§1-5 系统的描述与分类

L
uS
R
C
uO
2、系统方程 根据元器件的物理特性和电路的基本定理，可以建立 系统方程。例如，根据电路图中表示的输入输出，可以列 出系统方程。
d 2uo (t ) 1 duo (t ) 1 1 + + uo (t ) = us (t ) 2 dt RC dt LC LC
方程中只涉及到输入输出信号，称此方程为系统的输 入输出方程。系统方程是二阶微分方程，则称所表示的系 统是二阶系统。 对于高阶系统，分析时求解高阶微分方程往往较复 杂，也可以将系统用联立的一阶微分方程组来表示，此时 的方程组，称为系统的状态方程。
3、系统的模拟方框图 所谓模拟（simulation)又译为仿真，是指数学模拟或 仿真。 用一些表示基本运算的符号，按照规定的连接规则连 接，实现系统方程的运算。由于运算符号常常用方框表 示，所连接的图形简称系统的方框图。对于常系数线性微 分方程，基本的运算符号是加法器、数乘器和积分器。
x1 (t ) x 2 (t )
§1.5 系统的表示与分类
一、系统的表示 为了便于分析，需要对系统给以描述，我们通常用系 统的模型来表示系统。在电系统中，人们常常用具有理想 特性的元器件符号联接的图形；或者是将系统物理特性进 行数学抽象---数学建模，形成的数学表达式表示系统。 1、系统的电路图表示
iL
vR (t) = R⋅ iR (t) diL (t) vL (t) = L dt t 1 vC (t) = ∫ iC (τ)dτ C −∞
x(t ) y (t )
1 1
系统是因果的。 若
y (t ) = x (t + 1)
1
t
1
2
t
y (t )
系统是非因果的。 在独立变量是时间的应用中，因果性 是系统物理可实现的充分必要条件。
−1Байду номын сангаас
1 1
t
7、稳定与不稳定系统 系统对于有界的输入，必定产生有界的输出，此系统 称为稳定的，否则系统是不稳定的。 即对所有的时间
x (t ) ≤ M
x
< ∞
必定有
y (t ) ≤ M
y
< ∞
例如：系统输入输出关系为： y (t ) = tx (t ) 当x(t)=1，是有界的，
y (t ) = t
随着时间趋于无穷，输出也趋于无穷，是不稳定的。
若系统输入输出关系为：
y (t ) = e x ( t )
只要x(t)是有界的，
x (t ) ≤ M
b0
uo (t )
− a0
− a0
设系统方程为：
y′′(t ) + a1 y′(t ) + a0 y(t ) = b1 x′(t ) + b0 x(t )
引入变量q(t)，以上方程可表示为：
q′′(t ) + a1q′(t ) + a0 q(t ) = x(t ) y(t ) = b1q′(t ) + b0 q(t )
duC (t ) RC + uC (t ) = e(t ) dt duC (t ) RC (t ) + uC (t ) = e(t ) dt
6、因果与非因果系统 响应不会产生于激励作用于系统之前的系统，称为因 果系统，反之是非因果系统。 例如： y (t ) = x(t − 1) x(t ) y (t ) = x (t − 1) 系统
x
< ∞
y (t ) = e x (t ) ≤ e M x < ∞
所以系统是稳定的。
8、可逆系统与不可逆系统 可逆系统与 对于不同的输入有不同的输出，此系统是可逆系统， 对于不同的输入有不同的输出，此系统是可逆系统 可逆系统， 否则是不可逆系统。 否则是不可逆系统 不可逆系统。
x(t )
原系统
y (t )
∑
x(t )
x(t )
a
y (t )
x(t )
∫
t
y (t )
x(t ) = x1 (t ) + x2 (t )
y(t ) = ax(t )
y(t ) = ∫ x(τ)dτ
−∞
加法器
数乘器
数乘器
前述系统方程
d 2uo (t ) 1 duo (t ) 1 1 + + uo (t ) = us (t ) 2 dt RC dt LC LC
3、集总参数系统与分布参数系统 集总参数系统与 若构成系统的元器件均是集总参数元件，这样的系统 称为集总参数系统。集总参数系统的系统方程通常是常微 称为集总参数系统 集总参数系统。集总参数系统的系统方程通常是常微 分方程。如：
duC (t ) RC + uC (t ) = e(t ) dt
若系统含有分布参数元器件，这样的系统称为分布参 若系统含有分布参数元器件，这样的系统称为分布参 数系统。分布参数系统的系统方程通常是偏微分方程。此 数系统。分布参数系统的系统方程通常是偏微分方程。此 时系统的输入输出信号不单是时间的函数，还是空间位置 的函数。如描述弦上运动的一维波动方程：
引入变量q(n)，以上方程可表示为：
q(n) + a1q(n − 1) + a2 q(n − 2) = x(n)
q(n)
b0 b1
y(n) = b0 q(n) + b1q(n − 1)
∑
y ( n)
x ( n)
∑
D
− a1
D
q(n − 2)
− a2
在以后的学习中，还会遇到许多系统的描述方法。
二、系统的分类 有许多不同的分类方法，这里主要根据系统的特性与 所处理的信号不同分类。 连续时间系统与 1、连续时间系统与离散时间系统 若系统的输入输出都是连续时间信号，且内部又无连 续和离散信号间的转换，这样的系统是连续时间系统。连 续时间系统的系统方程是微分方程。 若系统的输入输出都是离散时间信号，这样的系统是 离散时间系统。离散时间系统的系统方程是差分方程。 由于数字技术的发展，特别是计算机的应用，现在有 许多连续时间和离散时间系统的混合系统。
x1 (n) x2 ( n )
∑
x ( n)
x ( n)
a
y ( n)
x ( n)
D
y (n)
x(n) = x1 (n) + x2 (n)
y(n) = ax(n)
y(n) = x(n −1)
加法器
数乘器
单位延时器
设系统方程为：
y(n) + a1 y(n − 1) + a2 y(n − 2) = b0 x(n) + b1 x(n − 1)
d 2uo (t ) duo (t ) + a1 + a0uo (t ) = b0us (t ) 2 dt dt d 2uo (t ) duo (t ) = b0us (t ) − a1 − a0uo (t ) 2 dt dt
us (t )
b0
∑
∫
− a1
∫
uo (t )
us (t )
∑
∫
− a1
∫
逆系统
x(t )
同一个系统有着多重特性，根据不同的特性可归于不 同的类别。今后本课程主要讨论线性时不变系统的分析及 其特性。
duC (t ) RC + uC (t ) = e(t ) dt duC (t ) 2 RC + uC (t ) = 0 dt
5、时不变系统与时变系统 时不变系统与 若系统参数不随时间变化，这样的系统是时不变系 若系统参数不随时间变化，这样的系统是时不变系 统，否则是时变系统。本课程主要讨论时不变系统。时不 ，否则是时变系统 时变系统。本课程主要讨论时不变系统。时不 变系统的系统方程是常系数微分或差分方程。
2、即时系统与动态系统 即时系统与 若系统在某时刻的输出只与此时刻的输入有关，与此 前的输入或系统状态无关，这样的系统称为即时系统。即 前的输入或系统状态无关，这样的系统称为即时系统 即时系统。即 时系统的系统方程是代数方程。如纯电阻网络、数字系统 中的组合逻辑电路，都是即时系统。即时系统又称无记忆 系统。 若系统在某时刻的输出不仅与此时刻的输入有关，还 与此前的输入或系统状态有关，这样的系统称为动态系统。 与此前的输入或系统状态有关，这样的系统称为动态系统 动态系统。 动态系统的系统方程是微分方程或差分方程。如含有电感 和电容的网络、数字系统中的时序逻辑电路，都是动态系 统。动态系统中一定包含有记忆元件，如电感、电容或触 发器等。
∂ 2 u ( x, t ) ∂ 2 u ( x, t ) − α2 =0 2 2 ∂t ∂x
线性系统与 4、线性系统与非线性系统
若系统的输入输出之间满足叠加性与齐次（均匀） 性，这样的系统是线性系统，否则是非线性系统。本课程 性，这样的系统是线性系统，否则是非线性系统 线性系统，否则是 非线性系统。本课程 主要讨论线性系统。线性系统的系统方程是线性微分或差 分方程。
b1
x(t )
∑
q(t )′′
∫
− a1
∫
q(t )
b0
∑
y (t )
− a0
对于离散时间系统，其系统可由差分方程表示。一二 阶常系数线性差分方程如下：
y(n) + a1 y(n − 1) + a2 y(n − 2) = b0 x(n) + b1 x(n − 1)
对它的仿真，基本的运算符号是加法器、数乘器和单 位延时器。