§4.07系统函数零、极点分布决定时域特性
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
系统稳定 h(t) dt有界
必 h(t) dt无界 系统不稳定
要
性 h(t) dt无界 至少对某种有界e(t), r(t)无界
1 h(t) 0 设：e(t) sgn[h(t)] 0 h(t) 0
1 h(t) 0
则 e(t) 1有界，e(t)h(t) h(t)
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
teat
sin t
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
总结： •极点左半平面→h(t)波形衰减
H (s)
•极点右半平面→h(t)波形增长 •虚轴上一阶极点→h(t)波形等幅振荡或阶跃
•虚轴上二阶或二阶以上极点→h(t)波形增幅振荡
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
3．H(s)零点对h(t)波形影响
[例2]： s a eat cost (s a)2 2
稳定
有极点s右半平面，或虚轴上二阶以上极点：不稳定
虚轴上极点均为一阶，其它s左半平面：
临界稳定
参见P210，表4-4；P212，表4-5
4．稳定系统的另一定义方法：BIBO方法(包括非因果系统)
e(t) Me r(t) Mr
有界输入 有界输出
系统函数零极点∽时域特性和稳定性
5. 稳定系统(包括非因果系统)充要条件： h(t) dt M
§4.3 系统函数零极点∽时域特性和稳定性
一、系统函数H(s)零极点与h(t)波形关系
f(t)与 F(s) 之间存在一定对应关系，可从F(s)的典型 形式透视出f(t)内在性质
1．系统函数零极点概念
①极点：分母多项式之根
②零点：分子多项式之根 ③极点阶次：
lim H (s) ,
s p1
(s
信号与系统自测题(第4章 连续时间信号与系统的复频域分析)含答案
） 。
D
、6
−t
18
( s) s 、线性系统的系统函数 H (s) = Y = ，若其零状态响应 y(t ) = (1 − e F ( s) s + 1
D B
−t
)u (t )
，则系
统的输入信号 f (t ) = （
A
） 。
−t
、 δ (t )
、e
u (t )
C
、e
−2 t
u (t )
D
、 tu(t )
C
2
、s
ω e −2 s + ω2
12
、原函数 e
1 − t a
t f( ) a
的象函数是（
B
B
） 。
C
s 1 F( + ) 、1 a a a 注：原书答案为 D
A
、 aF (as + 1)
、 aF (as + a)
D
、 aF (as + 1 ) a
t f ( ) ↔ aF (as ) a e f (t ) ↔ F ( s + 1)
A
−s s −s s
A
s 、1 F ( )e a a
−s
b a
B
s 、1 F ( )e a a
− sb
C
s 、1 F ( )e a a
t 0
s
b a
D
s 、1 F ( )e a a
sb
、 已知信号 x(t ) 的拉普拉斯变换为 X (s) ，则信号 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ 的拉普拉斯变换 为（ B ） 。 1 1 1 1 A、 X ( s ) B、 X (s) C、 X ( s) D、 X (s) s s s s 注：原书答案为 C。 f (t ) = ∫ λ x(t − λ )d λ = tu(t ) ∗ x(t )u(t ) tu(t ) ∗ x(t )u(t ) ↔ s1 X (s) 9、函数 f (t ) = ∫ δ ( x)dx 的单边拉普拉斯变换 F ( s ) 等于（ D ） 。 1 1 A、 1 B、 C、 e D、 e s s
§4.07系统函数零、极点分布决定时域特性
v
pk t
u(t )
X
自由响应分量 ＋强制响应分量
几点认识
响应函数 由两部分组成： 响应函数r(t)由两部分组成 响应函数 由两部分组成： 系统函数的极点→自由响应分量； 系统函数的极点→自由响应分量； 的极点 响应分量 激励函数的极点→强制响应分量。 激励函数的极点→强制响应分量。 的极点 响应分量 自由响应的极点只由系统本身的特性所决定， 自由响应的极点只由系统本身的特性所决定， 自由响应的极点只由系统本身的特性所决定 与激励函数的形式无关， 与激励函数的形式无关，然而系数 Ai , Ak与H(s), E(s) 都有关。 都有关。 响应也可划分为暂态响应和稳态响应。 响应也可划分为暂态响应和稳态响应 响应也可划分为暂态响应和稳态响应。
X
主要内容、主要优点
主要内容： 主要内容： 1.系统的零、极点； 系统的零、 系统的零 极点； 2.由H(s)零、极点决定系统的时域特性； 由 零 极点决定系统的时域特性； 3.由H(s) 决定系统的时域响应。 由 决定系统的时域响应。 主要优点： 主要优点： 1.可以预言系统的时域特性； 可以预言系统的时域特性； 可以预言系统的时域特性 2.便于划分系统的各个分量 便于划分系统的各个分量 自由/强迫 瞬态/稳态 强迫， 稳态）； （自由 强迫，瞬态 稳态）； 3.可以用来说明系统的正弦稳态特性。 可以用来说明系统的正弦稳态特性。 可以用来说明系统的正弦稳态特性
X
三．H(s)零极点决定系统时域特性
几种典型情况
jω0
jω
α
O
α
σjω0X 1.一阶极点1 1 H(s) = , p1 = 0在原点， h(t ) = L [H(s)] = u(t ) 在原点， s 1 H(s) = , p1 = a s+a a > 0, 在左实轴上 , h(t ) = eat u(t ), 指数衰减
§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性
p1
z1
jω
p3
j2
j1
j2
j1
z3
−2
−1
ψ1 O
− j1
θ1
1 2
θ3 ψ3
O
1 2
σ
−2
−1
σ
− j1
p2
z2 − j 2
p4
− j2
z4
ψ =ψ3 1
θ1 >θ3
ψ −θ1 < ψ3 −θ3 1
第
三．级联
非最小相移网络可以等效为最小相移网络与 非最小相移网络可以等效为最小相移网络与全通网络 最小相移网络 的级联。 的级联。
0
第
K− jω0
Em H( jω0 ) e− jϕ(ω0 ) = −2 j
Kjω0 =
Em H( jω0 ) e jϕ(ω0 ) 2j
3 页
Kn K1 K2 R(s) = + + + +⋯+ s + jω0 s − jω0 s − p1 s − p2 s − pn
K− jω0
Kjω0
系统的稳态响应
第
二．最小相移网络
20 页
零点仅位于左半平面或ω轴的网络称为“ j 移网络” • 零点仅位于左半平面或 轴的网络称为“最小相 移网络”。 若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“ ●若网络函数在右半平面有一个或多个零点，就称为“非 最小相移函数” 这类网络称为“非最小相移网络” 最小相移函数”，这类网络称为“非最小相移网络”。
V2 (s) 1/ sc 1 1 H(s) = = = ⋅ V1(s) R +1/ sc RC s + 1 RC
信号与系统4.7.8系统零极点分布决定时域和频域特性
4.7 由系统函数零、极点分布决定时域特性
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
拉普拉斯变换将时域函数f(t)变换为S域函数F(S)；反 之，拉普拉斯逆变换将F(S)变换为相应的f(t) 。
由于f(t)与F(S)之间存在一定的对应关系，故可以从函 数的典型形式透视出内在性质。
而其零点位于
s 0 （一阶） s 1 j1 （一阶） s 1 j1 （一阶） s= （一阶）
（4.7-1）
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
将此系统函数的零、极 点图绘于图中的平面内， 用符号圆圈“o”表示零点， “x”表示极点。在同一位 置画两个相同的符号表示 为二阶，例如-1处有二阶极 点
h(t)
L1[H (s)]
n
L1[
i 1
Ki ] s pi
n
L1[
i 1
Hi (s)]
n i 1
hi (t)
n
h(t) Kie pit i 1
（4.7-3）
1）这里，Pi可以是实数，但一般情况下， Pi以成对的共轭复数形 式出现。
2）各项相应的幅值由系数Ki决定，而Ki则与零点分布情况有关。
如
L1[
(s
2
2s 2
)2
]
t
sin(t
)
这是幅度按线性增长的正弦振荡。
j
t sin(t)
t
j
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
几种典型情况
j
jω0
α
O
jω0
α
第4章 拉普拉斯变换、连续时间系统的S域分析
（单调增幅）形式。
拉普拉斯变换§4.08由系统函数零、极点分布决定频响特性
jω z
m
jω p
i 1 i
j 1 n
令分子中每一项 j ω z j N j e
分母中每一项
jψ j
j ω Pi M i e jθi 将 j ω z j、 j ω - pi 都看作两矢量之差，将 矢量图画于复
t
频域：H(s)的全部极点落在s左半平面。 其收敛域包括虚轴： 拉氏变换 存在 傅里叶变换 存在
X
H(s)和频响特性的关系
设系统函数为 H s ，激励源e t Em sinω0t 系统的稳态响应 rmm t Em H0 sinω0 t 0
平面内。
X
画零极点图
零点 ： jω N j e z j
jω
jψ j
极点 ： j ω M i e jθi pi
jω
θi
Mi
pi
Nj
ψj
σ
O
Nj
zj
j
σ
O
zj
jω 是滑动矢量， jω 矢量变, 则N j、ψ j 和 M i、θ i 都 发生变化。
X
由矢量图确定频率响应特性
N1 e jψ1 N 2 e jψ2 N m e jψm H jω K M1 e jθ 1 M 2 e jθ 2 M n e jθ n
X
通带
O
阻带
c 截止频率
H j
O
c
带通滤波器
H j
带阻滤波器
O
c1
c 2
O
c1
c 2
X
三．根据H(s)零极图绘制系统的频响特性曲线
H jω H s s jω K
信号与系统课件(郑君里版)第四章
F(s) L
[ f (t)]
f (t)estdt
0
f (t) L -1[F (s)]
1
j F (s)estds
2 j j
f (t) 原函数
F (s) 象函数
5
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
0
0
s j
F (s) f (t)estdt 0
单边拉氏变换
FB (s)
f (t)estdt
双边拉氏变换
4
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
2. 拉氏逆变换
f1(t)
f
(t )e t
1
2
F1
()e
jt
d
起系统函数 H(s) 的概念；
（5）利用系统函数零、极点分布可以简明、直观地表达系统
性能的许多规律。
2
第四章 拉普拉斯变换、连续时间系统的 s 域分析 肖娟
§4.2 拉普拉斯变换的定义、收敛域
（一）从傅里叶变换到拉普拉斯变换
1. 拉氏变换是傅里叶变换的推广
当 f (t) 满足绝对可积条件时，存在傅里叶变换
（二）从算子符号法的概念说明拉氏变换的定义
d f (t) pf (t) dt
t f ( )d 1 f (t)
p
f (t) F(s)
d f (t) dt
sF(s) f (0 )
t f ( )d 1 F(s) 1 0 f ( )d
s
s
在算子符号法中，由于未能表示出初始条件的作用，只 好在运算过程中作出一些规定，限制某些因子相消。而拉氏 变换法可以把初始条件的作用计入，这就避免了算子法分析 过程中的一些禁忌，便于把微积分方程转化为代数方程，使 求解过程简化。
系统函数零极点分布决时域特性课件
总结词
零点位置影响系统瞬态响应的速度和幅 度，极点位置影响系统阻尼和振荡特性 。
VS
详细描述
零点位置影响系统输出的初始状态。如果 存在接近虚轴的零点，系统的输出会迅速 达到稳定值。极点位置影响系统的阻尼特 性和振荡频率，靠近虚轴的极点会导致系 统阻尼慢，振荡时间长。
零极点分布与系统稳态误差的关系
总结词
零点位置对系统稳态误差的影响
总结词
零点位置影响系统稳态误差，靠近虚轴的零点导致稳态误差 增大。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的稳态误差。如果零点靠 近虚轴，系统的稳态误差会增大。这是因为这些零点使得系 统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的稳态误差增大。
04
极点分布对时域特性的影响
极点位置远离虚轴
系统瞬态响应较慢，因为远离虚轴的 极点会导致系统具有较小的时间常数 ，从而减缓瞬态响应。
极点位置对系统稳态误差的影响
极点位置靠近虚轴
系统稳态误差较小，因为虚轴附近的极点会导致系统具有较大的增益，从而减 小稳态误差。
极点位置远离虚轴
系统稳态误差较大，因为远离虚轴的极点会导致系统具有较小的增益，从而增 大稳态误差。
零点位置对系统瞬态响应的影响
总结词
零点位置影响系统瞬态响应，靠近虚轴的零点导致瞬态响应速度变慢。
详细描述
系统函数的零点位置也会影响系统的瞬态响应特性。如果零点靠近虚轴，系统的瞬态响应速度 会变慢。这是因为这些零点使得系统的极点在复平面的右侧，导致系统的极点远离虚轴，从而 使得系统的动态响应速度变慢。
稳态误差
系统在输入信号的作用下，实际 输出与理想输出之间的偏差。
误差类型
包括静态误差和动态误差，静态误 差是指系统在稳态下的误差，动态 误差是指系统在过渡过程中产生的 误差。
系统函数的零极点分布决定时域特性
目录1.引言 (2)2.虚拟仪器开发软件Labview入门 (3)2.1 Labview简介 (3)2.2 利用Labview编程完成习题设计 (3)3.利用LabVIEW实现系统函数的零极点分布决定时域特性的设计 (20)3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (20)3.2系统函数的零极点分布决定时域特性的编程设计及实现 (22)3.3运行结果及分析 (23)4. 总结 (25)5.参考文献 (25)1.引言冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。
在s 域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。
系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。
主要优点：可以预言系统的时域特性；便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；可以用来说明系统的正弦稳态特性。
2.虚拟仪器开发软件Labview入门2.1 Labview简介LabVIEW是一种程序开发环境，由美国国家仪器（NI）公司研制开发的，类似于C 和BASIC开发环境，但是LabVIEW与其他计算机语言的显著区别是：其他计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码，而LabVIEW使用的是图形化编辑语言G编写程序，产生的程序是框图的形式。
LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一种用图标代替文本行创建应用程序的图形化编程语言。
传统文本编程语言根据语句和指令的先后顺序决定程序执行顺序，LabVIEW 则采用数据流编程方式，程序框图中节点之间的数据流向决定VI及函数的执行顺序。
VI指虚拟仪器，是LabVIEW]的程序模块。
LabVIEW 提供很多外观与传统仪器（如示波器、万用表）类似的控件，可用来方便地创建用户界面。
用户界面在LabVIEW中被称为前面板。
使用图标和连线，可以通过编程对前面板上的对象进行控制。
系统函数(网络函数)H(S)
s 3E s Rzs s 2
s
3s 2
零输入响应为:
rzi (t ) 4 e t 3 e2t
t 0
( t 0)
即零状态响应为:
rzs ( t ) 0.5 e 2 t 2 e t 1.5
稳态响应／暂态响应，自由响应／强迫响应
U C ( s) I L ( s) 1 H 2 (s) 2 X ( s) X ( s)( R2 sL) s 2s 2
例：
I 2 ( s) 求下图所示电路的转移 导纳函数Y21 ( s ) 。 1 V1 ( s )
I 3 s
V1 s
1 s 1 s
1
第 7 页
s 2 2s 1 s2
12 s 2 2s 1 Y21 2 s 5s 2 为矩阵的行列式 , 称为网络的特征方程式 ，
反映了H s 的特性。
§4.7 由系统函数零、极点分布决 定时域特性
一．序言
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。 主要优点：
第
10 页
1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量 （自由／强迫，瞬态／稳态）； 3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
第
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
11 页
1．系统函数的零、极点
( s z1 )( s z 2 ) ( s z j ) ( s z m ) A( s ) H ( s) K B( s ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pk ) ( s pn )
宁夏大学物理电气信息学院信号与系统自测题填空题及答案(汤全武)
⎡ ẋ1(t)⎤ ⎡ 0 1 0 ⎤⎡ x1(t)⎤ ⎡0⎤
⎡ x1(t)⎤
方程分别是
⎢ ⎢
ẋ2
(t
)⎥⎥
=
⎢ ⎢
0
0
1
⎥ ⎥
⎢ ⎢
x2
(t
)⎥⎥
+
⎢⎢0⎥⎥
f
(t),
y(t)
=
[1
0
0]⎢⎢x2 (t)⎥⎥ + [0] f (t)
⎢⎣ẋ3(t)⎥⎦ ⎢⎣− 3 − 7 − 5⎥⎦⎢⎣x3(t)⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
延时器 。
第 2 章 连续时间系统的的时域分析
一、填空题
1、冲激响应是指 系统在单位冲激信号 δ (t) 的激励下产生的零状态响应 。
2、阶跃响应是指系统在单位冲激信号 u(t) 的激励下产生的零状态响应 。
3、零状态响应是指 不考虑起始时刻系统储能的作用，仅由系统的外加激励信号产生的响 应。 4、零输入响应是指 没有外加激励信号的作用，仅由起始状态所产生的响应 。 5、系统的初始状态为零，仅由 系统的外加激励信号 引起的响应称为零状态响应。
10.某离散系统的状态方程
⎡ x1(n
⎢ ⎣
x2
(n
+ 1) ⎤ + 1)⎥⎦
=
⎡0 ⎢⎣− 6
1⎤ 5⎥⎦
⎡ x1(n)⎤
⎢ ⎣
x2
(n)⎥⎦
+
⎡0⎤ ⎢⎣1⎥⎦
f
(n)
，则该系统（是否）不
稳定？
⎡ 4 3⎤ 3.某连续系统的系统矩阵 A = ⎢⎣− 3 4⎥⎦ ，则系统的自然频率为 p1 = 4 + j3, p2 = 4 − j3
实验八由系统函数零极点分布决定时域频域特性(精)
实验八由系统函数零、极点分布决定时域、频域特性实验目的用MA TLAB模拟系统函数零、极点分布决定时域、频域特性的过程实验原理计算零、极点可以用roots函数，若参数为传统函数H(s)的分子多项式系数b，则得到零点；若为分母多项式系数a，则得到极点。
MA TLAB还提供了zero(sys)和pole(sys)函数直接计算零、极点，其中sys表示系统传递函数。
另外，【p,z】=pzmap(sys)函数也具有计算极点p和零点z的功能。
不带返回值的pzmap(sys)则绘制出系统的零、极点分布图。
零极点和传递函数的多项式系数一样，可以作为LTI系统的描述方法。
MATLAB提供了（b,a）=zp2tf(z,p,k)和【z,p,k】=tf2zp(b,a)两个函数用于在上述两种描述方法之间进行转换，其中k为用零、极点表示传函数时的系统增益。
实验过程1.当F(s)极点（一阶）落于图所示s屏幕图中的各方框所处位置时，画出对应的f(t)波形填入方框中。
解：clear all, close all, clc;t = [0:.1:40]';figure, id = 1;for omega = .5:-.25:0for sigma = -.06:.03:.06p = sigma + j*omega;if omega ~= 0p = [p;p'];end[b a] = zp2tf([],p,1);subplot(3,5,id);impulse(b,a,t);set(gca,'YLim',[-20,20]);endend输出结果如下图所示，可见随着极点从虚轴左侧移动到右侧，其冲激响应有衰减变为发散；随着极点由实轴向上、下两侧移动，冲激响应由单调变化转为振荡变化，且振荡周期逐渐减小。
MATLAB知识点（9）-虚数单位i,j以及常量恢复和数学公式中经常以i、j作为下标一样，包括Fortran和C语言在内的打部分机器语言教科书都习惯的把这两个字符作为循环变量使用，但在MATLAB中i和j被默认为定义为表示虚数单位的常量。
系统函数的零极点分布决定时域特性
目录1.引言 (2)2.虚拟仪器开发软件Labview入门 (3)2.1 Labview简介 (3)2.2 利用Labview编程完成习题设计 (3)3.利用LabVIEW实现系统函数的零极点分布决定时域特性的设计 (20)3.1系统函数的零极点分布决定时域特性的基本原理 (20)3.2系统函数的零极点分布决定时域特性的编程设计及实现 (22)3.3运行结果及分析 (23)4. 总结 (25)5.参考文献 (25)1.引言冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方面表征了同一系统的本性。
在s 域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多规律。
系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的零、极点分布表现出来。
主要优点：可以预言系统的时域特性；便于划分系统的各个分量（自由／强迫，瞬态／稳态）；可以用来说明系统的正弦稳态特性。
2.虚拟仪器开发软件Labview入门2.1 Labview简介LabVIEW是一种程序开发环境，由美国国家仪器（NI）公司研制开发的，类似于C 和BASIC开发环境，但是LabVIEW与其他计算机语言的显著区别是：其他计算机语言都是采用基于文本的语言产生代码，而LabVIEW使用的是图形化编辑语言G编写程序，产生的程序是框图的形式。
LabVIEW（Laboratory Virtual Instrument Engineering Workbench）是一种用图标代替文本行创建应用程序的图形化编程语言。
传统文本编程语言根据语句和指令的先后顺序决定程序执行顺序，LabVIEW 则采用数据流编程方式，程序框图中节点之间的数据流向决定VI及函数的执行顺序。
VI指虚拟仪器，是LabVIEW]的程序模块。
LabVIEW 提供很多外观与传统仪器（如示波器、万用表）类似的控件，可用来方便地创建用户界面。
用户界面在LabVIEW中被称为前面板。
使用图标和连线，可以通过编程对前面板上的对象进行控制。
由系统函数的零极点决定时域特性
(3): 由因果关系决定：
完全解= z.i.r +z.s.r z.i.r: 没有外加的激励信号，只由起 始状态（起始时刻系统储能）所产生 的响应。 z.s.r: 不考虑起始时刻系统的储能（起 始状态为零），由系统外加激励信号产 生的响应。
*自由响应与强迫响应
R( s ) E ( s ).H ( s )
h ( t ) 2e
t t 3t
rzi (t ) c1e c2 e
例：求下列各系统函数的z-p点分布及h(t)的 波形。
s 1 1. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 s 2. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2 ( s 1) 3. H ( s ) 2 2 ( s 1) 2
2.极-零图(见p209所示图) 二.零极点与时域波形的对应关系 1.左半开平面的极点(在负实轴上，一，二，m阶)； 不在负实轴上（复数共 轭成对。)
极 零图
a0 e t
a0 s
( 2)
a1 s a0 t [(a0 a1 )t a1 ]e ...... t 0 2 (s )
z-p点都受约束。 i1
4个转移函数：
u1
System
i2
u2
I 2 ( s) u 2 ( s) YT ( s) , Z T ( s) u1 ( s) I 1 ( s) u 2 ( s) I 2 ( s) k u ( s) , k i ( s) u1 ( s) I1 ( s)
极点影响小结：
• 极点落在左半平面— h(t) 逞衰减趋势 • 极点落在右半平面— h(t)逞增长趣势 • 极点落在虚轴上只有一阶极点— h(t) 等幅振荡，不能有重极点 • 极点落在原点— h(t)等于 u(t)
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X
(s z
K
j 1
n k 1
j
)
)
z1 , z 2 z m 系统函数的零点
(s p
p1 , p 2 p n 系统函数的极点
k
在s平面上，画出H(s)的零极点图： 极点：用×表示，零点：用○表示
X
第
2．H(s)极点分布与原函数的对应关系
一阶 极点
1 h( t ) L1[ H ( s )] u( t ) H ( s) , p1 0在原点， s 1 H ( s) , p1 a sa a 0, 在左实轴上 , h( t ) e at u( t ), 指数衰减
§4.7 由系统函数零、极点分布决 定时域特性
• 序言
• H(s)零、极点与h(t)波形特征
• H(s) 、E(s)的极点分布与自由响 应、强迫响应特性的对应
一．序言
冲激响应h(t)与系统函数H(s) 从时域和变换域两方 面表征了同一系统的本性。 在s域分析中，借助系统函数在s平面零点与极点 分布的研究，可以简明、直观地给出系统响应的许多 规律。系统的时域、频域特性集中地以其系统函数的 零、极点分布表现出来。 主要优点： 1．可以预言系统的时域特性； 2．便于划分系统的各个分量 （自由／强迫，瞬态／稳态）； 3．可以用来说明系统的正弦稳态特性。
X
第
二阶极点
1 H ( s ) 2 , 极点在原点 h( t ) tu( t ), t , h( t ) , s 1 H ( s) , 极点在实轴上， 2 ( s a)
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h( t ) t e t u( t ), α 0, t , h( t ) 0
H(s)只能研究系统的零状态响应
10 页
•自由响应的极点只由系统本身的特性所决定，与激励 函数的形式无关，然而系数 Ai , Ak与H s , E s 都有关。
X
暂态响应和稳态响应
第
11 页
瞬态响应是指激励信号接入以后，完全响应中瞬时出现 的有关成分，随着t增大，将消失。 稳态响应＝完全响应－瞬态响应 左半平面的极点产生的函数项和瞬态响应对应。
(s P )
i
响应： r ( t ) R( s )
u
R(s )
(s z ) (s z
l 1 v l
m
(s P ) (s p )
k 1 k
j 1 n
j
)
Ai Ak R(s ) i 1 s p i k 1 s p k
v
n
i 1
第 2 页
X
第
二．H(s)零、极点与h(t)波形特征的对应
1．系统函数的零、极点
m
3 页
( s z1 )( s z 2 ) ( s z j ) ( s z m ) A( s ) H ( s) K B( s ) ( s p1 )( s p2 ) ( s pk ) ( s pn )
a 0, 在右实轴上 , h( t ) e at u( t ), a 0, 指数增加 ω H ( s) 2 , p1 j ω, p2 j ω, 在虚轴上 2 s ω
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h( t ) sin(ωt )u( t )，等幅振荡
α 0 α 0
ω H ( s) , p1 α jω, p2 α j , 共轭根 2 2 (s α ) ω
三．H(s) 、E(s)的极点分布与自由响应、 强迫响应特征的对应
激励： e( t ) E ( s )
E ( s)
(s z ) (s P )
k 1 k l 1 v l
u
系统函数：h( t ) H ( s ) m
H ( s)
j 1 n
(s z
i 1
j
)
H ( s) 2s , 在虚轴上， 2 2 2 (s ω )
h( t ) t sin(t )u( t ), t , h( t ) 增幅振荡
X
第
几种典型情况
j
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jω0
α
O
α
jω0
X
第 7 页
若H(s)极点落在s左半平面，则h(t)波形为衰减形式； 若H(s)极点落在s右半平面，则h(t)增长；落于虚轴上
的一阶极点对应的h(t)成等幅振荡或阶跃，而虚轴上的
二阶极点将使h(t)呈增长形式。
ht 0 ，H (s )表明的极点位于s左半平面，由此可知，
需将 s j 即可。
X
有实际物理意义的物理系统都是因果系统，即随 t ,
收敛域包括虚轴， F s 和F (j ) 均存在，两者可通用，只
i
X
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Ai Ak R(s ) i 1 s p i k 1 s p k
v
n
r ( t ) L R( s )
1
A e
i i 1
n
pi t
u( t ) Ak e
k 1
v
pk tu( t ) Nhomakorabea自由响应分量 ＋强制响应分量
X
第
几点认识
•响应r(t)由两部分组成： 系统函数的极点自由响应分量； 激励函数的极点强迫响应分量。 •定义系统行列式（特征方程）的根为系统的固有频率 （或称“自然频率”、“自由频率”）。 H(s)的极点都是系统的固有频率； H(s)零、极点相消时，某些固有频率将丢失。因此