求数列通项公式的11种方法

求数列通项公式的十一种方法

一、累加法

1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥，则

21321(1)

(2)

()

n n a a f a a f a a f n +-=-=-

=

两边分别相加得 111

()n

n k a a f n +=-=

∑

例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则

11232211

2

()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1

2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1

2

(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-++

+⨯++⨯++=-+-++++-+-=+-+=-++=

所以数列{}n a 的通项公式为2

n a n =。

例2 已知数列{}n a 满足112313n

n n a a a +=+⨯+=，，求数列{}n a 的通项公式。

解法一：由1231n n n a a +=+⨯+得1231n

n n a a +-=⨯+则

11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3

2(3333)(1)3

3(13)2(1)3

13

331331

n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=⨯++⨯+++⨯++⨯++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-

所以3 1.n

n a n =+-

解法二：13231n n n a a +=+⨯+两边除以1

3n +，得

11

121

3333

n n n n n a a +++=++， 则

111

21

3333n n n n n a a +++-=+

，故 11223

211

223

2111122122()()()(

)33333333

212121213

()()()()3333333332(1)11111()1

333333

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++

因此11

(13)2(1)211

3133133223

n n n n n

a n n ---=++=+--⨯， 则211

33.322

n n n a n =

⨯⨯+⨯- 练习1.已知数列{}

n a 的首项为1，且*12()n n a a n n

N +=+∈写出数列{}

n a 的通项公式.

答案：12

+-n n

练习

2.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()

1(1

1≥-+

=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.

答案：裂项求和 n

a n 12-

= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项

n

a .

①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;

③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和;

④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 例3.已知数列}{n a 中, 0>n a 且)(21n

n n a n

a S +=

,求数列}{n a 的通项公式. 解:由已知)(21n n n a n a S +=

得)(211

1---+-=n n n n n S S n

S S S , 化简有n S S n n =--212,由类型(1)有n S S n ++++= 322

12,

又11a S =得11=a ,所以2

)

1(2

+=

n n S n ,又0>n a ,2)1(2+=n n s n ,

则2

)

1(2)1(2--+=

n n n n a n

此题也可以用数学归纳法来求解.

二、累乘法

1.适用于： 1()n n a f n a += ----------这是广义的等比数列 累乘法是最基本的二个方法之二。

2．若

1()n n a f n a +=，则31212(1)(2)()n n

a a

a

f f f n a a a +===，，， 两边分别相乘得，1

11

1()n

n k a a f k a +==⋅∏ 例4 已知数列{}n a 满足112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，求数列{}n a 的通项公式。

解：因为112(1)53n

n n a n a a +=+⨯=，，所以0n a ≠，则

1

2(1)5n n n

a n a +=+，故1

32

112

21

12211(1)(2)21

(1)1

2

[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53

32

5

!

n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=

⋅⋅⋅

⋅⋅=-+-+⋅⋅+⨯+⨯⨯=-⋅⋅⨯⨯⨯=⨯⨯⨯

所以数列{}n a 的通项公式为(1)1

2

32

5

!.n n n n a n --=⨯⨯⨯