响应面法的理论与应用
box-behnken响应面法
box-behnken响应面法Box-Behnken响应面法是一种常用的响应面优化方法，它结合了中心组合设计和响应面分析的优点，在实验设计和优化中得到广泛应用。
下面我们将详细介绍Box-Behnken响应面法的原理和应用。
一、Box-Behnken 设计Box-Behnken设计是一种响应面实验设计方法，旨在用最少的实验次数，通过响应面分析找到最佳条件。
Box-Behnken设计由Box和Behnken于1960年提出，应用于多元响应表面优化设计，适用于多变量的响应函数模型。
Box-Behnken设计的特点是方便实现，易解释，可用于中等规模的设计，同时可以用于探究两个或三个因素的交互作用。
Box-Behnken设计通常使用正交设计来确定试验方案，设计中每个因素设3个水平，试验用到15个试验点，这是因为在15个点的设计下，Box-Behnken设备所有的变量之间可以实现二次模型。
在试验设计中，每个自变量有三个不同的水平，而因变量的响应由二次表面模型产生。
Box-Behnken响应面分析的原理是通过关注响应Surface上的关键点来确定最佳的参数配置。
通过测量响应Surface上的点，可以建立一个数学模型，以便为最佳操作条件提供数学解决方案。
在实践中，Box-Behnken响应面法广泛应用于化学、物理、工程等多个领域，主要应用于新产品开发、新工艺、新技术等领域。
Box-Behnken响应面法适用于形貌、结构等复杂的响应表面，还能够优化复杂的响应变量。
在制药业中，可以利用Box-Behnken响应面法设计和优化新的药品的制造过程。
在化学领域，Box-Behnken响应面法可以用于设计新的实验和优化新化学过程。
在食品和冶金工业等其他领域也有广泛的应用。
在实际应用中，Box-Behnken响应面法可以用于多种实验设计，包括中心组合设计、正交方阵等。
响应面分析帮助标识最适合的实验因素和最佳条件的组合，以及如何调整这些因素，以实现最大化响应变量。
响应面分析法讲解
对实验数据进行处理和分析是响应面分析法的重要环节。常见的数据
处理方法包括数据清洗、数据转换、数据分组等。
02 03
模型构建
通过数据分析，可以构建一个描述自变量和因变量之间关系的数学模 型。常用的模型包括线性回归模型、二次回归模型、多项式回归模型 等。
模型检验
为了检验模型的可靠性和准确性，需要进行一些检验。常见的检验方 法包括残差分析、拟合度检验、显著性检验等。
2023
响应面分析法讲解
目录
• 响应面分析法概述 • 响应面分析法技术原理 • 响应面分析法实施步骤 • 响应面分析法应用案例 • 响应面分析法优缺点及改进方向 • 响应面分析法未来发展趋势及展望
01
响应面分析法概述
定义与背景
响应面分析法是一种用于研究多个变 量对一个或多个输出变量的影响的分 析方法。
因素与水平
在实验设计中，需要确定研究因素及其水平。研究因素通常包括自变量和因变量，自变量 是实验中可以控制或改变的变量，因变量是需要预测或测定的变量。
实验误差控制
为了减少实验误差，需要采取一些措施来控制误差的来源，例如选择合适的实验设计、严 格控制实验条件、多次重复实验等。
数据分析原理
01
数据处理
案例三：分析化学反应过程
总结词
响应面分析法可用于分析化学反应过程中的各种因素对反应结果的影响，找出关键因素并进行优化。
详细描述
在化学反应过程中，响应面分析法可以通过设计实验方案，模拟各种因素（如温度、压力、浓度、催化剂等） 与反应结果之间的关系，找出关键因素并对反应过程进行优化，提高反应效率和产物质量。同时还可以用于研 究不同反应条件下的产物分布和副产物生成情况，为工业化生产提供理论支持。
响应面原理
响应面方法（Response Surface Methodology, RSM）是一种统计学优化技术，用于研究和优化多变量系统中输入变量与输出响应之间的关系。
在工程、化学、生物技术和许多其他领域，它被广泛应用于实验设计以确定最佳工艺条件或配方。
基本原理：
1. 模型构建：响应面法通过一系列精心设计的实验点来拟合一个二次多项式或其他类型的数学模型，该模型描述了输出响应（如产品质量特性、产量等）作为多个输入变量（如温度、压力、浓度等）函数的关系。
2. 试验设计：使用正交试验设计、中心复合设计（Central Composite Design, CCD）、Box-Behnken设计等统计试验设计方法选择一组试验条件，确保数据充分覆盖输入变量的空间，并且信息效率高。
3. 数据分析：对实验结果进行统计分析，建立响应面模型，这个模型通常是一个二阶多项式，可以直观地表示为三维或者更高维度曲面，显示不同因素组合下系统的性能变化。
4. 优化：基于响应面模型，利用优化算法寻找最优解，即确定使得目标响应达到最大或最小值时的输入变量设定值。
5. 验证：找到最优解后，还需要通过独立实验验证模型预测的准确性以及优化条件下的实际效果。
响应面法的一个重要应用是解决非线性问题，通过连续迭代和逐步增加试验数据点，最终能够得到近似于真实过程极限状态函数的模型，从而帮助工程师或科学家减少实验次数，快速有效地找到最优化的操作参数组合。
响应面法的理论与应用
引言
引言
在生物技术迅猛发展的时代，生物过程的优化对于提高产物的产量、质量和 生产效率具有至关重要的意义。响应面法是一种通过对生物过程各个参数进行优 化，实现目标产物高效合成的数值模拟方法。本次演示将介绍响应面法的基本原 理及其在生物过程优化中的应用案例，同时分析其局限性和未来发展方向。
响应面法的基本原理
应用响应面法进行试验设计与优化的步骤
4、执行实验：按照设计好的实验方案进行实验，并收集数据。 5、数据分析：使用统计方法对实验数据进行拟合，得到输入与输出之间的数 学模型。
应用响应面法进行试验设计与优化的步骤
6、模型验证：使用独立的数据集来验证模型的准确性，以确保它能够准确地 预测未来的实验结果。
响应面法的局限性和未来发展方 向
响应面法的局限性和未来发展方向
虽然响应面法在生物过程优化中取得了显著成果，但仍存在一些局限性，如 对模型的过度拟合和对实际生物过程的简化等。为了克服这些局限性，未来研究 方向包括：
响应面法的局限性和未来发展方向
1、完善模型的可信度和鲁棒性：通过对模型进行交叉验证和敏感性分析等方 法，提高模型的预测能力和稳定性。
参考内容
引言
引言
在科学研究和工业生产中，试验设计与优化是一项至关重要的任务。好的试 验设计可以有效地减少误差、提高效率，从而帮助我们更好地理解并优化复杂的 系统。响应面法是一种常用的试验设计方法，它通过构建一个数学模型来描述输 入参数与输出结果之间的关系。在许多领域，如化学、生物、工程等，响应面法 都得到了广泛的应用。本次演示将探讨响应面法在试验设计与优化中的应用。
总结与展望
3、考虑非线性关系：在现实世界中，许多现象之间的关系可能是非线性的。 未来的研究可以更多地非线性关系的处理方法，以提高响应面法的适用性和解释 力。
响应面分析法讲解
01
对实验数据进行整理，包括数据的平均值、标准差、方差等。
数据分析
02
采用合适的统计方法对实验数据进行处理和分析，如回归分析
、方差分析等。
结果解释
03
根据数据分析结果，解释实验因素对实验结果的影响，确定各
因素之间的交互作用。
模型构建步骤
模型选择
根据实验目的和数据分析结果 ，选择合适的数学模型进行拟
响应面分析法在多个领域都有广泛的应用，如化学、生物、医学、材料科学等。
响应面分析法可以用于解决多变量问题，通过实验设计和数据分析，可以找到多个 变量之间的相互作用和影响。
对未来发展的展望
响应面分析法在未来的发展中，将会更加注重实验设计和数据分析的智 能化和自动化。
随着计算机技术和人工智能的发展，响应面分析法将会更加高效和精确 ，能够更好地解决复杂的多变量问题。
响应面分析法讲解
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目录
• 响应面分析法概述 • 响应面分析法的基本原理 • 响应面分析法的实施步骤 • 响应面分析法的优缺点分析 • 响应面分析法的应用案例展示 • 总结与展望
01
响应分析法概述
定义与特点
定义
响应面分析法是一种用于探索和优化 多变量系统的方法，通过构建一个响 应面来描述系统输出与输入变量之间 的关系。
03
响应面分析法的实施步骤
实验设计步骤
01
02
03
确定实验因素
根据研究目的和实验条件 ，确定影响实验结果的主 要因素。
设计实验水平
为每个因素选择合适的水 平，通常采用正交实验设 计或Box-Behnken设计等 方法。
实验操作
按照设计的实验方案进行 实验操作，记录实验数据 。
响应面法优化设计
响应面法优化设计响应面法是一种用来优化设计的统计分析方法，它可以通过建立一个数学模型来预测和优化设计因素对响应变量的影响。
这个方法可以用于工程、制造和实验设计等领域，以实现更高的性能、更低的成本和更好的效果。
响应面法的基本原理是通过实验来收集数据，然后根据这些数据建立一个数学模型，该模型可以反映设计因素与响应变量之间的关系。
然后，使用统计分析方法来优化设计因素，以最大程度地提高响应变量的性能。
通过使用多个实验点，在不同的设计因素组合下收集数据，可以建立一个全面的模型来描述设计空间。
在实践中，响应面法通常使用设计矩阵来确定实验点的选择。
设计矩阵由一组列组成，每一列对应一个设计因素，每一行对应一个实验点。
通过在设计矩阵中选择适当的实验点，可以有效地探索设计空间并收集所需的数据。
然后，将实验数据与设计矩阵合并，使用最小二乘法或其他统计方法来拟合数学模型。
建立数学模型是响应面法的核心步骤。
常见的模型包括线性模型、二次模型和响应面模型等。
线性模型适用于简单的设计因素和响应变量之间的线性关系。
二次模型适用于非线性关系，并可以捕捉到有曲率的响应面。
响应面模型则可以更好地描述设计因素与响应变量之间的复杂关系。
一旦数学模型建立完成，可以使用优化算法来确定最佳的设计因素组合。
常用的优化算法包括梯度法、遗传算法和模拟退火算法等。
这些算法可以在设计空间中最大或最小响应变量的值，并确定最佳的设计因素组合。
优化结果可以用来指导实际的设计和制造过程，以实现更优异的性能。
总之，响应面法是一种有效的优化设计方法，可以通过建立数学模型来预测和优化设计因素对响应变量的影响。
通过使用多个实验点和统计分析方法，可以得到一个全面的模型来描述设计空间。
然后，通过使用优化算法，可以确定最佳的设计因素组合，以实现更高的性能和更好的效果。
这种方法在工程、制造和实验设计等领域具有广泛的应用价值。
响应面分析法讲解
响应面分析法讲解响应面分析法是一种常用的数学建模和优化方法，用于分析输入变量和输出变量之间的关系，并确定最优参数组合。
它是一种实验设计方法，通过对一系列试验数据进行回归分析，建立输入变量与输出变量之间的数学模型，从而预测最佳的输入参数组合，并对输出变量进行优化。
本文将对响应面分析法进行详细讲解。
1.设计试验矩阵：根据实际问题和研究目的，确定需要研究的输入变量和输出变量，并确定它们的取值范围。
然后使用设计试验软件，设计一组试验矩阵，包括输入变量的不同水平组合。
试验矩阵的设计要满足试验结果的可信度和可重复性。
2.进行实验：根据试验矩阵设计的参数组合，进行实验并记录输出变量的结果。
如果实验过程中存在误差和干扰，可以进行多次实验并取平均值，提高数据的准确性。
3.建立数学模型：根据实验数据，利用多元回归分析方法，建立输入变量和输出变量之间的数学模型。
常见的回归模型包括线性模型、二次模型、多次模型等。
选择合适的回归模型可以通过观察实验数据的散点图、残差图以及确定性系数等进行评估。
4.模型分析和优化：利用建立的数学模型，对模型进行参数估计和拟合，确定最佳参数组合，并对输出变量进行优化。
这一步可以通过数学方法进行求解，也可以通过计算机软件进行模拟和优化计算。
然而，响应面分析法也存在一些局限性。
首先，它基于一定的试验数据构建数学模型，模型的准确性和可靠性依赖于实验的设计和数据的质量。
其次，响应面分析法只能处理输入变量与输出变量之间的线性和二次关系，无法处理非线性和复杂的关系。
总之，响应面分析法是一种常用的优化方法，通过实验设计和数学建模，确定最优参数组合，并对输出变量进行优化。
它在科学研究和工程设计中具有广泛的应用，可以提高产品质量、改进生产工艺、优化制药工艺等。
在实际应用中，我们需要根据具体问题设置合适的试验矩阵，并选择合适数学模型进行分析和求解，以获得最佳的研究结果。
响应面法及其在食品工业中的应用
总之，响应面法作为实验设计和数据分析的重要工具，将在未来的食品工业中 发挥越来越重要的作用。通过不断的研究和发展，有望为食品工业的发展提供 更加全面和高效的支持。
参考内容
药学领域的研究与开发是医学科学领域的重要组成部分，其中药物设计和优化 是至关重要的环节。为了提高药物研发效率和优化药物治疗结构，人们不断探 索着各种方法和技术。其中，响应面法作为一种现代统计方法，在药学领域中 发挥了重要的作用。
2、设计实验方案：根据所选独立变量的范围和实验要求，设计合理的实验方 案，包括不同因素水平的组合和实验重复次数等。
3、实施实验：按照实验方案进 行实验，并收集数据。
4、拟合模型：利用收集到的数据，采用适当的数学模型进行拟合，通常采用 多项式回归模型。
5、优化模型：根据拟合模型的统计学性质和实际问题的需求，对模型进行优 化，包括模型假设、参数估计、误差分析等。
应用
在食品工业中，响应面法被广泛应用于以下方面：
1、优化工艺参数：食品加工过程中，工艺参数的选择对产品品质和生产效率 有重要影响。采用响应面法可以找到最佳的工艺参数组合，提高产品质量和生 产效率。例如，在面包生产中，通过响应面法优化烘焙温度和时间，可以提高 面包的口感和外观。
2、改善原料配方：食品原料配方的优化是提高产品性能和降低成本的关键。 响应面法可以通过构建数学模型，探索不同原料配比对产品品质的影响，找到 最优配方。例如，在巧克力制作中，通过响应面法调整可可脂、糖和其他原料 的配比，以获得最佳的口感和风味。
在这个案例中，响应面法的优点在于其能够综合考虑多个因素对结果的影响， 从而得到更全面的优化方案。然而，该方法也存在一定的局限性，例如模型的 准确性可能受到实验条件和数据质量的影响，而且在某些情况下可能存在最优 条件难以实现的问题。
中心组合设计响应面法
中心组合设计响应面法中心组合设计响应面法是一种用于优化工艺参数的实验设计方法，其基本思想是在实验过程中设置若干中心点，通过对中心点附近的实验数据进行回归分析，建立影响因素与响应变量的数学模型，进而进行工艺参数优化。
本文将详细介绍中心组合设计响应面法的原理、应用和优势。
中心组合设计响应面法的原理是在正交设计的基础上，将设计空间划分为中心点和边界点两部分。
中心组合设计的核心是在实验中设置一组实验点，包括中心点和边界点，使得实验数据能够充分覆盖整个设计空间。
通过对实验数据进行分析，可以建立工艺参数与响应变量的数学模型，从而找出最优工艺参数组合。
首先，需要确定实验参数的范围和步长。
范围的选择应该能够包括全部可能的取值，步长要足够小，确保能够捕捉到参数变化对响应变量的影响。
然后，根据正交设计的原理，确定实验的方案及实验点数量。
中心组合设计通过对实验点数据进行回归分析，可以建立工艺参数与响应变量的数学模型。
一般来说，常用的回归分析方法有多项式回归和响应面分析法。
对于多项式回归，可以通过拟合实验数据来建立工艺参数与响应变量之间的关系。
而响应面分析法则是通过拟合实验数据得到一个高度可预测的二次多项式模型，以此来优化工艺参数组合。
通过分析数学模型，可以找出最优的工艺参数组合。
这种方法可以有效地减少实验次数，节省时间和资源，提高实验效率。
此外，中心组合设计还可以考虑多个因素之间的交互作用，从而更全面地优化工艺参数。
中心组合设计响应面法在很多领域中都得到了广泛应用。
例如，在制药工艺中，可以通过响应面法来优化反应条件，提高产率和纯度；在化学工艺中，可以利用中心组合设计来优化反应参数，提高反应产率和选择性；在制造工艺中，可以通过中心组合设计来优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
中心组合设计响应面法的优势主要体现在以下几个方面。
首先，可以有效减少实验次数，节省时间和资源。
传统的试错法需要大量的试验，而中心组合设计可以通过建立数学模型来预测实验结果，从而减少试验次数。
一种新的结构可靠性计算方法—响应面法
一种新的结构可靠性计算方法—响应面法
响应面法是一种用于结构可靠性分析的新方法，有助于精确确定系统可靠性和控制强度。
它利用了响应面理论在可靠性计算中的优势，旨在扩展可靠性计算范围，增强可靠性计算
的准确性和速度，并提高传统可靠性技术的计算效率。
响应面法的基本思想是把复杂的可靠性计算问题转化为优化问题，采用响应面的性质来分
析复杂的可靠性函数，其中常用的优化技术可以更好地控制可靠性函数的复杂性和精度。
响应面法可以基于设计参数不同取值建立可靠性函数，并通过优化技术减少计算时间；可
以直接计算响应面方式来分析品质和可靠性之间的折中，从而控制可靠性等级。
此外，响
应面法可以降低参数变化的建模难度，更易于绘制全局函数形态，这样可以轻易分析最优
解和所采用的参数空间，从而提高结构可靠性分析的可靠性和稳定性，有效避免人为偏见。
响应面法是一种新的可靠性分析方法，它既可以扩大可靠性计算范围，又可以提高传统可
靠性计算方法的准确性、可靠性和可行性，应用于结构可靠性评估等方面效果显著。
因此，响应面法在可靠性计算中的应用前景是值得期待的。
响应面分析在设计实验中的应用
响应面分析在设计实验中的应用响应面分析（Response Surface Analysis）又称反应面分析，是一种应用数学方法探究多个自变量与一个因变量之间的关系，并通过建立统计模型来优化实验设计、预测响应值。
本文将从什么是响应面分析、响应面分析的步骤以及响应面分析在设计实验中的应用三个方面阐述响应面分析在设计实验中的应用。
一、什么是响应面分析响应面分析的基本思想是通过一系列实验观察和测量因变量Y在若干个自变量X的取值下的变化情况，建立样本观测数据与自变量之间的统计模型，进而确定实验的最优条件以获得期望的响应值。
在实际应用过程中，响应面分析常用于寻找多个因素对某个特定响应的最佳组合及其影响程度，以求达到最优响应值。
例如，响应面分析可以用于实验设计中的方案选择、优化、预测等方面。
二、响应面分析的步骤响应面分析的基本步骤包括确定自变量的范围和水平、设计试验方案、观测数据、建立响应面模型、检验模型、确定最优条件等。
因此，进行响应面分析应该依次完成以下步骤：确定自变量的范围和水平确定自变量的变化范围是响应面分析的第一步，这有助于确定探索范围。
自变量的水平应该设置到可能获得最大响应的范围。
这可以通过普查、案例分析、代替方法等方法确定。
设计试验方案设计优质的试验方案是实现决策结果优化的关键。
在响应面分析的试验设计中，需要考虑已知的自变量范围和水平，确定各个因素和响应变量之间的实验因素间关系图，并确定响应面模型的形式和分析方法等。
观测数据观测数据是响应面分析支持的基础。
在这一阶段，需要按照已经设计好的试验方案进行实验并记录数据。
在观测数据方面需要进行质量控制和数据分析，以保证数据得到很好的分析。
建立响应面模型响应面模型是对实验结果分析后的总结和表达。
其基本思想是根据已经观测到的数据，构建合适的回归模型。
常用的模型有一次到三次多项式、曲面、偏度-程度模型、正交多项式等。
建立的响应面模型要能够较好的适应实验数据的特征。
响应面法在试验设计中的应用
响应面法在试验设计中的应用
响应面法（Response Surface Methodology）是一种通过建立数学模
型来分析和优化试验结果的设计方法。
它结合了统计学和数学规划技术，
可以有效地寻找和优化响应变量与实验因素之间复杂关系。
1.响应面法可以用于建模和优化多因素、多响应变量的系统。
例如，
在制药工业中，研究人员可以使用响应面法来优化药品配方的多个指标，
如药物溶解度、制剂稳定性和环境友好性。
2.响应面法可以用于确定影响响应变量的关键因素和其最佳水平。
通
过构建数学模型，响应面法可以帮助研究人员确定对响应变量具有最大或
最小影响的因素，并确定这些因素的最佳水平。
3.响应面法可以用于寻找响应变量的最佳条件。
通过对响应变量的数
学模型进行优化，响应面法可以确定实验因素的最佳组合，以实现最佳的
响应变量表现。
4.响应面法可以用于研究因素之间的交互作用。
通过分析响应变量与
实验因素之间的非线性关系，响应面法可以揭示因素之间的相互作用模式，并帮助研究人员理解和优化这些交互作用。
总之，响应面法在试验设计中的应用具有重要意义。
它可以帮助研究
人员对复杂系统进行建模和优化，从而提高产品质量和工艺效率。
通过合
理设计实验和分析实验数据，响应面法可以为科学研究和工程问题的解决
提供有力的支持。
响应面法及软件中文教程
响应面法及软件中文教程响应面法是一种实验设计和分析方法，用于优化和预测实验结果。
它结合了统计学方法和数学建模，对实验因素进行多变量分析，确定最佳实验条件。
响应面法在工程、制造业、化学、食品科学等领域广泛应用。
在本文中，我将介绍响应面法的基本原理和步骤，并提供一些常用的响应面法软件的中文教程。
响应面法的基本原理是利用数学函数拟合实验数据，建立实验因素与响应变量之间的数学模型。
通过对模型进行分析，可以确定最优实验条件。
响应面法的一般步骤包括：确定实验因素和响应变量、设计实验矩阵、进行实验、拟合数据、优化实验条件。
在实验设计中，响应面法采用中心复合设计或Box-Behnken设计等方法，以保证实验结果的可靠性和有效性。
中心复合设计是一种常用的设计方法，可以通过选择合适的实验点，以最小的实验次数得到较好的实验效果。
Box-Behnken设计则是基于中心复合设计的改进，更适用于非线性模型的建立。
响应面法软件是应用响应面法进行实验设计和分析的重要工具。
以下是几种常用的响应面法软件及其中文教程：1. Design-Expert: Design-Expert是一种功能强大的实验设计和响应面分析软件。
它提供了多种实验设计方法和数学模型，能够满足不同实验要求。
Design-Expert软件的中文教程可以在其官方网站上找到，并提供了详细的操作指南和实例演练。
3. Minitab: Minitab是一种经典的统计分析软件，也可以用于响应面法分析。
它提供了丰富的实验设计和分析工具，包括中心复合设计和响应面优化等功能。
Minitab软件的中文教程可以在其官方网站上找到，并提供了一系列操作指南和实例演练。
以上只是几种常用的响应面法软件及其中文教程的简要介绍，希望可以帮助您更好地理解和应用响应面法。
在实际应用中，根据具体需求和实验条件，选择合适的软件并掌握其操作方法，将能够更高效地进行实验设计和数据分析，提高实验效果和优化结果。
响应面法用到的算法
响应面法用到的算法响应面法是一种常用的实验设计和分析方法，用于研究多个因素对实验结果的影响。
它通过建立数学模型来描述因素与响应之间的关系，并通过寻找最优的因素组合来优化实验结果。
在这篇文章中，我们将介绍响应面法的基本原理和常用的算法。
一、响应面法的基本原理响应面法的基本思想是通过设计一系列实验来观察因素对响应变量的影响，并建立数学模型来描述二者之间的关系。
常用的响应面法包括中心组合设计、Box-Behnken设计和三水平设计等。
在响应面法中，我们首先需要确定影响响应变量的因素及其水平，然后根据实验设计的原则确定实验方案。
实验数据收集完毕后，我们可以利用回归分析等方法建立数学模型，并通过优化算法寻找最优的因素组合。
最后，我们可以通过验证实验来验证模型的准确性。
二、常用的响应面法算法1. 中心组合设计中心组合设计是一种常用的响应面法实验设计方法。
它通过选取一组中心点和边界点，构建一组正交的实验组合。
中心组合设计可以用于研究因素对响应变量的线性和二次效应，并通过最小二乘法拟合回归模型。
2. Box-Behnken设计Box-Behnken设计是一种常用的响应面法实验设计方法，适用于三个因素的研究。
它通过选取一组中心点和边界点，构建一组正交的实验组合。
Box-Behnken设计可以用于研究因素对响应变量的线性和二次效应，并通过最小二乘法拟合回归模型。
3. 三水平设计三水平设计是一种常用的响应面法实验设计方法，适用于两个因素的研究。
它通过选取三个水平的实验组合，构建一组正交的实验组合。
三水平设计可以用于研究因素对响应变量的线性效应，并通过最小二乘法拟合回归模型。
三、响应面法的应用领域响应面法在许多领域都得到了广泛的应用。
例如，在工程领域中，响应面法可以用于优化工艺参数，提高产品质量和生产效率。
在药物研发领域中，响应面法可以用于优化药物配方，提高药物的疗效和稳定性。
在环境科学领域中，响应面法可以用于优化污水处理工艺，降低环境污染。
响应面方法
响应面方法响应面方法（ResponseSurfaceMethodology(RSM)）是经济学中一种重要的优化技术，它源于统计学中的回归分析。
它能以有效的方式对多元函数进行多自变量优化，以期达到某个最优的解。
响应面方法的基本思路是通过研究某个函数的自变量中的变化规律，从而探索函数的局部最优解。
响应面方法的基本原理为：在自变量的上下限范围内，以一定的数量和模型类型来发现函数响应的形状。
为了获得准确而有效的数据，我们需要对自变量进行大量的测试，以产生函数采样点，然后构建函数的数学模型，并基于模型估计函数局部最小值，从而找到最优解。
响应面方法在工程设计中的应用技术要求严格的数据采集和准确的函数建模。
传统的响应面方法用于寻找局部最优解，但是随着近几年来计算机性能的提高，有必要把响应面方法用于穷举法和全局最优算法，以实现全局最优优化。
响应面方法有多种形式，包括带曲线模型、经验法、最小二乘和全局搜索。
带曲线模型是最常用的响应面方法之一，它通常可以很好地模拟函数形状，并且可以实现局部最优优化。
经验法是基于函数采样点的拟合，其优点是计算速度快，缺点是模型拟合质量较低，并且发现最优解的精度也一般较低。
最小二乘法的有点是能够准确地拟合现有的数据，缺点是计算量大，容易陷入局部最优。
而全局搜索法则克服了局部搜索法因陷入局部最优而无法达到全局最优的缺点，但它的缺点是计算量大，且有时无法正确收敛。
响应面方法广泛应用于多元函数优化、工程设计、制造过程控制等多个领域，为解决多元函数优化问题提供了有效的方法。
从而提高优化效率，改善工程设计和制造过程控制的效果。
综上所述，响应面方法是一种重要的优化技术，它基于统计学方法，广泛应用于多元函数优化、工程设计、制造过程控制等多个领域，能有效地帮助我们达到最优解。
响应面法在实验设计中的应用
响应面法在实验设计中的应用在科学研究中，实验是最基础的研究手段之一。
为了让实验设计更加精准和高效，研究者需要有一定的实验设计和分析能力。
响应面法是一种常用的实验设计方法，能快速确定影响因素与响应值之间的关系，大大提高了实验设计的效率。
一、响应面法的基本概念响应面法是一种建立影响因素与响应值之间关系模型的方法。
在响应面法中，研究者首先选取一组实验方案，通过实验获得不同因素水平下的响应值，并建立影响因素与响应值之间关系的数学模型。
通过模型预测不同因素水平下的响应值，为优化实验条件提供指导。
二、响应面法的步骤响应面法的应用需要以下步骤：1. 确定实验因素和水平实验因素是影响响应值的因素，如温度、压力、pH值等。
实验水平是实验因素在实验过程中设定的特定取值。
2. 设计实验方案根据实验因素和水平设计实验方案。
实验设计的目的是尽量少的实验次数获得实验数据，建立响应模型。
3. 进行实验在实验过程中，根据实验方案对实验进行操作，并记录数据。
4. 分析数据分析实验数据，根据实验数据建立影响因素和响应值之间的数学模型。
可以使用回归分析方法，建立线性或非线性模型。
5. 验证模型通过验证模型的预测值与实验值的拟合程度，来确认模型的可用性。
6. 进行优化通过模型预测不同因素水平下的响应值，找到最优的实验因素组合，来优化实验条件。
三、响应面法的应用响应面法在科学研究、工程设计、生产控制等领域中得到广泛应用。
例如在化学合成过程中，响应面法可以优化反应条件和提高反应效率；在制造领域中，响应面法可以优化产品质量和提高生产效率。
四、响应面法存在的问题响应面法虽然能大大提高实验设计的效率和精度，但是也存在一些问题。
比如，响应面法建立的模型只适用于实验条件和范围内，因此其预测能力存在一定的局限性。
同时，在实验设计过程中，实验过程和实验条件的控制都是至关重要的，任何偏差都会影响实验结果的可靠性和准确性。
总之，响应面法是一种实验设计的重要方法，通过其可以有效找到影响因素与响应值之间的关系，提供对实验条件的优化建议。
响应面法在试验设计中的应用
响应面法在试验设计中的应用响应面法是一种试验设计方法，用于确定研究因素对一些响应变量的影响。
它是通过拟合数学模型来预测响应变量与研究因素之间的关系，并寻找最优的因素组合。
在工程、化学、生物学等领域，响应面法广泛应用于优化工艺、提高产品质量和性能等方面。
在试验设计中，响应面法通常包括以下几个步骤：1.确定研究因素和响应变量：首先要明确需要研究的因素和关心的响应变量。
因素可以是连续型或离散型的变量，而响应变量则是根据具体研究目的确定的。
2.设计试验方案：根据已知的因素范围和目标要求，设计一组试验点。
通常使用正交设计或中心组合设计来选择试验点，以使得试验点在整个因素空间中均匀分布。
3.进行实验：在选定的试验点上进行实验，并测量响应变量的值。
实验数据应准确可靠，尽量控制其他干扰因素的影响，以确保实验数据的可靠性。
4.构建数学模型：利用试验数据，可以建立数学模型来描述响应变量与因素之间的关系。
常用的模型包括线性模型、多项式模型等，可以根据实验数据的分布和拟合情况选择合适的模型。
5.分析模型和优化：通过对数学模型的参数估计和显著性检验，可以确定哪些因素对响应变量有显著影响。
根据模型，可以进行模型预测和优化。
通过模型预测，可以预测在未来试验中其中一种因素组合的响应变量值。
通过模型优化，可以确定使响应变量达到最优值的因素组合。
响应面法的应用非常广泛。
例如，在工程设计中，可以利用响应面法来优化工艺参数，提高产品的质量和性能。
在药物研发中，可以使用响应面法来优化配方，提高药物的溶解度和稳定性。
在生物学研究中，可以利用响应面法来确定最佳反应条件和培养基配方。
响应面法的优势在于可以同时考虑多个因素对响应变量的影响，避免了逐个更改因素的过程。
通过精心设计试验方案，可以大大减少试验数量和时间成本，提高试验效率。
此外，响应面法还可以通过确定关键因素和其最优取值，为进一步改进和优化提供有力指导。
总之，响应面法是一种强大的试验设计方法，在众多科学领域中得到了广泛应用。
响应面法在优化和实验中的应用
响应面法在优化和实验中的应用响应面法是一种多因素试验设计与数据分析方法，是分析多个变
量同时对某一特定输出变量影响的一种数学方法。
该方法广泛用于工程、制造、产品设计、药物研究等领域的优化和实验中。
响应面法的基本思想是根据一定的试验设计和统计学原理，通过
对多个自变量的不同水平组合进行实验，得到输出变量的响应值，进
而建立起这些因素与输出变量之间的数学模型。
接着，利用这个模型
进行优化或者预测，帮助实际应用工程人员在保证品质和效率的条件下，优化处理技术和过程，并找出最优的处理条件。
在实践应用中，响应面法的具体使用过程包括以下几个步骤：
第一步，确定待优化的输出变量和影响因素。
例如，药物研究领
域中，待优化的输出变量可以是药效，影响因素可以是药剂量、时间、温度等。
第二步，选择合适的试验设计方案。
常用的设计包括Box-Behnken 设计、中心组合设计、完全旋转设计等。
第三步，收集实验数据，得到不同因素水平下的输出变量响应值。
第四步，建立数学模型。
可以使用多元回归、Kriging插值、基于神经网络等方法建立模型。
第五步，优化设计和预测。
通过对建立的模型进行寻优和预测，
找到最优的处理条件，并对新的处理条件进行预测和验证。
响应面法的优点在于能够快速、经济地确定最优条件，并在改进质量的同时提高效率。
它通过深入分析试验数据和建立数学模型，让实际应用工程人员更好地了解多个自变量对输出变量的影响，并有理有据地进行处理技术和过程的优化。
随着响应面法在实践中的不断完善，它将成为为数不多的能够综合考虑多种因素影响和优化处理技术和过程的有效方法。
响应面法的理论与应用
响应面法的理论与应用王永菲1,王成国2(11中央民族大学数学与计算机科学学院,北京 100081;21中国铁道科学研究院科学技术研究发展中心,北京 100081)摘 要: 本文介绍了响应面法的基本思想,综述了响应面法在化学工业、生物学、食品学、工程学等多个领域的应用情况,并重点介绍了响应面法在结构优化设计、可靠性分析中的应用,提到响应面法在车辆动力学中的应用情况,从而认为响应面法有更广阔的应用前景.关键词: 响应面法;工程应用;车辆动力学;数学规划中图分类号:O29,T B11 文献标识码:A 文章编号:100528036(2005)0320236205收稿日期:2005204201作者简介:王永菲(1980-),女(苗族),贵州贵定人,中央民族大学数学与计算科学学院硕士研究生.1 引 言 随着计算机技术的飞速发展,数值计算科学的不断深入,工程计算的模型越来越复杂,计算规模越来越大,所花费的机时越来越长.同时,许多工程问题的目标函数和约束函数对于设计变量经常是不光滑的或者具有强烈的非线性.这样,科学家和工程师都希望寻找新的高效可靠的数学规划方法以满足工程优化计算的需要.一个渐进近似的优化方法能很好地解决这种既耗机时又非光滑的优化问题,它就是响应面法(Response Surface Methodology ,简称:RS M ).RS M 是数学方法和统计方法结合的产物,是用来对所感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析的,其最终目的是优化该响应值[1].由于RS M 把仿真过程看成一个黑匣子,能够较为简便地与随机仿真和确定性仿真问题结合起来,所以得到了非常广泛的应用.近十多年来,由于统计学在各个领域中的发展和应用,RS M 的应用领域进一步拓宽,对RS M 感兴趣的科学工作者也越来越多,许多学者对响应面法进行了研究.RS M 的应用领域不再仅仅局限于化学工业,在生物学、医学以及生物制药领域都得到了广泛应用.同时,食品学、工程学、生态学等方面也都涉及到了响应面法的应用[2].2 响应面法的基本思想响应面法的基本思想是通过近似构造一个具有明确表达形式的多项式来表达隐式功能函数.本质上来说,响应面法是一套统计方法,用这种方法来寻找考虑了输入变量值的变异或不确定性之后的最佳响应值.如果有许多因子,首先需要进行一个筛选试验以剔除不重要的因子.这可以通过诸如:分式析因设计(2k 2p ,3k 2p 设计),Plackett 2Burman 设计以及非正规正交表等试验设计实现.如果研究初始阶段的因子数已经比较少,就不必实施筛选试验.下面的研究分为两个阶段.第一个阶段的主要目标是确定当前的试2005年8月第14卷 第3期中央民族大学学报(自然科学版)Journal of the CUN (Natural Sciences Edition )Aug.2005V ol.14 N o.3验条件或输入因子的水平是接近响应面的最优位置还是远离这一位置.当试验部位远离响应面的最优部位时,宜采用响应面的一阶逼近,使用一阶模型:y =β0+∑ki =1βi x i +ε(1)进行一阶设计估计出(1)的系数.拟合一阶模型主要采用的是正交的一阶设计,正交的一阶设计包括了主效应不能互为别名的2k 全因素设计和2k 2p 部分因素设计,以及单纯形设计等.在x 1,x 2,…,x k 的区域上采用最速下降法搜索以决定是继续进行一阶设计还是由于曲度的出现而更换用二阶设计.当试验区域接近最优区域或位于最优区域中时,进入第二阶段.这一阶段的主要目的是获得对响应面在最优值附近某个小范围内的一个精确逼近并识别出最优过程条件.在响应面的最优点附近,曲度效应是主导项,用二阶模型来逼近响应面:y =β0+∑k i =1βi x i +∑ki =1βii x 2i +∑k i <j βij x i x j +ε(2)进行二阶设计估计出(2)的系数.二阶设计有很多种,中心复合设计(CC D )和Box 2Behnken 设计(BBD )是经典的二阶设计,对小规模试验还可以采用K oshal 设计和Hybrid 设计,此外,还可以采用A 2优化准则、D 2优化准则、G 2优化准则系列的设计方法.目前,CC D 是用得最为广泛的试验设计,这是因为CC D 具有一些良好的性质:(1)恰当地选择CC D 的轴点坐标可以使CC D 是可旋转设计,为设计在各个方向上提供等精确度的估计;(2)恰当地选择CC D 的中心点试验次数可以使CC D 是正交的或者是一致精度的设计[1～3].然后进一步确定最优点的位置.3 响应面法的应用关于响应面法的应用有四篇非常精辟的论文.1966年Hill 和Hunter 对RS M 的回顾[4],主要介绍了RS M 在化学过程中的应用情况,用实例说明了正则分析和多目标优化问题;1975年Mead 和Pike 对RS M 的总结[5]则主要介绍了RS M 在生物学领域的应用,并列举了相关方面的实例;1989年Myers ,K huri 和Carter 对RS M 的回顾中精辟地总结了从1966年到1988年RS M 理论的发展和应用[6];1999年Myers 对RS M 的发展作了进一步总结,阐述了当时RS M 的发展状况,并指出了RS M 的发展方向[2].中心复合设计仍然是当前应用得最多的RS M 经典设计方法,近年来,D 2优化设计、贝叶斯设计和稳健设计也得到了重视和发展.实际中要解决的RS M 问题基本上都是多目标优化问题,如何解决好多目标优化问题仍然需要进一步探讨.研究表明,RS M 的用途越来越广.下面分别说明RS M 在各个领域的运用,并重点介绍RS M 在工程学中的应用情况.311 响应面法在化学工业和生物学中的应用化学和生物学领域是RS M 最重要的应用领域,RS M 在这两个学科的研究中充分展现了它的优点.响应面法于20世纪50年代最先应用于化学工业中,目的在于确定最优操作过程.Hill 和Hunter1966年的论文详细介绍了早期RS M 在化学领域的应用情况[4].现在,RS M 仍然在化学中有很重要的应用.响应面法被频繁地用来确定各种反应物的剂量,使得响应达到最优值或预期值.例如:用RS M 研究确定硫酰氟熏蒸除鼠的投药剂量与作用,用于优化各种培养基,还有研究人员借助因回归算法及实验设计与优化方法对有机合成进行响应面优化,并获得了良好结果.RS M 在生物学中的应用也相当广泛,主要用于研究反应混合物中各化学反应成分所占比例与其生物学活性之间的关系,确定生物材料的最优试验条件.关于早期RS M 在生物学领域的应用情况可以参考文献[5].现在,RS M 仍然是生物学中的一种重要优化方法.例如:利用RS M 进行家禽营养学研究,利用RS M 优化固态发酵生产生物农药盾壳霉,此外,RS M 还被用于癌症研究,这方面的详细资料可以参看文献[7].732 第3期王永菲等:响应面法的理论与应用832中央民族大学学报(自然科学版)第14卷 312 响应面法在食品学中的应用20世纪70年代起,RS M就开始被应用于食品工业,并取得了很多令人满意的成果.这从相关期刊上的大量文章以及工业中的实际操作都可以得到反映.这里不能对该领域的所有成果都加以详述,只能总结某些重要应用.20世纪70年代初期,R.G.Henika开始把响应面方法应用于早期食品研究中.由于他在这一领域的领袖地位,该领域的其他研究人员相继把RS M作为一种研究策略.Henika,Palmer[8]和Henika[9]发表的两篇文章是关于RS M在这一领域应用情况的非常有价值的参考文献,文献[6]中也有相关介绍.RS M在食品学中主要有以下两个方面的应用:(1)使用RS M来确定食品中各成分作用以确定各成分所占比例.例如:采用混合设计建立响应面,然后研究蛋糕里营养成分之间的交互作用;利用Box2Behnken设计的响应面分析法对影响植脂奶油搅打特性的三个因素进行优化以确定它们的最佳水平.(2)利用RS M确定最优反应条件.例如:应用响应面分析方法对影响菜籽蛋白的酶水解的因素进行分析,得到复合风味蛋白酶的最佳酶水解条件;在单因素实验基础上,利用Plackett2Burman设计,得出竹叶黄酮最佳浸提条件.313 响应面法在工程学中的应用随着响应面法理论的完善和发展,以及计算机性能的提高,RS M也得到了工程界的重视,响应面法频繁地被用于解决各种工程问题.此外,优化设计,可靠性分析、计算,动力学研究,工程过程控制等方面也涉及到了响应面法的应用.这里主要介绍响应面法在结构优化、可靠性分析和车辆动力学中的应用.(1)响应面法在结构优化设计和可靠性分析中的应用结构优化技术已成为结构设计的有力工具.在传统的结构优化设计中,结构所处的载荷环境、结构参数及失效模式、设计要求、优化的目标函数等均被处理为确定性的,但在很多情况下,由于不确定性的考虑不合理,确定性的结构优化设计得出的结构冗余度更小,失效模式增多,因而比未经优化的结构具有更高的失效概率.针对此问题,先进的仿真方法结合响应面法成为有效地进行结构优化设计的途径之一.目前,利用响应面法进行优化设计的例子很多,用来优化轿车车体参数、利用RS M优化离心压缩机叶轮、应用RS M确定飞机总体方案设计等,此外,在包含有限元分析的可靠性优化设计中,采用响应面法来减少完整的有限元分析次数,可大大缩短计算时间[10].对结构物进行可靠性分析,首先要建立极限状态函数,而在实际工程中结构构造非常复杂,一般不能给出极限状态函数的明确表达式.针对这一问题,RS M作为一种近似计算方法得到了迅速发展.1984年W ong首先提出结构可靠度计算的响应面法,1985年应用于土坡稳定的可靠度计算.其优点是可以直接应用确定性结构分析程序,而不必对中间计算过程进行修改,用二次响应面函数逼近非线性极限状态函数计算结构可靠性,与T alor一次展开式相比,计算精度明显提高,且计算时间大大降低.Bucher等将响应面法引入结构可靠性分析中,建立结构输入与结构响应之间的关系,然后进行结构可靠性分析[11],目前该算法成为国际上公认的解决结构系统可靠性的最有希望的算法之一.随着这种方法的发展,RS M 还应用于隧道衬砌结构、桥面结构、装配式公路钢桥等的可靠度分析中.但是,对于一个具有大量随机变量的问题来说,准确构造一个近似多项式进行确定性分析的工作量是相当巨大的,因此响应面法很耗时.即使对于一个具有少量随机变量的问题来说,响应面法对可靠度估计的准确性与功能函数的近似多项式的准确性有关.如果隐含型的功能函数具有很强的非线性,这种函数逼近是非常近似的,可靠度估计也是非常近似的.现在有许多学者对此问题作了深入地研究,提出一些改进的办法[12],但这个问题仍值得进一步探索和研究.(2)响应面法在车辆动力学中的应用目前将RS M应用到车辆动力学的例子并不多,只有一些初步的尝试.在车辆动力学软件ADAMS中有内含的RS M软件包,相关研究人员还尝试在ADAMS中把RS M应用于赛车动力学仿真,但这些程序和工作都有待进一步完善和继续研究.现在国内还有研究人员应用响应面方法优化200K M ΠH 转向架阻尼器的参数[13],但也还只是初步的尝试.可以说,车辆动力学是RS M 的一个应用新方向,可以在这方面作进一步的探索和深入的研究.314 响应面法在其他领域中的应用响应面法除了上面的应用外,还被应用到其他领域中.首先,已经有在生态学中应用RS M 的例子.例如:根据昆虫种群动态的混沌与非线性时间序列预测的原理,应用RS M 建立混沌与非线性时间序列预测的模型,该模型对于进一步探明农田生态系统中各种群间相互关系,深入理解生态系统结构与功能的关系具有一定的理论意义[14].其次,环境科学中也涉及到了RS M 的应用.例如:利用响应面法研究Fenton和Heady—农场净收入、净收入,RS M 同时,RS M .当然,RS M 较困难,从而导致耗费计时.另外,当模型存在很强的非线性,或者误差分布是非正态分布时,寻找合适的优化设计会非常困难.此外,虽然许多计算机软件公司利用A 2、D 2、E 2、G 2优化准则形成了自动生成试验设计表的软件包,但是,对于如何生成良好的或稳定的设计方案,还不存在通用的基本原则[2],这些问题都需要研究人员进一步的讨论和探索.综上所述,响应面法在很多领域中都得到了一定的应用,尤其是在化学、生物学、工程学中占据一定的重要地位.应该相信,随着对响应面法理论研究的深入,优化算法和实验设计方法的进一步发展,以及计算机性能的提高,响应面法的应用将会更广泛、更趋完善.参考文献:[1] 汪仁官.试验设计与分析[M].北京:中国统计出版社,1998.[2] RAY M OND H MYERS.Response Sur face Methodology 2Current S tatus and Future Directions [J ].J ournal of QualityTechnology ,1999,31(1).[3] 张润楚,郑海涛,兰燕.试验设计与分析及参数优化[M].北京:中国统计出版社.2003.[4] HI LL W J ,H UNTER W G.A Review of Response Sur face Methodology :A Literature Review[J ].Technometrics ,1966,8:571-590.[5] R Mead ,D J Pike.A Review of Response Sur face Methodology from A Biometrics View point[J ].Biometrics ,1975,31(12):803-851.[6] RAY M OND H MYERS ,ANDRE I K H UTI ,W A LTER H C ARTER.Response Sur face Methodology :1966-1988[J ].Technometrics ,1989,31(2).[7] C ARTER W H ,W AMP LER G L ,ST ABLEI N D M.Review of the Application of Response Sur face Methodology in theC ombination Therapy of Cancer[J ].Cancer Treatment Reports ,1983,70:133-140.[8] HE NIK A R G,PA LMER G M.Response 2Sur face Methodology 2Revisited[J ].Cereal Food Science ,1976,21:432-445.[9] HE NIK A R e of Response Sur face Methodology in Sens ory Evaluation[J ].Food Technology ,1982,36:96-101.[10] 孟宪颐.响应面法在可靠性优化设计中的应用[J ].北京建筑工程学院学报,1999,(21).[11] BUCHER C G,BOURG UND U.A fast and E fficient Response Sur face Approach for S tructural Reliability Problems [J ].932 第3期王永菲等:响应面法的理论与应用042中央民族大学学报(自然科学版)第14卷 Structural Safety,1990,7(1):57-66.[12] 刘长虹,陈虬,吕震宙,郑长卿.复杂结构系统失效模式的响应面法[J].机械强度,2000,(1).[13] 廖亚曦,王成国,刘金朝.应用响应面方法进行200kmΠh转向架阻尼器参数的优化研究[J].铁道机车车辆,2004,24(5).[14] 赵中华,沈佐瑞.昆虫种群动态非线性建模理论与应用[J].生物数学学报,2001,6(4).[15] 张晖.响应面法分析卫生填埋渗滤液的Fenton处理过程[J].环境科学,2003,(4).[16] SHECHTER M,HE ADY E O.Response Sur face Analysis and S imulation M odels in P olicy Choices[J].American J ournal ofAgricultural Economics,1970,52:41-50.The Application of R esponse Surface MethodologyWANG Y ong2fei1,WANG Cheng-guo2(1.School o f Mathematical and Computer Science,Central Univer sity for Nationalities,Beijing 100081,China;2.Railway Science and Technology Research Development Center,China Academy o f Railway Sciences,Beijing 100081,China)Abstract:In this paper,we introduce the essentials of response surface methodology(RS M),The article review the applications of RS M in the chemical and biological fields,and in food and engineering sciences,especially in structural optimal design and reliability analysis.We mention the application of RS M in vehicle dynamics.All of these show RS M will be applied widely.K ey w ords:response surface methodology;engineering applications;vehicle dynamics;mathemaical programming[责任编辑:杨 玉] (上接第213页)Three-colored Answ ers for Cubic G raphby Expand Trees with F aceCHE NG Bin(School o f Mathematics and Computer Science,Central Univer sity for Nationalities,Beijing 100081,China)Abstract:We analyzed the characters of odd-even and combination of cubic graph,and g ot the concept of pieces-can-be-three-colored.M ost of pieces-can-be-three-colored were found by the method of expand trees with face.We educed many edge three-colored answers from pieces-can-be-three-colored of cubic graph.K ey w ords:cubic graph;bichromatic subgraph;maximal planar graph[责任编辑:杨 玉]。
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响应面法的理论与应用王永菲1,王成国2(11中央民族大学数学与计算机科学学院,北京 100081;21中国铁道科学研究院科学技术研究发展中心,北京 100081)摘 要: 本文介绍了响应面法的基本思想,综述了响应面法在化学工业、生物学、食品学、工程学等多个领域的应用情况,并重点介绍了响应面法在结构优化设计、可靠性分析中的应用,提到响应面法在车辆动力学中的应用情况,从而认为响应面法有更广阔的应用前景.关键词: 响应面法;工程应用;车辆动力学;数学规划中图分类号:O29,TB11 文献标识码:A 文章编号:1005-8036(2005)03-0236-05收稿日期:2005-04-01作者简介:王永菲(1980-),女(苗族),贵州贵定人,中央民族大学数学与计算科学学院硕士研究生.1 引 言随着计算机技术的飞速发展,数值计算科学的不断深入,工程计算的模型越来越复杂,计算规模越来越大,所花费的机时越来越长.同时,许多工程问题的目标函数和约束函数对于设计变量经常是不光滑的或者具有强烈的非线性.这样,科学家和工程师都希望寻找新的高效可靠的数学规划方法以满足工程优化计算的需要.一个渐进近似的优化方法能很好地解决这种既耗机时又非光滑的优化问题,它就是响应面法(Response Surface Methodology,简称:RSM).RSM 是数学方法和统计方法结合的产物,是用来对所感兴趣的响应受多个变量影响的问题进行建模和分析的,其最终目的是优化该响应值[1].由于RSM 把仿真过程看成一个黑匣子,能够较为简便地与随机仿真和确定性仿真问题结合起来,所以得到了非常广泛的应用.近十多年来,由于统计学在各个领域中的发展和应用,RSM 的应用领域进一步拓宽,对RSM 感兴趣的科学工作者也越来越多,许多学者对响应面法进行了研究.RSM 的应用领域不再仅仅局限于化学工业,在生物学、医学以及生物制药领域都得到了广泛应用.同时,食品学、工程学、生态学等方面也都涉及到了响应面法的应用[2].2 响应面法的基本思想响应面法的基本思想是通过近似构造一个具有明确表达形式的多项式来表达隐式功能函数.本质上来说,响应面法是一套统计方法,用这种方法来寻找考虑了输入变量值的变异或不确定性之后的最佳响应值.如果有许多因子,首先需要进行一个筛选试验以剔除不重要的因子.这可以通过诸如:分式析因设计(2k -p ,3k-p 设计),Placket-t B urman 设计以及非正规正交表等试验设计实现.如果研究初始阶段的因子数已经比较少,就不必实施筛选试验.下面的研究分为两个阶段.第一个阶段的主要目标是确定当前的试2005年8月第14卷 第3期中央民族大学学报(自然科学版)Journal of the CUN(Natural Sciences Edition)Aug.2005Vol.14 No.3验条件或输入因子的水平是接近响应面的最优位置还是远离这一位置.当试验部位远离响应面的最优部位时,宜采用响应面的一阶逼近,使用一阶模型:y =B 0+E k i =1B i x i +E (1)进行一阶设计估计出(1)的系数.拟合一阶模型主要采用的是正交的一阶设计,正交的一阶设计包括了主效应不能互为别名的2k 全因素设计和2k -p 部分因素设计,以及单纯形设计等.在x 1,x 2,,,x k 的区域上采用最速下降法搜索以决定是继续进行一阶设计还是由于曲度的出现而更换用二阶设计.当试验区域接近最优区域或位于最优区域中时,进入第二阶段.这一阶段的主要目的是获得对响应面在最优值附近某个小范围内的一个精确逼近并识别出最优过程条件.在响应面的最优点附近,曲度效应是主导项,用二阶模型来逼近响应面:y =B 0+E k i =1B i x i +E k i =1B ii x 2i +E k i <j B ij x i x j +E (2)进行二阶设计估计出(2)的系数.二阶设计有很多种,中心复合设计(CCD)和B ox -Behnken 设计(BBD)是经典的二阶设计,对小规模试验还可以采用Koshal 设计和Hybrid 设计,此外,还可以采用A -优化准则、D -优化准则、G -优化准则系列的设计方法.目前,CCD 是用得最为广泛的试验设计,这是因为CC D 具有一些良好的性质:(1)恰当地选择CCD 的轴点坐标可以使CCD 是可旋转设计,为设计在各个方向上提供等精确度的估计;(2)恰当地选择CC D 的中心点试验次数可以使CC D 是正交的或者是一致精度的设计[1~3].然后进一步确定最优点的位置.3 响应面法的应用关于响应面法的应用有四篇非常精辟的论文.1966年Hill 和Hunter 对RSM 的回顾[4],主要介绍了RSM 在化学过程中的应用情况,用实例说明了正则分析和多目标优化问题;1975年Mead 和Pike 对RSM的总结[5]则主要介绍了RSM 在生物学领域的应用,并列举了相关方面的实例;1989年Myers,Khuri 和Carter 对RSM 的回顾中精辟地总结了从1966年到1988年RSM 理论的发展和应用[6];1999年Myers 对RSM 的发展作了进一步总结,阐述了当时RSM 的发展状况,并指出了RSM 的发展方向[2].中心复合设计仍然是当前应用得最多的RSM 经典设计方法,近年来,D -优化设计、贝叶斯设计和稳健设计也得到了重视和发展.实际中要解决的RSM 问题基本上都是多目标优化问题,如何解决好多目标优化问题仍然需要进一步探讨.研究表明,RSM 的用途越来越广.下面分别说明RSM 在各个领域的运用,并重点介绍RSM 在工程学中的应用情况.311 响应面法在化学工业和生物学中的应用化学和生物学领域是RSM 最重要的应用领域,RSM 在这两个学科的研究中充分展现了它的优点.响应面法于20世纪50年代最先应用于化学工业中,目的在于确定最优操作过程.Hill 和Hunter1966年的论文详细介绍了早期RSM 在化学领域的应用情况[4].现在,RSM 仍然在化学中有很重要的应用.响应面法被频繁地用来确定各种反应物的剂量,使得响应达到最优值或预期值.例如:用RSM 研究确定硫酰氟熏蒸除鼠的投药剂量与作用,用于优化各种培养基,还有研究人员借助因回归算法及实验设计与优化方法对有机合成进行响应面优化,并获得了良好结果.RSM 在生物学中的应用也相当广泛,主要用于研究反应混合物中各化学反应成分所占比例与其生物学活性之间的关系,确定生物材料的最优试验条件.关于早期RSM 在生物学领域的应用情况可以参考文献[5].现在,RSM 仍然是生物学中的一种重要优化方法.例如:利用RSM 进行家禽营养学研究,利用RSM 优化固态发酵生产生物农药盾壳霉,此外,RSM 还被用于癌症研究,这方面的详细资料可以参看文献[7].237 第3期王永菲等:响应面法的理论与应用238中央民族大学学报(自然科学版)第14卷312响应面法在食品学中的应用20世纪70年代起,RSM就开始被应用于食品工业,并取得了很多令人满意的成果.这从相关期刊上的大量文章以及工业中的实际操作都可以得到反映.这里不能对该领域的所有成果都加以详述,只能总结某些重要应用.20世纪70年代初期,R.G.Henika开始把响应面方法应用于早期食品研究中.由于他在这一领域的领袖地位,该领域的其他研究人员相继把RSM作为一种研究策略.Henika,Palmer[8]和Henika[9]发表的两篇文章是关于RSM在这一领域应用情况的非常有价值的参考文献,文献[6]中也有相关介绍.RSM在食品学中主要有以下两个方面的应用:(1)使用RSM来确定食品中各成分作用以确定各成分所占比例.例如:采用混合设计建立响应面,然后研究蛋糕里营养成分之间的交互作用;利用Box-Behnken设计的响应面分析法对影响植脂奶油搅打特性的三个因素进行优化以确定它们的最佳水平.(2)利用RSM确定最优反应条件.例如:应用响应面分析方法对影响菜籽蛋白的酶水解的因素进行分析,得到复合风味蛋白酶的最佳酶水解条件;在单因素实验基础上,利用Placket-t B urman设计,得出竹叶黄酮最佳浸提条件.313响应面法在工程学中的应用随着响应面法理论的完善和发展,以及计算机性能的提高,RSM也得到了工程界的重视,响应面法频繁地被用于解决各种工程问题.此外,优化设计,可靠性分析、计算,动力学研究,工程过程控制等方面也涉及到了响应面法的应用.这里主要介绍响应面法在结构优化、可靠性分析和车辆动力学中的应用.(1)响应面法在结构优化设计和可靠性分析中的应用结构优化技术已成为结构设计的有力工具.在传统的结构优化设计中,结构所处的载荷环境、结构参数及失效模式、设计要求、优化的目标函数等均被处理为确定性的,但在很多情况下,由于不确定性的考虑不合理,确定性的结构优化设计得出的结构冗余度更小,失效模式增多,因而比未经优化的结构具有更高的失效概率.针对此问题,先进的仿真方法结合响应面法成为有效地进行结构优化设计的途径之一.目前,利用响应面法进行优化设计的例子很多,用来优化轿车车体参数、利用RSM优化离心压缩机叶轮、应用RSM确定飞机总体方案设计等,此外,在包含有限元分析的可靠性优化设计中,采用响应面法来减少完整的有限元分析次数,可大大缩短计算时间[10].对结构物进行可靠性分析,首先要建立极限状态函数,而在实际工程中结构构造非常复杂,一般不能给出极限状态函数的明确表达式.针对这一问题,RSM作为一种近似计算方法得到了迅速发展.1984年Wong首先提出结构可靠度计算的响应面法,1985年应用于土坡稳定的可靠度计算.其优点是可以直接应用确定性结构分析程序,而不必对中间计算过程进行修改,用二次响应面函数逼近非线性极限状态函数计算结构可靠性,与Talor一次展开式相比,计算精度明显提高,且计算时间大大降低.Bucher等将响应面法引入结构可靠性分析中,建立结构输入与结构响应之间的关系,然后进行结构可靠性分析[11],目前该算法成为国际上公认的解决结构系统可靠性的最有希望的算法之一.随着这种方法的发展,RSM 还应用于隧道衬砌结构、桥面结构、装配式公路钢桥等的可靠度分析中.但是,对于一个具有大量随机变量的问题来说,准确构造一个近似多项式进行确定性分析的工作量是相当巨大的,因此响应面法很耗时.即使对于一个具有少量随机变量的问题来说,响应面法对可靠度估计的准确性与功能函数的近似多项式的准确性有关.如果隐含型的功能函数具有很强的非线性,这种函数逼近是非常近似的,可靠度估计也是非常近似的.现在有许多学者对此问题作了深入地研究,提出一些改进的办法[12],但这个问题仍值得进一步探索和研究.(2)响应面法在车辆动力学中的应用目前将RSM应用到车辆动力学的例子并不多,只有一些初步的尝试.在车辆动力学软件ADAMS中有内含的RSM软件包,相关研究人员还尝试在ADAMS中把RSM应用于赛车动力学仿真,但这些程序和工作都有待进一步完善和继续研究.现在国内还有研究人员应用响应面方法优化200KM P H 转向架阻尼器的参数[13],但也还只是初步的尝试.可以说,车辆动力学是RSM 的一个应用新方向,可以在这方面作进一步的探索和深入的研究.314 响应面法在其他领域中的应用响应面法除了上面的应用外,还被应用到其他领域中.首先,已经有在生态学中应用RSM 的例子.例如:根据昆虫种群动态的混沌与非线性时间序列预测的原理,应用RSM 建立混沌与非线性时间序列预测的模型,该模型对于进一步探明农田生态系统中各种群间相互关系,深入理解生态系统结构与功能的关系具有一定的理论意义[14].其次,环境科学中也涉及到了RSM 的应用.例如:利用响应面法研究Fenton 试剂处理卫生填埋渗滤液过程中诸因素对COD 去除率的影响[15].此外,1970年Shecher 和Heady对种植谷物仿真模型的设计和分析试验是响应面技术应用于经济学的成功例子,考虑了四个响应)农场净收入、农场净收入参与人、累计资金和政府开支,利用RSM 解决这个多目标优化问题,提高了农场净收入,降低了政府开支[16].4 结束语RSM 作为一种优化方法,考虑了试验随机误差,而传统优化是不考虑试验随机误差的.同时,RSM 将复杂的未知的函数关系在小区域内用简单的一次或二次多项式模型来拟合,计算比较简便.当然,RSM 也存在一些不足,比如,当变量个数比较多的时候,准确构造一个近似多项式进行确定性分析会比较困难,从而导致耗费计时.另外,当模型存在很强的非线性,或者误差分布是非正态分布时,寻找合适的优化设计会非常困难.此外,虽然许多计算机软件公司利用A -、D -、E -、G -优化准则形成了自动生成试验设计表的软件包,但是,对于如何生成良好的或稳定的设计方案,还不存在通用的基本原则[2],这些问题都需要研究人员进一步的讨论和探索.综上所述,响应面法在很多领域中都得到了一定的应用,尤其是在化学、生物学、工程学中占据一定的重要地位.应该相信,随着对响应面法理论研究的深入,优化算法和实验设计方法的进一步发展,以及计算机性能的提高,响应面法的应用将会更广泛、更趋完善.参考文献:[1] 汪仁官.试验设计与分析[M].北京:中国统计出版社,1998.[2] RAYMOND H MYERS.Response Surface Methodology -Current Status and Future Directions [J ].Journal o f QualityTechnology ,1999,31(1).[3] 张润楚,郑海涛,兰燕.试验设计与分析及参数优化[M].北京:中国统计出版社.2003.[4] HILL W J,HUNTER W G.A Review of Response Surface Methodology:A Literature Review[J].Technometrics ,1966,8:571-590.[5] R M ead,D J Pike.A Review of Response Surface Methodology from A Biometrics Viewpoint[J].Biometrics ,1975,31(12):803-851.[6] RAYMOND H MYERS,ANDRE I KHUTI,WALTER H CARTER.Response Surface Methodology:1966-1988[J ].Technometrics ,1989,31(2).[7] CARTER W H,WAMPLER G L,STAB LEIN D M.Review of the Application of Response Surface Methodology i n theCombinati on Therapy of Cancer[J].Cancer Treatment Reports ,1983,70:133-140.[8] HENIKA R G,PALMER G M.Response -Surface Methodology -Revisi ted[J].Cereal Food Science ,1976,21:432-445.[9] HENIKA R e of Response Surface Methodology in Sensory Evaluation[J].Food Technology ,1982,36:96-101.[10] 孟宪颐.响应面法在可靠性优化设计中的应用[J].北京建筑工程学院学报,1999,(21).[11] B UCHER C G,BOURGUND U.A fast and Efficient Response Surface Approach for Structural Reliabili ty Problems [J].239 第3期王永菲等:响应面法的理论与应用240中央民族大学学报(自然科学版)第14卷Structural Sa f ety,1990,7(1):57-66.[12]刘长虹,陈虬,吕震宙,郑长卿.复杂结构系统失效模式的响应面法[J].机械强度,2000,(1).[13]廖亚曦,王成国,刘金朝.应用响应面方法进行200km P h转向架阻尼器参数的优化研究[J].铁道机车车辆,2004,24(5).[14]赵中华,沈佐瑞.昆虫种群动态非线性建模理论与应用[J].生物数学学报,2001,6(4).[15]张晖.响应面法分析卫生填埋渗滤液的Fenton处理过程[J].环境科学,2003,(4).[16]SHECHTER M,HEADY E O.Resp onse Surface Analysis and Simulation Models in Policy Choices[J].American Journal o fAgricultural Economics,1970,52:41-50.The Application of Response Surface MethodologyWANG Yong-fei1,WANG Cheng_guo2(1.School o f Mathematical and Computer Scie nce,Central U ni versity for Nationalitie s,Bei j ing100081,China;2.Rail way Sc ienc e and Technology Re se arch Develo pment Center,China Ac ademy o f Railway Sciences,Be ijing100081,China)Abstract:In this paper,we introduce the essentials of response surface methodology(RSM),The article review the applica tions of RSM in the che mical and biological fields,and in food and engineering sciences,especially in struc tural optimal design and reliability analysis.We mention the application of RSM in vehicle dyna mics.All of these sho w RSM will be applied widely.Key words:response surface methodology;engineering applications;vehicle dynamics;mathemaical program ming[责任编辑:杨玉] (上接第213页)Three_colored Answers for Cubic Graphby Expand Trees with FaceCHENG Bin(School o f Mathe matics and Compute r Science,Ce ntral Unive rsit y for Nationalities,Bei jing100081,China)Abstract:We analyzed the characters of odd_even and combination of cubic graph,and got the concept of pieces_can_be_three_colored.Most of pieces_can_be_three_colored were found by the method of expand trees with face.We educed many edge three_c olored answers from pieces_can_be_three_c olored of cubic graph.Key words:cubic graph;bichromatic subgraph;maximal planar graph[责任编辑:杨玉]。