专题7分式方程及其应用

【解题思路】方程两边都乘以x－1，将分式方程转化为整式方 程来解即可． 【思维模式】解分式方程的基本思路是通过去分母，将分式方 程转化为整式方程来解．另外，解分式方程时，检验是必不可少 解：方程两边都乘以x－1，得2x＝x－1＋1， 的重要步骤之一，因为在方程两边都乘以最简公分母时，容易产 移项、合并，得x＝0， 生增根（是整式方程的根，但不是分式方程的根，也可以说是使 最简公分母为 0的根）． 经检验， x＝0是原方程的解． 【必知点】解分式方程应按三步走：一去（利用等式的性质1 ，将方程两边都乘以最简公分母，将方程中的分母去掉）；二解 （解整式方程）；三验（将解得的整式方程的根代入原方程检验 或代入最简公分母时检验）．
【解题思路】将k看作已知数，解分式方程，用含k的 代数式表示出分式方程的解，然后根据方程的解是负数 和方程根不能是增根确定k的取值范围．
【易错点睛】在分式方程中，若未知数的取值使 得原分式方程中的分式的分母为零，即为增根，因 此，本题中要使方程的解为负数，除了k＜3外，还 必须考虑原分式方程的分母不等于0.
【解题思路】先解分式方程，用含a的代数式表示x，再根据x 是“非正数”建立不等式求出a的范围．解出a的取值范围要注意 分式的分母不能为0．
【思维模式】分式方程解是非正数问题，可考虑先求 出这个方程的解，然后让这个解为非正数，且确保这个 解不能是增根．
例4：（2013湖南娄底）为了创建全国卫生城市，某社区要清理 一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可 完成，需支付运费4800元.已知甲、乙两车单独运完此垃圾，乙车 所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元. （1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？ （2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？ 【解题思路】（1）首先把总工作量看作单位“1”，设好甲车、乙 车单独完成所需趟数，表示出甲车、乙车的工作效率，再表示出甲 车、乙车12趟完成的工作量，根据等量关系“甲、车的工作量＋乙 车的工作量＝总工作量”列出方程． （2）根据“甲车12趟所需费用＋乙车12趟所需费用＝4800”求出 甲车、乙车每趟所需费用，再计算单独租用一种车完成所需费用进 行比较.
考点 分式 方程 的概 念
课标要求 1．知道分式方程的概念，会识别分式 方程； 2．理解分式方程中产生增根（无解） 的情况．
难度
较难
1．知道解分式方程的一般步骤； 2．掌握应用“去分母”和“换元”将分式 分式 方程转化为整式方程，领会解分式方 方程 程“整式化”的化归思想； 的解 3．掌握分式方程的验根方法，注意解 法 分式方程时可能会出现增根，解方程 后一定要验根.
5．列分式方程解应用题的一般步骤： ①审：审清题意； ②设：设未知数； 等量关系 ； ③找：找出__________ 分式方程 ； ④列：列出__________ ⑤解：解这个分式方程； 原分式方程的根 ，又要检 ⑥验：既要验证根是否为_____________ 验根_____________ 是否符合题意 ； ⑦答：写出答案.
考点3 分式方程的应用（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）填空或选择列分式方程解决应用问题； （2）以解答题的形式出现．
7．（2013山东泰安）某电子元件厂准备生产4600个电子元件， 甲车间独立生产一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入了 该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件个数是甲车间 的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多 少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意 可得方程为（ B ）
8 ．（ 2013 湖北十堰）甲、乙两名学生练习计算机打 字，甲打一篇 1000 字的文章与乙打一篇 900 字的文章 所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打 5 个 字，问：甲、乙两人每分钟各打多少个字？
思路1：方程两边同时乘以最简公分母x－2，转化为 整式方程求解并检验． 思路2：可看作分式的值为0解决． 【思维模式】解决此类问题有两个途径，一是当作分 式值为零来处理；二是当作分式方程来求解．
1．_____ 分母 里含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的增根必须满足两个条件 某一个分母 （1）使原分式方程的______________ 为零； （2）是原分式方程去分母后所得的整式方程的根 ___________．
3 ．解分式方程的基本思路：将分式方程化 整式 为______________ 方程． 4．解分式方程的一般步骤是： 最简公分母 ，约去分 ①在方程的两边都乘 ____________ 整式方程 母，化成____________ ； 整式方程 ②解这个____________ ； 最简公分母 ，看结果是 ③把解得的根代入 ____________ 最简公分母 为零的根是原方程的 不是零，使____________ 增根 ____________ ，必须舍去．
【思维模式】在列方程解决实际问题时， 一是要注意审题，找到题目中的相等关系； 二是设未知数注意选择和题目中各个量关系都密切 的量，注意根据问题情况灵活选择设法.如直接设、间 接设，设多元等； 三是求分式方程的解． 验根应从两个方面出发：一方面是方程的本身，另 一方面是实际问题，根既要使方程的本身有意义，又 要符合实际意义.四是合算的问题就是方案选择问题， 也就是比较谁少的问题，一定要把方案选择转化为求 那几个量，再进行计算比较.
考点1 分式方程的有关概念（考查频率：★☆☆☆☆） 命题方向：（1）分式方程有增根、无解问题； （2）分式方程的解为正数或负数的讨论．
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考点2 解分式方程（考查频率：★★★☆☆） 命题方向：（1）注重对解分式方程过程的考查； （2）以计算题的形式考查分式方程解法．
D
C
C
解：去分母得：x(x＋2)－(x－1)(x＋2)＝3， 去括号得：x2＋2x－x2－x＋2＝3， 解得：x＝1， 经检验:x＝1是增根，原分式方程无解．
【解题思路】按照去分母、去Baidu Nhomakorabea号、移项、合并同类项、 系数化为1的步骤进行计算，注意最终结果一定要检验．
【易错点睛】分式方程转化为整式方程，由于去分母使 未知数的取值范围发生了变化，有可能产生增根，因此 在解分式方程时一定要验根，如果不验根，极有可能误 将x＝2当作方程的根．
【易错点睛】在去分母时，容易将1漏乘(x－3)，从 而得到错误的整式方程2x＋1＝1－2．
中等
考点
课标要求
难度
分式 方程 的应 用
1．分式方程来解决简单的实际问题. 2．在列分式方程应用题求解检验时， 不仅要考虑是否产生了增根，还要考 虑是否符合题意（实际情况）.
中等
题型预测 分式方程考查内容相对比较集中，如分式方 程的增根或无解问题、解分式方程问题和分式方 程的应用问题，除了应用问题常出现在解答题中 外，其余基本以填空、选择的形式出现，其中与 增根有关的问题难度较大．