos2x 的图像关于直线x ＝－π8对称，则a 的值为( )A. 2 B ．－ 2 C ．1 D ．－1[答案] D[解析] 解法1：由y ＝sin2x ＋acos2x 可联想到形如y ＝Asin(ωx ＋φ)的函数．又知其对称轴为x ＝－π8，故此直线必经过函数图像的波峰或波谷．从而将x ＝－π8代入原式，可使函数取最大值或最小值．即－22＋22a ＝±a2＋1，∴a ＝－1.解法2：由于函数图像关于直线x＝－π8对称∴f(0)＝f(－π4)，∴a＝－1，故选D.5．已知函数f(x)＝3sin πxR图像上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好都在圆x2＋y2＝R2上，则f(x)的最小正周期为()A．1 B．2 C．3 D．4 [答案] D[解析]f(x)的周期T＝2ππR＝2R，f(x)的最大值是3，结合图形分析知R>3，则2R>23>3，只有2R＝4这一种可能，故选D.6．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)为实数，若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，且|f(π2)|>f(π)，则f(x)的单调递增区间是()A．[kπ－π3，kπ＋π6](k∈Z)B．[kπ，kπ＋π2](k∈Z)C．[kπ＋π6，kπ＋2π3](k∈Z)D．[kπ－π2，kπ](k∈Z)[答案] C[解析]本题主要考查正弦函数的有界性以及正弦函数的单调性．若f(x)≤|f(π6)|对x∈R恒成立，则|f(π6)|＝|sin(π3＋φ)|＝1，所以π3＋φ＝kπ＋π2，k∈Z，φ＝kπ＋π6，k∈Z，由f(π2)>f(π)，(k∈Z)，可知sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)．即sinφ<0，所以φ＝2kπ－5π6，k∈Z.代入f(x)＝sin(2x＋φ)，得f(x)＝sin(2x－5π6)．由2k π－π2≤2x －5π6≤2k π＋π2，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，故选C.二、填空题7．比较大小：(1)sin ⎝⎛⎭⎫－π18________sin ⎝⎛⎭⎫－π10.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5________cos ⎝⎛⎭⎫－17π4.[答案] (1)> (2)<[解析] (1)∵－π2<－π10<－π18<π2，y ＝sinx 在⎣⎡⎦⎤－π2，π2上是增函数，∴sin ⎝⎛⎭⎫－π10<sin ⎝⎛⎭⎫－π18，即sin ⎝⎛⎭⎫－π18>sin ⎝⎛⎭⎫－π10.(2)cos ⎝⎛⎭⎫－23π5＝cos 23π5＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋3π5＝cos 3π5，cos ⎝⎛⎭⎫－17π4＝cos 17π4＝cos ⎝⎛⎭⎫4π＋π4＝cos π4.∵0<π4<3π5<π，且函数y ＝cosx 在[0，π]上是减函数， ∴cos π4>cos 3π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－17π4>cos ⎝⎛⎭⎫－23π5，即cos ⎝⎛⎭⎫－23π5<cos ⎝⎛⎭⎫－17π4.8．函数f(x)＝sinx ＋2|sinx|，x ∈[0,2π]的图像与直线y ＝k 有且仅有两个不同的交点，则k 的取值范围是________．[答案] (1,3)[解析] f(x)＝sinx ＋2|sinx|＝⎩⎪⎨⎪⎧3sinx ， 0≤x ≤π，－sinx ，π<x ≤2π.在同一坐标系中，作出函数f(x)与y ＝k 的图像可知1<k<3.三、解答题9．(2012·福建四地六校联考)已知函数f(x)＝－1＋23sinxcosx ＋2cos2x. (1)求f(x)的单调递减区间；(2)求f(x)图像上与原点最近的对称中心的坐标； (3)若角α，β的终边不共线，且f(α)＝f(β)，求tan(α＋β)的值．[解析] f(x)＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，(1)由2k π＋π2≤2x ＋π6≤2k π＋3π2(k ∈Z)得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3(k ∈Z)，∴f(x)的单调减区间为⎣⎡⎦⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z)．(2)由sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6＝0得2x ＋π6＝k π(k ∈Z)，即x ＝k π2－π12(k ∈Z)， ∴f(x)图像上与原点最近的对称中心坐标是⎝⎛⎭⎫－π12，0.(3)由f(α)＝f(β)得：2sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π6＝2sin ⎝⎛⎭⎫2β＋π6，又∵角α与β不共线，∴⎝⎛⎭⎫2α＋π6＋⎝⎛⎭⎫2β＋π6＝2k π＋π(k ∈Z)，即α＋β＝k π＋π3(k ∈Z)，∴tan(α＋β)＝ 3.反馈训练2 一、选择题1．函数f(x)＝3cos(3x －θ)－sin(3x －θ)是奇函数，则θ等于( ) A ．k π (k ∈Z) B ．k π＋π6 (k ∈Z)C ．k π＋π3 (k ∈Z)D ．k π－π3(k ∈Z)[答案] D[解析] 解法1：由两角和与差的三角公式得f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫π3－3x ＋θ.由f(x)是奇函数得π3＋θ＝k π(k ∈Z)⇒θ＝k π－π3(k ∈Z)．故选D.解法2：∵函数f(x)为奇函数，定义域为R. ∴f(0)＝0，即3cos θ＋sin θ＝0，∴sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝0，∴θ＋π3＝k π，∴θ＝k π－π3(k ∈Z)． 2．函数y ＝11－x 的图像与函数y ＝2sin πx(－2≤x ≤4)的图像所有交点的横坐标之和等于( ) A ．2B ．4C ．6D ．8[答案] D[解析] 本题主要考查了正弦函数的性质以及数形结合法．依题意：两函数的图像如下图所示：由两函数的对称性可知：交点A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8的横坐标满足x1＋x8＝2，x2＋x7＝2，x3＋x6＝2，x4＋x5＝2，即x1＋x2＋x3＋x4＋x5＋x6＋x7＋x8＝8，故选D.二、填空题3．已知函数f(x)＝Atan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f(x)的部分图像如下图，则f(π24)＝______.[答案] 3[解析] 本小题考查内容为正切函数的图像与解析式．∵T ＝π2＝πω，∴ω＝2. 当x ＝0时，f(0)＝Atan φ＝1，当x ＝3π8时，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝Atan ⎝⎛⎭⎫3π4＋φ＝0，∴φ＝π4，A ＝1， ∴f ⎝⎛⎭⎫π24＝tan ⎝⎛⎭⎫2×π24＋π4＝tan π3＝ 3. 4．动点A(x ，y)在圆x2＋y2＝1上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间t ＝0时点A 的坐标是(12，32)，则当0≤t ≤12时，动点A 的纵坐标y 关于t(单位：秒)的函数的单调递增区间是______________．[答案] [0,1]和[7,12][解析] 设点A 的纵坐标y 关于t 的函数为y ＝sin(ωt ＋φ)．∵T ＝12＝2πω，∴ω＝π6. 当t ＝0时，sin φ＝32，cos φ＝12，∴φ可取π3. ∴y ＝sin(π6t ＋π3)，由正弦函数的单调性知， 2k π－π2≤π6t ＋π3≤2k π＋π2(k ∈Z) 2k π－5π6≤π6t ≤2k π＋π6(k ∈Z)． ∴12k －5≤t ≤12k ＋1(k ∈Z)．当k ＝0时，－5≤t ≤1；当k ＝1时，7≤t ≤13又∵0≤t ≤12，∴单调增区间为[0,1]和[7,12]．三、解答题5．(2012·深圳模拟)已知函数f(x)＝sinx ＋acos2x 2，a 为常数，a ∈R ，且x ＝π2是方程f(x)＝0的解． (1)求函数f(x)的最小正周期；(2)当x ∈[0，π]时，求函数f(x)的值域．[解析] (1)f ⎝⎛⎭⎫π2＝sin π2＋acos2π4＝0，则1＋12a ＝0，解得a ＝－2. 所以f(x)＝sinx －2cos2x 2＝sinx －cosx －1，则f(x)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1. 所以函数f(x)的最小正周期为2π.(2)由x ∈[0，π]，得x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，则sin ⎝⎛⎭⎫x －π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，则2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4－1∈[－2，2－1]，所以y ＝f(x)值域为[－2，2－1]．6．(2011·北京理，15)已知函数f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)－1. (1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间[－π6，π4]上的最大值和最小值． [解析] (1)因为f(x)＝4cosxsin(x ＋π6)－1 ＝4cosx ⎝⎛⎭⎫32sinx ＋12cosx －1 ＝3sin2x ＋2cos2x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6 ∴f(x)的最小正周期为π.(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，π4时，2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，当2x ＋π6＝π2，即x ＝π6时，f(x)取到最大值2；当2x ＋π6＝－π6即x ＝－π6时，f(x)取到最小值－1. ∴f(x)的最大值和最小值分别是2和－1.7．已知函数f(x)＝log 12(sinx －cosx)． (1)求它的定义域和值域；(2)求它的单调区间；(3)判断它的奇偶性；(4)判断它的周期性，如果是周期函数，求出它的最小正周期．[分析] 对于(1)，(2)可以从sinx －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4入手．对于(3)则看f(x)的定义域是否关于原点对称．对于(4)可利用f(x ＋T)＝f(x)先验证T 是一个周期，再证T 是最小正周期．[解析] (1)由题意得sinx －cosx>0，即2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4>0，从而得2k π<x －π4<2k π＋π(k ∈Z)．∴函数f(x)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x|2k π＋π4<x<2k π＋54π，k ∈Z . ∵0<sin ⎝⎛⎭⎫x －π4≤1，∴0<sinx －cosx ≤2，即有log 12 2≤log 12(sinx －cosx)．故函数f(x)的值域是⎣⎡⎭⎫－12，＋∞. (2)∵sinx －cosx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4在f(x)的定义域上的单调递增区间为⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z)，单调递减区间为⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z)． ∴f(x)的单调递增区间是⎣⎡⎭⎫2k π＋3π4，2k π＋5π4(k ∈Z)；单调递减区间是⎝⎛⎭⎫2k π＋π4，2k π＋3π4(k ∈Z)． (3)∵f(x)的定义域在数轴上对应的点关于原点不对称，∴函数f(x)是非奇非偶函数．(4)∵f(x ＋2π)＝log 12[sin(x ＋2π)－cos(x ＋2π)]＝log 12(sinx －cosx)＝f(x)，∴函数f(x)的最小正周期T ＝2π.[点评] 本题综合考查了三角函数的性质，解题的关键是把sinx －cosx 化为Asin(ωx ＋φ)的形式．。

三角函数图像及性质的总结

第三节三角函数的图像与性质复习要求：1，理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2，理解周期函数、最小正周期的概念3，学会用五点法画图知识点：1．正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的图像和性质3．函数B x A y ++=)sin(ϕω），（其中00>>ωA最大值是B A +，最小值是A B -，周期是ωπ2=T ，频率是πω2=f ，相位是ϕω+x ，初相是ϕ；其图象的对称轴是直线)(2Z k k x ∈+=+ππϕω，凡是该图象与直线B y =的交点都是该图象的对称中心。

4．由y ＝sin x 的图象变换出y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。

利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x 而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。

途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将y ＝sin x 的图象向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移｜ϕ｜个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换。

先将y ＝sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的ω1倍(ω＞0)，再沿x 轴向左(ϕ＞0)或向右(ϕ＜0＝平移ωϕ||个单位，便得y ＝sin(ωx ＋ϕ)的图象。

5．由y ＝A sin(ωx ＋ϕ)的图象求其函数式：给出图象确定解析式y =A sin （ωx +ϕ）的题型，有时从寻找“五点”中的第一零点（－ωϕ，0）作为突破口，要从图象的升降情况找准．．第一个零点的位置。

6．对称轴与对称中心： sin y x =的对称轴为2x k ππ=+，对称中心为(,0) k k Z π∈； cos y x =的对称轴为x k π=，对称中心为2(,0)k ππ+；对于sin()y A x ωφ=+和cos()y A x ωφ=+来说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系。

常见三角函数图像及其性质

常见三角函数图像及其性质三角函数介绍正弦函数主词条：正弦函数格式：sin（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是csc（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-余弦函数主词条：余弦函数格式：cos（θ）作用：在直角三角形中，将大小为（单位为弧度）的角邻边长度比斜边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sec（θ）的倒数函数图像：波形曲线值域：[]1,1-正切函数主词条：正切函数格式：tan（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角对边长度比邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cot（θ）的倒数。

函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：()∞-∞，+余切函数主词条：余切函数格式：cot（θ）作用：在直角三角形中，将大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度比对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是tan（θ）的倒数值域：()∞-∞，+正割函数主词条：正割函数格式：sec（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角邻边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是cos（θ）的倒数函数图像：上图平面直角坐标系反映值域：(][)∞-1-，1∞，+余割函数主词条：余割函数格式：csc（θ）作用：在直角三角形中，将斜边长度比大小为θ（单位为弧度）的角对边长度的比值求出，函数值为上述比的比值，也是sin（θ）的倒数值域：(][)∞-1-∞，+，1。

三角函数图像与性质

三角函数图像与性质
三角函数是基本的初等函数之一，它以角度为自变量，以任意角度的终边与单位圆或其比值的交点坐标为因变量。

接下来看看常见三角函数的图像和性质。

三角函数的图像
三角函数的性质
1.正弦函数
在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA，即sinA=∠A的对边/斜边。

正弦值在[2kπ-π/2,2kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ+π/2,2kπ+3π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
2.余弦函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°(如图所示)，∠A的余弦是它的邻边比三角形的斜边，即cosA=b/c，也可写为
cosa=AC/AB。

余弦函数：f(x)=cosx(x∈R)。

余弦值在[2kπ-π,2kπ](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)，在[2kπ,2kπ+π](k∈Z)随角度增大(减小)而减小(增大)。

图像：波形曲线
值域：[-1,1]
定义域：R
3.正切函数
在Rt△ABC(直角三角形)中，∠C=90°，AB是∠C的对边c，BC是∠A的对边a，AC是∠B的对边b，正切函数就是
tanB=b/a，即tanB=AC/BC。

正切值在[kπ-π/2,kπ+π/2](k∈Z)随角度增大(减小)而增大(减小)。

图像：右图平面直角坐标系反映
定义域：{x|x≠(π/2)+kπ,k∈Z}
值域：实数集R。

(完整版)最全三角函数的图像与性质知识点总结

i ng si nt he i rb ei n ga re g三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质函数y ＝sin x y ＝cos x图象定义域RR 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z )递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最　值x ＝2k π＋(k ∈Z )时，y max ＝1；π2x ＝2k π－(k ∈Z )时，y min ＝－1π2x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋，k ∈Zπ2对称中心：(k π＋，0)(k ∈Z )π2对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π定义域{|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：（含原点）(,0)()2k k Z π∈最小正周期π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由的图象得到()的图象x y sin =)sin(ϕω+=x A y 0,0A ω>>xy sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的倍1ω结果)sin(ϕ+=x y xy ωsin =操作横坐标变为原来的倍1ω向左平移个单位ϕω结果)sin(ϕω+=x y 操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y 注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

三角函数图像与性质知识点

三角函数图像与性质知识点三角函数是数学中的重要概念，它们的图像与性质对于理解和解决各种数学问题具有重要的作用。

本文将介绍三角函数的图像与性质的知识点，希望能帮助读者更好地掌握这一概念。

一、正弦函数的图像与性质正弦函数是最基本的三角函数之一，它的图像可以用来描述周期性变化的现象。

它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

正弦函数的图像为连续的波浪线，称为正弦曲线。

正弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，正弦函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：正弦函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

3. 对称性：正弦函数的图像关于y轴对称。

二、余弦函数的图像与性质余弦函数是与正弦函数相似的三角函数，它也可以用来描述周期性变化的现象。

它的定义域为实数集，值域为[-1,1]。

余弦函数的图像为连续的波浪线，称为余弦曲线。

余弦函数的图像具有以下性质：1. 周期性：余弦函数的最小正周期为2π，在一个周期内，余弦函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：余弦函数是偶函数，即满足f(-x)=f(x)。

3. 对称性：余弦函数的图像关于y轴对称。

三、正切函数的图像与性质正切函数是另一个重要的三角函数，它描述的是角度的比值。

它的定义域为实数集，值域为全体实数。

正切函数的图像为由正无穷连续延伸到负无穷的曲线，称为正切曲线。

正切函数的图像具有以下性质：1. 周期性：正切函数的最小正周期为π，在一个周期内，正切函数的图像重复出现。

2. 奇偶性：正切函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。

3. 垂直渐近线：正切函数的图像有两条垂直渐近线，分别为x=π/2+kπ（k为整数）和x=-π/2+kπ（k为整数）。

四、割函数与余割函数的图像与性质割函数和余割函数是与正切函数和余弦函数相对应的两个三角函数。

割函数的定义域为实数集减去所有使得余切函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。

余割函数的定义域为实数集减去所有使得正弦函数为0的点，即R\{kπ}（k为整数），值域为全体实数。

三角函数图像与性质的知识点

三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质二、正切函数的图象与性质R R x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1； x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1 奇函数三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象注意：平移变换或伸缩变换都是针对自变量x 而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数；（3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅； (2)2T πω=称为周期； (3)1f T =称为频率； (4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.赠送以下资料英语万能作文(模板型）Along with the advance of the society more and more problems are brought to our attention, one of which is that....随着社会的不断发展，出现了越来越多的问题，其中之一便是____________。

As to whether it is a blessing or a curse, however, people take different attitudes.然而，对于此类问题，人们持不同的看法。

高考第一轮复习数学三角函数的图象与性质三

探究创新
9.已知P1,cosx,Qcosx,1,x∈－ , .
1求向量和的夹角θ的余弦用x表示的函数fx；
2求θ的最值.
解：1∵ · =2cosx,
| |·| |=1+cos2x,
∴fx=cosθ= .
2cosθ= = ,
x∈－ , ,cosx∈ ,1.
∴2≤cosx+ ≤ , ≤fx≤1,即 ≤cosθ≤1.
解：定义域为R,又fx+f－x=lg1=0,
即f－x=－fx,∴fx为奇函数.
评述：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要但不充分条件.
例2求下列函数的单调区间：
1y= sin －；2y=－｜sinx+ ｜.
剖析：1要将原函数化为y=－ sin x－再求之.2可画出y=－|sinx+ |的图象.
3.判断y=－Asinωx+ ω＞0的单调区间,只需求y=Asinωx+ 的相反区间即可,一般常用数形结合.而求y=Asin－ωx+ －ω＜0单调区间时,则需要先将x的系数变为正的,再设法求之.读者考虑为什么
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教学点睛
本节是图象和性质的综合应用的内容,例题讲解要突出数形结合思想、化归转化思想、分类讨论等数学思想方法,并注意三角知识的载体作用,注意和其他知识间的关联.
解析：显然fx为偶函数,结论①错.
对于结论②,当x=1000π时,x＞2003,sin21000π=0,∴f1000π= － 1000π＜ ,因此结论②错.
又fx= － |x|+ =1－ cos2x－ |x|,－1≤cos2x≤1,
∴－ ≤1－ cos2x≤ .
故1－ cos2x－ |x|＜ ,即结论③错.

最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质
(
二、正切函数的图象与性质
三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换
1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象
注意：图象时一定要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质
（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：
将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：
)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2
ππϕ±=k 时为偶函数；
（3）最小正周期：ω
π2=T
3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义
(1) A 称为振幅； (2)2T πω
=称为周期；
(3)1f
T
=
称为频率；
(4)x ωϕ+称为相位；
(5)ϕ称为初相 (6)ω称为圆频率.。

三角函数的图像及其性质

三角函数的图像及其性质1、三角函数的图像及性质sin y xsin y A x k图像值域周期对称轴2x k2x k对称中心（零点）令x k 代入求y令x k 代入，求出x 和y 单调增区间2,222x k k2,222x k k单调减区间32,222x k k32,222x k kcos y xcos y A x k图像值域周期对称轴x kx k 对称中心（零点）2x k代入，求y 2x k求出x 和y 单调增区间 2,2x k k 2,2x k k 单调减区间2,2x k k2,2x k k tan y x图像定义域值域周期单调性与对称性性质【考点分类】考点一：图像变换：1．把函数y ＝sin x 的图象向右平移个单位得到y ＝g （x ）的图象，再把y ＝g （x ）图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），所得到图象的解析式为（）A．B．C．D．2．将函数f （x ）＝sin x 图象上所有点的横坐标变为原来的（ω＞0），纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，若g （x ）的最小正周期为6π，则ω＝（）A．B．6C．D．33．将函数y ＝2sin2x 图象上的所有点向右平移个单位，然后把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，（纵坐标不变）得到y ＝f （x ）的图象，则f （x ）等于（）A．2sin（x ﹣）B．2sin（x ﹣）C．2sin（4x ﹣）D．2sin（4x ﹣）4．已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin（2x +），则下面结论正确的是（）A．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2B．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 2C．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度，得到曲线C 2D．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，得到曲线C 25.把函数y ＝cos(3x ＋4)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是()A 向右平移4 B 向左平移4 C 向右平移12 D 向左平移126..函数32sin( x y 的图象是由2sin xy 的图象沿x 轴（）得到的。

三角函数的图像和性质讲解(定义域,值域,周期,单调性等)

三角函数的图象与性质教学目标：1、掌握正、余弦函数的定义域和值域；2、进一步理解三角函数的周期性和奇偶性的概念，会求它们的周期，会判断它们的奇偶性；3、能正确求出正、余弦函数的单调区间教学重点：正、余弦函数的性质教学难点：正、余弦函数的单调性知识要点：1、定义域：函数sin y x =及cos y x =的定义域都是(),-∞+∞，即实数集R2、值域：函数sin y x =，x R ∈及cos y x =，x R ∈的值域都是[]1,1-理解：（1）在单位圆中，正弦线、余弦线的长都是等于或小于半径的长1的，所以sin 1x ≤，cos 1x ≤，即1sin 1x -≤≤，1cos 1-≤≤。

（2）函数sin y x =在2,()2x k k Z ππ=+∈时，y 取最大值1，当22x k ππ=-，()k Z ∈时，y 取最小值-1；函数cos y x =在2x k π=，()k Z ∈时，y 取最大值1，当2x k ππ=+，()k Z ∈时，y 取最小值-1。

正弦函数sin y x =，x R ∈和余弦函数cos y x =，x R ∈是周期函数，2k π(0)k Z k ∈≠且都是它们的周期，最小正周期是2π。

4、奇偶性正弦函数sin y x =，x R ∈是奇函数，余弦函数cos y x =，x R ∈是偶函数。

理解：（1）由诱导公式()sin sin x x -=-，cos()cos x x -=可知以上结论成立；（2）反映在图象上，正弦曲线关于原点O 对称，余弦曲线关于y 轴对称。

5、单调性（1）由正弦曲线可以看出：当x 由2π-增大到2π时，曲线逐渐上升，sin x 由-1增大到1；当x 由2π增大到32π时，曲线逐渐下降，sin x 由1减至-1，由正弦函数的周期性知道：①正弦函数sin y x =在每一个闭区间2,222k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从-1增大到1，是增函数； ②在每一个闭区间32,222k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k Z ∈上，都从1减小到-1，是减函数。

专题5.4 三角函数图像与性质(原卷版)

专题5.4三角函数图像与性质1.正弦函数R x x y ∈=,sin 的性质.(1).定义域:R .(2).值域:sin [1,1]x ∈-.(3).周期性:周期函数，周期是)0(,2≠∈k Z k k 且π,最小正周期为π2.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增区间：2,2()22k k k Z ππππ-++∈（）减区间：32,2()22k k k Z ππππ++∈（）(6).对称性:对称轴：)(,2Z k k x ∈+=ππ，对称中心：)(),0,(Z k k ∈π2.余弦函数R x x y ∈=,cos 的性质.(1).定义域:R .(2).值域:]1,1[cos -∈x (3).周期性:周期函数，周期是)0(,2≠∈k Z k k 且π，最小正周期为π2.(4).奇偶性:偶函数，其图象关于y 轴对称.(5).单调性:减区间：)(),2,2(Z k k k ∈+πππ增区间：)(),22,2(Z k k k ∈++ππππ(6).对称性:对称轴：)(,Z k k x ∈=π，对称中心：)(),0,2(Z k k ∈+ππ3.正切函数x y tan =的图象与性质.(1).定义域:},2|{Z k k x R x x ∈+≠∈ππ且.(2).值域:R(3).周期性:周期函数，周期是)0(,≠∈k Z k k 且π，最小正周期为π.(4).奇偶性:奇函数，其图象关于原点对称.(5).单调性:增函数，)2,2(ππππ+-k k 为增区间.(6).对称性:对称中心：)(),0,2(Z k k ∈π4.正弦型函数R x A x A y ∈>+=,0),sin(ϕω的性质.(1).定义域:R .(2).值域:],[A A -(3).周期性:周期函数，周期是||2ωπ=T .(4).奇偶性:当Z k k ∈=,πϕ时为奇函数；当Z k k ∈±=,2ππϕ时为偶函数.(5).单调性:当0>ω时：令Z k k x k ∈+≤+≤+-,2222ππϕωππ，求解增区间.令Z k k x k ∈+≤+≤+,22322ππϕωππ，求解减区间.当0<ω时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令)(,2Z k k x ∈+=+ππϕω，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令)(,Z k k x ∈=+πϕω，求解对称中心坐标.5.余弦型函数R x A x A y ∈>+=,0),cos(ϕω的性质.(1).定义域:R .(2).值域:],[A A -(3).周期性:周期函数，周期是||2ωπ=T .(4).奇偶性:当Z k k ∈=,πϕ时为偶函数；当Z k k ∈±=,2ππϕ时为奇函数.(5).单调性:当0>ω时：令Z k k x k ∈+≤+≤,22ππϕωπ，求解减区间.令Z k k x k ∈+≤+≤+,222ππϕωππ，求解增区间.当0<ω时：注意单调区间的转化.(6).对称性:对称轴：令)(,Z k k x ∈=+πϕω，求解对称轴方程，对称轴处取最值.对称中心：令)(,2Z k k x ∈+=+ππϕω，求解对称中心坐标.一、单选题1．已知函数()tan 2f x x =，则（）A ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,2k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭B ．()f x 的最小正周期为π，对称中心为1,0,4k k Zπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭C ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭D ．()f x 的最小正周期为2π，对称中心为1,0,4k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2．用“五点法”作函数cos 46y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭在一个周期内的图像时，第四个关键点的坐标是A ．5,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．5,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．5,112π⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．5,012π⎛⎫-⎪⎝⎭3．若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间()2ππ，内没有最值，则ω的取值范围是（）A ．][117012612⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，，B ．][1120633⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦，，C ．7012⎛⎤⎥⎝⎦，D ．1233⎡⎤⎢⎥⎣⎦，4．已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在区间,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦内单调递减，则实数ω的取值范围是（）A ．2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．24,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2D ．3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭5．已知()()()sin 0,0f x x ωϕωϕπ=+><≤是R 上的奇函数，若()f x 的图象关于直线4x π=对称，且()f x 在区间,2211ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦内是单调函数，则6f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．B ．12-C ．12D ．26．函数ππ5πtan ,,6612y x x ⎛⎫⎛⎫=-∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值域为（）A ．()B ．3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭C ．(,(1,)-∞+∞D ．3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭7．已知1tan tan αα≥且22,ππα⎛∈-⎫⎪⎝⎭，则α的取值范围为（）A ．,04π⎡⎫-⎪⎢⎣⎭B ．,0,442πππ⎡⎫⎡⎫-⎪⎪⎢⎢⎣⎭⎣⎭C ．0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．,0,244πππ⎛⎤⎛⎤--⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦8．已知函数()()sin f x x α=+在,43x ππ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭上单调递增，则α的值可以是（）A ．3π-B ．4π-C ．4πD ．3π9．函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递减区间是（）A ．7131212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．71212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，D ．566ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，10．已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在[]0,2π上有且只有4个零点，则ω取值范围是（）A ．1519,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．1519,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．1721,44⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．1721,88⎡⎫⎪⎢⎣⎭11．函数1tan 24y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的定义域是（）A ．4,2xx k k Z ππ⎧⎫≠-+∈⎨⎬⎩⎭∣B ．2,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣C ．32,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣D ．,2xx k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭∣12．函数sin(2)4y x π=-的单调减区间是（）A ．3[,],(Z)88k k k ππππ-+∈B ．3[2,2],(Z)88k k k ππππ-+∈C ．37[22],(Z)88k k k ππππ++∈D ．37[,Z)88k k k ππππ++∈13．已知函数()sin()f x x ϕ=+为偶函数，则ϕ的取值可以为（）A ．π2-B ．πC ．π3D ．014．记函数()sin 4f x x b πω⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期为T ．若23T ππ<<，且()y f x =的图象关于点3,22π⎛⎫ ⎪⎝⎭中心对称，则10f π⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．1B ．32C ．52D ．315．已知函数()sin 0,0,2y A x m A πωϕωϕ⎛⎫=++>>< ⎪⎝⎭的最大值为4，最小值为0，且该函数图象的相邻两个对称轴之间的最短距离为2π，直线6x π=是该函数图象的一条对称轴，则该函数的解析式是（）A ．4sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．2sin 226y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭C ．2sin 23y x π⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭D ．2sin 23y x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭二、多选题16．已知函数()tan 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．()f x 在定义域内是增函数B ．6y f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭是奇函数C ．()f x 的最小正周期是πD ．()f x 图像的对称中心是,0,46k k Z ππ⎛⎫-∈⎪⎝⎭17．已知()f x 为R 上的奇函数，且当0x >时，()lg f x x =，记()()sin cos g x x f x x =+⋅，下列结论正确的是（）A ．()g x 为奇函数B ．若()g x 的一个零点为0x ，且00x <，则()00lg tan 0x x --=C ．()g x 在区间,2ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的零点个数为3个D ．若()g x 大于1的零点从小到大依次为12,,x x ⋅⋅⋅，则1273x x π<+<18．已知函数()()tan 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+≠< ⎪⎝⎭，点,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭和5,06π⎛⎫⎪⎝⎭是其相邻的两个对称中心，且在区间2,33ππ⎛⎫⎪⎝⎭内单调递减，则ϕ=（）A ．3πB ．6πC ．3π-D ．6π-19．设函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0,π上有且仅有3条对称轴，则（）A ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个最大值点B ．()f x 在[]0,π上有且仅有2个零点C ．ω的取值范围是710,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增20．已知函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，则下列命题正确的是（）A ．若()f x 在[0,)π上有10个零点，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦B ．若()f x 在[0,)π上有11条对称轴，则3943,44ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦C ．若()f x ＝22在[0,)π上有12个解，则21,122ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦D ．若()f x 在,32ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则35,42ω⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦21．函数()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于任意的[)0,1a ∈，方程()()10f x a x m -=≤≤仅有一个实数根，则m 的取值可以为（）A ．8πB ．58πC ．38πD ．34π22．已知函数()tan 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则下列关于()f x 的判断正确的是（）A ．在区间,6ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增B ．最小正周期是πC ．图象关于直线6x π=成轴对称D ．图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭成中心对称三、解答题23．已知()sin ,()cos f x x g x x==(1)函数()y f x ω=（0>ω）在区间[)0,p 上恰有三条对称轴，求ω的取值范围．(2)函数2()2()()6,h x g x af x a =-++为常数，①当9a =-时，求函数h (x )的零点；②当[,]62x ππ∈-，恒有()0h x >，求实数a 的取值范围．24．已知函数()cos (0)3f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为2π．(1)求函数的单调区间和对称中心．(2)若关于x 的方程22sin cos 40x m x --=在02x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，上有实数解，求实数m 的取值范围．25．已知函数2π()sin(2)3f x x =+.(1)请用五点法做出()f x 一个周期内的图像；(2)若函数()()g x f x m =-在区间π[0,2上有两个零点，请写出m 的取值范围，无需说明理由.26．已知函数()()3sin 2f x x πϕϕ=+∈-，（，2π）函数关于4x π=对称.(1)求()f x ϕ的值及的解析式；(2)用五点法在下列直角坐标系中画出()f x 在744ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的图象；(3)写出()f x 的单调增区间及最小值，并写出取最小值时自变量x 的取值集合．27．已知函数()1sin 62f x x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的单调递增区间；(2)求函数()f x 在区间[]0,2π上的所有零点之和.。

三角函数的图象与性质

三角函数的图象与性质教学目标1．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数的性质，并能用它研究复合函数的性质．2．熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数、余切函数图象的形状、态度，并会用“五点法”画出函数y=sin(ωx+φ)的图象。

3．理解图象平移变换、伸缩变换的意义，并会用这两种变换研究函数图象的变化．重点难点重点是通过复习，能运用四种三角函数的性质研究复合三角函数的性质及图象的特点，特别是三角函数的周期性，是需要重点明确的问题．难点是，在研究复合函数性质时，有些需要先进行三角变换，把问题转化到四种三角函数上，才能进行研究，这就增加了问题的综合性和难度．教学过程三角函数的图象与性质是三角函数的核心问题，要熟练、准确地掌握．特别是三角函数的周期性，反映了三角函数的特点，在复习“三角函数的性质与图象”时，要牢牢抓住“三角函数周期性”这一内容，认真体会周期性在三角函数所有性质中的地位和作用．这样才能把性质理解透彻．【要点复习】一.y=sinx的图象和性质：1．图象：列表后描点，用平滑曲线相连得到y=sinx，x∈［0，2π］的图象y=sinx，x∈R时的完整的图象．由此可见，画出y=sinx 的图象关键是首先要画出y=sinx 在［0，2π］内的图象．而y=sinx 在［0，2π］的图象有这样五个点很重要：(0,0),(2π,1),(π，0)，（32π，-1），（2π，0）；其中(0,0), (π，0)，（2π，0）是轴上的点，(2π,1), （32π，-1）分别是函数图象的最高、最低点．所以这五个点是确定y=sinx 图象的基本点．因此，代数描点法也可简称为“五点法”，以后再画y=sinx 图象时，就可直接使用五点法了．2．性质：（1）定义域：x ∈R ．（2）值域：y ∈［-1，1］, ∴y=sinx 是有界函数。

（3）周期性：正弦函数y=sinx 是周期函数．2π是它的最小正周期，2k π（k ∈Z ，k ＝0）都是它的周期．（4）单调性：从图象上可以看出正弦函数在整个实数域上不是增函数，也不是减函数，但具有增减区间。

三角函数图像与性质知识点总结

函数图像与性质知识点总结一、三角函数图象的性质1．“五点法”描图(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为(0,0) ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，1 (π，0)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32π，－1 (2π，0)(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为 (0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3π2，0，(2π，1)2.三角函数的图象和性质函数性质y ＝sin x y ＝cos x y ＝tan x定义域 R R{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1][－1,1]R一个值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期，把所有周期中存在的最小正数，叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)4.求三角函数值域(最值)的方法：(1)利用sin x、cos x的有界性；关于正、余弦函数的有界性由于正余弦函数的值域都是[－1,1]，因此对于∀x∈R，恒有－1≤sin x≤1，－1≤cos x ≤1，所以1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的上确界，－1叫做y ＝sin x ，y ＝cos x 的下确界.(2)形式复杂的函数应化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式逐步分析ωx ＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；含参数的最值问题，要讨论参数对最值的影响.(3)换元法：把sin x 或cos x 看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性，如：y ＝sin 2x －4sin x ＋5，令t ＝sin x (|t |≤1)，则y ＝(t －2)2＋1≥1，解法错误.5.求三角函数的单调区间时，应先把函数式化成形如y ＝A sin(ωx ＋φ) (ω>0)的形式，再根据基本三角函数的单调区间，求出x 所在的区间.应特别注意，应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意x 系数的正负号) (1)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x －π4；(2)y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4－2x .6、y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的图象求其解析式的问题，主要从以下四个方面来考虑：①A 的确定：根据图象的最高点和最低点，即A ＝最高点－最低点2；②B 的确定：根据图象的最高点和最低点，即B ＝最高点＋最低点2；③ω的确定：结合图象，先求出周期，然后由T ＝2πω(ω>0)来确定ω；④φ的确定：把图像上的点的坐标带入解析式y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，然后根据φ的范围确定φ即可，例如由函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋K 最开始与x 轴的交点(最靠近原点)的横坐标为－φω(即令ωx ＋φ＝0，x ＝－φω)确定φ.二、三角函数的伸缩变化先平移后伸缩sin y x =的图象ϕϕϕ<−−−−−−−→向左(>0)或向右(0)平移个单位长度得sin()y x ϕ=+的图象()ωωω−−−−−−−−−→横坐标伸长(0<<1)或缩短(>1)1到原来的纵坐标不变得sin()y x ωϕ=+的图象()A A A >−−−−−−−−−→纵坐标伸长(1)或缩短(0<<1)为原来的倍横坐标不变得sin()y A x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−→ 得sin()y A x k ϕ=++的图象．先伸缩后平移sin y x =的图象(1)(01)A A A ><<−−−−−−−−−→纵坐标伸长或缩短为原来的倍(横坐标不变)得sin y A x =的图象(01)(1)1()ωωω<<>−−−−−−−−−→横坐标伸长或缩短到原来的纵坐标不变得sin()y A x ω=的图象(0)(0)ϕϕϕω><−−−−−−−→向左或向右平移个单位得sin ()y A x x ωϕ=+的图象(0)(0)k k k ><−−−−−−−→向上或向下平移个单位长度得sin()y A x k ωϕ=++的图象． .。

(完整版)三角和反三角函数图像性质总结

无减区间
在上单调递减
无增区间
在R上单调递增
无减区间
奇偶性
奇函数
非奇非偶函数
奇函数
图象
运算公式1
运算公式2
运算公式3
运算公式4
三角函数的图像和性质
一个周期的图像
定义域
值域
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
周期
对称性
对称轴
直线，
，
点，
单调性
在上
在上
在上
在上
在上
无减区间
反三角函数的图像和性质arcsin定义域111111上单调递增无减区间11上单调递减无增区间上单调递增无减区间奇偶性奇函数非奇非偶函数奇函数12122arcsinarccosarctancottan一个周12121232奇偶性奇函数偶函数奇函数周期
反三角函数的图像和性质
定义域
R
值域
[0，π]
单调性
在上单调递增

专题3 三角函数的图象与性质【高考文科数学】含答案

第一讲三角函数的图象与性质1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2 函数性质 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x定义域RR{x |x ≠k π＋π2，k ∈Z}图象值域[－1,1] [－1,1]R对称性对称轴：x ＝k π＋π2(k ∈Z)；对称中心：(k π，0)(k ∈Z)对称轴：x ＝ k π(k ∈Z)；对称中心： (k π＋π2，0)(k ∈Z)对称中心：⎝⎛⎭⎪⎫k π2，0(k ∈Z)周期2π2ππ单调性单调增区间[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)；单调减区间[2k π＋π2，2k π＋3π2] (k ∈Z) 单调增区间 [2k π－π，2k π]( k ∈Z)；单调增区间 (k π－π2，k π＋π2)(k ∈Z)奇偶性奇偶奇3． y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及性质(1)五点作图法：五点的取法：设X ＝ωx ＋φ，X 取0，π2，π，3π2，2π时求相应的x值、y 值，再描点作图．(2)给出图象求函数表达式的题目，比较难求的是φ，一般是从“五点法”中的第一点(－φω，0)作为突破口． (3)图象变换y ＝sin x ―――――――――――――→向左φ>0或向右φ<0平移|φ|个单位y ＝sin(x ＋φ)――――――――――――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)．1． (2013·江西)函数y ＝sin 2x ＋23sin 2x 的最小正周期T 为________．答案 π解析 y ＝sin 2x ＋3(1－cos 2x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3＋3， ∴T ＝π.2． (2013·山东)将函数y ＝sin(2x ＋φ)的图象沿x 轴向左平移π8个单位后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为( ) A.3π4 B.π4C ．0D ．－π4答案 B解析把函数y ＝sin(2x ＋φ)沿x 轴向左平移π8个单位后得到函数y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋φ2＋π8＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ＋π4为偶函数，则φ＝π4.3． (2013·四川)函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0，－π2<φ<π2)的部分图象如图所示，则ω，φ的值分别是( )A ．2，－π3B ．2，－π6C ．4，－π6D ．4，π3答案 A解析 34T ＝5π12－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π3，T ＝π，∴ω＝2，∴2×5π12＋φ＝2k π＋π2，k ∈Z ，∴φ＝2k π－π3，k ∈Z .又φ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，∴φ＝－π3，选A. 4． (2012·课标全国)已知ω>0，函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上单调递减，则ω的取值范围是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，54B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，34C.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12D ．(0,2]答案 A解析取ω＝54，f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⊆⎣⎢⎡⎦⎥⎤85k π＋π5，85k π＋π，k ∈Z ，排除B ，C. 取ω＝2，f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，其减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，显然⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π⃘⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋58π，k ∈Z ，排除D. 5． (2011·安徽)已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中φ为实数．f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6对x ∈R 恒成立，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，则f (x )的单调递增区间是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π3，k π＋π6(k ∈Z ) B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π，k π＋π2(k ∈Z ) C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z ) D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π2，k π(k ∈Z ) 答案 C解析由∀x ∈R ，有f (x )≤⎪⎪⎪⎪⎪⎪f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6知，当x ＝π6时f (x )取最值，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋φ＝±1，∴π3＋φ＝±π2＋2k π(k ∈Z )， ∴φ＝π6＋2k π或φ＝－5π6＋2k π(k ∈Z )，又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2>f (π)，∴sin(π＋φ)>sin(2π＋φ)， ∴－sin φ>sin φ，∴sin φ<0.∴φ取－5π6＋2k π(k ∈Z )．不妨取φ＝－5π6，则f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －5π6. 令－π2＋2k π≤2x －5π6≤π2＋2k π(k ∈Z )，∴π3＋2k π≤2x ≤4π3＋2k π(k ∈Z )， ∴π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )． ∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6＋k π，2π3＋k π(k ∈Z )．题型一三角函数的概念问题例1 如图，以Ox 为始边作角α与β(0<β<α<π)，它们终边分别与单位圆相交于点P 、Q ，已知点P 的坐标为(－35，45)．(1)求sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α的值；(2)若OP →·OQ →＝0，求sin(α＋β)．审题破题 (1)先根据三角函数的定义求sin α，cos α，代入求三角函数式子的值；(2)根据OP →⊥OQ →和β范围可求sin β，cos β.解 (1)由三角函数定义得cos α＝－35，sin α＝45，∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋sin αcos α＝2cos αsin α＋cos αsin α＋cos αcos α＝2cos 2α＝2×(－35)2＝1825.(2)∵OP →·OQ →＝0，∴α－β＝π2，∴β＝α－π2，∴sin β＝sin(α－π2)＝－cos α＝35，cos β＝cos(α－π2)＝sin α＝45.∴sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝45×45＋(－35)×35＝725. 反思归纳 (1)三角函数的定义是求三角函数值的基本依据，如果已知角终边上的点，则利用三角函数的定义，可求该角的正弦、余弦、正切值．(2)同角三角函数间的关系、诱导公式在三角函数式的化简中起着举足轻重的作用，应注意正确选择公式、注意公式应用的条件．变式训练1 (1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线y ＝2x上，则cos 2θ等于( )A ．－45B ．－35C.35D.45答案 B解析依题意得tan θ＝2，∴cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝－35.(2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －π－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π2－αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫9π2＋α的值为________．答案－34解析原式＝－sin α·sin α－sin α·cos α＝tan α.根据三角函数的定义，得tan α＝y x ＝－34，所以原式＝－34.题型二函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及应用例2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)在一个周期内的图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)设0<x <π，且方程f (x )＝m 有两个不同的实数根，求实数m 的取值范围以及这两个根的和．审题破题 (1)先由函数图象确定A ，ω，再代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2求φ；(2)利用转化思想先把方程问题转化为函数问题，再利用数形结合法求解．解 (1)由图象知：A ＝2，34T ＝11π12－π6＝3π4，则T ＝π，所以ω＝2.又图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2，所以2×π6＋φ＝π2，即φ＝π6.所以所求的函数的解析式为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. (2)在同一坐标系中画出y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6和y ＝m (m ∈R )的图象，如图所示，由图可知，－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，故m 的取值范围为－2<m <1或1<m <2.当－2<m <1时，两根之和为4π3；当1<m <2时，两根之和为π3.反思归纳 (1)已知图象求函数y ＝A sin(ωx ＋φ) (A >0，ω>0)的解析式时，常用的方法是待定系数法．由图中的最大、最小值求出A ，由周期确定ω，由适合解析式的点的坐标来确定φ(代点时尽量选最值点，或者搞清点的对应关系)；(2)利用数形结合思想从函数图象上可以清楚地看出当－2<m <1或1<m <2时，直线y ＝m 与曲线有两个不同的交点，即原方程有两个不同的实数根，利用图象的对称性便可求出两根之和．变式训练2 已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，－π<φ<π)的部分图象如图所示，则函数f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋π4B ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4C ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －π4D ．f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －3π4答案 B解析由图象可知A ＝2，T 2＝3π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2π，即T ＝4π.又T ＝2πω＝4π，所以ω＝12，所以函数f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋φ.又f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋φ＝2，即sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋φ＝1，即－π4＋φ＝π2＋2k π，k ∈Z ，即φ＝3π4＋2k π，k ∈Z ，因为－π<φ<π，所以φ＝3π4，所以函数为f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋3π4，选B.题型三三角函数的性质例3 已知函数f (x )＝4sin ωx cos ⎝⎛⎭⎪⎫ωx ＋π3＋3(ω>0)的最小正周期为π.(1)求f (x )的解析式；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π6上的最大值和最小值及取得最值时x 的值．审题破题利用和差公式、倍角公式将f (x )化为A sin(ωx ＋φ)的形式，然后求三角函数的最值．解 (1)f (x )＝4sin ωx ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ωx cos π3－sin ωx sin π3＋ 3＝2sin ωx cos ωx －23sin 2ωx ＋ 3＝sin 2ωx ＋3cos 2ωx＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3. ∵T ＝2π2ω＝π，∴ω＝1.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3. (2)∵－π4≤x ≤π6，∴－π6≤2x ＋π3≤2π3，∴－12≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3≤1，即－1≤f (x )≤2，当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )min ＝－1，当2x ＋π3＝π2，即x ＝π12时，f (x )max ＝2.反思归纳 (1)求三角函数的周期、单调区间、最值及判断三角函数的奇偶性，往往是在定义域内，先化简三角函数式，尽量化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，然后再求解． (2)对于y ＝a sin ωx ＋b cos ωx 型的三角函数，要通过引入辅助角化为y ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋φ)(cos φ＝a a 2＋b2，sin φ＝ba 2＋b 2)的形式来求．(3)讨论y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B ，可以利用换元思想设t ＝ωx ＋φ，转化成函数y ＝A sint ＋B 结合函数的图象解决．变式训练3 (1)函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－2x (x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π12，7π12C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤5π6，π 答案 C解析因为y ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－2x ＝－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π6，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2＋2k π，k∈Z ，解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z ，即函数的增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3＋k π，5π6＋k π(k ∈Z )，所以当k ＝0时，增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，选C.(2)设函数f (x )＝3cos(2x ＋φ)＋sin(2x ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫|φ|<π2，且其图象关于直线x ＝0对称，则( )A ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为增函数B ．y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数C ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为增函数D ．y ＝f (x )的最小正周期为π2，且在⎝⎛⎭⎪⎫0，π4上为减函数答案 B解析 f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋φ，其图象关于直线x ＝0对称，∴f (0)＝±2，∴π3＋φ＝k π＋π2，k ∈Z .∴φ＝k π＋π6，又|φ|<π2，∴φ＝π6.∴f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π2＝2cos 2x . ∴y ＝f (x )的最小正周期为π，且在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上为减函数．题型四三角函数的应用例4 已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －32(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．审题破题 (1)首先化简f (x )再根据题意求出最小正周期，然后可求ω，即可得f (x )的表达式；(2)根据图象平移求出g (x )，然后利用换元法并结合图形求解．解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋31＋cos 2ωx 2－32＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π3，由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π6的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. 令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π6.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数g (x )＝sin t 与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上有且只有一个交点．如图，由正弦函数的图象可知－12≤－k <12或－k ＝1.所以－12<k ≤12或k ＝－1.反思归纳确定函数y ＝g (x )的解析式后，本题解法中利用两个数学思想：整体思想(设t ＝2x －π6，将2x －π6视为一个整体)．数形结合思想，将问题转化为g (x )＝sin t 与y＝－k 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6上只有一个交点的实数k 的取值范围．互动探究在例4(2)中条件不变的情况下，求函数y ＝g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调区间．解 g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6.令2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π6≤x ≤k π＋π3，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数y ＝g (x )的单调递增区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3.令2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π＋π3≤x ≤k π＋56π，k ∈Z .又0≤x ≤π2，∴函数g (x )的单调递减区间是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2. 变式训练4 (2013·天津一中高三月考)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3(x ∈R )的图象为C ，以下结论正确的是________．(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝11π12对称；②图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .答案 ①②③解析当x ＝11π12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×11π12－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π6－π3＝sin 3π2＝－1，为最小值，所以图象C 关于直线x ＝11π12对称，所以①正确；当x ＝2π3时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×2π3－π3＝sin π＝0，图象C 关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，0对称，所以②正确；当－π12≤x≤5π12时，－π2≤2x －π3≤π2，此时函数单调递增，所以③正确；y ＝sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到y ＝sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2π3，所以④错误，所以正确的是①②③.典例 (12分)已知函数f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋φ(0<φ<π)，其图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12.(1)求φ的值；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，求函数g (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π4上的最大值和最小值．规范解答解 (1)f (x )＝12sin 2x sin φ＋cos 2x ＋12cos φ－12cos φ＝12(sin 2x sin φ＋cos 2x cos φ) ＝12cos(2x －φ)． [3分]又∵f (x )过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12， ∴12＝12cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ，cos(π3－φ)＝1. 由0<φ<π知φ＝π3.[5分](2)由(1)知f (x )＝12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3.[7分]将f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，得到g (x )＝12cos(4x －π3)．[9分]∵0≤x ≤π4，∴－π3≤4x －π3≤2π3.当4x －π3＝0，即x ＝π12时，g (x )有最大值12；当4x －π3＝2π3，即x ＝π4时，g (x )有最小值－14.[12分]评分细则 (1)将点⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，12代入解析式给1分；从cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－φ＝1，由0<φ<π，得φ＝π3得1分；(2)4x －π3范围计算正确，没有写出x 取何值时g (x )有最值不扣分．阅卷老师提醒 (1)解决此类问题时，一般先将函数解析式化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)或f (x )＝A cos(ωx ＋φ)的形式，然后在此基础上把ωx ＋φ看作一个整体，结合题目要求进行求解．(2)解决图象变换问题时，要分清变换的对象及平移(伸缩)的大小，避免出现错误．1． (2013·江苏)函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的最小正周期为 ________. 答案 π解析 ω＝2，T ＝2π|ω|＝π.2． (2013·湖北)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R ) 的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6答案 B解析 y ＝3cos x ＋sin x ＝2sin(x ＋π3)向左平移m 个单位长度后得到y ＝2sin(x ＋π3＋m )，它关于y 轴对称可得sin(π3＋m )＝±1，∴π3＋m ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴m ＝k π＋π6，k ∈Z ，∵m >0，∴m 的最小值为π6.3．若点P (3，y )是角α终边上的一点，且满足y <0，cos α＝35，则tan α等于( )A ．－34B.34C.43D ．－43答案 D 解析 cos α＝39＋y 2＝35，∴y 2＝16. ∵y <0，∴y ＝－4，∴tan α＝－43.4．设函数y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3(x ∈R )，则f (x )( )A ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π，－π2上是减函数 B ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数C ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π8，π4上是增函数D ．在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6上是减函数答案 B解析当2π3≤x ≤7π6时，2π3＋π3≤x ＋π3≤7π6＋π3，即π≤x ＋π3≤3π2，此时函数y＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3单调递减，所以y ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6上是增函数，选B.5．已知ω>0,0<φ<π，直线x ＝π4和x ＝5π4是函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ等于( )A.π4 B.π3C.π2D.3π4答案 A解析由题意得周期T ＝2⎝⎛⎭⎪⎫5π4－π4＝2π，∴2π＝2πω，即ω＝1，∴f (x )＝sin(x ＋φ)，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋φ＝±1， ∵0<φ<π，∴π4<φ＋π4<5π4，∴φ＋π4＝π2，∴φ＝π4.6．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g (x )＝sin3x 的图象，则只要将f (x )的图象( )A ．向右平移π4个单位长度B ．向右平移π12个单位长度C ．向左平移π4个单位长度D ．向左平移π12个单位长度答案 B解析由题意，得函数f (x )的周期T ＝4⎝⎛⎭⎪⎫5π12－π4＝2π3，ω＝3，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3×5π12＋φ＝－1，又|φ|<π2，所以φ＝π4，所以f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π4＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，所以将函数f (x )的图象向右平移π12个单位长度可以得到函数g (x )＝sin 3x 的图象．专题限时规范训练一、选择题1．已知sin θ＝k －1，cos θ＝4－3k ，且θ是第二象限角，则k 应满足的条件是( )A ．k >43B ．k ＝1C ．k ＝85D ．k >1答案 C解析根据已知(k －1)2＋(4－3k )2＝1，即5k 2－13k ＋8＝0，解得k ＝1或k ＝85，由于sin θ>0，cos θ<0，所以k >43，可得k ＝85.2．设tan α＝33，π<α<3π2，则sin α－cos α的值为( )A ．－12＋32B ．－12－32C.12＋32D.12－32答案 A解析由tan α＝33，π<α<3π2，不妨在角α的终边上取点P (－3，－3)，则|OP |＝23，于是由定义可得sin α＝－12，cos α＝－32，所以sin α－cos α＝－12＋32，故选A. 3．函数y ＝log 2sin x 在x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4时的值域为( ) A ．[－1,0]B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12 C ．[0,1)D ．[0,1]答案 B解析由x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π4，得12≤sin x ≤22， ∴－1≤log 2sin x ≤－12.4．设函数y ＝3sin(2x ＋φ) (0<φ<π，x ∈R )的图象关于直线x ＝π3对称，则φ等于( ) A.π6B.π3C.2π3D.5π6答案 D解析由题意知，2×π3＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，所以φ＝k π－π6(k ∈Z )，又0<φ<π，故当k ＝1时，φ＝5π6，选D.5．将函数f (x )＝－4sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π4的图象向右平移φ个单位，再将图象上每一点的横坐标缩短到原来的12倍，所得图象关于直线x ＝π4对称，则φ的最小正值为( )A.π8 B.38π C.34π D.π2答案 B解析依题意可得y ＝f (x )⇒y ＝－4sin[2(x －φ)＋π4]＝－4sin[2x －(2φ－π4)]⇒y ＝g (x )＝－4sin[4x －(2φ－π4)]，因为所得图象关于直线x ＝π4对称，所以g ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝±4，得φ＝k 2π＋38π(k ∈Z )，故选B.6．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图所示，则f (π24)等于( )A ．－ 3B ．－1 C. 3D ．1答案 C解析由图形知，T ＝πω＝2(3π8－π8)＝π2，ω＝2.由2×3π8＋φ＝k π，k ∈Z ，得φ＝k π－3π4，k ∈Z .又∵|φ|＜π2，∴φ＝π4.由A tan(2×0＋π4)＝1，知A ＝1，∴f (x )＝tan(2x ＋π4)，∴f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3.7． (2012·课标全国)设函数f (x )＝cos ωx (ω>0)，将y ＝f (x )的图象向右平移π3个单位长度后，所得的图象与原图象重合，则ω的最小值等于( )A.13B ．3C ．6D ．9答案 C解析由题意可知，nT ＝π3(n ∈N *)，∴n ·2πω＝π3(n ∈N *)，∴ω＝6n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，ω取得最小值6.8．已知函数f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx (ω＞0)，y ＝f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，则f (x )的单调递增区间是( )A ．[k π－π12，k π＋5π12]，k ∈ZB ．[k π＋5π12，k π＋11π12]，k ∈ZC ．[k π－π3，k π＋π6]，k ∈ZD ．[k π＋π6，k π＋2π3]，k ∈Z答案 C解析 f (x )＝3sin ωx ＋cos ωx ＝2sin (ωx ＋π6)(ω＞0)．∵f (x )的图象与直线y ＝2的两个相邻交点的距离等于π，恰好是f (x )的一个周期，∴2πω＝π，ω＝2.∴f (x )＝2sin (2x ＋π6)．故其单调增区间应满足2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )．解得k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z )．二、填空题9．函数f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x 的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________．答案 5π2解析 f (x )＝3cos 25x ＋sin 25x ＝2sin(25x ＋π3)，∴周期为T ＝2π25＝5π，则相邻的对称轴间的距离为T 2＝5π2.10．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的图象向左平移π3个单位，所得曲线的一部分如图所示，则ω、φ的值分别为________．答案 2、－π3解析由图可知T 4＝7π12－π3＝π4，∴T ＝π，∴ω＝2.把(7π12，－1)代入y ＝sin (2(x ＋π3)＋φ)得sin (7π6＋2π3＋φ)＝－1，∴11π6＋φ＝2k π＋3π2(k ∈Z )，φ＝2k π－π3(k ∈Z )，∵|φ|＜π2，∴φ＝－π3.11．已知函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π6 (ω>0)和g (x )＝2cos(2x ＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同．若x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则f (x )的取值范围是__________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3 解析 ∵f (x )和g (x )的对称轴完全相同，∴二者的周期相同，即ω＝2，f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6. ∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1， ∴f (x )∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，3. 12．关于函数f (x )＝sin 2x －cos 2x 有下列命题：①y ＝f (x )的周期为π；②x ＝π4是y ＝f (x )的一条对称轴；③⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是y ＝f (x )的一个对称中心；④将y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，可得到y ＝2sin 2x 的图象，其中正确命题的序号是______(把你认为正确命题的序号都写上)．答案 ①③解析由f (x )＝sin 2x －cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4，得T ＝2π2＝π，故①对；f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝2sin π4≠±2，故②错； f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin 0＝0，故③对； y ＝f (x )的图象向左平移π4个单位，得y ＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－π4＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4，故④错．故填①③. 三、解答题13．(2013·湖南)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3，g (x )＝2sin 2x 2.(1)若α是第一象限角，且f (α)＝335，求g (α)的值；(2)求使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合．解 f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π3＝32sin x －12cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝3sin x ，g (x )＝2sin 2x2＝1－cos x .(1)由f (α)＝335，得sin α＝35，又α是第一象限角，所以cos α>0.从而g (α)＝1－cos α＝1－1－sin 2α＝1－45＝15.(2)f (x )≥g (x )等价于3sin x ≥1－cos x ，即3sin x ＋cos x ≥1，于是sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6≥12.从而2k π＋π6≤x ＋π6≤2k π＋5π6，k ∈Z ，即2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z .故使f (x )≥g (x )成立的x 的取值集合为{x |2k π≤x ≤2k π＋2π3，k ∈Z }．14．已知函数f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12(ω>0)，其最小正周期为π2.(1)求f (x )的表达式；(2)将函数f (x )的图象向右平移π8个单位，再将图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，求实数k 的取值范围．解 (1)f (x )＝3sin ωx cos ωx ＋cos 2ωx －12＝32sin 2ωx ＋cos 2ωx ＋12－12＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2ωx ＋π6. 由题意知f (x )的最小正周期T ＝π2，T ＝2π2ω＝πω＝π2，所以ω＝2，所以f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π6. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位后，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x －π3的图象，再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3的图象．所以g (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3. 因为0≤x ≤π2，所以－π3≤2x －π3≤2π3.g (x )＋k ＝0在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个实数解，即函数y ＝g (x )与y ＝－k 在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上有且只有一个交点，由正弦函数的图象可知－32≤－k <32或－k ＝1. 所以－32<k ≤32或k ＝－1.。

高中数学三角函数图像和性质

高中数学
三角函数的图象和性质
知识点
一.正弦函数：
1.正弦函数的图象:
2.
定义域为
；值域为•
(1)
当且仅当
时，取得最大值1；
⑵
当且仅当
时，取得最小值1
3.单调性：
在闭区间上都是增函数，其值从1增大到1；
在闭区间上都是减函数，其值从1减小到1.
4.奇偶性：.
5.周期性：最小正周期是，周期是
6.对称性：对称轴是，对称中心是.
r
rK，
(1)将正切函数y tanx在区间(亍'上的图象向左、右扩展，就可以得到正切函y tanx,(x R, x-k , k Z)的图象，我们把它叫做正切曲线.正切曲线是由被互相平行的直线x
(k Z)所隔开的无数多支曲线组成的.这些平行直线x=(k Z)叫做正切曲线各支的
⑵结合正切曲线的特征，类比正弦、余弦函数的“五点法”作图，也可用三点两线作图法作出正切函数
6.对称性：对称轴是，对称中心是.
题型一正弦，余弦函数的图象和性质
【例1】求函数y=g+sinx的定义域
函数y=2sin(4x+^)的对称轴方程为
3
【过关练习】
1•求函数y 3sin x2的值域以及取得最值时x的值
2.判断函数y=xsin( x)的奇偶性
3.求函数y1sinx的单调区间
二.余弦函数：
1.余弦函数的Βιβλιοθήκη 象:2.定义域为值域为
(1)当且仅当
时，取得最大值1；
(2)当且仅当
时，取得最小值1.
3.单调性：
在闭区间
上都是增函数，其值从
1增加到1；
在闭区间
上都是减函数，其值从

最全三角函数的图像与性质知识点总结

三角函数的图像与性质一、正弦函数、余弦函数的图像与性质函数 y ＝sin x y ＝cos x图象定义域 R R 值域[－1,1][－1,1]单调性递增区间：2,2()22k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦递减区间：32,2()22k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦递增区间：[2k π－π，2k π] (k ∈Z ) 递减区间：[2k π，2k π＋π] (k ∈Z )最值x ＝2k π＋π2(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π－π2(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时，y max ＝1；x ＝2k π＋π(k ∈Z ) 时，y min ＝－1奇偶性奇函数偶函数对称性对称中心：(k π，0)(k ∈Z )（含原点）对称轴：x ＝k π＋π2，k ∈Z对称中心：(k π＋π2，0)(k ∈Z )对称轴：x ＝k π，k ∈Z （含y 轴）最小正周期2π2π二、正切函数的图象与性质定义域 {|,}2x x k k Z ππ≠+∈值域 R单调性递增区间(,)()22k k k Z ππππ-+∈奇偶性奇函数对称性对称中心：(,0)()2k k Z π∈（含原点）最小正周期 π三、三角函数图像的平移变换和伸缩变换1. 由x y sin =的图象得到)sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的图象x y sin =方法一：先平移后伸缩方法二：先伸缩后平移操作向左平移φ个单位横坐标变为原来的1ω倍结果 )sin(ϕ+=x yx y ωsin =操作横坐标变为原来的1ω倍向左平移ϕω个单位结果 )sin(ϕω+=x y操作纵坐标变为原来的A 倍结果)sin(ϕω+=x A y注意：x 要注意平移与伸缩的先后顺序，否则会出现错误。

2. )sin(ϕω+=x A y (0,0A ω>>)的性质（1）定义域、值域、单调性、最值、对称性：将ϕω+x 看作一个整体，与相应的简单三角函数比较得出；（2）奇偶性：只有当ϕ取特殊值时，这些复合函数才具备奇偶性：)sin(ϕω+=x A y ，当πϕk =时为奇函数，当2ππϕ±=k 时为偶函数；（3）最小正周期：ωπ2=T3. y ＝A sin(ωx ＋φ), x ∈[0,+∞) (0,0A ω>>)中各量的物理意义(1) A 称为振幅；(2)2T πω=称为周期；(3)1f T=称为频率；(4)x ωϕ+称为相位； (5)ϕ称为初相(6)ω称为圆频率.如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。