高中数学第一章计数原理 1.3.1 二项式定理学案(无答案)新人教A版选修2-3

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高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理教学设计新人教A版选修2-3(2021年整理)

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二项式定理一、教学目标1、知识与技能：（1)理解二项式定理是代数乘法公式的推广；（2）理解并掌握二项式定理,能利用组合思想证明二项式定理．2、过程与方法：通过学生参与和探究二项式定理的形成过程，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式．3、情感、态度与价值观：培养学生的自主探究意识，合作精神，体验二项式定理的发现和创造的过程，体会数学语言的简洁和严谨．二、教学重点、难点重点：用组合思想分析2)a+的展开式，得到二项式定理．(ba+、3)(b难点：用组合思想分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．三、教学手段制作多媒体课件，以增加课堂容量，提高学生的兴趣，使学生加深对定理、概念的理解．四、课型:新授课．五、教学过程(一）提出问题，引入课题（提问）：若今天是星期三，今天是第一天,那么第108天是星期几？【设计意图】把问题作为教学的出发点，引出课题，激发学生的求知欲，明确本课题要解决的问题．复习引入：初中学习的完全平方式是什么？你能写出3)a+的展开式吗？(ba+、4)(b【设计意图】通过复习旧知识,自然引入，在这里设计了层层递进多项式展开问题,目的是为了让学生了解知识发生、发展的过程，激发学生的认知的冲突，让学生明白n b a )(+实质上是多项式的乘法．（二)引导探究，发现规律；2222)(b ab a b a ++=+．32232333)()()(b ab b a a b a b a b a +++=++=+探究1：仿照上述过程，请你推导4)(b a +的展开式．(再提问)5)(b a +,6)(b a +，…,100)(b a +的展开式呢？(太无聊了吧!我们应该寻求一个能代表这些式子的一个通式)【提出问题】求)()(*N n b a n ∈+的展开式探究2：通过组合思想来分析这两个式子的展开式．观察此式：．222222)()()(b ab a b ba ab a b a b a b a ++=+++=+⋅+=+【问题1】：有几项？【问题2】:展开式中各项字母的形式是什么？【问题3】：展开式中项的次数是什么？【问题4】:怎么得到2a 项，ab 项，2b 项?【问题5】：2a 项，2b 项前的系数为什么是1，ab 项前的系数为什么是2？能否用学过的组合知识分析这个问题？由多项式乘法知，其展开式的每一项是由2个)(b a +各取一项相乘而得，故每一项都是)210(2，，=-k b a k k 形式，即2a ，ab ，2b ．各项系数是由相同的项合并而成，有几项其系数就是几,故当0=k 时，22a b a k k =-，是由2个)(b a +中都不选b 得到的，相当于从2个)(b a +中取0个b （即都取a ）的组合数02C ，因此2a 只有1个，系数为：02C ；当1=k 时,ab b a k k =-2，是由一个)(b a +中选a ，另一个)(b a +中选b 得到的,由于b 选定后,a 的选法也随之确定,因此，ab 出现的次数相当于从2个)(b a +中取1个b 的组合数，即ab 共有12C 个，系数为：12C ；当2=k 时,22b b a k k =-，是由2个)(b a +中都选b 得到的，相当于从2个)(b a +中取2个b 的组合数22C ，因此2b 只有1个，系数为：22C ．从而可得：222122022)(b C ab C a C b a ++=+ 【问题6】仿照上述过程,请你推导3)(b a +的展开式．【问题7】能猜想写出4)(b a +的展开式吗？【设计意图】通过几个问题的层层递进,引导学生用组合思想对2)(b a +、3)(b a +的展开式进行再思考，分析各项的形成，项的个数，这也为推导n b a )(+的展开式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法”可依．(三)形成定理，说理证明探究3：仿照上述过程，请你猜想n b a )(+的展开式【问题8】n b a )(+的展开式又是怎样的呢？引导学生回答：可以对b 分类：取0个b ，取1个b ，取2个b ，…，取k 个b ，…,取n 个b 将这1+n 个式子相加，可得二项式定理．)()(*1110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--【问题9】如何证明这个猜想呢?证明：n b a )(+是n 个)(b a +相乘，每个)(b a +在相乘时,有两种选择，选a 或选b ，由分步计数原理可知展开式共有n 2项（包括同类项)，其中每一项都是)210(n k b a k k n ，，，，=-的形式，对于每一项，它是由k 个)(b a +选了b ,k n -个)(b a +选了a 得到的，它出现的次数相当于从n 个)(b a +中取k 个b 的组合数k n C ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．【设计意图】通过仿照3)(b a +，4)(b a +展开式的探究方法，由学生类比得出n b a )(+的展开式．二项式的定理的证明采用“说理"的方法，从计数原理的角度对展开过程进行分析、概括出项的形式，用组合知识分析展开式中具有同一形式的项的个数，从而得出用组合数表示的展开式．(四）概念剖析1、二项式定理的公式特征:(由学生归纳,让学生熟悉公式）(1）项数：共有1+n 项;（2）各项次数：各项的次数都等于n ；（3)各项中a 、b 的幂排列：字母a 按降幂排列，次数由n 递减到0；字母b 按升幂排列，次数由0递增到n ．2、二项展开式的通项：式中的k k n k n b a C -叫做二项展开式的通项，用1+k T 表示．即通项为展开的第1+k 项,k k n k n k b a C T -+=1．(a 、b 的位置不能对换）3、二项式系数：依次为，，，，，，，n n k n n n n C C C C C 210这里)210(n k C k n ，，，，=称为二项式系数．（注意：二项式系数与项的系数的区别）4、二项式定理是个恒等式，定理中字母a 、b 可表示数或式，其中*N n ∈．（提问）写出n x )1(-的展开式．【设计意图】对定理的特点加以说明，可使学生能熟练掌握定理的特点,以便今后在应用定理解决问题时能得心应手．解决课前提出的问题：10109109110100101010777)17(8C C C C ++++=+=1)77(791081109010++++=C C C ∴第108天是星期三．（五)熟悉定理，简单应用例1 求6)12(x x -的展开式．思考1:展开式的第3项的系数是多少？思考2：展开式的第3项的二项式系数是多少?思考3：你能否直接求出展开式的第3项？思考4:求展开式中3x 的．【设计意图】例1目的在于对定理中字母a 、b 所表示的数或式的领会及提高运用定理的能力，熟悉二项展开式,培养学生的运算能力；从思考1与思考2中体会项的系数与二项式系数的区别；思考3与思考4是通项的应用．例2 （1)求5)2(b a +展开式的第4项；(1）求5)2(a b +展开式的第4项；【设计意图】例2二题着重于学生对通项公式的掌握,体会二项式定理n b a )(+的展开式中a 与b 位置不能对换，并注意到例2（1）的结论正是例2（2）展开式中的倒数第4项．（六）课堂小结（由学生归纳本课学习的内容及体现的数学思想）1、公式：．)()(*1110N n b C b a C b a C a C b a n n n k k n k n n n n n n ∈+++++=+--2、思想方法：（1）从特殊到一般的思维方式；(2）用组合思想分析二项式的展开过程．（七）课后作业巩固性作业:课本36页习题31⋅A 组1、2、3;思维拓展型作业：二项式系数n n k n n n n C C C C C ，，，，，， 210有何性质．(八）板书设计(九）教学反思设计说明二项式定理是初中乘法公式的推广，是排列组合知识的具体应用，是学习概率的基础．本节课的教学重点是“使学生掌握二项式定理的形成过程”,在教学中,采用“问题——探究”的教学模式，把整个课堂分为呈现问题、探索规律、总结规律、应用规律的四个阶段．让学生体会研究问题的方式方法,培养学生观察、分析、概括的能力，以及化归意识与方法迁移的能力，体会从特殊到一般的思维方式，让学生体验定理的发现和创造历程．本节课的难点是用计数原理分析二项式的展开过程,发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．在教学中，设置了对多项式乘法的再认识，引导学生运用计数原理来解决项数问题，明确每一项的特征，为后面的二项式展开式的推导作铺垫．再以2)a+为对象(ba+，3)(b进行探究,引导学生用计数原理进行再思考,分析各项以及项的个数，这也为推导n(+的展开a)b式提供了一种方法，使学生在后续的学习过程中有“法"可依．总之，本节课遵循学生的认识规律，由特殊到一般，由感性到理性．重视学生的参与过程，问题引导，师生互动．重在培养学生观察问题、发现问题、归纳推理问题的能力,从而形成良好的数学思维能力．。

高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理2学案无答案新人教A版选修2_3

1.3.1 二项式定理(2)【学习目标】（1）会证明二项式定理（2）掌握二项式定理，并能简单应用（3）能够区分二项式系数与二项展开式中项的系数【能力目标】能利用观察，联想采取适当的方法进行求解。

【重点难点】展开式的特征，通项公式，赋值法。

【学法指导】采取适当的方法，寻求目标，关键是通项公式及怎样用通项公式。

【学习过程】一.【课前复习】1．()n a b +的二项展开式是011222n n n r n r r n nn n n n n C a C a b C a b C a b C b ---++++++ 。

2．通项公式是 1r n r rr n T C a b -+= 。

3．012r n n n n n n C C C C C ++++++= 2n。

4．(1)n x +=1221r r n nn n n n C x C x C x C x ++++++5．在10展开式中的常数项是210 。

二．【课堂学习与研讨】例1计算（1）5432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)x x x x x -+-+-+-+-解:原式0514233245555555(1)(1)(1)(1)(1)1C x C x C x C x C x C =-+-+-+-+-+-5[(1)1]1x =-+-51x =-（2）121242n nn n n C C C ++++解:原式0122222nn n n n n C C C C =+⋅+⋅++⋅ (12)3n n =+=例2．求64(1)(1)x x -+的展开式中的3x 系数解:原式442(1)(1)(1)x x x =-+-242(1)(12)x x x =--+因为24(1)x -的通项公式是22144()(1)k k k k kk T C x C x +=-=-(0,1,2,3,4k =)所以64(1)(1)x x -+的展开式中的3x 系数是14(1)(2)C -⋅-,即是8.例3．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++ ，则求①1237a a a a +++ 的值;②1357a a a a +++的值;③0246a a a a +++的值.解:在7270127(12)x a a x a x a x -=++++ 中,令0x =,得01a =;再令1x =,得01271a a a a ++++=- ,………………… (1*) 所以, 12372a a a a +++=- .令1x =-,得7012345673a a a a a a a a -+-+-+-=……………………………(2*) 由(1*)(2*)等式得:702462()31a a a a +++=-,702461(31)2a a a a ⇒+++=-713572()13a a a a +++=--713571(13)2a a a a ⇒+++=-+试一试：若2002200012200(12)(1)(1)(1)x a a x a x a x +=+-+-++- ，求1357199a a a a a +++++ 的值。

高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.3 二项式定理习题课教案新人教A版选修2-

二项式定理习题课教学目标知识与技能1．能熟练地掌握二项式定理的展开式及其有关概念．2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．3．能熟练掌握杨辉三角及二项式系数的有关性质．4．会用二项式系数的性质解决一些简单问题，并能熟练地使用赋值法．过程与方法1．能解决二项展开式的有关概念问题：项、二项式系数、系数、有理项、无理项、常数项、整数项等．2．能用二项式定理解决诸如整除、近似值、求和等有关问题．3．能用二项式系数的有关性质，解决诸如：最值、二项式系数和、系数和等问题．情感、态度与价值观1．培养学生对整个数学知识的驾驭能力，能在一定高度上进行数学知识的应用．2．培养学生观察、归纳的能力以及分析问题与解决问题的能力．3．进一步提升学生学好数学用好数学的积极性，进一步提升学生学习数学的兴趣．重点难点教学重点：掌握二项展开式，掌握二项式系数的有关性质，掌握解决二项式定理性质等有关问题的方法．教学难点：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题．教学过程复习巩顾前面我们学习了二项式定理，请回顾：1．(a＋b)n＝________________(n∈N*)，这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式右边的多项式叫做(a＋b)n的______________，其中C r n(r＝0,1,2，…，n)叫做______________，通项是指展开式的第__________________项，共有____________项．其中二项式系数是____________，系数是____________．2．二项式系数的四个性质(杨辉三角的规律) (1)对称性：____________________. (2)性质2：______________________.(3)二项式系数的最大值________________________．(4)二项式系数之和____________________，所用方法是____________________．答案：1．(a ＋b)n＝C 0n a n＋C 1n an －1b ＋C 2n an －2b 2＋…＋C r n an －r b r＋…＋C n n b n(n∈N )、展开式、二项式系数、r ＋1、n ＋1、C rn 、变量前的常数2．(1)C mn ＝－mn (2)C rn ＋1＝C r －1n ＋C rn(3)当n 是偶数时，中间的一项取得最大值，即C n2n 最大；当n 是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值，即C n －12n ＝C n ＋12n 最大(4)C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C rn ＋…＋C nn ＝2n赋值法典型示例类型一：二项展开式的有关概念例1试求：(1)(x 3－2x 2)5的展开式中x 5的系数；(2)(2x 2－1x)6的展开式中的常数项；(3)在(3x ＋32)100的展开式中，系数为有理数的项的个数．思路分析：理解二项展开式的有关概念，什么是二项式系数，什么是系数，什么是项，什么是常数项、有理项、无理项等，其实都是由通项入手，根据变量的系数、指数进行判断，当指数为0时是常数项，当指数是整数时是有理项，当指数是分数时是无理项．解：(1)T r ＋1＝C r5(x 3)5－r(－2x2)r ＝(－2)r C r 5x 15－5r ，依题意15－5r ＝5，解得r ＝2.故(－2)2C 25＝40为所求x 5的系数．(2)T r ＋1＝C r 6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r ，依题意12－3r ＝0，解得r ＝4.故(－1)4·22C 26＝60为所求的常数项．(3)T r ＋1＝C r 100(3x)100－r(32)r ＝C r100·350－r 2·2r 3x 100－r ，要使x 的系数为有理数，指数50－r 2与r 3都必须是整数，因此r 应是6的倍数，即r ＝6k(k∈Z )，又0≤6k≤100，解得0≤k≤1623(k∈Z )，∴x 的系数为有理数的项共有17项．点评：求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值X 围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分．[巩固练习]试求：(1)(x ＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数；(2)(|x|＋1|x|－2)3的展开式中的常数项．解：(1)∵(x＋2)10＝x 10＋20x 9＋180x 8＋…，∴(x＋2)10(x 2－1)的展开式中x 10的系数是－1＋180＝179.(2)∵(|x|＋1|x|－2)3＝(|x|－1|x|)6，∴所求展开式中的常数项是－C 36＝－20.类型二：二项展开式的有关应用——简单应用例2求(x －1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5的展开式中x 2的系数．解：∵(x－1)－(x －1)2＋(x －1)3－(x －1)4＋(x －1)5＝x －1{1－[－x －1]5}1－[－x －1]＝x －1＋x －16x ，∴所求展开式中x 2的系数就是(x －1)6的展开式中x 3的系数－C 36＝－20.点评：这是一组将一个二项式扩展为假设干个二项式相乘或相加，或扩展为简单的三项展开式的问题，求解的关键在于转化为二项展开式的问题，转化时要注意分析题目中式子的结构特征．能够最大限度地考查学生对知识的把握程度．[巩固练习](1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中x 3项的系数是( )A ．74B ．121C ．－74D ．－121 解析：先求和：(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8＝1－x 5[1－1－x4]1－1－x＝1－x5[4x －6x 2＋4x 3－x 4]x，分子的展开式中x 4的系数，即为原式的展开式中x 3项的系数，(－1)×1＋4×(－C 15)－6C 25＋4×(－C 35)＝－1－20－60－40＝－121，所以选D.答案：D类型三：二项展开式的有关应用：整除、不等式、近似值等问题例3证明：(1)2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *；(2)证明：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．思路分析：对于二项式中的不等式，通过展开式，分析其中的特殊项，可以证明一些简单的不等式问题；对于整除问题同样如此，关键是把二项式拆成676的形式；对于比较麻烦的数列问题，我们经常采用的方法就是数学归纳法，此题也不例外．证明：(1)(1＋1n )n ＝1＋C 1n ·1n ＋C 2n (1n )2＋…≥2(当且仅当n ＝1时取等号)．当n ＝1时，(1＋1n)n＝2<3显然成立；当n≥2时，(1＋1n )n ＝C 0n ＋C 1n ·1n ＋C 2n ·1n 2＋…＋C nn ·1n n ＝2＋n(n －1)2！1n 2＋n(n －1)(n －2)3！1n 3＋…＋n(n －1)…2·1n ！1n n ＝2＋12！n n n －1n ＋13！n n n －1n n －2n ＋…＋1n ！n n n －1n …2n 1n <2＋12！＋13！＋…1n ！<2＋11×2＋12×3＋…＋1n(n －1)＝2＋(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1－1n )＝3－1n <3.综上所述：2≤(1＋1n)n <3，其中n∈N *.(2)当n ＝0，n ＝1时33n－26n －1＝0，显然33n－26n －1可被676整除．当n≥2时，33n－26n －1＝27n－26n －1＝(1＋26)n－26n －1＝1＋26n ＋C 2n ·262＋…＋C nn ·26n－26n －1＝C 2n ·262＋C 3n ·263＋…＋C nn 26n＝676(C 2n ＋26C 3n ＋…＋26n －2C nn)．综上所述：对任意非负整数n,33n－26n －1可被676整除．点评：用二项式定理解决整除问题是二项式定理的一大特色，这是二项展开式的一种基本应用，通过对二项式的拆解，我们可以解决一些看似很难但易解决的问题．[巩固练习]m ，n 是正整数，f(x)＝(1＋x)m＋(1＋x)n的展开式中x 的系数为7， (1)试求f(x)中的x 2的系数的最小值；(2)对于使f(x)中的x 2的系数为最小的m ，n ，求出此时x 3的系数； (3)利用上述结果，求f(0.003)的近似值(精确到0.01)．解：根据题意得：C 1m ＋C 1n ＝7，即m ＋n ＝7.(*)(1)x 2的系数为C 2m＋C 2n＝m(m －1)2＋n(n －1)2＝m 2＋n 2－m －n2.将(*)变形为n ＝7－m 代入上式得：x 2的系数为m 2－7m ＋21＝(m －72)2＋354.故当m ＝3或4时，x 2的系数的最小值为9.(2)当m ＝3，n ＝4或m ＝4，n ＝3时，x 3的系数为C 33＋C 34＝5. (3)f(0.003)≈2.02.类型四：二项式系数的最大值、系数的最大值问题例4求(x －1)9的展开式中系数最大的项．思路分析：二项式系数最大的项我们可以根据公式求解，但是系数最大的项怎么求呢？观察此题中二项式系数与系数之间的关系，我们发现它们只不过相差一个负号而已，所以可以通过二项式系数的大小反映系数的大小，只不过要注意正负号．解：T r ＋1＝(－1)r C r 9x 9－r .∵C 49＝C 59＝126，而(－1)4＝1，(－1)5＝－1，∴T 5＝126x 5是所求系数最大的项．点评：此类问题仍然是利用二项展开式的通项公式来求解，但在解题过程中要注意一些常用方法和数学思想的应用．[巩固练习] 求(x ＋124x)8展开式中系数最大的项．解：记第r 项系数为T r ，设第k 项系数最大，那么有⎩⎪⎨⎪⎧T k ≥T k －1，T k ≥T k ＋1，又T r ＝C r －182－r ＋1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧C k －182－k ＋1≥C k －282－k ＋2，C k －182－k ＋1≥C k 82－k ，即⎩⎪⎨⎪⎧8！(k －1)！(9－k)！≥8！(k －2)！(10－k)！×2，8！(k －1)！(9－k)！×2≥8！k ！(8－k)！，∴⎩⎪⎨⎪⎧1k －1≥2k －2，29－k ≥1k .解得3≤k≤4，∴系数最大的项为第3项T 3＝7x 52和第4项T 4＝7x 72.类型五：二项式系数之和、系数之和等问题例5假设(2x ＋3)4＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4，那么(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2的值等于__________；思路分析：注意到与系数的和差有关，所以可以用赋值法求得奇数项的系数之和与偶数项的系数之和，注意使用平方差公式．解：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝(2＋3)4，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4＝(3－2)4，由此可得(a 0＋a 2＋a 4)2－(a 1＋a 3)2＝(a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4)(a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4)＝[(3＋2)(3－2)]4＝1.点评：在二项式系数的性质应用中，尤其是系数和的问题，我们经常使用赋值法，这是一种奇妙的方法，可以帮助我们在不用计算每一个系数的前提下，求出各个系数的和．[巩固练习](1－2x)7＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 7x 7，求(1)a 0＋a 1＋…＋a 7的值；(2)a 0＋a 2＋a 4＋a 6及a 1＋a 3＋a 5＋a 7的值； (3)各项二项式系数和．解：(1)令x ＝1，那么a 0＋a 1＋…＋a 7＝－1.(2)令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋…＋a 6－a 7＝2 187. 那么a 1＋a 3＋a 5＋a 7＝－1 094；a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝1 093. (3)各项二项式系数和C 07＋C 17＋…＋C 77＝27＝128. [拓展实例]例1(1＋3x)6(1＋14x)10的展开式中的常数项为( )A．1 B．46 C．4 245 D．4 246思路分析：对于非一般的二项式问题，要注意转化成二项式问题解决．此题虽然有两个式子相乘，只要我们写出整个式子的通项，令指数为0，即可求得常数项．解：先求(1＋3x)6的展开式中的通项．T r＋1＝C r6(x13)r＝C r6xr3，r＝0,1,2,3,4,5,6.再求(1＋14x )10的展开式中的通项．T k＋1＝C k10(x－14)k＝C k10x－k4，k＝0,1,2,3,4，…，10.两通项相乘得：C r6x r3C k10x－k4＝C r6C k10xr3－k4，令r3－k4＝0，得4r＝3k，这样一来，(r，k)只有三组：(0,0)，(3,4)，(6,8)满足要求．故常数项为：1＋C36C410＋C66C810＝4 246.点评：对于乘积的式子或者三项的式子的展开问题，我们可以通过化归思想，将其转化成二项展开式问题．要注意此题中，常数项的位置有三处．[巩固练习](1＋x＋x2)(x＋1x3)n的展开式中没有．．常数项，n∈N*，且2≤n≤8，那么n＝______.解析：依题意(x＋1x3)n，对n∈N*，且2≤n≤8中，只有n＝5时，其展开式既不出现常数项，也不会出现与x、x2乘积为常数的项．故填5.答案：5[变练演编](1)对于9100你能编出什么样的整除问题？如9100被________整除的余数是________．(2)(2x2－1x)6的展开式中的常数项是第____________项，整数项是第______________项，x的最高次项是第______________项，二项式系数之和是______________，系数之和是______________．将你能得到的所有正确的答案一一列举出来．答案：(1)这是一个开放性的问题，学生可以有多种答案，比如说9100被8整除的余数是1,9100被80整除的余数是1等等．(2)T r ＋1＝C r6(2x 2)6－r(－1x)r ＝(－1)r ·26－r ·C r 6x 12－3r .依题意12－3r ＝0，解得r ＝4，所以常数项是第5项；整数项是第1,2,3,4,5项；x 的最高次项是第1项；二项式系数之和为64；系数之和为1.设计意图：变练演编——这种开放性的设计，能够有效地提高学生学习的积极性，使得编题不仅仅是老师的专利，学生在编题解题的过程中，领悟知识，提高能力，增长兴趣，增强信心，不仅有助于训练同学们的常规思维，还能培养同学们的逆向思维，最终提高学生的数学成绩．[达标检测] 1．(x －13x)12展开式中的常数项为( )A ．－1 320B ．1 320C ．－220D ．220 2．(1－x)6(1＋x)4的展开式中x 的系数是( ) A ．－4 B ．－3 C ．3 D ．4 3．假设(1－2x)2 005＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 005x2 005(x∈R )，那么(a 0＋a 1)＋(a 0＋a 2)＋(a 0＋a 3)＋…＋(a 0＋a 2 005)＝________(用数字作答)．答案：1.C 2.B 3.2 003反考老师：即由学生出题，教师现场解答(约8分钟)．(活动设计：请学生到黑板板书题目，要求别太烦琐，且与本节习题课内容相符．一般不多于3道题，教师尽可能全部解答，具体解答数目视题目难度和时间而定．教师要边做边讲，以向学生现场展示解题思路的发现过程和解题能力．做完后，请学生给“阅卷〞)课堂小结活动设计：先给学生1～2分钟的时间默写本节的主要基础知识、方法，例题、题目类型、解题规律等；然后用精练的、精确的语言概括本节的知识脉络，思想方法，解题规律等．活动成果：(板书)1．知识收获：二项式定理、二项展开式、二项式系数的性质．2．方法收获：利用二项式定理解决有关问题，利用二项式系数的性质解决有关问题． 3．思维收获：合作意识，创新精神，增加了学习数学的积极性，提升学习数学的兴趣．设计意图：通过学生自己总结所学、所识、所想，不但能充分表达新课程的理念，还能充分发挥学生在课堂上的“主人翁〞精神，真正表达了学生的主体地位．不仅可以使学生更好地掌握本节所学，而且还能提高学生学习的主动性，提高学生学习数学的兴趣，久而久之，学生的数学水平与数学素养必定会得到长足的提高！补充练习[基础练习]1．计算1－3C 1n ＋9C 2n －27C 3n ＋…＋(－1)n 3n C nn . 2．(x ＋1x －2)3的展开式中，常数项是________．3．(3x －13x2)n ，n∈N *的展开式中各项系数和为128，那么展开式中1x3的系数是( )A ．7B ．－7C ．21D ．－21 4．求(x －13x)10的展开式中有理项共有________项．1．解：原式＝C 0n ＋C 1n (－3)1＋C 2n (－3)2＋C 3n (－3)3＋…＋C 3n (－3)n＝(1－3)n＝(－2)n. 2．解析：(x ＋1x －2)3＝[(x －1)2x ]3＝(x －1)6x 3. 上述式子展开后常数项只有一项C 36x3－13x3，即－20.3．解析：由条件可得：(3－1)n＝128，n ＝7. ∵T r ＋1＝(－1)r C r7(3x)7－r(13x2)r ＝(－1)r C r 737－rx7－53r.令7－5r3＝－3，那么有：r ＝6.所以二项展开式中1x 3的系数是：T 7＝(－1)6C 6737－6＝21，应选C.4．解析：∵T r ＋1＝C r10(x)10－r(－13x)r ＝C r 10(－1)rx5－56r.∴当r ＝0,6时，所对应的项是有理项．故展开式中有理项有2项． [拓展练习]5．(1＋kx 2)6(k 是正整数)的展开式中，x 8的系数小于120，那么k ＝____________. 6．设n∈N ，那么C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝____________.5．解析：(1＋kx 2)6按二项式定理展开的通项为T r ＋1＝C r6(kx 2)r＝C r 6k r x 2r，我们知道x 8的系数为C 46k 4＝15k 4，即15k 4<120，也即k 4<8，而k 是正整数，故k 只能取1.6．解：C 1n ＋C 2n 6＋C 3n 62＋…＋C n n 6n －1＝16C 0n ＋C 1n ＋C 2n 6＋…＋C n n 6n －1－16C 0n ＝16(C 0n ＋C 1n 6＋C 2n 62＋…＋C n n 6n －1)＝16[(1＋6)n－1]＝16(7n －1)．设计说明二项式定理的内容，是各地高考中经常要考查的内容之一，其形式主要是选择题和填空题，题型往往相对稳定，思路方法常常是利用二项展开式的通项公式、二项式系数的有关性质等．常见的二项式问题有：求二项展开式中某一项或某一项的系数，求所有项系数的和或奇(偶)数项系数和，求展开式的项数，求常数项，求近似值，证明不等式等．实际教学的过程中，要努力把表现的机会让给学生，以发挥他们的自主精神；尽量创造让学生活动的机会，以让学生在直接体验中建构自己的知识体系；尽量引导学生发挥其创造意识，以使他们能在创造的氛围中学习．二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘方的展开式．二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系．掌握好二项式定理既可对初中学习的多项式的变形起到很好的复习、深化作用，又可以为进一步学习概率统计做好必要的知识储备．所以有必要掌握好二项式定理的相关内容．备课资料二项式定理同步练习选择题1．C 7n ＋1－C 7n ＝C 8n ，那么n 等于( )word11 / 11 A ．14 B ．12 C ．13 D ．152．C 0n ＋3C 1n ＋9C 2n …＋3n C nn 的值等于( )A ．4nB ．3·4n C.4n 3－1 D.4n－133．C 111＋C 311＋…＋C 911的值为( )A ．2 048B ．1 024C ．1 023D ．5124．(x ＋1)(2x ＋1)(3x ＋1)……(nx＋1)展开式中x 的一次项系数为( )A ．C n －1nB ．C 2nC ．C 2n ＋1D ．不能用组合数表示5．设(1＋x ＋x 2)n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…a 2n x 2n，那么a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2n 等于 …() A ．22n B ．3n C.3n －12 D.3n＋126．假设n 是正奇数，那么7n ＋C 1n 7n －1＋C 2n 7n －2＋…C n －1n 7被9除的余数为( )A ．2B ．5C ．7D ．87．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)10展开式中x 4的系数为( )A ．C 511 B ．C 411 C ．C 510D ．C 410填空题8．(a ＋b)n 展开式中第r 项为__________．9．11100－1的末位连续零的个数为__________．参考答案1．A 2.A 3.C 4.C 5.B 6.C 7.A5．提示：令x ＝1即可．8．T r ＝C r －1n a n ＋1－rb r －19．3。

高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案新人教A版选修23

1.3.1 二项式定理学习目标 1.能用计数原理证明二项式定理.2.掌握二项式定理及其展开式的通项公式.3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．知识点二项式定理及其相关概念思考1 我们在初中学习了(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，试用多项式的乘法推导(a ＋b )3，(a ＋b )4的展开式．答案 (a ＋b )3＝a 3＋3a 2b ＋3ab 2＋b 3，(a ＋b )4＝a 4＋4a 3b ＋6a 2b 2＋4ab 3＋b 4. 思考2 能用类比方法写出(a ＋b )n (n ∈N *)的展开式吗？答案能，(a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C k n a n －k b k ＋…＋C n n b n (n ∈N *)．梳理1．(a ＋b )n展开式中共有n 项．( × )2．在公式中，交换a ，b 的顺序对各项没有影响．( × ) 3．C k n an －k b k是(a ＋b )n 展开式中的第k 项．( × )4．(a －b )n与(a ＋b )n的二项式展开式的二项式系数相同．( √ )类型一二项式定理的正用、逆用例1 (1)求⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4的展开式．考点二项式定理题点运用二项式定理求展开式解方法一 ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝(3x )4＋C 14(3x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4＝81x 2＋108x ＋54＋12x ＋1x 2. 方法二 ⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x 4＝1x 2(1＋3x )4＝1x 2·[1＋C 14·3x ＋C 24(3x )2＋C 34(3x )3＋C 44(3x )4]＝1x2(1＋12x ＋54x 2＋108x 3＋81x 4)＝1x 2＋12x＋54＋108x ＋81x 2.(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简解原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n. 引申探究若(1＋3)4＝a ＋b 3(a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝________. 答案 44解析 ∵(1＋3)4＝1＋C 14×(3)1＋C 24×(3)2＋C 34×(3)3＋C 44×(3)4＝1＋43＋18＋123＋9＝28＋163，∴a ＝28，b ＝16，∴a ＋b ＝28＋16＝44.反思与感悟 (1)(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数和等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .(2)逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．跟踪训练1 化简：(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1. 考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简解原式＝C 05(2x ＋1)5－C 15(2x ＋1)4＋C 25(2x ＋1)3－C 35(2x ＋1)2＋C 45(2x ＋1)－C 55(2x ＋1)0＝[(2x ＋1)－1]5＝(2x )5＝32x 5. 类型二二项展开式通项的应用命题角度1 二项式系数与项的系数例2 已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫3x －23x 10. (1)求展开式第4项的二项式系数； (2)求展开式第4项的系数；(3)求第4项．考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数解 ⎝⎛⎭⎪⎫3x －23x 10的展开式的通项是 T k ＋1＝C k 10(3x )10－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－23x k ＝C k 10310－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－23k ·1032kx- (k ＝0,1,2，…，10)．(1)展开式的第4项(k ＝3)的二项式系数为C 310＝120. (2)展开式的第4项的系数为C 31037⎝ ⎛⎭⎪⎫－233＝－77 760. (3)展开式的第4项为T 4＝T 3＋1＝－77 760x .反思与感悟 (1)二项式系数都是组合数C kn (k ∈{0,1,2，…，n })，它与二项展开式中某一项的系数不一定相等，要注意区分“二项式系数”与二项式展开式中“项的系数”这两个概念． (2)第k ＋1项的系数是此项字母前的数连同符号，而此项的二项式系数为C kn .例如，在(1＋2x )7的展开式中，第四项是T 4＝C 3717－3(2x )3，其二项式系数是C 37＝35，而第四项的系数是C 3723＝280.跟踪训练2 已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n 展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数解 (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n 62n x-，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n 32n x -，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，n ∈N *，故n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x )9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k ＝(－2)k C k9932k x-，所以9－3k 2＝3，k ＝1，所以第二项为含x 3的项为T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3. 二项式系数为C 19＝9.命题角度2 展开式中的特定项例3 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求含x 2的项的系数； (3)求展开式中所有的有理项．考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项解通项公式为T k ＋1＝C kn3n k x-(－3)k3k x-＝C k n(－3)k23n k x-.(1)∵第6项为常数项，∴当k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)令10－2k 3＝2，得k ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405. (3)由题意得，⎩⎪⎨⎪⎧10－2k3∈Z ，0≤k ≤10，k ∈N .令10－2k3＝t (t ∈Z )，则10－2k ＝3t ，即k ＝5－32t .∵k ∈N ，∴t 应为偶数．令t ＝2,0，－2，即k ＝2,5,8.∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为405x 2，－61 236,295 245x －2. 反思与感悟 (1)求二项展开式的特定项的常见题型 ①求第k 项，T k ＝C k －1n an －k ＋1b k －1；②求含x k 的项(或x p y q 的项)；③求常数项；④求有理项．(2)求二项展开式的特定项的常用方法①对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；②对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；③对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致．跟踪训练3 (1)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 9的展开式中x 3的系数是－84，则a ＝________. 考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 1解析展开式的通项为T k ＋1＝C k 9x 9－k(－a )k ⎝ ⎛⎭⎪⎫1xk＝C k9·(－a )k x9－2k(0≤k ≤9，k ∈N )．当9－2k ＝3时，解得k ＝3，代入得x 3的系数，根据题意得C 39(－a )3＝－84，解得a ＝1.(2)已知n 为等差数列－4，－2,0，…的第六项，则⎝⎛⎭⎪⎫x ＋2x n的二项展开式的常数项是________．考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案 160解析由题意得n ＝6，∴T k ＋1＝2k C k 6x6－2k，令6－2k ＝0得k ＝3，∴常数项为C 3623＝160.1．(x ＋2)n的展开式共有11项，则n 等于( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．8 考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析因为(a ＋b )n 的展开式共有n ＋1项，而(x ＋2)n的展开式共有11项，所以n ＝10，故选B.2．1－2C 1n ＋4C 2n －8C 3n ＋…＋(－2)n C nn 等于( ) A ．1 B ．1 C ．(－1)nD ．3n考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案 C解析逆用二项式定理，将1看成公式中的a ，－2看成公式中的b ，可得原式＝(1－2)n＝(－1)n.3.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－1x n的展开式中，常数项为15，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 D解析展开式的通项为T k ＋1＝C kn (x 2)n －k·(－1)k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x k ＝(－1)k C k n x 2n －3k.令2n －3k ＝0，得n ＝32k (n ，k ∈N *)，若k ＝2，则n ＝3不符合题意，若k ＝4，则n ＝6，此时(－1)4·C 46＝15，所以n ＝6.4．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案 C解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式的通项为T k ＋1＝C k 24·(x )24－k ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x k ＝C k 245126kx -，故当k ＝0,6,12,18,24时，幂指数为整数，共5项． 5．求二项式(x －3x )9展开式中的有理项．考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项解 T k ＋1＝C k 9912kx -⎛⎫ ⎪⎝⎭·13kx ⎛⎫- ⎪⎝⎭＝(－1)k C k9·276kx -，令27－k 6∈Z (0≤k ≤9)，得k ＝3或k ＝9，所以当k ＝3时，27－k 6＝4，T 4＝(－1)3C 39x 4＝－84x 4，当k ＝9时，27－k 6＝3，T 10＝(－1)9C 99x 3＝－x 3.综上，展开式中的有理项为－84x 4与－x 3.1．注意区分项的二项式系数与系数的概念． 2．要牢记C k n an －k b k是展开式的第k ＋1项，不要误认为是第k 项．3．求解特定项时必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其为特定值．一、选择题1．S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4x －3，则S 等于( ) A ．x 4B ．x 4＋1 C ．(x －2)4D ．x 4＋4考点二项式定理题点逆用二项式定理求和、化简答案 A解析 S ＝(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝C 04(x －1)4＋C 14(x －1)3＋C 24(x －1)2＋C 34(x －1)＋C 44＝[(x －1)＋1]4＝x 4，故选A.2．设i 为虚数单位，则(1＋i)6展开式中的第3项为( ) A ．－20i B ．15i C ．20D ．－15考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式中的特定项答案 D解析 (1＋i)6展开式中的第3项为C 26i 2＝－15. 3．(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数是( ) A ．－840 B ．840 C ．210D ．－210考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案 B解析在通项公式T k ＋1＝C k 10(－2y )k x 10－k中，令k ＝4，即得(x －2y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410×(－2)4＝840.4．在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x n 的展开式中，若常数项为60，则n 等于( )A ．3B ．6C ．9D ．12考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 B解析 T k ＋1＝C k n(x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫2x k ＝2k C kn 32n k x-.令n －3k2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.5．若(1＋3x )n (n ∈N *)的展开式中，第三项的二项式系数为6，则第四项的系数为( ) A ．4 B ．27 C ．36D ．108考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数答案 D解析 T k ＋1＝C kn (3x )k，由C 2n ＝6，得n ＝4，从而T 4＝C 34·(3x )3，故第四项的系数为C 3433＝108.6．在二项式121412nx x ⎛⎫⎪+⎪⎝⎭的展开式中，若前三项的系数成等差数列，则展开式中有理项的项数为( ) A ．5 B ．4 C ．3D ．2考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项答案 C解析二项展开式的前三项的系数分别为1，C 1n ·12，C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122，由其成等差数列，可得2C 1n ·12＝1＋C 2n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫122⇒n ＝1＋n (n －1)8，所以n ＝8(n ＝1舍去)．所以展开式的通项T k ＋1＝C k 8⎝ ⎛⎭⎪⎫12k344kx -.若为有理项，则有4－3k4∈Z ，所以k 可取0,4,8，所以展开式中有理项的项数为3.7．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 4，x <0，－x ，x ≥0，则当x >0时，f (f (x ))表达式的展开式中常数项为( ) A ．4 B ．6 C ．8D ．10考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案 B解析依据分段函数的解析式，得f (f (x ))＝f (－x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －x 4，∴T k ＋1＝C k4(－1)k xk －2.令k －2＝0，则k ＝2，故常数项为C 24(－1)2＝6. 二、填空题8.⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1x 27的展开式中倒数第三项为________．考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式的特定项答案84x8解析由于n ＝7，可知展开式中共有8项， ∴倒数第三项即为第六项，∴T 6＝C 57(2x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 25＝C 57·221x 8＝84x8.9．若(x ＋1)n ＝x n＋…＋ax 3＋bx 2＋nx ＋1(n ∈N *)，且a ∶b ＝3∶1，那么n ＝________. 考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 11解析 a ＝C n －3n ，b ＝C n －2n .∵a ∶b ＝3∶1， ∴C n －3n C n －2n ＝C 3n C 2n ＝31，即n (n －1)(n －2)·26n (n －1)＝3，解得n ＝11.10．已知正实数m ，若x 10＝a 0＋a 1(m －x )＋a 2(m －x )2＋…＋a 10(m －x )10，其中a 8＝180，则m 的值为________．考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 2解析由x 10＝[m －(m －x )]10，[m －(m －x )]10的二项展开式的第9项为C 810m 2(－1)8·(m －x )8， ∴a 8＝C 810m 2(－1)8＝180，则m ＝±2.又m >0，∴m ＝2.11．使⎝⎛⎭⎪⎫3x ＋1x x n (n ∈N *)的展开式中含有常数项的最小的n 为________．考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 5解析展开式的通项公式T k ＋1＝C k n(3x )n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x k，∴T k ＋1＝3n －k C kn52n k x-，k ＝0,1,2，…，n .令n －52k ＝0，n ＝52k ，故最小正整数n ＝5. 三、解答题12．若二项式⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 6(a >0)的展开式中x 3的系数为A ，常数项为B ，且B ＝4A ，求a 的值．考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数解 ∵T k ＋1＝C k 6x 6－k⎝⎛⎭⎪⎫－a x k ＝(－a )k C k6362kx -，令6－3k 2＝3，则k ＝2，得A ＝C 26·a 2＝15a 2；令6－3k 2＝0，则k ＝4，得B ＝C 46·a 4＝15a 4.由B ＝4A 可得a 2＝4，又a >0， ∴a ＝2.13．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n的展开式中，第9项为常数项，求：(1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数； (3)含x 的整数次幂的项的个数．考点二项展开式中的特定项问题题点求多项展开式中的特定项解已知二项展开式的通项为T k ＋1＝C k n⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C kn 522n k x -.(1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10.(2)令2×10－52k ＝5，得k ＝25(20－5)＝6.所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．四、探究与拓展14．设a ≠0，n 是大于1的自然数，⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式为a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n.若点A i (i ，a i ) (i ＝0,1,2)的位置如图所示，则a ＝________.考点二项展开式中的特定项问题题点由特定项或特定项的系数求参数答案 3解析由题意知A 0(0,1)，A 1(1,3)，A 2(2,4)．即a 0＝1，a 1＝3，a 2＝4.由⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x a n 的展开式的通项公式知T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫x a k(k ＝0,1,2，…，n )．故C 1n a ＝3，C 2n a 2＝4，解得a ＝3. 15．设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n 的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *)．(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数．考点二项展开式中的特定项问题题点求二项展开式特定项的系数解 (1)由题设知m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ，含x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n＝(19－n )(18－n )2＋n (n －1)2 ＝n 2－19n ＋171＝⎝⎛⎭⎪⎫n －1922＋3234. 因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，x 2项的系数的最小值为⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋3234＝81.(2)当n＝9，m＝10或n＝10，m＝9时，x2项的系数取最小值，此时x7项的系数为C710＋C79＝C310＋C29＝156.。

高中数学第一章计数原理 1.3.1 二项式定理学案(含解析)新人教A版选修2-3(2021年整

河北省承德市高中数学第一章计数原理1.3.1 二项式定理学案（含解析）新人教A版选修2-3
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1.3.1 二项式定理
后记与
感悟：。

高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理说课稿新人教A版

1.3.1二项式定理一、教材分析【教材的地位及作用】二项式定理安排在高中数学选修2-3第三节,是排列组合内容后的一部分内容，其形成过程是组合知识的应用，同时也是自成体系的知识块，为随后学习的概率知识及概率与统计，作知识上的铺垫。

二项展开式与多项式乘法有密切的联系，本节知识的学习，必然从更广的视角和更高的层次来审视初中学习的关于多项式变形的知识。

运用二项式定理可以解决一些比较典型的数学问题，例如近似计算、整除问题、不等式的证明等。

【学生情况分析】学生具有一般的归纳推理能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。

在学习过程中，大部分学生只重视定理、公式的结论，而不重视其形成过程。

（根据以上分析，结合新课标的理念，制订如下的教学目标和教学重、难点）。

【教学目标】1、知识目标：理解二项式定理及其推导方法，识记二项展开式的有关特征，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题。

2、能力目标：在学生对二项式定理形成过程的参与探讨过程中，培养学生观察、猜想、归纳的能力，以及学生的化归意识与知识迁移的能力。

3、情感目标：（1）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，培养学生解决数学问题的兴趣和信心.（2）通过学生自主参与和探讨二项式定理的形成过程，使学生体会到数学内在的和谐对称美.【教学重点、难点】重点：二项式定理的内容及应用。

难点：掌握运用多项式乘法以及组合知识推导二项式定理的过程。

二、教法、学法分析数学是一门培养人的思维发展的重要学科。

因此，在教学中让学生自己发现规律是最好的途径。

正所谓“学问之道，问而得，不如求而得之，深固之。

”本节课的教法贯穿启发式教学原则以启发学生主动学习，积极探求为主，创设一个以学生为主体，师生互动，共同探索的教与学的情境，采用引导发现法，由学生熟悉的多项式乘法入手，进行分析，又可利用组合的有关知识加以分析、归纳，通过对二项展开式规律的探索过程，培养学生由特殊到一般，经过观察分析、猜想、归纳（证明）来解决问题的数学思想方法，培养了学生观察、联想、归纳能力。

高中数学第一章计数原理1-3二项式定理第1课时预习导航学案新人教A版选修2_3

高中数学第一章计数原理1-3二项式定理第1课时预习导航
学案新人教A版选修2_3
预习导航
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)．
(1)这个公式叫做二项式定理．
(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式共有n＋1项．
(3)二项式系数：各项的系数C(k∈)叫做二项式系数．
思考1如何理解二项式定理？
提示：(1)项数：n＋1项．(2)指数：字母a，b的指数和为n，字母a的指数由n递减到0，同时b的指数由0递增到n.
2．二项展开式的通项
(a＋b)n展开式中的Can－kbk叫做二项展开式的通项，用Tk＋1表示，即通项为展开式的第k＋1项：Tk＋1＝Can－kbk(其中0≤k≤n，k∈N，n∈N*)．
思考2如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系
数？
提示：某一项的系数与该项的二项式系数不是一个概念，C(r＝0,1,2，…，n)叫做二项式系数，而某一项的系数是指此项中除字母外的部分，如(1＋2x)3的二项展开式中第3项的二项式系数为C，而该项的系数为C×22＝12.。

高中数学第一章计数原理1.3二项式定理1.3.1二项式定理教案新人教A版选修2-3(2021年整理)

1．3.1 二项式定理教学目标知识与技能1．能用计数原理证明二项式定理；2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．过程与方法1．运用归纳的方法，经历多项式的展开由2到n的过程；2．引导学生借助计数原理与组合知识证明二项式定理．情感、态度与价值观1．培养学生的归纳思想、化归思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2．培养学生观察、归纳、发现的能力以及分析问题与解决问题的能力；3．培养学生的自主探究意识、合作精神，体验二项式定理的发现和创造历程，体会数学语言的简洁和严谨．培养学生从特殊到一般、从一般到特殊的认知能力．重点难点教学重点：用计数原理分析(a＋b)2的展开式，得到二项式定理．教学难点：用计数原理分析二项式的展开过程，发现二项式展开成单项式之和时各项系数的规律．错误!错误!我们已学过计数原理、排列、组合的有关概念和公式，请同学们回顾：(1）两个计数原理的内容是什么?（2)排列的定义与排列数公式是什么？(3）组合的定义与组合数公式是什么？活动设计:学生先独立回忆，必要时可以看书，也可以求助同学．活动结果：（板书)（1）分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1类方案中有m种不同的方法,在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法；分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法．（2)一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m个元素的一个排列．A错误!＝n（n－1）（n－2)…(n－m＋1)＝错误!.(3）一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．C m，n＝错误!＝错误!.设计意图：复习已经学过的计数原理、排列、组合的有关知识，让学生回顾认知基础，形成认知环境，为二项式定理的引入打下基础．提出问题:如何利用两个计数原理得到（a＋b）1,(a＋b)2，(a＋b）3的展开式？活动设计：教师提出问题，引导学生关注展开的两个步骤：（1)用乘法法则展开；(2)合并同类项．学生先独立思考,允许小组合作．活动成果：(a＋b)1＝a＋b(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2（a＋b）3＝（a＋b)2(a＋b)＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3设计意图：引导学生将（a＋b）2与（a＋b）3的展开式与两个计数原理联系起来，教师提醒学生，用计数原理分析展开式的项数，应当分析项中的字母是如何选取的,并引导学生分析同类项的个数，得到展开式的系数．错误!(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)（a＋b)(a＋b)的展开式各项都是4次式，即展开式的各项应该具有如下形式：a4,a3b，a2b2，ab3，b4.提出问题1:(1)以a2b2项为例，有几种情况相乘均可得到a2b2项？这里的字母a，b各来自哪个括号？（2)既然以上字母a，b分别来自4个不同的括号，a2b2项的系数你能用组合数来表示吗?（3）你能将问题(2)所述的意思改编成一个排列组合的命题吗?活动设计：学生自由发言．活动成果：有4个括号，每个括号中有两个字母，一个是a、一个是b。

高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理教案新人教A版选修2

1.3.1二项式定理【教学目标】（1）理解用组合的知识推导二项式定理；（2）理解通项的意义并会灵活应用通项,能区分项的系数与二项式系数的不同；（3）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.（4）充分体验归纳推理不仅可以猜想到一般性的结果，而且可以启发我们发现一般性问题的解决方法。

【教学重点】二项式定理及通项公式的掌握及运用【教学难点】二项式定理及通项公式的掌握及运用第一课时一、复习引入：⑴22202122222()2a b a ab b C a C ab C b +=++=++；⑵33223031222333333()33a b a a b ab b C a C a b C ab C b +=+++=+++⑶4()()()()()a b a b a b a b a b +=++++的各项都是4次式，即展开式应有下面形式的各项：4a ，3a b ，22a b ，3ab ，4b ，展开式各项的系数：上面4个括号中，每个都不取b 的情况有1种，即04C 种，4a 的系数是04C ；恰有1个取b 的情况有14C 种，3a b 的系数是14C ，恰有2个取b 的情况有24C 种，22a b 的系数是24C ，恰有3个取b 的情况有34C 种，3ab 的系数是34C ，有4都取b 的情况有44C 种，4b 的系数是44C ，∴40413222334444444()a b C a C a b C a b C a b C b +=++++．二、讲解新课：二项式定理：01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈⑴()n a b +的展开式的各项都是n 次式，即展开式应有下面形式的各项：n a ，n a b ，…，n r r a b -，…，n b ，⑵展开式各项的系数：每个都不取b 的情况有1种，即0n C 种，n a 的系数是0n C ；恰有1个取b 的情况有1n C 种，n a b 的系数是1n C ，……，恰有r 个取b 的情况有r n C 种，n r r a b -的系数是r n C ，……，有n 都取b 的情况有n n C 种，n b 的系数是n n C ， ∴01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈，这个公式所表示的定理叫二项式定理，右边的多项式叫()n a b +的二项展开式，⑶它有1n +项，各项的系数(0,1,)r n C r n =叫二项式系数， ⑷r n r r n C a b -叫二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项1r n r r r n T C a b -+=．⑸二项式定理中，设1,a b x ==，则1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++三、讲解范例：例1．展开41(1)x+．解一： 411233444411111(1)1()()()()C C C x x x x x +=++++23446411x x x x =++++．解二：4444413123444111(1)()(1)()1x x C x C x C x x x x⎡⎤+=+=++++⎣⎦ 23446411x x x x =++++．例2．展开6．解：6631(21)x x =- 61524332216666631[(2)(2)(2)(2)(2)(2)1]x C x C x C x C x C x x=-+-+-+ 32236012164192240160x x x x x x=-+-+-+．第二课时例3．求12()x a +的展开式中的倒数第4项解：12()x a +的展开式中共13项，它的倒数第4项是第10项，9129933939911212220T C x a C x a x a -+===．例4．求（1）6(23)a b +，（2）6(32)b a +的展开式中的第3项．解：（1）24242216(2)(3)2160T C a b a b +==，（2）24242216(3)(2)4860T C b a b a +==．点评：6(23)a b +，6(32)b a +的展开后结果相同，但展开式中的第r 项不相同例5．（1）求9(3x 的展开式常数项；（2）求9(3x +的展开式的中间两项解：∵399292199()33rr r r r r r x T C C x ---+==⋅，∴（1）当390,62r r -==时展开式是常数项，即常数项为637932268T C =⋅=；（2）9(3x +的展开式共10项，它的中间两项分别是第5项、第6项，489912593423T C x x --=⋅=，15951092693T C x --=⋅=第三课时例6．（1）求7(12)x +的展开式的第4项的系数；（2）求91()x x -的展开式中3x 的系数及二项式系数解：7(12)x +的展开式的第四项是333317(2)280T C x x +==，∴7(12)x +的展开式的第四项的系数是280．（2）∵91()x x -的展开式的通项是9921991()(1)r r r r r r r T C xC x x--+=-=-， ∴923r -=，3r =， ∴3x 的系数339(1)84C -=-，3x 的二项式系数3984C =．例7．求42)43(-+x x 的展开式中x 的系数分析：要把上式展开，必须先把三项中的某两项结合起来，看成一项，才可以用二项式定理展开，然后再用一次二项式定理，，也可以先把三项式分解成两个二项式的积，再用二项式定理展开解：（法一）42)43(-+x x 42]4)3[(-+=x x02412344(3)(3)4C x x C x x =+-+⋅22224(3)4C x x ++⋅3234444(3)44C x x C -+⋅+⋅，显然，上式中只有第四项中含x 的项，∴展开式中含x 的项的系数是76843334-=⋅⋅-C（法二）：42)43(-+x x 4)]4)(1[(+-=x x 44)4()1(+-=x x)(4434224314404C x C x C x C x C +-+-=0413222334444444(4444)C x C x C x C x C +⋅+⋅+⋅+⋅∴展开式中含x 的项的系数是34C -334444C +768-=．例8．已知()()nm x x x f 4121)(+++= *(,)m n N ∈的展开式中含x 项的系数为36，求展开式中含2x 项的系数最小值分析：展开式中含2x 项的系数是关于n m ,的关系式，由展开式中含x 项的系数为36，可得3642=+n m ，从而转化为关于m 或n 的二次函数求解解：()()1214m nx x +++展开式中含x 的项为1124m n C x C x ⋅+⋅=11(24)m n C C x + ∴11(24)36m n C C +=，即218m n +=， ()()1214m nx x +++展开式中含2x 的项的系数为 t =222224m n C C +222288m m n n =-+-，∵218m n +=， ∴182m n =-，∴222(182)2(182)88t n n n n =---+-216148612n n =-+23715316()44n n =-+，∴当378n =时，t 取最小值，但*n N ∈，∴ 5n =时，t 即2x 项的系数最小，最小值为272，此时5,8n m ==．第四课时课堂练习：1.求()623a b +的展开式的第3项.2.求()632b a +的展开式的第3项.3.写出n 33)x 21x (-的展开式的第r+1项.4.求()732x x +的展开式的第4项的二项式系数，并求第4项的系数.5.用二项式定理展开：（1）5(a ；（2）5.6.化简：（1）55)x 1()x 1(-++；（2）4212142121)x 3x 2()x 3x 2(----+7．()5lg x x x +展开式中的第3项为610，求x ．8．求nx x 21⎪⎭⎫⎝⎛-展开式的中间项答案：1. 262242216(2)(3)2160T C a b a b -+==2. 262224216(3)(2)4860T C b a a b -+==3. 2311(2r n rr n r r rr n n T C C x--+⎛⎫==- ⎪⎝⎭ 4.展开式的第4项的二项式系数3735C =，第4项的系数3372280C =5.（1）552(510105a a a a a b =++（2）515328x =.6. （1）552(1(122010x x +=++；（2）1111442222432(23)(23)192x x x x x x --+--=+7. ()5lg x x x +展开式中的第3项为232lg 632lg 551010xx C x x ++=⇒=22lg 3lg 50x x ⇒+-=5lg 1,lg 2x x ⇒==-10,x x ⇒== 8. nx x 21⎪⎭⎫ ⎝⎛-展开式的中间项为2(1)n n n C - 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

高中数学第一章计数原理 1.3.1 二项式定理学案(含解析)新人教A版选修23

1．3.1 二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.二项式定理及其相关概念1．二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项．(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，该项的二项式系数为C kn . (2)字母b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和b 的次数之和为n .(1)求(x ＋(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .(1)(x ＋2y )4＝C 04x 4＋C 14x 3(2y )＋C 24x 2(2y )2＋C 34x ·(2y )3＋C 44(2y )4＝x 4＋8x 3y ＋24x 2y 2＋32xy 3＋16y 4.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝n＝x n.1．(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝C 04(2x )4＋C 14(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 24(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 34(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 3－32x 24＝116x 8(4x 3－3)4＝116x 8＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－C 55＝5－1＝x 5－1.(1)在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项(2)(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (1)T k ＋1＝C k20(32x )20－k⎝⎛⎭⎪⎫－12k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k ·(32)20－k C k 20·x 20－k. ∵系数为有理数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k与2203k －均为有理数，∴k 能被2整除，且20－k 能被3整除．故k 为偶数，20－k 是3的倍数，0≤k ≤20， ∴k ＝2,8,14,20.(2)T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝C k 5(－1)kx5526k－，令52－5k 6＝0，得k ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. (1)A (2)－101．在通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k(n ∈N *，k ＝0,1,2,3，…，n )中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T k ＋1＝C k nx 3n k － (－3)kx3k －＝C k n(－3)kx3n k －.(1)∵第6项为常数项， ∴k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2k3∈Z ，k ≤10，k ∈Z.令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，即k ＝5－32r .∵k ∈Z ，∴r 应为偶数．于是r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x ＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8展开式中的倒数第3项就是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －2x 28展开式中第3项，T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8－2·(－2x 2)2＝112x 2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C kn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．1．(全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：102．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－22.二项式定理破解三项式问题求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25 ＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 5102532＝6322.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－15 B ．85 C ．－120D ．274解析：选A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4＝－15x 4，所以原式的展开式中，含x 4的项的系数为－15.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数是________．(用数字作答) 解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x )2，(1＋x )3，…，(1＋x )6中x 2的系数分别为C 22，C 23，…，C 26，所以原式的展开式中，x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 33＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝…＝C 37＝35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x ≠0，原式＝＋x7－＋xx，故只需求(1＋x )7中x 3的系数，即(1＋x )7的展开式中第4项的系数，即C 37＝35. 答案：351．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410解析：选D 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.答案：－160x 34.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．解析：T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第3项的系数和常数项．解：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第3项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.一、选择题1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析：选C T k ＋1＝C k24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x 3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26x2.解得112<x <15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9，所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2，令5－5k2＝0，解得k ＝2.∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k.令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.11 11．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。

高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理学案含解析

1．3.1 二项式定理问题1：我们在初中学习了(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，试用多项式的乘法推导(a＋b)3，(a ＋b)4的展开式．提示：(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.问题2：上述两个等式的右侧有何特点？提示：(a＋b)3的展开式有4项，每项的次数是3；(a＋b)4的展开式有5项，每一项的次数为4.问题3：你能用组合的观点说明(a＋b)4是如何展开的吗？提示：(a＋b)4＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)(a＋b)．由多项式的乘法法则知，从每个(a＋b)中选a或选b相乘即得展开式中的一项．若都选a，则得C04a4b0；若有一个选b，其余三个选a，则得C14a3b；若有两个选b，其余两个选a，则得C24a2b2；若都选b，则得C44a0b4.问题4：能用类比方法写出(a＋b)n(n∈N*)的展开式吗？提示：能，(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C n n b n.二项式定理及其相关概念1．二项展开式的特点(1)展开式共有n＋1项．(2)各项的次数和都等于二项式的幂指数n.(3)字母a的幂指数按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到为0，字母b 的幂指数按升幂排列，从第一项开始，次数由0逐项加1直到为n.2．二项展开式的通项公式的特点(1)它表示(a ＋b )n 的展开式的第k ＋1项，该项的二项式系数为C kn . (2)字母b 的次数与二项式系数的组合数的上标相同． (3)a 和b 的次数之和为n .(1)求(x ＋(2)化简：C 0n (x ＋1)n －C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .(1)(x ＋2y )4＝C 04x 4＋C 14x 3(2y )＋C 24x 2(2y )2＋C 34x ·(2y )3＋C 44(2y )4＝x 4＋8x 3y ＋24x 2y 2＋32xy 3＋16y 4.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝n＝x n.1．(a ＋b )n的二项展开式有n ＋1项，是和的形式，各项的幂指数规律是：①各项的次数等于n ；②字母a 按降幂排列，从第一项起，次数由n 逐项减1直到0；字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由0逐项加1直到n .2．逆用二项式定理可以化简多项式，体现的是整体思想．注意分析已知多项式的特点，向二项展开式的形式靠拢．1．求⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24的展开式．解：法一：⎝⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝C 04(2x )4＋C 14(2x )3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 2＋C 24(2x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 22＋C 34(2x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 23＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－32x 24＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －32x 24＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4x 3－32x 24＝116x 8(4x 3－3)4＝116x 8＝16x 4－48x ＋54x 2－27x 5＋8116x 8. 2．化简：(x －1)5＋5(x －1)4＋10(x －1)3＋10(x －1)2＋5(x －1)．解：原式＝C 05(x －1)5＋C 15(x －1)4＋C 25(x －1)3＋C 35(x －1)2＋C 45(x －1)＋C 55－C 55＝5－1＝x 5－1.(1)在⎝⎛⎭⎪⎫32x －1220的展开式中，系数是有理数的项共有( )A ．4项B ．5项C ．6项D ．7项(2)(浙江高考)设二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －13x 5的展开式中常数项为A ，则A ＝________. (1)T k ＋1＝C k20(32x )20－k⎝⎛⎭⎪⎫－12k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k ·(32)20－k C k 20·x 20－k. ∵系数为有理数， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫－22k与2203k －均为有理数，∴k 能被2整除，且20－k 能被3整除．故k 为偶数，20－k 是3的倍数，0≤k ≤20， ∴k ＝2,8,14,20.(2)T k ＋1＝C k5(x )5－k⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x k＝C k 5(－1)kx5526k－，令52－5k 6＝0，得k ＝3，所以A ＝－C 35＝－10. (1)A (2)－101．在通项公式T k ＋1＝C k n an －k b k(n ∈N *，k ＝0,1,2,3，…，n )中含有a ，b ，n ，k ，T k ＋1五个量，只要知道其中4个量，便可求出第5个量．在运用二项式定理解决展开式中的项或项的系数的一些问题时，常涉及这5个量的求解问题．这通常是化归为方程的问题来解决．2．对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；而对于有理项，一般是根据通项公式所得到的项，其所有的未知数的指数恰好是整数的项．已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n 的展开式中，第6项为常数项．(1)求n ；(2)求展开式中所有的有理项．解：通项公式为T k ＋1＝C k n x 3n k － (－3)kx3k －＝C k n(－3)kx3n k －.(1)∵第6项为常数项， ∴k ＝5时，有n －2k3＝0，即n ＝10.(2)根据通项公式，由题意得⎩⎨⎧10－2k3∈Z ，k ≤10，k ∈Z.令10－2k 3＝r (r ∈Z)，则10－2k ＝3r ，即k ＝5－32r .∵k ∈Z ，∴r 应为偶数．于是r 可取2,0，－2，即k 可取2,5,8.故第3项、第6项与第9项为有理项，它们分别为 C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x －2.在⎝⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式中，求： (1)第5项的二项式系数及第5项的系数； (2)倒数第3项．法一：利用二项式的展开式解决．(1)⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8＝(2x 2)8－C 18(2x 2)7·13x ＋C 28(2x 2)6·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 2－C 38(2x 2)5·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 3＋C 48(2x 2)4·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 4－C 58(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 5＋C 68(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6－C 78(2x 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 7＋C 88⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8，则第5项的二项式系数为C 48＝70，第5项的系数为C 48·24＝1 120.(2)由(1)中⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8的展开式可知倒数第3项为C 68·(2x 2)2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 6＝112x 2. 法二：利用二项展开式的通项公式．(1)T 5＝C 48·(2x 2)8－4·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 4＝C 48·24·x 203，则第5项的二项式系数是C 48＝70，第5项的系数是C 48·24＝1 120.(2)展开式中的倒数第3项即为第7项，T 7＝C 68·(2x 2)8－6·⎝⎛⎭⎪⎪⎫－13x 6＝112x 2.1．本例第(2)问也可转化为求另一二项展开式的某些项，即在⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫2x 2－13x 8展开式中的倒数第3项就是⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x －2x 28展开式中第3项，T 3＝C 28·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13x 8－2·(－2x 2)2＝112x 2.2．要注意区分二项式系数与指定某一项的系数的差异，前者只与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，它是一个组合数C kn ；后者与二项式、二项式的指数及项的字母和系数均有关．1．(全国乙卷)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案) 解析：(2x ＋x )5展开式的通项为T r ＋1＝C r 5(2x )5－r (x )r ＝25－r ·C r5·x 5－r 2. 令5－r2＝3，得r ＝4.故x 3的系数为25－4·C 45＝2C 45＝10.答案：102．(山东高考)若⎝⎛⎭⎪⎫ax 2＋1x 5的展开式中x 5的系数是－80，则实数a ＝________. 解析：T r ＋1＝C r5·(ax 2)5－r⎝ ⎛⎭⎪⎫1x r ＝C r 5·a 5－rx 10－52r .令10－52r ＝5，解得r ＝2.又展开式中x 5的系数为－80，则有C 25·a 3＝－80，解得a ＝－2.答案：－22.二项式定理破解三项式问题求⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25的展开式的常数项．法一：由二项式定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ＋25 ＝C 05·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 5＋C 15·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2＋C 25·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 3·(2)2＋C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3＋C 45·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x ·(2)4＋C 55·(2)5.其中为常数项的有：C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 4·2中的第3项：C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2； C 35·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1x 2·(2)3中的第2项：C 35C 12·12·(2)3；展开式的最后一项C 55·(2)5.综上可知，常数项为C 15C 24·⎝ ⎛⎭⎪⎫122·2＋C 35C 12·12·(2)3＋C 55·(2)5＝6322.法二：原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋22x ＋22x 5＝132x5·5＝132x5·(x ＋2)10. 求原式中展开式的常数项，转化为求(x ＋2)10的展开式中含x 5的项的系数，即C 510·(2)5.所以所求的常数项为C 5102532＝6322.解决三项式问题有两种方法：方法一，反复利用二项式定理，先把三项式中的某两项视为一项，用二项式定理展开，然后再利用二项展开式求解．方法二，转化为二项式．转化为二项式常见的有两种形式：三项式恰好是二项式的平方，则可转化为二项式定理求解，三项式可分解因式，则转化为两个二项式的积的形式．利用二项式定理求特定项，注意下列题型的变化．⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x (1－x )4的展开式中x 的系数是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．12解析：选C 根据题意，所给式子的展开式中含x 的项有(1－x )4展开式中的常数项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的x 以及(1－x )4展开式中的含x 2的项乘⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋x 中的2x 两部分，所以所求系数为1×2＋1＝3，故选C.在(x －1)(x －2)(x －3)(x －4)(x －5)的展开式中，含x 4的项的系数是( ) A ．－15 B ．85 C ．－120D ．274解析：选A 根据分类加法、分步乘法计数原理，得－5x 4－4x 4－3x 4－2x 4－x 4＝－15x 4，所以原式的展开式中，含x 4的项的系数为－15.在(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )6的展开式中，x 2的系数是________．(用数字作答) 解析：法一(转化为二项式定理解决)：(1＋x )2，(1＋x )3，…，(1＋x )6中x 2的系数分别为C 22，C 23，…，C 26，所以原式的展开式中，x 2的系数为C 22＋C 23＋…＋C 26＝C 33＋C 23＋…＋C 26＝C 34＋C 24＋…＋C 26＝…＝C 37＝35.法二(利用数列求和方法解决)：由题意知1＋x ≠0，原式＝＋x7－＋xx，故只需求(1＋x )7中x 3的系数，即(1＋x )7的展开式中第4项的系数，即C 37＝35. 答案：351．在(x －3)10的展开式中，含x 6的项的系数是( ) A ．－27C 610 B ．27C 410 C ．－9C 610D ．9C 410解析：选D 含x 6的项是T 5＝C 410x 6(－3)4＝9C 410x 6. 2．(1＋x )8(1＋y )4的展开式中x 2y 2的系数是( ) A ．56 B ．84 C ．112D ．168解析：选D (1＋x )8的展开式中x 2的系数为C 28，(1＋y )4的展开式中y 2的系数为C 24，所以x 2y 2的系数为C 28C 24＝168.3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．解析：由n ＝6知中间一项是第4项，因T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.答案：－160x 34.⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．解析：T k ＋1＝C k9·(x 2)9－k·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.答案：84 －2125．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第3项的系数和常数项．解：T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第3项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k ·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0得k ＝3，所以常数项为T 4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.一、选择题1．二项式(a ＋b )2n的展开式的项数是( ) A ．2n B ．2n ＋1 C ．2n －1D ．2(n ＋1)解析：选B 根据二项式定理可知，展开式共有2n ＋1项．2．化简多项式(2x ＋1)5－5(2x ＋1)4＋10(2x ＋1)3－10(2x ＋1)2＋5(2x ＋1)－1的结果是( )A ．(2x ＋2)5B ．2x 5C ．(2x －1)5D ．32x 5解析：选D 原式＝5＝(2x )5＝32x 5.3．在⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋13x 24的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有( ) A ．3项 B ．4项 C ．5项D ．6项解析：选C T k ＋1＝C k24·x 24－k 2·x －k 3＝C k 24·x 12－56k ，则k ＝0,6,12,18,24时，x 的幂指数为整数．4．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 3＋1x 2n (n ∈N *)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )A ．3B ．5C ．8D ．10解析：选B T k ＋1＝C kn (2x 3)n －k⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2k ＝2n －k ·C k n x 3n －5k .令3n －5k ＝0，∵0≤k ≤n ， ∴n 的最小值为5.5．对于二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n (n ∈N *)，有以下四种判断：①存在n ∈N *，展开式中有常数项； ②对任意n ∈N *，展开式中没有常数项； ③对任意n ∈N *，展开式中没有x 的一次项； ④存在n ∈N *，展开式中有x 的一次项．其中正确的是( ) A ．①与③ B ．②与③ C ．②与④D ．①与④解析：选D 二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫1x＋x 3n 的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k n x 4k －n，由通项公式可知，当n ＝4k (k ∈N *)和n ＝4k －1(k ∈N *)时，展开式中分别存在常数项和一次项．二、填空题6．若(1＋2x )6的展开式中的第2项大于它的相邻两项，则x 的取值范围是________．解析：由{ T 2>T 1，T 2>T 3，得{ C 162x >1，162x >C 26x2.解得112<x <15.答案：⎝⎛⎭⎪⎫112，157．(1＋x ＋x 2)(1－x )10的展开式中含x 4的项的系数为________．解析：因为(1＋x ＋x 2)(1－x )10＝(1＋x ＋x 2)(1－x )·(1－x )9＝(1－x 3)(1－x )9，所以展开式中含x 4的项的系数为1×C 49(－1)4＋(－1)×C 19(－1)＝135.答案：1358．230＋3除以7的余数是________．解析：230＋3＝(23)10＋3＝810＋3＝(7＋1)10＋3＝C 010·710＋C 110·79＋…＋C 910·7＋C 1010＋3＝7×(C 010·79＋C 110·78＋…＋C 910)＋4，所以230＋3除以7的余数为4.答案：4 三、解答题9．已知在⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x 2n 的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比为56∶3，求展开式中的常数项．解：T 5＝C 4n (x )n －424x －8＝16C 4n xn －202，T 3＝C 2n (x )n －222x －4＝4C 2n x n －102.由题意知，16C 4n 4C 2n ＝563，解得n ＝10.T k ＋1＝C k 10(x )10－k 2k x －2k ＝2k C k10x 10－5k2，令5－5k2＝0，解得k ＝2.∴展开式中的常数项为C 21022＝180.10．在⎝⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式中，求：(1)第3项的二项式系数及系数； (2)含x 2的项．解：(1)第3项的二项式系数为C 26＝15，又T 3＝C 26(2x )4⎝⎛⎭⎪⎫－1x 2＝24·C 26x ，所以第3项的系数为24C 26＝240. (2)T k ＋1＝C k6(2x )6－k⎝⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k 26－k C k 6x 3－k.令3－k ＝2，得k ＝1. 所以含x 2的项为第2项，且T 2＝－192x 2.11．已知在⎝⎛⎭⎪⎫12x 2－1x n 的展开式中，第9项为常数项．求： (1)n 的值；(2)展开式中x 5的系数；(3)含x 的整数次幂的项的个数．解：二项展开式的通项为T k ＋1＝C kn ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2n －k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k ＝(－1)k ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －k C k n x 522n k －. (1)因为第9项为常数项，即当k ＝8时，2n －52k ＝0，解得n ＝10. (2)令2n －52k ＝5，得k ＝25(2n －5)＝6，所以x 5的系数为(－1)6⎝ ⎛⎭⎪⎫124C 610＝1058. (3)要使2n －52k ，即40－5k 2为整数，只需k 为偶数，由于k ＝0,1,2,3，…，9,10，故符合要求的有6项，分别为展开式的第1,3,5,7,9,11项．。

高中数学第一章计数原理1.3.1二项式定理1学案无答案新人教A版

1.3.1 二项式定理(1)【学习目标】1.能从特殊到一般理解二项式定理；2.熟练运用通项公式求二项展开式中指定的项(如常数项,有理项)；3.能正确区分项,项的系数,项的二项式系数等概念；【能力目标】提高分析问题和解决问题的能力，会利用二项式定理解决与之相关的问题。

【重点难点】1.能用计数原理证明二项式定理；2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式；3.能解决与二项式定理有关的简单问题；【学法指导】要耐心和细心的理解二项式定理的内容和作用及应用范围。

【学习过程】一.【课前预习】阅读教材P29-P311.当2,3,4n =时,写出()na b +的展开式 2()a b +=222a ab b ++3()a b += 322333a a b ab b +++4()a b += 432234464a a b a b ab b ++++2.二项式定理:①公式()na b +=01122211n n n k n k k n n n n n n n n n n C a C a b C a b C a b C ab C b -----+++++++②012,,,,n n n n nC C C C 叫做二项式系数. ③k n k k n C a b -叫做二项展开式的通项,用1k T +表示,它表示展开式的第1k +项是: 1k n k k k n T C a b -+=. 3.在二项式定理中,令1,a b x ==,,则(1)n x +=122111k k n n n n n n n n n C x C x C x C x C x --+++++++ .提示：①二项展开式中的字母a ，b 不能交换位置，虽然()n a b +与()n b a +结果相同，但()n a b +与()n b a +的展开式是有区别的，二者的展开式中的项的排列顺序是不同的.②二项式系数r n C 与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数仅与二项式的指数及项数有关，与二项式无关，项的系数与二项式、二项式的指数及项数均有关.二．【课堂学习与研讨】1.二项式定理内容：()n a b +的展开式是：()n a b +=01122211n n n k n k k n n n n n n n n n n C a C a b C a b C a b C ab C b -----+++++++2.定理的证明：()n a b +是n 个()a b +相乘，每个()a b +在相乘时有两种选择，选a 或选b 。

2018年秋高中数学第一章计数原理 1.3 二项式定理 1.3.1 二项式定理学案新人教A版选

1.3.1 二项式定理学习目标：1.能用计数原理证明二项式定理．(一般)2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式．(重点)3.能解决与二项式定理有关的简单问题．(重点、难点)[自主预习·探新知]1．二项式定理(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋C2n a n－2b2＋…＋C k n a n－k b k＋…＋C n n b n(n∈N*)．(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有n＋1项．(3)二项式系数：各项的系数C k n(k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．2．二项展开式的通项公式(a＋b)n展开式的第k＋1项叫做二项展开式的通项，记作T k＋1＝C k n a n－k b k.思考1：二项式定理中，项的系数与二项式系数有什么区别？[提示]二项式系数与项的系数完全是不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，C n n，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关，而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．思考2：二项式(a＋b)n与(b＋a)n展开式中第k＋1项是否相同？[提示]不同．(a＋b)n展开式中第k＋1项为C k n a n－k b k，而(b＋a)n展开式中第k＋1项为C k n b n－k a k.[基础自测]1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)(a＋b)n展开式中共有n项．( )(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响．( )(3)C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k项．( )(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同．( )[解析](1)×因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．(2)×因为二项式的第k＋1项C k n a n－k b k和(b＋a)n的展开式的第k＋1项C k n b n－k a k是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．(3)×因为C k n a n－k b k是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．(4)√因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C r n.[答案](1)×(2)×(3)×(4)√2．(x＋1)n的展开式共有11项，则n等于( )【导学号：95032072】A．9 B．10C．11 D．12B [由二项式定理的公式特征可知n ＝10.]3．(y －2x )8展开式中的第6项的二项式系数为( ) A ．C 68 B ．C 58(－2)5C ．C 58D ．C 68(－2)6C [由题意可知：T k ＋1＝C k 8y8－k(－2x )k＝C k8·(－2)k x k y8－k当k ＝5时，二项式系数为C 58.]4．化简：(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝________.【导学号：95032073】x 4 [(x －1)4＋4(x －1)3＋6(x －1)2＋4(x －1)＋1＝[(x －1)＋1]4＝x 4][合作探究·攻重难](1)求⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 的展开式．(2)化简：C 0n (x ＋1)n－C 1n (x ＋1)n －1＋C 2n (x ＋1)n －2－…＋(－1)k C k n (x ＋1)n －k＋…＋(－1)n C nn .[思路探究] (1)解答本题先将x 看成a ，－12x看成b ，利用二项式定理展开，也可以先将⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4化简后再展开．(2)可先把x ＋1看成一个整体，分析结构形式，逆用二项式定理求解．[解] (1)法一：⎝⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝C 04(x )4－C 14(x )3·12x＋C 24(x )2·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－C 34x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 4＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.法二：⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12x 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 4＝116x 2(2x －1)4＝116x2(16x 4－32x 3＋24x 2－8x ＋1) ＝x 2－2x ＋32－12x ＋116x 2.(2)原式＝C 0n (x ＋1)n ＋C 1n (x ＋1)n －1(－1)＋C 2n (x ＋1)n －2(－1)2＋…＋C k n (x ＋1)n －k(－1)k＋…＋C nn (－1)n＝[(x ＋1)＋(－1)]n＝x n.1．(1)求二项式⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4的展开式；(2)化简(x －2)5＋5(x －2)4＋10(x －2)3＋10(x －2)2＋5(x －2)．[解] (1)⎝⎛⎭⎪⎫3x －1x 4＝C 04(3x )4＋C 14(3x )3⎝⎛⎭⎪⎫－1x ＋C 24(3x )2⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 2＋C 34(3x )⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＋C 44⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 4＝81x 2－108x ＋54－12x ＋1x2.(2)原式＝C 05(x －2)5＋C 15(x －2)4＋C 25(x －2)3＋C 35(x －2)2＋C 45(x －2)＋C 55(x －2)0－1 ＝[(x －2)＋1]5－1＝(x －1)5－1.已知二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x(1)求展开式第4项的二项式系数， (2)求展开式第4项的系数， (3)求第4项.【导学号：95032074】[思路探究] 利用二项式定理的展开式中某一项[解] 由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x 6的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6(2x )6－k ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x k＝C k 626－k (－1)k·x 6－3k2 (k ＝0,1,2，…，6) (1)展开式第4项的二项式系数为C 36＝20.(2)展开式第4项的系数为C 36·23·(－1)3＝－160. (3)展开式的第4项为T 4＝－160x －32.2．已知⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2x n展开式中第三项的系数比第二项的系数大162.(1)求n 的值；(2)求展开式中含x 3的项，并指出该项的二项式系数．[解] (1)因为T 3＝C 2n (x )n －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2＝4C 2n x n －62，T 2＝C 1n (x )n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x ＝－2C 1n x n －32，依题意得4C 2n ＋2C 1n ＝162，所以2C 2n ＋C 1n ＝81，所以n 2＝81，n ＝9.(2)设第k ＋1项含x 3项，则T k ＋1＝C k 9(x)9－k⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x k＝(－2)k C k9x 9－3k 2，所以9－3k 2＝3，k＝1，所以第二项为含x 3的项：T 2＝－2C 19x 3＝－18x 3.二项式系数为C 19＝9.1．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项．[提示] 利用二项展开式的通项C k 4x 4－k·1xk ＝C k 4x 4－2k求解，令4－2k ＝0，则k ＝2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 4展开式中的常数项为C 24＝4×32＝6.2．(a ＋b )(c ＋d )展开式中的每一项是如何得到的？[提示] (a ＋b )(c ＋d )展开式中的各项都是由a ＋b 中的每一项分别乘以c ＋d 中的每一项而得到．3．如何求⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项？[提示] ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项是由x ＋1x 中的x 与1x分别与(2x ＋1)3展开式中常数项C 33＝1及x 2项C 1322x 2＝12x 2分别相乘再把积相加得x ·C 33＋1x·C 13(2x )2＝x ＋12x ＝13x .即⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x (2x ＋1)3展开式中含x 的项为13x. 已知在⎝⎛⎭⎪⎪⎫3x －33x n的展开式中，第6项为常数项． (1)求n ；(2)求含x 2项的系数； (3)求展开式中所有的有理项.【导学号：95032075】[思路探究] 写出通项T r ＋1→令r ＝5，x 的指数为零 →求出n 值→修正通项公式→求x 2项的系数→考察x 指数为整数→分析求出k 值 →写出有理项[解] 通项公式为：T r ＋1＝C r n xn －r3 (－3)r x －r3＝C r n (－3)rx n －2r 3. (1)∵第6项为常数项， ∴r ＝5时，有n －2r3＝0，即n ＝10.(2)令10－2r 3＝2，得r ＝12(10－6)＝2，∴所求的系数为C 210(－3)2＝405.(3)由题意得，令10－2r3＝k (k ∈Z )，则10－2r ＝3k ，即r ＝5－32k .∵r ∈Z ，∴k 应为偶数，k ＝2,0，－2，即r ＝2,5,8，所以第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C 210(－3)2x 2，C 510(－3)5，C 810(－3)8x－2.即405x 2，－61 236,295 245x －2.3．(1)在(1－x 3)(1＋x )10的展开式中，x 5的系数是________．(2)若⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26展开式的常数项为60，则常数a 的值为________．(1)207 (2)4 [(1)x 5应是(1＋x )10中含x 5项、含x 2项分别与1，－x 3相乘的结果， ∴其系数为C 510＋C 210(－1)＝207.(2)⎝⎛⎭⎪⎫x －a x 26的展开式的通项是T k ＋1＝C k 6x 6－k· (－a )k x－2k＝C k 6x6－3k(－a )k，令6－3k ＝0，得k ＝2，即当k ＝2时，T k ＋1为常数项，即常数项是C 26a ，根据已知得C 26a ＝60，解得a ＝4.][当堂达标·固双基]1．(x －2)10展开式中x 6项的二项式系数为( )A ．－C 410 B ．C 410 C ．－4C 410D ．4C 410B [含x 6项为展开式中第五项，所以二项式系数为C 410.] 2．(1＋2x )5的展开式中，x 2的系数等于( )【导学号：95032076】A ．80B ．40C ．20D ．10B [(1＋2x )5的展开式的通项为T r ＋1＝C r5(2x )r＝2r C r5·x r，令r ＝2，得22×C 25＝4×10＝40，故选B.]3．在⎝⎛⎭⎪⎫2x 2－1x 6的展开式中，中间项是________．－160x 3[由n ＝6知中间一项是第4项，因为T 4＝C 36(2x 2)3·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x 3＝C 36·(－1)3·23·x 3，所以T 4＝－160x 3.]4．在⎝⎛⎭⎪⎫x 2－12x 9的展开式中，第4项的二项式系数是________，第4项的系数是________．84 －212 [T k ＋1＝C k 9·(x 2)9－k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k·C k 9·x 18－3k ，当k ＝3时，T 4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－123·C 39·x 9＝－212x 9，所以第4项的二项式系数为C 39＝84，项的系数为－212.]5．求⎝⎛⎭⎪⎫x 3＋23x 25的展开式的第三项的系数和常数项. 【导学号：95032077】[解] T 3＝C 25(x 3)3⎝⎛⎭⎪⎫23x 22＝C 25·49x 5，所以第三项的系数为C 25·49＝409.通项T k ＋1＝C k 5(x 3)5－k⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 2k＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23k·C k 5x 15－5k ，令15－5k ＝0，得k ＝3，所以常数项为T4＝C 35(x 3)2·⎝⎛⎭⎪⎫23x 23＝8027.。

高中数学 第一章 计数原理 1.3.1 二项式定理学案(无答案)新人教A版选修2-3

高中数学 第一章 计数原理 1.3 二项式定理教学设计 新人教A版选修2-3(2021年整理)