高一数学(1.2.1-2任意角的三角函数正弦线、余弦线、正切线教学设计75、76
2021年高中数学1..1任意角的三角函数(二)三角函数线教案新人教A版必修4
2021年高中数学1.2.1任意角的三角函数（二）三角函数线教案新人教A 版必修4一、关于教学内容的思考教学任务：帮助学生理解正弦线、余弦线、正切线的定义；利用三角函数线解三角方程；利用三角函数线解三角简单不等式；利用三角函数比较大小；利用三角函数线证明有关不等式。
教学目的：引导学生认识正弦线、余弦线、正切线的价值。
教学意义：培养学生三角函数中数形结合的思想二、教学过程１．有向线段：被看作带有方向的线段，叫做有向线段．数轴上或与数轴平行的有向线段是正向时，它的数量等于长度；有向线段是负向时，它的数量等于长度的相反数；有向线段长度是０，那么其数量为０．２．正弦线、余弦线、正切线的定义：如图，角的终边与单位圆交于点Ｐ．过点Ｐ作轴的垂线，垂足为Ｍ．根据三角函数的定义，我们有，，AT OAAT OM MP x y ====αtan 举例：用正弦线、余弦线、正切线表示，并比较３．利用三角函数线解三角方程４．利用三角函数线解三角简单不等式例 在上满足的的取值范围（ Ｂ ）Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．５．利用三角函数比较大小例 已知，那么下列命题成立的是（ Ｃ ）Ａ．若是第一象限角，则；Ｂ．若是第二象限角，则；Ｃ．若是第三象限角，则Ｄ．若是第四象限角，则６．利用三角函数线证明有关不等式：例 已知：角为锐角，试证：（１）；（２）。
三、教材节后练习（可以在课堂上随着教学内容穿插进行）四、教学备用例子１．已知：，试证：．２．已知，求满足此不等式的角的集合．Z k k k ∈++],342,322[ππππ ３．求下列函数的定义域：（１）；（２）；（１）7[2,2],66k k k Z ππππ++∈；（２）五、课后作业 同步练习１．已知，那么角的终边落在第一象限内的范围是（ Ｃ ） Ａ． Ｂ． Ｃ．Z k k k ∈++),22,42[ππππ Ｄ． ２．若，则下列不等式成立的是（ Ｄ ）Ａ． Ｂ．Ｃ． Ｄ．３．如图，角，角的终边关于轴对称，则下面关系式：①；②；③；④．其中，正确关系式的序号是 ①④ ．４．已知点Ｐ的坐标为)3cos 3sin ,3cos 3(sin +-，则点Ｐ在第四 象限．５．比较下列各组数的大小：（１）与；（２）与；（３）与（１）＜；（２）＜； （３）＞６．若，试比较与的大小； ＞提示：利用两条正弦线，两条弧长，观察作差的结果．７．已知为锐角，求证：．提示：利用两个三角形面积和小于圆面积．。
高中数学《任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念》教学设计
3.在探究问题的能力发展不够均衡，没有形成良好的学习习惯，必须在老师一定的指导下才能进行有效学习。
4．中职一年级都开设信息技术课程，学生热衷于操作计算机和互联网。在一年级开学初的初职衔接中进行过几何画板操作培训。为了加强学生对三角函数定义的理解，帮助学生克服在理解定义过程中可能遇到的障碍，本节课准备在计算机的支持下，利用几何画板动态地研究任意角与其终边和单位圆交点坐标的关系，构建有利于学生建立概念的“多元联系表示”的教学情境，使学生能够更好地数形结合地进行思维。
五、教学目标与重难点
【教学目标】
1．知识与技能：理解并掌握任意角的正弦、余弦、正切函数的定义；在此基础上能初步应用定义解决与之有关的问题。明确三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种基本初等函数。
2．过程与方法：经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程，体验三角函数概念的产生、发展过程。向学生渗透特殊与一般，类比与转化等数学思想，领悟直角坐标系的工具功能，丰富数形结合的经验。
生活中的数学：如图，摩天轮的半径为10m，中心o离地面为20m，现在小明坐上了摩天轮，并从点P开始以每秒1度的速度逆时针转动，当转动30秒后小明离地面的高度是多少？120秒，240秒，300秒后呢？
让学生明白数学源于生活，生活中处处有数学，体现学习数学的重要性。
学生独立思考，回答。
（三）复习旧知
初中时我们已学过锐角三角函数，当时是怎样定义的？
（十）板书设计
课题任意角的正弦函数、余弦函数和正切函数的概念
周期现象
锐角三角函数的定义
任意三角函数的定义
强调：
例题讲解
练习讲解
(完整)《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。
2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。
所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。
如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
O P=1
在 O M P中 ， O M +M P>O P
y
P M x
o
即 ： s in + c o s > 1
2013-1-11
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
12
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
4
MP是正弦线 OM是余弦线
P
y
o
AT是正切线
重庆市万州高级中学 曾国荣 wzzxzgr@
o M
A x T
8
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
练习： 不查表，比较大小
(1) sin 2 3 和 sin 4 5 (2) cos 2 3 和 cos 4 5 (3) ta n 2 3 和 ta n 4 5
2013-1-11
§1.2.1-2 任意角的三角函数(二)
例 1 .作 出 下 列 各 角 的 三 角 正 弦 线 , 余 弦 线 , 正 切 线 , 并 根 据 三 角 函 数 线 求 它 的 正 弦 值 ,余 弦 值 ,正 切 值 . (1)
4
(2)
4 3
y
T P A M x
4 3
2
s in 1 cos
1 cos s in
证 明 ： 如 图 连 接 AP 在 直 角 CPA中 ，
PCA APM
y
P x MA
2
C
2
o
在 直 角 AM P中 ， MA OA OM 1 cos ta n A P M MP MP s in
高中数学 任意角的三角函数教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。
高中数学 第1章 三角函数 1.2.1 任意角的三角函数高一数学教案
1.2.1 任意角的三角函数在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P 的坐标是(x ，y )，它与原点的距离是r (r ＝x 2＋y 2>0)，那么切函数，统称为三角函数．思考1：对于确定的角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？[提示] 不会．因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关．思考2：若P 为角α与单位圆的交点，sin α，cos α，tanα的值怎样表示？[提示] sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx.二、三角函数在各象的限符号 三、三角函数线1．有向线段：规定了方向(即规定了起点和终点)的线段． 2．三角函数线 1．思考辨析(1)α一定时，单位圆的正弦线一定．( ) (2)在单位圆中，有相同正弦线的角必相等．( ) (3)α与α＋π有相同的正切线．( )[解析] 结合三角函数线可知(1)(3)正确，(2)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)√ 2．若角α的终边经过点P ⎝⎛⎭⎪⎪⎫22，－22，则sin α＝________；cos α＝________；tan α＝________.－22 22 －1 [由题意可知|OP |＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫22－02＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－22－02＝1， ∴sin α＝－221＝－22；cos α＝221＝22；tan α＝－2222＝－1.]3．(1)若α在第三象限，则sin αcos α________0；(填“＞”“＜”)(2)cos 3tan 4________0.(填“>”“<”) (1)＞ (2)＜ [(1)∵α在第三象限，∴sin α＜0，cos α＜0，∴sin αcos α＞0. (2)∵π2<3<π，π<4<3π2，∴3是第二象限角，4是第三象限角． ∴cos 3<0，tan 4>0.∴cos 3tan 4<0.] 三角函数的定义及应用【例1】 在平面直角坐标系中，角α的终边在直线y ＝－2x 上，求sin α，cos α，tan α的值．思路点拨：以α的终边分别在第二、四象限为依据，分别取特殊点求sin α，cos α，tan α的值．[解] 当α的终边在第二象限时，在α终边上取一点P (－1，2)，则r ＝－12＋22＝5，所以sin α＝25＝255，cos α＝－15＝－55，tan α＝2－1＝－2.当α的终边在第四象限时， 在α终边上取一点P ′(1，－2)， 则r ＝12＋－22＝5，所以sin α＝－25＝－255，cos α＝15＝55，tan α＝－21＝－2.1．已知角α终边上任意一点的坐标求三角函数值的方法： (1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应的三角函数值．(2)在α的终边上任选一点P (x ，y )，设P 到原点的距离为r (r >0)，则sin α＝y r ，cos α＝xr.当已知α的终边上一点求α的三角函数值时，用该方法更方便．2．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．1．已知角θ终边上一点P (x,3)(x ≠0)，且cos θ＝1010x ，求sin θ，tan θ.[解] 由题意知r ＝|OP |＝x 2＋9，由三角函数定义得cos θ＝x r ＝x x 2＋9. 又∵cos θ＝1010x ，∴x x 2＋9＝1010x .∵x ≠0，∴x ＝±1. 当x ＝1时，P (1,3)，此时sin θ＝312＋32＝31010，tan θ＝31＝3.当x ＝－1时，P (－1,3)， 此时sin θ＝3－12＋32＝31010，tan θ＝3－1＝－3. 三角函数值的符号【例2】 (1)若α是第四象限角，则点P (cos α，tanα)在第________象限．(2)判断下列各式的符号：①sin 183°；②tan 7π4；③cos 5.思路点拨：先确定各角所在的象限，再判定各三角函数值的符号．(1)四 [∵α是第四象限角， ∴cos α>0，tan α<0，∴点P (cos α，tan α)在第四象限．] (2)[解] ①∵180°<183°<270°， ∴sin 183°<0； ②∵3π2<7π4<2π，∴tan 7π4<0；③∵3π2<5<2π，∴cos 5>0.对于已知角α，判断α的相应三角函数值的符号问题，常依据三角函数的定义，或利用口诀“一全正、二正弦、三正切、四余弦”来处理.2．确定下列式子的符号：(1)tan 108°·cos 305°；(2)cos 5π6·tan11π6sin2π3；(3)tan 120°·sin 269°.[解] (1)∵108°是第二象限角，∴tan 108°＜0. ∵305°是第四象限角，∴cos 305°＞0. 从而tan 108°·cos 305°＜0.(2)∵5π6是第二象限角，11π6是第四象限角，2π3是第二象限角，∴cos 5π6＜0，tan 11π6＜0，sin 2π3＞0.从而cos 5π6·tan11π6sin2π3＞0.(3)∵120°是第二象限角，∴tan 120°＜0， ∵269°是第三象限角，∴sin 269°＜0. 从而tan 120°sin 269°＞0. 应用三角函数线解三角不等式 [探究问题]1．在单位圆中，满足sin α＝12的正弦线有几条？试在图中明确．提示：两条，如图所示，MP 1与NP 2都等于12.2．满足sin α≥12的角的范围是多少？试在上述单位圆中给予明确．提示：如图中阴影部分所示，所求角α的取值范围为α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π6，k ∈Z .【例3】 求函数f (x )＝1－2cos x ＋ln ⎝⎛⎭⎪⎪⎫sin x －22的定义域．思路点拨：借助单位圆解不等式组⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0sin x －22＞0便可．[解] 由题意，自变量x 应满足不等式组 ⎩⎪⎨⎪⎧1－2cos x ≥0，sin x －22＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos x ≤12，sin x ＞22.则不等式组的解的集合如图(阴影部分)所示，∴⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π3≤x ＜2k π＋34π，k ∈Z. 1．利用三角函数线解三角不等式的方法 (1)正弦、余弦型不等式的解法．对于sin x ≥b ，cos x ≥a (sin x ≤b ，cos x ≤a )，求解的关键是恰当地寻求点，只需作直线y ＝b 或x ＝a 与单位圆相交，连结原点与交点即得角的终边所在的位置，此时再根据方向即可确定相应的范围．(2)正切型不等式的解法．对于tan x ≥c ，取点(1，c )连结该点和原点并反向延长，即得角的终边所在的位置，结合图象可确定相应的范围．2．利用三角函数线求函数的定义域解答此类题目的关键在于借助于单位圆，作出等号成立时角α的三角函数线，然后运用运动的观点，找出符合条件的角的范围．在这个解题过程中实现了一个转化，即把代数问题几何化，体现了数形结合的思想．3．在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边的范围，并由此写出角α的集合：(1)sin α≥32；(2)cos α≤－12.[解] (1)作直线y ＝32交单位圆于A ，B 两点，连结OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图①阴影部分)即为角α的终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z. (2)作直线x ＝－12交单位圆于C 、D 两点，连结OC 、OD ，则OC与OD 围成的区域(图②阴影部分)即为角α终边的范围，故满足条件的角α的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋23π≤α≤2k π＋43π，k ∈Z. 教师独具1．本节课的重点是三角函数的定义、三角函数值的符号以及三角函数线的画法、利用三角函数线解决问题，难点是三角函数的定义及应用，对三角函数线概念的理解．2．本节课要重点掌握的规律方法 (1)三角函数的定义及应用； (2)三角函数值符号的判断； (3)三角函数线的画法及应用．3．本节课的易错点(1)已知α的终边所在的直线求α的三角函数值时，易忽视对α所在象限的讨论，造成漏解而发生解题错误．(2)画三角函数线的位置以及表示方法.1．若sin α＜0，tan α＞0，则α终边所在象限是( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限C [由sin α＜0可知α的终边落在第三、四象限及y 轴的负半轴上．由tan α＞0可知α的终边落在第一、三象限内．故同时满足sin α＜0，tan α＞0的角α为第三象限角．] 2．角α的终边经过点P (－b,4)且cos α＝－35，则b 的值为________．3 [由三角函数的定义可知－b b 2＋16＝－35，∴⎩⎪⎨⎪⎧b ＞0，b 2b 2＋16＝925，解得b ＝3.]3．若α是第一象限角，则sin α＋cos α的值与1的大小关系是________．sin α＋cos α>1 [作出α的正弦线和余弦线(图略)，由三 角形“任意两边之和大于第三边”的性质可知sin α＋cosα>1.]4．已知角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，求sin α，cos α，tan α的值．[解] ∵角α的终边在直线3x ＋4y ＝0上，∴在角α的终边上任取一点P (4t ，－3t )(t ≠0)，则x ＝4t ，y ＝－3t ，r ＝x 2＋y 2＝4t2＋－3t2＝5|t |，当t ＞0时，r ＝5t ，sin α＝y r ＝－3t 5t ＝－35，cos α＝x r ＝4t 5t＝45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34. 当t ＜0时，r ＝－5t ，sin α＝y r ＝－3t －5t ＝35，cos α＝x r ＝4t－5t＝－45，tan α＝y x ＝－3t 4t ＝－34.综上可知，sin α＝－35，cos α＝45，tan α＝－34；或sin α＝35，cos α＝－45，tan α＝－34.。
高一数学教案(6篇)
高一数学教案（6篇）高一数学教案篇一1、学问与技能(1)把握任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);(2)理解任意角的三角函数不同的定义方法；(3)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；(4)把握并能初步运用公式一；(5)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数。
2、过程与方法学校学过：锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。
引导同学把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义。
依据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号。
最终主要是借助有向线段进一步熟悉三角函数。
讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点。
过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值”来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导同学从自己已有认知基础动身学习三角函数，但它对精确把握三角函数的本质有肯定的不利影响，“从角的集合到比值的集合”的对应关系与同学熟识的一般函数概念中的“数集到数集”的对应关系有冲突，而且“比值”需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响同学对三角函数概念的理解。
本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数。
这个定义清晰地表明白正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也表明白这两个函数之间的关系。
教学重难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);终边相同的角的同一三角函数值相等(公式一).难点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号);三角函数线的正确理解。
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版
(完整word版)《任意角的三角函数》教案完美版《任意角的三角函数》教案邓赞武第 1 章（单元) 第 2 节第 2 课时一、教学内容：1.2.2任意角的三角函数（二）二、教学目标:知识目标：1.复习三角函数的定义、定义域与值域、符号、及诱导公式；2。
利用三角函数线表示正弦、余弦、正切的三角函数值;3。
利用三角函数线比较两个同名三角函数值的大小及表示角的范围。
能力目标:掌握用单位圆中的线段表示三角函数值,从而使学生对三角函数的定义域、值域有更深的理解。
德育目标：学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神;三、教学重点与难点：重点：正弦、余弦、正切线的概念.难点：正弦、余弦、正切线的利用。
四、教学程序：（目标导航、自主学习、合作探究、精讲点拨、演练反馈、总结提高、当堂检测）五、教学过程：4．精讲点拨时量:8分钟左右例1．已知42ππα<<，试比较,tan,sin,cosαααα的大小.以合作互动方式一起完成体会三角函数线的用处和实质5．演练反馈时量：8分钟左右练习19P第1,2,3，4题当堂练习，巩固知识检验对知识、方法的掌握程度6．总结提高时量：4分钟左右学习小结（1)了解有向线段的概念。
（2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用.1．作业：比较下列各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1）sin15︒、tan15︒（2）'cos15018︒、cos121︒（3）5π、tan5π2．练习三角函数线的作图。
再次总结回忆本节课的重点内容概括、整合、拓展，体验收获,反思提高；课后预习与作业任务布置）六、提纲：风,没有衣裳；时间,没有居所;它们是拥有全世界的两个穷人生活不只眼前的苟且,还有诗和远方的田野。
你赤手空拳来到人世间,为了心中的那片海不顾一切. 运动太多和太少，同样的损伤体力；饮食过多与过少，同样的损伤健康；唯有适度可以产生、增进、保持体力和健康. 秋水无痕聆听落叶的情愫红尘往事呢喃起涟漪无数心口无语奢望灿烂的孤独明月黄昏遍遍不再少年路岁月极美,在于它必然的流逝。
正弦线、余弦线、正切线教学设计[五篇模版]
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正弦线、余弦线、正切线教学设计[五篇模版]第一篇：正弦线、余弦线、正切线教学设计正弦线、余弦线、正切线教学设计（高二年级数学集体备课）教学内容：人教版，高中数学必修4p15-17,1.2.1任意角的三角函数--正弦线、余弦线、正切线一、教学目标(一)知识目标1、有向线段的概念。
2、正弦线、余弦线、正切线的概念。
3、用正弦线、余弦线、正切线表示任意角的三角函数值。
(二)能力目标1.理解并掌握有向线段的概念。
2.正确利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值用正弦线、余弦线、正切线表示出来。
(三)德育目标通过三角函数值的几何表示，使学生进一步加深对数形结合思想的理解，培养良好的思维习惯，拓展思维空间.二、教学重点、难点重点：正确地用三角函数线表示任意角的三角函数值难点：正确地用与单位圆有关的三角函数线表示三角函数值三、教学分析学生已经学过学习任意角的三角函数, 本节利用单位圆上的线段定义三角函数的正弦线、余弦线、正切线。
三角函数的正弦线、余弦线、正切线在研究三角函数中的数形结合思想中起着非常重要的作用。
利用信息技术,可以很容易地建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的联系,并在角的变化过程中，将这种联系直观地体现出来。
所以，信息技术可以帮助学生更好地理解三角函数的本质。
激发学生对三角函数研究的热情,培养学生勇于发现、勇于探索、勇于创新的精神;通过学生之间、师生之间的交流合作，实现共同探究、教学相长的教学情境。
教学过程：一、复习师：角α的正弦、余弦、正切在各象限的函数值符号分别如何？生：可以看到，正弦值的正负取决于P点纵坐标y符号，余弦值的正负取决于P点的横坐标x的符号，而正切值的正负取决于x和y是否同号。
一全正，二正弦，三正切，四余弦二、新课推进1、引入：前面我们研究了三角函数值在各象限内的符号，学习了将任意角的三角函数化成0º到360º角的三角函数值的一组公式，我们知道角是一个图形概念，表示角的大小是一个数量概念（弧度数）。
任意角的正弦余弦正切教学设计
任意角的正弦函数、余弦函数的定义肖亚一、教学目标1、知识与技能（1）熟练运用锐角正、余弦函数的性质；（2）理解通过单位圆引入任意角的正、余弦函数的意义；（3）掌握任意角的正、余弦函数的定义；（4）掌握这两种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号；2、过程与方法初中所学的正弦函数，是通过直角三角形中给出定义的；由于我们已将角推广到任意角的情况，而且一般都是把角放在平面直角坐标系中，这样一来，我们就在直角坐标系中来找直角三角形，从而引出单位圆；利用单位圆的独特性，是高中数学中的一种重要方法，在第二节课的正弦函数周期、诱导公式及图像，以及在后面的正弦函数的性质中都有直接的应用；讲解例题，总结方法，巩固练习。
3、情感态度与价值观通过本节的学习，使同学们对正弦函数的概念有了一个新的认识；在由锐角的正弦函数推广到任意角的正弦函数的过程中，再由任意角的正弦函数类比到任意角的余弦函数，体会特殊与一般、迁移的关系，形成一种辩证统一的思想；通过单位圆的学习，建立数形结合的思想，激发学习的学习积极性；培养学生分析问题、解决问题的能力。
二、教学重、难点重点：任意角的正弦、余弦的定义；正弦、余弦函数值的符号。
难点：任意角的正、余弦函数概念的建构过程及其应用。
三、教学用具多媒体、三角板、圆规四、教学过程Ⅰ、创设情境,建立数学建模它的中心离地面的高度为h0，它的直径为2r，逆时针方向匀速转动，转动一周需要360秒，（那转动一秒转了多少度？）若现在你坐在座舱中，从初始位置出发（如图所示），过了30秒后，你离地面的高度为多少？过了45秒呢？过了t秒呢？h1=h0+rsin300h2=h0+rsin450h＝h0＋rsint0在锐角范围中，h＝h0＋rsint0这一数学模型能表示座舱的高度，那么，我们能不能随着时间的推移，让h ＝h0＋rsint0这个数学模型从始至终都能起作用呢？若想做到这一点，就得把锐角的正弦推广到任意角的正弦。
常用角度的正弦余弦正切值教案
常用角度的正弦余弦正切值教案过去学习初中数学时，我们都会遇到三角函数的学习，其中就包括正弦、余弦和正切函数。
这些函数在数学中的应用非常广泛，在几何学、物理学、工程学等领域都有重要的作用。
为了更好地理解和掌握这些函数，我们需要通过一定的教学方法和教案来进行学习。
一、教学目标：1. 了解正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
2. 掌握常用角度的正弦、余弦和正切值。
3. 能够应用三角函数解决实际问题。
二、教学重点和难点：1. 理解和记忆正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
2. 掌握常用角度的正弦、余弦和正切值的计算方法。
3. 能够灵活应用三角函数解决实际问题。
三、教学准备：1. 教师准备：(1) 精心准备教案和讲解材料。
(2) 准备投影仪、教学PPT等教具和多媒体资料。
四、教学过程：1. 引入部分：(1) 利用一些有趣的例子，引导学生了解三角函数的概念。
可以通过绳子、直角三角形等实物或图形来辅助说明。
(2) 引导学生思考：如何计算一个角的正弦、余弦和正切值？2. 知识讲解：(1) 介绍正弦、余弦和正切函数的定义和性质。
通过示意图和公式的形式来进行讲解，并与实际生活中的场景相联系，增强学生的理解和记忆。
(2) 引导学生记忆常用角度的正弦、余弦和正切值，可以通过表格、图示等形式来进行展示。
(3) 重点讲解特殊角的正弦、余弦和正切值的计算方法，如30°、45°、60°等。
(4) 引导学生通过计算器等工具来验证计算结果，并进行练习。
3. 实际应用：(1) 结合几何学、物理学、工程学等实际问题，引导学生应用三角函数来求解相关的长度、面积、速度、力等问题，加深学生对三角函数的理解和应用能力。
(2) 要求学生认真分析问题，确定所给条件和所求结果之间的联系，合理选择并应用三角函数进行计算。
4. 拓展与延伸：(1) 引导学生思考三角函数的周期性和奇偶性，通过图像的展示来加深印象。
(2) 引导学生探索其他角度的正弦、余弦和正切值，并辅以实际例子进行讲解。
高中数学正弦和余弦教案
高中数学正弦和余弦教案
一、教学目标：
1. 理解正弦和余弦的定义，并能够在直角三角形中运用；
2. 掌握利用正弦和余弦求解三角形中的边长和角度；
3. 能够利用正弦和余弦解决相关实际问题；
4. 培养学生的逻辑思维和解决问题的能力。
二、教学重点和难点：
1. 正弦和余弦的定义；
2. 利用正弦和余弦求解三角形中的边长和角度。
三、教学过程：
1. 导入新知识（5分钟）
通过一个简单的实际问题引入正弦和余弦的概念，让学生了解为什么需要研究这两个函数。
2. 正弦和余弦的定义（15分钟）
讲解正弦和余弦的定义，引导学生根据定义计算直角三角形中的角度和边长。
3. 正弦和余弦的运用（20分钟）
教师给学生一些练习题，让学生在实践中掌握利用正弦和余弦求解问题的方法。
4. 拓展应用（10分钟）
通过一些实际问题的讨论，引导学生将所学知识应用到实际生活中，培养解决问题的能力。
5. 练习与讨论（10分钟）
教师给学生一些练习题，进行讨论和解答，及时纠正学生的错误，巩固所学知识。
6. 小结与评价（5分钟）
对本节课所学内容进行小结，让学生自评自己的学习情况，同时评价教师的教学效果。
四、教学资源准备：
1. 教案、教材、黑板、彩色粉笔；
2. 实际问题案例；
3. 练习题。
五、教学反思：
在教学过程中，要引导学生主动思考，加强练习，及时纠错，确保学生掌握本节课的重点内容。
同时，要注重综合运用知识，培养学生解决实际问题的能力。
高中数学第一章三角函数1.2.1.2三角函数线教案新人教A版必修
1.2.1.2 三角函数线1.知识与技能(1)通过实例,了解有向线段的含义.(2)理解三角函数的几何意义——三角函数线.(3)掌握利用三角函数线解简单的三角不等式,比较三角函数值的大小.2.过程与方法(1)让学生经历从实例中理解三角函数的几何意义.(2)让学生体会数形结合思想的灵活运用.3.情感、态度与价值观通过学生亲自动手操作,逐步培养出从实际出发,通过尝试、观察、归纳、抽象和概括,达到感性向理性的升华.重点:三角函数的几何意义的理解.难点:三角函数的几何意义的应用.(1)重点的突破:在教学过程中,建议让学生明确以下三个方面:①三角函数线的数量.当三角函数线与坐标轴平行时,我们可根据三角函数线的方向与数轴的方向相同或相反,分别把它的长度加上正号或负号,这样所得的数,叫做三角函数线的数量.②正弦线、余弦线、正切线分别是正弦、余弦、正切函数的一种几何表示,它们都是与单位圆有关的平行于坐标轴(或与坐标轴重合)的有向线段.③在“数”的角度认识任意角的三角函数的基础上,还可以从图形角度考察任意角的三角函数,即用有向线段表示三角函数值,这是三角函数与其他基本初等函数不同的地方.(2)难点的解决:考虑到三角函数线的应用有一定的难度,教学时可结合一些具体的例子,通过问题的由浅入深的解决,让学生不断总结,教师再适时点拨,必要时辅助典例教学,这样学生既对三角函数线体会深刻,又对三角函数线的应用得以深化,突出重点的同时化解难点.三角函数线的应用利用单位圆中的三角函数线可以比较同名三角函数值的大小,解(证明)简单的三角不等式,研究三角函数值域或最值等问题,解决这类问题的关键是准确作出单位圆中的三角函数线.1.比较下列各组数的大小.(1)cos和cos;(2)sin和tan.解:(1)如图,在单位圆中作出的余弦线OM2和OM1.因为OM1<OM2,所以cos>cos.(2)如图,分别作出的正弦线和正切线,sin=MP,tan=AT,因为AT>MP,所以tan>sin.2.用三角函数线证明:|sin α|+|cos α|≥1.证明:当角α的终边在坐标轴上时,正弦线(余弦线)变成一个点,而余弦线(正弦线)的长等于r(r=1).所以|sin α|+|cos α|=1.当角α的终边落在四个象限时,如图,利用三角形两边之和大于第三边有|sin α|+|cosα|=|MP|+|OM|>1,综上有|sin α|+|cos α|≥1.精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
高中数学_1.2 任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学目标：1.掌握任意角的三角函数的定义；2.任意角的三角函数和锐角的三角函数的联系和区别；3.理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；4.正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域；5.已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值。
教学重点：1．掌握并理解任意角的三角函数的定义；2．会运用任意角的三角函数的定义求函数值。
教学难点：理解角的三角函数值与角终边上点的位置无关；教学方法：1．情境教学法；2．问题驱动教学法及小组讨论法。
教学用具：教学课件．多媒体、实物投影仪、教案、三角板等教学过程：一、复习引入（情境1）前面我们学习了角的概念的推广，通过推广，使角动了起来，同时把角的范围也突破了0度和360度的界限，角可为任意大小。
这节课我们要研究的问题是任意角的三角函数。
初中阶段我们学习了锐角的三角函数。
【问题1】在Rt △ABC 中，sin α=斜边的对边角α= 、cos α=斜边的邻边角α= 、tan α=的邻边角的对边角αα= ．【问题2】如图，在R t △ABC 中，求sin α,cos α,tan α。
（学生口答）sin α= cos α= tan α=二、动脑思考，探索新知（情境2） 我们已经把锐角推广到任意角，锐角三角函数的概念也能推广到任意角。
那么我们应如何来给任意角的三角函数下定义呢？ 4535443A BC abc α B将Rt△ABC放在直角坐标系中，使得点A与__________重合，AC边在_______上．设点P（即顶点）的坐标为（x,y）,r为角终边上的点P到_______的距离，则r=________.于是，上面的三角函数的定义可以写作：sinα=、cosα=、tanα=．设α是任意大小的角，点(,)P x y为角α的终边上的任意一点（不与原点重合），点P到原点的距离为r＝，那么角α的正弦、余弦、正切分别定义为sinyrα=；cosxrα=；tanyxα=．提问：1、当角大小发生变化时，比值会改变吗？2、比值会随着点P在终边上的位置改变而改变吗？一般地，在比值存在的情况下，对角α的每一个确定的值，按照相应的对应关系，角α的正弦、余弦、正切、都分别有唯一的比值与之对应，它们都是以角α为自变量的函数，分别叫做正弦函数、余弦函数、正切函数，统称为三角函数．由定义可以看出：当角α的终边在y轴上时，ππ()2k kα=+∈Z，终边上任意一点的横坐标x的值都等于0，此时tan yxα=无意义．除此以外，对于每一个确定的角α，三个函数都有意义．正弦函数、余弦函数和正切函数的定义域如下表所示：三、例题分析例1 已知角α的终边经过点(2,3)P -，求角α的正弦、余弦、正切值．分析 已知角α终边上一点P 的坐标，求角α的某个三角函数值时，首先要根据关系式r =P 到坐标原点的距离r ，然后根据三角函数定义进行计算．解 因为2x =，3y =-，所以r ，因此siny r α===， cos x r α=== 3tan 2y x α==-． 例2求角2π的正弦、余弦和正切值；解：由三角函数定义得： 当α=2π时sin y r α==1 cos x r α==0； tan y x α=不存在． 四、运用知识 强化练习1.已知角α的终边上的点P 的坐标如下，分别求出角α的正弦、余弦、正切值： ⑴ ()3,4P -； ⑵ ()1,2P -；2.求下列各角的正弦、余弦和正切值；（1）π （2）32π 五、课堂小结：通过本课学习，你有哪些收获？1. 任意角的三角函数的定义；2. 知道角的弧度制，并会求该角的三角函数;3. 任意角的三角函数值与终边上点的位置无关，只与角的大小和终边的位置有关；4.正弦函数，余弦函数，正切函数的定义域。
高一数学任意角的三角函数二 新课标 教案
高一数学任意角的三角函数二
教学目标：1、理解单位圆中的三角函数线。
2、会用角a 的正弦线、余弦线、正切线分别表示任意角a 的正弦、余弦、正切函数值。
教学重点：单位圆中的正弦线、余弦线、正切线
教学过程：
一、问题情境
回忆任意角的三角函数定义、定义域及三种三角函数值在各象限的符号
二、学生活动
思考：能否用几何方法表示正弦、余弦、正切这三种三角函数值？
三、数学建构及理论
1、有向线段
2、有向直线
3、有向线段的数量
4、正弦线、余弦线的定义：sin α= MP cos α= M
5、正切线的定义：tan α= AT
四、数学应用
例1．作出下列各角的正弦线、余弦线、正切线
（1）3π
（2）65π （3）-32π （4）-417π
例2在单位圆中，画出适合下列条件角a 的终边的范围,并由此得出角a 的范围
（1）sin α≥23
(2)cos α＜-21
(3)tan
α≥1 例3根据单位圆中的三角函数线，探究：
（1）正弦函数、余弦函数、正切函数的值域，
（2）正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的单调性，
（3）正切函数在区间（-2π，2π）上的单调性
（1）cos 127
π (2)sin(-4650) (3)tan 311π 练习 课本P 16 7、8
五、回顾小结
掌握好单位圆中的正弦线、余弦线、正切线
作业：课外P 23 习题1、2 2、18 选做 19、20。
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α
=
y x
y T
P （x ，y ）
x
知识探究（ ）：正弦线、余弦线、 知识探究（二）：正弦线、余弦线、正切线 正弦线
设角α为第一象限角顶点在原点，始边与 轴的正 设角 为第一象限角顶点在原点，始边与x轴的正 为第一象限角顶点在原点 半轴重合，终边与单位圆相交于点P(x，y），过P 半轴重合，终边与单位圆相交于点 ， ），过 ）， 轴的垂线， 作x轴的垂线，垂足为 。过点 （1，0）作单位 轴的垂线 垂足为M。过点A（ ， ） 圆的切线，与角α的终边或其反向延长线相交于点 圆的切线，与角 的终边或其反向延长线相交于点 T。 。 y T
知识探究（ ）：正弦线、余弦线、 知识探究（二）：正弦线、余弦线、正切线 正弦线
思考1 如图，设角α 思考1：如图，设角α为第 一象限角， 一象限角，其终边与单位 圆的交点为P 圆的交点为P（x，yr）1 则 ， α = x = x = x， cos
r 1
(x≠0)都是正数， 都是正数， 都是正数 你能分别用哪一条线段表 你能分别用哪一条线段表 示角α的正弦值பைடு நூலகம்余弦值、 示角α的正弦值、余弦值、 O 正切值最合适？ 正切值最合适？
有向线段MP=y=sinα 有向线段OM=x=cosα 有向线段AT=tanα
P （x ，y ）
A O M
x
在单位圆中的正弦线 角α在单位圆中的正弦线、余弦线、正切线 在单位圆中的正弦线、余弦线、
有向线段MP的数量等于角α的 正弦值，把有向线段MP叫做角α的 角 的 正弦线； 正弦线；有向线段OM的数量等于角 α的余弦值，把有向线段OM叫做角α 角 余弦线； 的余弦线；有向线段AT的数量等于 角α的正切值，把有向线段AT叫做角 角 α的正 线. 的正切线 的正
(Ⅰ)
[例题导练 例题导练] 例题导练
例：作出下列各角的正弦线、余弦 作出下列各角的正弦线、 正切线： 线、正切线：
5π （1 ） 6
；
4π （2） 5
；
练
（1）
习：
； （2）
作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．
π
3
2π 3
．
小结作业
任意角α的正弦线、 任意角 的正弦线、余 的正弦线 弦线、正切线的作法及步骤： 弦线、正切线的作法及步骤：
1、作直角坐标系和角的终边；
2、作单位圆，圆与角的终边的交点为P（x，y） ，与 x （ ， ） 轴正半轴交点为A（1，0）； 3、过P点作 x轴的垂线，垂足为M； α 的终边 y 4、过A点作 x 轴的垂线， T P 与角的终边或其反向延长 线交于T点
o
M
x
A
5、有向线段MP、OM、AT就为 所求
如在数轴上， 如在数轴上，|OA|=3，|OB|=3 ，
有向线段OA=3 有向线段
B O
有向线段OB=-3 有向线段
x A
如图，线段AB可以规定从点 可以规定从点A（起点）到点B（终点） 如图，线段 可以规定从点 （起点）到点 （终点）的 方向，或从点B（起点）到点A（终点）的方向。 方向，或从点 （起点）到点 （终点）的方向。 如图中 AB=3（长度 （ 单位）（ ）（A为 单位）（ 为 起点， 为终 起点，B为终 ），BA=-3 点），BA=-3 （长度单位） 长度单位） （B为起点， 为起点， 为起点 A为终点）， 为终点）， 为终点 类似地有 CD=-4（长度 （ 单位）， 单位）， DC=4（长度 （ 单位）。 单位）。
[0,2π] π
正切函数的图象
可以利用正切线作正切函数在区间 的图象
y
π π ( , ) 2 2
π 2
O
π 2
x
y T
P （x ，y ）
A O M
x
角α与单位圆有关的三条正弦线、余弦线、正切线 统称为三角函数线。
请
的
α的终边 P A M o (Ⅱ) y T y T M o P α的终边 ( ) ( ) A x M A o P x T α的终边 x o M A x y y P α的终边 T
结 合 课 本 ， 小 组 进 行 讨 论 得 出 结 果 。
1.2.1任意角的三角函数 正弦线、余弦 任意角的三角函数--正弦线 任意角的三角函数 正弦线、 线、正切线 课型：集体备课、 课型：集体备课、磨课
温故而知新 问题1： 问题 ：三角函数在各象限的函数值符 号分别如何？ 号分别如何？ 一全正，二正弦，三正切，四余弦. 一全正，二正弦，三正切，四余弦
知识探究（ ）：有向线段的概念： 知识探究（一）：有向线段的概念： 有向线段的概念
带有方向的线段叫有向线段 。 有向线段的数量由其长度大小 方向来决定 数量由其长度大小和 来决定。 有向线段的数量由其长度大小和方向来决定。
规定： 规定：当有向线段从始点到终点方向与坐标轴
的正方向一致时，就规定这条线段是正的；当线段的方 正方向一致时，就规定这条线段是正 向与坐标轴的正方向相反时 就规定这条线段是负 正方向相反时， 向与坐标轴的正方向相反时，就规定这条线段是负的。
作业： 作业：
1、课本第 页：第2题的（4）题， 、课本第17页 题的（ ） 题的 第3题。 题 2、预习下节：1.2.2同角三角函数的 、预习下节： 同角三角函数的 基本关系
[拓展视野 拓展视野] 拓展视野 作正弦函数的图象 y
B 1 (B)
A O1
(O1)
o
-1
π
x
2π π
y=sinx, x